第三章_正弦交流电路和向量法
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电路基础第3章 正弦交流电路共109页
3-1 正弦交流电的基本概念 正弦交流电
一、正弦交流电的特征
i
iImsi nt
Im
t
特征量:
I m ： 电流幅值（最大值）
： 角频率（弧度/秒）
： 初相
1.频率与周期
i
t
T
几种描述：
▪周期 T：变化一周所需的时间 单位：秒(s)…
▪频率 f：每秒变化的次数 单位：赫兹(Hz) ...
▪角频率 ω：每秒变化的弧度 单位：弧度/秒(rad/s)
或 u3s 1i3 1 nt1 (1 4 2 )V0
例 3-2 已知二正弦电压 u 1 1s 4i3 1 nt1 (94 )0 V u 2 3s 1i3 1 nt1 (14 5 )V 0
求二者的相位差，并指出二者的关系。
解: 相位差 12=- 90°-150°= -240°
由于 12 180 ，故 12=-240 °+360 °=120°
3.相位差
i
u
t
u i
▪相位差 ：两个同频率 正弦量间的初相位之差。
如： uUmsintu iImsinti
t u t i u i
两个正弦信号的相位关系
▪ 若ui 0,
称 u 超前 i 角；
u u,i
▪ 若ui 0,
称 u 滞后 i 角；
u,i i u
i
o
t
o
t
波形图
两个正弦信号的相位关系
三者间的关系: f 1 T
2 2 f
T
关于单位：
★国际单位制（SI）中，周期的单位为秒（s） ；频率的单位为1／秒，又称为赫兹（Hz）； 角频率的单位为弧度/秒(rad/s)。 ★单位换算：
电工学课件--第三章 正弦交流电路
U • o I= U =U 0 ∠ R
• •
u =Um sinω t u Um i = = sinω = Im sinω t t R R
U =I R
U =I R
•
•
可见： 可见：电压与电流同相位 ui
i
u
•
IU
•
I
•
U
+−
2．功率关系
ui
i
⑴ 瞬时功率
•
u
IU
p=ui=UmImsin2ωt =UI(1-cos2ωt)
角频率ω: 单位时间里正弦量变化的角度 称为角频率。单位是弧度/秒 （rad/s）. ω=2π/T=2πf 周期，频率，角频率从不同角度描 述了正弦量变化的快慢。三者只要知 道其中之一便可以求出另外两时值， 瞬时值中最大的称为最大值。Ｉm、 Ｕ m 、Ｅ m 分别表示电流、电压和电动 势的最大值. 表示交流电的大小常用有效值的概 念。
单位是乏尔（Var） 单位是乏尔（Var）
第四节 RLC串联交流电路 串联交流电路 一.电压与电流关系
i R u L C
uR uL
u =uR +uL +uC
U =UR+UL+UC
• • • •
uC
以电流为参考相量， 以电流为参考相量， 相量图为： 相量图为：
•
UL UL+UC
φ
• • • •
•
U I
•
U
φ UR
UL-UC
UR
UC
2 可见： 可见： U = UR +(UL −UC)2
U L −UC X L − XC = arctg = arctg UR R
第3章正弦交流电路
+
_ C u_ C
设：i Im sinω t
u Umsin(ω t )
p u i Um sin(ω t ) Imsinω t
UmImcos sin2 ω t UI sin sin2ω t
耗能元件上 的瞬时功率
储能元件上 的瞬时功率
在每一瞬间,电源提供的功率一部 分被耗能元件消耗掉,一部分与储能 元件进行能量交换。
U
( < 0 容性)
U X 由电压三角形可得:
U Rຫໍສະໝຸດ 电压 三角形UR Ucos U x Usin
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2) 相量图
U
U L U C U X
U R
电压 三角形
Z
X XL XC 阻抗
R
三角形
由阻抗三角形：
R Z cos X Z sin
i 16.8 2 sin( 314 t 10.9 ) A
有效值 I =16.8 A
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例3: 图示电路是三相四线制电源， 已知三个电源的电压分别为：
uA 220 2 sin 314 t V
uB 220 2 sin (314 t 120 )V uC 220 2 sin (314 t 120 )V
RLC串联交流电路中
设：i 2 I sinω t
+
_ C u_ C
U?=IR + IL + I 1/ C
交流电路、U I与参数R、L、C、 间的关系如何？
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3.7 RLC串联的交流电路
1. 电流、电压的关系
正弦交流电基本概念 向量分析法
图2-1
u Um 0 （a） ωt
Um
u
0
u Um
φ0 （b）
ωt
0
φ0 （c）
ωt
图（a）中，φ0=0，u=Umsinωt；
图（b）中，φ0>0，u=Umsin(ωt+φ0)；
图（c）中，φ0<0，u=Umsin(ωt－φ0)。 φ0的正、负问题。
－π<φ0<π
2.相位差
两同频率的正弦量之间的相位角之差或初相位之差。
则 u 与 I 的相位差为 ui= (30) ( 60) = 90，即 u 比 I 滞 后 90，或 I 比 u 超前90。 已知某正弦电压在t=0时为 110 2V ，初相角为30°，求其有效值
u Um sin(wt 30。 )
u(0) U m sin 30 U Um
u u1 u2 u3 u4
何谓反相？同 相？超前？滞 后？
不能！因为180V的正弦交流 电，其最大值≈255V >220V!
