已知一元二次方程的一个根
一元二次方程练习题
一元二次方程练习题1、一元二次方程3x 2＝5x －1的一般形式是 ，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是2、22___)(_____8+=++x x x 22____)(_____4-=+-x x x 5、已知一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是 （只需写出一个方程） 6、已知x ＝1是关于x 的二次方程（m 2－1）x 2－mx ＋m 2＝0的一个根，则m 的值是 。
7、下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是 （ ） A 、x 1＋x 2＝1 B 、212+x －21-x ＝1 C 、x 2－x ＋1＝0 D 、2x 3－5xy －4y 2＝0 8、用配方法解一元二次方程时，配方有错误的是 ( ) A 、x 2－2x －99＝0化为（x －1）2 ＝100 B 、2x 2－7x －4＝0化为（x －47）2 ＝1681C 、x 2＋8x ＋9＝0化为（x ＋4）2 ＝25D 、3x 2－4x －2＝0化为（x －32）2 ＝9109、已知三角形的两边长分别是4和7，第三边是方程x 2－16x ＋55＝0的根，则第三边长是 （ ）A 、5 B 、11 C 、5或11 D 、611、关于x 的方程0132=-+x kx 有实数根，则K 的取值范围是( )A 、49-≤kB 、0k 49≠-≥且kC 、49k -≥D 、0k 49k ≠->且20、当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)1(22=+++-x m x m 有实根。
21.（1）已知关于x 的方程2x 2－mx －m 2＝0有一个根是1，求m 的值；（2）已知关于x 的方程（2x －m ）（mx ＋1）＝（3x ＋1）（mx －1）有一个根是0，求另一个根和m 的值.根的意义练习1．当m=___时，关于x 的方程22330x x m -+-=有一个根为0. 2．如果1是关于x 的方程22230x k x k --=的根，那么k 的值为 . 3．关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋m 2－1＝0有一根为0，则m 的值为（ ）．A ．1B ．－1C ．1或－1D ．0 4．若关于x 的方程052=++m x x 的一个根是3，则方程的另一个根为______.5．如果a 是一元二次方程x 2–3x +m =0的一个根，-a 是一元二次方程x 2+3x –m =0的一个根，那么a 的值等于（ ）A ．1或2B ．0或-3C ．-1或-2D ．0或36．关于x 方程230x x c -+=的一个根的相反数是方程230x x c +-=的一个根，求解这两个方程.7．方程02=++n mx x 中一根为0，另一根不为0，则m 、n 应满足（ ）A ．m =0,n =0B ．m =0,n ≠0C ．m ≠0,n =0D ．m ≠0, n ≠08．已知关于x 的方程ax 2 + bx + c = 0的一个根是1，则a + b + c = . 9．如果n 是关于x 的方程x 2 + mx + n = 0的根，且n ≠0，则m + n = .11．已知x = –5是方程x 2+mx –10=0的一个根，求x =3时，x 2+mx –10的值.13．若A 是方程2200810x x --=的根，则)42008A A )(32008A A (22+-+- 的值为 ． 15．求证：方程(a –b )x 2 +(b –c )x +c –a =0(a ≠b )有一个根为1.16．判断–1是否是方程(a –b )x 2–(b –c )x +c –a = 0 (a ≠b )的一个根，若是，求方程的另一个根.17．若x 0是方程ax 2+bx+c =0(a≠0)的根，△=b 2-4ac ，M=(2ax 0+b )2,则△与M 的大小关系为 ． 18．已知p 2–p –1=0，1–q –q 2=0，且pq ≠1，则式子1p q q+的值为 ．20、说明不论m 取何值，关于x 的方程（x －1）（x －2）＝m 2总有两个不相等的实根.23、一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x 2+1的一般形式是 它的二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 。
一元二次方程 练习题1
一元二次方程参考练习题一、选择题1、若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值等于 （ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．02、如果x ＝4是一元二次方程223a x x =-的一个根，那么常数a 的值是（ ）． A.2 B.－2 C.±2 D.±43、如果2是一元二次方程x 2＝c 的一个根，那么常数c 是（ ）。
A 、2B 、－2C 、4D 、－44、已知1x =是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ） A ．2- B ．2 C ．3- D ．35、若关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+5x+m 2-3m+2=0有一个根为0，则m 的值等于（ ） A 、1 B 、2 C 、1或2者说 D 、0 6、一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ） Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根Ｃ．只有一个实数根Ｄ．没有实数根7.若关于z 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m<l B ．m>-1 C ．m>l D ．m<-1 8、一元二次方程x 2＋x ＋2＝0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的正根B ．有两个不相等的负根C ．没有实数根D ．有两个相等的实数根 9、用配方法解方程2420x x -+=，下列配方正确的是（ ） A ．2(2)2x -=B ．2(2)2x +=C ．2(2)2x -=-D ．2(2)6x -=10、已知关于x 的一元二次方程22x m x -= 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( )A ． m ＞－1B ． m ＜－2C ．m ≥0D ．m ＜0 11、一元二次方程032=+x x 的解是A ．3-=xB ．3,021==x xC ．3,021-==x xD ．