高中数学必修四的综合测试与答案

必修四综合测试
1．若α为第二象限角，则下列各式恒小于零的是( ) A ．sin α＋cos α B ．tan α＋sin α C ．cos α－tan α
D ．sin α－tan α
解析 由α为第二象限角知，sin α>0，tan α<0，由三角函数线知|tan α|>sin α. ∴－tan α>sin α，即sin α＋tan α<0.答案 B 2．依据三角函数线，作出如下判断：
①sin π6＝sin 7π6；②cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π4＝cos π4；③tan π8>tan 3π5；④sin 3π5>sin 4π
5.
其中正确的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 答案 C
3．函数y ＝cos2x 在下列哪个区间上是减函数( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π4，π4 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π4，3π4 C.⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π2 D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π 解析 ∵y ＝cos2x ，∴2k π≤2x ≤π＋2k π(k ∈Z )，
即k π≤x ≤π
2＋k π(k ∈Z )．∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )为y ＝cos2x 的单调递减
区间．而⎣
⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π2显然是上述区间中的一个．答案 C
4．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π2的值域是( )
A.⎝
⎛⎦⎥⎤
－32，12
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－12
，32
C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32，1 D.⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
12，1 解析 由0≤x ≤π2，得π6≤x ＋π6≤2π3，∴－12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤3
2，选B.
5．y ＝cos ⎝
⎛
⎭
⎪⎫x －π2＋tan(π＋x )是( )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．非奇非偶函数 解析 y ＝cos ⎝
⎛
⎭
⎪⎫x －π2＋tan(π＋x )＝sin x ＋tan x .
∵y ＝sin x ，y ＝tan x 均为奇函数，∴原函数为奇函数．答案 A 6．把函数f (x )的图象向右平移π
12个单位后得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，则f (x )为( )
A ．sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋712π
B ．sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋34π
C ．sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x ＋5π12
D ．sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x －512π
解析 用x －π
12代换选项中的x ，化简得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的就是f (x )，代入选项C ，有f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋5π12＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋π3.答案 C
7．若非零向量a ，b 互为相反向量，则下列说法错误的是( )
A ．a ∥b
B ．a ≠b
C ．|a |≠|b |
D ．b ＝－a
解析 根据相反向量的定义：大小相等，方向相反，可知|a |＝|b |.
答案 C
8．给出下列四个结论：
①AB →＝AO →＋OB →； ②AB →－AC →＝BC →
；
③AB →＋BC →＋CA →
＝0; ④|a ＋b |≥|a －b |. 其中错误的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
解析 ①正确，②错误，∵AB →－AC →＝AB →＋CA →＝CB →≠BC →
.③错误，∵AB →＋BC →＋CA →
＝0≠0.④错误，当a 与b 方向相反时，有|a ＋b |<|a －b |.综上知，仅①正确，故选C.
9．已知两点A (2，－1)，B (3,1)，与AB →
平行且方向相反的向量a 可能是( )
A ．(1，－2)
B ．(9,3)
C ．(－1,2)
D ．(－4，－8)
解析 AB →
＝(3－2,1＋1)＝(1,2)，
∵(－4，－8)＝－4(1,2)，∴(－4，－8)满足条件．答案 D 10．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)满足(k a ＋b )∥c ，则k ＝( )
A ．3
B ．－3 C.13 D ．－1
3 解析 k a ＋b ＝(k －1，k ＋1)，
由(k a ＋b )∥c ，得2(k －1)－4(k ＋1)＝0，解得k ＝－3. 11．已知α，β都是锐角，下列不等式中不成立的是( )
A ．sin α＋cos α>1
B ．sin α－cos α<1
C ．sin(α＋β)>sin(α－β)
D ．cos(α＋β)>cos(α－β)
解析 令α＝β＝30°，则cos(α＋β)＝1
2，cos(α－β)＝1，故cos(α＋β)<cos(α－β)．因此选项D 是不成立的．答案 D 12．sin15°＋cos15°的值是( )
A.32
B.22
C.62 D ．－6
2
解析 sin15°＋cos15°＝sin(45°－30°)＋cos(45°－30°)
＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＋cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝2
2×32－22×12＋22×32＋22×12＝6
2.答案 C
13．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R )的最小正周期为________，最大值为________．
解析 f (x )＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫12sin x －3
2cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3. ∴最小正周期T ＝2π，最大值为2.答案 2π 2
14．若角α的正弦线的长度为3
4，且方向与y 轴的正方向相反，则sin α的值为________． 答案 －3
4
15．化简：sin A ＋sin2A
1＋cos A ＋cos2A
＝________.
解析 原式＝sin A ＋2sin A cos A cos A ＋2cos 2
A ＝sin A (1＋2cos A )
cos A (1＋2cos A )＝tan A . 答案 tan A
16．若tan x ＝2，则2cos 2
x
2－sin x －1
sin x ＋cos x
＝________.
解析 2cos 2
x
2－sin x －1sin x ＋cos x ＝cos x －sin x sin x ＋cos x ＝1－tan x tan x ＋1
＝1－2
2＋1＝22－3. 答案 22－3
17．已知tan2α＝1
2，则tan α的值为________．
解析 由tan2α＝2tan α1－tan 2α＝12，整理可得：tan 2
α＋4tan α－1＝0.解得：tan α＝－2±5.答案 －2±5
18．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝4
5，β是第三象限的角，求sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫β＋π4的值．
解 sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α
＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝4
5， ∴sin β＝－45. 又β是第三象限的角，∴cos β＝－3
5. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝sin βcos π4＋cos βsin π4＝－45×22－35×22＝－72
10.
19．已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x .
(1)求f (x )的最小正周期．(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π6，π2上的最大值和最小
值．
解 (1)因为f (x )＝2sin(π－x )cos x ＝2sin x cos x ＝sin2x ， 所以函数f (x )的最小正周期为π. (2)由－π6≤x ≤π2⇒－π
3≤2x ≤π， 所以－3
2≤sin2x ≤1，
所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π2上的最大值为1，最小值为－3
2.
20．已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－1
2.
(1)求函数f (x )的最小正周期和值域； (2)若f (α)＝32
10，求sin2α的值．
分析 (1)先利用余弦的二倍角公式和辅助角公式将f (x )化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式．再求解．
(2)利用同角间三角函数关系与二倍角正弦公式求值．
解 (1)由已知f (x )＝cos 2
x 2－sin x 2cos x 2－12＝12(1＋cos x )－12sin x －1
2
＝22cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π4.
所以函数f (x )的最小正周期为2π，值域为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
－22，22.
(2)由(1)知，f (x )＝22cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π4＝3210，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35. ∴cos α－sin α＝325，平方得1－sin2α＝1825. ∴sin2α＝7
25.。