信号与系统 系统函数与信号流图
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第七讲数字信号处理系统函数流图
i0
M
•
H( z )
Y( X(
z) z)
1
br z r
r 0
N
ak zk
k 1
ARMA系统 IIR系统
M
• 若所有ak 0, H(z) br zr , 系统称为MA系统 －－－全零 r 0 点模型
h(n)为有限长序列－－－FIR系统（有限长单位脉冲响应）
• 若除b0 1外，所有br 0,
单位脉冲响 应的傅氏变
换
单位圆上的 系统函数
LTI系统的系统函数和ROC
因果系统
稳定系统 因果稳定系统
h(n)
h(n)=0,n<0 右边序列
H(z) Rx z 极点在某圆 内，收敛域 在此圆外
j Im(Z )
h(n)
n
h(n)=0,n<0
h(n)
n
H (e j ) 存在， 收敛域为
H(z)
1
N
1 ak zk
k 1
－－－全极点模型－－－AR 系统
h(n)为无限长序列－－－IIR系统（无限长单位脉冲响应）
一个稳定的LTI因果系统的差分方程为 y(n) 0.25y(n 1) 0.125y(n 2) x(n) x(n 1) 求系统函数H(z)，单位冲激响应h(n)
解：
i 1
系统频率响应 的几何确定
N
Ci
H (e j )
A
i 1 N
Di
i 1
N
N
() i i
i 1
i 1
当频率ω从零变化到2π时，这些向量的终点B沿单位圆逆时 针旋转一周，分别估算出系统的幅度特性和相位特性
N
M
有理系统分类 y(n) ai y(n i) bi x(n i)
§5-8 LTI系统的信号流图表示
2 1 s 1 s 2
于是级联实现
X (s)
∑
S -1
∑
S -1
3
∑
Y (s )
1
《Signals & Systems》
2
大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》
§5-8 LTI系统的信号流图表示
或者
X (s)
∑
S -1
∑
S -1
3
∑
Y (s )
2
1
并联实现如下图
∑
S -1
2
自环：只有一条支路的闭环。
不接触环：环路之间，无公共节点的一类环。 前向通路：由源节点至阱节点的一条通路。
于是系统的级联模拟如下：
∑
z 1
0.2
0.5
∑
Y (z )
X (z )
∑
z 1
0.1
或者：
Y (z ) X (z )
∑
z 1
0.1
0.5
∑
∑
z 1
0.2
《Signals & Systems》
大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》
§5-8 LTI系统的信号流图表示
系统的并联模拟如下：
4
∑
《信号与系统》
§5-8 LTI系统的信号流图表示
§5-8 LTI系统的信号流图表示
一、 LTI系统的模拟框图表示
第一章曾介绍过，将微分方程或差分方程用模拟框图表示。由 于方程中涉及的运算只有三种：加法、数乘和微分（或差分），因 此，模拟框图中的运算器件也只有三种：加法器、数乘器和积分器 （或单位延时器）。
H ( z)
b z
信号与系统 系统函数完美版PPT
m
j
j1
H(s) H(z) 当t -> ∞ 时，对应的响应函数趋近于零。 n
n
A(s) A(z) 4) H(z)在单位圆上的二阶及二阶以上的极点,
(s p ) (z p ) 全通函数：如果系统的幅频响应|H(jω)|对所有的ω均为常数，i 则称该系统为全通系统，相应的系统函数称为全通函数。 i
极点pi 和零点ζj 的值可能是实数或复数。若A(·)和 B(·)的系数
都是实数，则零、极点若为复数，必共轭成对。
二、系统函数与时域响应
系统的冲激响应或单位序列响应的函数形式由A(·)的根确定， 即由H(·)的极点确定；而自由响应的形式也由H(·)极点确定。
t
jω
t
t σ
t
t
t
H(s)的极点与所对应的响应函数
ห้องสมุดไป่ตู้
2π
1
H| jω | Φ(ω)
一律平等地传输，因而被称为全通系统，其系统函
数称为全通函数。
()121222arc2 t2a 2n 2)ω(
