电工学：第3章 正弦交流电路
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电工学课件--第三章 正弦交流电路
U • o I= U =U 0 ∠ R
• •
u =Um sinω t u Um i = = sinω = Im sinω t t R R
U =I R
U =I R
•
•
可见： 可见：电压与电流同相位 ui
i
u
•
IU
•
I
•
U
+−
2．功率关系
ui
i
⑴ 瞬时功率
•
u
IU
p=ui=UmImsin2ωt =UI(1-cos2ωt)
角频率ω: 单位时间里正弦量变化的角度 称为角频率。单位是弧度/秒 （rad/s）. ω=2π/T=2πf 周期，频率，角频率从不同角度描 述了正弦量变化的快慢。三者只要知 道其中之一便可以求出另外两时值， 瞬时值中最大的称为最大值。Ｉm、 Ｕ m 、Ｅ m 分别表示电流、电压和电动 势的最大值. 表示交流电的大小常用有效值的概 念。
单位是乏尔（Var） 单位是乏尔（Var）
第四节 RLC串联交流电路 串联交流电路 一.电压与电流关系
i R u L C
uR uL
u =uR +uL +uC
U =UR+UL+UC
• • • •
uC
以电流为参考相量， 以电流为参考相量， 相量图为： 相量图为：
•
UL UL+UC
φ
• • • •
•
U I
•
U
φ UR
UL-UC
UR
UC
2 可见： 可见： U = UR +(UL −UC)2
U L −UC X L − XC = arctg = arctg UR R
电工技术教学课件第三章正弦交流电路
平均功率： P=0
无功功率： Qc=－UI
Page 38
3.6.1
3.6.6 电阻、电感、电容的交流功率及物理意义
例
Page 39
3.6.7 功率因数与功率因数的提高
Page 40
3.6.2
3.6.7 功率因数与功率因数的提高
例
Page 41
3.7 交流电路的最大功率传输
Page 42
3.7 交流电路的最大功率传输
3.1.1 幅度、频率和初相位
Page 5
ωT=2π
3.1.2 正弦量相位差
相位差可用φ表示，规定|φ|≤180°。 显然同频正弦信号的相位差即它们的初相之差。综合相位 差的情况有以下几种： （1）φ=φu－φi>0，即φu>φi，表示u超前于i的度数为φ。 （2）φ=φu－φi<0，即φu<φi，表示u滞后于i的度数为φ。 （3）φ=φu－φi=0，表示u与i同相。 （4）φ=φu－φi=180°，表示u与i反相。 （5）φ=φu－φi=90°，表示u与i正交。
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Page 6
3.1.2 正弦量相位差
已知正弦信号u(t)=3cos (ωt+140°)， i(t)=8cos (ωt－100°)，求u与i的相位差。
Page 7
3.1.3 正弦量有效值
周期电流i流过电阻R在一个周期T内所做功与直流电流I流过 同样电阻R在同样时间T内所做功相等，称直流电流I为此周期性 电流i的有效值。
Page 17
Page 18
3.4 复阻抗和复导纳
• RC串联电路和复阻抗 • RC并联电路和复导纳 • 阻抗和导纳的串、并联电路
3.4.1 RC串联电路和复阻抗
无功功率： Qc=－UI
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3.6.1
3.6.6 电阻、电感、电容的交流功率及物理意义
例
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3.6.7 功率因数与功率因数的提高
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3.6.2
3.6.7 功率因数与功率因数的提高
例
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3.7 交流电路的最大功率传输
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3.7 交流电路的最大功率传输
3.1.1 幅度、频率和初相位
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ωT=2π
3.1.2 正弦量相位差
