衢州、湖州、丽水20189月三地市高三年级教学质量检测试题数学试题

衢州、湖州、丽水2018年9月三地市高三教学质量检测试卷数学考生须知：（与答题卷上的要求一致）1．全卷分试卷和答题卷，考试结束后，将答题卷上交。

2．试卷共4页，有3大题，22小题。

满分150分，考试时间120分钟。

3．答题前，请务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

4.请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效。

作图时先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

选择题部分（共40分）一、选择题：本大题有10小题，每小题4分，共40分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}0A x x =>，{}(2)(1)0B x x x =-+<，则A B =A ．(0,2)B ．(0,1)C ．(1,2)-D ．(1,)-+∞2. ()61x +展开式中含4x 项的系数是 A ．36CB ．46C C ．56C D ．66C3. 若,x y 满足约束条件0,3,2,x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩3z x y =+的最大值是A ． 6B ．7C ．8D ．9 4. 已知等比数列{}n a 满足1322a a a +=-，则公比q =A ．1-B ． 1C ． 2-D ． 25. 已知a 为实数，“1a >”是“23a a <”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6. 已知随机变量ξ的分布列如右所示若2E ξ=，则D ξ的值可能是A ．43 B.32C. 2D.23（第8题图）7. 已知,a b 是正实数，若22a b +≥，则A ．12ab ≥ B.22142b a +≥ C. 1122a b+≥ D.221a b +≥ 8. 如图，11122233,,OA B A A B A A B ∆∆∆等的等边三角形，且123,,,O A A A 若点123,,P P P 分别是边112233,,AB A B A B 上的动点，记113I OB OP =⋅，222I OB OP =⋅，331I OB OP =⋅，则 A ．321I I I >> B.132I I I >> C.312I I I >> D.213I I I >> 9. 已知函数21()(0)f x ax bx a x=+->有两个不同的零点12,x x ，则 A ． 12120,0x x x x +<< B ． 12120,0x x x x +>>C ． 12120,0x x x x +<>D ． 12120,0x x x x +><10. 已知三棱柱ABC A B C '''-，AA '⊥平面ABC ，P 是A B C '''∆内一点，点,E F 在直线BC 上运动，若直线PA 和AE 所成角的最小值与直线PF 和平面ABC 所成角的最大值相等，则满足条件的点P 的轨迹是 A ．直线的一部分 B ．圆的一部分 C ．抛物线的一部分 D ．椭圆的一部分非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11. 已知复数i(1i)z =+，i 为虚数单位，则z 的虚部是 ▲ ，z = ▲ ．12. 双曲线2213y x -=的焦距是 ▲ ，离心率的值 是 ▲ .13. 某几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图均为腰长为1(单位：cm )的等腰直角三角形， 则该几何体的表面积是 ▲ 2cm ，体积是 ▲ 3cm .正视图 侧视图俯视图14. 已知ABC ∆面积为2，60A ∠=，D 是边AC 上一点，2AD DC =,2BD =，则AB = ▲ ，cos C = ▲ ．15. 将9个相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，且每个盒子中球的个数互不相同，则不同的分配方法共有 ▲ 种.16. 已知向量a 和单位向量b 满足22a b a b +=-，则a b ⋅的最大值是 ▲ . 17. 若,x y 是实数，e 是自然对数的底数，()23ln 213x y ey x x ++-≤-++，则2x y += ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.（本题满分14分）已知函数()2cos cos (0)f x x x x ωωωω=->的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈127,40ππx 且()21330-=x f ，求02cos x 的值.19．（本题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，且//AD BC ，BC CD ⊥,60ABC ∠=，22BC AD ==，3PC =，PAB ∆是正三角形，E 是PC 的中点．（Ⅰ）求证：//DE 平面PAB ；（Ⅱ）求直线BE 与平面PAB 所成角的正弦值．PABCDE20.（本题满分15分）设正项数列}{n a 的前n 项和为n S ，12a =，且2211,3,1n n S S ++-成等差数列()n *∈N .（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；12111112n S S S <+++≤ ()n *∈N .20.（本题满分15分）已知F 是抛物线2:2(0)T y px p =>的焦点，点()1,P m 是抛物线上一点，且2PF =,直线l 过定点()4,0，与抛物线T 交于,A B 两点，点P 在直线l 上的射影是Q .