3=x 12、某种药品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%,则平均每次降价（ ）A.10%B.19%C.9.5%D.20%13、 已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程(a + b )x 2 + 2cx + (a + b )＝0的根的情况是（ ） A ．没有实数根; B ．可能有且只有一个实数根; C ．有两个相等的实数根; D ．有两个不相等的实数根 14、关于方程式49x 2－98x －1=0的解，下列叙述何者正确？( )(A) 无解 (B) 有两正根 (C)有两负根 (D) 有一正根及一负根15、若220x x --=） A．3B．3CD或316、已知代数式2346x x -+的值为9，则2463x x -+的值为（ ） A ．18 B ．12 C ．9 D ．7 二、填空题1、方程220x x -=的解是 ．2、已知1x =-是关于x 的方程2220x ax a +-=的一个根，则a =_______． 3、已知方程230x x k -+=有两个相等的实数根，则k =4、若关于x 的一元二次方程220x x k +-=没有实数根，则k 的取值范围是 ．5、写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：__________________。
一元二次方程基础练习50题含详细答案
一元二次方程基础练习50题含详细答案一、单选题1．已知一元二次方程x 2+kx-3=0有一个根为1，则k 的值为（ ） A ．−2B ．2C ．−4D ．42．已知关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =，则a 的值为（ ） A ．0B ．±1C ．1D ．1-3．若方程（m 2－1）x 2－mx －x ＋2＝0是关于x 的一元一次方程，则代数式|m －1|的值为（ ） A ．0B ．2C ．0或2D ．－24．已知2是关于x 的方程x 2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（ ） A ．10B ．14C ．10或14D ．8或105．1x =是关于x 的一元一次方程220x ax b ++=的解，则24a+b=（ ） A ．2-B ．3-C ．4D ．6-6．若关于x 的一元二次方程(k+2)x 2﹣3x+1＝0有实数根，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜14且k≠﹣2 B ．k≤14C ．k≤14且k≠﹣2 D ．k≥147．下列方程有实数根的是 A ．4x 20+=B 1=-C ．2x +2x −1=0D ．x 1x 1x 1=-- 8．关于x 的二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值是（ ）A ．1B ．-1C ．1或-1D ．0.59．已知关于x 的方程x 2+x ﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．3D ．610．已知x ＝2是一元二次方程x 2+mx +2＝0的一个解，则m 的值是（ ） A ．﹣3B ．3C ．0D ．0或311．若2x =是关于x 的一元二次方程220180ax bx --=的一个解，则2035－2a ＋b 的值（ ） A ．17B ．1026C ．2018D ．405322值（ ） A ．0B ．1或2C ．1D ．213．把方程x(x+2)=5(x-2)化成一般式，则a 、b 、c 的值分别是( ) A ．1，-3，10B ．1，7，-10C ．1，-5，12D ．1， 3，214．关于x 的方程（m+1）21m x ++4x+2=0是一元二次方程，则m 的值为（ ）A ．m 1=﹣1，m 2=1B ．m=1C ．m=﹣1D ．无解15．已知1x =是一元二次方程22(2)40m x x m -+-=的一个根，则m 的值为（ ） A ．-1或2B ．-1C ．2D ．016．若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m+n 的值为（ ） A ．1B ．2C ．-1D ．-217．已知关于x 的一元二次方程x 2+ax +b =0有一个非零根﹣b ，则a ﹣b 的值为（ ） A ．1B ．﹣1C ．0D ．﹣218．如果﹣1是方程x 2﹣3x+k=0的一个根，则常数k 的值为（ ） A ．4B ．2C ．﹣4D ．﹣219．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ） A ．x 2+2y=1B ．211x x+﹣2=0 C ．ax 2+bx+c=0 D ．x 2+2x=120．已知1是关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+1=0的一个根，则m 的值是（ ） A ．1B ．﹣1C ．0D ．无法确定21．如果2是方程x 2-3x +k =0的一个根，则常数k 的值为（ ） A ．2B ．1C ．-1D ．-222．若关于x 的方程2230mx x -+=有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m≤13B ．m≤13-C ．m≥13D ．m≤13，且m≠0 23．方程()24310mm x x m ++++=是关于x 的一元二次方程，则（ ）A ．2m =±B ．2m =C ．2m =-D ．2m ≠±24．若关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（ ） A ．-2B ．2C ．4D ．-325．下列方程是一元二次方程的是（ ） A ．21x+x 2=0 B ．3x 2﹣2xy=0 C ．x 2+x ﹣1=0D ．ax 2﹣bx=0A ．2B ．0C ．0或2D ．0或﹣227．方程3x 2﹣8x ﹣10＝0的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A ．3和8B ．3和﹣8C ．3和﹣10D ．3和1028．已知一元二次方程2x 6x c 0-+=有一个根为2，则另一根为 A ．2B ．3C ．4D ．829．若关于x 的方程（a +1）x 2+2x ﹣1＝0是一元二次方程，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≠﹣1B ．a ＞﹣1C ．a ＜﹣1D ．a ≠030．若关于x 的一元二次方程()2210k x x k -+-=的一个根为1，则k 的值为（ ） A ．1-B ．0或1C ．1D ．031．下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A ．5x 2-2x+2=0 B ．ax 2+bx+c=0 C ．2x+3=6D ．（a 2+2)x 2-2x+3=032．若2x =-是关于x 的一元二次方程22502x mx m -+=的一个根，则m 的值为（ ） A ．1或4 B ．-1或-4C ．-1或4D ．1或-4二、填空题33．