第3章 正弦稳态电路的分析
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第3章 正弦交流稳态电路(5.6.7.8节)
故电压表的读数为141.1V，电流表的读数为10A。
例二： 在图3．5-2(a)所示电路中，已知R1=48Ω ，R2=24Ω ，
R3=48Ω ,R4=2Ω ，
3
XL=2．8Ω ， U 1
=220∠0°V，U
2
=220∠-120°V，U
=220∠120°V。
试求感性负载上的电流L。
例一：
如下图所示电路中，已知I1=10A，UAB=100V。求电压表V和电 流表A的读数。
解：设
U AB 为参考相量，即 U AB =100∠0°V，则
U AB 0 I2 10 2 45 A, I1 10900 A 5 j5
I I1 I 2 10900 10 2 450 1000 A U c1 I ( j10) j100 V U U c1 U AB j100 V 100 V 100 2 450 V 141.1 450 V
§3．5正弦稳态电路的分析
3．5．1相量分析法 在正弦稳态电路的分析中，若电路中的所有元件都用阻
抗模型表示，电路中的所有电压和电流都用相量表示，所
得电路的相量模型将服从相量形式的欧姆定律和基尔霍夫 定律，此时列出的电路方程为线性的复数代数方程(称为相 量方程)，与电阻电路中的相应方程类似。这种基于电路的 相量模型对正弦稳态电路进行分析的方法称为相量分析法。
QC=-P(tanφ L-tanφ )
例：
(3．7-4)
已知某目光灯电路模型如图3．7-1(a)中的实线所示。图中L为铁心线圈，称 为镇流器，R为灯管的等效电阻。已知电源电压U=220V，f=50Hz，日
例二： 在图3．5-2(a)所示电路中，已知R1=48Ω ，R2=24Ω ，
R3=48Ω ,R4=2Ω ，
3
XL=2．8Ω ， U 1
=220∠0°V，U
2
=220∠-120°V，U
=220∠120°V。
试求感性负载上的电流L。
例一：
如下图所示电路中，已知I1=10A，UAB=100V。求电压表V和电 流表A的读数。
解：设
U AB 为参考相量，即 U AB =100∠0°V，则
U AB 0 I2 10 2 45 A, I1 10900 A 5 j5
I I1 I 2 10900 10 2 450 1000 A U c1 I ( j10) j100 V U U c1 U AB j100 V 100 V 100 2 450 V 141.1 450 V
§3．5正弦稳态电路的分析
3．5．1相量分析法 在正弦稳态电路的分析中，若电路中的所有元件都用阻
抗模型表示，电路中的所有电压和电流都用相量表示，所
得电路的相量模型将服从相量形式的欧姆定律和基尔霍夫 定律，此时列出的电路方程为线性的复数代数方程(称为相 量方程)，与电阻电路中的相应方程类似。这种基于电路的 相量模型对正弦稳态电路进行分析的方法称为相量分析法。
QC=-P(tanφ L-tanφ )
例：
(3．7-4)
已知某目光灯电路模型如图3．7-1(a)中的实线所示。图中L为铁心线圈，称 为镇流器，R为灯管的等效电阻。已知电源电压U=220V，f=50Hz，日
东南大学,电路基础,实验班讲义第11讲
def
p = UI cos ϕ{ + cos[2 ω +Ψ)} + UI sin ϕsin[2 ω +Ψ)] 1 (t u (t u
结论：无功功率反映了电抗元件与外电路间交换能量的幅值。 结论：无功功率反映了电抗元件与外电路间交换能量的幅值。 反映了电抗元件与外电路间交换能量的幅值 电感元件的无功功率（感性无功，正值） 电感元件的无功功率（感性无功，正值）为： QL =UIsinϕ =UIsin90° =UI=ωLI2=U2/(ωL) ° ω ω 电容元件的无功功率（容性无功，负值） 电容元件的无功功率（容性无功，负值）为： 1/(ω QC =UIsinϕ =UIsin (-90°)= -UI= -1/(ωC)I2 = -ωCU2 - °
Q1 = P1 tan ϕ 1 = 60 var
对负载2 对负载
λ 2 = cos ϕ 2 = 0.6
