简单的线性规划典型例题
线性规划典型例题
例1：生产计划问题某工厂明年根据合同，每个季度末向销售公司提供产品，有关信息如下表。
若当季生产的产品过多，季末有积余，则一个季度每积压一吨产品需支付存贮费O.2万元。
现该厂考虑明年的最佳生产方案，使该厂在完成合同的情况下，全年的生产费用最低。
试建立模型。
解：法1 设每个季度分别生产x1,x2,x3,x4则要满足每个季度的需求x4≥26x1+ x2≥40x1+ x2+ x3≥70x1+ x2+ x3+ x4=80考虑到每个季度的生产能力 0≤x1≤300≤x2≤400≤x3≤200≤x4≤10每个季度的费用为：此季度生产费用+上季度储存费用第一季度15.0x1第二季度14 x2 0.2(x1-20)第三季度15.3x3+0.2(x1+ x2-40)第四季度14.8x4+0.2(x1+ x2+ x3-70)工厂一年的费用即为这四个季度费用之和,得目标函数；minf=15.6 x1+14.4 x2+15.5 x3+14.8 x4-26s.t．x1+ x2≥40x1+ x2+ x3≥70x1+ x2+ x3+ x4=8020≤x1≤30 0≤x2≤40 0≤x3≤20 0≤x4≤10。
法2：设第i季度生产而用于第j季度末交货的产品数量为xij吨根据合同要求有：xll=20x12+x22=20x13+x23+x33=30x14+x24+x34+x44=10又根据每季度的生产能力有：xll+x12+x13+x14≤30x22+x23+x24≤40x33+x34≤20x44≤10第i季度生产的用于第j季度交货的每吨产品的费用cij=dj+0.2(j-i)，于是，有线性规划模型。
minf=15.Oxll+15.2x12+15.4xl3+15.6xl4+14x22+14.2x23+14.4x24+15.3 x33+15.5x34+14.8x44s．t． xll=20，x12+x22=20，x13+x23+x13=30，x14+x24+x34+x44=10，x1l+x12+x13+x14≤30，x22+x23+x24≤40，x33+x34≤20，x44≤10，xij≥0， i=1，…，4;j=1，…，4，j≥i。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述我们考虑一个典型的线性规划问题，假设有一个工厂需要生产两种产品：产品A和产品B。
工厂有两个生产车间：车间1和车间2。
生产产品A需要在车间1和车间2进行加工，而生产产品B只需要在车间2进行加工。
每一个车间的加工时间和加工费用都是不同的。
我们的目标是找到最佳的生产计划，使得总的加工时间和加工费用最小。
二、问题分析1. 定义变量：- x1：在车间1生产产品A的数量- x2：在车间2生产产品A的数量- y：在车间2生产产品B的数量2. 定义目标函数：目标函数是最小化总的加工时间和加工费用。
假设车间1生产产品A的加工时间为t1，车间2生产产品A的加工时间为t2，车间2生产产品B的加工时间为t3，车间1生产产品A的加工费用为c1，车间2生产产品A的加工费用为c2，车间2生产产品B的加工费用为c3，则目标函数可以表示为：Z = t1 * x1 + t2 * x2 + t3 * y + c1 * x1 + c2 * x2 + c3 * y3. 约束条件：- 车间1生产产品A的数量不能超过车间1的生产能力：x1 <= capacity1- 车间2生产产品A的数量不能超过车间2的生产能力：x2 <= capacity2- 车间2生产产品B的数量不能超过车间2的生产能力：y <= capacity2 - 产品A的总需求量必须满足：x1 + x2 >= demandA- 产品B的总需求量必须满足：y >= demandB4. 线性规划模型：综上所述，我们可以建立如下的线性规划模型：最小化 Z = t1 * x1 + t2 * x2 + t3 * y + c1 * x1 + c2 * x2 + c3 * y满足约束条件：- x1 <= capacity1- x2 <= capacity2- y <= capacity2- x1 + x2 >= demandA- y >= demandB- x1, x2, y >= 0三、数据和解决方案为了展示如何求解该线性规划问题，我们假设以下数据：- 车间1的生产能力为100个产品A- 车间2的生产能力为150个产品A和100个产品B- 产品A的总需求量为200个- 产品B的总需求量为80个- 车间1生产产品A的加工时间为2小时，加工费用为10元/个- 车间2生产产品A的加工时间为1小时，加工费用为8元/个- 车间2生产产品B的加工时间为3小时，加工费用为15元/个根据以上数据，我们可以得到线性规划模型如下：最小化 Z = 2 * x1 + 1 * x2 + 3 * y + 10 * x1 + 8 * x2 + 15 * y满足约束条件：- x1 <= 100- x2 <= 150- y <= 100- x1 + x2 >= 200- y >= 80- x1, x2, y >= 0接下来，我们可以使用线性规划求解器来求解该问题。
简单地线性规划典型例题
