[1] 第3章 正弦交流电路的向量分析法
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正弦交流电基本概念 向量分析法
图2-1
u Um 0 （a） ωt
Um
u
0
u Um
φ0 （b）
ωt
0
φ0 （c）
ωt
图（a）中，φ0=0，u=Umsinωt；
图（b）中，φ0>0，u=Umsin(ωt+φ0)；
图（c）中，φ0<0，u=Umsin(ωt－φ0)。 φ0的正、负问题。
－π<φ0<π
2.相位差
两同频率的正弦量之间的相位角之差或初相位之差。
则 u 与 I 的相位差为 ui= (30) ( 60) = 90，即 u 比 I 滞 后 90，或 I 比 u 超前90。 已知某正弦电压在t=0时为 110 2V ，初相角为30°，求其有效值
u Um sin(wt 30。 )
u(0) U m sin 30 U Um
u u1 u2 u3 u4
何谓反相？同 相？超前？滞 后？
不能！因为180V的正弦交流 电，其最大值≈255V >220V!
u1与u2反相，即相位差为180°； ωt
u3超前u190°，或说u1滞后u390°，
u1与u4同相，即相位差为零。
第3章
3.2 正弦量的表示法
1 9
3.2.1 复数
＋j b r A 复平面 上有向 线段
。
u(0) 110 2 Um V 220 2V 。 sin 30 0.5
220 2 V 220V 2 2
i
0
同相 O i2 i1
t
i
反相
O
i2 i1
t
相位差φ的大小与时间t、角频率ω无关，它仅取决于两 个同频正弦量的初相位。
第3章正弦交流电路的向量分析法ppt课件
电工与电子技术
RI2T
直流电流I流过电阻时， 在相同时间消耗的能量
R Ti2dt 0 周期电流i 流过电阻时， 在相同时间消耗的能量。
有效值的定义式： I 1 T i 2 dt
T0
资 金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资 金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
电工与电子技术
第三章正弦交流电路的向量分析法
3.1 正弦交流电压电流的相量 3.2 电路基本定律的相量形式 3.3 RLC串并联交流电路的分析 3.4 正弦交流电路的功率和功率因数 3.5 电路的谐振
a
资 金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
复数四则运算回顾
电工与电子技术
（1）相等。任意一个复数 A 和B相等，则
A = B， a1 + j a2 = b1 + j b2 , a1 = b1 , a2 = b2 ,
资 金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
注意：
电工与电子技术
• 工业上所说的电压和电流的值一般是指有效值，如电 工设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平 、耐压值指的是最大值
4. 视在功率
第三章 正弦交流电路-1-相量表示法.
U U 630 460 5.196 j 3 2 j 3.464 U 1 2
u(t ) u1 (t ) u2 (t ) 9.67 2sin( 314t 41.9o ) V
注意：还原为正弦量时，要为对应的正弦量形式 同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量 图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。
j i
正弦量可以用上述形式复数函数描述
j (t i )
] ]
取复数函数的虚部
e
jt
复指数函数中的一个复常数
复常数 即为正弦量的 相量，记为 I m
相量:指与正弦量具有一一对应关系的复数。如：
复数座标
j
