第二三宇宙速度解法
三个宇宙速度的多种推导及教学启示
龙源期刊网 三个宇宙速度的多种推导及教学启示作者：汪计朝李兴来源：《中学物理·高中》2015年第03期高中物理（必修2）中的《宇宙航行》一节对三个宇宙速度概念的描述及第一宇宙速度的推导，这一内容的引入对于中学阶段的学生来说具有非常重要的意义，也是对人类飞天从梦想到圆梦这一历史进程的回顾.教参及高考都明确要求学生掌握三个宇宙速度的含义和数值，并且会推导第一宇宙速度.然而笔者在教学过程中发现，许多学生在学完第一宇宙速度之后，总是在不断询问和疑惑另外两个宇宙速度的推导过程.笔者觉得，作为一名合格的高中物理教师，不仅仅要传授给学生必备的高考知识，更应该去帮助学生答疑解惑，并且以此来激发学生的科学探究精神，进而来拓展他们想象和思考的空间，而不是单纯的把问题留给学生.下面笔者分别采用多种方法来推导这三个宇宙速度，以期起到抛砖引玉的作用.1第一宇宙速度v1=7.9 km/s的推导法一当一颗卫星被发射后在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动而不落回地面，此时卫星具有的速度即为第一宇宙速度v1.设地球质量为M，卫星质量为m，卫星到地心的距离为r，由圆周运动知识得3第三宇宙速度v3=16.7 km/s的推导在思考第三宇宙速度的求解方法时，许多同学都倍感困惑，感到是“老虎吃天——无从下口”.其实，从推导第二宇宙速度的解法模型中我们可以知道：如何求将一个离太阳1.5亿公里的相对于太阳静止的物体脱离太阳引力束缚需要的速度v1′的方法；再考虑到地球公转速度的因素，发射速度会相应的减小到v2′；最后再将发射时地球引力的影响因素考虑进去，还需要克服地球引力做功，速度再相应的增大至某一速度，这个速度就是第三宇宙速度v3.根据以上的分析不难得一个地球上的物体要想摆脱太阳的引力束缚，同时还要摆脱地球的引力束缚，其发射速度必须大于或者等于16.7 km/s，因此第三宇宙速度又叫逃逸速度.综上所述，对三个宇宙速度的推导过程中，不仅要涉及到物理上的运动的合成与分解、能量守恒定律、圆周运动规律以及参考系的选取，还要用到数学上的微积分知识等.这些规律的综合运用，必然对于完善学生的知识结构、激发学生的求知探索能力大有脾益，特别是对于尖子生的培养将会起到极大的促进作用.。
Lecture 09 第一、第二、第三宇宙速度
青岛科技大学
大学物理讲义
求卫星飞出太阳系的第三宇宙速度 解 第三宇宙速度 v3 ，是抛体脱离太阳引力所需的 最小发射速度 .
h
v
设
地球质量 mE , 抛体质量 m , 地球半径 RE , 太阳质量 mS , 抛体与太阳相距 RS .
青岛科技大学 大学物理讲义
取抛体和地球为一系统，抛体首先要脱离 地球引力的束缚, 其相对于地球的速率为 v' . 取地球为参考系,由机械能守恒得
mmE m G 2 RE h ( RE h)
解得 v1
v
2
h
``````
v
2GmE GmE RE RE h
大学物理讲义
青岛科技大学
v1
2GmE GmE RE RE h
h
``````
v
RE GmE ) g 2 v1 gRE (2 RE h RE
1 mE m 2 E mv2 (G ) 2 RE Ek Ep 0
青岛科技大学 大学物理讲义
v
h
``````
1 2 mE m E mv2 (G )0 2 RE
v2
计算得
v
h
``````
2GmE RE
2 gRE
E 0
第二宇宙速度
v2 11.2km/s
2
第三宇宙速度
青岛科技大学 大学物理讲义
抛体的轨迹与能量的关系
E 0 v
h
E 0 椭 圆(包括圆) v1 7.9km/s
E 0
E0
E 0 抛物线 v2 11.2km/s
E 0 双曲线 v3 16.4km s
高中物理万有引力定律在天文学上的应用
1、基本方法：①把天体的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供：②在忽略天体自转影响时，天体表面的重力加速度：，R为天体半径。
2、环绕天体的绕行速度，角速度、周期与半径的关系。
①由得∴r越大，②由得∴r越大，③由得∴r越大，3、三种宇宙速度①第一宇宙速度（）：v1＝ km/s，人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动的速度。
②第二宇宙速度（）：v2＝ km/s，使物体挣脱地球束缚，在地面附近的最小发射速度。
③第三宇宙速度（）：v3＝ km/s，使物体挣脱太阳引力束缚，在地面附近的最小发射速度。