P2 S2 = = 50 VA cos ϕ 2
ϕ 2 = −53.13o
(容性 容性) 容性
Q2 = P2 tan ϕ 2 = −40 var
两负载并联。 两负载并联。 有功功率 无功功率 视在功率
为瞬时功率的可逆分量， 为瞬时功率的可逆分量，值 正负交替，能量在N 正负交替，能量在 0与外电 周期性交换。 路之间作周期性交换 路之间作周期性交换。
对比分析（1）：纯电阻吸收的功率 对比分析（ ）：纯电阻吸收的功率 ）： 电压u、 取关联参考方向， 吸收的瞬时功率为： 电压 、电流 i 取关联参考方向，则R吸收的瞬时功率为： 吸收的瞬时功率为
U
ϕ
UR
UX
电压三角形
定义：将电压分解为两个分量， 定义：将电压分解为两个分量，一个和电流 同相，称为有功分量；一个和电流正交， 同相，称为有功分量；一个和电流正交，称 为无功分量。 为无功分量。
电路原理-正弦稳态电路的分析
对记录的数据进行分析，验证正 弦稳态电路的原理和性质。
实验结果与讨论
实验结果
通过实验观察和数据记录，可以 得出正弦稳态电路中电压和电流 的波形关系，以及元件参数对波
形的影响。
结果分析
对实验结果进行分析，验证正弦稳 态电路的基本原理，如欧姆定律、 基尔霍夫定律等。
实验讨论
讨论实验中可能存在的误差来源， 如电源稳定性、示波器的测量误差 等。同时，可以探讨如何减小误差、 提高实验精度的方法。
04 正弦稳态电路的分析实例
单相交流电路分析
总结词
分析单相交流电路时，需要计算电流、电压的有效值以及功率等参数，并考虑阻 抗、导纳和相位角等因素。
详细描述
在单相交流电路中，电压和电流都是时间的正弦函数。为了分析电路，我们需要 计算电流和电压的有效值，以及功率等参数。此外，还需要考虑阻抗、导纳和相 位角等因素，以便更准确地描述电路的性能。
实验步骤与操作
3. 观察波形
2. 连接电源
将电源连接到电路中，为电路提 供稳定的交流电压。
使用示波器观察电路中各点的电 压和电流波形，并记录数据。
4. 调整元件参数
通过调整电阻器、电容器和电感 器的参数，观察波形变化，并记 录数据。
1. 搭建正弦稳态电路
5. 分析数据
根据实验要求，使用电阻器、电 容器和电感器搭建正弦稳态电路。
相量法
1
相量法是一种分析正弦稳态电路的方法，通过引 入复数相量来表示正弦量，将时域问题转化为复 数域问题，简化计算过程。
2
相量法的核心思想是将正弦电压和电流表示为复 数形式的相量，并利用相量图进行电路分析。
3
相量法的优点在于能够直观地表示正弦量的相位 关系和幅度关系，简化计算过程，提高分析效率。
电路设计--正弦稳态电路的分析
试求电流i1(t)
解：先画出电路的相量模型，如(b)所示，其中
30 V, U S1
jL j1,
j4V 4 90 V U S2
1 j1 jω C
1. 支路分析 以支路电流作为变量，列出图(b)所示相量模型的KCL 和KVL方程
I I I I I I 11 22 3 3 00
和电路定理可推广用于线性电路的正弦稳态分析
差别仅在于所得电路方程为以相量形式表
示的代数方程以及用相量形式描述的电路定理，
而计算则为复数运算。
基本分析思路： 1) 从时域电路模型转化为频域模型: 正弦电流、电压用相量表示； 无源支路用复阻抗表示。 2）选择适当的电路分析方法： 等效变换法（阻抗等效变换、电源等效变换） 网孔法、 节点法、应用电路定理分析法等； 3）频域求解（复数运算）得到相量解； 4）频域解转化为时域解。
由电流相量得到相应的瞬时值表达式
i1 (t ) 3.162 2 cos(2t 18.43 )A
3. 结点分析 为了便于列写电路的结点电压方程，画出采用导纳参 数的相量模型，如图所示，其中
1 jω L
j1S, jωC j1S
选择参考结点如图所示，用观察法列出结点电压方程
( j1) 3 j1 ( j4) (1 j1 j1)U
由式(1)、(2)得到
(2 j3) I3 I 6 j3
图(d)
代入式(3)得到
2 j3 8 j9 U j2 I I I 6 j3 6 j3 8 j9 U Zo 1.795 74.93 6 j3 I
( j1) 3 j1 ( j4) (1 j1 j1)U