u
ω
0
A
u U m sin t
1
Um
正弦座标
正弦量的最大值对应复数A的模值； 正弦量的初相与复数A的幅角相对应； 正弦量的角频率对应复数A绕轴旋转的角速度ω； 显然，复数A就是正弦电压u 的相量。二者具有一 一对应关系。
小 常 识
2π 2πf T
（rad/s） i
T
t
*电网频率：我国 50 Hz ，美国 、日本 60 Hz *有线通讯频率：300 ~ 5000 Hz
*无线通讯频率： 30 kHz ~ 3×104 MHz
2. 幅值与有效值
幅值：正弦量的最大正值。 表示为：Im、Um、Em
幅值必须大写, 下标加 m 。
思考题：正弦量的大小和方向随时间按正弦规律变
化，但我们常说供电电压为220V ，这是一 个什么值？
有效值！
在工程应用中常用有效值来衡量正弦量的大小。常 用交流电压、电流表测量数据为有效值；交流设备
正弦交流电路的特点与分析方法资料PPT学习教案
的单位都是欧姆。 Z称为阻抗角，它等于电压超前电流的相位
角，即
Z
u i
arctg
X R
arctg
XL XC R
第23页/共61页
Z是一个复数, 所以又称为复阻抗
•
U
•
I
Z Z
U u I i
Z是一个复数, 所以又称为复阻抗。
|Z|称为该电路的阻抗，是复阻抗的模。
复阻抗、阻抗的单位都为Ω。
应该注意，相量与正弦量之间只具有对应关系，而不是相等的关系。
例 已求知：⑴u1=求14相1s量in(Uω.1t和+6U0。2o)；V(，2) u求2 =两70电.7压sin之(ω和t-的45瞬o)V时。值 u(t)
（3） 画出相量图
解（1 ）
•
U
1
＝1
4
1
＝10060＝100e j60
(5 0
j86.6)V
2. 正弦量的相量表示
设有一复数
A(t) A e j(t)
它和一般的复数不同，它不仅是复数，而且辐角还是时间的函数，称为
复指数函数。因为
A(t) Ae j(t) Ae je jt Aejt A(t) Aej(t) A cos(t ) j A sin(t )
可见A(t)的虚部为正弦函数。这样就建立了正弦量和复数之间的关系。为 用复数表示正弦信号找到了途径。
第17页/共61页
电感元件的波形、相量图如图所示。可以看出，电感上电 流滞后电压为90°。
图 电感元件的波形、相量图
第18页/共61页
3、 电容元件
电容元件上电压、电流之间的相量关系式为：
.
.
I jCU
将上式改写为：
角，即
Z
u i
arctg
X R
arctg
XL XC R
第23页/共61页
Z是一个复数, 所以又称为复阻抗
•
U
•
I
Z Z
U u I i
Z是一个复数, 所以又称为复阻抗。
|Z|称为该电路的阻抗，是复阻抗的模。
复阻抗、阻抗的单位都为Ω。
应该注意，相量与正弦量之间只具有对应关系，而不是相等的关系。
例 已求知：⑴u1=求14相1s量in(Uω.1t和+6U0。2o)；V(，2) u求2 =两70电.7压sin之(ω和t-的45瞬o)V时。值 u(t)
（3） 画出相量图
解（1 ）
•
U
1
＝1
4
1
＝10060＝100e j60
(5 0
j86.6)V
2. 正弦量的相量表示
设有一复数
A(t) A e j(t)
它和一般的复数不同，它不仅是复数，而且辐角还是时间的函数，称为
复指数函数。因为
A(t) Ae j(t) Ae je jt Aejt A(t) Aej(t) A cos(t ) j A sin(t )
可见A(t)的虚部为正弦函数。这样就建立了正弦量和复数之间的关系。为 用复数表示正弦信号找到了途径。
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电感元件的波形、相量图如图所示。可以看出，电感上电 流滞后电压为90°。
图 电感元件的波形、相量图
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3、 电容元件
电容元件上电压、电流之间的相量关系式为：
.
.
