信号与系统——系统函数
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信号与系统重点概念公式总结
信号与系统重点概念公式总结Last updated on the afternoon of January 3, 2021信号与系统重点概念及公式总结：第一章：概论1.信号：信号是消息的表现形式。
（消息是信号的具体内容）2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。
第二章：信号的复数表示：1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。
常数形式的复数C=a+jba 为实部，b 为虚部；或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复数的辐角。
（复平面）2.欧拉公式：wt j wt e jwt sin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f F n =如果满足：n i K dt t f j i dt t f t f i T T i T T j i 2,1)(0)()(21212==≠=⎰⎰则称集合F 为正交函数集如果n i K i ,2,11==，则称F 为标准正交函数集。
如果F 中的函数为复数函数条件变为：ni K dt t f t f j i dt t f t f i T T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121**==⋅≠=⋅⎰⎰其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。
2.正交函数集的物理意义：一个正交函数集可以类比成一个坐标系统；正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴；在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点；点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。
3.正交函数集完备的概念和物理意义：如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。
如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ）()∞<<⎰2120t t dt t x ，满足等式：()()⎰=210t t i dt t g t x ，则此函数集称为完备正交函数集。
信号与系统第七章 系统函数
=
K
N1N 2 " N m e j(ψ1+ψ2 +"ψm ) M1 M2 " Mn ej(θ1+θ2 +"θn )
H (jω)
=
K
N1N2 " Nm M1M2 "Mn
ϕ (ω) = (ψ1 +ψ2 + "ψm ) − (θ1 +θ 2 + "θ n )
当ω 沿虚轴移动时，各复数因子(矢量)的模和辐角都
①H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。 即当k→∞时，响应均趋于0。 ②H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳 态响应。
③H(z)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其 所对应的响应序列都是递增的。即当k→∞时，响应 均趋于∞。
第 19 页
三、由系统函数零、极点分布 决定频响特性
v1(t ) −
R
+
C v2(t )
−
写出网络转移函数表达式
H (s)
=
V2 (s) V1 (s )
=
1 RC
⎜⎛ ⋅⎜ ⎜⎜⎝
s
1 +1
RC
⎟⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
=
1 RC
1 M1 ejθ1
= V2 ejϕ (ω) V1
M1
θ1
−1 RC
jω
O
σ
第 28 页
频响特性
jω
M1
V2 1 V1 1
2 θ1
−1 RC
O
σ
O1 RC
( ) H
jω
=
1 RC
1 M1 e jθ1
= V2 ejϕ (ω) V1
信号与系统 系统函数完美版PPT
m
j
j1
