含参数的线性规划问题求解
04第四章线性规划的求解法
第四章 线性规划的求解法当线性规划的变量和约束条件比较多，而初始基本可行解又不知道时，是不容易用尝试的方法得到初始基本可行解的，何况有可能基本可行解根本就不存在。
在此时，大M 法可能是应付此类情况的一个行之有效的算法。
§4.1 大M 法的原理当初始基本可行解不知道时，则1.，2.两个特点不能兼得，即下列两条件不能兼得： 1. 中心部位具有单位子块； 2. 右列元素非负；这时可以先用容许的运算使由列为非负，然后在中心部位人为添加一个单位子块。
如下例所述： 例4.1123123123123min 32..323624,,0z x x x s tx x x x x x x x x =-+++-=-+-=-≥ （4.1.1）列成表格：上述第三张表中人工增加了两个变量45,x x ，称为人工变量，即把原来的约束条件改为：1234123512345..323624,,,,0s tx x x x x x x x x x x x x +-+=-++=≥ （4.1.2） 式（4.1）和（4.2）的约束方程组并不同解，但（4.1）的解和（4.2）中450x x ==的解是相对应的。
只要找到以（4.2）为约束条件，且人工变量45,x x 均为自由变量的基本可行解，也就找到了（4.1）的基本可行解，于是，要设法迫使450x x ==。
以上途径通过修改（4.1）的目标函数来实现。
具体修改为：12345min 32z x x x Mx Mx =-++++ （4.1.3）其中M 为足够大的正数，然后以（4.2）为约束条件，求（4.3）的最小值。
只要45,x x 不为零，就一定为正数，于是目标函数的值就会增加它们和的M 倍。
由于M 为足够大的正数，所以只要原问题有基本可行解，就不会在45,x x 取正值时达到最小值。
本例中把表改为：通过运算使它具备第三个特点：底行相应于单位子块位置的元素为0，然后再严格按照单纯形法的步骤求解：由于M 为足够大的正数，所以-3-4M 应视为负数，故选它。
线性规划问题的求解
线性规划问题的求解线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下最大化或最小化目标函数。
线性规划的应用非常广泛，包括生产计划、投资组合、运输问题、资源分配等。
在实际问题中，线性规划可以帮助我们做出最佳决策，达到最优化的效果。
线性规划的一般形式可以表示为：Max (or Min) C^T * XSubject to:A * X <= BX >= 0其中，C是目标函数的系数向量，X是决策变量向量，A是约束条件的系数矩阵，B是约束条件的右侧向量。
线性规划的求解方法有很多种，常用的方法有单纯形法、内点法、分支定界法等。
这些方法通过迭代计算寻找目标函数最大（或最小）值的最优解。
在这些方法中，单纯形法是最为常用且效果较好的方法之一。
单纯形法的基本思想是通过不断交替改变基本变量和非基本变量的值来接近最优解。
初始时，选择一个基本可行解。
然后，通过计算单位增大量（reduced cost）判断是否已经到达最优解。
如果还有正的单位增大量，就选择它对应的非基本变量作为进入变量。
接着，通过计算比率（ratio）决定离开变量。
重复这个过程直到达到最优解。
单纯形法虽然是一种有效的求解线性规划的方法，但当问题规模较大时，计算复杂度会非常高。
因此，针对大规模问题，研究者们不断提出改进的算法，如内点法。
内点法基于KKT条件，通过在可行域的内部搜索来找到最优解。
相较于单纯形法，内点法在求解大规模问题时更加高效。
除了单纯形法和内点法，分支定界法也是一种常用的求解线性规划问题的方法。
分支定界法是基于问题的整数性质进行求解的。
当某些决策变量必须是整数时，分支定界法能找到最优解。
该方法通过将问题划分为不同的子问题，并逐步排除不满足约束条件的解来逼近最优解。