相位差可用φ表示，规定|φ|≤180°。 显然同频正弦信号的相位差即它们的初相之差。综合相位 差的情况有以下几种： （1）φ=φu－φi>0，即φu>φi，表示u超前于i的度数为φ。 （2）φ=φu－φi<0，即φu<φi，表示u滞后于i的度数为φ。 （3）φ=φu－φi=0，表示u与i同相。 （4）φ=φu－φi=180°，表示u与i反相。 （5）φ=φu－φi=90°，表示u与i正交。
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3.1.2 正弦量相位差
已知正弦信号u(t)=3cos (ωt+140°)， i(t)=8cos (ωt－100°)，求u与i的相位差。
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3.1.3 正弦量有效值
周期电流i流过电阻R在一个周期T内所做功与直流电流I流过 同样电阻R在同样时间T内所做功相等，称直流电流I为此周期性 电流i的有效值。
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3.4 复阻抗和复导纳
• RC串联电路和复阻抗 • RC并联电路和复导纳 • 阻抗和导纳的串、并联电路
3.4.1 RC串联电路和复阻抗
电工技术基础电工学(王英)
3.1.1正弦量 1.正弦量的特征
i I m sin(t i )
相位 (ωt +ψi)表示是正弦量随时间变化的弧度或角度， 称为瞬时相位（简称为相位）。 初相角 ψi表示t=0时的相位，称为初相角（或初相位 ）。
一个正弦量若已知Im、ω、ψi ，则可写出正弦量的
解析式或画出其波形。所以通常称Im、ω、ψi为正弦量 的三要素，也是分析电路时用到的3个基本特征量。
的正弦量表达式。 已知频率f = 50Hz 。
解
545A 得 由相量 I 1
i1 (t ) 25 sin(314t 45)
A
3 78A 得 由相量 I 1m
i2 (t ) 3 sin(314t 78)
A
注意：
相量是用来表征正弦量的，它本身并不是正弦量。 在电路分析时要注意两者的区别。正弦量是时间t的函
I
Im 2
0.707I m
同理，正弦交流电压的有效值与最大值的关系有
U
Um 2
0.707 Um
3.1.2正弦量的相量表示 最大值相量
有效值相量
I e ji I m m
ji I Ie
相量除了用复数式表示外，还可 以在复平面上用有向线段表示相量， 称为相量图。 例3-4 写出电压
例3-1 已知正弦电压的 U m 380V, f 50Hz, u 30, 试写出正弦电压的瞬时表达式，并画出波形图。 解 根据已知参数，得
u(t ) U m sin(2ft u )
380sin(314t 30) V 2. 相位差 相位差 描述同频率下的不同正弦量之间相位的差别。 例如，设有两个正弦量为 f1 (t ) A1 sin(t 1 ) f 2 (t ) A2 sin(t 2 )
电工学课件第3章-正弦交流电路
udt L
udt
L
udt
0
i0
L
udt
0
式中 i为0 t=0时电流的初始值。如果 ＝i0 0则：
1t
i udt L0
电感元件的磁场能量
把式
u
eL
L
di dt
两边乘以 i并积分得：
t uidt
0
t 0
Lidi
1 2
Li2
因此电感元件中存储的磁场能量为：
1 2
Li2
3.3.3 电容元件
70.7 I2m
52
122.7
Im
+1
30
3.3 电阻元件、电感元件和电容元件
电阻元件：消耗电能，转换为热能（电阻性） 电感元件：产生磁场，存储磁场能（电感性） 电容元件：产生电场，存储电场能（电容性）
在直流电路中（稳态），电感元件可视为短路， 电容元件（稳态）可视为开路。
在交流电路中，电感元件和电容元件中的电流均不 为零。
i
i Im sin t 2 O
ωt
则 u和 的i 相位差为：
t 1 t 2 1 2
当 1 时，2 比 u超前i 角，比 滞u后 角i。
同相反相的概念
同相:相位相同，相位差为零。
反相:相位相反，相位差为180°。
下面图中是三个正弦电流波形。 与i1 同i2 相， 与i1 反相i3 。
p
ui
U
m
Im
sin 2
t
U
mIm 2
1
cost
UI
1 cost
p≥0，总为正值，所以电阻元件消耗电能，转换为热能。
平均功率
平均功率是一个周期内瞬时功率的平均值：
电工学第三章
