2018年黑龙江省普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(一)数学(文)试题
(解析版)黑龙江省2018届高三高考仿真模拟(六)考试数学
普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（六）文科数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为，求出，计算得到答案【详解】阴影部分表示的集合为，故选【点睛】本题主要考查的是韦恩图表达集合的关系和运算，属于基础题2. 已知复数的共轭复数，则复数的虚部是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数乘除运算化简，求得后得到答案【详解】则则复数的虚部是故选【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算以及复数的基本概念，属于基础题。
3. 设为等比数列的前项和，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为，利用可以求出，再根据等比数列的前项和公式可得到结果【详解】设等比数列的公比为，解得则故选【点睛】这是一道关于等比数列的题目，解答此题的关键是熟知等比数列的通项公式及其前项和公式，属于基础题4. 已知，表示两个不同平面，，表示两条不同直线.对于下列两个命题：①若，，则“”是“”的充分不必要条件；②若，，则“”是“且”的充要条件.判断正确的是（）A. ①，②都是真命题B. ①是真命题，②是假命题C. ①是假命题，②是真命题D. ①，②都是假命题【答案】B【解析】解：由α，β表示两个不同平面，a，b表示两条不同直线，知：①若b⊂α，a⊄α，则“a∥b”⇒“a∥α”，反之，“a∥α”推不出“a∥b”，∴“a∥b”是“a∥α”的充分不必要条件，故①是真命题．②若a⊂α，b⊂α，则“α∥β”⇒“α∥β且b∥β”，反之，“α∥β且b∥β”，推不出“α∥β”，∴“α∥β”是“α∥β且b∥β”的充分不必要条件，故②是假命题．故选：B．5. “吸烟有害健康，吸烟会对身体造成伤害”，哈尔滨市于年月日规定室内场所禁止吸烟.美国癌症协会研究表明，开始吸烟年龄（）分别为岁、岁、岁和岁，其得肺癌的相对危险度（）依次为、、、、；每天吸烟（）支、支、支者，其得肺癌的相对危险度（）分别为、和.用表示变量与之间的线性相关系数，用表示变量与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意知，相关系数是负相关，相关系数是正相关，由此得出结论.【详解】根据题意，开始吸烟年龄（）岁与其得肺癌的相对危险度（）是负相关关系，所以；每天吸烟（）支与其得肺癌的相对危险度（）是正相关关系，所以..故选：D.【点睛】本题考查了判断线性相关系数的应用问题，是基础题. 判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图，根据散点图很容易看出两个变量之间是否具有相关性，是不是存在线性相关关系，是正相关还是负相关，相关关系是强还是弱．6. 执行如图所示的算法框图，输出的值为（）........................A. B. C. D.【答案】C【解析】第1次判断后S=1，k=1，第2次判断后S=2，k=2，第3次判断后S=8，k=3，第4次判断后3<3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8.故选C.7. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体是（）A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱【答案】A【解析】【分析】作出几何体的直观图进行判断【详解】由于三视图均为三角形，作出几何体的直观图如图所示，故几何体为三棱锥故选【点睛】本题是一道基础图，主要考查了简单空间图形的三视图，作出几何体的直观图即可得到答案8. 已知，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,,,所以,选D.9. 已知实数，满足，若的最小值为，则实数的值为（）A. B. 或 C. 或 D.【答案】D【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，分类讨论求得最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数即可得到答案【详解】由作出可行域如图：联立，解得联立，解得化为由图可知，当时，直线过时在轴上的截距最大，有最小值为，即当时，直线过时在轴上的截距最大，有最小值为，即综上所述，实数的值为故选【点睛】本题主要考查的是简单线性规划，本题有两个易错点，一是可行域错误；二是不能正确的对进行分类讨论，根据不同情况确定最优解，利用最小值求解的值，并确定是否符合题意，线性规划题目中含有参数的问题是常考题10. 