含参数的线性规划问题
线性规划中的参数问题-高三数学备考冲刺
问题25 线性规划中的参数问题一、考情分析线性规划是高考必考问题,常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题,是线性规划中的难点,其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值． 二、经验分享(1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和即可． 3．目标函数中,x y 的系数均含参数【例3】设x ,y 满足约束条件221x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩,若目标函数的最小值为2,则ab 的最大值为 ． 【答案】41．【点评】本题主要考查最优解的求法以及均值不等式的应用．应明确若可行域是封闭的多边形,最优解一般在多边形的顶点处取得．应用均值不等式时需注意“一正、二定、三相等”,缺一不可．【小试牛刀】设变量y x ,满足约束条件,且的最小值是20-,则实数=a ． 【答案】2±【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图所示,由图知,当经过点(2,2)A 时取得最小值20-,即,解得2a =±．4．目标函数为非线性函数且含有参数【例4】设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+01,0,4x x y y x 表示的平面区域为D ．若圆()0>r 不经过区域D 上的点,则r 的取值范围是( )A ．[]52,22 B ．(]23,22 C ．(]52,23D ．【答案】D ．【点评】本题的关键是给出目标函数的实际意义,即圆与可行域无公共点的问题．对于目标函数为平方型：,可看成可行域内的点(),P x y 与定点(),Q a b 两点连线的距离的平方,即；也可看成是以(),Q a b 为圆心为半径的圆,转换为圆与可行域有无公共点的问题．【点评】线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是：一,准确无误地作出可行域；二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错；三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. (三)目标函数及约束条件中均含参数【例6】设,1>m 在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥1y x mx y xy 下,目标函数my x z +=的最大值大于2,则m 的取值范围为（ ）．A ．()21,1+B ．()+∞+,21 C ．()3,1 D ．()+∞,3 【答案】B【小试牛刀】设x ,y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7,则a =（A ）-5 （B ）3 （C ）-5或3 （D ）5或-3 【答案】B五、迁移运用1．【陕西省西安市高新一中2019届高三一模】若满足，且的最小值为，则的值为（）A．3 B． C． D．【答案】D【解析】由得，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小值为，即，则，当时，，即，同时也在直线上，代入可得，解得，故选D．6．【山东省聊城市第一中学2019届高三上学期期中】设，满足约束条件，若的最大值为，则的最小值为（）A．4 B． C． D．【答案】D【解析】作出x，y满足约束条件所表示的平面区域，7．【湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考】已知点(x，y)是不等式组表示的平面区域内的一个动点，且目标函数的最大值为7，最小值为1，则（）A．1 B．－1 C．2 D．－2【答案】B【解析】由目标函数的最大值为7，最小值为1，联立方程和，解得A(3，1)，B(1，－1)，由题意知A ，B 两点在直线上，所以解得a ＝－1，b ＝1.故选B.8.不等式组（1k >）所表示平面区域的面积为S ,则1kSk -的最小值等于（ ） A ．30 B ．32C ．34D ．36【答案】B【解析】,所以,当且仅当2k =时取等号,所以选B. 13.三个正数a,b,c 满足,,则ba的取值范围是（ ） A ．23[,]32 B ．2[,2]3 C ．3[1,]2D ．[1,2] 【答案】A14.已知x ,y 满足不等式组0,0,,2 4.x y x y s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时,目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是( ) （A ）[6,15] （B ）[7,15] （C ）[6,8]（D ）[7,8]【答案】D ．【解析】当3s =时,对应的平面区域为阴影部分,由y x z 23+=得,平移直线由图象可知当直线经过点C 时,直线的截距最大,此时3,24x y y x +=⎧⎨+=⎩解得12x y =⎧⎨=⎩,即(1,2)C ,代入y x z 23+=得7z =．当5s =时,对应的平面区域为阴影部分ODE,由y x z 23+=得,平移直线由图象可知当直线经过点E 时,直线的截距最大,此时024x y x =⎧⎨+=⎩解得04x y =⎧⎨=⎩,即(0,4)E ,代入y x z 23+=得8z =．