简单的线性规划典型例题例1画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≤-+-.0330402y x y x y x ，，表示的平面区域．分析：采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分．解：把0=x ，0=y 代入2-+-y x 中得0200<-+-∴ 不等式02≤-+-y x 表示直线02=-+-y x 下方的区域（包括边界），即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示．说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法．例2 画出332≤<-y x 表示的区域，并求所有的正整数解),(y x ．分析：原不等式等价于⎩⎨⎧≤->.3,32y x y 而求正整数解则意味着x ，y有限制条件，即求⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->∈∈>>.3,32,,,0,0y x y z y z x y x ． 解：依照二元一次不等式表示的平面区域，知332≤<-y x 表示的区域如下图：对于332≤<-y x 的正整数解，先画出不等式组．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->∈∈>>.3,32,,,0,0y x y z y z x y x 所表示的平面区域，如图所示．容易求得，在其区域内的整数解为)1,1(、)2,1(、)3,1(、)2,2(、)3,2(． 说明：这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来，然后在不等式组所表示的平面区域内找出符合题设要求的整数点来．例3求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤-+≥111x y x y 所表示的平面区域的面积．分析：本题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其面积．而要将平面区域作出来的关键又是能够对不等式组中的两个不等式进行化简和变形，如何变形？需对绝对值加以讨论．解：不等式11-+≥x y 可化为)1(-≥≥x x y 或)1(2-<--≥x x y ； 不等式1+-≤x y 可化为)0(1≥+-≤x x y 或)0(1<+≤x x y ． 在平面直角坐标系内作出四条射线)1(-≥=x x y AB ：， )1(2-<--=x x y AC ： )0(1≥+-=x x y DE ：，)0(1<+=x x y DF ：则不等式组所表示的平面区域如图由于AB 与AC 、DE 与DF 互相垂直， 所以平面区域是一个矩形．根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为22和223．所以其面积为23．例4若x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥+-≤-+.0104010230122y x y x y x ，，求y x z 2+=的最大值和最小值．分析：画出可行域，平移直线找最优解．解：作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示． 作直线z y x l =+2:，即z x y 2121+-=，它表示斜率为21-，纵截距为2z 的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线l 过点时，z 取得最大值，当l 过点B 时，z 取得最小值． ∴ 18822max =⨯+=z ∴ 2222min =⨯+-=z说明：解决线性规划问题，首先应明确可行域，再将线性目标函数作平移取得最值．例5 用不等式表示以)4,1(A ，)0,3(-B ，)2,2(--C 为顶点的三角形内部的平面区域．分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出来，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。
专题简单的线性规划含答案
专题简单(d e)线性规划含答案TPMK standardization office TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18高考复习专题：简单(de)线性规划专题要点简单(de)线性规划：能从实际问题中抽象出二元一次不等式组. 理解二元一次不等式组表示平面(de)区域,能够准确(de)画出可行域.能够将实际问题抽象概括为线性规划问题,培养应用线性规划(de)知识解决实际问题(de)能力.线性规划等内容已成为高考(de)热点,在复习时要给于重视,另外,不等式(de)证明、繁琐(de)推理逐渐趋于淡化,在复习时也应是注意.考查主要有三种：一是求给定可行域(de)最优解；二是求给定可行域(de)面积；三是给出可行域(de)最优解,求目标函数（或者可行域）中参数(de)范围.多以选择填空题形式出现,不排除以解答题形式出现. 考纲要求了解二元一次不等式(de)几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组；了解线性规划(de)意义并会简单应用. 