设函数，给出下列四个命题：①当时，是奇函数；②当，时，方程只有一个实数根；③函数可能是上的偶函数；④方程最多有两个实根.其中正确的命题是（）A. ①②B. ①③C. ②③④D. ①②④【答案】A【分析】利用函数的解析式结合奇偶性，单调性的定义逐一考查所给函数的性质即可求得结果【详解】①当时，函数，则函数是奇函数，故正确②当，时，函数在上是增函数，且值域为，则方程只有一个实数根，故正确③若函数是上的偶函数，则，即，不存在等式在上成立，故错误④当，时，方程有三个实根：，因此，方程最多有两个实根错误综上所述，正确的命题有①②故选【点睛】对于函数的奇偶性和单调性的判断，利用定义法来证明，对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可以利用函数的值域或者最值，结合函数的单调性，草图确定其中参数的范围。
2018年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷(文科)
2018年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合A={1, 2, 3}，B={x[3x>4}，则A∩B=()A.{1, 2}B.{2, 3}C.{1, 3}D.{1, 2, 3}2. 设z=3+ii，i是虚数单位，则z的虚部为（）A.1B.−1C.3D.−33. 某校连续12天对同学们的着装进行检查，着装不合格的人数用蒸叶图表示，如图，则该组数据的中位数是（）A.24B.26C.27D.324. 将函数y=sin(2x−π4)的图象向左平移π6个单位后，得到函数f(x)的图象，则f(π12)=()A.√2+√64B.√3+√64C.√32D.√225. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=3，S4=14．则{a n}的公差为（）A.1B.−1C.2D.−26. 圆x2+y2−2x−4y+3=0的圆心到直线x−ay+1=0的距离为2，则a=()A.−1B.0C.1D.27. 若a，b，c满足2a=3，b=log25，3c=2．则（）A.c<a<bB.b<c<aC.a<b<cD.c<b<a8. 函数f(x)＝(2x−2−x)cosx在区间[−5, 5]上的图象大致为（）A.B.C.D.9. 我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202−1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的n=5，v=1，x=2，则程序框图计算的是（）A.25+24+23+22+2+1B.25+24+23+22+2+5C.26+25+24+23+22+2+1D.24+23+22+2+110. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，图中画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A.12√13+6√2+18B.9√13+8√2+18C.9√13+6√2+18D.9√13+6√2+1211. 已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面为等腰直角三角形，∠ABC =90∘，直线A 1C 与平面BCC 1B 1成30∘角，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的外接球的体积为4π3，则三棱柱ABC −A 1B 1C 1的高为（ ） A.2 B.√3 C.√2D.112. 若x =1是函数f(x)=ax 2+ln x 的一个极值点，则当x ∈[1e ,e]时，f(x)的最小值为（ ） A.1−e 22B.−e +1eC.−12e 2−1D.e 2−1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．已知实数x ，y 满足{x −y −3≥0x −2y −4≤0x +2y −8≤0 ，则z =2x −y 的最小值为________．已知向量a →=(2, 3)，b →=(m, −6)，若a →⊥b →，则|2a →+b →|=________．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n −1，则数列{1a n}的前6项和为________．已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，点M 在l 上，且在x 轴上方，线段FM 依次与抛物线、y 轴交于点P ，N ，若P 是FN 中点，O 是原点，则直线OM 的斜率为________． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．