已知关于x 的一元二次方程mx 2+5x+m 2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____． 34．若关于x 的一元二次方程x 2+mx +2n ＝0有一个根是2，则m +n ＝_____． 35．已知m 是关于x 的方程2230x x --=的一个根，则224m m -＝______． 36．a 是方程224x x =+的一个根，则代数式242a a -的值是_______．37．已知x=2是关于x 的方程240x x m -+=的一个根，则m ＝____________． 38．若a 是方程x 2-2x-2015=0的根，则a 3-3a 2-2013a+1=____________． 39．一元二次方程290x 的解是__．40．已知关于x 的方程x 2+3x ﹣m=0的一个解为﹣3，则它的另一个解是_____． 41．若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x +m 2﹣1＝0有一个根为0，则m 的值为_____． 42．方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 ．43．关于x 的方程a(x+m)2+b=0的解是x 1=－2，x 2=1（a ，m ，b 均为常数，a ≠0），则方程a(x+m+2)2+b=0 的解是__________.45．若x 1，x 2是方程x 2﹣4x ﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x 12﹣2x 1+2x 2的值等于_____．46．设m 是一元二次方程x 2﹣x ﹣2019＝0的一个根，则m 2﹣m +1的值为___． 47．若a 是方程2320x x --=的根，则2526a a +-=_____.48．若正数a 是一元二次方程x 2﹣5x +m =0的一个根，﹣a 是一元二次方程x 2+5x ﹣m =0的一个根，则a 的值是______．49．已知x=1是一元二次方程x²+ax+b=0的一个根，则代数式a²+b²+2ab 的值是____________.50．关于x 的一元二次方程22(2)620k x x k k ++++-=有一个根是0，则k 的值是_______．参考答案1．B 【解析】分析：根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得关于k 的一次方程1-3+k=0，然后解一次方程即可．详解：把x=1代入方程得1+k-3=0， 解得k=2． 故选B ．点睛：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 2．D 【分析】根据一元二次方程的定义，再将0x =代入原式，即可得到答案. 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =， ∴210a -=，10a -≠， 则a 的值为：1a =-． 故选D ． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义. 3．A 【解析】试题分析：根据一元一次方程的定义知m 2﹣1=0，且﹣m ﹣1≠0，据此可以求得代数式|m ﹣1|的值．解：由已知方程，得（m 2﹣1）x 2﹣（m+1）x+2=0．∵方程（m 2﹣1）x 2﹣mx ﹣x+2=0是关于x 的一元一次方程， ∴m 2﹣1=0，且﹣m ﹣1≠0， 解得，m=1，则|m ﹣1|=0． 故选A ．点评：本题考查了一元一次方程的概念和解法．一元一次方程的未知数的指数为1． 4．B 【解析】试题分析： ∵2是关于x 的方程x 2﹣2mx+3m=0的一个根， ∴22﹣4m+3m=0，m=4， ∴x 2﹣8x+12=0， 解得x 1=2，x 2=6．①当6是腰时，2是底边，此时周长=6+6+2=14； ②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形． 所以它的周长是14．考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质． 5．A 【分析】先把x=1代入方程220x ax b ++=得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b 的值 【详解】将x ＝1代入方程x 2+ax +2b ＝0，得a +2b ＝－1，2a +4b ＝2（a +2b ）＝2×（－1）＝－2. 故选A. 【点睛】此题考查一元二次方程的解，整式运算，掌握运算法则是解题关键 6．C 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出k+2≠0且△=（-3）2-4（k+2）•1≥0，求出即可． 【详解】∵关于x 的一元二次方程（k+2）x 2-3x+1=0有实数根，∴k+2≠0且△=（-3）2-4（k+2）•1≥0， 解得：k≤14且k≠-2， 故选C ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于k 的不等式是解此题的关键． 7．C 【解析】A ．∵x 4＞0，∴x 4+2=0无解，故本选项不符合题意；B =−1无解，故本选项不符合题意；C ．∵x 2+2x −1=0，∆ =8＞0，方程有实数根，故本选项符合题意；D ．解分式方程1x x -=11x -，可得x =1，经检验x =1是分式方程的增根，故本选项不符合题意． 故选C ． 8．B 【分析】把0x =代入可得210a -=，根据一元二次方程的定义可得10a -≠，从而可求出a 的值． 【详解】把0x =代入()22110a x x a -++-=，得：210a -=，解得：1a =±，∵()22110a x x a -++-=是关于x 的一元二次方程，∴10a -≠， 即1a ≠， ∴a 的值是1-， 故选：B ．本题考查了对一元二次方程的定义，一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法等知识点的理解和运用，注意隐含条件10a -≠． 9．A 【解析】试题解析：设方程的另一个根为t ， 根据题意得2+t=﹣1，解得t=﹣3， 即方程的另一个根是﹣3． 故选A ．考点：根与系数的关系． 10．A 【分析】直接把x ＝2代入已知方程就得到关于m 的方程，再解此方程即可． 【详解】解：∵x ＝2是一元二次方程x 2+mx +2＝0的一个解， ∴4+2m +2＝0， ∴m ＝﹣3． 故选：A ． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，难度系数较低，直接把解代入方程即可. 11．B 【分析】把x=2代入方程得2a-b=1009，再代入 20352a b -+，可求得结果. 【详解】因为x 2=，是关于x 的一元二次方程2ax bx 20180--=的一个解， 所以，4a-2b-2018=0, 所以，2a-b=1009,所以，20352a b -+=2035-（2a-b ）=2035-1009=1026. 故选B.本题主要考查一元二次方程的根的意义.12．