H(s) H(z) 当t -> ∞ 时，对应的响应函数趋近于零。 n
n
A(s) A(z) 4) H(z)在单位圆上的二阶及二阶以上的极点,
(s p ) (z p ) 全通函数：如果系统的幅频响应|H(jω)|对所有的ω均为常数，i 则称该系统为全通系统，相应的系统函数称为全通函数。 i
极点pi 和零点ζj 的值可能是实数或复数。若A(·)和 B(·)的系数
都是实数，则零、极点若为复数，必共轭成对。
二、系统函数与时域响应
系统的冲激响应或单位序列响应的函数形式由A(·)的根确定， 即由H(·)的极点确定；而自由响应的形式也由H(·)极点确定。
t
jω
t
t σ
t
t
t
H(s)的极点与所对应的响应函数
ห้องสมุดไป่ตู้
2π
1
H| jω | Φ(ω)
一律平等地传输，因而被称为全通系统，其系统函
数称为全通函数。
()121222arc2 t2a 2n 2)ω(
最小相移函数:
如有一系统函数Ha(s),
有两个极点-s1和-s1*, 两个零点-s2和-s2*, 都在左半开平面：
H 系统a函(s数)Ha(s)(可(ss以写为ss：12))((ssjωss1*2*))
Hi(1j)bmB1B2Bm
A1A2An
幅频响应
() (1 2 m ) (1 2 n )相频响应
全通函数：如果系统的幅频响应|H(jω)|对所有的ω均为常
数，则称该系统为全通系统，相应的系统函数称为全通函数。
如有二阶系统，
其系统函数在左半平面有一对共轭极点：p1,2 =－α±jβ，
【信号与系统】03-系统函数的性质
【信号与系统】03-系统函数的性质1. 系统函数的性质1.1 变换的对偶性 不管是傅⾥叶变换的频域还是拉普拉斯变换的s域（下⾯统称s域），都是深⼊讨论LIT系统的有⼒⼯具，有时甚⾄是必备⼯具。
s域的系统函数和时域的信号（单位冲激响应）是⼀对共⽣体，它们通过拉普拉斯变换⽣成彼此，同时也是连接两个域的纽带。
对⼀个函数解析式，经常要对它做⼀些常规的分析操作，⽐如运算、平移、缩放、微积分、卷积等。
⼀个很⾃然的问题是，在某个域的分析操作会对另⼀个域带来什么影响呢？本篇就来讨论这个问题。
在正式讨论之前，有必要再回顾⼀下拉普拉斯变换的公式。
你可能⼀开始就注意到，正反变换存在⼀定的“对称性”，⽽仅在局部有微⼩差别。
在数学上，两个概念如果通过类似的⽅法互相定义，它们就称为对偶的，从形式上不难看出，互为对偶的概念的性质也是对偶存在的，这就省去了相似论证的⿇烦。
信号x(t)和拉普拉斯变换H(s)之间不具有严格的对偶性，但这样的相似性仍然可以被使⽤。
如果记χ(ω)=eσ√2πX(σ+jω)，将得到更为对称的式（1），把这个关系记作变换T，显然有式（2）成⽴。
以后变换的性质如果本⾝不是对称的，可以运⽤该式迅速得到另⼀个对称的性质，当然简单的性质直接证明会更快。
x(t)=1√2π∫∞−∞χ(ω)e jωt dω;χ(ω)=1√2π∫∞−∞x(t)e−jωt d t x(t)T↔χ(ω)⇔χ(t)T↔x(−ω)1.2 拉普拉斯变换的性质 以下按函数运算的复杂程度，罗列LT的基本性质，过于直⽩的结论不加证明。
需要注意的是，性质成⽴有它⾃⼰的ROC，并不完全受限于原LT的ROC。
还有我们知道，ROC和积分在具体的s上的收敛性是不同的，以下性质在ROC外的收敛点仍然可以是成⽴的。
⾸先是函数的线性运算，在s域也是线性的（式（3））。
然后看函数的平移，容易有式（4）左成⽴，在s域的平移还有式（4）右成⽴，这是⼀组对偶性质。
当对函数进⾏伸缩时，频谱系数也跟着反⽐例伸缩（式（5）左）；特别地，a=−1时表⽰函数左右翻转（旋转180度），s域则也跟着旋转180度（式（5）右）。
(学生版)信号与系统总复习
ytyzityzst
3、冲激响应和阶跃响应 （1）冲激响应
定义：LTI在零状态条件下，由δ(t)作用所产生的零状态响 应为单位冲激响应（冲激响应），h(t)。
（2）阶跃响应 定义：LTI在零状态条件下，由ε(t)引起的响应称为单位阶跃 响应（阶跃响应），g(t)。
h(t)与g(t)之间的关系为微、积分关系。
（2）复合系统的单位序列
f (k)
h1(k ) h2(k)
+ ∑ y(k) +
f (k) h1(k) f (k) h2(k)
y(k) h2(k)
y(k) h1(k)
h(k)=h1(k) + h2(k) h(k)=h1(k) * h2(k)= h2(k) * h1(k)
（3）f(k)*δ(k)
=
f(k)
信号，此时P=0。
若信号f(t)的功率有界，即P<∞ ,则称为功率有限信