满足2acosC +bcosC +ccosB ＝0． (Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)若a ＝2，△ABC 的面积为√32，求c 的大小．如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BC =BB 1，∠BAC =∠BCA =12∠ABC ，点E 是A 1B 与AB 1的交点，点D 在线段AC 上，B 1C // 平面A 1BD ． （1）求证：BD ⊥A 1C ；（2）求证：AB 1⊥平面A 1BC ．如表是一个容量为20的样本数据分组后的频率分布表：(I)若用组中值代替本组数据的平均数，请计算样本的平均数x ；(II)以频率估计概率，若样本的容量为2000，求在分组[14.5, 17.5)中的频数；(Ⅲ)若从数据在分组[8.5, 11.5)与分组[11.5, 14.5)的样本中随机抽取2个，求恰有1个样本落在分组[11.5, 14.5)的概率．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2．且椭圆C 过点(√3, −√32)，离心率e =12；点P 在椭圆C 上，延长PF 1与椭圆C 交于点Q ，点R 是PF 2中点．(I)求椭圆C 的方程；(II)若O 是坐标原点，记△QF 1O 与△PF 1R 的面积之和为S ，求S 的最大值．已知函数f(x)=x(e x +1)(I)求函数y =f(x)的图象在点（0, f(0)）处的切线方程；(II)若函数g(x)=f(x)−ae x −x ，求函数g(x)在[1, 2]上的最大值．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4一4：坐标系与参数方程]（10分），已知直线l 过原点且倾斜角为θ0，θ0≠π2，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ． (I)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (Ⅱ)已知直线l ´过原点且与直线l 相互垂直，若l ∩C =M ，l ∩C =N ，其中M ，N 不与原点重合，求△OMN 面积的最小值． [选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f(x)=log 2(|x +1|+|x −1|−a )． (I)当a =3时，求函数f(x)的定义域；(Ⅱ)若不等式f(x)≥2的解集为R ，求实数a 的最大值．参考答案与试题解析2018年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】可解3x>4得到x>log34，从而求出集合B={x|x>log34}，然后进行交集的运算即可．【解答】B={x|x>log34}，且A={1, 2, 3}；∴A∩B={2, 3}．2.【答案】D【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z=3+ii =(3+i)(−i)−i2=1−3i，∴z的虚部为−3．故选D.3.【答案】C【考点】茎叶图【解析】根据茎叶图所给的数据，做出这组数据的中位数．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．【解答】由茎叶图得：10，11，20，21，22，24，30，33，35，35，37，38，将这组数据从小到大重新排列后，观察数据可知，最中间的两个数为24，30，其平均数即中位数是24+302=27．4.【答案】D【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】直接利用三角函数的平移变换求出函数的关系式，进一步求出函数的值． 【解答】函数y =sin(2x −π4)的图象向左平移π6个单位后， 得到函数f(x)=sin(2x +π12)的图象， 则：f(π12)=sin(π6+π12)=√22．5.【答案】 B【考点】等差数列的前n 项和 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由a 3=3，S 4=14．可得a 1+2d =3，4a 1+4×32d =14，联立解得d ． 【解答】设等差数列{a n }的公差为d ，∵ a 3=3，S 4=14． ∴ a 1+2d =3，4a 1+4×32d =14，联立解得d =−1． 6.【答案】 B【考点】直线与圆的位置关系 【解析】x 2+y 2−2x −4y +3=0的圆心(1, 2)，圆心(1, 2)到直线的距离d =2，能求出a ． 【解答】x 2+y 2−2x −4y +3=0的圆心(1, 2)， 圆心(1, 2)到直线的距离d =√1+a 2=2，解得a =0． 7.【答案】 A【考点】对数的运算性质 【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【解答】2a =3，可得a ∈(1, 2)， b =log 25>2，由3c =2．