3-1正弦交流电的基本概念 3-1-1 正弦交流电的三要素 正弦交流电: 大小和方向都随时间按正弦规律作周期性变化 的电量（电压、电流、电动势）。
i
设正弦交流电流：
Im
O
t
T
i I m sin t
初相角：决定正弦量起始位置 角频率：决定正弦量变化快慢 in( t 2 )
I I1 I 2
i i1 i 2
上节复习：
1、写出下列正弦量对应的相量，并作出相量图
i1 4 2 s in ( t 3 0 )
i2 1 0 2 c o s ( t 1 2 0 )
i3 1 4 .1 4 s in ( t 1 5 0 )
相量的模=正弦量的最大值
相量辐角=正弦量的初相角
U
U
u U m sin ( t )
电压的有效值相量
U
U
相量的模=正弦量的最大值
相量辐角=正弦量的初相角
例1：
u 10 sin( 314 t 60 )
写出其相量形式
U 5 2 60
U m 10 60
3-1-3 正弦交流电的参考方向
i
O
i I m sin t
ωt
i 0，实际方向与参考方向相 同
i 0，实际方向与参考方向 相反
3-2正弦交流电的相量表示法
１.正弦量的表示方法 波形图
O
u/i
ωt
瞬时值表达式
u U m sin ( t )
i I m s in
电工学课件：第3章 正弦交流电路
(1) i1 5sin(314t 600 )
(2) i2 5sin(314t 600 )
I1 5 600 2.5 2600 2
I 2 5 600 2.5 2 600 2
(3) i3 5sin(314t 600 )
i3 5sin(314t 600 1800 ) = 5sin(314t 1200 )
振幅相量的关系：
Im
2 I
U m 2U
例：1、写出下列正弦电压的相量（用直角坐标式表示）：
(1) u 10 2 sint V
2
解：(1)
U
j
10e 2V
10
V
2
(2) u 10 2 sint 3 V
4
(2)
U
j 3
10e 4 V
10
3
V
4
2.将下述正弦量用相量表示：
相量图： 相量也可以在复平面上用矢量表示。
图中相量Ė 的长度为E代表正弦量的有效值，与实
轴夹角 0 等于正弦量的初相位。
五、用相量法求同频率正弦量的代数和..
例3-1 已知 u1 (t) 20 2 sin( 100t 1200 ) V
u2 (t) 15 2 cos(100t 600 ) V
式中 U m U me ju U mu
称为u(t)的相量
同理，设i(t) Im sin( t i )
则 Im I me ji I m i 称为i(t)的相量
从式子： Um sin(t ) Im[U me j t ]
说明一个三角函数等于一个旋转向量在虚轴上的投 影。考虑正弦交流线性电路中，电压和电流的频率 是不会改变的，为化简计算，将旋转向量的投影中 的旋转因子去掉，剩下相量部分代表一个三角函数 。且为了与数学上的复数区别开来，将相量符号上 方加˙标号。即：
武汉理工大学电工学电工技术-3章-正弦交流电路-n
武汉理工大学 电工电子教研室
《电工技术》
第3章 正弦交流电路
A r cos j j r sin j r e jj
其中： ej j cosj jsin j
(3) 指数式 A r ej j
(4) 极坐标式 A rj
A a jb r cosj j r sinj rejj rj
N
第3章 正弦交流电路
+ U A
–
U– B – +
U+ C
A+
N U AB
B–
C
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《电工技术》
UU BA
220
220
0 V
120
V
U C 220 120V
解：(1) 用相量法计算：
U A 220 0 V
U B 220 120V U C 220120V
+ U A
N
–
U– B –
+
U+ C
A+
N U AB
B–
C
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《电工技术》
由KVL定律可知
U AB U B U A 0 U AB U A U B
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第3章 正弦交流电路
3. 相位差 ：
两同频率的正弦量之间的初相位之差。
如：u1 Umsin( ω t j1 )
u2 Umsin( ω t j2 ) 相位差 ( t j1) ( t j2 ) j1 j2