D【分析】把x=0代入已知方程得到关于m的一元二次方程，通过解方程求得m的值；注意二次项系数不为零，即m-1≠0．【详解】解：根据题意，将x=0代入方程，得：m2-3m+2=0，解得：m=1或m=2，又m-1≠0，即m≠1，∴m=2，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解定义和一元二次方程的定义．注意：本题中所求得的m的值必须满足：m-1≠0这一条件．13．A【分析】方程整理为一般形式，找出常数项即可．【详解】方程整理得：x2−3x+10=0，则a=1，b=−3，c=10.故答案选A.【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的每种形式. 14．B【解析】【分析】根据一元二次方程未知数项的最高次数是2，可得m2＋1＝2且m＋1≠0，计算即可求解. 【详解】因为一元二次方程的最高次数是2，所以m2＋1＝2，解得m＝﹣1或1，又因为m＋1≠0，即m≠﹣1，所以m ＝1，故选B. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的概念：只含有一个未知数（一元），且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，掌握这个概念是解决此题的关键. 15．B 【分析】首先把x=1代入22(2)40m x x m -+-=，解方程可得m 1=2，m 2=-1，再结合一元二次方程定义可得m 的值 【详解】解：把x=1代入22(2)40m x x m -+-=得：2m 2+4m －－=0，2m m 20++=－，解得：m 1=2，m 2=﹣1∵22(2)40m x x m -+-=是一元二次方程， ∴m 20－≠ ， ∴m 2≠， ∴1m =-， 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解和定义，关键是注意方程二次项的系数不等于0． 16．D 【分析】将n 代入方程,提公因式化简即可. 【详解】解：∵()n n 0≠是关于x 的方程2x mx 2n 0++=的根， ∴2n mn 2n 0++=，即n(n+m+2)=0, ∵n 0,≠∴n+m+2=0,即m+n=-2,故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程的求解,属于简单题,提公因式求出m+n是解题关键.17．A【详解】试题分析：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，∴b2﹣ab+b=0，∵﹣b≠0，∴b≠0，方程两边同时除以b，得b﹣a+1=0，∴a﹣b=1．故选A．考点：一元二次方程的解．18．C【分析】把x=-1代入方程可得到关于k的方程，可求得k的值．【详解】∵-1是方程x2-3x+k=0的一个根，∴（-1）2-3×（-1）+k=0，解得k=-4，故选C．【点睛】考查一元二次方程的解，把方程的解代入得到到关于k的方程是解题的关键．19．D【分析】一元二次方程是指含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，根据定义判断即可．【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意；C、当a=0时不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、是一元二次方程，故本选项符合题意；故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．20．B【解析】解：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，解得：m=﹣1．故选B21．A【分析】把x=2代入已知方程列出关于k的新方程，通过解方程来求k的值．【详解】解：∵2是一元二次方程x2-3x+k=0的一个根，∴22-3×2+k=0，解得，k=2．故选：A．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．22．A【分析】分m=0和m≠0两种情况求解即可. 当m=0时，方程是一元一次方程，一定有实根；当m≠0时，方程有两个实数根，则根的判别式△≥0，建立关于m的不等式，求得m的取值范围．【详解】当m≠0时，∵a=m，b=−2，c=3 且方程有实数根，∴△=b2−4ac=4−12m≥0∴m≤1 3 .当m=0 时，方程为一元一次方程，仍有解，故m的取值范围是m≤1 3 .故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根. 23．B【分析】根据次数最高项的次数是2，且次数最高项的系数不为0列式求解即可.【详解】由题意得，2m=，且20m+≠，解之得，2m=.故选B.【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程，根据定义解答即可.24．A【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根．【详解】设一元二次方程的另一根为x1，则根据一元二次方程根与系数的关系，得﹣1+x1=﹣3，解得：x1=﹣2．故选A.考点：根与系数的关系．【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0；（4）是整式方程．由这四个条件对四个选项进行验证．【详解】A.不是整式方程，不是一元二次方程；B.含有两个未知数，不是一元二次方程；C.符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；D.二次项系数a不知是否为0，不能确定是否是一元二次方程．故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．26．A【解析】试题分析：∵x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，∴4﹣4m+4=0，∴m=2．故选A．考点：一元二次方程的解．27．B【解析】【分析】分别确定2x和x的系数，注意符号不要遗漏.【详解】解：由题意得，二次项系数是3，一次项系数为-8，故选择B.【点睛】遗漏系数的符号是本题的易错点.28．C试题分析：利用根与系数的关系来求方程的另一根．设方程的另一根为α，则α+2=6， 解得α=4．考点：根与系数的关系．29．A【分析】根据一元二次方程的定义可得a +1≠0，即可得出答案.【详解】解：由题意得：a +1≠0，解得：a ≠﹣1．故选A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义：只有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程.30．D【分析】把x=1代入()2210k x x k -+-=得以k 为未知数的一元二次方程，解方程求得k 值，再由二次项系数不为0 即可解答.【详解】把x=1代入()2210k x x k -+-=得k-1+1-k 2=0，解得k 1=0，k 2=1， 而k-1≠0，所以k=0．