4、同步卫星的特点：①同步卫星的周期T＝②同步卫星的高度H＝③同步卫星的线速度V＝④同步卫星一定都处在赤道上空（可证明）。
5、万有引力和重力：重力是由万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力．重力实际上是万有引力的一个分力．另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g随纬度变化而变化，从赤道到两极逐渐增大．通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，即m2g＝G, g ＝GM/r2常用来计算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一纬度处，g随物体离地面高度的增大而减小，即g h＝GM/（r+h）2，比较得g h＝（）2·g在赤道处，物体的万有引力分解的两个分力F向和m2g 刚好在一条直线上，则有F＝F向＋m2g，所以m2g＝F－F向＝G－m2Rω自2因地球自转角速度很小G>>m2Rω自2,所以m2g＝ G假设地球自转加快，即ω自变大，由m2g＝G－m2Rω自2知物体的重力将变小，当G＝m2Rω自2时，m2g＝0，此时地球上物体无重力，但是它要求地球自转的角速度ω自＝，比现在地球自转角速度要大得多.典型例题1、万有引力定律及其适用条件：例1、如图所示，在一个半径为R、质量为M的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为R/2的球形空穴后，对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大？分析：把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和，即可得解．（1）有部分同学认为，如果先设法求出挖去球穴后的重心位置，然后把剩余部分的质量集中于这个重心上，应用万有引力公式求解．这是不正确的．万有引力存在于宇宙间任何两个物体之间，但计算万有引力的简单公式却只能适用于两个质点或均匀球体，挖去球穴后的剩余部分已不再是均匀球体了，不能直接使用这个公式计算引力．（2）如果题中的球穴挖在大球的正中央，根据同样道理可得剩余部分对球外质点m的引力上式表明，一个均质球壳对球外质点的引力跟把球壳的质量（7M/8）集中于球心时对质点的引力一样．解析：完整的均质球体对球外质点m的引力这个引力可以看成是：m挖去球穴后的剩余部分对质点的引力F1与半径为R/2的小球对质点的引力F2之和，即F＝F1+F2．因半径为R/2的小球质量M/为，则，所以挖去球穴后的剩余部分对球外质点m的引力。
第一二三宇宙速度推导公式
第一二三宇宙速度推导公式
第一宇宙速度的推导公式是：v1 = √(GM/R)，其中v1表示第一宇宙速度，G 表示引力常数，M表示天体的质量，R表示天体的半径。
第一宇宙速度是指，在足够远离地球表面时，一个物体必须具备的速度，才能绕地球进行圆形轨道运动。
第二宇宙速度的推导公式是：v2 = √(2GM/R)，其中v2表示第二宇宙速度，G 表示引力常数，M表示天体的质量，R表示天体的半径。
第二宇宙速度是指，在足够远离地球表面时，一个物体必须具备的速度，才能从地球逃逸到宇宙空间。
第三宇宙速度的推导公式是：v3 = √(GM/2R)，其中v3表示第三宇宙速度，G 表示引力常数，M表示天体的质量，R表示天体的半径。
第三宇宙速度是指，在足够远离地球表面时，一个物体必须具备的速度，才能进入到以太空为基础的回归轨道。
第二宇宙速度计算公式
《第二宇宙速度计算公式》是由美国物理学家威廉·梅登提出的一种用于计算物体运动的速度的重要公式。
它是探索宇宙中物体运动轨迹的科学研究基础，也是宇宙航行技术的基础。
第一段：《第二宇宙速度计算公式》是美国物理学家威廉·梅登提出的一种用于计算物体运动的速度的重要公式，它是探索宇宙中物体运动轨迹的科学研究基础，也是宇宙航行技术的基础。
第二段：第二宇宙速度计算公式由以下公式构成：V = √2GM/r，其中G为万有引力常数，M为物体的质量，r为物体到宇宙中心的距离。
第三段：根据这个公式，物体的速度与它到宇宙中心的距离成反比，而它的质量对速度的影响则是直接比例的。
因此，通过改变物体的质量和位置，可以计算出物体的速度和轨迹。
第四段：第二宇宙速度计算公式可以用于多种情况，如地心引力和太阳系内双星运动。
它也可以用于计算太阳系外行星的轨道，以及探索太阳系外宇宙尘埃等宇宙物质运动轨迹的研究。