可得c ∈(0, 1)．∴c<a<b．8.【答案】D【考点】函数的图象与图象的变换【解析】判断函数在[0, 5]之间的零点个数以及特殊点的位置判断选项即可．【解答】当x∈[0, 5]时，f(x)＝(2x−2−x)cosx＝0，可得函数的零点为：0，π2，3π2，排除A，B，当x＝π时，f(π)＝−2π+2−π，<0，对应点在x轴下方，排除选项C，9.【答案】A【考点】程序框图【解析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，v的值，当i=−1时，不满足条件i≥0，跳出循环，输出v的值为63，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=5，v=1，x=2，i=4满足条件i≥0，执行循环体，v=3，i=3满足条件i≥0，执行循环体，v=7，i=2满足条件i≥0，执行循环体，v=15，i=1满足条件i≥0，执行循环体，v=31，i=0满足条件i≥0，执行循环体，v=63，i=−1不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为63．由于25+24+23+22+2+1=63．故选A.10.【答案】C【考点】由三视图求体积【解析】画出几何体的图形，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．【解答】作出该几何体的直观图如下所示，故所求几何体的表面积S=2×3×√13+2×12×3×√13+12×4×6+12×3×4+12×4×3√2=9√13+6√2+18．11.【答案】C【考点】棱柱的结构特征【解析】根据棱柱的结构特征可知A1C为球的直径，∠A1CB1为直线A1C与平面BCC1B1成角，根据体积公式和勾股定理即可得出棱柱的高．【解答】由题意可知A1B1⊥平面BB1C1C，∴∠A1CB1为直线A1C与平面BCC1B1成的角，即∠A1CB1=30∘，设AB=BC=x，则A1C=2x．又AC=√2x．∴AA1=√2x．∵棱柱的底面是等腰直角三角形，∠ABC=90∘，∴A1C为棱柱ABC−A1B1C1的外接球的直径，即43π∗(2x2)3=4π3，∴x=1，∴AA1=√2x=√2．12.【答案】A【考点】利用导数研究函数的极值【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得f′(1)=0．∵f′(x)=2ax+1x，∴2a+1=0，a=−12．当x∈[1e,1)时，f′(x)>0，当x∈[1,e)时，f′(x)<0，所以f(x)min=min{f(1e),f(e)}=−12e2+1．故选A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【答案】5【考点】简单线性规划【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】实数x，y满足{x−y−3≥0x−2y−4≤0x+2y−8≤0所表示的平面区域如图阴影部分所示，观察可知，由{x −y −3=0x −2y −8=0解得A(2, −1)． 当z =2x −y 过点A(2, −1)时，有最小值，最小值为5． 【答案】 13【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据题意，由向量的垂直与向量数量积的关系可得若a →⊥b →，则有a →⋅b →=2m −18=0，解可得m 的值，即可得b →的坐标，从而可得向量2a →+b →的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案． 【解答】根据题意，向量a →=(2, 3)，b →=(m, −6)，若a →⊥b →，则有a →⋅b →=2m −18=0，解可得m =9，则b →=(9, −6)，故2a →+b →=(13, 0)； 故|2a →+b →|=13；【答案】63 【考点】 数列的求和 【解析】由S n =2a n −1(n ∈N ∗)，推导出a 1=1，S n −S n−1=2a n −2a n−1，由此得到a n =2n−1．由求和公式解答即可． 【解答】解：∵ a 1=S 1=a 1−1 a 1=1，n >1时，a n =S n −S n−1=2a n −2a n−1， ∴ {a n }是首项为1，公比为2的等比数列． ∴ a n =2n−1， ∴ {1a n}的前6项和为1−1261−12=6332．故答案为：6332.【答案】 −4√2 【考点】 抛物线的求解【解析】设N(O, y0)，则P(12, y02)，可得y0|=2√2，k OM=4√2−1=−4√2．【解答】可得F(1, 0)，设N(O, y0)，则P(12, y02)，y024=2，∴|y0|=2√2，从而M(−1, 4√2)，∴k OM=4√2−1=−4√2．