含参的线性规划问题
一类含参数线性规划问题的解法
一类含参数线性规划问题的解法作者：张卫兵
来源：《高中生·高考》2019年第06期
目标函数中含参数的线性规划问题近年来在高考中时常出现，如何解决此类问题呢？下面举例加以说明，
小结在目标函数z=ax+by中含参数（a，b中仅有一个是参数，另一个是定值）的线性规划问题中，知道目标函数的最值就是知道目标函数对应的直线在y轴上的截距z/b（b≠0）的最值.为此，可将目标函数z=ax+by中的z用给定的最值代换，通过直线过定点的特征在可行域中找到符合条件的点，便可求出参数的值.
小结在目标函数z=ax+by中含参数（a，b中儀有一个是参数，另一个是定值）的线性规划问题中，知道目标函数过某一点M（x，y）时取最值，求参数的变化范围时，只需将直线z=ax+by的斜率k=-手（b≠0）与过点M（x，y）的交线的斜率进行比较，通过满足题意的斜率的范围来求出参数的范围，
小结在目标函数z=ax+by中含参数（a，b中仪有一个是参数，另一个是定值）的线性规划问题中，知道其中一个参数的变化范围，求目标函数的最值的变化范围时，只需将目标函数中的参数与直线ax+by=z的斜率k=a/b（b≠o）联系起来，由参数的变化范围得到斜率k=a/b （b≠0）的变化范围，以确定直线ax+by=0的位置，再平行移动直线ax+by=0，通过确定直线ax+by=z在y轴上的截距取最值时所经过的点的方法，求出z=ax+by的最值的变化范围.
（责任编校/冯琪）。
高一 数学 必修 不等式 第六讲 线性规划含参问题
知识要点
知 识 清 单
典题剖析
题型一：平面区域问题中的参量
x 1,
例
1．不等式组
x
y
4
0,
表示面积为
1
的直角三角形区域，则
k
的值为（
）
kx y 0
A．－2
B．－1
C．0
D．1
思路点拨：写出关于k的 面积关系是本题的关键． 突破点则在于作出符合题 意的画出可行域．
x
，
y
的不等式组
2x x y
y 1
0
0
，表示的平面区域为三A．充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
x 0
【易错典例】“
m=3
”是“关于
x
，
y
的不等式组
2x x y
y 1
0
0
，表示的平面区域为三角形”的（）
x y m 0
题型二：约束条件含参问题
x2y 0
例
2．设
z
x
y
，其中实数
x，y
满足
x
y
0
，若 z 的最大值为 6，则 z 的最小值为（
）
0 y k
A．－3
B．－2
C．－1
D．0
解题总结：首先
作出大致可行域， 然后讨论k的位置细 化可行域，接着根 据最优解反解k，最 后解出最小值．
题型三：目标函数含参问题
x 2
例
3．设
x，y
满足约束条件
3
x
y
1 ，若目标函数
z
ax
by
2020届线性规划中含参问题
件
y mx
下，目标函数 z x my 的最大值小
x y 1
于 2，则 m 的取值范围为
A. 1,1 2 B. 1 2,
（A ）
C. 1,3 D. 3,
练习
x2y5 0
1.设m为实数，若(x, y)
3 x 0
答案：[－2，1]
2x y 1 0,
例
2（8）设关于
x,
y
的不等式组
x
m
0,
表
y m 0
示 的 平 面 区 域 内 存 在 点 P(x0 , y0 ) ， 满 足
x0 2 y0 2 ，求得 m 的取值范围是（ C ）
（A） (, 4) 3
（C） (Байду номын сангаас 2) 3
x y
0 0
对应的可行域如图所示， x y 1
在此条件下，要使ax+by≤1恒成立,只要ax+by的最大
值不超过1即可. 令z=ax+by,则y a x z ,
bb
因为a≥0,b≥0,
则 1 a 0时,b 1 b
或 a 1时, a 1, b
（B）(, 1) 3
（D）(, 5) 3
练习
x y5 0
11.
若
x、y
满足不等式组
x3
时，恒
x y k 0
有 2x 4 y 6 ，则 k 的取值范围是1_1_≥_ k≥0 .