故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、一元二次方程的定义．解决本题的关键是解一元二次方程确定k 的值，过程中容易忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个条件．31．D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可得.【详解】A. 5x 2-2x+2=0，不是整式方程，故不符合题意； B. 当a=0时，方程ax 2+bx+c=0不是一元二次方程，故不符合题意；C. 2x+3=6是一元一次方程，故不符合题意；D. （a 2+2)x 2-2x+3=0是一元二次方程，故符合题意，故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程是整式方程，含有一个未知数，含有未知数的项的次数最高为2次是解题的关键.32．B【分析】把2x =-代入关于x 的方程22502x mx m -+=，得到2450m m ++=，解关于m 的方程即可．【详解】解：∵2x =-是关于x 的一元二次方程22502x mx m -+=的一个根， ∴2450m m ++=解得121,4m m =-=-故选B ．【点睛】本题考查一元二次方程根的定义和一元二次方程的解法，理解方程根的定义得到关于m 的方程是解题关键．33．2【解析】【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m 的方程，通过解关于m 的方程求得m 的值即可．【详解】∵关于x 的一元二次方程mx 2+5x+m 2﹣2m=0有一个根为0，∴m 2﹣2m=0且m≠0，解得，m=2，故答案是：2．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二次项系数a≠0这一条件．34．﹣2【分析】根据一元二次方程的解的定义把x ＝2代入x 2＋mx ＋2n ＝0得到4＋2m ＋2n ＝0得n ＋m ＝−2，然后利用整体代入的方法进行计算．【详解】∵2（n≠0）是关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋2n ＝0的一个根，∴4＋2m ＋2n ＝0，∴n ＋m ＝−2，故答案为−2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．35．6．【解析】试题分析：∵m 是关于x 的方程2230x x --=的一个根，∴2230m m --=，∴223m m -=，∴224m m -=6，故答案为6．考点：一元二次方程的解；条件求值．36．8【分析】直接把a 的值代入得出224a a -=，进而将原式变形得出答案．【详解】解：∵a 是方程224x x =+的一个根，∴224a a -=，∴22422(2)248a a a a -=-=⨯=．故答案为8．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，正确将原式变形是解题关键．37．1【分析】把x ＝2代入方程得到关于m 的方程，然后解关于m 的方程即可．【详解】解：把x ＝2+代入方程得2(24(20m -++=，解得m ＝1．故答案为1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．38．-2014【分析】由题意得：222015,a a -=拆项，运用因式分解方法变形求解.【详解】由题意得：222015,a a -=则：a 3-3a 2-2013a+1=22a(2)20131a a a a ---+()22=20152013121201512014a a a a a --+=--+=-+=-.故答案为-2014.【点睛】考核知识点：因式分解的运用.拆项分组是关键.39．x 1＝3，x 2＝﹣3．【分析】先移项，在两边开方即可得出答案．【详解】∵290x -=∴2x =9，∴x =±3，即x 1＝3，x 2＝﹣3，故答案为x 1＝3，x 2＝﹣3．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键.40．0【解析】【分析】设方程的另一个解是n ，根据根与系数的关系可得出关于n 的一元一次方程，解之即可得出方程的另一个解．【详解】设方程的另一个解是n ，根据题意得：﹣3+n=﹣3，解得：n=0，故答案为0．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，熟记一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两根之和等于﹣b a 、两根之积等于c a是解题的关键． 41．﹣1．【分析】根据一元二次方程的定义得到m-1≠0；根据方程的解的定义得到m 2-1=0，由此可以求得m 的值．【详解】解：把x ＝0代入（m ﹣1）x 2+x +m 2﹣1＝0得m 2﹣1＝0，解得m=±1， 而m ﹣1≠0，所以m ＝﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义和一元二次方程的定义．注意：一元二次方程的二次项系数不为零．42．15．【详解】解：29180x x -+=，得x 1=3，x 2=6，当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3=6，不符合三角形的三边关系定理，∴此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6=15．故答案是：1543．x=-4,x=-1【解析】【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．【详解】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=-2或x+2=1，解得x=-4或x=-1．故方程a（x+m+2）2+b=0的解为x1=-4，x2=-1．故答案为：x1=-4，x2=-1．【点睛】本题考查方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．44．2【解析】试题分析：∵关于x的方程230-+=的一个根是1，∴1﹣3×1+m=0，解得，m=2，x x m故答案为2．考点：一元二次方程的解．45．2028【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12-4x1=2020，x1+x2=4，代入原式=x12-4x1+2x1+2x2=x12-4x1+2（x1+x2）计算可得．【详解】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）＝2020+2×4＝2028，故答案为：2028．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=b a -，x 1x 2=c a ． 46．2020.