u1与u2反相，即相位差为180°； ωt
u3超前u190°，或说u1滞后u390°，
u1与u4同相，即相位差为零。
第3章
3.2 正弦量的表示法
1 9
3.2.1 复数
＋j b r A 复平面 上有向 线段
。
u(0) 110 2 Um V 220 2V 。 sin 30 0.5
220 2 V 220V 2 2
i
0
同相 O i2 i1
t
i
反相
O
i2 i1
t
相位差φ的大小与时间t、角频率ω无关，它仅取决于两 个同频正弦量的初相位。
第三章 正弦交流电路-1
一.电阻元件
i
根据欧姆定律，线性电阻上的电压与电流
成正比关系，即 i u R
图3-10
当电压和电流均用相量表示时，欧姆定律
的相量表示式为 第（23）页
•
•
I
U
R
u
R
电阻元件
上式表明，电阻元件上电压和电流的相位相同，
如图3-11所示。
设 i 2ISint
u 2USint 图3-11
电阻元件吸收的瞬时功率为
方法二: 运用矢量运算
Y I2m B
C I3m
10 50
I1m
A
5
0 60 30
X
i1 I1m OA矢量 i2 I2m OB矢量 i3 I3m OC矢量
根据矢量图
I3m 14.6
3 50 于是i3 14.6CoS(t 50)
+j
I3m
方法三.运用复数运算:
11.16
I1m 5e j30
只要有幅值与初相位两个要素就足以表示各电压 与电流之
间的关系，因此我们约定：用式(3-1)中的复常数 Ie ji 表
示正弦电流 i 2ISint i ，并用下列记法
•
I Ie ji I i
(3-2)
上式中I• m不仅是一个复数，而且表示了一个正弦量，所以给它
一个专有名称——相量。代表正弦电流的相量称之为电流相量，
U
的正方向如图3-13(a)所示。
u,i
(b) 0
u
i
t
i ii
i
+ -- +
p- + + 储能 放能 储能 放能
根据楞次定律得出
u
eL
第3章正弦交流电路的向量分析法ppt课件
电工与电子技术
RI2T
直流电流I流过电阻时， 在相同时间消耗的能量
R Ti2dt 0 周期电流i 流过电阻时， 在相同时间消耗的能量。
有效值的定义式： I 1 T i 2 dt
T0
资 金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资 金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
电工与电子技术
第三章正弦交流电路的向量分析法
3.1 正弦交流电压电流的相量 3.2 电路基本定律的相量形式 3.3 RLC串并联交流电路的分析 3.4 正弦交流电路的功率和功率因数 3.5 电路的谐振
a
资 金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
复数四则运算回顾
电工与电子技术
（1）相等。任意一个复数 A 和B相等，则
A = B， a1 + j a2 = b1 + j b2 , a1 = b1 , a2 = b2 ,
资 金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
注意：
电工与电子技术
• 工业上所说的电压和电流的值一般是指有效值，如电 工设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平 、耐压值指的是最大值
4. 视在功率
第3章 正弦交流电路
3.3.1 单一参数的正弦交流电路
1.纯电阻电路 (1) 电压与电流的关系
+
u iR
u
i I m sin t
_
u iR I m R sin t U m sin t
i R
对于正弦交流电路中的电阻电路(又称纯电阻 电路)，一般结论为：
1)电压、电流均为同频率的正弦量。
2)电压与电流初相位相同，即两者同相。
y
i
ω
Im
i1
ωt1 φ
Im
i0
90
o
x
o
ωt1
ωt
φ
t t1 i1 I m sin(t 1)
对于一个正弦量可以找到一个与其对应的旋转矢量，反之， 一个旋转矢量也都有一个对应的正弦量。
3.2.2 复数及复数的运算 1、复数
A a jb
A r cos r sin
e j cos j sin
作相量图时要注意： 只有同频率的正弦量才 能画在一个相量图上，不 同频率的正弦量不能画在 一个相量图上。
+j
U
Φu
o
Φi
+1
I
3.3正弦交流电路的简单分析与运算
电阻元件、电感元件与电容元件都是组成 电路模型的理想元件。
所谓理想元件，就是突出元件的主要电磁 性质，而忽略其次要因素。如电阻元件具 有消耗电能的性质（电阻性），其它的电 磁性质如电感性、电容性等忽略不计。。
f = 1/T T = 1/f
i
角频率是指交流电在1s内变化的电 Im
角度。正弦量每经过一个周期T，
o
对应的角度变化了2π弧度，所以
φ
ωt
T
2f 2
-第3章 正弦交流电路
30
I 2
总电流瞬时值表达式：
I I12 I22
82 62A10A ψ arctanb 30
a 23.1
i102si(n ω t23.1)A
有效值 I =10 A
33