线性规划问题的求解不仅仅限于上述方法，还有其他的求解算法。
根据具体问题的特点，选择合适的求解方法可以提高求解的效率和精度。
总之，线性规划是一种重要的数学优化方法，它在解决实际问题时起到了至关重要的作用。
线性规划的定义及解题方法
线性规划的定义及解题方法线性规划是一种数学建模技术，旨在解决在约束条件下，寻求最优解的问题。
它的实际应用十分广泛，例如管理学、经济学、物流学等领域。
线性规划可以分为单目标和多目标两种，但其中比较常见的是单目标线性规划。
本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。
一、线性规划的定义线性规划的定义是：在有限约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。
它通过数学模型的建立，将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式，从而寻找最优解。
通常，线性规划的目标是最大化或最小化某个变量，可以用以下的形式去表示：$$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$其中，$Z$为目标函数值，$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量，$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。
在线性规划中，会涉及到许多变量，这些变量需要受到一些限制。
这些限制可以用不等式或等式来表示，这些方程式被称为约束条件。
例如：$$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$$$X_i≥0, i=1,2,……, n $$这两个方程就代表了一些约束条件，例如目标函数系数的和不能超过某个值，若$X_i$为生产的产品数量，则需保证产量不能小于零等。
这些约束条件用于限制变量的取值范围，而目标函数则用于求解最优解。
二、线性规划的模型建立在建立线性规划模型时，需要考虑几个要素：1. 决策变量：它是模型求解的关键。
决策变量是指在模型中未知的数量，也就是需要我们寻找最优解的那些变量。
2. 目标函数：确定目标函数，既要知道最大化还是最小化，还要知道哪些变量是影响目标函数的。
3. 约束条件：约束条件通常是一组等式或不等式，代表问题的限制。
例如在一个工厂中最大的生产量、原材料的数量限制、人工的数量等等，这些都是约束条件。
4. 模型的参数：模型参数是指约束条件的系数和模型中的常数。
它们是从现实问题中提取出来的，由于模型的解法通常是数学的，因此需要具体的数值。
线性规划问题的Lingo求解
Lingo中参数设置与调整
01
参数设置
02
调整策略
Lingo允许用户设置求解器的参数， 如求解方法、迭代次数、收敛精度等 。这些参数可以通过`@option`进行 设置。
如果求解过程中遇到问题，如无解、 解不唯一等，可以通过调整参数或修 改模型来尝试解决。常见的调整策略 包括放松约束条件、改变目标函数权 重等。
02
比较不同方案
03
验证求解结果
如果存在多个可行解，需要对不 同方案进行比较，选择最优方案。
可以通过将求解结果代入原问题 进行验证，确保求解结果的正确 性和合理性。
感谢您的观看
THANKS
问题，后面跟随线性表达式。
02 03
约束条件表示
约束条件使用`subject to`或简写为`s.t.`来引入，后面列出所有约束条 件，每个约束条件以线性表达式和关系运算符（如`<=`, `>=`, `=`, `<`, `>`）表示。
非负约束
默认情况下，Lingo中的变量是非负的，如果变量可以为负，需要使用 `@free`进行声明。
问题的解通常出现在约束条件的边界上 。
变量通常是连续的。
特点 目标函数和约束条件都是线性的。
线性规划问题应用场景