【分析】把x=m 代入方程计算即可求解．【详解】解：把x ＝m 代入方程得：m 2﹣m ﹣2019＝0，即m 2﹣m ＝2019，则原式＝2019+1＝2020，故答案为2020.【点睛】本题考查一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 47．1【分析】利用一元二次方程解的定义得到3a 2-a=2，再把2526a a +-变形为()2523a a --，然后利用整体代入的方法计算．【详解】∵a 是方程2320x x --=的根，∴3a 2-a-2=0，∴3a 2-a=2，∴2526a a +-=()2523a a --=5-2×2=1． 故答案为：1．【点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．48．5试题解析：∵a 是一元二次方程x 2-5x+m=0的一个根，-a 是一元二次方程x 2+5x-m=0的一个根，∴a 2-5a+m=0①，a 2-5a-m=0②，①+②，得2（a 2-5a ）=0，∵a ＞0，∴a=5．考点：一元二次方程的解．49．1【分析】把x=1代入x 2+ax+b=0得到1+a+b=0，易求a+b=-1，将其整体代入所求的代数式进行求值即可．【详解】∵x=1是一元二次方程x 2+ax+b=0的一个根，∴12+a+b=0，∴a+b=﹣1.∴a 2+b 2+2ab=（a+b ）2=（﹣1）2=1.50．1【分析】把方程的根代入原方程得到220k k +-=，解得k 的值，再根据一元二次方程成立满足的条件进行取舍即可．【详解】∵方程22(2)620k x x k k ++++-=是一元二次方程，∴k+2≠0，即k ≠-2；又0是该方程的一个根，∴220k k +-=，解得，11k =，22k =-，由于k ≠-2，所以，k=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解．解此类题时，要擅于观察已知的是哪些条件，从而有针对性的选择解题方法．同时要注意一元二次方程成立必须满足的条件，这是容易忽略的地方．。
一元二次方程根与系数的关系
中考考点1 •理解一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)。
2 •会运用根与系数的关系，由已知的一元二次方程的一个根求岀另一个根与未知系数。
3 •会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。
考点讲解4 C1 .若一兀二次方程ax2+bx+c=0(a 工的两根为x i,x2,贝x i+x2=-“ , x i X2=・*。
2 •以X i,X2为根的一元二次方程是(x-x i)(x-x 2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程2ax +bx+c=0(a 工0)3 •对二次项系数为i的方程x2+px+q=0的两根为x i,X2时，那么x i+X2=-p, x i X2=q。
反之,以X i,X2为根的一元二次方程是：(X-X i)(X-X 2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程：2x +px+q=0 。
4 •一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面：(1)已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可用两根和或两根积的关系求另一个根。
(2)已知含有字母系数的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母系数的值。
可用根与系数关系式，一个关系式求得另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值。
(3)已知一元二次方程，不解方程，可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。
如，方程2x2-3x+i=0的两根为X i,X2，不解方程，求X i2+X22的值。
3£ 3 £5[T X i+X2=- ，X i X2=亠，••• X i2+X22 = (X i+X2)2-2X i X2=( - )2-2 於 * ](4)验根、求根、确定根的符号。
(5)已知两根，求作一元二次方程(注意最后结果要化为整系数方程)。
(6)已知两数和与积，求这两个数。
(7)解特殊的方程或方程组。
考题评析1 •(北京市东城区)如果一元二次方程X2+3X-2=0的两个根为x i，X2，那么X1+X2与X i X2的值分别为( )(A) 3，2 ( B) -3，-2 ( C) 3，-2(D) -3, 2考点：一元二次方程的根与系数关系。
一元二次方程两个根的关系公式
一元二次方程两个根的关系公式一元二次方程，这可是中学数学里的“常客”，要说这一元二次方程两个根的关系公式，那可是有不少有趣的地方呢！咱们先来说说这一元二次方程的一般形式：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。
要是这个方程有两个根，分别记为 x₁和 x₂，那它们之间的关系可就有讲究啦。
韦达定理告诉咱们，x₁ + x₂ = -b/a ，x₁ × x₂ = c/a 。
这两个公式看起来挺简单，但是用处可大着呢！就比如说，给你一个一元二次方程 x² - 5x + 6 = 0 ，那根据韦达定理，两根之和 x₁ + x₂就等于 5 ，两根之积 x₁ × x₂就等于 6 。
然后你一解这个方程，发现它的两个根是 2 和 3 ，嘿，2 + 3 正好是 5 ，2 × 3 正好是 6 ，是不是很神奇？我还记得有一次，在课堂上给学生们讲这个知识点。
有个学生特别调皮，一直在下面小声嘀咕说：“这有啥用啊，能当饭吃吗？”我当时也没生气，就笑着跟他说：“同学，你先别着急，咱们来做个小游戏。
”我在黑板上出了一道题：已知一元二次方程 2x² + 3x - 5 = 0 的一个根是 1 ，求另一个根。
这时候那调皮的学生傻眼了，不知道从哪儿下手。
我就引导大家一起用韦达定理来解决。
因为两根之和是 -3/2 ，一个根是 1 ，那另一个根很快就能算出来是 -5/2 。
那学生眼睛一下子亮了，说：“老师，这还真有用啊！”从那以后，他上数学课认真多了。
再比如说，有时候题目会给你两根之间的关系，让你求方程中的系数。
比如告诉你一个方程的两根差是 3 ，那结合韦达定理就能列出式子，然后求出系数的值。
在实际生活中，一元二次方程两个根的关系公式也有用武之地哦。
比如计算面积问题，或者工程中的一些计算，都可能用到这个知识点。
所以啊，别小看这小小的韦达定理，它能帮咱们解决好多数学问题呢！只要咱们认真学，好好用，数学也能变得很有趣，很有用！希望大家以后遇到一元二次方程两个根的关系问题，都能轻松应对，加油！。
2022-2023学年人教版九年级数学上学期压轴题汇编专题02 解一元二次方程(解析版)