最小相移函数:
如有一系统函数Ha(s),
有两个极点-s1和-s1*, 两个零点-s2和-s2*, 都在左半开平面：
H 系统a函(s数)Ha(s)(可(ss以写为ss：12))((ssjωss1*2*))
Hi(1j)bmB1B2Bm
A1A2An
幅频响应
() (1 2 m ) (1 2 n )相频响应
全通函数：如果系统的幅频响应|H(jω)|对所有的ω均为常
数，则称该系统为全通系统，相应的系统函数称为全通函数。
如有二阶系统，
其系统函数在左半平面有一对共轭极点：p1,2 =－α±jβ，
信号与系统6-1
L
C
u1 (t )
s 解： U1 ( s ) 2 s 4
R
u2 (t )
1 s s LC U 2 ( s ) U1 ( s ) H ( s ) 2 s 4 s2 s 1 RC LC
2
将激励信号的极点抵消
2 2
则不会出现强迫响应分量
可见，欲使u2(t)中不出现强迫响应分量，则必须有
试证明系统的正弦稳态响应为：
yss (t ) | H ( j0 ) | Em cos[0t (0 )]
电信学院
第六章第1讲
22
系统函数与正弦稳态响应
证：激励函数可表示为
1 f (t ) Em (e j0t e j e j0t e j ) 2 1 e j e j F ( s ) Em 激励的拉氏变换 s j s j 2 0 0
( s j 2)( s j 2) s2 4 H ( s) H 0 H0 s( s j 4)( s j 4) s( s 2 16)
j2
0
- j2
又： h(0 ) lim h(t ) lim sH ( s) 1 可得：H0=1 t 0 s 故： H (s) s 2 4
t
j
( 2)
h(t )
a
2 0
j
t e a t (t )
h(t )
t
( s a)
2
0
a
e a t sin( 0t ) (t )
第六章第1讲
t
电信学院
11
系统函数的极点与冲激响应波形对应
C
u1 (t )
s 解： U1 ( s ) 2 s 4
R
u2 (t )
1 s s LC U 2 ( s ) U1 ( s ) H ( s ) 2 s 4 s2 s 1 RC LC
2
将激励信号的极点抵消
2 2
则不会出现强迫响应分量
可见，欲使u2(t)中不出现强迫响应分量，则必须有
试证明系统的正弦稳态响应为：
yss (t ) | H ( j0 ) | Em cos[0t (0 )]
电信学院
第六章第1讲
22
系统函数与正弦稳态响应
证：激励函数可表示为
1 f (t ) Em (e j0t e j e j0t e j ) 2 1 e j e j F ( s ) Em 激励的拉氏变换 s j s j 2 0 0
( s j 2)( s j 2) s2 4 H ( s) H 0 H0 s( s j 4)( s j 4) s( s 2 16)
j2
0
- j2
又： h(0 ) lim h(t ) lim sH ( s) 1 可得：H0=1 t 0 s 故： H (s) s 2 4
t
j
( 2)
h(t )
a
2 0
j
t e a t (t )
h(t )
t
( s a)
2
0
a
e a t sin( 0t ) (t )
第六章第1讲
t
电信学院
11
系统函数的极点与冲激响应波形对应
系统的信号流图
例3
H (z)
z2 z3＋3z2
2z
，画出直接形式、
串联形式和并联形式信号流图。
解:（1）
H (z)
z3 z3＋3z2
＝ z2 3z3 2z 1 3z1 2z2
（2）
H (z)
z3 z3＋3z2
2z
z(z
z3 2)(z
1)
1 z
z z
3 2
1 z 1
z 1
1 1
3z 1 2 z 1
1
z
1 s1
1 s1
根据梅森公式分别画出 2
1 3s1
2 1 s1
的流图，并联起来
1 F(s)
1
s-1
1/2 -3
Y(s)
s-1
1/2
-1
系统的状态变量分析
例2
H
(s)
s(s
2s 3 3)(s
2)
，画出直接形式、串联
形式和并联形式信号流图。
解：（1）
H (s)
s(s
2s 3 3)(s
2)
s3
1
1
z-1
z-1
z-1
F(z)
Y(s)
-3
4
2