若 j1 j2 0
看作是将相量旋转 90因子。
第三章：正弦交流电路
& =U & = − jI & X = − j 2 × 50∠45 o = 50 2∠ − 45 o V U ao C C C & =U & = jI & X = j 2 × 50∠ − 45o = 50 2∠45o V U bo L L L & & & U = U − U = 50 2∠ − 45o − 50 2∠45o =
2
& 与U & 之间的相位差 I R
ϕ = arctan
XC 1 = arctan R Rω C
第三章
正弦交流电路
31
& 与U & 之间的相位差 U θ = 2ϕ ab 由上式可知，当改变电阻 R 时，输出电压 Uab 是一个不变恒定的值，即有 U U ab = 2 20 本题中 U ab = = 10V 2 当电阻 R 由零变到无穷大时， ϕ 角由 90o 变到零， θ 角由 180o 变到零。当电阻 R & 的相位从 180o 减小到： 由零变到 1.5kΩ 时， U
& = jI &X = j4.4 × 40∠73o = 176∠163o V U L L & & U C = − jIX C = − j4.4 × 80∠73o = 352∠ − 17 o V 【例题 3.2】 图 3.2(a)为 RC 移相电路。已知电阻 R = 100 Ω ，输入电压 u1 的频率为
Z = R + j( X L − X C ) = 30 + j(40 − 80) = 30 − j40 = 50∠ − 53o Ω
28
电工学试题精选与答题技巧
o & & = U = 220∠20 = 4.4∠73o Α I Z 50∠ − 53o & =I &R = 4.4 × 30∠73o = 132∠73o V U R
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I=√1/T∫i2 dt = Im/√2 同理 U= Um/√2 有效值 方均根值
(Sin only) rms
三、同频率正弦量的相位差
u = UmSin(ωt +φu ) i = ImSin(ωt+φi ) ωt
O
定义u、i 之间的相位差 为ΔΦ = φu – φi
ΔΦ＞0 ΔΦ＜0 ΔΦ =0 ΔΦ =π ΔΦ =90o
b
A
r
φ
+1
O
a
特殊旋转因子 j=ejπ/2, –j=1/j= ej–π/2
一、复数与正弦量的关系
i
B A
ω t1
B A
φi
O
ωt1
ωt
φi
二、相量表示法
优点： 1。把的正弦量＋、－、×、÷ 变为复数的＋、－、×、÷
2。关系简单，一一对应，直接写出 注意：相量仅表示正弦量，不等于正弦量！
j
I φ O
二、电感元件 1. u – i关系
i
L
u i
u
ωt
u = Ldi/dt,
设 i =ImSin(ωt) ， 则 u = Ldi/dt= ωLImCosωt,
= UmSin(ωt +π/2) ∴对于电感，有如下结论：
(1) u 、i 同频, 并且 u 超前于 i 90o (2) Um =ωLIm =XLIm , XL=ωL= Um/Im = U/I ——感抗(Ω)
解：1。 f=50Hz时 XL =2πf L=3.14 (Ω) I=U/ XL =22.5 (A) QL =I2 XL =1589.6 (Var)
2。 f=50kHz时
XL =2πfL=3.14 (kΩ) I=U/ XL=22.5 (mA) QL =I2 XL=1.59 (Var)
三、电容元件
1. u – i 关系
2. 频率特性
XC=1/ωC
ω → 0, XC→∞ Open (D.C.) ω→∞, XC→0 Short (H.F.)
ω
相量表示 I = jωC U 或 U = – (j/ωC) I
I U
3. 功率关系
瞬时功率 p = ui
p = UmSinωt ImCosωt
= UISin2ωt
P>0，吸收能量;
I +1
例1 相量图
j
I
i = 10√2 Sin(ωt+π/6)A
U
记为 I =10π/6 A
u = 5√2 Cos(ωt – 30o)V
60o
记为 U=5 60o V
30o
+1
O – 45o
已知 I1 =10/√2 – 45o A 则 i1 = 10Sin(ωt – 45o )A
I1
幅值与相位关系一目了然
2. 频率特性
XL=ωL
ω
ω → 0, XL → 0 ω→∞, XL→∞
Short (D.C.) Open (H.F.)