解：先画出电路的相量模型，如(b)所示，其中
30 V, U S1
jL j1,
j4V 4 90 V U S2
1 j1 jω C
1. 支路分析 以支路电流作为变量，列出图(b)所示相量模型的KCL 和KVL方程
I I I I I I 11 22 3 3 00
和电路定理可推广用于线性电路的正弦稳态分析
差别仅在于所得电路方程为以相量形式表
示的代数方程以及用相量形式描述的电路定理，
而计算则为复数运算。
基本分析思路： 1) 从时域电路模型转化为频域模型: 正弦电流、电压用相量表示； 无源支路用复阻抗表示。 2）选择适当的电路分析方法： 等效变换法（阻抗等效变换、电源等效变换） 网孔法、 节点法、应用电路定理分析法等； 3）频域求解（复数运算）得到相量解； 4）频域解转化为时域解。
由电流相量得到相应的瞬时值表达式
i1 (t ) 3.162 2 cos(2t 18.43 )A
3. 结点分析 为了便于列写电路的结点电压方程，画出采用导纳参 数的相量模型，如图所示，其中
1 jω L
j1S, jωC j1S
选择参考结点如图所示，用观察法列出结点电压方程
( j1) 3 j1 ( j4) (1 j1 j1)U
由式(1)、(2)得到
(2 j3) I3 I 6 j3
图(d)
代入式(3)得到
2 j3 8 j9 U j2 I I I 6 j3 6 j3 8 j9 U Zo 1.795 74.93 6 j3 I
( j1) 3 j1 ( j4) (1 j1 j1)U
第3章 正弦交流稳态电路(1.2.3.4节)
φ 'i<0。对于同一电路中的多个相关的正弦量，只能选择一个共同的计时
零点确定各自的初相位。
3.相位差
相位差描述的是两个同频率正弦量之间的相位关系。 假设两个正弦电流
分别为
i1 i2
2 I1 sin(t 1 ) 2 I 2 sin(t 2 )
其中，设φ 1>φ 2，它们的波形如下图所示。 （两电流的相位差）
由于正弦量按周期性变化360°，所以正弦量的相量是旋转相量。 正弦电流i=Imsin(ω t+φ i)在任一时刻的值，等于对应的旋转相量该时 刻在虚轴上的投影，如图3．2-2所示。
将一个正弦量表示为相量或将一个相量表示成正弦量的过程称为相 量变换。由图3．2-2可知，该相量只表示了对应正弦量的两个特征量—
—幅值和初相位。故相量只是用于表示正弦量，并不等于正弦量。
相量在复平面上的图称为相量图。相量图可以形象地表示出各个相 量的大小和相位关系。
例3．2-1： 已知电流
i1 5 2 sin(t 30o ) A, i2 10 2 sin(t 60o ) A 试画出这
两个正弦量的相量和相量图。
2 是220V，而其幅值为
³220=311V。在我国，民用电网的供电电压为
220V，日本和美国的供电电压为110V，欧洲绝大多数国家的供电电压也为 引入有效值后，正弦电流和电压的表达式也可表示为 220V 。
i I m sin(t i ) u U m sin(t u )
弦量的初相位，计时零点在右为正，即φ i>0，如图3．1-2(a)所示初相位
为正。初相位的取值范围为|φ i|≤180°。
在电路中，初相位与计时零点的选择有关。对于同一正弦量，如果其 计时零点不同，其初相位也就不同，对于图3．1-2(a)中所示的正弦量，如 果按图3．1-2(b)所示坐标建立计时零点，则正弦量 的初相为负，即
正弦稳态电路的分析基础知识讲解
(R2 R3
I4 IS
j
1 C
)I3
R2 I1
R3 I2
j
1 C
I4
0
_ U S + U n1
jL R1
R2
U n2
j 1
IS
R4
R3
c
节点法:
U n3
U n1 U S
(
R1
1 jL
1 R2
1 R3
)U n2
1 R2
U n1
1 R3
U n3
0
(
1 R3
1 R4
jC )U n3
1 R3
U n2
方法二、
•
I R1
U U1 U 2 55.400 80 115q
55.4 80cos 115cosq
+ U
+
U 1
_ R2
_
L2
+
U 2
_
80sin 115sinq
cos 0.424 64.930
其余步骤同解法一。
例9 移相桥电路。当R2由0时，U• ab如何变化?
