定弦定角最值问题

九年级讲义：定弦定角最值问题

【例1】如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（ ）

A ．1

B ．2

C ．2

D ．2441-

【例2】如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（ ）

A ．213-

B ．213+

C ．5

D ．

916

【练】如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（ ）

A ．1

B ．2

C ．2

D ．324-

【例3】如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（ ）

A ．3612+

B ．336+

C ．3312+

D ．346+

【练】如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（ ）

A ．

21 B ．

22 C ．

23 D ．

4

3

【例4】如图，边长为3的等边△ABC ，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，且BD ＝CE ，AD 、BE 交于P 点，则CP 的最小值为_________

O A B C

D P 【例5】如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于

E 、

F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________

【练】如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________

针对练习：

1．如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有2

2 AB DE ，则点C 到AB 的距离的最大值是_________

2．如图，已知以BC 为直径的⊙O ，A 为BC 中点，P 为AC 上任意一点，AD ⊥AP 交BP 于D ，连CD ．若BC ＝8，则CD 的最小值为___________

定角、定线段与定圆问题

主要是体现在题目中出现了固定度数的角对着固定长度的线段时隐含着一个固定大小的圆，此时定线段为隐圆的一条弦，定角为弦所对的一个圆周角，借助隐圆来分析问题极其方便，关键是要先发现隐含着的特殊度数的角。举例如下：

例1: 如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AH⊥BC于H（H在边BC上），若BH＝1，CH ＝2，则AH＝．

例2：如图,扇形AOD中, ∠AOD=90º,OA=6,点P为弧AD上任意一点(不与点A和D重合),PQ ⊥OD于点Q,点I为△OPQ的内心,过O,I和D三点的圆的半径为r.则当点P在弧AD上运动时，r的值满足（）

A.0＜r＜3

B.r=3

C.3＜r＜32

D. r=32

1.如图，在⊙O中，弦AD等于半径，B为优弧AD上的一动点，等腰△ABC的底边BC所在直线经过点D，若⊙O的半径为1，则OC的长不可能为（）

A. 2－3

B. 3－1

C.2

D. 3＋1

2.如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ．连接CF 交BD 于G ，

连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是( )．

3. 如图，在Rt ⊿ABC 中，∠BAC=90º，AB=AC ，BC=42，点D 是AC 边上一动点，连接BD ，以AD 为直径的圆交BD 于E ，连接CE ，则线段CE 长的最小值为( )

4.如图，△ABC 中，AC=3，BC=42，∠ACB=45º，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△ABC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（ ）

A.1

B.2

C.2

D.2441

☆.如图，直径AB、CD 的夹角为60 º，P为⊙O一的个动点（不与点A、B、C、D 重合）。PM，PN 分别垂直于CD，AB，垂足分别为M，N。若⊙O的半径长为2，则MN的长( )

A. 随P点运动而变化，最大值为3

B. 等于3

C. 随P点运动而变化，最小值为3

D. 随P点运动而变化，没有最值。

★如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为23，以AB为直径作⊙M，点C是优弧AB上的一个动点，连结AC、BC分别交⊙M于点D、E，则线段CD的最大值为。

A 3

B 2

C 23－2

D 4－23

1. 如图,边长为2的正方形ABCD中,F为CD上一动点,E为AF上一点,且BE=BA, ∠CBE 的角平分线交AF的延长线于点G,则G到CD距离的最大值为。

2. 如图,弓形图中, ∠BAC=60°,BC=32,若点P 在优弧BAC 上由点B 向点C 移动,记⊿PBC 的内心为I,点I 随点P 的移动所经过的路程为m ，则m 的取值范围为（ ）

3. 如图，点C 是⊙O 上一动点，弦AB=6，∠ACB=120°，⊿ABC 内切圆半径r 的最大值为( ) 。

A 6－23

B 4－33

C 6－33

D 6