高一数学必修四综合试题及详细答案

必修四综合测试1一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．下列命题中正确的是（）A ．第一象限角必是锐角B ．终边相同的角相等C ．相等的角终边必相同D ．不相等的角其终边必不相同2．已知角α的终边过点()m m P 34，-，()0≠m ，则ααcos sin 2+的值是（）A ．1或－1B ．52或52-C ．1或52-D ．－1或523．下列命题正确的是（）A ．若→a ·→b =→a ·→c ，则→b =→cB ．若||||b a b a -=+，则→a ·→b =0C ．若→a //→b ，→b //→c ，则→a //→c D ．若→a 与→b 是单位向量，则→a ·→b =14．计算下列几个式子，①35tan 25tan 335tan 25tan ++,②2(sin35︒cos25︒+sin55︒cos65︒),③15tan 115tan 1-+,④6tan16tan2ππ-，结果为3的是（）A ．①②B ．③C ．①②③D ．②③④5．函数y ＝cos(4π－2x )的单调递增区间是（）A ．[k π＋8π，k π＋85π]B ．[k π－83π，k π＋8π]C ．[2k π＋8π，2k π＋85π]D ．[2k π－83π，2k π＋8π]（以上k ∈Z ）6．△ABC 中三个内角为A 、B 、C ，若关于x 的方程22cos cos cos02Cx x A B --=有一根为1，则△ABC 一定是A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形7．将函数)32sin()(π-=x x f 的图像左移3π，再将图像上各点横坐标压缩到原来的21，则所得到的图象的解析式为（）A ．x y sin =B ．)34sin(π+=x y C ．)324sin(π-=x y D ．)3sin(π+=x y 8.化简10sin 1++10sin 1-，得到（）A ．－2sin5B ．－2cos5C ．2sin5D ．2cos59．函数f(x)=sin2x·cos2x 是（）A ．周期为π的偶函数B ．周期为π的奇函数C ．周期为2π的偶函数D ．周期为2π的奇函数.10．若|2|=a ，2||=b 且（b a -）⊥a ，则a 与b 的夹角是（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．π12511．正方形ABCD 的边长为1，记→-AB ＝→a ，→-BC ＝→b ，→-AC ＝→c ，则下列结论错误．．的是（）A ．(→a －→b )·→c ＝0B ．(→a ＋→b －→c )·→a ＝0C．(|→a －→c |－|→b |)→a ＝→D．|→a ＋→b ＋→c |＝212．2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是θθ22cos sin ,251-则的值等于（）A ．1B ．2524-C ．257D ．－257二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

请把正确答案填在题中的横线上）13．已知曲线y =Asin(ωx ＋ϕ)＋k （A>0,ω>0,|ϕ|<π）在同一周期内的最高点的坐标为(8π,4)，最低点的坐标为(85π,－2)，此曲线的函数表达式是．14．设sin α－sin β=31，cos α+cos β=21,则cos(α+β)=．15．已知向量OP X OB OA OP 是直线设),1,5(),7,1(),1,2(===上的一点（O 为坐标原点），那么XBXA ⋅的最小值是___________．16．关于下列命题：①函数x y tan =在第一象限是增函数；②函数)4(2cos x y -=π是偶函数；③函数)32sin(4π-=x y 的一个对称中心是（6π，0）；④函数)4sin(π+=x y 在闭区间]2,2[ππ-上是增函数;写出所有正确的命题的题号：。

三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知434παπ<<，40π<β<，53)4cos(-=+απ，135)43sin(=β+π，求()βα+sin 的值.18．（本小题满分12分）已知函数x x x f cos 3sin )(+=。

（I ）求)(x f 的周期和振幅；（II ）用五点作图法作出)(x f 在一个周期内的图象;（III ）写出函数)(x f 的递减区间.19．（本小题满分12分）已知关于x 的方程0)13(22=++-m x x 的两根为θsin 和θcos ，θ∈（0，π）.求：（I ）m 的值；（II ）θθθθθtan 1cos 1tan sin tan -+-的值；（III ）方程的两根及此时θ的值.20．（本小题满分12分）已知点A 、B 、C 的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),α∈(2π,23π).（I ）若|AC |=|BC |，求角α的值；（II ）若AC ·BC =-1，求αααtan 12sin sin 22++的值.21．（本小题满分12分）某港口海水的深度y （米）是时间t （时）（240≤≤t ）的函数，记为：)(t f y =已知某日海水深度的数据如下：t （时）03691215182124y （米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.0经长期观察，)(t f y =的曲线可近似地看成函数b t A y +=ωsin 的图象（I ）试根据以上数据，求出函数b t A t f y +==ωsin )(的振幅、最小正周期和表达式；（II ）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）。