IC
+
+
2 7.5
2
例11 求RL串联电路在正弦输入下的零状态响应。
已知：uS 2U cos(t u )
+
解 应用三要素法： uS
iL(0 ) iL(0 ) 0 L R
_
R
+
L uL
iL _
用相量法求正弦稳态解
I U
R jL
R2
U
(L)2
u
Z
I i
iL(t)
iL()
正弦稳态电路的分析
正弦稳态电路的分析1.复数法分析：a. 复数电压和电流表示：将正弦波电流和电压表示为复数形式，即I = Im * exp(jωt)，V = Vm * exp(jωt)，其中Im和Vm为幅值，ω为角频率，j为虚数单位。
b.使用欧姆定律和基尔霍夫定律来建立复数表达式。
c.找到电路中的频域参数，如电阻、电感和电容等，并使用复数法计算电路中的电流和电压。
d.计算电源电压和电流的相位差，这会决定电路中的功率因数。
2.相量法分析：a.相量表示：将电路中的电流和电压表示为相量形式，即以幅值和相位角表示，例如I=Im∠θ，V=Vm∠θ。
b.使用欧姆定律和基尔霍夫定律来建立相量表达式。
c.对电路中的频域参数应用相量法，计算电路中的电流和电压。
d.计算电源电压和电流的相位差，以确定电路中的功率因数。
无论是复数法还是相量法，分析正弦稳态电路的关键是计算电路中的电流和电压的幅值和相位。
在计算过程中，需要使用复数代数、欧姆定律、基尔霍夫定律以及频域的电路参数等相关知识。
在实际应用中，正弦稳态电路的分析主要包括以下几个方面：1.交流电路中的电阻：电阻对交流电流的影响与直流电路相同，即按欧姆定律计算。
复数法计算时，电流和电压与频率无关，可以直接使用欧姆定律计算。
2.交流电路中的电感：电感器对交流电流的响应取决于电流的频率。
复数法计算电感电压和电流时，需要将频率变量引入到电感的阻抗中。
3.交流电路中的电容：电容器对交流电压的响应取决于电压的频率。
复数法计算电容电压和电流时，需要将频率变量引入到电容的阻抗中。
4.交流电路中的复数阻抗：电路中的电感、电容和电阻组成复数阻抗。
复数阻抗可以用来计算电路中的电流和电压。
根据欧姆定律和基尔霍夫定律，可以建立复数电流和电压之间的关系。
5.交流电路中的功率因数：功率因数是电路中有功功率与视在功率之比。
在分析正弦稳态电路时，可以计算电路中电源电压和电流的相位差，从而确定功率因数。
总结起来，正弦稳态电路的分析步骤包括选择复数法或相量法、建立复数或相量表达式、计算电流和电压的幅值和相位、计算功率因数等。
电路分析基础第3章 正弦交流电路
初相角的单位可以用弧度或度来表示，初相角ψ的大小 与计时起点的选择有关。另外，初相角通常在|ψ|≤π的主值
20 图3.2.4 不同初相时的正弦电流波形
21
在正弦交流电路的分析中，有时需要比较同频率的正弦 量之间的相位差。例如在一个电路中，某元件的端电压u和 流过的电流i
u=Umsin(ωt+ψu) i=Imsin(ωt+ψi) 它们的初相分别为ψu和ψi，则它们之间的相位差(用φ表 示)为 φ=(ωt+ψu)-(ωt+ψi)=ψu-ψi (3.2.7) 即两个同频率的正弦量之间的相位差就是其初相之差，相位 差φ
以复数运算为基础的，复数的表示如图3.3.1所示。
32 图3.3.1 复数的表示
33
一个复数A可以用下述几种形式来表示。
1.代数形式
A=a+jb
(3.3.1)
式中， j 1 2.三角形式
A=rcosψ+jrsinψ=r(cosψ+jsinψ)
(3.3.2)
式中，r a2b2, t gb,arctban
28
I B I Bm 7 .07 5 A 22