2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题02 解一元二次方程考试时间：120分钟 试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022八下·淮北期末）若实数a ，b ，c 满足0a b c ++=，则（ ） A ．240b ac -> B ．240b ac -< C ．240b ac -≥ D ．240b ac -≤【答案】C【完整解答】解：∵0a b c ++=， ∴b a c =--，∴()2244b ac a c ac -=---2224a ac c ac =++-222a ac c =-+()20a c =-≥故答案为：C【思路引导】先求出b a c =--，再代入计算求解即可。
2．（2分）（2022八下·柯桥期末）方程（x －2）2= 4（x-2）（ ） A ．4 B ．－2C ．4或－6D ．6或2【答案】D【完整解答】解：移项得 （x －2）2 - 4（x —2） =0 （x-2）（x-2-4）=0 ∴x -2=0或x-6=0， 解之：x 1=2，x 2=6. 故答案为：D.【思路引导】观察方程的特点：将（x-2）看着整体，方程两边都含有公因式（x-2），因此利用因式分解法解方程.3．（2分）（2022·贵港）若2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根，则方程的另一个根及m 的值分别是（ ）A ．0，-2 B ．0，0C ．-2，-2D ．-2，0【答案】B【完整解答】解：根据题意，∵2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根，把2x =-代入220x x m ++=，则2(2)2(2)0m -+⨯-+=，解得：0m =； ∴220x x +=， ∴(2)0x x +=， ∴12x =-，0x =， ∴方程的另一个根是0x =； 故答案为：B.【思路引导】将x=-2代入方程中可得m 的值，则方程可化为x 2+2x=0，利用因式分解法可得方程的解，据此解答.4．（2分）（2022·仙桃）若关于x 的一元二次方程222410x mx m m -+--=有两个实数根1x ，2x ，且()()121222217x x x x ++-=，则m =（）A ．2或6B ．2或8C ．2D ．6【答案】A【完整解答】解：∵关于x 的一元二次方程222410x mx m m -+--=有两个实数根， ∴22Δ=(2)4(41)0m m m ----≥， ∴14m ≥-，∵12 x x ，是方程222410x mx m m -+--=的两个实数根， ∵21212241x x m x x m m +=⋅=--，，又()()121222217x x x x ++-=∴12122()130x x x x +--=把21212241x x m x x m m +=⋅=--，代入整理得，28120m m -+=解得，1226m m ==，故答案为：A.【思路引导】根据方程有两个实数根可得△≥0，代入求解可得m 的范围，根据根与系数的关系可得x 1+x 2=2m ，x 1x 2=m 2-4m-1，然后结合已知条件可得m 的值.5．（2分）（2022·雅安）若关于x 的一元二次方程x 2+6x+c ＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c ，则c 的值为（ ） A ．﹣3 B ．0 C ．3 D ．9【答案】C【完整解答】解：x 2+6x+c ＝0， 移项得：26x x c +=-，配方得：()239x c +=-， 而（x+3）2＝2c ， 92c c ∴-=，解得：3c =， 故答案为：C.【思路引导】首先将常数项c 移至右边，然后给两边同时加上一次项系数一半的平方“9”，再对左边的式子利用完全平方公式分解可得(x+3)2=9-c ，结合题意可得9-c=2c ，求解可得c 的值. 6．（2分）（2022九下·泉州开学考）已知x ，y 为实数，且满足 2244x xy y -+= ，记224u x xy y =++ 的最大值为M ，最小值为m ，则 M m += （ ）.A ．403B ．6415C ．13615D ．315【答案】C【完整解答】解：∵2244x xy y -+= ， ∴2244x y xy +=+ ，∴22424u x xy y xy =++=+ ，∵()225444xy xy x y =++-()2244x y =+-≥- ，当且仅当 2x y =- ，即 x = ， y =，或 5x =， 5y =- 时，等号成立， ∴xy 的最小值为 45-， ∴22424u x xy y xy =++=+ 最小值为：125，即 125m =， ∵()223444xy xy x y =-+-()2424x y =--≤ ，当且仅当 2x y = 时，即 x =， y =，或 3x =-， 3y =- 时等号成立， ∴xy 的最大值为43， ∴22424u x xy y xy =++=+ 的最大值为203， 即 203M = ， ∴20121363515M m +=+= ， 故答案为：C.【思路引导】利用已知等式可得 22424u x xy y xy =++=+ ，根据 ()225444xy xy x y =++-=()242x y =--，根据偶次幂的非负性知当且仅当2x y =-时，xy 的最小值为 45-，即可得出 22424u x xy y xy =++=+ 最小值为125 ，即 125m = ；根据 ()223444xy xy x y =-+-()242x y =-- ，根据偶次幂的非负性当且仅当 2x y = 时， xy 的最大值为 43，即得M ，再代入计算即可.7．（2分）（2021七下·娄底期中）无论a ，b 为何值代数式a 2+b 2+6b+11﹣2a 的值总是（ ） A ．非负数 B ．0C ．正数D ．负数【答案】C【完整解答】解：原式＝（a 2﹣2a+1）+（b 2+6b+9）+1 ＝（a ﹣1）2+（b+3）2+1， ∵（a ﹣1）2≥0，（b+3）2≥0， ∴（a ﹣1）2+（b+3）2+1＞0，即原式的值总是正数. 故答案为：C.【思路引导】把含a 的放一块，配成完全平方公式，把含b 的放一块，配成完全平方公式，根据平方的非负性即可得出答案．8．（2分）（2020八上·越秀期末）若 a ， b ， c 是 ABC ∆ 的三边长，且2220a b c ab ac bc ++---= ，则 ABC ∆ 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．不能确定【答案】C【完整解答】解：∵2220a b c ab ac bc ++---= ， ∴2 222222220a b c ab ac bc ++---= ， ∴()222()()0a b b c c a -+-+-= ， ∴a=b=c∴这个三角形是等边三角形． 故答案为：C ．【思路引导】首先利用完全平方公式对等式进行变形，然后利用平方的非负性得出a 、b 、c 的数量关系，即可判定．9．（2分）（2019九上·涪城月考）若点 (),M m n 是抛物线 2223y x x =-+- 上的点,则 m n -的最小值是（ ） A ．0 B ．158C ．238D ．