2014年南开大学数学试点班自主招生考试题
2019年南开大学数学试点班自主招生考试题
南开大学数学试点班自主招生考试题（A 卷）总分：200分 考试时间：2014-2-16 8:30-11:30一．填空题（每小题7分，共70分）1．若单位向量a r ，b r 满足|23|a b -=r r |32|a b +=r r ．2．若非零复数z 满足2||(1)0z z i z +⋅+-=，则复数z 的实部为 ．3．无重复数字（不含0）且4与5不相邻的五位数共有 个．4．在三棱锥P ABC -中，底面为边长为3的正三角形，且3PA =，4PB =，5PC =，则三棱锥 P ABC -的体积P ABC V -= ．5．在△ABC 中，A 为钝角，以下结论正确的是 ．①sin cos B C <；②sin sin sin A B C <+；③tan tan 2B C +<；④sin sin B C +<6．已知函数()f x 为周期为3的奇函数，且(1)0f =，则()f x 在区间[0,3)上至少有 个零点．7．过双曲线221169x y -=焦点(,0)(0)F c c >的直线()(0)y k x c k =-<交双曲线的两条准线于A 、B 两点，且以AB 为直径的圆恰过原点O ，则k = ．8．已知,(0,1)x y ∈，且37,5x y x y ++均为整数，则这样的(,)x y 共有 对．9．在区间(0,)+∞上，若方程2ln x x x a-=有唯一解，则a 的值为 ． 10．已知,,x y z 均为正数，且12xyz =，2222x y z ++≤，则444x y z ++的最大值为 ． 二．解答题（第1-2题，每题15分，第3-7题，每题20分，共130分）1．设,m n 为正整数，且m n <．证明：对于任意连续n 个正整数，总存在两个不同的正整数的乘积为mn 的倍数．2．设P 为曲线222521x xy y -+=上的动点，求点P 到原点距离的最小值．3．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：对任意的,x y ，均有()()f x y f xy +=．证明：()f x 在(0,)+∞上恒为常数．4．设,(0,)2x y π∈，且tan tan 3x y ⋅≥．证明：cos cos 2x y +≥．5．设n Z ∈，且2n ≥，(0,1](1,2,,)i a i n ∈=L ，证明：1111111n n nn i i i i i i i i i a a n a a a ====⋅≥⋅⋅++∑∑∑∏． 6．已知1(0,1)a ∈，212n n n a a a n+=+，证明：存在0M >，使得对任意的正整数n ，有n a M <． 7．设集合A 的元素个数为n ，证明：存在集合A 的一个子集B ，满足：B 的元素个数大于3n ，且对任意的,x y B ∈，均有x y B +∉．。
自主招生数学讲义
(2) 以集合 A ∪ B 的元素作为二次方程 x2 + px + q = 0 的两个根，试在 f (x) = x2 + px + q 的最小值
中求出它的最大值和最小值.
{ } { } 【例 19】如果集合 A =
a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6
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2014 年自主招生数学讲义
【例 33】下列有关命题的说法正确的是( )．
A．命题“若 x2 = 1 ，则 x = 1”的否命题为：“若 x2 = 1 ，则 x ≠ 1 ” B．“ x = −1 ”是“ x2 − 5x − 6 = 0 ”的必要不充分条件 C．命题“ ∃x ∈ R ，使得 x2 + x +1 < 0 ”的否定是：“ ∀x ∈ R ，均有 x2 + x +1 < 0 ” D．命题“若 x = y ，则 sin x = sin y ”的逆否命题为真命题
{ } 【例 03】(2012 年西城区第一次模拟考试试题)已知集合 A = x | x = a0 + a1 × 3 + a2 × 32 + a3 × 33 ，其
中 ak ∈{0 ，1， 2}(k = 0 ，1， 2 ， 3) 且 a3 ≠ 0 ，则 A 中所有元素之和等于
.