A
100
π
1 300
π 60 3
B
100
π
1 600
π 30 6
A
B
π 3
π 6
π 2
90
(2)
iA=14.1sin(314t+60°)A
iB=7.07sin(314t-30°)A
29 图3.2.6 例3.2.5的波形图
a
a
ψ称为A的辐角。
34
3.指数形式
根据欧拉公式
ejψ=cosψ+jsinψ
20 图3.2.4 不同初相时的正弦电流波形
21
在正弦交流电路的分析中，有时需要比较同频率的正弦 量之间的相位差。例如在一个电路中，某元件的端电压u和 流过的电流i
u=Umsin(ωt+ψu) i=Imsin(ωt+ψi) 它们的初相分别为ψu和ψi，则它们之间的相位差(用φ表 示)为 φ=(ωt+ψu)-(ωt+ψi)=ψu-ψi (3.2.7) 即两个同频率的正弦量之间的相位差就是其初相之差，相位 差φ
以复数运算为基础的，复数的表示如图3.3.1所示。
32 图3.3.1 复数的表示
33
一个复数A可以用下述几种形式来表示。
1.代数形式
A=a+jb
(3.3.1)
式中， j 1 2.三角形式
A=rcosψ+jrsinψ=r(cosψ+jsinψ)
(3.3.2)
式中，r a2b2, t gb,arctban
28
I B I Bm 7 .07 5 A 22
A
100
π
1 300
π 60 3
B
100
π
1 600
π 30 6
A
B
π 3
π 6
π 2
90
(2)
iA=14.1sin(314t+60°)A
iB=7.07sin(314t-30°)A
29 图3.2.6 例3.2.5的波形图
a
a
ψ称为A的辐角。
34
3.指数形式
根据欧拉公式
ejψ=cosψ+jsinψ
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(由此可知，C不是耗能元件。)
3. 无功功率
2 UC 2 Q UC IC IC X C XC
电容元件虽然不消耗能量，但它要不断地与电源往复地交换能量， 从瞬时功率的表达式可得到交换能量的最大值为：pCm=UCIC，这体 现了电容与电源交换能量的能力，为了描述这种能力的强弱，引入 37 了无功功率的概念。
正弦交流电压波形图
三要素：幅值、角频率、初相位
2 正弦函数
正弦函数
数学形式 Ｙ＝A· Sinωt 函数值Y是矢量
或
Ｙ＝A· Sin（ωt＋φ）
A 在纵轴上投影的变化规律
称左边的圆为“参考圆”
3 3.1.1 周期和频率
3.1.1 周期和频率
周期
1 T f
角频率
2π 2π f T
UR IR R
U R U R 0 0 U R
和
I R I R 00 I R
15
u～i的关系（5-4）
3. 纯电阻元件交流电路中相量形式的欧姆定律
∵
UR
IR
UR R IR
∴
U R I R R
数值关系:
UR IR R
16
u～i的关系（5-5）
j 30 o
44
例- 7
若 u 220 2 sin t (V )，i＝？； 0 2. 若 I 0.1 60 ( A) ，U ? ； 3. 画出⑴和⑵的相量图。 0 答：1. i 276 2 sin(100t 90 )(mA) U 80 1500 (V ) 2.
得
i2 3.566 2 sin t＋52.5 (A)
10
3.4 三种基本元件伏安关系的向量形式
纯电阻元件R 纯电感元件L 纯容元件C
举例
11
3.4.1 纯电阻元件的交流电路
u～i的关系 功率
12
u～i的关系（5-1）
uR iR R
根据欧姆定律：
设：
1.