典例精析线性规划是高考热点之一,考查内容设计最优解,最值,区域面积与形状等,通常通过画可行域,移线,数形结合等方法解决问题. 考点1：求给定可行域(de)最优解例1.（2012广东文）已知变量x 、y 满足约束条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+(de)最小值为（ ）A ．3B ．1C ．5-D ．6- 解析:C.画出可行域,可知当代表直线过点A 时,取到最小值.联立11x y x =-⎧⎨=-⎩,解得12x y =-⎧⎨=-⎩,所以2z x y =+(de)最小值为5-. 例2.（2009天津）设变量x,y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩.则目标函数z=2x+3y(de)最小值为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）23解析：画出不等式3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩表示(de)可行域,如右图,让目标函数表示直线332zx y +-=在可行域上平移,知在点B 自目标函数取到最小值,解方程组⎩⎨⎧=-=+323y x y x 得)1,2(,所以734min =+=z ,故选择B.发散思维：若将目标函数改为求x y z =(de)取值范围；或者改为求3+=x yz (de)取值范围；或者改为求22y x z +=(de)最大值；或者或者改为求()221y x z ++=(de)最大值.方法思路：解决线性规则问题首先要作出可行域,再注意目标函数所表示(de)几何意义,数形结合找出目标函数达到最值时可行域(de)顶点（或边界上(de)点）,但要注意作图一定要准确,整点问题要验证解决.练习1.（2012天津）设变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,则目标函数32z x y =-(de)最小值为（ ）A ．5-B ．4-C ．2-D ．3 解析做出不等式对应(de)可行域如图,由y x z 23-=得223zx y -=,由图象可知当直线223z x y -=经过点)2,0(C 时,直线223zx y -=(de)截距最大,而此时y x z 23-=最小为423-=-=y x z ,选B.练习2．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤10≤y ≤22y －x ≥1下,(x －1)2＋y 2(de)最小值为________．解析 在坐标平面内画出题中(de)不等式组表示(de)平面区域,注意到(x －1)2＋y 2可视为该区域内(de)点(x ,y )与点(1,0)之间距离,结合图形可知,该距离(de)最小值等于点(1,0)到直线2y －x ＝1(de)距离,即为|－1－1|5＝255. 答案 255练习3、（2011广东文、理数）已知平面直角坐标系xOy 上(de)区域D 由不等式组给定．若M （x,y ）为D 上(de)动点,点A(de)坐标为,则z=•(de)最大值为（ ） A 、3 B 、4 C 、3 D 、4 解答：解：首先做出可行域,如图所示： z=•=,即y=﹣x+z 做出l 0：y=﹣x,将此直线平行移动,当直线y=﹣x+z 经过点A 时,直线在y 轴上截距最大时,z 有最大值． 因为A （,2）,所以z(de)最大值为4故选B练习4.（2011福建）已知O 是坐标原点,点A(－1,1),若点M(x,y)为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥2x≤1y≤2上(de)一个动点,则OA →·OM →(de)取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2] 分析 由于OA →·OM →＝－x ＋y,实际上就是在线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥2x≤1y≤2下,求线性目标函数z ＝－x ＋y(de)最大值和最小值．解析 画出不等式组表示(de)平面区域(如图),又OA →·OM →＝－x ＋y,取目标函数z ＝－x ＋y,即y ＝x ＋z,作斜率为1(de)一组平行线．当它经过点C(1,1)时,z 有最小值,即zmin ＝－1＋1＝0；当它经过点B(0,2)时,z 有最大值,即zmax ＝－0＋2＝2.∴z(de)取值范围是[0,2],即OA →·OM →(de)取值范围是[0,2],故选C.考点2：求给定可行域(de)面积例3．在平面直角坐标系中,不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x 表示(de)平面区域(de)面积为（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．43 答案c考点3：给出最优解求目标函数（或者可行域）中参数例4．(2012广州一模文数)在平面直角坐标系中,若不等式组20,20,x y x y x t +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤表示(de)平面区域(de)面积为4,则实数t (de)值为A ．