H(z)
z2 2
Y(z)
z3 2z2 3z 4
-3
1 s-1 s-1 1
F(s)
-2
s-1 1 Y(s)
-1
H
(s)
1
s 1
s 3 5s 2
2 s 3
系统的状态变量分析
三、系统函数计算
1.列节点方程（由加法器输出端）
2.梅森公式
H 1
k
信号流图
▲ ■ 第 6页
（3）混联： ）混联：
X1 H1 H3 X3 X2 H2 X4
X2 H2H3 X1 H1H3 X4
X4=H3X3=H3(H1X1+ H2X2)= H1H3X1 + H2H3X2
H2 X1 H1 X2 H3 X4 X3
H1H2 X1 H1H3
X3
பைடு நூலகம்
X4
▲
■
第 7页
（4）自环的消除： ）自环的消除：
例 求下列信号流图的系统函数
H4
首先找出所有回路： 解 (1)首先找出所有回路： 首先找出所有回路 L1=H3G L2=2H1H2H3H5 L3=H1H4H5 (2)求特征行列式 求特征行列式
1
H1
H2
H3 G H5
2
1
△=1-（H3G+2H1H2H3H5+ H1H4H5）+ H3G H1H4H5 （ (3)然后找出所有的前向通路： 然后找出所有的前向通路： 然后找出所有的前向通路 1 p1=2H1H2H3 H = ( p1∆1 + p2 ∆2 ) ∆ p2=H1H4 (4)求各前向通路的余因子：△1 =1 ， △2 =1-GH3 求各前向通路的余因子： 求各前向通路的余因子 框图也可用梅森公式求系统函数。 框图也可用梅森公式求系统函数。 ▲ ■
▲ ■ 第 3页
3、信号流图的基本性质 、
（1）信号只能沿支路箭头方向传输。 ）信号只能沿支路箭头方向传输。 支路的输出=该支路的输入与支路增益的乘积 该支路的输入与支路增益的乘积。 支路的输出 该支路的输入与支路增益的乘积。 （2）当结点有多个输入时，该结点将所有输入支路 ）当结点有多个输入时， 的信号相加， 的信号相加，并将和信号传输给所有与该结点相连 的输出支路。 的输出支路。 x1 d x5 如：x4= ax1+bx2+cx3 x5= dx4 x6= ex4
（3）混联： ）混联：
X1 H1 H3 X3 X2 H2 X4
X2 H2H3 X1 H1H3 X4
X4=H3X3=H3(H1X1+ H2X2)= H1H3X1 + H2H3X2
H2 X1 H1 X2 H3 X4 X3
H1H2 X1 H1H3
X3
பைடு நூலகம்
X4
▲
■
第 7页
（4）自环的消除： ）自环的消除：
例 求下列信号流图的系统函数
H4
首先找出所有回路： 解 (1)首先找出所有回路： 首先找出所有回路 L1=H3G L2=2H1H2H3H5 L3=H1H4H5 (2)求特征行列式 求特征行列式
1
H1
H2
H3 G H5
2
1
△=1-（H3G+2H1H2H3H5+ H1H4H5）+ H3G H1H4H5 （ (3)然后找出所有的前向通路： 然后找出所有的前向通路： 然后找出所有的前向通路 1 p1=2H1H2H3 H = ( p1∆1 + p2 ∆2 ) ∆ p2=H1H4 (4)求各前向通路的余因子：△1 =1 ， △2 =1-GH3 求各前向通路的余因子： 求各前向通路的余因子 框图也可用梅森公式求系统函数。 框图也可用梅森公式求系统函数。 ▲ ■
▲ ■ 第 3页
3、信号流图的基本性质 、
（1）信号只能沿支路箭头方向传输。 ）信号只能沿支路箭头方向传输。 支路的输出=该支路的输入与支路增益的乘积 该支路的输入与支路增益的乘积。 支路的输出 该支路的输入与支路增益的乘积。 （2）当结点有多个输入时，该结点将所有输入支路 ）当结点有多个输入时， 的信号相加， 的信号相加，并将和信号传输给所有与该结点相连 的输出支路。 的输出支路。 x1 d x5 如：x4= ax1+bx2+cx3 x5= dx4 x6= ex4
信号与系统-系统函数与信号流图_图文_图文
（3）反馈 等效系统函数为
对于负反馈，总有
二．信号流图
系统的信号流图是用一些点和有向线段来描述系统。变成信号流图形式 就是用线段端点代表信号，称为节点。有向线段表示信号传输的路径和方 向，一般称为支路，每一条支路上有增益，所以每一条支路相当于乘法器 。
