初中数学一元二次方程知识点汇总,基础全面考前必掌握

初中数学一元二次方程知识点汇总，基础全面考前必掌握
一、一元二次方程的定义及一般形式：
只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，且系数不为
0，这样的方程叫一元二次方程。

一元二次方程的一般形式：ax^{2}＋bx+c =0 (a≠0)，其中a 为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

因此，一元二次方程必须满足以下3个条件：
① 方程两边都是关于未知数的等式
② 只含有一个未知数
③ 未知数的最高次数为2
如： 2x^{2}-4x+3=0 ， 3x^{2}=5 为一元二次方程，而像就不是一元二次方程。

二、一元二次方程的特殊形式
（1）当b=0，c=0时，有： ax^{2} =0，∴ x^{2} =0，∴x=0
（2）当b=0，0≠0时，有： ax^{2}+c=0 ，∵a≠0，此方程可转化为：
①当a与c异号时， -\frac{c}{a}>0 ，根据平方根的定义可知，x=±\sqrt{-\frac{c}{a}} ，即当b=0，c≠0，且a与c 异号时，一元二次方程有两个不相等的实数根，这两个实数根互为相反数。

②当a与c同号时， -\frac{c}{a}<0 ，∵负数没有平方根，∴方程没有实数根。

（3）当b≠0，c＝0时，有 ax^{2}+bx=0 ，此方程左边可以因式分解，使方程转化为x（ax+b）=0，即x=0或ax+b=0，所以x1=0，x2=-b/a。

由此可见，当b≠0，c＝0时，一元二次方程 ax^{2}+bx=0 有两个不相等的实数根，且两实数根中必有一个为0。

三、一元二次方程解法：
1.第一步:解一元二次方程时，如果没有给出一元二次方程的通式，先将其化为一元二次方程的通式，再确定求解的方法。

2. 解一元二次方程的常用方法：
（1）直接开方法：把一元二次方程化为一般式后，如果方程中缺少一次项，是一个形如ax2+c=0的方程时，可以用此方法求解。

解法步骤：①把常数项移到等号右边， ax^{2}=-c ；
②方程中每项都除以二次项系数， x^{2}=-\frac{c}{a} ；
③开平方求出未知数的值：x=±\sqrt{-\frac{c}{a}}
(2)因式分解法:将一元二次方程化为通式后，如果方程左边的多项式可以因式分解，就可以用这种方法求解。

解法步骤：①把方程的左边因式分解，转化为两个因式乘积的形式；
②令每个因式分别等于0，进而求出方程的两个根；
例：解关于x的方程： x^{2}-（m+n）x+mn=0
解：把方程左边因式分解成：（x-m）（x+n）=0
∴x1=m，x2=n
(3)匹配法:当一元二次方程转化为通式，不能用直接求根和因式分解求解时，可以使用这种方法。

解法步骤：①若方程的二次项系数不是1，方程中各项同除以二次项系数，使二次项系数为1；
②把常数项移到等号右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④方程左边变成一个完全平方式，右边合并同类项，变为一个实数；
⑤方程两边同时开平方，从而求出方程的两个根；
例：解方程： 3x^{2}+12x-6=0
解：方程两边同除以3得：
x^{2}+4x-2=0
移项，得： x^{2}+4x=2
∴ x^{2}+4x+2^{2}=2+2^{2}
即： (x+2)^{2}=6
∴ x+2=±√6
∴ x_{1}=-2+\sqrt{6}，x_{2}=-2-\sqrt{6}
(4)公式法:用一元二次方程的根公式解一元二次方程，适用于所有一元二次方程。

求根公式：，其中a≠0。

解法步骤：①先把一元二次方程化为一般式；’
②找出方程中a、b、c等各项系数和常数值；
③计算出b2-4ac的值；
④把a、b、b2-4ac的值代入公式；
⑤求出方程的两个根；
例：解方程： x^{2}-4x+4=0
解：（1）方程中：a=1，b=-4，c=4
△=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×1×4=0
∴x={-（-4）±√0}/2×1=2，∴原方程根为 x_{1}=x_{2}=2
四、一元二次方程根的判别式
1.把△=b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx+c =0（a≠0）的根的判别式。

利用根的判别式可以判断根的情况：
（1）当△≥0时方程有两个实数根：
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△＝0时，方程有两个相等的实数根；
（2）当△＜0时，方程无实数根。

例：关于x的一元二次方程（m-1）^{2}-2（m-3）x+m+2=0 有实数根，求m的取值范围。

解：当m-1≠0时，即：m≠1时，该方程是关于x的一元二次方程。

∵ △≥0，即△=[-2（m-3）]^{2}-4（m-1）（m+2） =-
28m+44≥0，解得：m≤11/7
∴ m的取值范围是m≤11/7且m≠1。

五、一元二次方程根与系数的关系：
1.定理：设一元二次方程 ax^{2}+bx+c=0 （a≠0且 b^{2}-4ac≥0）的两个根分别为x1和x2，则：x1+x2=-b/a，
x1·x2=c/a
特别地：对于一元二次方程 x^{2}+px+q=0 ，根与系数的关系为：
x1+x2=-p，x1·x2=q
注：①此定理成立的前提是△≥0，也就是说方程必须有实根时才可以使用。

②此定理又叫韦达定理。

2.根与系数关系的应用举例：
练习1 解一元二次方程
1.用直接开方法解一元二次方程
①x^{2}+1=2 ② （2x-1）^{2}=7 ③ x^{2}-36=0
④（3x-4）^{2}=（3-4x）^{2} ⑤ 25x^{2}-36=0
⑥ （x-3）^{2}-144=0
2.用因式分解法解一元二次方程
①x^{2}-5x+6=0 ② x^{2}+4x-5=0
③ 5x（x-3）=6-2x ④ （x-5）（x-6）=x-5
⑤（2x-5）^{2}-（x+4）^{2}=0 ⑥ 4（x-1）^{2}-9（x+2）^{2}=0
3.用配方法解一元二次方程
①x^{2}-3x+1=0 ② x^{2}+x-1=0 ③ 4x^{2}-12x+3=0
④x（x+4）=8x+12 ⑤ x^{2}-4x+2=0
⑥ 6x^{2}-x-12=0
4.用公式法解一元二次方程
①3x^{2}-5x+2=0 ② 2x^{2}-10x=3
③ 3x^{2}+5（2x+1）=0
④ 3x^{2}-4x-1=0 ⑤ 2x^{2}-7x-4=0
⑥ 4x^{2}-12x+3=0
5.选择适当的方法解一元二次方程
①3x^{2}+1=4x ② （x-2）^{2}=9x^{2} ③ 2x^{2}=x+6
④ x（3x-7）=2x ⑤ t^{2}-4t=5
⑥ 4（x+1）^{2}=4（2x-5）^{2}
练习2 根与系数关系
一、填空题
二、选择题
三、解答题
微课视频
仅此而已。

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