号，此时E=∞。
时限信号(仅在有限时间区间不为零的信号)为能量 信号; 周期信号属于功率信号，而非周期信号可能是能 量信号，也可能是功率信号。
3
二、信号的基本运算与波形变换
重点：反转、平移、尺寸变换
三、单位阶跃信号与单位冲激信号（性质、两者间的关系）
ft Fnejn0t， n， n
Fn
1 T
T
2 T
2
f
t ejn0tdt
20
3 、f(t)为偶函数——对称纵坐标，f(t)=f(-t)
bn =0，展开为余弦级数。
4 、f(t)为奇函数——对称于原点，f(t)=-f(-t)
an =0，展开为正弦级数。
5 、f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t±T/2)
3、冲激响应和阶跃响应 （1）冲激响应
定义：LTI在零状态条件下，由δ(t)作用所产生的零状态响 应为单位冲激响应（冲激响应），h(t)。
（2）阶跃响应 定义：LTI在零状态条件下，由ε(t)引起的响应称为单位阶跃 响应（阶跃响应），g(t)。
h(t)与g(t)之间的关系为微、积分关系。
（2）复合系统的单位序列
f (k)
h1(k ) h2(k)
+ ∑ y(k) +
f (k) h1(k) f (k) h2(k)
y(k) h2(k)
y(k) h1(k)
h(k)=h1(k) + h2(k) h(k)=h1(k) * h2(k)= h2(k) * h1(k)
（3）f(k)*δ(k)
=
f(k)
信号，此时P=0。
若信号f(t)的功率有界，即P<∞ ,则称为功率有限信
号，此时E=∞。
时限信号(仅在有限时间区间不为零的信号)为能量 信号; 周期信号属于功率信号，而非周期信号可能是能 量信号，也可能是功率信号。
3
二、信号的基本运算与波形变换
重点：反转、平移、尺寸变换
三、单位阶跃信号与单位冲激信号（性质、两者间的关系）
ft Fnejn0t， n， n
Fn
1 T
T
2 T
2
f
t ejn0tdt
20
3 、f(t)为偶函数——对称纵坐标，f(t)=f(-t)
bn =0，展开为余弦级数。
4 、f(t)为奇函数——对称于原点，f(t)=-f(-t)
an =0，展开为正弦级数。
5 、f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t±T/2)
信号系统-第5章 拉普拉斯变换与系统函数
事实上，由于X(s)是一个复平面上 的函数，将其视为一个数学上的变换而 不强调其物理意义更易理解。
利用复变函数理论中的围线积分、留
数定理和约当（Jordon）引理等知识，反 变换表达式（5-11）中原函数x(t)的计算可 简化为如下所示的留数计算。
x(t)
1 2πj
j∞ j∞
X
(s)est ds
因此，反演公式同样适用于单边拉 普拉斯反变换。
5.3 拉普拉斯变换的进一步讨论
5.3.1 定义与说明
式（5-3）已给出了单边拉普拉斯变 换的定义，这里重写于下：
∞
X (s) x(t)estdt 0
图5-2 3个不同的信号具有相同的单边拉普拉斯变换
【例5-5】 求(t)的拉普拉斯变换。
解 取为“0+”时，
1
j∞
X (s)estds
x(t) 2πj j∞
0
t≥0 t0
（5-11）
从物理意义上讲，式（5-11）也可 理解为将x(t)视为形如 et ejt 的幅度随 指数形式增长或衰减的正弦波的线性组 合。
但与傅里叶变换相比，X(s)不能像 X (j) 一样具有明确的物理意义，因此， X(s)在这个正弦波线性组合中的作用难 以得到物理解释。
变收换 敛与 域单 也边相拉同普，拉均斯 为变Re换s相同，，均即为右F半(s)平 s面1（， 包括大半或小半，视 而定）。
【例5-4】 因果信号 f1(t) et (t) 与非因 果信号 f2 (t) et (t) 具有相同的双边 拉普拉斯变换表达式，但收敛域不同。
F1(s)
∞
et (t)estdt
0
0
令 s j ，即 Res ， Ims，
信号与系统-系统函数与信号流图_图文_图文
（3）反馈 等效系统函数为
对于负反馈，总有
二．信号流图
系统的信号流图是用一些点和有向线段来描述系统。变成信号流图形式 就是用线段端点代表信号，称为节点。有向线段表示信号传输的路径和方 向，一般称为支路，每一条支路上有增益，所以每一条支路相当于乘法器 。
信号流图中的节点可以有很多信号输入，它们是相加的关系， 而且可以有不同方向输出。