信号流图中的节点可以有很多信号输入，它们是相加的关系， 而且可以有不同方向输出。
对于连续时间动态LTI系统的模拟，通常由加法器、标量乘 法器和积分器三种部件构成。
系统模拟可以理解为就是用这三种部件画出系统的信号流图 或是系统的方框图，使得流图或方框图实现了指定的系统函数。
四．系统模拟
例： 用加法器、标量乘法器和积分器三种部件模拟下面微分方程描
述的系统
解：首先考虑下面的系统
由线性时不变系统的性质知道存在下面关系
节点:
三．Mason公式
表示系统中的变量或信号的点称为节点。
支路:
连接两节点间的有向线段称为支路。 支路增益就是两节点间的增益。
输入节点（源点）: 仅有输出支路的节点， 一 般为系统的输入。
输出节点（阱点）: 仅有输入支路的节点，一般为系统的输出
混合节点:
既有输入支路又有输出支路的节点
三．Mason公式
四．系统模拟
方程两边积分三次得到
说明
是某信号积分三次得到，可以画出部分框图。
四．系统模拟
第一个积分器的输入信号实际是 可以画出部分系统框图
四．系统模拟
可以画出完整的系统框图
四．系统模拟
对应的信号流图为
其中
若 则
表示积分器（拉普拉斯变换的性质）
通路: 从任一节点出发沿着支路箭头方向连续地穿过 各相连支路到达另一节点的路径称为通路。
对于负反馈，总有
二．信号流图
系统的信号流图是用一些点和有向线段来描述系统。变成信号流图形式 就是用线段端点代表信号，称为节点。有向线段表示信号传输的路径和方 向，一般称为支路，每一条支路上有增益，所以每一条支路相当于乘法器 。
信号流图中的节点可以有很多信号输入，它们是相加的关系， 而且可以有不同方向输出。
对于连续时间动态LTI系统的模拟，通常由加法器、标量乘 法器和积分器三种部件构成。
系统模拟可以理解为就是用这三种部件画出系统的信号流图 或是系统的方框图，使得流图或方框图实现了指定的系统函数。
四．系统模拟
例： 用加法器、标量乘法器和积分器三种部件模拟下面微分方程描
述的系统
解：首先考虑下面的系统
由线性时不变系统的性质知道存在下面关系
节点:
三．Mason公式
表示系统中的变量或信号的点称为节点。
支路:
连接两节点间的有向线段称为支路。 支路增益就是两节点间的增益。
输入节点（源点）: 仅有输出支路的节点， 一 般为系统的输入。
输出节点（阱点）: 仅有输入支路的节点，一般为系统的输出
混合节点:
既有输入支路又有输出支路的节点
三．Mason公式
四．系统模拟
方程两边积分三次得到
说明
是某信号积分三次得到，可以画出部分框图。
四．系统模拟
第一个积分器的输入信号实际是 可以画出部分系统框图
四．系统模拟
可以画出完整的系统框图
四．系统模拟
对应的信号流图为
其中
若 则
表示积分器（拉普拉斯变换的性质）
通路: 从任一节点出发沿着支路箭头方向连续地穿过 各相连支路到达另一节点的路径称为通路。
信号与系统——系统函数
幅频: | H ( j) | bm B1B2...Bm
A1A2... An
相位:()=(1+…+m)-(1+…+n) 分析: 从0~∞
2019/11/20
22
例: u1(s) + -
R 1/sc
u2(s)
1 sc H(s)=u2(s)/ u1(s) = R 1 sc
11 = Rc s 1 Rc
写出网络转移函数表达式
Hs
V2 s V1 s
1 RC
s
1 1
RC
1 RC
2019/11/20
1 M1 ejθ1
V2 ej ω V1
M1
θ1
1 RC
jω
O
σ
30
频响特性 V2
jω
1 V1
M1
1
2
θ1
1 RC
O
σ
O1 RC
ω
H
Im[z] Z平面
2019/11/20
-1/3
1 2 Re[z]
13
极点位置与h(k)形状的关系
j Im z
1
O
1
Re z
2019/11/20
14
利用z～s平面的映射关系
s平面(单极点)
z平面(单极点)
极点位置 h(t)特点 极点位置 h(k)特点
虚轴上
等幅
单位圆上 等幅
原点时 左半平面
t 1
2019/11/20
28
结论:
凡极点位于左半开平面,零点位于右半开 平面,且所有的零点与极点对于j轴为一 镜像对称的系统函数即为全通函数.