第五段：由于第二宇宙速度计算公式的重要性，它在宇宙航行技术的发展中发挥了重要作用。
它是研究宇宙物理现象的重要基础，也是宇宙航行技术的基础。
万有引力与航天专题4、 宇宙速度的理解与计算
考点一 宇宙速度的理解与计算1．第一宇宙速度又叫环绕速度．推导过程为：由mg ＝m v 21R ＝GMmR2得：v 1＝GMR＝gR ＝7.9km/s.2．第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度． 3．第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度． 注意 (1)两种周期——自转周期和公转周期的不同．(2)两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度． (3)两个半径——天体半径R 和卫星轨道半径r 的不同．(4)第二宇宙速度(脱离速度)：v 2＝11.2km/s ，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度． (5)第三宇宙速度(逃逸速度)：v 3＝16.7km/s ，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度． 例题1.一宇航员站在某星球表面上，以水平速度v 0抛出一物体，抛出点离星球表面高h ，经时间t 物体落到星球表面，已知该星球半径为R ，忽略星球的自转，下列说法正确的是（ A C ） A ．该星球的质量为222Gth R B ．该星球的质量为Gtv R 02C ．该星球的第一宇宙速度为tRh 2 D ．该星球的第一宇宙速度为tR v 0例题2.“伽利略”木星探测器，从1989年10月进入太空起，历经6年，行程37亿千米，终于到达木星周围．此后在t 秒内绕木星运行N 圈后，对木星及其卫星进行考察，最后坠入木星大气层烧毁．设这N 圈都是绕木星在同一个圆周上运行，其运行速率为v ，探测器上的照相机正对木星拍摄整个木星时的视角为θ(如图5所示)，设木星为一球体．求：(1)木星探测器在上述圆形轨道上运行时的轨道半径； (2)木星的第一宇宙速度．答案 (1)v t 2πN (2)vsinθ2解析 (1)设木星探测器在题述圆形轨道运行时，轨道半径为r ，由v ＝2πrT可得：r ＝v T 2π 由题意可知，T ＝tN 联立解得r ＝v t 2πN(2)探测器在圆形轨道上运行时，万有引力提供向心力，G mMr 2＝m v 2r . 设木星的第一宇宙速度为v 0，有，G m ′M R 2＝m ′v 20R联立解得：v 0＝r R v 由题意可知R ＝r sin θ2， 解得：v 0＝v sinθ2.练习1-1：[第一宇宙速度的理解与计算]某人在一星球表面上以速度v 0竖直上抛一物体，经过时间t 后物体落回手中．已知星球半径为R ，那么沿星球表面将物体抛出，要使物体不再落回星球表面，抛射速度至少为( B )A.v 0t RB.2v 0R tC.v 0R tD.v 0Rt解析 要使物体不再落回星球表面，抛射速度必须达到星球的第一宇宙速度，满足v ＝GM R ＝gR ，而由竖直上抛规律知v 0＝12gt ，所以v ＝2v 0R t ，B 对． 练习1-2：[宇宙速度的理解与计算]2011年中俄联合实施探测火星计划，由中国负责研制的“萤火一号”火星探测器与俄罗斯研制的“福布斯—土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶”运载火箭发射前往火星．已知火星的质量约为地球质量的19，火星的半径约为地球半径的12.下列关于火星探测器的说法中正确的是( CD )A ．发射速度只要大于第一宇宙速度即可B ．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以C ．发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度D ．火星探测器环绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的23解析 根据三个宇宙速度的意义，可知选项A 、B 错误，选项C 正确；已知M 火＝M 地9，R 火＝R 地2，则v m v 1＝GM 火R 火∶GM 地R 地＝23. 练习1-3：(2014·福建·14)若有一颗“宜居”行星，其质量为地球的p 倍，半径为地球的q 倍，则该行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的( C )A.pq 倍B.q p 倍C.pq倍 D.pq 3倍解析 卫星绕行星做匀速圆周运动的向心力由行星对卫星的万有引力提供．