（Ⅰ）求,m p 的值；（Ⅱ）若0m >，且2PQ QA QB =⋅，求直线l22. （本题满分15分）已知函数()()21ln ()2R f x x x a x x a =+-+∈ （Ⅰ） 若函数()f x 无极值点，求a 的取值范围； （Ⅱ） 若3122a a x ≤≤≤， 记(),M a b 为()()g x f x b =-的最大值， 证明：()1,ln 24M a b ≥-.衢州、湖州、丽水2018年9月三地市高三教学质量检测数学答案及评分标准一、选择题：二、填空题：11.1 12. 4，21，1614. 2，715. 18 16. 4 17. 83- 三、解答题：18.已知函数()2cos cos (0)f x x x x ωωωω->的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈127,40ππx 且()21330-=x f ，求02cos x 的值.解（Ⅰ）()21cos 2cos cos 222xf x x x x x ωωωωω+=-=-1sin(2)62x πω--.......................................4分因为T π=，所以1ω=.............................................................6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1()sin(2)62f x x π=--01()32f x =-，所以0sin(2)63x π-=因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈127,40ππx ，所以02,63x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦..............................................8分因为0sin(2)632x π-=<所以022,63x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，0cos(2)6x π-=..................................10分00003cos 2cos(2)cos(2)cos sin(2)sin 6666666x x x x ππππππ=-+=---=-.........14分19．在四棱锥P ABCD -中，E 是侧棱PC 的中点，PAB ∆是正三角形，四边形ABCD 是直角梯形，且//AD BC ，BC CD ⊥,60ABC ∠=，22BC AD ==，3PC =． （Ⅰ）求证：//DE 平面PAB ；（Ⅱ）求直线BD 与平面PAB 所成角的正弦值．解；（Ⅰ）取PB 的中点F ，连,EF AF ，---------------2分 因为EF 是PBC 的中位线，所以//EF BC ，且12EF BC =因为//AD BC ，12AD BC =，所以四边形EFAD 是平行四边形， 所以//DE AF ，----------------------4分又因为DE ⊄平面PAB ，AF ⊂平面PAB ， 所以//DE 平面PAB -----------------6分B PA CEFQG（Ⅱ）取AB 中点Q ，连,PQ CQ ，因为PAB ∆是正三角形，所以PQ AB ⊥，------------8分 在直角梯形ABCD 中，因为60ABC ∠=，22BC AD ==，计算得2AB AC ==，所以CQ =CQ AB ⊥，------------10分 所以AB ⊥平面PCQ ，即平面PCQ ⊥平面PAB ，过点E 作EG PQ ⊥，垂足是G ，连BG ，则EBG ∠即是直线BD 与平面PAB 所成角，------12分则PQC ∆中，3PQ QC PC ===，所以3sin 304EG PE ==，又2BE =，--------14分所以sin EG EBG BE ∠==，-----------------------15分 所以直线BE与平面PAB ．解法2：如图，以D 为原点，,DA DC 为x 轴，y 由已知条件得，2AB =，DC =，所以()0,0,0D ，()1,0,0A ，()C ，()B 设(),,P x y z ，由()()((22222222214249x y z x y z x y z ⎧-++=⎪⎪-+-+=⎨⎪⎪+-+=⎩得94P ⎛ ⎝⎭分所以5342AP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()1,AB =，由560x z x ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩得平面PAB 的法向量是()3,3,2n =--，----------------12分又73,84BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，-----------------------14分sin BE n BE nθ⋅==分所以直线BD 与平面PAB ． 20.设正项数列}{n a 的前n 项和为n S ，12a =，且2211,3,1n n S S ++-成等差数列()n *∈N .（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；12111112n S S S <+++≤ ()n *∈N . 解：（Ⅰ）由题2214n n S S +-=，214S =---------------2分所以数列{}2n S 是以为4首项，4为公差的等差数列，所以 24n Sn =，又0n a >，所以0n S >，所以nS =--------------4分 当2n ≥时，1n n n a S S -=-=当1n =时，12a =也满足上式，所以N n *∀∈都有n a =--------------6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知n S =，所以1nS==>=分所以121111nS S S+++>---------------------------------------------------10分又因为1(2)nnS=<=≥------------------12分当2n≥时1211111112nS S S S+++≤+=------------------14分当1n=时上式也成立12111112nS S S<+++≤()Nn*∈---------------------15分21．