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信号与系统
§5.6.4 系统函数和信号流图
信号与系统
主要内容
•系统方框图 •信号流图
•Mason公式
•系统模拟（第5.8节）
信号与系统
一．系统方框图
一个系统的方框图可由许多子系统的框图作适当联接组成。 子系统的基本联接方式有级联、并联和反馈三种。 （1）级联 （2）并联 等效系统函数为 等效系统函数为
X
X1
X2
G1
1 Li Li L j 1 ( L1 L2 L3 L4 ) ( L1L4 )
G2
1 H4G1 H2 H3H4 H5G2 H5 H6G2 H2 H7G2 H2 H4 H7GG2 1
X X1 X 2 X 3 X 4 Y
L3 ( X1 X 4 Y X1 ) H5 H 6G2
L4 ( X1 X 2 Y X1 ) H 2 H 7G2
其中L1、L4是两两不接触的回路，没有三个互不接触的回路
信号与系统
H6
H7 X3
H4
三．Mason公式 H H
1
2
H3
H5
X4
Y
可以求得流图的特征式
X (s)
H1 ( s ) H 2 ( s )
信号与系统
一．系统方框图
（3）反馈
X (s)
E (s)
等效系统函数为
H1 ( s)
H 2 (s)
Y (s)
H1 ( s ) H ( s) 1 H1 ( s ) H 2 ( s )
对于负反馈，总有
B( s )
X ( s)
H1 ( s ) H ( s) 1 H1 ( s ) H 2 ( s )
解：先求环路，一共有4个环路，即
L1 H 2G2
L2 H 4G4
L3 H 5G5
L4 H 2 H 3 H 4 H 5G1
其中（L1、L2），（L1、L3）是两两不接触的回路，没有三三不接触的
回路。
信号与系统
三．Mason公式
G1
H1
X
H2
H3
G4
X3
H5 G5
H (s)
Y (s)
X 2 ( s)
H 24
H 14
H 45
H 46
X 5 (s)
X 1 (s)
X 4 (s)
X (s)
H (s)
Y (s)
X 3 s
H 34
多输入多输出节点
X 6 (s)
信号流图中的节点可以有很多信号输入，它们是相加的关系，
X 4 X 1 H14 X 2 H 24 X 3 H 34
H1
X
例： 用Mason公式求图所示系统的系统函数
H7 X3
H4 H2
H3
X2
H5
X4
Y
X1
G1
解：先求环路，一共有4个环路，即
G2
L1 ( X 3 X 4 X 3 ) H 4G1
L2 ( X1 X 2 X 3 X 4 Y X1 ) H 2 H3 H 4 H 5G2
方程两边积分三次得到
d 2 y1 (t ) d y1 (t ) y1 (t ) a2 a1 a0 y1 (t ) x(t ) dt 2 dt dt
说明
y1 (t )是某信号积分三次得到，可以画出部分框图。
d 2 y1 t dt 2
dy1 t dt
a1
a0
信号与系统
四．系统模拟
d 2 y1 (t ) d y1 (t ) y (t ) b2 b1 b0 y1 (t ) 2 dt dt
可以画出完整的系统框图
b2
b1
x (t )
a2
a1
a0
y1 t
y(t )
b0
信号与系统
四．系统模拟
对应的信号流图为
1
G1 H1
X
H2 X1
H3
G4
X3
H5 G5
Y
G2
X2
H4 X4
信号与系统
三．Mason公式
通路: 从任一节点出发沿着支路箭头方向连续地穿过 各相连支路到达另一节点的路径称为通路。
前向通路: 从输入节点到输出节点的通路。
前向通路中通过任何节点不多于一次。
开通路: 如果通路与任一节点相遇不多于一次，则称 为开通路。
信号与系统
四．系统模拟
d 3 y1 (t ) d 2 y1 (t ) d y1 (t ) a2 a1 a0 y1 (t ) x(t ) 3 2 dt dt dt