【例 04】(2011 年北大附中高三适应性训练试题)从 A = {a1 ，a2 ，a3 ，a4} 到 B = {b1 ，b2 ，b3 ，b4} 的
B． (a ∗ (b ∗ a)) ∗ (a ∗ b) = a
C． b ∗ (b ∗ b) = b
D． (a ∗ b) ∗ (b ∗ (a ∗ b)) = b
2014年自主招生模拟数学试卷(附答案)
2014年自主招生模拟试卷 数学试题卷（2014.5）一、选择题（共5题，每题5分，共25分） 1、若20 10a bb c==，，则a b b c ++的值为（ ）． （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）210112、已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（ ）．（A ）7 （B ）1132+ （C ） 7132+ （D ）5 3、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）． （A ）512 （B ）49 （C ）1736 （D ）124、有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条 5、如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ ）．（A ）512+ （B ）512- （C ）1 （D ）2二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）6、已知非零实数a ，b 满足 2242(3)42a b a b a -+++-+=，则a b +等于 7、如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =23，BC =422-，CD ＝42，则AD 边的长为 ．8、如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC 的顶点B ，C 的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O 的一条直线分别与边AB ，AC 交于点M ，N ，若OM=MN ，则点M 的坐标为_________。
9、已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在yxM N OCBA线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AHAB的值为 ．三、解答题（共2题，第10题15分，第11题15分）10、如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A 、B 的坐标分别是(5,0)、(3,2)，点D 在线段OA 上，BD =BA ， 点Q 是线段BD 上一个动点，点P 的坐标是(0,3)，设直线PQ 的解析式为y kx b =+．（1）求k 的取值范围；（2）当k 为取值范围内的最大整数时，若抛物线25y ax ax =-的顶点在直线PQ 、OA 、AB 、BC 围成的四边形内部，求a 的取值范围．11、已知c ≤b ≤a ，且，求的最小值．数学答案一、选择题（共5题，每题5分，共25分）QP xy DCBAO1、若20 10a bb c==，，则a b b c ++的值为（ D ）． （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）210112、已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（ A ）．（A ）7 （B ）1132+ （C ） 7132+ （D ）5 3、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ C ）． （A ）512 （B ）49 （C ）1736 （D ）124、有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( B )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条 5、如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ A ）．（A ）512+ （B ）512- （C ）1 （D ）2二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）6、已知非零实数a ，b 满足 2242(3)42a b a b a -+++-+=，则a b +等于 1 7、如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =23，BC =422-，CD ＝42，则AD 边的长为 262+ ．8、如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC 的顶点B ，C 的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O 的一条直线分别与边AB ，AC 交于点M ，N ，若OM=MN ，则点M 的坐标为_____53,44⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭____。
(高清打印版)2014四校自招数学模拟题
精品文档，欢迎下载！3-56-33精品文档，欢迎下载！2014年上海实验性示范高中“科学素养”模拟题（四校版）一、填空题数学卷1.已知m 为有理数，则m -1+m -3+m +5+m +6的最小值为。
2.已知正方形的边长为1，其内接正三角形的面积最大值为最小值为。
113.已知a 是-的小数部分，b 是-的小数部分，则a -=。
b 4.方程x 3+6x 2+5x =y 3-y +2的整数解（x ，y ）的个数是。