∴目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是78z ≤≤,即[7,8],选D ．15.已知y x ,满足约束条件,若恒成立,则实数k 的取值范围为 . 【答案】6≥k16．【北京市朝阳区2018年高三一模】已知实数,x y满足若取得最小值的最优解有无数多个,则m的值为__________．【答案】1【解析】z mx y=+可化为y mx z=-+,0m-<, z取得最小值,则直线l的截距最小,最优解有无数个,即l与边界AB重合,故1m=,故答案为1.22．若不等式组126axyx yx y≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个四边形,则实数a的取值范围是_______．【答案】()3,5．。
数学线性规划试题答案及解析
数学线性规划试题答案及解析1.在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的区域上一动点，则直线斜率的最小值为 .【答案】【解析】不等式组表示的区域如图，当取得点时，直线斜率取得最小，最小值为．故选C．2.若实数满足其中，若使得取得最小值的解有无穷多个，则等于．【答案】2．【解析】表达式可看成是定点与动点连线斜率（点在所给不等式组表示的平面区域内），如图，动直线过定点，为使满足题意的点有无穷多个，此时直线应过，从而【考点】本题考查含参数的二元一次不等式组表示平面区域等知识，意在考查画图、用图及计算能力.3.设实数满足条件，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为，直线经过可行域，尽可能地向下平移经过点时取到最大值，即的最大值为.【考点】本题考查线性规划等基础知识，意在考查学生数形结合思想的运用能力和基本运算能力．4.已知实数满足：，则的最小值为 .【答案】【解析】画出可行域及直线..，如图所示.平移直线，当经过点时，直线的纵截距最大，所以，．【考点】本题考查简单线性规划的应用等知识，意在考查作图、识图、用图的能力及数形结合思想．5.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝ () A．4 650元B．4 700元C．4 900元D．5 000元【答案】C【解析】设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则，目标函数z＝450x＋350y，画出可行域如图，当目标函数经过A(7,5)时，利润z最大，为4 900元6.若x，y满足约束条件则z＝3x－y的最小值为________．【答案】－1【解析】本小题主要考查线性规划最优解的应用，解题的突破口是正确作出可行域和平移目标函数曲线．利用不等式组，作出可行域，则目标函数直线过(0,1)时，z取最小值－1.7.已知变量满足约束条件，若的最大值为，则实数 .【答案】或（对1个得3分，对2个得5分）【解析】利用线性规划的知识画出不等式组表示的可行域如下图所示:其中点,根据线性规划的知识可得目标函数的最优解在只能是,当目标函数在点A处取得最优解时,有符合题意,当目标函数在点B处取得最优解时, 符合题意,当目标函数在C点取得最优解时, 无解,所以或,故填或.8.已知点满足约束条件，为坐标原点，则的最大值为．【答案】5【解析】作出可行域，得到当位于时，最大，其值为5.9.浙江理）设，其中实数满足，若的最大值为12，则实数________。
含参数的线性规划问题
线性规划
由目标函数几何意义求参数
3x y 6 0
【例3】(2009·山东)设x，y满足约束条件
x
y
2
0
，
x 0, y 0
若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12，则 2 3 的最
ab
小值为( )
(A) 25 (B) 8 (C)11 (D)4
含参数的线性规划问题 专题讲座
深圳市民办学校高中数学教师 欧阳文丰制作
平面区域与目标函数
复习回顾 目标函数的几何意义
1. z ax by 直线型，z表示纵截距的b倍 2. z ax by 点到直线距离型
3. z OA OB 转化为坐标形式或投影 4. z y b 斜率型
6
3
3
线性规划
x y 2
【 练 习2】 已 知x, y满 足 不等 式 组 y x 0,
x
0
目 标 函数z ax y只 在(1,1)处 取 最小 值 ，
则 有( )
A. a 1 B.a 1 C. a 1 D. a 1
线性规划
【练习3】(2010·安徽)设x,y满足约束条件
A. 5, 10 B.5，10 C. 0，5 D. 0，10
线性规划
【 练 习4】 已 知 函 数f ( x) 1 x3 1 ax2 bx 32
在 区 间 1,3上 单 调 递 减 ， 则a2 b2的 最 小 值 是__1__3____.
线性规划
【例5】已知函数y f ( x)在R上单调递增，函数 y f ( x 1)的图像关于点(1,0)对称，若对于任意 的x, y R,不 等 式f ( x2 6x 21) f ( y2 8 y) 0 恒 成 立 ， 则 x2 y2的 取 值 范 围 是________.
第6课含参数的线性规划
2 o 2
x
得4a+6b=12
2 3 ( 2 3)( 4a 6b) a b a b 12
13 b a 25 6 ab 6
成才之路黑白页59页2题
x y 0
若不等式组
2x
y
0
y
2
表示的区域是一个三角形
x y a
y
则实数a的取值范围
0 a 1或a 4 是______________3_.