例 3(2011 年高考湖南卷理科 7)设 m 1, 在约束条
yx
走出含参变量的线性规划问题的解题陷阱
走出含参变量的线性规划问题的解题陷阱线性规划是沟通代数与几何的桥梁，是数形结合思想的集中体现.传统的线性规划问题主要研究的是在线性或非线性约束条件下求解目标函数的最值，就知识本身而言并不是难点.但是，近年来这类问题的命题设置在能力立意的命题思想指导下出现了新的动向：一方面将它与函数、方程、不等式、数列、平面向量、解析几何等知识交汇在一起；另一方面在这些问题背景中引进参变量，变换设问角度，提高思维强度，增加题目难度.下面我们对线性规划中参变量的新情景设置给出深度分析，帮助同学们走出思维误区，正确求解线性规划问题.一、约束条件中的参变量例1 已知实数,x y 满足01240y x y x y x my n ≥⎧⎪-≥⎪⎨+≤⎪⎪++≥⎩ ，若该不等式组所表示的平面区域是一个面积为54的直角三角形，则n 的值是 .例2 设变量,x y 满足约束条件037x y xx ay ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，其中1a >若目标函数z x y =+的最大值为4，则a 的值为 .例3 在平面直角坐标系中，设不等式组()003x y y n x >⎧⎪>⎨⎪≤--⎩所表示的平面区域为n D ，记n D 内的整点（即横、纵都为正整数的点）的个数为n a ，则n a = .例4 若实数,x y 满足不等式33023010x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，且x y +的最大值为9，则实数m = .例5 实数,,x y k 满足3010x y x y x k +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，若22z x y =+的最大值为13，则k = .例6 已知由不等式组00240x y y kx y x ≤⎧⎪≥⎪⎨-≤⎪⎪--≤⎩，确定的平面区域Ω的面积为7，则k = .例7 已知点(,)P x y 满足条件020x y xx y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，若3z x y =+的最大值为8，则k = .例8 已知2z x y =+，,x y 满足2y xx y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且z 的最大值是最小值的4倍，则a = .例9 若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件0230x y x y x m +≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的最大值为 .例10 若不等式组0220x y x y y x y a-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围为 .二、目标式中设置的参数值例1 已知实数,x y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a = .例2 设,x y 满足约束条件3602000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数z ax by=+()0,0a b >>的最大值为12，则23a b+的最小值为 .例3 已知区域D ：1010330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，的面积为S ，点集(){},1T x y D y kx =∈≥+在坐标系中对应区域的面积为12S ，则k = .例4 已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a = .例5 已知变量,x y 满足约束条件23033010x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数z ax y=+(0)a >其中仅在点()1,1处取得最大值，则a 的取值范围为.例6 设实数,x y 满足约束条件3602000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为10，则22a b +的最小值为 .例7 设,x y 满足不等式组60210320x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，若z ax y =+当且仅当在点()2,4处取最大值，在点()1,1处取最小值，则实数a 的取值范围为 .例8 已知实数,x y 满足1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7，则34a b+的最小值为 .三、其他类例1 在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l上的投影.由区域20340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，中的点在直线20x y +-=上的投影构成的线段AB ，则AB = .例2 在平面直角系中，O 是坐标原点，两定点,A B 满足OA OB =2OA OB ==，则点集{},1,,P OP OA OB λμλμλμ=++≤∈R 所表示的区域的面积为 .例3 若两个正数,a b 满足24a b +<，则222b z a +=-的取值范围为 .