第二节、正弦量的相量表示法
计算正弦交流电的一般步骤
1.将正弦交流电化成相量式。 2.运算出结果。
ψ ω t1
ωt
若:有向线段长度 = I m
初相位
有向线段与横轴夹角
角频率
有向线段按逆时针方向旋转角速度
瞬时值i
有向线段每一瞬时在纵轴上的投影
t=0时, i0 Imsinψ
t=t1时, i1Im si(ntψ 2)1
第二节、正弦量的相量表示法
二、复数
复数常见的表达形式： ●代数形式 ●三角函数形式 ●指数形式 ●极坐标形式
+1
-jA1
26
三、相量
第二节、正弦量的相量表示法
实质：用复数表示正弦量。
正弦交流电
矢量
复数
+j
b r
O
A a +1
可见：正弦交流电可用矢量表示，矢量又可用复数 表示，所以，正弦交流电也可用复数表示。
相量: 表示正弦量的复数称相量。
27
第二节、正弦量的相量表示法
相量表示: 设正弦量: iIm si(n ω tψ )
二、相位差
相位差：两个同频率的正弦量相位之差。用
表示。
如：uU (ω t ψ u) (ω t ψ i)
ψu ψi
ui u i
若 ψ1ψ20 O
ωt
电压超前电流
13
ψuψi 0
I 2
总电流瞬时值表达式：
I I12 I22
82 62A10A ψ arctanb 30
a 23.1
i102si(n ω t23.1)A
有效值 I =10 A
33
第二节、正弦量的相量表示法
计算正弦交流电的一般步骤
1.将正弦交流电化成相量式。 2.运算出结果。
ψ ω t1
ωt
若:有向线段长度 = I m
初相位
有向线段与横轴夹角
角频率
有向线段按逆时针方向旋转角速度
瞬时值i
有向线段每一瞬时在纵轴上的投影
t=0时, i0 Imsinψ
t=t1时, i1Im si(ntψ 2)1
第二节、正弦量的相量表示法
二、复数
复数常见的表达形式： ●代数形式 ●三角函数形式 ●指数形式 ●极坐标形式
+1
-jA1
26
三、相量
第二节、正弦量的相量表示法
实质：用复数表示正弦量。
正弦交流电
矢量
复数
+j
b r
O
A a +1
可见：正弦交流电可用矢量表示，矢量又可用复数 表示，所以，正弦交流电也可用复数表示。
相量: 表示正弦量的复数称相量。
27
第二节、正弦量的相量表示法
相量表示: 设正弦量: iIm si(n ω tψ )
二、相位差
相位差：两个同频率的正弦量相位之差。用
表示。
如：uU (ω t ψ u) (ω t ψ i)
ψu ψi
ui u i
若 ψ1ψ20 O
ωt
电压超前电流
13
ψuψi 0
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(2) i1(t) 10cos(100 t 300 ) i2(t) 10sin(100 t 150 )
(3) u1(t) 10cos(100 t 300 ) u2(t) 10cos(200 t 450 )
(4) i1(t) 5cos(100 t 300 ) i2(t) 3cos(100 t 300 )
j 3 4 ( 2) 5 4 0 j 2 5 4 3 4
i2(t) 10cos(100t 1050 )
j 300 (1050 ) 1350
w1 w2
不能比较相位差
i2(t) 3cos(100t 1500 )
j 300 (1500 ) 1200
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符 号，且在主值范围比较。
A
0
Re
A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模不变。
故把 ej 称为旋转因子。
上页 下页
几种不同值时的旋转因子
,
2
j
e 2 cos j sin j
2
2
Im
jI
I
0
Re
I
jI
j
, e 2 cos( ) j sin( ) j
2
2
2
, e j cos() j sin() 1
20 j5
解
原式
180.2
j126.2
19.2427.9 7.21156.3 20.6214.04
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329 182.5 j132.5 225.536 Im
A• ej
(3) 旋转因子：
复数 ej =cos +jsin =1∠
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
•
u(t) 2U cos(w t θ ) U Uθ
例1 已知
i 141.4cos(314t 30o )A u 311.1cos(314t 60o )V
试用相量表示i, u .
解
•
I
10030o
U=380V，
Um537V。
i , I m , I 注 （1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备
铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的 是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值 考虑。