U 相量表示 U = j (ωL) I
I
3. 功率关系
瞬时功率 p = ui i
p = UmCosωt ImSinωt
= UISin2ωt
O
p > 0，吸收能量;
p < 0, 放出能量
解：1。 f=50Hz时
XC = 1/(2πfC) = 159 (Ω) I= U/XC = 1.38 (A) QC = I2 XC = 304 (Var)
C
i
i u
ωt u i = Cdu/dt, 设 u =UmSin(ωt) ， 则 i = CdU/dt= ωCUmCosωt, =ImSin(ωt +π/2)
∴对于电容，有如下结论： （1）u 、i 同频, 并且 i 超前于u 90o （2）Im =ωCUm =Um/XC, XC= 1/ωC= Um/Im = U/I ——容抗(Ω)
O
+1
=26.46 / 70.9o A
∴ i = 26.46√2 Sin(ωt+70.9o )A
例2 相量图（三角形）
j
I
I2
I1 +1
O
§3 – 3 单一参数的正弦交流电路
一、电阻元件
u
1. u – i 关系
i
R
i
u u=Ri 设 i =Im Sinωt 则 u =Ri =RIm Sinωt = Um Sinωt 结论: (1) u，i 同频、同相
例2 相量图(平行四边形)
已知 i1 = 10√2 Sin(ωt + 30o )A i2 = 20√2 Cosωt A
求： i = i1 + i2 = ？ 解：I1 =10 / 30o = 5√3 + j5 A
j
I I2
I2 =20 / 90o = j20 A
I1
I= I1 + I2 = 5√3 + j25 A
(2) Um/Im= U/I =R
相量表示 I
ωt
U=RI U
2. 功率关系
瞬时功率 p = ui
p
p = UmIm Sin2ωt
= UI ( 1– Cos2ωt )
P
p 始终>0，
i
ωt
R——耗能元件
平均功率 P =1/T∫pdt = UI = RI2 = U2/R ——与D.C.相同 ——有功功率 (W)
u 超前于 i u 滞后于 i u、i 同相 u、i 反相 u、i 正交
§3 – 2 正弦交流电的相量表示法
线性电路中，激励——正弦量 响应——同频率的正弦量 只须确定响应的有效值和初相位
借助有向线段——复数表示——相量表示法——相量法
复数的几种表示形式：
j
1。代数式 A = a + j b (j 2 = – 1) 2。三角式 A = r Cosφ + j r Sinφ 3。指数式 A = rejφ 4。极坐标式 A = r φ 旋转因子的概念 ejα
第3章 正弦交流电路
§ 3 – 1 正弦交流电的基本概念
广义交流电
t
t
t
一、正弦交流电的三要素 i
φi O
Im T
i = ImSin(ωt+φi ) ωt
1. 振 幅——强度 2. 频 率——快慢 3. 初相位——起点
二、正弦交流电的有效值
i
R
I
I 经R，在T内耗能：I2 RT i 经R，在T内耗能：∫i2 Rdt
平均功率 P =1/T∫pdt = ?
P = 0 —— 不耗能
定义 QL= pm = UI = XLI2 = U2/XL —— 无功功率(乏,Var)
p ωt
4. 例题 已知 u=100Sinωt(V)，L=10mH，f=50Hz和 f=50kHz 求：电感中的电流 I 及电感的感抗XL和无功功率QL
O
p<0, 放出能量
平均功率 P =1/T∫pdt = ?
P = 0 —— 不耗能
定义 QC = pm = UI = XCI2 = U2/XC —— 无功功率 (乏,Var)
u
p
ωt
4. 例题 已知 U=220(V)，C=20μF，f=50Hz和 f=50kHz 求：电容中的电流 I 及电容的容抗XC和无功功率QC