例4 若实数,x y 满足不等式组523010y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最大值为.例5 若不等式组1010102x y x y y ⎧⎪+-≤⎪-+≥⎨⎪⎪+≥⎩，表示的区域为Ω，不等式221124x y ⎛⎫-+≤⎪⎝⎭表示的区域为Γ，在Ω中任取一点P ，则点P 落在区域Γ中的概率为 .例6 已知正数,,a b c 满足：534,ln ln c a b c a c b a c c -≤≤-≥+，则b a的取值范围是 .例7 已知实数,x y 满足()21y xx y a a x ≥⎧⎪+≤>⎨⎪≥⎩，22223y xy x x -+的最大值为6，则实数a = .例8 已知实数,x y 满足约束条件104312020x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则211x y z x -+=+的最大值为 .例9 已知不等式组3410043x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为A B 、，当APB ∠最大时，cos APB ∠=.例10 设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为 .例11 设,x y 满足约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩，且z x ay =+的最小值为7，则a= . 答案：一、 1.32- 2.2 3.3n 4.1 5.26.1-7.6-8.149.1- 10.(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、 1.12-或 2.256 3.13 4.2 5.10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭6.25137.(]2,0- 8.7三、 1.2. 3.()3,1- 4.14 5.3236π+ 6.[],7e 7.4 8.459.1210.18 11.3。
高考数学专题：线性规划中目标函数含参数问题
高考数学专题：线性规划中目标函数含参数问题一、单选题1．已知变量,x y 满足约束条件302902x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩,若使z ax y =+取得最小值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( ) A ．{}2,0-B ．{}1,2-C ．{}0,1D ．{}2,0,1-2．设,x y 满足不等式组60{210320x y x y x y +-≤--≤--≥，若z ax y =+的最大值为24a +，最小值为1a +，则实数a 的取值范围是A ．[2,1]-B ．[1,2]-C ．[3,2]--D ．[3,1]-3．若满足约束条件且目标函数取得最大值的点有无数个，则的最小值等于（ ） A ．B ．C ．D ．4．设满足约束条件，则目标函数的最大值为11，则的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．85．已知满足约束条件，若2≤m≤4，则目标函数的最大的变化范围是（ ）A ．[1,3]B ．[4,6]C ．[4,9]D ．[5,9] 6．实数x ，y 满足1|1|12x y x +≤≤-+时，目标函数z mx y =+的最大值等于5，则实数m 的值为（ ） A ．1-B ．12-C ．2D ．57．若实数，满足约束条件，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为，，则函数当且仅当在点处取得最大值的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．8．若不等式组，所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则= A ．B ．C ．D ．二、填空题9．设第一象限内的点(x ，y )满足约束条件26020x y x y --≤⎧⎨-+≥⎩,若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为40，则5a ＋1b的最小值为_____. 10．已知不等式1010220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ，若对任意的(),x y D ∈，不等式20x y t --≥恒成立，则实数t 的最大值为__________11．已知实数x ，y 满足线性约束条件1050250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数()z y ax a R =-∈取最小值时有无数个最优解，则实数a 的取值是______.12．已知实数,x y 满足不等式组20,40,250,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩若当且仅当1x =，3y =时，y ax -取得最大值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+?B ．[)1,+∞C ．()1,1-D ．()0,113．已知实数,x y 满足00220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪++⎩………，若10ax y a -+-≥恒成立，则实数a 的取值范围是____________.14．