（2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一 般为有效值。
（3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
•
I
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4. 相量法的应用
(1) 同频率正弦量的加减
u1(t)
2 U1 cos(w t Ψ 1) Re(
2
•U1来自ejwt
)
u2(t)
2 U2 cos(w t Ψ 2) Re(
2
•
U
2
e
jw
t
)
u(t) u1(t) u2(t) Re(
2
•
U
1
e
jwt
)
Re(
2
•
U
2
e
jwt
)
Re(
第3章 正弦交流电路和相量法
重点： 1. 正弦量的表示、相位差； 2. 正弦量的相量表示 3. 电路定理的相量形式；
下页
第一节 正弦量
1. 正弦量
瞬时值表达式：
i
T
波形：
i(t)=Imcos(w t+y)
y/w O
t
正弦量为周期函数 f(t)=f ( t+kT)
周期T (period)和频率f (frequency) :
dt t
T
1 T
0
0
2
20 2
I
1 T
I
2 m
T 2
Im 2
0.707Im
Im 2I
i(t) Im cos(w t Ψ ) 2I cos(w t Ψ )
上页 下页
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
1 U 2 Um
或 Um 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；
(1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im
反映正弦量变化幅度的大小。
(2) 角频率(angular frequency)ω
相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。
w 2 f 2 T
单位： rad/s ，弧度 / 秒
(3) 初相位(initial phase angle) y
i
T
反映正弦量的计时起点，
Re
2
I
jw
e
jw
t
idt
I
jw
I
w
yi
2
上页 下页
例 i(t) R
i(t) 2 I cos(w t y i )
+
u(t) -C
L
u(t) Ri L di 1 idt dt C
用相量运算：
U RI jwLI I jwC
相量法的优点：
（1）把时域问题变为复数问题； （2）把微积分方程的运算变为复数方程运算； （3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；
t 0 50 100cosy
由于最大值发生在计时起点右侧
i(t) 100cos(103 t )
3 当 103 t1 3 有最大值
y 3 y
3
t1＝1033 ＝1.047ms
上页 下页
3. 同频率正弦量的相位差 (phase difference)。
设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i)
(j 1 为虚数单位)
Im
b
A
|A|
0
a Re
A | A | e j
A | A | e j | A | (cos j sin ) a jb
A | A | e j | A |
上页 下页
两种表示法的关系：
A=a+jb
A=|A|ej =|A|
直角坐标表示 极坐标表示
Im
b
A
|A|
0
a Re
故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
上页 下页
3. 正弦量的相量表示
无物理意义
造一个复函数 A(t ) 2Iej(wt)
是一个正弦量 有物理意义
2Icos(wt ) j 2Isin(wt Ψ )
对A(t)取实部： Re[A(t)] 2Icos(w t Ψ ) i(t)
对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数
2）正弦信号容易产生、传送和使用。
上页 下页
（2）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号 可以分解为按正弦规律变化的分量。
n
f (t) Ak cos(kwt k ) k 1
对正弦电路的分析研究具有重要的理论 价值和实际意义。
上页 下页
2. 正弦量的三要素
i(t)=Imcos(w t+y)
U
Im
U 2
U 1
60
41.9
30
Re
上页 下页
2 . 正弦量的微分，积分运算
i 2 I cos(w t y i ) I Iy i
微分运算:
di d Re 2 Ie jw t
dt dt
Re 2I jw e jw t
di dt
jw
I
w
I
yi
2
积分运算:
idt Re 2Ie jw t dt
| A1 | | A2 |
θ1 θ2
除法：模相除，角相减。
例1. 547 10 25 ?
