高中数学必修四试卷

高中数学必修四试卷(一)
（总分120分，考试时间120分钟）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列不等式中，正确的是（ ）
A ．tan 5
13tan
4
13ππ< B ．sin )
7cos(5
π
π->
C ．sin(π－1)<sin1o
D ．cos )5
2cos(57π
π-<
2. 函数)6
2sin(π
+-=x y 的单调递减区间是（ ）
A ．)](23
,26
[Z k k k ∈++-ππππ B ．)](26
5,26[Z k k k ∈++ππππ
C ．)](3,6[Z k k k ∈++-ππππ
D ．)](6
5,6[Z k k k ∈++ππππ
3.已知向量()2,1,10,||52
a a
b a b =⋅=+=r r
r r r 则||b =r （ ）
A. 5
B. 10
C.5
D. 25
4.要得到函数x y 2sin =的图象，可由函数)4
2cos(π-=x y （ ）
A. 向左平移8π个长度单位
B. 向右平移8π
个长度单位 C. 向左平移4π个长度单位 D. 向右平移4
π
个长度单位
5.已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b 若2-a b 与b 垂直则=
a （ ）
A ．1
B 2
C ．2
D ．4
6．设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos (0)()2
sin (0)
x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪
≤≤⎩，则15()4
f π-的值等于（ ）
A.1 B 2 C.0 D. 2
7.函数)(x f y =的图象如图所示，则)(x f y =的解析式为（ ） A.22sin -=x y B.13cos 2-=x y
C.1)52sin(--=πx y
D. )5
2sin(1π
--=x y
8．已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4
π
=
x 处取
10
π
o x
y 2 1
得最小值，则函数)4
3(
x f y -=π
是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称
B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π
对称
C ．奇函数且它的图象关于点)0,2
3(π
对称
D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称
9．函数]0,[,cos 3sin )(π-∈-=x x x x f 的单调递增区间是（ ）
A ．]65,[ππ--
B ．]6,65[ππ--
C ．]0,3[π-
D ．]0,6
[π
-
10. 已知函数sin cos 1212y x x ππ⎛
⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，则下列判断正确的是（ ）
A ．此函数的最小周期为2π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．此函数的最小周期为π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．此函数的最小周期为2π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．此函数的最小周期为π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
11. 若2
2
)
4sin(2cos -=-παα，则ααsin cos +的值为（ ） Ａ．27- Ｂ．2
1
- Ｃ．21 Ｄ．27
12. . 函数23)cos 3(sin cos +-=x x x y 在区间],2
[ππ
-的简图是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ．
Ｄ．
二、 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13.若向量),3(),5,2(),1,1(x c b a ===满足条件==⋅-x c b a 则,30)8(______.
14.已知sin （700+α）=1
3，则cos （2α-40︒）= .
15.已知函数)5
2sin()(π
π+=x x f ，若对任意R x ∈都有)()()(21x f x f x f ≤≤成
立，则||21x x -的最小值是____________.
16.在平行四边形ABCD 中E 和F 分别是边CD 和BC 的中
点,=
+其中
R 则
+
= _________.
三、 解答题：本大题共6小题，共74分，解答题应写出文字说明、证明过程
或演算步骤。

17．（本小题14分）已知函数3)6
2sin(3)(++=π
x x f
（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象； （2）指出)(x f 的周期、振幅、初相、对称轴；
18．（本小题12分）已知函数)
2
sin()
42cos(21)(ππ
+-+=
x x x f . （1）求)(x f 的定义域；
（2）若角α在第一象限且5
3
cos =α，求)(αf 的值.
19．（本小题12分）已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c 设向量(,)m a b =u r (sin ,sin )n B A =r
(2,2)p b a =--u r
.
（1）若m u r //n r
求证ΔABC 为等腰三角形；
（2）若m u r ⊥p u
r 边长c = 2角C = 3π求ΔABC 的面积 .
高中数学必修四试卷(一)
（总分120分，考试时间120分钟）
参考答案
一、选择题：（本大题共12个小题；每小题5分，共60分。

）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

）
13、4； 14、7
9
-； 15、2； 16、4/3
三、解答题：本大题共3小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解：（1）列表
x
3
π
-
32π 3
5π 38π 311π
π3π
(2)周期T ＝π4，振幅A ＝3，初相6
π
ϕ=，
由
262πππ+=+k x ，得)(3
22Z k k x ∈+=ππ即为对称轴； （3）①由x y sin =的图象上各点向左平移6
π
ϕ=个长度单位，得)6
sin(π
+
=x y 的图象；
②由)6
sin(π
+
=x y 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）
，得)6
2sin(π
+=x y 的图象；
③由)62sin(π
+=x y 的图象上各点的纵坐标伸长为原来的3倍（横坐标不变），得
)62sin(3π
+=x y 的图象；
④由)62sin(3π+=x y 的图象上各点向上平移3个长度单位，得)6
2sin(3π
+=x y ＋3的图
象。

18．解：（1）由0)2
sin(≠+
π
x ，得0cos ≠x ，
)
(2
Z k k x ∈+
≠∴π
π;
故)(x f 的定义域为}
,2|{Z k k x x ∈+≠π
π
（2）由已知条件得
54
)53(1cos 1sin 22=
-=-=αα； 从而)
2sin()
42cos(21)(παπ
αα+-+=f ＝απαπαcos )
4sin 2sin 4cos 2(cos 21++
＝αααααααcos cos sin 2cos 2cos 2sin 2cos 12+=
++＝)sin (cos 2αα+＝514
19．证明（1）//,sin sin ,m n a A b B ∴=u v v
Q
即
22a b a b R R ⋅
=⋅其中R 是三角形ABC 外接圆半径a b =
ABC ∴∆为等腰三角形
解（2）由题意可知//0,(2)(2)0m p a b b a =-+-=u v u v
即
a b ab ∴+=
由余弦定理可知
222
4()3a b ab a b ab =+-=+- 2()340ab ab --=即
4(1)ab ab ∴==-舍去
11sin 4sin 3223S ab C π
∴=
=⋅⋅=。