设地球质量为M ，半径为R ，根据GMm R 2＝m v 2R 得地球卫星的环绕速度为v ＝GMR，同理该“宜居”行星卫星的环绕速度v ′＝GpM qR ，故v ′为地球卫星环绕速度的pq 倍．选项C 正确．练习1-4：2012年，天文学家首次在太阳系外找到一个和地球尺寸大体相同的系外行星P ，这个行星围绕某恒星Q 做匀速圆周运动．测得P 的公转周期为T ，公转轨道半径为r .已知引力常量为G ，则( A )A ．恒星Q 的质量约为4π2r 3GT 2B ．行星P 的质量约为4π2r 3GT 2C ．以7.9km/s 的速度从地球发射的探测器可以到达该行星表面D ．以11.2km/s 的速度从地球发射的探测器可以到达该行星表面解析 根据万有引力提供向心力，以行星P 为研究对象有G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得M ＝4π2r 3GT 2，选项A 正确；根据万有引力提供向心力只能求得中心天体的质量，因此根据题目所给信息不能求出行星P 的质量，选项B 错误；如果发射探测器到达该系外行星，需要克服太阳对探测器的万有引力，脱离太阳系的束缚，所以需要发射速度大于第三宇宙速度，选项C 、D 错误．练习1-5：2007年10月24日18时05分，我国成功发射了“嫦娥一号”探月卫星，11月5日进入月球轨道后，经历3次轨道调整，进入工作轨道。
第三宇宙速度计算
第三宇宙速度计算第三宇宙速度计算是指在太空探索中，为了使航天器能够脱离地球引力，需要达到的最低速度。
本文将介绍第三宇宙速度的计算方法及其在航天领域的重要性。
一、第三宇宙速度的概念第三宇宙速度，也称为逃逸速度，是指在克服地球引力的作用下，使得航天器能够离开地球轨道进入宇宙空间所需达到的最小速度。
它是航天任务中的重要参数，决定了航天器是否能够成功进入太空。
二、第三宇宙速度的计算方法第三宇宙速度的计算需要考虑地球引力和航天器的质量。
根据万有引力定律，地球引力与物体质量和距离的平方成反比。
其计算公式如下：F =G * (M * m) / r^2其中，F为地球引力的大小，G为万有引力常数，M为地球的质量，m为航天器的质量，r为地球表面到航天器的距离。
为了使航天器脱离地球引力，需要使其动能大于或等于地球引力势能，即：(1/2) * m * v^2 >= G * (M * m) / r其中，v为航天器的速度。
解方程可得：v >= sqrt(2 * G * M / r)这个速度就是第三宇宙速度。
三、第三宇宙速度的数值地球的质量M约为5.97 × 10^24千克，万有引力常数G约为6.67 × 10^-11 N·m^2/kg^2。
地球半径约为6371千米。
代入公式计算可得，第三宇宙速度的数值约为11.2千米/秒。
也就是说，航天器需要达到每秒11.2千米的速度，才能够克服地球引力进入太空。
四、第三宇宙速度的应用第三宇宙速度的概念和计算方法在航天领域具有重要的应用价值。
首先，它是航天任务设计中的关键参数之一，决定了发射火箭所需的最小速度。
其次，第三宇宙速度的计算结果也能够评估航天器的性能和能力，为航天任务的成功与否提供了重要依据。
此外，第三宇宙速度的概念也拓展了人类对宇宙探索的视野，为太空探索提供了基础理论和技术支持。
总结：第三宇宙速度是航天领域中的重要概念，指航天器为脱离地球引力所需达到的最低速度。
第二宇宙速度的推导
第二宇宙速度的推导
——高中知识范畴
◎第一宇宙速度又称环绕速度，是人造天体环绕地球运动的速度，设
地球的半径为R，则，第一宇宙速度km/s
◎第二宇宙速度又称脱离速度，是将人造天体发射到地球引力以外的
最小速度。
设地球的半径为R，由机械能守恒定律，得，r为地球引力以
外的某点到地球的距离，显然，所以
，，可得第二宇宙速度km/s
◎第三宇宙速度又称逃逸速度，是使人造天体脱离太阳引力范围的最
小发射速度。
设太阳的质量为，太阳中心到地球中心的距离为，类似于第
二宇宙速度的计算，同理可得km/s
由于地球绕太阳公转的速度为29.8km/s，
所以相对地球只要42.2 km/s - 29.8 km/s = 12.4 km/s的发射速度
即可，这是将地球引力小到可略去不计得出的。
考虑到地球引力存在，必
须克服地球引力做功，所以，而，式中是第二宇宙速度，将此式代入上式，第三宇宙速度 km/s。