I jCU
将上式改写为：
3正弦交流电路分析
(1) 求 i 的数学表达式；(2) 画出相量图； (3) 说明 i 的 最大值是否等于 i1 和 i2 的最大值之和， i 的有效值是否 等于 i1 和 i2 的有效值之和，并说明为什么。
[解]
(1) 采用相量运算
(2) 相量图
I1m = 20 60 A I2m = 10 – 45 A Im= I1m+ I2m
第3章 正弦交流电路分析
3.1 正弦交流电的基本概念 3.2 正弦交流电的三要素 3.3 正弦电量的相量表示法 3.4 单一参数正弦交流电路 3.5 电路基本定理的相量形式
第3章 正弦交流电路分析
3.6 简单正 正弦交流电的基本概念
交流电: 大小和方向都周期性变化、在一个周期上 的平均值为零。
u 滞后于 i
iu
= 0°
iu
= ±180°
O
ωt
O
u 与 i 同相位
ωt
u 与 i 反相
3.3 正弦交流电的相量表示法
一、复数的表示方法
+j
c= √a2+b2
b
p
a = c cosψ
ψ
O
a +1
b = c sinψ ψ=arctan( ab)
Op = a + j b
代数式
= c (cosψ + j sinψ )
= 19.9 30.9 A i = Im sin(ωt +ψ)
= 19.9 sin(ωt + 30.9 ) A
+j
I1m
Im
60° 30.9°
O 45°
+1
I2m
(3) 因为 i1 + i2 的初相位不同，故最大值和有效 值之间不能代数相加。
[解]
(1) 采用相量运算
(2) 相量图
I1m = 20 60 A I2m = 10 – 45 A Im= I1m+ I2m
第3章 正弦交流电路分析
3.1 正弦交流电的基本概念 3.2 正弦交流电的三要素 3.3 正弦电量的相量表示法 3.4 单一参数正弦交流电路 3.5 电路基本定理的相量形式
第3章 正弦交流电路分析
3.6 简单正 正弦交流电的基本概念
交流电: 大小和方向都周期性变化、在一个周期上 的平均值为零。
u 滞后于 i
iu
= 0°
iu
= ±180°
O
ωt
O
u 与 i 同相位
ωt
u 与 i 反相
3.3 正弦交流电的相量表示法
一、复数的表示方法
+j
c= √a2+b2
b
p
a = c cosψ
ψ
O
a +1
b = c sinψ ψ=arctan( ab)
Op = a + j b
代数式
= c (cosψ + j sinψ )
= 19.9 30.9 A i = Im sin(ωt +ψ)
= 19.9 sin(ωt + 30.9 ) A
+j
I1m
Im
60° 30.9°
O 45°
+1
I2m
(3) 因为 i1 + i2 的初相位不同，故最大值和有效 值之间不能代数相加。
正弦稳态电路向量分析方法
•
U ab
•
Va
I sa Gaa
1
jX L 1
jX C 1
j5
j4 155.3 155.38 V
1 1 1
R jX L jX C
5 j5 j4
因为 •
•
•
•
•
•
U ab I1 . jX L U s1 I 2 .( jXC ) U s2 I 3 .R
则
•
•
•
I1
U s1 V a
1000
0
•
•
10090 I 3 .5 I 2 .( j4) 0 对以上方程求解得：
•
I1 49.94 74.98 A，
•
I 2 54.23139.4 A，
•
I 3 31.06 155.38 A。
（2）运用节点电位法求解
设b点为参考点，由弥尔曼定理可得
•
•
•
U s1 U s2
1000 10090
1．功率因数
由图5-54所示的功率三角形可知 cos P
S
式中 cos 称为功率因数，用 表示，即 cos ，而φ称为
功率因数角。功率因数表征了电能的利用率，当视在功率一定时，功 率因数越大，用电设备的有功功率越大，无功功率越小，电能利用率 越高。
2．提高功率因数的一般方法 实际应用中，功率因数不高的原因，主要是由于大量电感性负载
5-52所示。
设 u＝ 2U sin(t ) ， i＝ 2I sint ，则该无源网络的瞬时
功率为 p ui＝ 2U sin(t ). 2I sint
＝2UI sin(t ).sint ＝UI cos UI cos(2t )