对于连续时间动态LTI系统的模拟，通常由加法器、标量乘 法器和积分器三种部件构成。
系统模拟可以理解为就是用这三种部件画出系统的信号流图 或是系统的方框图，使得流图或方框图实现了指定的系统函数。
四．系统模拟
例： 用加法器、标量乘法器和积分器三种部件模拟下面微分方程描
述的系统
解：首先考虑下面的系统
由线性时不变系统的性质知道存在下面关系
节点:
三．Mason公式
表示系统中的变量或信号的点称为节点。
支路:
连接两节点间的有向线段称为支路。 支路增益就是两节点间的增益。
输入节点（源点）: 仅有输出支路的节点， 一 般为系统的输入。
输出节点（阱点）: 仅有输入支路的节点，一般为系统的输出
混合节点:
既有输入支路又有输出支路的节点
三．Mason公式
四．系统模拟
方程两边积分三次得到
说明
是某信号积分三次得到，可以画出部分框图。
四．系统模拟
第一个积分器的输入信号实际是 可以画出部分系统框图
四．系统模拟
可以画出完整的系统框图
四．系统模拟
对应的信号流图为
其中
若 则
表示积分器（拉普拉斯变换的性质）
通路: 从任一节点出发沿着支路箭头方向连续地穿过 各相连支路到达另一节点的路径称为通路。
对于负反馈，总有
二．信号流图
系统的信号流图是用一些点和有向线段来描述系统。变成信号流图形式 就是用线段端点代表信号，称为节点。有向线段表示信号传输的路径和方 向，一般称为支路，每一条支路上有增益，所以每一条支路相当于乘法器 。
信号流图中的节点可以有很多信号输入，它们是相加的关系， 而且可以有不同方向输出。
对于连续时间动态LTI系统的模拟，通常由加法器、标量乘 法器和积分器三种部件构成。
系统模拟可以理解为就是用这三种部件画出系统的信号流图 或是系统的方框图，使得流图或方框图实现了指定的系统函数。
四．系统模拟
例： 用加法器、标量乘法器和积分器三种部件模拟下面微分方程描
述的系统
解：首先考虑下面的系统
由线性时不变系统的性质知道存在下面关系
节点:
三．Mason公式
表示系统中的变量或信号的点称为节点。
支路:
连接两节点间的有向线段称为支路。 支路增益就是两节点间的增益。
输入节点（源点）: 仅有输出支路的节点， 一 般为系统的输入。
输出节点（阱点）: 仅有输入支路的节点，一般为系统的输出
混合节点:
既有输入支路又有输出支路的节点
三．Mason公式
四．系统模拟
方程两边积分三次得到
说明
是某信号积分三次得到，可以画出部分框图。
四．系统模拟
第一个积分器的输入信号实际是 可以画出部分系统框图
四．系统模拟
可以画出完整的系统框图
四．系统模拟
对应的信号流图为
其中
若 则
表示积分器（拉普拉斯变换的性质）
通路: 从任一节点出发沿着支路箭头方向连续地穿过 各相连支路到达另一节点的路径称为通路。
§4-6 系统函数与系统的频响特性
H (s)
k s1
(s 1)(s 2 )
H ( j)
k j1
( j 1)( j 2 )
系统函数的零极图如下：
《Signals & Systems》
《信号与系统》
大连海事大学信息科学技术学院
⑴ 当Ω=0，零点矢量的模等于0，相角
等于π/2，幅频响应|H( jΩ)|=0；极点 矢量的相角均等于零， φ(Ω)= (π/2)。 1
如上两例RC电路，试根据其零极图，粗略的画出其频响曲线。
先看以电容电压为输出的情况。其零极 图如下：
R
ui (t)
C
uo (t)
⑴ 当Ω=0，极点矢量指向原点，其模长 为α，相角等于0；于是 |H( jΩ)|=α/α=1,φ(Ω)=0。
⑵ 当Ω↑，极点矢量模↑，相角↑； |H( jΩ)|↓,φ(Ω)=-arctg(Ω/α)↓。
《信号与系统》
大连海事大学信息科学技术学院
§4-6 系统函数的零极点分布与系统的频率响应
一、H(s)与H(jΩ)
由前所讲，拉氏变换是傅氏变换由实频域Ω至复频域s的推广， 傅氏变换是拉氏变换在s平面虚轴上的特例。即
j
H ( j) H (s) |s j
二、H(s)的零极点分布与H(jΩ)
由于H(s)一般是有理分式，即它可表示为
s
C (s p1)(s p2)
上式中 1 ( 1 )2 4
p1,2 RC
RC 2
LC
1 ( 1 )2 1 2RC 2RC LC
《Signals & Systems》
《信号与系统》
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令 1
2RC
1 LC