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假设在地球上将一颗质量为m的卫星发射到绕太阳运动的轨道需要的最小发射速度为V；地球半径为r;
此时卫星绕太阳运动可认为是不受地球引力，距离地球无穷远；
认为无穷远处是引力势能0势面，并且发射速度是最小速度，则卫星刚好可以到达无穷远处。
由动能定理得
(mV^2)/2-GMm/r^2*dr=0;
由微积分dr=r地
解得V2=√(2GM/r)
而第一宇宙速度公式为
V1=√(GM/R)
故这个值正好是第一宇宙速度的√2倍
一、提出问题
在地球表面上的物体克服地球和太阳引力的束缚而飞离太阳系，必须具有的最小速度叫做第三宇宙速度，也叫逃逸速度。
对于第三宇宙速度的计算可以用不同的方法，一般情况是以地球为参考系的，其计算结果为16.7km/s，但是《物理教学》中的《如何求第三宇宙速度？》分别以地球和太阳为参考系的两种方法得到的结果却不同，其结果分别是16.6km/s和13.8 km/s。
那么，到底哪种计算方法或哪个结果是正确的呢？这就是本文首先要讨论的问题。
另外，宇宙第三速度对于不同物体是不是都是一样的呢？这是第二个要讨论的问题。
二、计算方法
1.先求地球绕太阳公转的线速度u，可以采用不同方法：
方法一：利用牛顿第二定律，由万有引力等于向心力，
后面计算中，u取29.8 km/s。
实际上，地球公转轨道是椭圆形而不是圆形，公转速度u和地球公转轨道半
径有变化，但是把地球公转运动看成匀速圆周运动并不影响此题的计算，这里不再进行详细讨论。
2.接着求当克服了地球引力束缚而在地球公转轨道上运行后，物体为能克服太阳引力束缚而飞出太阳系的最小速度，设为v（此时v以太阳为参考系）。
根据机械能守恒，有
3.再求物体在地球表面的发射速度，即宇宙第三速度（以地球为参考系）。
如果物体从地面出发顺着地
球公转运动的轨道切向飞出的话，便可借助于地球的公转速度，因而在飞离地球后相对地球的速度只需v-u，而不需要达到v，但仍然满足相对太阳的速度为v。
由于地球公转轨道可以看成圆形，太阳引力与“物体—
地球”体系速度方向垂直，从而不做功，故宇宙第三速度可以通过该体系机械能守恒求得。
下面结合个
人理解回顾总结一下《如何求第三宇宙速度？》中的两种不同求法：
(1)以地球为参考系（可忽略太阳的影响，故为惯性系）
三、分析讨论
以上两种求第三宇宙速度方法，分别以地球和太阳为参考系，两者都是惯性系，计算过程好象都有问题，为什么得出的结果是不同的呢？哪一个是正确的呢？其实，以地球参考系的方法是正确的，第三宇宙速度应约为16.6km/s，而以太阳为参考系的方法在考虑某些细节问题还不够全面，从而导致结果跟实际值相差较大。
本文前面提到过，以太阳为参考系时《如何求第三宇宙速度？》认为“考虑到物体质量比地球小得多，在物体飞离地球过程中，地球速度（从而动能）几乎不变。
”这句话是不是有道理呢？确实，地球质量M大，速度几乎不变，但是速度几乎不变，动能可以看成几乎不变吗？不难看出，虽然地球速度改变量时△v很小，
但是地球质量M很大，地球动能的改变量就不一定很小，所以相对物体动能
的改变量而言就不能忽略不计。
那么，以太阳为参考系时，如果要考虑地球动能的改变该怎么求第三宇宙速度呢？计算方法如下所示：
其结果与(2)式结果完全相同，可见这种方法是合理的。
四、深入研究
在前面的计算中，我们认为地球速度的改变量△v很小，如果考虑△v带来的影响结果又会怎么样呢？计算过程可以取地球或太阳为参考系，下面以地球为参考系为例进行计算。
很显然，物体远离地球而在地球公转轨道上运动时，地球相对太阳的速度为u+△v，物体相对太阳的速度是v，相对地球的速度为，根据“物体—地球”体系机械能守恒，有
五、结论
本文介绍了两种分别以地球和太阳为参考系的计算方法，结果表明第三宇宙速度对于不同物体并不是一样的，而跟物体的质量m和地球的质量的比值k有关系，所以严格讲，第三宇宙速度并不是16.6km/s，
从理论上讲可以取得更小，但是当时，即物体的质量为地球质量的1/10时（但这实际上是不大可能的），第三宇宙速度也不过是16.4km/s，跟16.6km/s相差不大，所以把第三宇宙速度确定为16.6km/s 是合情合理的。
另外，并不是只要物体的速度大小达到了16.6km／s就能飞离太阳系，还要满足其方向是顺着地球公转运动的轨道切向飞出。
物体在地球表面时，相对地球的速度为，动能为；“物体—地球”体系势能力，其中m为物体质量，为地球半径。
当其远离地球而在地球公转轨道上运动时，物体相对太阳的速度是v，相对地球的
速度为；由于物体与地球的距离R很大，“物体—地球”体系势能为。