某船吃水深度（船底离水面的距离）为5.6米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？22．（本小题满分14分）已知向量()())90sin(),90cos(,)sin(2),cos(2θθθθ--=--=b a （I ）求证：b a ⊥；（II ）若存在不等于0的实数k 和t ，使b t a k y b t a x +-=-+=,)3(2满足y x ⊥。

试求此时tt k 2+的最小值。

参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

）1.C 2.B 3.B 4.C 5.B 6.B 7.B 8.A 9.D 10.B 11.D 12.D二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．1)42sin(3++=πx y 14．7259-15．－816．③三、解答题：17．（本小题满分12分）解：∵434π<α<π∴π<α+π<π42---------------1分又53)4cos(-=α+π∴54)4sin(=α+π---------------3分∵40π<β<∴π<β+π<π4343-------------4分又135)43sin(=β+π∴1312)43cos(-=β+π----------6分∴sin(α+β)=-sin[π+(α+β)]----------------8分=)]43()4sin[(β+π+α+π-)]43sin()4cos()43cos()4[sin(β+πα+π+β+πα+π-=------10分6563]13553)1312(54[=⨯--⨯-=-----------12分18．（本小题满分12分）解：（I ）)cos 23sin 21(2x x y +=＝)3sin cos 3cos (sin 2ππx x +＝)3sin(2π+x -----------2分函数)(x f 的周期为T ＝π2，振幅为2。

----------------4分（II ）列表：-----------------7分图象如上。

----------------9分x3π-6π32π67π35π3π+x 02ππ23ππ2)3sin(2π+=x y 020-2（III ）由)(232322Z k k x k ∈+≤+≤+πππππ解得：---------10分)(67262Z k k x k ∈+≤≤+ππππ所以函数的递减区间为)(],672,62[Z k k k ∈++ππππ-------12分19．（本小题满分12分）（I ）由韦达定理得：213cos sin +=+θθ----------1分∴4432cos sin 21+=+θθ∴23cos sin 2=θθ---------2分由韦达定理得2cos sin m =⋅θθ=43∴23=m --------3分（II ）∵2)231(cos sin 21-=-θθ∴213cos sin -±=-θθ---4分∵θθθθθtan 1cos 1tan sin tan -+-=θθθθθθsin cos cos cos sin sin 22-+-=θθθθθθcos sin cos sin cos sin 22+=-----------6分∴原式=213cos sin +=+θθ-----------------------7分（III ）23cos sin 2=θθ>0∵θsin 与θcos 同号，又∵θθcos sin +>0∴θsin 与θcos 同正号-------------------------8分∵θ∈（0，π）∴θ∈（0，2π）------------------9分∵213cos sin +=+θθ，且213cos sin -±=-θθ∴θsin =23，θcos =21；或θsin =21，θcos =23--------11分∴θ=6π或θ=3π.---------------------------12分20．（本小题满分12分）解：（I ）∵AC =(cosα-3,sinα)，BC =(cosα,sinα-3),--2分∴|AC |=αααcos 610sin )3(cos 22-=+-,|BC |=αααsin 610)3(sin cos 22-=-+.--------------4分由|AC |=|BC |得sinα=cosα.又∵α∈(2π,23π)，∴α=45π.----------------------6分（II ）由AC ·BC =-1,得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1.∴sinα+cosα=32---8分由上式两边平方得1+2sinαcosα=94,∴2sinαcosα=95-.----------------------------10分又ααααααααcos sin 1)cos (sin sin 2tan 12sin sin 22++=++=2sinαcosα.∴95tan 12sin sin 22-=++ααα.-------------------------12分21．（本小题满分12分）解：（I ）依题意有：最小正周期为：T=12--------1分振幅：A=3，b=10，62ππω==T ---------2分10)6sin(3)(+⋅==t t f y π----------------------4分（II ）该船安全进出港，需满足：55.6+≥y 即：5.1110)6sin(3≥+⋅t π21)6sin(≥⋅t π---------6分∴Z k k t k ∈+≤⋅≤+652662πππππZk k t k ∈+≤≤+512112-----------------------8分又240≤≤t 51≤≤∴t 或1713≤≤t ------------10分依题意：该船至多能在港内停留：16117=-（小时）----12分22．（本小题满分14分）解：由诱导公式得：()())cos ,sin ,sin 2,cos 2θθθθ=-=b a-------2分12==b a -------------------------3分（I ）0cos )sin 2(sin cos 2=⋅-+⋅=⋅θθθθb a则ba ⊥---------5分（II ）bt a k y b t a x +-=-+=,)3(2y x ⊥0=⋅∴y x -------------------------6分即：0][])3([2=+-⋅-+b t a k b t a)3()])(3([2222=-+⋅--++-b t t b a k t t a k ∴4)3(0)3(422tt k t t k -==-+------------------------9分∴47)2(41]7)2[(41434)(2222-+=-+=-+=+=t t t t t t k t f ------12分即当2-=t 时，tt k 2+的最小值为47-.---------------14分。