1B ．2C ．3D ．4 答案B练习5.（2009福建卷文）在平面直角坐标系中,若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（α为常数）所表示(de)平面区域内(de)面积等于2,则a (de)值为A. -5B. 1C. 2D. 3 解析解析 如图可得黄色即为满足010101=+-≥-+≤-y ax y x x 的可行域，而与(de)直线恒过（0,1）,故看作直线绕点（0,1）旋转,当a=-5时,则可行域不是一个封闭区域,当a=1时,面积是1；a=2时,面积是23；当a=3时,面积恰好为2,故选D. 练习6. 设二元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+0142,080192y x y x y x ，所表示(de)平面区域为M ,使函数y ＝a x (a ＞0,a ≠1)(de)图象过区域M (de)a (de)取值范围是c（A ）[1,3] (B)[2,10] (C)[2,9] (D)[10,9]练习7．设z ＝x ＋y ,其中x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0x －y ≤00≤y ≤k ,若z (de)最大值为6,则z (de)最小值为A ．－3B ．3C ．2D ．－2解析 如图所示,作出不等式组所确定(de)可行域△OAB ,目标函数(de)几何意义是直线x ＋y －z ＝0在y 轴上(de)截距,由图可知,当目标函数经过点A时,取得最大值,由⎩⎨⎧x －y ＝0y ＝k解得A (k ,k ),故最大值为z ＝k ＋k ＝2k ,由题意,得2k ＝6,故k ＝3.当目标函数经过点B 时,取得最小值,由⎩⎨⎧x ＋2y ＝0y ＝3解得B (－6,3),故最小值为z ＝－6＋3＝－3.故选A.答案 A练习8.（2012课标文）已知正三角形ABC(de)顶点A(1,1),B(1,3),顶点C 在第一象限,若点(x ,y )在△ABC 内部,则z x y =-+(de)取值范围是 （ ）A ．(1-3,2)B ．(0,2)C ．(3-1,2)D ．(0,1+3)命题意图本题主要考查简单线性规划解法,是简单题.解析有题设知C(1+3,2),作出直线0l :0x y -+=,平移直线0l ,有图像知,直线:l z x y =-+过B 点时,max z =2,过C 时,min z =13-,∴z x y =-+取值范围为(1-3,2),故选A. 练习9.（2012福建文）若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m+-≤⎧⎪⎪--≤⎨⎪≥⎪⎩,则实数m (de)最大值为（ ）A ．-1B ．1C ．32D ．2答案B解析30x y +-=与2y x =(de)交点为(1,2),所以只有1m ≤才能符合条件,B 正确. 考点定位本题主要考查一元二次不等式表示平面区域,考查分析判断能力.逻辑推理能力和求解能力.练习10.（2012福建理）若函数2x y =图像上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m+-≤⎧⎪⎪--≤⎨⎪≥⎪⎩,则实数m (de)最大值为（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．2答案B解析30x y +-=与2x y =(de)交点为(1,2),所以只有1m ≤才能符合条件,B 正确. 考点定位本题主要考查一元一次不等式组表示平面区域,考查分析判断能力、逻辑推理能力和求解计算能力 考点四：实际应用与大题例5（2009四川卷理）某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元,该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨,B 原料不超过18吨,那么该企业可获得最大利润是 A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元 解析：设甲、乙种两种产品各需生产x 、y 吨,可使利润z 最大,故本题即已知约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+001832133y x y x y x ,求目标函数y x z 35+=(de)最大值,可求出最优解为⎩⎨⎧==43y x ,故271215max =+=z ,故选择D. 练习11. （2012四川理）某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克;生产乙产品1桶需耗A 原料2千克,B 原料1千克.每桶甲产品(de)利润是300元,每桶乙产品(de)利润是400元.公司在生产这两种产品(de)计划中,要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产(de)甲、乙两种产品中,公司共可获得(de)最大利润是 （ ） A ．1800元 B ．2400元C ．