d 3 y1 (t ) d 2 y1 (t ) d y1 (t ) a2 a1 a0 y1 (t ) x(t ) 3 2 dt dt dt
前向通路只有一条，即
所有回路都和这条前向通路接触，所以
X X1 X 2 X 3 X 4 Y
P1 H1 H 2 H 3 H 4 H 5
1 1 0 0 1
信号与系统
三．Mason公式
G1
H1
X
H2
H3
G4
X3
H5 G5
X1
G2
Y
X2
H4 X 4
三、 已知题图所示电路，求： （1）系统函数
H ( s) V2 ( s ) V1 ( s )
2H
+
v1 ( t )
+
1F
（2）冲激响应
h(t ) 与阶跃响应 g (t ) 。
-
2
v2 ( t )
-
题图
三条前向通路之(1)
P1 H1 H 2 H 3 H 4 H 5
三条前向通路之(2)
1 1 0 0 1
X X1 X 4 Y
P2 H1 H 5 H 6
2 1
信号与系统
三．Mason公式
X X1 X 2 Y
三条前向通路之(3)
P3 H 1 H 2 H 7
Mason公式为
P ( s)
k 1 k
M
k
( s)
( s )
其中
H ( s ) 从输入节点到输出节点之间的系统函数
(s)
特征式
(s) 1 Li Li L j Li L j Lk
i i i
L 所有不同回路增益之和 L L 所有两两互不接触回路增益乘积之和 L L L 所有三个互不接触回路增益乘积之和
3 1 H 4G1
H6 H7 X3
H4
所以系统函数为
X
M
H1 X1
H2
H3
X2
H5
X4
Y
G1
H
Pk (s) k (s)
k 1
G2
( s)
H1 H 2 H 3 H 4 H 5 H1H 5 H 6 H1H 2 H 7 1 H 4G1 1 H 4G1 H 2 H 3 H 4 H 5G2 H 5 H 6G2 H 2 H 7G2 H 2 H 4 H 7G1G2
d3 y1 (t ) d 2 y1 (t ) dy (t ) a2 a1 1 a0 y1 (t ) x(t ) dt 3 dt 2 dt
由线性时不变系统的性质知道存在下面关系
d 2 y1 (t ) dy1 (t ) y (t ) b2 b1 b0 y1 (t ) 2 dt dt
H (s) H1 (s) H 2 ( s)
X (s)
H (s) H1 (s) H 2 (s)
Y (s)
H1 ( s )
X (s)
Y1 ( s )
H 2 (s)
X (s)
H1 ( s )
H 2 (s)
Y1 ( s )
Y ( s)
Y2 ( s )
Y ( s)
Y (s)
H1 ( s ) H 2 ( s )
系统函数为
H
P (s)
k 1 k
M
k
( s)
( s)
H1 H 2 H 3 H 4 H 5 1 H 2G2 H 4G4 H 5G5 H 2 H 3 H 4 H 5G1 H 2 H 4G2G4 H 2G2 H 5G5
信号与系统
三．Mason公式
H6
H1 ( s ) Y ( s) 1 H1 ( s ) H 2 ( s )
信号与系统
二．信号流图
系统的信号流图是用一些点和有向线段来描述系统。变成信号流图形式 就是用线段端点代表信号，称为节点。有向线段表示信号传输的路径和方
向，一般称为支路，每一条支路上有增益，所以每一条支路相当于乘法器。
X (s)
X1
G2
Y
X2
H4 X 4
所以流图的特征式为
(s) 1 Li Li L j 1 ( L1 L2 L3 L4 ) ( L1L2 L1L3 )
1 ( H 2G2 H 4G4 H5G5 H 2 H3 H 4 H5G1 ) (H 2 H 4G2G4 H 2G2 H5G5 )
例： 用加法器、标量乘法器和积分器三种部件模拟下面微分方程描
述的系统
d3 y (t ) d 2 y (t ) dy (t ) d 2 x(t ) dx(t ) a2 a1 a0 y (t ) b2 b1 b0 x(t ) 3 2 2 dt dt dt dt dt