若,x y 满足21y x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩,若z x my =+的最大值为53，则实数m =________.15．已知实数,x y 满足22222x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，若(0)z x my m =->的最大值为4，则(0)z x my m =->的最小值为__________．16．设实数x ，y 满足条件，若的最小值为0，则实数的最小值与最大值的和等于 ．17．若实数,x y 满足不等式组40{23801x y x y x +-≤--≤≥，目标函数z kx y =-的最大值为12，最小值为0，则实数k =__________．参考答案1．B 【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由z ax y =+得y ax z =-+，若0a =，则直线y ax z z =-+=，此时z 取得最小值的最优解只有一个，不满足题意；若0a ->，则直线y ax z =-+在y 轴上的截距取得最小值时，z 取得最小值，此时当直线y ax =-与直线290x y --=平行时满足题意，此时2a -=，解得2a =-；若0a -<，则直线y ax z=-+在y 轴上的截距取得最小值时，z 取得最小值，此时当直线y ax =-与直线30x y +-=平行时满足题意，此时1a -=-，解得1a =.综上可知，2a =-或1a =，故选B. 2．A 【解析】试题分析：由z ax y =+得，直线是斜率为，轴上的截距为的直线，做出不等式组对应的平面区域如图，则，，∵z ax y =+的最大值为24a +，最小值为1a +，∴直线z ax y =+过点时，取得最大值为24a +，经过点时取得最小值为1a +，若，则，此时满足条件，若，则目标函数斜率，要使目标函数在处取得最小值，在处取得最大值，则目标函数的斜率满足，即，若，则目标函数斜率，要使目标函数在处取得最小值，在处取得最大值，则目标函数的斜率满足，即，综上-2≤a≤1，故选A ．3．C试题分析：由题意得，由，所以，故直线在截距为，作出平面区域如下，故，故直线，故过点时，目标函数由最小值，故选C．4．B【解析】试题分析：满足约束条件的区域是一个四边形，如图4个顶点是，由图易得目标函数在取最大值，即∴，∴，在时是等号成立，∴的最小值为．5．D 【解析】试题分析：如下图所示，画出不等式组所表示的区域，作直线：，，则可知当，时，，故选D ．6．B 【解析】画出可行域如图所示，化z mx y =+ 为y mx z =-+，当01m >->-即1m < 时，目标函数在点()4,3A - 处取得最值，即()1435,2z m m =⨯-+==-；当1,m -≤-即m 1≥ 时，目标函数在点()0,2B 处取得最值2，与题意不符（舍）故选B7．A【解析】如图所示，不等式组满足的可行域为直线的斜率，且该直线在轴的截距越大，就越大，所以要使当且仅当在点处取得最大值需满足点共计有个，其中满足的有27个，所以所求概率为故答案选8．C试题分析：作出可行域，求出点的坐标,,；恒过点，所以当直线经过的中点时，直线将平面区域分成面积相等的两部分，则，解得.9．9 4【解析】不等式表示的平面区域阴影部分，当直线ax+by=z(a>0,b>0)过直线x−y+2=0与直线2x−y−6=0的交点(8,10)时，目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大40，即8a+10b=40，即4a+5b=20，而515145555912044544a b b aa b a b a b+⎛⎫⎛⎫+=+=+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…当且仅当545b aa b=时取等号，则51a b+的最小值为94.10．5-解：由已知不等式组对应的可行域如图中阴影部分所示：可求得()3,4A，()0,1B，()1,0C.当直线2z x y=-经过点()3,4A，时，直线的纵截距最大，z最小min3245Z∴=-⨯=-，5t∴≤-.故答案为：5-.11．1-或2如图所示，不等式组1050250x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩表示区域为以A、B、C三点构成的三角形区域（包含边界），将目标函数变形为y ax z =+，z 取最小值即为直线y ax z =+在y 轴上截距最小， 当0a =时，显然不满足； 当0a >时，结合图象可知，使得z 取最小值时有无数个最优解，直线y ax z =+与直线AC 平行， 此时2a =； 当0a <时，结合图象可知，使得z 取最小值时有无数个最优解，直线y ax z =+与直线BC 平行， 此时1a =-，综上所述，a =1-或2. 故答案为：1-或2. 12．A由题意作出其平面区域，将z y ax =-化为y ax z =+，z 相当于直线y ax z =+的纵截距， 则由图可知，当且仅当1x =，3y =时，y ax -取得最大值，即目标函数z y ax =-取得最大值时的唯一最优解是()1,3B ，则1a >， 故选：A .13．(,1]-∞-实数,x y 满足00220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪++⎩………的可行域如图：可知1x ≤-，由10ax y a -+-≥，可得：11y a x -≤-， 其中11y x --的几何意义是可行域内的点与()1,1D 连线的斜率， 由图形可知连线的斜率的最大值为011112BD k -==--， 最小值大于与直线0x y +=平行时的斜率，即11112y x --<≤-. 可得(,1]a ∈-∞-.