2800元D ．3100元 [答案]C[解析]设公司每天生产甲种产品X 桶,乙种产品Y 桶,公司共可获得 利润为Z 元/天,则由已知,得 Z=300X+400Y 且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00122122Y X Y X Y X 画可行域如图所示,目标函数Z=300X+400Y 可变形为Y=400z x 43+- 这是随Z 变化(de)一族平行直线解方程组⎩⎨⎧=+=+12y 2x 12y x 2 ⎩⎨⎧==∴4y 4x 即A(4,4) 280016001200max =+=∴Z[点评]解决线性规划题目(de)常规步骤:一列(列出约束条件)、二画(画出可行域)、三作(作目标函数变形式(de)平行线)、四求(求出最优解).练习12.(2012广州二模文数)甲、乙、丙三种食物(de)维生素含量及成本如下表所示：食物类型 甲 乙 丙 维生素C （单位/kg ） 300 500 300 维生素D （单位/kg ） 700 100 300成本（元/kg ） 5 4 3别为（1）试以,x y 表示混合食物(de)成本P ;（2）若混合食物至少需含35000单位维生素C 及40000单位维生素D ,问,,x y z 取什么值时,混合食物(de)成本最少(本小题主要考查线性规划等知识, 考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识)（1）解：依题意得100,543.x y z P x y z ++=⎧⎨=++⎩ …………… 2分由100x y z ++=,得100z x y =--,代入543P x y z =++, 得3002P x y =++. …………… 3分(1) 解:依题意知x 、y 、z 要满足(de)条件为0,0,0,30050030035000,70010030040000.x y z x y z x y z ≥≥≥⎧⎪++≥⎨⎪++≥⎩……… 6分把100z x y =--代入方程组得0,0,1000,250,25.x y x y x y y ≥≥⎧⎪--≥⎪⎨-≥⎪⎪≥⎩……如图可行域（阴影部分）(de)一个顶点为A (让目标函数2300x y P ++=在可行域上移动,由此可知3002P x y =++在A ()37.5,25………∴当37.5x =(kg),25y =(kg),37.5z =(kg)时, 点评解答线性规划应用题(de)一般步骤可归纳为:(1)审题——仔细阅读,明确有哪些限制条件,(2)转化——设元.写出约束条件和目标函数;(3)求解——关键是明确目标函数所表示(de)直线与可行域边界直线斜率间(de)关系;(4)作答——就应用题提出(de)问题作出回答.体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划.来年需要注意简单(de)线性规划求最值问题。
简单的线性规划参考例题(一)
参考例题[例1]某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲产品1吨，需要煤9吨，需电4瓦，工作日3个（一个2人劳动一天等于一个工作日），生产乙种产品1吨，需要用煤4吨，需电5瓦，工作日12个，又知甲产品每吨售价7万元，乙产品每吨售价12万元，且每天供煤最多360吨，供电最多200瓦，全员劳动人数最多300人，问每天安排生产两种产品各多少吨；才能使日产值最大，最大产值是多少？解：设每天生产甲种产品x 吨，乙种产品y 吨，则约束条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0,03001232005436049y x y x y x y x 线性目标函数为z =7x +12y .可行域如图所示：由图可知当过点（8135,2165）时，z 最大. z max =780（万元）答：最大产值为780万元.[例2]北京华欣公司计划在今年内同时出售“夜莺牌多功能”电子琴和“OK 智能型”洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大.己知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品有关数据如下表：解：设月供应量临时性子琴x 架，洗衣机y 台，利润z 元，即⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≥≤+≤++.,0,0,110105,3002030z x 、、y x y x y xz=6x+8y.作直线L ：6x+8y=0,即作直线L ：3x+4y=0.把直线L 向右上方平移至L ＇的位置时，直线L ＇过可行域上的M 点，且L ＇与原点距离最大.解方程组),,0,0(1101053002030+∈≥≥⎩⎨⎧=+=+Z x 、y x y x y x γ得⎩⎨⎧==,9,4y x得M 点坐标为（4，9）.将x=4,y=9代入z=6x+8y,得z=6×4+8×9=96（百元）为最大.所以，当月供应量为电子琴4架、洗衣机9台时，该店可获得最大利润为9600元.。
线性规划题及答案
线性规划题及答案引言概述：线性规划是运筹学中的一种数学方法，用于寻觅最优解决方案。