将电容元件接正弦交流电路，已知Ｃ＝4uF，f＝ 50Hz，求：
45
复数表示法
复数简述
复数的概念 复数的四种表达形式 复数的基本运算
28
纯电容元件的交流电路
u～i的关系 功率
29
u～i的关系（6-1）
设：线性纯电容在两极板的电荷量为q，电容容量 参数为Ｃ，激励电压为：
uc 2UC sin( t )
由物理学得知：q=C uC，且C是一个与q和uC无 关的常数。另外，
iC du dq C C 2CU C cos t dt dt
26
功率（2-1）
1．瞬时功率
pL uL iL 2U L I L sin(t 900 ) sin(t )
2U L I L sin(t ) cos(t )
U L I L sin(2t )
27
功率（2-2）
2. 平均功率
1 T PL pL dt 0 T 0
↑
6
3.2 正弦量的相量表示
一个正弦量可由其最大值、角频率和初相位3个要素来确定，而
在平面坐标上的一个旋转有向线段（旋转矢量）可以表示正弦量 的三要素。因为有向线段可以用复数表示，所以，正弦量也可以 用复数表示。
正弦量的复数表示 ↑
7 正弦量的复数表示
正弦量的复数表示
称横轴为“实轴”，纵轴为“虚轴”，两轴构成的平
0
2U L sin( t 90 )
0
21
u～i的关系（7-3）
１. 相位关系
u i 90
0
（相位上电压超前电流900）
22
u～i的关系（7-4）
２. 数值关系 有效值：
U L LI L
相量式：
U L U L 90
0
和
I L I L 00 I L
举例
例- 1 例- 2 *例- 3
例- 4
例- 5 例- 6
例- 7
38
例- 1
【例】 在图中，电容两端的电压 u 6sin(3t )(A) ，电容 量为 0.5F ，求电流 i。
解
u U m 600 A
I m jC U m
I m CU m 9( A)
5 3.1.3 相位和相位差
3.1.3 相位和相位差
在正弦交流电的表达式中
(教材P67图3.1.2)； θ 表示正弦量在t=0时的角度，称为初相位角（-π≤ θ ≤ π ） 简称“初相”，它的值可以由参考圆来确定。 通常把两个同频率的正弦量的相位之差称为相位差，用 表示
t 表示正弦量变化的角度，称为相位角，简称相位
iR I R m sin(t ) 2I R sin(t )
则:
uR 2I R R sin(t ) 2U R sin(t )
13
u～i的关系（5-2）
１.相位关系：
u i 0
（电压与电流同相位）
14
u～i的关系（5-3）
２.数值关系：
有效值： 相量式：
2CUC sin(t 900 ) 2IC sin(t 900 )
30
u～i的关系（6-2）
１. 相位关系
u i 90
0
（相位上电压滞后电流900）
31
u～i的关系（6-3）
２. 数值关系 有效值：
IC UC C
0
相量 式： I C I C 90
i 0
I
0
Im 0
KVL的相量表示 1. 在任意瞬间，对电路中的任意回路有： u 0 2. 当所有的电流均为同频率的正弦量
U 0
U
m
0
9
【例】 图 (a)中，已知 i1 5 2 sin t (A) ，
i3 4 2 sin t 45 (A) ，求 i2
面为“复数平面”。 有向线段A在实轴上的投影为A的“实部”；在虚轴上 的投影为A的“虚部”。
a r cos b r sin r a 2 b2 arctan b a
A a jb
8
3.3 基尔霍夫定律的相量表示
KCL的相量表示 1. 在任意瞬间，对电路中的任意节点有： 2. 当所有的电流均为同频率的正弦量
42
例- 5
如下图所示是t＝０时刻电压和电流的相量图，并已知Ｕ＝220Ｖ，
I1＝10A，I2＝ Ａ，角频率为ω ，请分别写出电压和电流的四种 2 表达形式。
43
例- 6
已知正弦量 U 220 e (V) 和 I 4 j 3 (A)，请分别用解析式、波形法、相量图形式 表示它们。
25
u～i的关系（7-7）
5.讨论: X L L 2fL
f不变时，Ｌ越大（小），ＸＬ越大（小），说明自感 电动势对电流的阻碍作用越大（小）； Ｌ不变时，f越大，ＸＬ越大，说明电感对高频电流的 阻抗大（f＝０或→∞呢？） 电感线圈的瞬时值u、i不满足欧姆定律，但相量值ỦL 和ỈL、有效值UL和IL却满足欧姆定律。
t 1 t 2 1 2
Φ=0，称两正弦量同相位； Φ=±900，称两正弦量正交； Φ＞0，称正弦量1超前正弦量2； Φ＜0，称正弦量1滞后正弦量2； Φ= π ，称两正弦量反相位。
举例：教材P68[例3.1.1]、[例3.1.2]
4. 相量图
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