弦交流电路的向量表示
弦交流电路的向量表 示
目录
CONTENTS
• 引言 • 向量表示法 • 弦交流电路的向量分析 • 弦交流电路的向量计算 • 弦交流电路的向量图 • 总结与展望
01 引言
目的和背景
目的
通过向量表示法，对弦交流电路 进行简洁、直观的描述，便于分 析和计算。
背景
交流电路在现代电力系统中广泛 应用，而向量表示法是解决交流 电路问题的重要工具。
向量表示法的优势
总结词
向量表示法的优势在于其简化了交流电路的分析过程，使得分析和计算更加直观和方便。
详细描述
相比于传统的欧姆定律和基尔霍夫定律等分析方法，向量表示法能够更直观地反映电路 元件之间的相位关系和幅度关系。此外，向量表示法还具有计算简便、易于理解等优点， 使得交流电路的分析过程更加简洁明了。因此，向量表示法在交流电路分析中得到了广
泛的应用。
03 弦交流电路的向量分析
弦交流电路的基本概念
弦交流电路
由交流电源、电阻、电感、 电容等元件组成的电路， 其中电流和电压的大小和 方向随时间变化。
正弦交流电
电流和电压随时间按正弦 函数规律变化的交流电。
频率
交流电每秒钟变化的周期 数，单位为赫兹（Hz）。
弦交流电路的向量模型
向量表示
相量
交流电路的基本概念
01
02
03
交流电
方向、大小随时间变化的 电流。
相位差
两个交流量之间的时间差。
阻抗
交流电路中，对交流信号 的阻碍作用。
02 向量表示法
向量与复数的定义
总结词
向量与复数是向量表示法的基础，它们在数学和工程领域中有着广泛的应用。
详细描述
向量表示法中，向量通常表示为复数形式，即由实部和虚部组成。实部和虚部 分别表示向量在实数轴和虚数轴上的投影。通过这种方式，向量可以方便地表 示为复数，简化了数学运算和电路分析。
目录
CONTENTS
• 引言 • 向量表示法 • 弦交流电路的向量分析 • 弦交流电路的向量计算 • 弦交流电路的向量图 • 总结与展望
01 引言
目的和背景
目的
通过向量表示法，对弦交流电路 进行简洁、直观的描述，便于分 析和计算。
背景
交流电路在现代电力系统中广泛 应用，而向量表示法是解决交流 电路问题的重要工具。
向量表示法的优势
总结词
向量表示法的优势在于其简化了交流电路的分析过程，使得分析和计算更加直观和方便。
详细描述
相比于传统的欧姆定律和基尔霍夫定律等分析方法，向量表示法能够更直观地反映电路 元件之间的相位关系和幅度关系。此外，向量表示法还具有计算简便、易于理解等优点， 使得交流电路的分析过程更加简洁明了。因此，向量表示法在交流电路分析中得到了广
泛的应用。
03 弦交流电路的向量分析
弦交流电路的基本概念
弦交流电路
由交流电源、电阻、电感、 电容等元件组成的电路， 其中电流和电压的大小和 方向随时间变化。
正弦交流电
电流和电压随时间按正弦 函数规律变化的交流电。
频率
交流电每秒钟变化的周期 数，单位为赫兹（Hz）。
弦交流电路的向量模型
向量表示
相量
交流电路的基本概念
01
02
03
交流电
方向、大小随时间变化的 电流。
相位差
两个交流量之间的时间差。
阻抗
交流电路中，对交流信号 的阻碍作用。
02 向量表示法
向量与复数的定义
总结词
向量与复数是向量表示法的基础，它们在数学和工程领域中有着广泛的应用。
详细描述
向量表示法中，向量通常表示为复数形式，即由实部和虚部组成。实部和虚部 分别表示向量在实数轴和虚数轴上的投影。通过这种方式，向量可以方便地表 示为复数，简化了数学运算和电路分析。
正弦交流电路的向量表示法
思考题（三）
3、已知 u 1 12 0 s0 i tn ,V u 2 22 s0 it n 1 ( ) V 2 ,
如图4.12所示，判断下列表达式的正误。
(1) u u 1 u 2
(2) U U 1 U 2
(3) U U 1 U 2
(4) U m U m1 U m2
t1 A
O
＋1
a t1
Um
O′
t
正弦量的复数表示
Umej ejt Umej(t)
Umcos(t)jUmsin(t)
UU
例 （一）
已知同频率的正弦量的解析式分别为
i=10sin(ωt+30°), u2220si nt (45 ) , 写
(在第二象限)
则A2的极坐标形式为 A25/12.96
例