§5.6.4 系统函数和信号流图
信号与系统
主要内容
•系统方框图 •信号流图
•Mason公式
•系统模拟（第5.8节）
信号与系统
一．系统方框图
一个系统的方框图可由许多子系统的框图作适当联接组成。 子系统的基本联接方式有级联、并联和反馈三种。 （1）级联 （2）并联 等效系统函数为 等效系统函数为
X
X1
X2
G1
1 Li Li L j 1 ( L1 L2 L3 L4 ) ( L1L4 )
G2
1 H4G1 H2 H3H4 H5G2 H5 H6G2 H2 H7G2 H2 H4 H7GG2 1
X X1 X 2 X 3 X 4 Y
L3 ( X1 X 4 Y X1 ) H5 H 6G2
L4 ( X1 X 2 Y X1 ) H 2 H 7G2
其中L1、L4是两两不接触的回路，没有三个互不接触的回路
信号与系统
H6
H7 X3
H4
三．Mason公式 H H
1
2
H3
H5
X4
Y
可以求得流图的特征式
X (s)
H1 ( s ) H 2 ( s )
信号与系统
一．系统方框图
（3）反馈
X (s)
E (s)
等效系统函数为
H1 ( s)
H 2 (s)
Y (s)
H1 ( s ) H ( s) 1 H1 ( s ) H 2 ( s )
对于负反馈，总有
B( s )
X ( s)
H1 ( s ) H ( s) 1 H1 ( s ) H 2 ( s )
解：先求环路，一共有4个环路，即
L1 H 2G2
L2 H 4G4
L3 H 5G5
L4 H 2 H 3 H 4 H 5G1
其中（L1、L2），（L1、L3）是两两不接触的回路，没有三三不接触的
回路。
信号与系统
三．Mason公式
G1
H1
X
H2
H3
G4
X3
H5 G5
H (s)
Y (s)
X 2 ( s)
H 24
H 14
H 45
H 46
X 5 (s)
X 1 (s)
X 4 (s)
X (s)
H (s)
Y (s)
X 3 s
H 34
多输入多输出节点
X 6 (s)
信号流图中的节点可以有很多信号输入，它们是相加的关系，
X 4 X 1 H14 X 2 H 24 X 3 H 34
H1
X
例： 用Mason公式求图所示系统的系统函数
H7 X3
H4 H2
H3
X2
H5
X4
Y
X1
G1
解：先求环路，一共有4个环路，即
G2
L1 ( X 3 X 4 X 3 ) H 4G1
L2 ( X1 X 2 X 3 X 4 Y X1 ) H 2 H3 H 4 H 5G2
方程两边积分三次得到
d 2 y1 (t ) d y1 (t ) y1 (t ) a2 a1 a0 y1 (t ) x(t ) dt 2 dt dt
说明
y1 (t )是某信号积分三次得到，可以画出部分框图。
d 2 y1 t dt 2
dy1 t dt
a1
a0
信号与系统
四．系统模拟
d 2 y1 (t ) d y1 (t ) y (t ) b2 b1 b0 y1 (t ) 2 dt dt
可以画出完整的系统框图
b2
b1
x (t )
a2
a1
a0
y1 t
y(t )
b0
信号与系统
四．系统模拟
对应的信号流图为
1
G1 H1
X
H2 X1
H3
G4
X3
H5 G5
Y
G2
X2
H4 X4
信号与系统
三．Mason公式
通路: 从任一节点出发沿着支路箭头方向连续地穿过 各相连支路到达另一节点的路径称为通路。
前向通路: 从输入节点到输出节点的通路。
前向通路中通过任何节点不多于一次。
开通路: 如果通路与任一节点相遇不多于一次，则称 为开通路。
信号与系统
四．系统模拟
d 3 y1 (t ) d 2 y1 (t ) d y1 (t ) a2 a1 a0 y1 (t ) x(t ) 3 2 dt dt dt