故答案为：(,1]-∞-.14．2【解析】在平面直角坐标系内画出不等式组21y x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩表示的平面区域，是以点()0,0，1112,,2233⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭为顶点的三角形区域，显然0,1m ≠，当11m -≤-，即01m <<时，目标函数z x my =+在点11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭处取得最大值，则有511322m =+，解得713m =>，不符合题意；当110m -<<，即1m >时，目标函数z x my =+在点12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭处取得最大值，则有512333m =+，解得2m =，符合题意；当10m->，即0m < 时，目标函数z x my =+在11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭点处取得最大值，则有511322m =+，解得703m =>，不符合题意，综上所述，实数m 的值为2， 故答案为2.15．6-作出可行域如图：目标函数化简得：1z y x m m=-，因为0m >，故只可能在B ，C 处取最大值. 联立220220x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得B (2,2)--, 联立22020x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得C (0,2), 联立20220x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得A (2,0),若目标函数(0)z x my m =->过点A 时，2z =不符合题意，所以过C 时取得最大值，此时422m =-+，解得3m =，(0)z x my m =->过点C 时，min 6z =-.16．试题分析：若的最小值为0，则等价于与区域有交点，不等式组表示的平面区域如图，由，得，，由，得，当直线经过点时，，当经过点时，，则，故实数的最小值和最大值等于．17．3【解析】做出可行域如图，目标函数y kx z =-，当0k ≤时，显然最小值不可能为0，当0k >时，当y kx z =-过点()1,3时取最小值，解得3k =，此时y kx z =-过点()4,0时有最大值，符合题意，故填3k =．。
含参的线性规划问题
x 0 （3）点M（a, b)在 y 0 区域内， x+y 2 求N(a+b,a-b)所形成区域的面积
x y0 （4）不等式组 2 x y 2 y 0 x ya
表示的平面区域是一个三角形，则 取值范围是 D
4 D.0 a 1或a 3
命题点3 区域图形与面积
x+y-1 0 例3、（1）若不等式组 x-1 0 ax-y+1 0 所表示的平面区域的面积等于2，求a
1 1
D
x 0 例3（2）已知a>0，b 0，且 y 0 , x y 1 恒有ax+by 1,求点（a,b)所成区域的面积
含参数的线性规划（一）
平面区域与目标函数
复习回顾
目标函数的几何意义
直线型， z表示纵截距的 b倍 1. z ax by 2. z ax by+c 点到直线距离型 转化为坐标形式或投影 3. z OA OP yb 斜率型 4. z xa 2 2 5. z x y Dx Ey F 两点间距离型 2 2 6. z x y Dx Ey F 圆型 (距离平方 )
线性规划
由区域求参数
【 例1】 ( 2013 新 课 标 II )已 知a 0, x , y满 足 约 束 条 件 x 1 1， 则a ( ) x y 3 , 若z 2 x y的 最 小 值 为 y a ( x 3) 1 A. 4 1 B. 2 C.1 D. 2
4 A.a 3 B.0 a 件中含有参数时，注意直线是定点直线系、 • 还是平行直线系，使直线初步稳定。 • 2、目标函数中含有参数时，注意分析目标函数的 • 几何意义。 • 3、在线性规划问题可行域下的恒成立问题，一定要结合 • “可行域”将“恒成立”加以控制；或者转化为目标函 • 数的最值问题。
含有参数的线性规划问题及其解法
边界直线的交点, 并且取得该最值时的目标函数所表示的直
线也经过这个交点, 此时形成三线共点的态势. 若最优解不
唯一, 则取得该最值时的目标函数所表示的直线必与某一边 界直线重合. 以上两点经验直取核心在解决线性规划的最值
等有关问题时具有很好的指导作用.
2. 目标函数含有参数
x + 2y − 3 0,
12
中学数学研究
2019 年第 3 期 (上)
含有参数的线性规划问题及其解法
浙江省绍兴市柯桥区钱清中学 (312025) 王红娟 湖北省阳新县高级中学 (435200) 邹生书
线性规划问题通常是指在线性约束条件下求线性目标 函数的最值问题, 其求解方法就是图解法. 根据二元不等式 组的解与坐标平面内点的对应关系, 将约束条件转化为平面 区域, 然后利用目标函数的几何意义求最优解和最值. 线性 规划问题将函数、方程、不等式和最值融为一体, 将代数与解 析几何有机联合, 将函数方程、数形结合和化归转化等数学 思想深透到问题的解决过程之中, 因此线性规划问题成为考 查考生能力和综合素养的良好载体. 其中含有参数的线性规 划问题, 对考生能力方面的要求更高, 从而使得问题难度大 增. 笔者通过统计发现含有参数的线性规划问题在高中较为 少见, 但在高考模拟考和联考中却风起云涌屡见不鲜, 下面 主要以模拟考试的题目为例, 分类解析这类问题的解法.