在实际生活和工作中，线性规划问题时常浮现，通过对问题进行建模和求解，可以得到最优的决策方案。
本文将介绍一些常见的线性规划题目，并给出详细的答案解析。
一、生产规划问题1.1 生产规划问题描述：某工厂生产两种产品A和B，产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
每天工厂有8小时的生产时间，产品A每单位需要2小时，产品B每单位需要3小时。
问工厂每天应该生产多少单位的产品A 和产品B，才干使利润最大化？1.2 生产规划问题答案：设产品A的生产单位为x，产品B的生产单位为y，则目标函数为Max Z=100x+150y，约束条件为2x+3y≤8，x≥0，y≥0。
通过线性规划方法求解，得出最优解为x=2，y=2，最大利润为400元。
二、资源分配问题2.1 资源分配问题描述：某公司有两个项目需要投资，项目A每万元投资可获得利润2万元，项目B每万元投资可获得利润3万元。
公司总共有100万元的投资额度，问如何分配投资额度才干使利润最大化？2.2 资源分配问题答案：设投资项目A的金额为x万元，投资项目B的金额为y万元，则目标函数为Max Z=2x+3y，约束条件为x+y≤100，x≥0，y≥0。
通过线性规划方法求解，得出最优解为x=40，y=60，最大利润为240万元。
三、运输问题3.1 运输问题描述：某公司有两个仓库和三个销售点，每一个销售点的需求量分别为100、150、200，每一个仓库的库存量分别为80、120。
仓库到销售点的运输成本如下表所示，问如何安排运输方案使得总成本最小？3.2 运输问题答案：设从仓库i到销售点j的运输量为xij，则目标函数为Min Z=∑(i,j) cij*xij，约束条件为每一个销售点的需求量得到满足，每一个仓库的库存量不超出。
通过线性规划方法求解，得出最优的运输方案，使得总成本最小。
四、投资组合问题4.1 投资组合问题描述：某投资者有三种投资标的可选择，预期收益率和风险如下表所示。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每种产品的生产需要消耗不同的资源，且每种产品的利润也不同。
公司希望通过线性规划来确定生产计划，以最大化利润。
二、数据分析1. 资源消耗情况：- 产品A每单位需要消耗3个资源1和2个资源2；- 产品B每单位需要消耗2个资源1和4个资源2。
2. 利润情况：- 产品A每单位利润为10；- 产品B每单位利润为15。
3. 资源限制：- 资源1的总量为30个；- 资源2的总量为40个。
三、数学建模1. 定义变量：- 设生产的产品A数量为x，产品B数量为y。
2. 建立目标函数：- 目标函数为最大化利润，即Maximize Z = 10x + 15y。
3. 建立约束条件：- 资源1的消耗约束：3x + 2y ≤ 30；- 资源2的消耗约束：2x + 4y ≤ 40；- 非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0。
四、求解将目标函数和约束条件带入线性规划模型，使用合适的求解方法，例如单纯形法、内点法等，求解得到最优解。
五、结果分析根据求解结果，得到最优解为x = 6，y = 6，此时利润最大为Z = 150。
意味着公司应该生产6个产品A和6个产品B，才能达到最大利润。
六、敏感性分析为了进一步了解模型的稳定性和可行性，可以进行敏感性分析。
通过改变资源数量、利润等参数，观察最优解的变化情况，以评估模型的可行性和鲁棒性。
七、结论根据线性规划模型的求解结果和敏感性分析，可以得出以下结论：- 公司应该生产6个产品A和6个产品B，以达到最大利润。
- 如果资源数量发生变化，最优解可能会有所调整。
- 如果产品利润发生变化，最优解也会相应变化。
综上所述，通过线性规划模型，我们可以帮助公司制定最优的生产计划，以达到最大利润。
同时，敏感性分析可以提供决策者对模型的可行性和鲁棒性的评估，为决策提供参考依据。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每个产品的生产需要消耗不同的资源。
现在公司希望通过线性规划来确定每种产品的生产数量，以最大化利润。
已知产品A每个单位的利润为10元，产品B每个单位的利润为15元。
同时，产品A每个单位需要消耗2个资源X和3个资源Y，产品B每个单位需要消耗4个资源X和1个资源Y。
公司总共有40个资源X和30个资源Y可供使用。
二、数学建模1. 假设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。
2. 目标函数：最大化利润。
利润可以表示为10x + 15y。
3. 约束条件：a) 资源X的约束条件：2x + 4y ≤ 40b) 资源Y的约束条件：3x + y ≤ 30c) 非负约束条件：x ≥ 0，y ≥ 0三、求解过程1. 根据数学建模中的目标函数和约束条件，可以得到如下线性规划模型：最大化：10x + 15y约束条件：2x + 4y ≤ 403x + y ≤ 30x ≥ 0，y ≥ 02. 使用线性规划求解方法，可以得到最优解。
通过计算，得到最优解为x = 6，y = 6，利润最大化为180元。
四、结果分析根据最优解，可以得知最大利润为180元，其中产品A的生产数量为6个，产品B的生产数量为6个。