5.如图，△ABC 中，∠BAC =60︒，AB =2AC ．点P 在△ABC 内，且PA =3，PB =5，PC =2，△ABC 的面积为。
6.如图，正方形ABCD 的边长为215，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是。
7.已知抛物线y =2x 2-mx +m 与直角坐标平面上两点(0,0),(1,1)为端点的线段（除去两个端点）有公共点，m 的取值范围是。
8.设正方形ABCD 的中心为O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积恰好相等的概率是．二、解答题1.已知直角三角形的三条边长都是整数，证明：至少有一条直角边的边长是3的倍数．2.已知方程x 4-x 3-56x 2+36x +720=0有两个根之比为2：3，其余两根之差为1，试解之。
3.△ABC 三边长分别为3、4、5，其内心为点O，三边关于点O 的对称点分别为A′、B′、C′．求△ABC 和△A′B′C′两个三角形重合部分的面积。
4.已知一个圆内有n 条弦，这n 条弦中每两条都相交于圆内的一点，且任何三条不共点，试证：这n 条弦将圆面分割成1n 2+1n +1个区域。
223+56+33。
2019年南开大学数学试点班自主招生考试题解析
分别是：1，1.5，2，3，4，4.5，5．
【结论】若 是定义在R上的以T为周期的奇函数，则 ．
7．过双曲线 焦点 的直线 交双曲线的两条准线于 、 两点，且以 为直径的圆恰过原点 ，则 ．
【答案】
【解析】易知两准线方程为 ，则 ， ，依题意知 ，则 ，又 ，解得 ．
取 ， ， ③×；
由①知 ，④√．
6．已知函数 为周期为3的奇函数，且 ，则 在区间 上至少有个零点．
【答案】4
【解析】易知 ；
；
．
所以， 在区间 上至少有0，1， ，2四个零点．
【备注】本题源于2005年福建理科高考试题第12题：
是定义在R上的以3为周期的奇函数，且 ，则方程 在区间 内解的个数的最小值是A．2B．3C．4D．5
8．已知 ，且 均为整数，则这样的 共有对．
【答案】31
【解析】令 ，则 ，
由 得 ，
作出上述不等式组表示的区域（蓝色区域），
问题转化为求该区域内整点的个数．
由图可知，该区域内整点共有31个（如图所示）．
9．在区间 上，若方程 有唯一解，则 的值为．
【答案】1
【解析】 ，
令 ，
则 ，由 得 ．
当 时， ；当 时， ．所以 ．
3．定义在 上的函数 满足：对任意的 ，均有 ．证明： 在 上恒为常数．
【解析】容易看到函数 有周期1，对 ，可取正整数 满足：
那么可取到 使得：
， ．
由此可知 对 均成立．
（注：以上参考宋庆老师的解法）
4．设 ，且 ．证明： ．
【解析】令 ， ，则问题转化为：
已知 ， ，证明： ．
拉格朗日乘数法的初等应用
拉格朗日乘数法的初等应用甘大旺【摘要】概述拉格朗日的数学成就,诠释拉格朗日乘数法的两元简单形态和多元一般形态,从高考题、自主招生题、竞赛题中挑选例题详述拉格朗日乘数法在初等数学中的运用,其中指明把函数极值点确定为最值点的判定技巧,并补充一组思考题让读者进一步品味拉格朗日乘数法的实用价值.【期刊名称】《宁波教育学院学报》【年(卷),期】2017(019)001【总页数】4页(P134-137)【关键词】拉格朗日;偏导数;极值点;拉格朗日乘数法【作者】甘大旺【作者单位】浙江省宁波市北仑明港中学,浙江宁波315806【正文语种】中文【中图分类】O172.1拉格朗日（grange,1736-1813）是出生于意大利的法国数学家、力学家、天文学家，被誉为“分析学大师”、“全才数学家”，以他的名字为标记的研究成果就有拉格朗日中值定理、拉格朗日插值公式、拉格朗日恒等式、拉格朗日乘数法、拉格朗日分析力学、流体运动的拉格朗日方法、天体运动方程的拉格朗日平动解，等等，本文诠释并例谈拉格朗日乘数法这个高等方法的初等应用。
为了求二元函数u=f（x，y）在约束条件φ（x，y）=0下的极值点（x，y），拉格朗日探索到如下一个基本结论。
定理1：如果两个二元函数f（x，y）和φ（x，y）在某个平面区域D内都存在两个偏导数fx'（x，y）、fy'（x，y）和φx'（x，y）、φy'（x，y），取函数L（x，y）=f（x，y）+λφ（x，y），则二元函数u=f（x，y）在约束条件φ（x，y）= 0下的所有极值点（x，y）满足：在定理1中，所取函数L（x，y）被称为二维拉格朗日函数，其中的实数λ被称为拉格朗日乘数。
这里，目标函数只是二元函数、约束条件只有一个，所以运用定理1求二元函数的条件极值的方法属于拉格朗日乘数法的简单形态。
例1：（2015年山东省竞赛题）已知x、y∈（0，+∞），且x3+y3+3xy=1，则x2y的最大值是____。
历年自主招生试题分类汇编—集合与逻辑
1 ) 递增 ,由归纳假设 xn 2n
得 g(xn )
1 g ( 2n ) ,要证明 xn 1
1 2n 1 只需证明
exn 1
1
1
e 2n
1
,即
g(xn )
e , 2n 1
1 故只需证明 g ( 2n )
1
e2 n 1 ,考虑函数 h (x)
x
x
xg ( x) xe2 ,因为当 x 0 时 e2
x 1,
2
所以 h(x)
x
ex (1 x )e 2 2
xx
e2 [e 2
(1 x)] 2
0 ,故 h( x) 在 (0,
)
上递增
,又
1 2n
0,
1 所以 h( n )
2
1 0 ,即 g ( n )
2
1
e2n 1 ,由归纳法知 , xn
1 n 对任意正整数 n 成立 . 2
注 :此题的函数模型与 2012 年清华大学保送生考试试题的函数模型相似 .
f ( x) 在 0 x 上单调增．∴ f ( x) f (0) 0 ．即有 x sin x ． 2
同理可证 g (x) tan x x 0 ．
1
g(0) 0 ，当 0 x 时， g ( x)
2 1 0 ．于是 g ( x) 在 0 x 上单调增。
2
cos x
2
∴在 0 x 上有 g (x) g (0) 0 。即 tan x x 。 2
x2 (14) （ 2012 年华约） 记函数 f n( x) 1 x
2!
xn , n 1,2 证明：当 n 是偶数时，
n!