若目标函数 z = ax + by (a>0,b>0 )的最大值为12，
则 2 3 的最小值为______________ ab
解：画出 3x-y-6≤0可行域
x-y+2≥0
y
x≥0,y≥0
将目标函数化为 y a x z
(4,6)
bb
a
2
∵a>o,b>0 ∴
k 0 b
在（4，6）取得最大值
A．[0，＋∞)
B．[ 2－1，＋∞) C．(－∞， 2＋1]
o 1x
D．[1－ 2，＋∞)
跟踪检测
y1
已知实数x、y满足
y
2
x
1
,
如果目标函数
x y m
z=x-y的最小值为-1，则m=_____. m=5
y
x+y=m
y=2x-1
x-y= -1
(2,3)
y=1
0
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y x
变式（A层）（11湖南）设m＞１，在约束条件
y
mx
下，目标函数 z x 5 y 最大值为４，
x y 1
含参的线性规划
4)（链接高考09安徽)若不等式组
高一数学线性规划试题答案及解析
高一数学线性规划试题答案及解析1.若实数、满足约束条件则的最大值是_________【答案】3【解析】画出可行域如下图所示，为目标函数在轴上的截距，画出的图像如图中虚线部分，平移直线过点时有最大值3．故答案为3．【考点】线性规划的应用．2.在直角坐标系中，已知点，，，点在三边围成的区域（含边界）上，且.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）用表示，并求的最小值.【答案】（1），（2）的最小值-1.【解析】（1）向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的.若已知有向线段两端点的的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程的思想的运用及运算法则的正确使用；（2）利用线性规划求目标函数的最值一般步骤：一画、二移、三求，其关键是准确的作出可行域，理解目标函数的意义；（3）在线性约束条件下，线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上取得最值.在解答选择题和填空题时可以根据可行域的顶点直接进行检验.试题解析：解（Ⅰ），∴....................5分由，，，8分设，直线过点时，取得最小值-1，即的最小值-1【考点】（1）向量的坐标表示;（2）线性目标函数的最值.3.已知点（3，1）和（- 4，6）在直线3x-2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a<-7或 a>24B．a="7" 或 a=24C．-7<a<24D．-24<a<7【答案】C【解析】由线性规划相关知识：两点位于直线的两侧，则一侧使得直线方程大于零，一侧使得直线方程小于零.即有,故选C.【考点】线性规划.4.实数满足，如果目标函数的最小值为，则实数b的值为_____ .【答案】8【解析】绘制平面区域可得：要使由最小值-2，则直线,在轴上有最大截距为2，且经过点B,由,又因B也在上，故有.【考点】线性规划.5.已知变量满足约束条件，若的最大值为，则实数．【答案】-1或．【解析】作出约束条件所对应的可行域:,由于的最大值为,所以直线必过点A(-2,3)或点B(4,3),因此有解得或,故应填入:-1或．【考点】线性规划．6.设动点满足,则的最大值是．【答案】100【解析】先画出可行域，根据目标函数可知最优解为C（20，0），带入目标函数得最大者为100【考点】线性规划问题7.已知变量，满足约束条件，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】依题意可画出不等式组所表示的的可行域，可知直线与的交点，作出直线：，平移直线，则可知当，时，的最小值为.【考点】线性规划.8.设变量、满足约束条件，则z＝2x＋3y的最大值为【答案】18【解析】变量x，y满足约束条件，表示的可行域为如图，所以z＝2x＋3y的最大值就是经过M即的交点（3，4）时，所以最大值为：3×2+4×3=18．故答案为：18．【考点】线性规划的应用.9.不等式组表示的平面区域的面积为 .【答案】9【解析】由题意得：平面区域为一个三角形及其内部，其中因此面积为【考点】线性规划求面积10.某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．求该公司从每天生产的甲、乙两种产品中，可获得的最大利润．【答案】该公司从每天生产的甲、乙两种产品中，可获得的最大利润为2800元.【解析】设公司每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，公司共可获得利润为z元/天，则由已知，得z=300x+400y．且画可行域如图所示，目标函数z=300x+400y可变形为解方程组得，即A(4，4).所以，Z=1200+1600=2800.所以，该公司从每天生产的甲、乙两种产品中，可获得的最大利润为2800元. 9分【考点】简单线性规划的应用点评：中档题，作为应用问题，解简单线性规划问题，要遵循“审清题意，设出变量，布列不等式组，画，移，解，答”等步骤。
线性规划题及答案
线性规划题及答案一、题目描述：假设某公司生产两种产品：A和B。
产品A每单位利润为10元，产品B每单位利润为8元。
生产一单位产品A需要消耗2个单位的原材料X和3个单位的原材料Y；生产一单位产品B需要消耗4个单位的原材料X和1个单位的原材料Y。