写出复数A=100 30°的三角形式和代数形式。 解 ： 三角形式A=100（cos30°+jsin30°
代数形式A=100(cos30°+jsin30°)=86.6+j50
复数及四则运算（三）
3. 复数的四则运算
＋j A1＋A2
(1) 复数的加减法
出电流和电压的相量 I 、U ,并绘出相量图。 解 由解析式可得
例 （二）
I
10
30 5 2 30 A
2
U
220
2
45 V
2
相量图如图4.11所示。
＋j ·I
30°
O
45 °
＋1
U·
图 4.11 例 4.12 图
例 4.13（一）
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分压公式
3.3.2 RLC并联的交流电路[P55 图3.32]
等效阻抗
分流公式
电工与电子技术
3.4正弦交流电路的功率和功率因数
• 1. 瞬时功率
电工与电子技术
2. 平均功率
• 也称有功功率，是瞬时功率在一个周期内的有效值
• 功率因数，功率因数角
电工与电子技术
3. 无功功率
• 无功功率的单位为乏(Var)
一 电阻元件VAR的相量表示： u = Ri 故得
Um R Im
U m U m u I m I m i
Re(U m e ) R Re( I m e ) Re( RI m e jt )
jt
jt
Um R Im
u i
电压和电流同相
二 电容元件VAR的相量表示： du dt i CUm sin(t u ) CUm cos(t u 90) 电容： i=C
电工与电子技术
3.1.2 正弦交流电的三要素
最大值 角频率或频率
相位或初相
wt j
i
反映正弦量随时间变化的角度，称为相位角，
简称相位。 j i 是t = 0时的相位，称为正弦量的初相。
在 ( p, p ) 主值范围内取值
电工与电子技术
电工与电子技术
3.1.3 正弦量的相位差
电工与电子技术
电工与电子技术
I m cos(t i )
故得
I m CU m
i u 90
I = CU
jy
1 电容电压电流的模与角频率有关 超前 2 电流相位超前电压相位 90
i
90 u
U
x
3 I m jCU m
三 电感元件VAR的相量表示： 电感 u=L
电工与电子技术
A ± B = (a1 + j a2) ± (b1 + j b2)
A ± B = (a1 ± b1) + j(a2 ± b2)
O
a1 b1
a1 +b1
x
电工与电子技术
（3）乘法。任意一个复数 A 和B相乘可表示为 A×B = (a1 + j a2) ×(b1 + j b2) = (a1b1 –a2b2) + j(a2b1 +a1b2) = a e j × b e j = ab e j(+) = ab + （4）除法。任意一个复数 A 除以B可表示为 A÷B = (a1 + j a2) ÷ (b1 + j b2) a2b1+a1b2 = (a1b1+a2b2) + j(a2b1–a1b2) b12 + b22
O
a1
相量图
x
a=
a12 + a22Fra bibliotekja2
电工与电子技术
a
a
a1 < 0，a2 > 0， 90º < < 180º ， 第二象限；
O
a1 > 0，a2 > 0， 0º < < 90º， 第一象限；
a1
a1 < 0，a2 < 0， 180º < < 270º， 第三象限；
a1 > 0，a2 < 0， 270º < < 360º， 第四象限。
3.5.2 RLC并联谐振电路
• 谐振频率 • 特征
电压和电流同相位，
电路呈现阻性
阻抗最大，电流有效值最小
在相同时间消耗的能量
1 有效值的定义式： I T
T
0
i 2 dt
问题2：正弦信号的有效值是多少？ 将 i = Imcos(t+i)代入，则有
I= 1 T
电工与电子技术
T
=
=
1 T 1
2 U=
0 T I2 m 2
I2mcos2(t+i)dt [cos(2t+2i)+1]dt
0
Im = 0.707Im 1 2 Um = 0.707Um
同理可得
由此可见：正弦波的有效值为其振幅的1 代振幅，作为正弦量的一个要素。
2 。有效值可以替
电工与电子技术
注意：