解 547 10 25 (3.41 j3.657) (9.063 j4.226)
12.47 j0.569 12.48 2.61
上页 下页
例2. 220 35 (17 j9) (4 j6) ?
有效值也称均方根值 (root-meen-square)
T0
上页 下页
同样，可定义电压有效值： 正弦电流、电压的有效值
def
U
1 T u2 (t )dt
T0
设 i(t)=Imcos(w t+ )
I
1 T
T 0
I
2 m
cos 2 (
w
t
Ψ
)
dt
T cos2( w t Ψ ) dt
T 1 cos 2(w t Ψ ) 1
上页 下页
第二节 正弦量的相量表示
1. 问题的提出：
电路方程是微分方程：
+i R u
C L
LC
d 2uC dt
RC
duC dt
uC
u(t )
_
两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算。
i1 2 I1 cos(w t y 1 ) i2 2 I2 cos(w t y 2 )
上页 下页
ui1, i
上页 下页
4. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平 均效果工程上采用有效值来表示。
周期电流、电压有效值(effective value)定义
直流I R
物
交流i R
理
意
义 W RI 2T
W T Ri2(t)dt 0
电流有效 值定义为
def
I
1
T i 2 (t )dt
w
i1
i2
w
角频率： I1 0
(3) u1(t) 10cos(100 t 300 ) u2(t) 10cos(200 t 450 )
(4) i1(t) 5cos(100 t 300 ) i2(t) 3cos(100 t 300 )
j 3 4 ( 2) 5 4 0 j 2 5 4 3 4
i2(t) 10cos(100t 1050 )
j 300 (1050 ) 1350
w1 w2
不能比较相位差
i2(t) 3cos(100t 1500 )
j 300 (1500 ) 1200
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符 号，且在主值范围比较。
A
0
Re
A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模不变。
故把 ej 称为旋转因子。
上页 下页
几种不同值时的旋转因子
,
2
j
e 2 cos j sin j
2
2
Im
jI
I
0
Re
I
jI
j
, e 2 cos( ) j sin( ) j
2
2
2
, e j cos() j sin() 1
20 j5
解
原式
180.2
j126.2
19.2427.9 7.21156.3 20.6214.04
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329 182.5 j132.5 225.536 Im
A• ej
(3) 旋转因子：
复数 ej =cos +jsin =1∠
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
•
u(t) 2U cos(w t θ ) U Uθ
例1 已知
i 141.4cos(314t 30o )A u 311.1cos(314t 60o )V
试用相量表示i, u .