3- 【答案】C【完整解答】解：根据题意可得： 把 (),M m n 的坐标代入表达式，即：2223n m m =-+- ，∴22(223)23m n m m m m m -=--+-=-+ ，函数的最值为 244ac b a- ，所以代入得 m n - 的最小值为：238；故答案为：C.【思路引导】根据题意把 (),M m n 的坐标代入表达式，得出 2223n m m =-+- ,求 m n - 的最小值即： 22(223)23m n m m m m m -=--+-=-+ ，求出最小值即可.10．（2分）（2022·海陵模拟）已知3x ﹣y ＝3a 2﹣6a+9，x+y ＝a 2+6a ﹣10，当实数a 变化时，x 与y 的大小关系是（ ） A ．x ＞y B ．x ＝yC ．x ＜yD ．x ＞y 、x ＝y 、x ＜y 都有可能【答案】A【完整解答】解：∵3x﹣y ＝3a 2﹣6a+9，x+y ＝a 2+6a ﹣10， ∴()()()223369610x y x y a a a a --+=-+-+-，∴()()22222212192691231x y a a a a a -=-+=-++=-+，∵不论a 为何值，()22311a -+≥， ∴220x y -＞， ∴22x y ＞， ∴x y ＞． 故答案为：A ．【思路引导】先求出()()22222212192691231x y a a a a a -=-+=-++=-+，再求出220x y -＞，最后求解即可。
一元二次方程的根的公式
一元二次方程的根的公式一元二次方程是数学中常见的一类方程，它的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c是已知的实数，且a≠0。
解一元二次方程的关键是求出方程的根，而求根的公式被称为一元二次方程的根的公式。
一元二次方程的根的公式如下：x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)在这个公式中，x表示方程的根，±表示两个根的取值可能性，b²-4ac表示判别式，√表示平方根，a、b、c分别表示方程的系数。
根据这个公式，我们可以通过代入方程的系数，计算出方程的根。
但在计算之前，我们需要先判断方程的根的情况，即判别式的值。
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实根；当判别式小于0时，方程没有实根，而是有两个共轭的复根。
在解一元二次方程时，我们需要注意以下几点：1. 判别式的值决定了方程的根的情况：大于0时有两个不相等的实根，等于0时有两个相等的实根，小于0时没有实根；2. 当判别式大于0时，我们可以使用根的公式直接计算出方程的两个实根；3. 当判别式等于0时，我们可以使用根的公式计算出方程的两个相等的实根；4. 当判别式小于0时，我们无法直接计算出方程的实根，而是得到两个共轭的复根，其中实部为-b/(2a)，虚部为√(4ac-b²)/(2a)。
下面我们通过几个例子来说明一元二次方程的根的公式的应用。
例1：解方程x²-4x+3=0。
根据方程的系数，我们得到a=1，b=-4，c=3。
将这些值代入根的公式，我们可以计算出方程的根。
判别式为b²-4ac=(-4)²-4(1)(3)=16-12=4，大于0，说明方程有两个不相等的实根。
根的公式为x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)，代入系数得到x = (4 ± √4)/(2)。
化简得到x = (4 ± 2)/(2)，即x = 3或x = 1。
一元二次方程的解法练习题(带答案))
【答案】（ 1 ） ① ②
（2） （3）
【解析】（ 1 ） （ 2 ） 方程 ∴
． ． ． ．
的解为
， ．
6
（ 3 ） 解方程
得
∴
【标注】【知识点】算式找规律
， ．
四、 因式分解法
1. 用因式分解法解方程：
（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
【答案】（ 1 ） （2） （3） （4）
，
．
，
．
，
．
，
．
【解析】（ 1 ） （2） （3） （4）
3. 阅读材料，解答问题．
阅读材料：为解方程
，我们可以将 视为一个整体，然后设
，则
，原方
程化为
．解得
，
．当 时，
，
∴
；当 时，
，∴
．
∴原方程的解为
，
，
，
．
解答问题：请你仔细阅读上述材料，深刻领会解题过程中所包含的数学思想和方法，然后解方程
．
【答案】
，
．
【解析】 设
，则原方程化为
．
解这个方程，得
，．
当
， ，
． ．
【解析】（ 1 ） （2）
， ，
． ．
【标注】【知识点】公式法求一元二次方程的根
2. 公式法解方程：
（1）
．
（2）
．
（3）
．
【答案】（ 1 ） （2） （3）
，
．
，
．
，
．
【标注】【知识点】公式法求一元二次方程的根
3. 在实数范围内因式分解：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。
例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的
值。
分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，
先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。
解法一：把代入原方程，得：
即
解得当时，原方程均可化为：
，解得：
∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得：
，
∵，∴把代入，可得：
∴把代入，可得：，
即解得
∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。
例3：已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。
分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于的方程，即可求得的值。
解：∵方程有两个实数根，∴△
解这个不等式，得≤0 设方程两根为
则，
∵
∴
∴
整理得：
解得：
又∵，∴
说明：当求出后，还需注意隐含条件，应舍去不合题意的。
四、运用判别式及根与系数的关系解题。
例5：已知、是关于的一元二次方程的两个非
零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，
解：因为关于的一元二次方程有两个非零实数根，
∴则有
∴
又∵、是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得：
假设、同号，则有两种可能：
（1）（2）
若，则有：；
即有：
解这个不等式组，得
∵时方程才有实树根，∴此种情况不成立。
若，则有：
即有：
解这个不等式组，得；
又∵，∴当时，两根能同号
说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。
知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出。