• 工业上所说的电压和电流的值一般是指有效值，如电 工设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平
、耐压值指的是最大值
• 在电工测量中，交流测量仪表指示的电压和电流读数 一般为有效值。
电工与电子技术
功率因数
• 提高功率因数的意义 使供电设备得到充分利用
降低线路损耗
• 提高功率因数的方法
根据有功功率和无功功率守恒确定并联电容的大小
根据向量图分析计算并联电容的取值
电工与电子技术
3.5电路的谐振
• 3.5.1 RLC串联谐振电路 谐振的条件 电压 电流
电工与电子技术
电工与电子技术
上篇
电工技术
• 第一章 电路分析的基本定律 • 第二章 直流电路分析的基本方法
• 第三章 正弦交流电路的相量分析法
• 第四章 三相交流电路
• 第五章 一阶电路的暂态过程分析
• 第六章 变压器、电动机和安全用电
电工与电子技术
第三章正弦交流电路的向量分析法
3.1 3.2 3.3
3.4 3.5 正弦交流电压电流的相量
电路基本定律的相量形式
RLC串并联交流电路的分析 正弦交流电路的功率和功率因数 电路的谐振
电工与电子技术
3.1正弦交流电压电流的相量
• 3.1.1 正弦交流电的基本概念 产生、输送和使用，经济意义，损耗小 在必须直流的场合，可将交流电利用整流设备装换成直流电 • 种类：正弦、方波、锯齿波等 正弦交流电的优点： 生产输送应用 变化平滑。不易产生高次谐波，有利于保护绝缘性和减少设 备运行中的能量损耗 各种非正弦周期交流电都可使用不同频率的交流电叠加而成
3.2.2 RLC元件伏安关系的向量形式
三种元件的伏安关系： 电阻： 电容： u = Ri
电工与电子技术
电感：
du dt di u=L dt
i=C ？ 在正弦稳态电路中，这三种元件伏安 关系的相量形式应该是怎样的
设元件两端的电压和流过的电流可表示为：
电工与电子技术
u(t ) Um cos(t u ) i(t ) I m cos(t i )
• 电感
• 电容
电工与电子技术
4. 视在功率
• S = UI
电工与电子技术
• 小结 平均功率（有功功率）（w） PR = IU PL = 0 无功功率： （var） QR = 0 QL=UI 平均储能： （J）
1 WL = LI 2 2
PC = 0
Qc = -UI
1 WC = CU 2 2
QL = 2WL QC = -2Wc
3.1.4 正弦量的有效值
问题1：周期电压和电流的瞬时值是随时间而变化的，如何 选取一个表征大小的特定值？ 平均值？ 不合适 正弦波在一个周期内 的平均值为零
O
uab
最大值？
T
不合适
t
只能表征某一 瞬间的大小
电工与电子技术
RI T
直流电流I流过电阻时，
2
R i 2 dt
0
T
周期电流i 流过电阻时， 在相同时间消耗的能量。
3.1.5 复数
任意一个复数 A 可表示为 A = a1 + j a2 = Re(A) + j Im(A)
电工与电子技术
= a cos +j a sin = a(cos +j sin ) =ae
j
=a
a2
j y a
A
a1 = Re(A) = a cos
a2 = Im(A) = a sin
di dt
U m LI m
U = LI u
jy
90 i I
u i 90
u = i + 90
x
1 电感电压电流的有效值与角频率有关 2 电流相位滞后电压相位 90 滞后 3 U m jL I m
电工与电子技术
3.3 RLC串并联交流电路的分析
3.3.1 RLC串联的交流电路[P53 图3.24] 等效阻抗
j
jy
C
ab B
= a e j ÷ b e a – = b
= a e b
j(–)
b
O
A
a + a1b1–a2b2 x
电工与电子技术
3.1.6 正弦交流电压电流的相量表示
电工与电子技术
3.2 电路基本定律的向量形式
3.2.1 基尔霍夫定律的向量形式 KCL
KVL
a
a
复数四则运算回顾
（1）相等。任意一个复数 A 和B相等，则
电工与电子技术
A = B， a1 + j a2 = b1 + j b2 , a1 = b1 , a2 = b2 ,
ae
j
=be
j
, a=b, =,
a2 +b2 jy
（2）加减。任意一个复数 A 和B加减，则可表示为
C
b2
B a2 A