生产计划
确定各种产品的最优生产量， 以最大化利润或最小化成本。
资源分配
在有限资源下，如何最优地分 配给不同的项目或任务。
运输问题
如何最低成本地将物品从一个 地点运输到另一个地点。
金融投资
03
求解结果
通过Lingo求解，得到使得总加工时间最短的生产计划安 排。
运输问题优化案例
问题描述
某物流公司需要将一批货物从A地运往B地，可以选择不同的运输方式和路径，每种方式和路径的运输时间和成本不 同。公司需要在满足货物送达时间要求的前提下，选择最优的运输方式和路径，使得总成本最低。
线性规划的建模技巧和求解
线性规划的建模技巧和求解线性规划是一种数学优化方法，用于确定一个或多个线性方程的最佳解。
它在许多领域有广泛应用，如生产、物流、金融等。
下面将介绍线性规划的建模技巧和求解方法。
一、线性规划的建模技巧：1. 确定决策变量：首先要确定需要决策的变量，这些变量决定了模型的目标函数和约束条件。
变量可以表示限制条件或可供选择的决策。
2. 确定目标函数：目标函数是需要优化的目标，可以是最大化或最小化。
一般情况下，目标函数是由决策变量的线性组合构成的。
3. 确定约束条件：约束条件是限制决策变量的条件，包括等式约束和不等式约束。
约束条件可以是资源的限制、技术要求等。
4. 确定约束集：约束集是所有约束条件的集合，它定义了可行解的范围。
在确定约束集时，需要将每个约束条件转化为决策变量的线性等式或不等式。
5. 确定可行域：可行域是约束集在决策变量空间中的几何图形。
可行域是一个多面体或多面体的集合，其中每个面都由一个或多个约束条件定义。
6. 确定边界条件：边界条件是可行域的边界，在边界上的解是目标函数的极值点。
通过分析边界条件，可以确定是否存在最优解以及在哪个边界上可以找到最优解。
二、线性规划的求解方法：1. 图形法：图形法适用于二维情况，可以将可行域和目标函数的等值线绘制在一个坐标系中，通过观察交点找到最优解。
但是，图形法只适用于简单的问题，对于复杂问题无法使用。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划求解方法。
它通过迭代的方式从可行域的某个顶点开始，逐步向更优解迭代，直到找到最优解。
单纯形法的思想是寻找一个可以改进目标函数值的方向，并且每次改进保证不会违反约束条件。
3. 对偶理论：线性规划问题的对偶问题可以通过原问题的约束条件和目标函数得到。
通过对偶问题的求解，可以得到原问题的最优解、最优解的相应目标值以及松弛变量的价值。
4. 整数规划：如果决策变量是整数变量，那么线性规划问题称为整数规划问题。
整数规划问题的求解通常比线性规划问题要困难得多，因为整数变量会引入离散性。
线性规划问题的图解法
j
0 0 j c j c i a ij
bi 其中： i a kj 0 a kj
单纯形法的计算步骤
例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
A
0
E
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
D
| 1 | 2 | 3 | 4
4—
3— 2— 1— 0
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16 4 x2 12 x1 + 2x2 8
4—
3— 2— 1— 0
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x2
X1 + 1.9X2 = 11.4 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （ 0， 2）
D
43=5X1+4X2
可行域
线性规划问题的解
规划问题有无界解。
二、单纯形法的矩阵描述
在线性规划问题的标准型：
Max z CT X
s.t.