同时，资源X还剩余28个，资源Y还剩余24个。
五、灵敏度分析对于线性规划问题，灵敏度分析可以帮助我们了解目标函数系数和约束条件右端项的变化对最优解的影响。
1. 目标函数系数的变化：a) 如果产品A的利润提高到12元，产品B的利润保持不变，重新求解线性规划模型可以得到新的最优解。
新的最优解为x = 8，y = 4，利润最大化为168元。
b) 如果产品A的利润保持不变，产品B的利润提高到20元，重新求解线性规划模型可以得到新的最优解。
新的最优解为x = 4，y = 7，利润最大化为190元。
2. 约束条件右端项的变化：a) 如果资源X的数量增加到50个，资源Y的数量保持不变，重新求解线性规划模型可以得到新的最优解。
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简单的线性规划典型例题求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积.某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?参考答案例1：依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积.｜x－1｜+｜y－1｜≤2可化为或其平面区域如图：或或∴面积S=×4×4=8画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.例2：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么z=252x+160y，作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小.观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点（2，5）时，满足上述要求.此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时，zmin=252×2+160×5=1304.答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低.用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.篇二：不等式线性规划知识点梳理及经典例题及解析线性规划讲义【考纲说明】（1）了解线性规划的意义、了解可行域的意义；（2）掌握简单的二元线性规划问题的解法．（3）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；（4）会用画网格的方法求解整数线性规划问题．（5）培养学生的数学应用意识和解决问题的能力．【知识梳理】简单的线性规划问题一、知识点1. 目标函数: Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函数，称为目标函数． 2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域. 3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务. 1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若直线不过原点，通常选择原点代入检验．3. 平移直线ｙ＝－kｘ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.积储知识：一．1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=02. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B0时，Ax0+By0+C当B0时，Ax0+By0+C03. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B0时，Ax0+By0+C当B0时，Ax0+By0+C0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同,（2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反,即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)02.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)0 二.二元一次不等式表示平面区域:①二元一次不等式Ax+By+C0（或0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不．包括边界;②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地, 当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。