已知F是抛物线2:2(0)T y px p=>的焦点，点()1,P m是抛物线上一点，且2PF=,直线l过定点()4,0，与抛物线T交于,A B两点，点P在直线l 上的射影是Q.（Ⅰ）求,m p的值；（Ⅱ）若0m>，且2PQ QA QB=⋅，求直线l的方程．解：（Ⅰ）由2PF=得，122p+=，所以2p=，-------------------------2分将1,x y m==代入22y px=得，2m=±，--------------------------4分（Ⅱ）因为0m >，由（1）知点()1,2P ，抛物线2:4T y x =，设直线l 的方程是4x ny =+，由244x ny y x=+⎧⎨=⎩得，24160y ny --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则124y y n +=，1216y y ⋅=-，-----------------------6分因为2PQ QA QB =⋅，所以PA PB ⊥，所以0PA PB ⋅=,且124n ≠+，----------8分所以()()()()121211220x x y y --+--=，且32n ≠-，------------------------------10分由()()()()121233220ny ny y y +++--=，得，()()()21212132130ny y n y y ++-++=，()()()2161324130n n n -++-+=，24830n n ++=，--------------------13分解得，32n =-（舍去）或12n =-，所以直线l 的方程是：142x y =-+，即280x y +-=．---------------------15分（Ⅱ）解法二：因为0m >，由（1）知点()1,2P ，抛物线2:4T y x =，设直线l 的方程是4x ny =+，由244x ny y x=+⎧⎨=⎩得，24160y ny --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则124y y n +=，1216y y ⋅=-，------------------6分由()421x ny y n x =+⎧⎪⎨-=--⎪⎩解得Q 点的纵坐标是02231n y n -=+，------------------8分PQ =， -------------------------------------------10分()()()210201QA QB n y y y y ⋅=-+--()()22001164n ny y =-+--+，-------------------------------12分 因为2PQ QA QB =⋅，所以()()()()()22222222342323116111n n n n PQ n n n n ⎛⎫+-- ⎪==++- ⎪+++⎝⎭化简得24830n n ++=， 解得，32n =-（舍去）或12n =-， ---------------------------14分所以直线l 的方程是：142x y =-+，即280x y +-=．--------------------15分22．已知函数()()21ln ()2R f x x x a x x a =+-+∈ （Ⅰ） 若函数()f x 无极值点，求a 的取值范围；（Ⅱ） 若3122a a x ≤≤≤， 记(),M ab 为()()g x f x b =-的最大值， 证明：()1,ln 24M a b ≥-.解：（Ⅰ）由题意()()()xx a x x x a a x x f 111'+-+=--+=()()xx a x 1+-= -----------------------------------3分由()'0,0x f x >=得a x =，又()x f 无极值点，所以0a ≤---------------------5分（Ⅱ）因为2a ≥，由（Ⅰ）可知()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a ,2上单调递减，()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,a a 上单调递增， 又()3ln 2234492122322+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a a a a a f a f ()03ln 1<-=a所以 322a a f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-----------------------------------7分 所以当 322a a x ≤≤时，()()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤2a f x f a f 又因为 ()()(),,,2a M a b f b M a b f a b⎛⎫≥-≥- ⎪⎝⎭-----------------------------------9分所以 ()()()2,22-a a M a b f b f a b f f a ⎛⎫⎛⎫≥-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-------------------------------11分即 ()()221112,ln 2ln 22ln 2282822a a a M a b f f a a a a ⎛⎫⎛⎫≥-=-+=+-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()1,ln 24M a b ≥-，当且仅当()()412ln 212,2--=+==f f b a 时取等号-------15分。