方法二 若二元一次不等式可化为 y > kx + b, 则其表
示的平面区域为直线 y = kx + b 的上半平面, 反之为该直线
的下半平面. 若二元一次不等式可化为 x > my + n, 则其确 定的平面区域为直线 y = kx + b 的右侧半平面, 反之为该直
高三第一轮复习含参数的线性和非线性规划问题
含参数的线性和非线性规划问题【提纲挈领】主干知识归纳1．含参数的线性规划问题通常有两种：即线性约束条件中含有参数与目标函数中含有参数两问题. 方法规律总结1、线性约束条件中含有参数问题：可以根据条件先确定可行域上的边界点或者边界线,进而确定线性约束条件中所含有的参然值,然后画出可行域,把问题转化为一般形式的线性规划问题.2、目标函数含参数的问题：可以根据条件先画出可行域，然后运用数形结合的思想，比较目标函数与边界有关直线的倾斜程度等,直观求解。
【指点迷津】【类型一】在约束条件中仅含一个参数的线性规划问题【例1】：已知x ，y ∈R ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k所表示的平面区域的面积为6，则实数k 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】：作出不等式组对应的平面区域．由⎩⎨⎧x ＋2y ＝0，y ＝k ，解得⎩⎨⎧x ＝－2k ，y ＝k ，即A(－2k ，k)；由⎩⎨⎧x －y ＝0，y ＝k ，解得⎩⎨⎧x ＝k ，y ＝k ，即B(k ，k)．∵平面区域的面积是6，∴12×(3k)×k ＝6，即k 2＝4，解得k ＝2或k ＝－2(舍去)．答案:B【例2】：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≤a a >1x －y ≤0，若目标函数z ＝x ＋y 取得最大值4，则实数a 的值为 ( )．A ．4B ．3C ．2D.32【解析】：作出可行域，由题意可知可行域为△ABC 内部及边界，y ＝－x ＋z ，则z 的几何意义为直线在y 轴上的截距，将目标函数平移可知当直线经过点A 时，目标函数取得最大值4，此时A 点坐标为(a ，a )，代入得4＝a ＋a ＝2a ，所以a ＝2.答案:C【例3】设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤a ，x ＋y ≥8，x ≥6，且不等式x ＋2y ≤14恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[8,10]B ．[8,9]C ．[6,9]D ．[6,10]【解析】： 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a ≥8，否则可行域无意义．由图可知x ＋2y 在点(6，a －6)处取得最大值2a －6，由2a －6≤14得，a ≤10.答案：A【类型二】、在目标函数中仅含一个参数的线性规划问题【例4】：设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y －18≤0，2x －y ≥0，x ＋y －3≥0，若直线kx －y ＋2＝0经过该可行域，则k 的最大值为________．【解析】：画出可行域如图，k 为直线y ＝kx ＋2的斜率，直线过定点(0,2)，并且直线过可行域，要使k 最大，此直线需过B (2,4)点，所以k ＝4－22－0＝1. 答案：1【例5】：在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于4，则a 的值为( )A ．－5B ．3C ．5D ．7【解析】：直线ax －y ＋1＝0过点(0,1)，作出可行域如图知可行域由点A (1,0)，B (1，a ＋1)，C (0,1)组成的三角形的内部(包括边界)，且a >－1，则其面积等于12×(a ＋1)×1＝4，解得a ＝7. 答案：D【例6】：设实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －10≤0，x －2y ＋8≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为( )．A.256B.83C.113D ．4【解析】：由可行域可得，当x ＝4，y ＝6时，目标函数z ＝ax ＋by 取得最大值，∴4a ＋6b ＝12，即a 3＋b2＝1.∴2a ＋3b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ·⎝⎛⎭⎫a 3＋b 2＝136＋b a ＋a b ≥136＋2＝256.答案：A【类型三】、在约束条件和目标函数中都含参数的线性规划问题【例7】：设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为________．【解析】：目标函数z ＝x ＋my 可变为y ＝－1m x ＋zm，∵m >1，∴－1<－1m <0，z 与zm同时取到相应的最大值，如图，当目标函数经过点P ⎝⎛⎭⎫1m ＋1，m m ＋1时，取最大值，∴1m ＋1＋m 2m ＋1<2，又m >1，得1<m <1＋ 2. 答案：(1,1＋2)【例8】：设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a 等于( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3【解析】：当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．由⎩⎨⎧ x －y ＝－1，x ＋y ＝－5得交点A (－3，－2)，则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项．当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)．由⎩⎨⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B (1,2)，则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值．