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【答案】（I）在△ABC中，∵2acosC+bcosC+ccosB＝0，∴由正弦定理可得：2sinAcosC+sinBcosC+sinCcosB＝0，∴2sinAcosC+sin(B+C)＝0，又△ABC中，sin(B+C)＝sinA≠0．∴cosC=−12，∵0<C<Π．∴C=2π3，(II)由S=12absinC=√32，a＝2，C=2π3得b＝1，由余弦定理得c2＝4+1−2×2×1×(−12)＝7，∴c=√7．【考点】余弦定理【解析】（I）根据正弦定理将边化角，化简即可得出cosC；(II)根据面积计算b，再利用余弦定理即可得出c的值．【解答】（I）在△ABC中，∵2acosC+bcosC+ccosB＝0，∴由正弦定理可得：2sinAcosC+sinBcosC+sinCcosB＝0，∴2sinAcosC+sin(B+C)＝0，又△ABC中，sin(B+C)＝sinA≠0．∴cosC=−12，∵0<C<Π．∴C=2π3，(II)由S=12absinC=√32，a＝2，C=2π3得b＝1，由余弦定理得c2＝4+1−2×2×1×(−12)＝7，∴c=√7．【答案】连结ED，∵平面AB1C∩平面A1BD=ED，B1C // 平面A1BD，∴B1C // ED，∵E为AB1中点，∴D为AC中点；∵∠BAC=∠BCA=12∠ABC，∴AB=BC，∴BD⊥AC?，由A1A⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，得A1A⊥BD‚由?‚A1A、AC是平面A1ACC1内的两条相交直线，得BD⊥平面A1ACC1，∵A1C⊂平面A1ACC1，故BD⊥A1C．由（1）知AB=BC，AB⊥BC，∵BB1=BC，∴四边形ABB1A1是菱形，∴AB1⊥A1B，∵BB1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC．∴BC⊥BB1∵AB∩BB1=B，AB，BB1⊂平面ABB1A1．∴BC⊥平面ABB1A∵AB1⊂平面ABB1A1，∴BC⊥AB1，∵BC∩A1B=B，BC，A1B⊂平面A1BC，∴AB1⊥平面A1BC．【考点】直线与平面垂直【解析】（1）连结ED，推导出B1C // ED，D为AC中点，推导出AB=BC，BD⊥AC?，由A1A⊥平面ABC，得A1A⊥BD‚，从而BD⊥平面A1ACC1，由此能证明BD⊥A1C．（2）由AB=BC，AB⊥BC，得四边形ABB1A1是菱形，从而AB1⊥A1B，由BB1⊥平面ABC，得BC⊥BB1，从而BC⊥平面ABB1A，进而BC⊥AB1，由此能证明AB1⊥平面A1BC．【解答】连结ED，∵平面AB1C∩平面A1BD=ED，B1C // 平面A1BD，∴B1C // ED，∵E为AB1中点，∴D为AC中点；∵∠BAC=∠BCA=1∠ABC，∴AB=BC，∴BD⊥AC?，2由A1A⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，得A1A⊥BD‚由?‚A1A、AC是平面A1ACC1内的两条相交直线，得BD⊥平面A1ACC1，∵A1C⊂平面A1ACC1，故BD⊥A1C．由（1）知AB=BC，AB⊥BC，∵BB1=BC，∴四边形ABB1A1是菱形，∴AB1⊥A1B，∵BB1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC．∴BC⊥BB1∵AB∩BB1=B，AB，BB1⊂平面ABB1A1．∴BC⊥平面ABB1A∵AB1⊂平面ABB1A1，∴BC⊥AB1，∵BC∩A1B=B，BC，A1B⊂平面A1BC，∴AB1⊥平面A1BC．【答案】（I）依题意，整理表格数据如下：故所求平均数为10×0.2+13×0.1+16×0.3+19×0.4=2+1.3+4.8+7.6= 15.7..(Ⅱ)以频率估计概率，样本的容量为2000，分组[14.5, 17.5)的频率为0.3，∴在分组[14.5, 17.5)中的频数为2000×0.3=600(Ⅲ)记[8.5, 11.5)中的样本为A，B，C，D，[11.5, 14.5)中的样本为a，b，则随机抽取2个，所有的情况为：(A, B)，(A, C)，(A, D)，(A, a)，(A, b)，(B, C)，(B, D)，(B, a)，(B, b)，(C, D)，(C, a)，(C, b)，(D, a)，(D, b)，(ab)，共15个其中恰有1个样本落在分组[11.5, 14.5)的为：(A, a)，(A, b)，(B, a)，(B, b)，(C, a)，(C, b)，(D, a)，(D, b)，共8个，..故恰有1个样本落在分组[11.5, 14.5)的概率P=815【考点】频率分布直方图列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】（I）依题意，整理表格数据，能求出平均数．