方程 fn ( x) 0 没有实根；当 n 是奇数时，方程 f n( x) 0 有唯一的。
2014年南开大学数学试点班自主招生考试题解析
2014年南开大学数学试点班自主招生考试题（A 卷）总分：200分 考试时间：2014-2-16 8:30-11:30一．填空题（每小题7分，共70分）1．若单位向量a ，b 满足|23|10a b -=，则|32|a b += ．【答案】 4 【解析】由|23|10a b -=平方得：11312104a b a b -⋅=⇒⋅=， 则2|32|131213316a b a b +=+⋅=+=，所以|32|4a b +=．2．若非零复数z 满足2||(1)0z z i z +⋅+-=，则复数z 的实部为 ．【答案】25- 【解析】设(,)z x yi x y R =+∈，由2||(1)0z z i z +⋅+-=得：22()(2)0x y y x y i +-++=．则2200020x x y y y x y =⎧+-=⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩，或2515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．又0z ≠，所以z 的实部为25-． 3．无重复数字（不含0）且4与5不相邻的五位数共有 个．【答案】13440【解析】用排除法．不含0的无重复数字的五位数共5915120A =个，其中，4和5相邻的无重复数字（不含0）的五位数共3427421680C A A =个，所以，无重复数字（不含0）且4与5不相邻的五位数共有15120168013440-=个．4．在三棱锥P ABC -中，底面为边长为3的正三角形，且3PA =，4PB =，5PC =，则三棱锥 P ABC -的体积P ABC V -= ．【解析】易知PBC ∆是直角三角形，取斜边PC 的中点为O ，因为AP AB AC ==，所以点A 在平面PBC 上的射影为直 角PBC ∆的外心O ，连接AO ，即有AO ⊥平面PBC ． P AB C O 3 3 33 4 5。
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2014年南开大学数学试点班自主招生考试题（A 卷）
总分：200分 考试时间：2014-2-16 8:30-11:30
一．填空题（每小题7分，共70分）
1．若单位向量a ，b 满足|23|a b -= |32|a b += ．
2．若非零复数z 满足2||(1)0z z i z +⋅+-=，则复数z 的实部为 ．
3．无重复数字（不含0）且4与5不相邻的五位数共有 个．
4．在三棱锥P ABC -中，底面为边长为3的正三角形，且3PA =，4PB =，5PC =，则三棱锥 P ABC -的体积P ABC V -= ．
5．在△ABC 中，A 为钝角，以下结论正确的是 ．
①sin cos B C <；②sin sin sin A B C <+；③tan tan 2B C +<；④sin sin B C +<
6．已知函数()f x 为周期为3的奇函数，且(1)0f =，则()f x 在区间[0,3)上至少有 个零点．
7．过双曲线22
1169
x y -=焦点(,0)(0)F c c >的直线()(0)y k x c k =-<交双曲线的两条准线于A 、B 两点，且以AB 为直径的圆恰过原点O ，则k = ．
8．已知,(0,1)x y ∈，且37,5x y x y ++均为整数，则这样的(,)x y 共有 对．
9．在区间(0,)+∞上，若方程2
ln x x x a
-=有唯一解，则a 的值为 ． 10．已知,,x y z 均为正数，且12
xyz =，2222x y z ++≤，则444x y z ++的最大值为 ． 二．解答题（第1-2题，每题15分，第3-7题，每题20分，共130分）
1．设,m n 为正整数，且m n <．证明：对于任意连续n 个正整数，总存在两个不同的正整数的乘积为mn 的倍数．
2．设P 为曲线222521x xy y -+=上的动点，求点P 到原点距离的最小值．
3．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：对任意的,x y ，均有()()f x y f xy +=．证明：()f x 在(0,)+∞上恒为常数．
4．设,(0,)2x y π
∈，且tan tan 3x y ⋅≥．证明：cos cos 2x y +≥．。