z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．答案：B【例9】：(山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( ) A ．5 B ．4 C. 5 D ．2【解析】：方法一 线性约束条件所表示的可行域如图所示． 由⎩⎨⎧x －y －1＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1，所以z ＝ax ＋by 在A (2,1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝(5a －4)2＋4≥4. 方法二 画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点(2,1)时取得最小值， 所以有2a ＋b ＝2 5.又因为a 2＋b 2是原点(0,0)到点(a ，b )的距离的平方， 故当a 2＋b 2为原点到直线2a ＋b －25＝0的距离时最小，所以a 2＋b 2的最小值是|－25|22＋12＝2，所以a 2＋b 2的最小值是4.故选B. 答案：B【同步训练】【一级目标】基础巩固题组一、选择题1、点P (1，a )到直线x －2y ＋2＝0的距离为355，且P 在3x ＋y －3＞0表示的区域内，则a 的值为（）A 、2B 、3C 、4D 、5【解析】：由条件知，|1－2a ＋2|5＝355，∴a ＝0或3，又点P 在3x ＋y －3＞0表示的区域内，∴3＋a －3＞0，∴a ＞0，∴a ＝3. 答案：B2、 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为()A ．－2B ．－1C ．0D ．1【解析】：当kx －y ＝0与直线x ＝1垂直时，k ＝0示的平面区域如图①所示，直角三角形的面积S ＝12×3×3＝92满足题意．当kx －y ＝0与直线x ＋y －4＝0垂直时，k ＝1，不等式组所表示的平面区域如图②所示，直角三角形的面积S ＝12×(2－1)×(3－1)＝1，满足题意．综上可知，k 的值为1.答案：D3、(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥)3(31x a y y x x 若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 【解析】：本题可先画出可行域，然后根据图形确定出最小值进行解答．作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎨⎧x ＝1，y ＝a x －3得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12，答案：B4、设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，若目标函数z ＝ax ＋y 取得最大值时最优解不唯一，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．－1或1D ．1ax ＋y ＝0，当其与直线BC 重合时，目标函数值最大，此时a ＝1. 答案:D5、已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0，x －y ≥0，0≤x ≤k .若z ＝x ＋ky 的最小值为－2，则z 的最大值为()A ．12B ．16C ．20D ．24【解析】：由题易知k>1.作出不等式组对应的平面区域如图所示，联立⎩⎨⎧x ＝k ，x ＋2y －1＝0，解得B(k ，1－k2)．当直线y ＝－1k x ＋z k 过点B(k ，1－k 2)时，在y 轴上的截距最小，即zk 最小，所以k ＋k ·1－k2＝－2，解得k ＝4(－1舍去)． 当直线y ＝－1k x ＋zk 过点C(4，4)时，z ＝x ＋4y 取得最大值20.答案：C 二、填空题6、设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，x ＋2y －a ≤0，若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为6，则a ＝________【解析】：作出不等式组表示的平面区域，即可行域如图中阴影部分所示．直线x ＋2y －a ＝0与x 轴交于点A (a ，0)，目标函数为z ＝3x ＋y ，当直线y ＝－3x ＋z 过可行域内点A (a ，0)时，z 恰好取得最大值6，即z max ＝3a ＋0＝6，得a ＝2，即直线x ＋2y －a ＝0过点(2，0)，故a ＝2. 答案：27、若函数y ＝log 2x 的图象上存在点(x ，y )，满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥m ，则实数m 的最大值为________．【解析】：如图，作出函数的可行域，当函数y ＝log 2x 过点(2,1)时，实数m 有最大值1.答案18、已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．【解析】：画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.答案：),21(+∞ 三、解答题9、不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，2x －y －2≤0所确定的平面区域记为D .若点(x ，y )是区域D 上的点，求（1）2x ＋y 的最大值（2）若圆O ：x 2＋y 2＝r 2上的所有点都在区域D 上，求圆O 的面积的最大值．【解析】：区域D 如下图所示：当直线2x ＋y ＝z 过点A (4,6)时，z max ＝14.又圆x 2＋y 2＝r 2在区域D 上，故半径r 的最大值是原点O 到直线2x －y －2＝0的距离d ＝|－2|2212＝25，∴圆O 的面积的最大值为45π.答案：1445π 10、若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值．