公司的生产能力限制为每天生产产品A不超过100个单位，生产产品B不超过80个单位。
原材料X每天供应量为180个单位，原材料Y每天供应量为150个单位。
为了最大化利润，公司应如何安排生产计划？二、解题思路：本题是一个线性规划问题，可以使用线性规划模型来解决。
首先，我们需要确定决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量：设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。
2. 目标函数：公司的利润最大化是我们的目标。
由于产品A每单位利润为10元，产品B每单位利润为8元，因此目标函数可以表示为：maximize 10x + 8y。
3. 约束条件：a) 生产能力限制：根据题目描述，每天生产产品A不超过100个单位，生产产品B不超过80个单位，可以得到以下约束条件：x ≤ 100y ≤ 80b) 原材料供应量限制：根据题目描述，原材料X每天供应量为180个单位，原材料Y每天供应量为150个单位，可以得到以下约束条件：2x + 4y ≤ 1803x + y ≤ 150c) 非负约束：生产数量不能为负数，可以得到以下约束条件：x ≥ 0y ≥ 0综上所述，我们可以得到线性规划模型如下：maximize 10x + 8ysubject to:x ≤ 100y ≤ 802x + 4y ≤ 1803x + y ≤ 150x ≥ 0y ≥ 0三、求解线性规划问题：通过线性规划求解器，我们可以得到最优解。
假设使用某线性规划求解软件，输入上述模型后，运行求解器，得到最优解如下：x = 50，y = 30利润最大值为：10 * 50 + 8 * 30 = 860元四、答案解析：根据线性规划求解结果，为了最大化利润，公司应按照以下生产计划进行生产：每天生产50个单位的产品A和30个单位的产品B，此时公司的利润最大化为860元。
含有参数的线性规划问题及其解法
边界直线的交点, 并且取得该最值时的目标函数所表示的直
线也经过这个交点, 此时形成三线共点的态势. 若最优解不
唯一, 则取得该最值时的目标函数所表示的直线必与某一边 界直线重合. 以上两点经验直取核心在解决线性规划的最值
等有关问题时具有很好的指导作用.
2. 目标函数含有参数
x + 2y − 3 0,
12
中学数学研究
2019 年第 3 期 (上)
含有参数的线性规划问题及其解法
浙江省绍兴市柯桥区钱清中学 (312025) 王红娟 湖北省阳新县高级中学 (435200) 邹生书
线性规划问题通常是指在线性约束条件下求线性目标 函数的最值问题, 其求解方法就是图解法. 根据二元不等式 组的解与坐标平面内点的对应关系, 将约束条件转化为平面 区域, 然后利用目标函数的几何意义求最优解和最值. 线性 规划问题将函数、方程、不等式和最值融为一体, 将代数与解 析几何有机联合, 将函数方程、数形结合和化归转化等数学 思想深透到问题的解决过程之中, 因此线性规划问题成为考 查考生能力和综合素养的良好载体. 其中含有参数的线性规 划问题, 对考生能力方面的要求更高, 从而使得问题难度大 增. 笔者通过统计发现含有参数的线性规划问题在高中较为 少见, 但在高考模拟考和联考中却风起云涌屡见不鲜, 下面 主要以模拟考试的题目为例, 分类解析这类问题的解法.
方法二 若二元一次不等式可化为 y > kx + b, 则其表
示的平面区域为直线 y = kx + b 的上半平面, 反之为该直线
的下半平面. 若二元一次不等式可化为 x > my + n, 则其确 定的平面区域为直线 y = kx + b 的右侧半平面, 反之为该直
线性规划问题 含参数问题
(1)一般地，二元一次不等式 Ax＋By＋C>0 在平面直角坐标 系中表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧的所有点组成的平面区域 (半平面)不含边界直线．不等式 Ax＋By＋C≥0 所表示的平面区 域(半平面)包括边界直线．
(2)对于直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点(x，y)，使得 Ax＋By＋C 的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其 坐标适合同一个不等式 Ax＋By＋C>0；而位于另一个半平面内 的点，其坐标适合另一个不等式 Ax＋By＋C<0.
解:(1)不等式 x-y+5≥0 表示直线 x-y+5=0 上及右下方的点的集 合.x+y≥0 表示直线 x+y=0 上及右上方的点的集合,x≤3 表示直线 x=3 上
及左方的点的集合.
������-������ + 5 ≥ 0, 所以,不等式组 ������ + ������ ≥ 0, 表示的平面区域如图阴影部分所示.
D．(0,1]∪43，＋∞
(1)解 x－y≥0， 不等式组2x＋y≤2， 表示的平面区域 x＋y＝a.
y≥0
如 求图A，(阴B影两部点分的)，坐标分别为23，23和(1,0)， 若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，
则直线 x＋y＝a 的 a 的取值范围
是
0＜a≤1
(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各 个不等式所表示的平面区域的公共部分．
x－ｙ＋５≥０
画出
x＋ｙ≥０ 表示的平面区域
判定方法2：当A>0时
Y
x+y=0
Ax+By+C>0表示直线右方区域；