解
•
I
10030o
U=380V，
Um537V。
i , I m , I 注 （1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备
铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的 是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值 考虑。
（2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一 般为有效值。
（3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
•
I
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4. 相量法的应用
(1) 同频率正弦量的加减
u1(t)
2 U1 cos(w t Ψ 1) Re(
2
•U1来自ejwt
)
u2(t)
2 U2 cos(w t Ψ 2) Re(
2
•
U
2
e
jw
t
)
u(t) u1(t) u2(t) Re(
2
•
U
1
e
jwt
)
Re(
2
•
U
2
e
jwt
)
Re(
第3章 正弦交流电路和相量法
重点： 1. 正弦量的表示、相位差； 2. 正弦量的相量表示 3. 电路定理的相量形式；
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第一节 正弦量
1. 正弦量
瞬时值表达式：
i
T
波形：
i(t)=Imcos(w t+y)
y/w O
t
正弦量为周期函数 f(t)=f ( t+kT)
周期T (period)和频率f (frequency) :
dt t
T
1 T
0
0
2
20 2
I
1 T
I
2 m
T 2
Im 2
0.707Im
Im 2I
i(t) Im cos(w t Ψ ) 2I cos(w t Ψ )
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同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
1 U 2 Um
或 Um 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；
(1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im
反映正弦量变化幅度的大小。
(2) 角频率(angular frequency)ω
相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。
w 2 f 2 T
单位： rad/s ，弧度 / 秒
(3) 初相位(initial phase angle) y
i
T
反映正弦量的计时起点，
Re
2
I
jw
e
jw
t
idt
I
jw
I
w
yi
2
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例 i(t) R
i(t) 2 I cos(w t y i )
+
u(t) -C
L
u(t) Ri L di 1 idt dt C
用相量运算：
U RI jwLI I jwC
相量法的优点：
（1）把时域问题变为复数问题； （2）把微积分方程的运算变为复数方程运算； （3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；
t 0 50 100cosy
由于最大值发生在计时起点右侧
i(t) 100cos(103 t )
3 当 103 t1 3 有最大值
y 3 y
3
t1＝1033 ＝1.047ms
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3. 同频率正弦量的相位差 (phase difference)。
设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i)
(j 1 为虚数单位)
Im
b
A
|A|
0
a Re
A | A | e j
A | A | e j | A | (cos j sin ) a jb
A | A | e j | A |
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两种表示法的关系：
A=a+jb
A=|A|ej =|A|
直角坐标表示 极坐标表示
Im
b
A
|A|
0
a Re
故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
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3. 正弦量的相量表示
无物理意义
造一个复函数 A(t ) 2Iej(wt)
是一个正弦量 有物理意义
2Icos(wt ) j 2Isin(wt Ψ )
对A(t)取实部： Re[A(t)] 2Icos(w t Ψ ) i(t)
对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数
2）正弦信号容易产生、传送和使用。
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（2）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号 可以分解为按正弦规律变化的分量。
n
f (t) Ak cos(kwt k ) k 1
对正弦电路的分析研究具有重要的理论 价值和实际意义。
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2. 正弦量的三要素
i(t)=Imcos(w t+y)
U
Im
U 2
U 1
60
41.9
30
Re
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2 . 正弦量的微分，积分运算
i 2 I cos(w t y i ) I Iy i
微分运算:
di d Re 2 Ie jw t
dt dt
Re 2I jw e jw t
di dt
jw
I
w
I
yi
2
积分运算:
idt Re 2Ie jw t dt
| A1 | | A2 |
θ1 θ2
除法：模相除，角相减。
例1. 547 10 25 ?
解 547 10 25 (3.41 j3.657) (9.063 j4.226)
12.47 j0.569 12.48 2.61
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例2. 220 35 (17 j9) (4 j6) ?
有效值也称均方根值 (root-meen-square)
T0
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同样，可定义电压有效值： 正弦电流、电压的有效值
def
U
1 T u2 (t )dt
T0
设 i(t)=Imcos(w t+ )
I
1 T
T 0
I
2 m
cos 2 (
w
t
Ψ
)
dt
T cos2( w t Ψ ) dt
T 1 cos 2(w t Ψ ) 1
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第二节 正弦量的相量表示
1. 问题的提出：
电路方程是微分方程：
+i R u
C L
LC
d 2uC dt
RC
duC dt
uC
u(t )
_
两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算。
i1 2 I1 cos(w t y 1 ) i2 2 I2 cos(w t y 2 )
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ui1, i
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4. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平 均效果工程上采用有效值来表示。
周期电流、电压有效值(effective value)定义
直流I R
物
交流i R
理
意
义 W RI 2T
W T Ri2(t)dt 0
电流有效 值定义为
def
I
1
T i 2 (t )dt
w
i1
i2
w
角频率： I1 0