(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． 【解析】：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围是(－4,2)．答案：(1) z 的最大值为1，最小值为－2 (2) a 的取值范围是(－4,2)【二级目标】能力提升题组一、选择题1、在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －1≤0ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3 【解析】：画出⎩⎨⎧x ＋y －1≥0x －1≤0表示的平面区域如图，直线l ：y ＝ax ＋1过定点(0,1)，由于ax －y ＋1≥0与⎩⎨⎧x ＋y －1≥0x －1≤0围成平面区域的面积为2，∴a >0，令x ＝1得y ＝a ＋1，∴12×(a ＋1)×1＝2，∴a ＝3答案：D2、 [2015·福建卷] 变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于()A ．－2B ．－1C ．1D ．2【解析】：C [解析] 由约束条件可知，①若m ∈[2，＋∞)，则当⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0时， z max ＝0(舍去)；②若m ∈(12，2)，则当⎩⎨⎧x －2y ＋2＝0，mx －y ＝0，即⎩⎨⎧x ＝22m －1，y ＝2m 2m －1时， z max ＝2×22m －1－2m2m －1＝2，所以m ＝1； ③若m ∈(－∞，12]，则z 无最大值(舍去)．答案：C 二、填空题3、已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若y －mx ≤2恒成立，则实数m 的取值范围为________．【解析】： 由题意作出不等式组表示的平面区域，y －mx ＝2恒过点(0，2)，且m 是y －mx ＝2的斜率，则由图可知，若y －mx ≤2成立，则－1≤m ≤2. 答案:－1≤m ≤2 三、解答题4、设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为8，求ab 的最大值。
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线性规划
【练习3】(2010·安徽)设x,y满足约束条件
2 x y 2 0 8 x y 4 0 ,若目标函数z=abx+y(a>0,b>0)的 x 0 ,y 0
最大值为8，则a+b的最小值为_______. 4
线性规划
与函数结合
【例4】若函数 ( x ) x 2 ax 2b在区间 0,1), f ( (1,2)内各有一个零点，则2 (b 2) 2的取值 a 范围是( A. )
线性规划（二）
高三数学组
确定你的方向是正确的，下一步要做的 就是坚持……
线性规划 课时要求 1.了解二元一次不等式的几何意义，能用平 面区域表示二元次此不等式组； 2.理解目标函数的几何意义，会用图解法解 线性规划问题； 本节重点是含参问题。 3.通过图解法逐步加强作图能力，渗透数形 结合思想。
平面区域与目标函数
复习回顾
目标函数的几何意义
b 1. z ax by 直线型，z表示纵截距的 倍 2. z ax by 点到直线距离型 3. z OA OB 转化为坐标形式或投影 yb 斜率型 4. z xa 2 2 5. z x y Dx Ey F 两点间距离型 2 2 6. z x y Dx Ey F 圆型(距离平方)
线性规划
【例5】已知函数 f ( x )在R上单调递增，函数 y y f ( x 1)的图像关于点1,0)对称，若对于任意 ( 的x , y R, 不等式f ( x 2 6 x 21) f ( y 2 8 y ) 0 恒成立，则 x y 的取值范围是 ________.
线性规划
【练习1】(2010·浙江)若实数x，y满足不等式组
x 3y 3 0 2 x y 3 0 x my 1 0
,且x+y的最大值为9，则实数m=( (B)-1
)
(A)-2
(C)1
(D)2
线性划
由目标函数几何意义求参数
【例2】2013 浙江)设z kx y , 其中实数 , y满足 ( x x 2 12 k x 2 y 4 0, 若z的最大值为 ，则实数 ____ 2 x y 4 0
5 , 10
B .5， C . 0， 10 5
D. 0， 10
线性规划
1 3 1 2 【 练 习 】 已 知函 数 ( x ) x ax bx 4 f 3 2 1,3上 单调 递 减， 则 2 b 2的 最小 在 区间 a
13 . 值 是 ________
y 则当1 x 4时， 的取值范围是 ________. x
1 [ ,1] 2
2
线性规划
由目标函数几何意义求参数
3 x y 6 0 【例3】(2009·山东)设x，y满足约束条件 x y 2 0 ， x 0, y 0
若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12，则 2 3 的最
a b
小值为(
25 (A) 6
)
线性规划
由区域求参数
【 例1】2013 新 课 标II )已 知a 0, x , y满 足 约 束 条 件 ( x 1 1 x y 3 , 若z 2 x y的 最 小 值 为 ， 则a ( ) y a ( x 3) 1 A. 4 1 B. 2 C.1 D. 2
2 2
（3， 7）
线性规划
【练习 】定义在 上的函数 ( x )满足对任意不等的 5 R f 函数f ( x 1)的图像关于点1,0)对称，若对于任意 ( 的x , y R, 不等式f ( x 2 x ) f ( 2 y y ) 0成立，
2 2
实数x1 , x 2 , 都有 f ( x1 ) f ( x 2 )( x1 x2 ) 0成立，且
8 (B) 3 11 (C) (D)4 3
线性规划
x y 2 【练习 】已知x , y满足不等式组 y x 0 , 2 x 0 目标函数 ax y只在(1,1)处取最小值， z 则有( A. a 1 ) B .a 1 C . a 1 D . a 1