方法二：利用规律：1.Ax+By+C0,当B0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），当B0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）;2.Ax+By+C0,当B0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）当B0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）。
四、线性规划的有关概念：①线性约束条件：②线性目标函数：③线性规划问题：④可行解、可行域和最优解：【经典例题】一．建构数学?4x?y?10?4x?3y?20?1．问题：在约束条件?下，如何求目标函数P?2x?y的最大值？?x?0??y?0首先，作出约束条件所表示的平面区域，这一区域称为可行域，如图（1）所示．其次，将目标函数P?2x?y变形为y??2x?P的形式，它表示一条直线，斜率为，且在y轴上的截距为P．平移直线y??2x?P，当它经过两直线4x?y?10与4x?3y?20的交点A(,5)时，直线在y轴上的截距最54大，如图（2）所示．因此，当x?555,y?5时，目标函数取得最大值2??5?7.5，即当甲、乙两种产品分别生产t和5t时，可44454获得最大利润7.5万元．这类求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题．其中(,5)使目标函数取得最大值，它叫做这个问题的最优解．对于只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．说明：平移直线y??2x?P时，要始终保持直线经过可行域（即直线与可行域有公共点）．二．数学运用?x?4y??3?例1．设z?2x?y，式中变量x,y满足条件?3x?5y?25，求z的最大值和最小值．?x?1?解：由题意，变量x,y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域．由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当x?0,y?0时，z?2x?y?0，即点(0,0)在直线l0：2x?y?0上，作一组平行于l0的直线l：2x?y?t，t?R，可知：当l在l0的右上方时，直线l上的点(x,y)满足2x?y?0，即t?0，而且，直线l往右平移时，t随之增大．由图象可知，当直线l经过点A(5,2)时，对应的t最大，当直线l经过点B(1,1)时，对应的t最小，所以，zmax?2?5?2?12，zmin?2?1?1?3．yx?1CA x?4y?3?0O3x?5y?25?0x?x?4y??3?例2．设z?6x?10y，式中x,y满足条件?3x?5y?25，求z的最大值和最小值．?x?1?解：由引例可知：直线l0与AC所在直线平行，则由引例的解题过程知，当l与AC所在直线3x?5y?25?0重合时z最大，此时满足条件的最优解有无数多个，当l经过点B(1,1)时，对应z最小，∴zmax?6x?10y?50，zmin?6?1?10?1?16．?2x?y?3?0?例3．已知x,y满足不等式组?2x?3y?6?0，求使x?y取最大值的整数x,y．?3x?5y?15?0?解：不等式组的解集为三直线l1：2x?y?3?0，l2：2x?3y?6?0，l3：3x?5y?15?0所围成的三角形内部y（不含边界），设l1与l2，l1与l3，l2与l3交点分别为A,B,C，则A,B,C坐标分别为Al1(8,4)，B(0,?3)，7512C(,?)，l3A 1919作一组平行线l：x?y?t平行于l0：x?y?0，当l往l0右上方移动时，t随之增大，153OCl2x63∴当l过C点时x?y最大为，但不是整数解，1975又由0?x?知x可取1,2,3，19当x?1时，代入原不等式组得y??2，∴x?y??1；当x?2时，得y?0或?1，∴x?y?2或1；当x?3时，y??1，∴x?y?2，?x?2?x?3故x?y的最大整数解为?或?．?y?0?y??1例4．投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？解：设生产A产品x百吨，生产B产品y米，利润为S百万元，?2x?3y?14?2x?y?9?则约束条件为?，目标函数为S?3x?2y．?x?0??y?0作出可行域（如图），3S3S3Sx?，它表示斜率为?，在y轴上截距为的直线，平移直线y??x?，当它经__-__5S135过直线与2x?y?9和2x?3y?14的交点(,)时，最大，也即S最大．此时，S?3??2??14.75．__将目标函数变形为y??因此，生产A产品3.25百吨，生产B产品2.5米，利润最大为1475万元．说明：（1）解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出约束条件（要注意考虑数据、变量、不等式的实际含义及计量单位的统一）；③建立目标函数；④求最优解．一、对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．三、画区域1. 用不等式表示以A(1,4)，B(?3,0)，C(?2,?2)为顶点的三角形内部的平面区域．分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。