AX X
b 0
中，不妨设 B ( p1, p2 , , pm ) 是一个可行基，则系数矩阵Ａ可分块为
（Ｂ，Ｎ）。对应于Ｂ的基变量
基：A中任何一组m个线性无关的列向量构 成的子矩阵,称为该问题的一个基（basis）,
与中的这些列向量对应的变量称为基变量 （basic variable）
基本解：对于基,令非基变量为零,求得满足 （1-13）的解，称为基对应的基本解（basic solution）。
基本可行解：满足（1-14）的基本解 称为基本可行解（basic feasible solution）；基本可行解所对应的基称 为可行基（feasible basis）。
为，X B (x1, x2 , , xm )T 为 X N (xm1, xm2 , , xn )T
，非基变量 ，Ｎ
＝ ( pm1, pm2 , , pn )
。并令C T
(C
T B
,
C
T N
)
，其
中 B 为基变量X B的系数列向量，N 为
非基变量的系数列向量。于是原问题可化
为
Max
0
x
0 l
a lj
由（1-22）式得
（1-22）
xi0
aij
0 0
(i l) (i l)
（1-23）
故 X (1) 是一个可行解
3、最优性检验和解的判别
将基本可行解 X (0) 和 X (1) 分别代入目标函数得
线性规划问题的两种求解方式
线性规划问题的两种求解方式线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好。
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
解决线性规划问题常用的方法是图解法和单纯性法，而图解法简单方便，但只适用于二维的线性规划问题，单纯性法的优点是可以适用于所有的线性规划问题，缺点是单纯形法中涉及大量不同的算法，为了针对不同的线性规划问题，计算量大，复杂繁琐。
在这个计算机高速发展的阶段，利用Excel建立电子表格模型，并利用它提供的“规划求解”工具，能轻松快捷地求解线性模型的解。
无论利用哪种方法进行求解线性规划问题，首先都需要对线性规划问题建立数学模型，确定目标函数和相应的约束条件，进而进行求解。
从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤；1、根据所求目标的影响因素找到决策变量；2、由决策变量和所求目标的函数关系确定目标函数；3、由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。
以下是分别利用单纯形法和Excel表格中的“规划求解”两种方法对例题进行求解的过程。
例题：某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时分别为1台时、2台时，所需原材料A分别为4单位、0单位，所需原材料B分别为0单位、4单位，工厂中设备运转最多台时为8台时，原材料A、B的总量分别为16单位、12单位。
每生产出I、II产品所获得的利润为2和3，问I、II两种产品的生产数量的哪种组合能使总利润最大？问题的决策变量有两个：产品I的生产数量和产品II的生产数量；目标是总利润最大；需满足的条件是：(1)两种产品使用设备的台时<= 台时限量值(2) 生产两种产品使用原材料A、B的数量<= 限量值(3)产品I、II的生产数量均>=0。
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3. 若x,y满足
x y 1 x y 1 2 x y 2
且 z ax 2 y 仅在点(1,0)处取得最小值 ， 则a 的取值范围是
A.(－1，2) C.(－4，0]
D
B.(－2，4) D.(－4，2)
几何概型：
1、 点A为圆周上一定点，在圆周上等 可能的取一点B与点A连接，所得弦长超 过半径的根号2的概率为是多少？ 2、在等腰直角三角形ABC中，在斜边 AB上任取一点M，使得AM<AC的概率 （改成在 三角形ABC的内部取一点M做 射线AM,使得AM<AC的概率为？）
含有参数的线性规 划问题求解
1.已知
，
满足约束条件，
若
1 A. 4
的最小值为1 ，则
1 B. 2 C.1
B
D.2
6.若实数
x, y 满足不等式组 ,
目标函数 t x 2 y 的最大值为2，则 实数 a 的值是(D ) A.-2 B.0 C.1 D.2
x 2 0 , y -1 0, x 2 y a 0,
2. 已知变量 x, y 满足约束条件 ，
x 2 y 3 0 x 3y 3 0 y 1 0 若目标函数 z y ax 仅在点(3, 0)处取到最 大值，则实数 a 的取值范围为
B
A.(3,5)
1 B.( , ) 2
C.( 1, 2)
1 D.( ,1) 3
表示的平面区域是一个三角形，则a 的 取值范围是 C
4 D.0 a 1或a 3
4 A.a 3 B.0 a 1 4 C.1 a 3
y x 7.设 m 1，在约束条件 y mx x y 1 下，目标函数 z x my 的最 大值小于2，则 m的取值范围 为( A )
3、公共汽车等候的时间5分钟一班，准 时到达车站，一人在该车站等车时间少于 3分钟的概率是多少？
4.若直线y=2x上存在点（x,y）满足约束条件
x y 3 0, x 2 y 3 0 xm
则实数m的最大值为 A.-1 B.1
B
3 C. 2
D.2
x y0 5.若不等式组 2 x y 2 y 0 x ya
A.(1,1 2)
B.(1 2, )
C.(1,3)
D.(3, )