d 3 y1 (t ) d 2 y1 (t ) d y1 (t ) a2 a1 a0 y1 (t ) x(t ) 3 2 dt dt dt
前向通路只有一条，即
所有回路都和这条前向通路接触，所以
X X1 X 2 X 3 X 4 Y
P1 H1 H 2 H 3 H 4 H 5
1 1 0 0 1
信号与系统
三．Mason公式
G1
H1
X
H2
H3
G4
X3
H5 G5
X1
G2
Y
X2
H4 X 4
三、 已知题图所示电路，求： （1）系统函数
H ( s) V2 ( s ) V1 ( s )
2H
+
v1 ( t )
+
1F
（2）冲激响应
h(t ) 与阶跃响应 g (t ) 。
-
2
v2 ( t )
-
题图
三条前向通路之(1)
P1 H1 H 2 H 3 H 4 H 5
三条前向通路之(2)
1 1 0 0 1
X X1 X 4 Y
P2 H1 H 5 H 6
2 1
信号与系统
三．Mason公式
X X1 X 2 Y
三条前向通路之(3)
P3 H 1 H 2 H 7
Mason公式为
P ( s)
k 1 k
M
k
( s)
( s )
其中
H ( s ) 从输入节点到输出节点之间的系统函数
(s)
特征式
(s) 1 Li Li L j Li L j Lk
i i i
L 所有不同回路增益之和 L L 所有两两互不接触回路增益乘积之和 L L L 所有三个互不接触回路增益乘积之和
3 1 H 4G1
H6 H7 X3
H4
所以系统函数为
X
M
H1 X1
H2
H3
X2
H5
X4
Y
G1
H
Pk (s) k (s)
k 1
G2
( s)
H1 H 2 H 3 H 4 H 5 H1H 5 H 6 H1H 2 H 7 1 H 4G1 1 H 4G1 H 2 H 3 H 4 H 5G2 H 5 H 6G2 H 2 H 7G2 H 2 H 4 H 7G1G2
d3 y1 (t ) d 2 y1 (t ) dy (t ) a2 a1 1 a0 y1 (t ) x(t ) dt 3 dt 2 dt
由线性时不变系统的性质知道存在下面关系
d 2 y1 (t ) dy1 (t ) y (t ) b2 b1 b0 y1 (t ) 2 dt dt
H (s) H1 (s) H 2 ( s)
X (s)
H (s) H1 (s) H 2 (s)
Y (s)
H1 ( s )
X (s)
Y1 ( s )
H 2 (s)
X (s)
H1 ( s )
H 2 (s)
Y1 ( s )
Y ( s)
Y2 ( s )
Y ( s)
Y (s)
H1 ( s ) H 2 ( s )
系统函数为
H
P (s)
k 1 k
M
k
( s)
( s)
H1 H 2 H 3 H 4 H 5 1 H 2G2 H 4G4 H 5G5 H 2 H 3 H 4 H 5G1 H 2 H 4G2G4 H 2G2 H 5G5
信号与系统
三．Mason公式
H6
H1 ( s ) Y ( s) 1 H1 ( s ) H 2 ( s )
信号与系统
二．信号流图
系统的信号流图是用一些点和有向线段来描述系统。变成信号流图形式 就是用线段端点代表信号，称为节点。有向线段表示信号传输的路径和方
向，一般称为支路，每一条支路上有增益，所以每一条支路相当于乘法器。
X (s)
X1
G2
Y
X2
H4 X 4
所以流图的特征式为
(s) 1 Li Li L j 1 ( L1 L2 L3 L4 ) ( L1L2 L1L3 )
1 ( H 2G2 H 4G4 H5G5 H 2 H3 H 4 H5G1 ) (H 2 H 4G2G4 H 2G2 H5G5 )
例： 用加法器、标量乘法器和积分器三种部件模拟下面微分方程描
述的系统
d3 y (t ) d 2 y (t ) dy (t ) d 2 x(t ) dx(t ) a2 a1 a0 y (t ) b2 b1 b0 x(t ) 3 2 2 dt dt dt dt dt