U RI
17
功率
1．瞬时功率
pR uR iR U R I R (1 cos2t )
2．平均功率
2 1 T UR 2 PR pR dt U R I R I R R 0 T 0 R
(由此可知，Ｒ只能是耗能元件。)
18
3.4.2 纯电感元件的交流电路
23
u～i的关系（7-5）
3. 纯电感元件交流电路中相量形式的欧姆定律
UL
IL
U L 900 UL j jL jX L 0 I L 0 IL
则
U L jX L I L
及
UL IL X L
24
u～i的关系（7-6）
4. 相量图
U j L I jX L I
i 9 sin(3t 90 )( A)
0
39
例- 2
有一个100Ω电阻（或0.1Ｈ的电感元件、或5uF的电容
元件）接到频率为50Ｈz、电压有效值为10v的正弦电 源上，问：电流是多少？如保持电压不变，电源频率 为5000Ｈz，这时电流将为多少？ 答：100mA，318mA，15.7mA；100mA，3.18mA， 1.57A。由此看出：频率越高，电感的感抗越大，电流 也越小；频率越高，电容的容抗越小，电流也越大。
和
U C U C 00 U C
32
u～i的关系（6-4）
3. 纯电容元件交流电路中相量形式的欧姆定律
UC
IC
U C 00 UC j jX C 0 I C 90 j I C C
则
U C jX C I C
及
UC IC X C
33
u～i的关系（6-5）
3. 无功功率
2 UC 2 Q UC IC IC X C XC
电容元件虽然不消耗能量，但它要不断地与电源往复地交换能量， 从瞬时功率的表达式可得到交换能量的最大值为：pCm=UCIC，这体 现了电容与电源交换能量的能力，为了描述这种能力的强弱，引入 37 了无功功率的概念。
正弦交流电压波形图
三要素：幅值、角频率、初相位
2 正弦函数
正弦函数
数学形式 Ｙ＝A· Sinωt 函数值Y是矢量
或
Ｙ＝A· Sin（ωt＋φ）
A 在纵轴上投影的变化规律
称左边的圆为“参考圆”
3 3.1.1 周期和频率
3.1.1 周期和频率
周期
1 T f
角频率
2π 2π f T
UR IR R
U R U R 0 0 U R
和
I R I R 00 I R
15
u～i的关系（5-4）
3. 纯电阻元件交流电路中相量形式的欧姆定律
∵
UR
IR
UR R IR
∴
U R I R R
数值关系:
UR IR R
16
u～i的关系（5-5）
j 30 o
44
例- 7
若 u 220 2 sin t (V )，i＝？； 0 2. 若 I 0.1 60 ( A) ，U ? ； 3. 画出⑴和⑵的相量图。 0 答：1. i 276 2 sin(100t 90 )(mA) U 80 1500 (V ) 2.
得
i2 3.566 2 sin t＋52.5 (A)
10
3.4 三种基本元件伏安关系的向量形式
纯电阻元件R 纯电感元件L 纯容元件C
举例
11
3.4.1 纯电阻元件的交流电路
u～i的关系 功率
12
u～i的关系（5-1）
uR iR R
根据欧姆定律：
设：
1.
将电容元件接正弦交流电路，已知Ｃ＝4uF，f＝ 50Hz，求：
45
复数表示法
复数简述
复数的概念 复数的四种表达形式 复数的基本运算
28
纯电容元件的交流电路
u～i的关系 功率
29
u～i的关系（6-1）
设：线性纯电容在两极板的电荷量为q，电容容量 参数为Ｃ，激励电压为：
uc 2UC sin( t )
由物理学得知：q=C uC，且C是一个与q和uC无 关的常数。另外，
iC du dq C C 2CU C cos t dt dt
26
功率（2-1）
1．瞬时功率
pL uL iL 2U L I L sin(t 900 ) sin(t )
2U L I L sin(t ) cos(t )
U L I L sin(2t )
27
功率（2-2）
2. 平均功率
1 T PL pL dt 0 T 0
↑
6
3.2 正弦量的相量表示
一个正弦量可由其最大值、角频率和初相位3个要素来确定，而
在平面坐标上的一个旋转有向线段（旋转矢量）可以表示正弦量 的三要素。因为有向线段可以用复数表示，所以，正弦量也可以 用复数表示。
正弦量的复数表示 ↑
7 正弦量的复数表示
正弦量的复数表示
称横轴为“实轴”，纵轴为“虚轴”，两轴构成的平
0
2U L sin( t 90 )
0
21
u～i的关系（7-3）
１. 相位关系
u i 90
0
（相位上电压超前电流900）
22
u～i的关系（7-4）
２. 数值关系 有效值：
U L LI L
相量式：
U L U L 90