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A z A k 1 1 1z 二阶极点： 2 | A | r cos[ (k 1) ] (k ) 1 j 2 j 2 ( z re ) ( z re )
第4-8页
■
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信号与系统 电子教案 （2）单位圆上的极点： 在实轴上：
信号与系统 电子教案 （3）极点在右半平面： 在正实轴上：
7.1
系统函数与系统特性
k et (t ) 一阶极点： s k t kte (t ) 二阶极点： 2 (s )
不在实轴上： 一阶极点：
B( s ) t ke cos( t ) (t ) 2 2 2 (s )
设 H ( z)
bm ( z zi )
i 1
m
( z Pi )
i 1
i
n
则 H (e jT )
i
bm (e jT zi )
i 1
m
(e jT Pi )
i 1
n
令 e jT zi Bi e j , e jT Pi Ai e j 则 H (e jT )
7.1
系统函数与系统特性
() (1 2
m ) ( 1 2
n )
例：一阶RL系统，U1(s)为输入， U2(s)为输出，求系统 频率响应 H(jω)。
U1 ( s )
R
sL
U 2 (s)
解： H (s) U 2 (s) sL s
信号与系统 电子教案
7.1
系统函数与系统特性
（2）H(s) 零、极点与连续系统频率特性：
bm ( s 1 ) ( s m ) 设：H (s) 的极点全部在左半平面； ( s p1 ) ( s pห้องสมุดไป่ตู้ )
s j
H ( j ) H ( s ) 则：
, H(jω) 又称系统频率响应。
s k1 k 2 s (s )2
(k11e t k12te t ) (t ) ket cos(t ) (t )
不在负实轴上： B( s ) 一阶极点： 2 二阶极点：
第4-4页
( s)
(s ) 2 B( s )
7.1
系统函数与系统特性
Az A(1) k (k ) z 1 Az k Ak ( 1 ) (k ) 2 ( z 1)
不在实轴上：
Az A z 2 | A | cos( k ) (k ) j j z re z re Az A z j 2 j 2 2 | A | k cos[ (k 1) ] (k ) ( z re ) ( z re )
（1）单位圆内的极点： 在实轴上：
Az Aa k (k ), | a | 1 一阶极点： za Az k Aka (k ) 二阶极点： 2 ( z a)
不在实轴上：
A1 z A1 z k 2 | A | r cos( k ) (k ), 一阶极点： 1 j j z re z re r 1
bm B1B2 则： H ( j ) A1 A2
第4-13页
■
Bme j (1 2 m ) j ( ) | H ( j ) | e Ane j (1 2 n )
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信号与系统 电子教案
bm B1B2 Bm | H ( j ) | ; A1 A2 An
U1 (s) sL R s
极点：
第4-14页
R , L
R L
在左半平面。
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信号与系统 电子教案
j H ( j ) j R
7.1
系统函数与系统特性
B j ( ) e ，＞0 ， A 2
j ( )
j 0 Be j j R Ae j ( ) L L
bm ( j i )
i 1 m
bm ( j 1 ) ( j m ) H ( j ) ( j p1 ) ( j pn )
( j p )
i 1 i
n
设 j i Bi e j
j pi Ai e ji
i
，i 1 ， 2， ，m ，i 1 ， 2， ，n
B ， | H ( j ) | ， ( ) A
Ae j
H ( j ) | H ( j ) | e
j
Be
j
0 讨论：
e
j
2
B | H ( j ) | : A
0
0 : B 0 ， A R L ，| H ( j 0) | 0 ；
信号与系统 电子教案 7.1
一、系统函数的零点与极点 二、系统函数与时域响应 三、系统函数与频域响应
第七章 系统函数
系统函数与系统特性
7.2 7.3
系统函数的因果性与稳定性 信号流图
一、系统的因果性 二、系统的稳定性 一、信号流图 二、梅森公式
7.4
系统的结构