0
和
I L I L 00 I L
举例
例- 1 例- 2 *例- 3
例- 4
例- 5 例- 6
例- 7
38
例- 1
【例】 在图中，电容两端的电压 u 6sin(3t )(A) ，电容 量为 0.5F ，求电流 i。
解
u U m 600 A
I m jC U m
I m CU m 9( A)
5 3.1.3 相位和相位差
3.1.3 相位和相位差
在正弦交流电的表达式中
(教材P67图3.1.2)； θ 表示正弦量在t=0时的角度，称为初相位角（-π≤ θ ≤ π ） 简称“初相”，它的值可以由参考圆来确定。 通常把两个同频率的正弦量的相位之差称为相位差，用 表示
t 表示正弦量变化的角度，称为相位角，简称相位
iR I R m sin(t ) 2I R sin(t )
则:
uR 2I R R sin(t ) 2U R sin(t )
13
u～i的关系（5-2）
１.相位关系：
u i 0
（电压与电流同相位）
14
u～i的关系（5-3）
２.数值关系：
有效值： 相量式：
2CUC sin(t 900 ) 2IC sin(t 900 )
30
u～i的关系（6-2）
１. 相位关系
u i 90
0
（相位上电压滞后电流900）
31
u～i的关系（6-3）
２. 数值关系 有效值：
IC UC C
0
相量 式： I C I C 90
i 0
I
0
Im 0
KVL的相量表示 1. 在任意瞬间，对电路中的任意回路有： u 0 2. 当所有的电流均为同频率的正弦量
U 0
U
m
0
9
【例】 图 (a)中，已知 i1 5 2 sin t (A) ，
i3 4 2 sin t 45 (A) ，求 i2
面为“复数平面”。 有向线段A在实轴上的投影为A的“实部”；在虚轴上 的投影为A的“虚部”。
a r cos b r sin r a 2 b2 arctan b a
A a jb
8
3.3 基尔霍夫定律的相量表示
KCL的相量表示 1. 在任意瞬间，对电路中的任意节点有： 2. 当所有的电流均为同频率的正弦量
42
例- 5
如下图所示是t＝０时刻电压和电流的相量图，并已知Ｕ＝220Ｖ，
I1＝10A，I2＝ Ａ，角频率为ω ，请分别写出电压和电流的四种 2 表达形式。
43
例- 6
已知正弦量 U 220 e (V) 和 I 4 j 3 (A)，请分别用解析式、波形法、相量图形式 表示它们。
25
u～i的关系（7-7）
5.讨论: X L L 2fL
f不变时，Ｌ越大（小），ＸＬ越大（小），说明自感 电动势对电流的阻碍作用越大（小）； Ｌ不变时，f越大，ＸＬ越大，说明电感对高频电流的 阻抗大（f＝０或→∞呢？） 电感线圈的瞬时值u、i不满足欧姆定律，但相量值ỦL 和ỈL、有效值UL和IL却满足欧姆定律。
t 1 t 2 1 2
Φ=0，称两正弦量同相位； Φ=±900，称两正弦量正交； Φ＞0，称正弦量1超前正弦量2； Φ＜0，称正弦量1滞后正弦量2； Φ= π ，称两正弦量反相位。
举例：教材P68[例3.1.1]、[例3.1.2]
4. 相量图
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
U RI
17
功率
1．瞬时功率
pR uR iR U R I R (1 cos2t )
2．平均功率
2 1 T UR 2 PR pR dt U R I R I R R 0 T 0 R
(由此可知，Ｒ只能是耗能元件。)
18
3.4.2 纯电感元件的交流电路
23
u～i的关系（7-5）
3. 纯电感元件交流电路中相量形式的欧姆定律
UL
IL
U L 900 UL j jL jX L 0 I L 0 IL
则
U L jX L I L
及
UL IL X L
24
u～i的关系（7-6）
4. 相量图
U j L I jX L I
i 9 sin(3t 90 )( A)
0
39
例- 2
有一个100Ω电阻（或0.1Ｈ的电感元件、或5uF的电容
元件）接到频率为50Ｈz、电压有效值为10v的正弦电 源上，问：电流是多少？如保持电压不变，电源频率 为5000Ｈz，这时电流将为多少？ 答：100mA，318mA，15.7mA；100mA，3.18mA， 1.57A。由此看出：频率越高，电感的感抗越大，电流 也越小；频率越高，电容的容抗越小，电流也越大。
和
U C U C 00 U C
32
u～i的关系（6-4）
3. 纯电容元件交流电路中相量形式的欧姆定律
UC
IC
U C 00 UC j jX C 0 I C 90 j I C C
则
U C jX C I C
及
UC IC X C
33
u～i的关系（6-5）