一、直接实现 二、级联和并联实现 点击目录
第4-1页
，进入相关章节
■
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信号与系统 电子教案
7.1
系统函数与系统特性
7.1
系统函数与系统特性
B( ) A( )
一、 系统的零点和极点： LTI系统的系统函数是复变量s或z的有理分式，即：
H( )
1、对于连续系统：
bm s m bm1s m1 b0 H ( s) n s a n1s n1 a0 m (s j ) bm ( s 1 )(s 2 ) ( s m ) bm nj 1 , mn ( s p1 )(s p2 ) ( s pn ) ( s Pi )
B( s ) t 二阶极点： k te cos( t 1 ) (t ) 1 2 2 2 [( s ) ] k2et cos( t 2 ) (t )
第4-6页
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信号与系统 电子教案
7.1
系统函数与系统特性
H(s) 的零、极点与 h(t) 的关系： (1) 零点影响 h(t) 的幅度、相位； (2) 极点决定 h(t) 的函数形式： a) 左半平面极点对应 h(t)，随时间增加，是按 指数函数规律衰减的；
第4-17页
bm Bi e j i
ji Ae i i 1 i 1 n
m
| H (e jT ) | e j ( T )
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信号与系统 电子教案
| H (e jT ) |
7.1
系统函数与系统特性
pj ， j 1 ， 2， ，n， 称 H(z) 的极点。
零/极点的种类：实数、复数 (复数零、极点必共轭 )
一阶、二阶及二阶以上极点
第4-3页
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信号与系统 电子教案
7.1
系统函数与系统特性
二、 系统函数与时域响应： 1、连续系统H(s) 的零、极点与时域响应 h(t)的关系： （1）极点在左半平面： 在负实轴上： k ke t (t ) 一阶极点： 二阶极点：
0
＞ 0
dt h(t )e jt dt
0
jt
当 0 且 0 0 时，（H(s) 极点在左半平面）
H ( j ) H ( s ) s j
这种情况下，h(t) 对应的系统称为因果稳定系统。
第4-12页
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| H ( j ) |
1
2
( )
0
0
第4-16页
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信号与系统 电子教案
7.1
系统函数与系统特性
2、离散系统H(z)与系统频率响应： 设H(z)的收敛域包含单位圆，对因果系统，H(z) 的极点全部在单位圆内，则系统的频率响应为：
H (e jT ) H ( z ) | z e jT
2
2 2
k1te t cos(t 1 ) (t )
k2et cos(t 2 ) (t )
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信号与系统 电子教案 （2）极点在 jω轴上： 在原点：
7.1
系统函数与系统特性
k k1 (t ) 一阶极点： s k kt (t ) 二阶极点： 2 s
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信号与系统 电子教案
7.1
系统函数与系统特性
（3）单位圆外的极点：
在实轴上：
Az Aa k (k ), | a | 1 za Az k 1 Aka (k ) 2 ( z a)
不在实轴上：
Az A z k 2 | A | r cos( k ) (k ), r 1 j j z re z re
i 1
其中：i ，i 1 ， 2， ，m， 称 H(s) 的零点； pj ， j 1 ， 2， ，n， 称 H(s) 的极点。
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信号与系统 电子教案 2、对于离散系统：
7.1
系统函数与系统特性
B( z ) bm z m bm1 z m1 b0 H ( z) n A( z ) z an1 z n1 a0