(Ⅱ)以频率估计概率，样本的容量为2000，分组[14.5, 17.5)的频率为0.3，由此能求出在分组[14.5, 17.5)中的频数．(Ⅲ)记[8.5, 11.5)中的样本为A，B，C，D，[11.5, 14.5)中的样本为a，b，随机抽取2个，利用列举法能求出恰有1个样本落在分组[11.5, 14.5)的概率．【解答】（I）依题意，整理表格数据如下：故所求平均数为10×0.2+13×0.1+16×0.3+19×0.4=2+1.3+4.8+7.6= 15.7..(Ⅱ)以频率估计概率，样本的容量为2000，分组[14.5, 17.5)的频率为0.3，∴在分组[14.5, 17.5)中的频数为2000×0.3=600(Ⅲ)记[8.5, 11.5)中的样本为A，B，C，D，[11.5, 14.5)中的样本为a，b，则随机抽取2个，所有的情况为：(A, B)，(A, C)，(A, D)，(A, a)，(A, b)，(B, C)，(B, D)，(B, a)， (B, b)，(C, D)，(C, a)，(C, b)，(D, a)，(D, b)，(ab)，共15个 其中恰有1个样本落在分组[11.5, 14.5)的为：(A, a)，(A, b)，(B, a)，(B, b)，(C, a)，(C, b)，(D, a)，(D, b)，共8个，.. 故恰有1个样本落在分组[11.5, 14.5)的概率P =815 【答案】（I ）依题意，x 2a +y 2b =1，则{3a 2+34b 2=1a 2=b 2+c 2c a =12，解得a =2，b =√3，c =1，故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(Ⅱ)由O ，R 分别为F 1F 2，PF 2的中点，故OR // PF 1．故△PF 1R 与△PF 1O 同底等高，故S △PF 1R =S △PF 1O ，S =S △PF 1R +S △PF 1O =S △PQO ， 当直线PQ 的斜率不存在时，其方程为x =−1，此时S △PQO =12×1×[32−(−32)]=32， 当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为：y =k(x +1)，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)， 显然直线PQ 不与x 轴重合，即k ≠0；联立{y =k(x +1)x 24+y 23=1 解得(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2−12=0， △=144(k 2+1)>0，故{x 1+x 2=−8k 23+4k 2x 1x 2=4k 2−123+4k 2， 故|PQ|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=12(1+k 2)3+4k 2，点O 到直线PQ 的距离d =√1+k 2，S =12|PQ|d =6√k (k +1)(3+4k 2)2，令u =3+4k 2∈(3, +∞)， 故S =6√u−34∗u+14u2=32√−3u 2−2u +1∈(0,32)，故S 的最大值为32 【考点】椭圆的定义 【解析】(Ⅰ)由题意可得{3a 2+34b 2=1a 2=b 2+c 2c a =12，解得即可， (Ⅱ)先判断出S =S △PF 1R +S △PF 1O =S △PQO ，再根据韦达定理和弦长公式和点到直线的距离可得三角形的面积，再利用换元和函数的性质即可求出 【解答】（I ）依题意，x 2a 2+y 2b 2=1，则{3a 2+34b 2=1a 2=b 2+c 2c a=12，解得a =2，b =√3，c =1，故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(Ⅱ)由O ，R 分别为F 1F 2，PF 2的中点，故OR // PF 1．故△PF 1R 与△PF 1O 同底等高，故S △PF 1R =S △PF 1O ，S =S △PF 1R +S △PF 1O =S △PQO ， 当直线PQ 的斜率不存在时，其方程为x =−1，此时S △PQO =12×1×[32−(−32)]=32， 当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为：y =k(x +1)，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)， 显然直线PQ 不与x 轴重合，即k ≠0；联立{y =k(x +1)x 24+y 23=1 解得(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2−12=0， △=144(k 2+1)>0，故{x 1+x 2=−8k 23+4k 2x 1x 2=4k 2−123+4k 2， 故|PQ|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=12(1+k 2)3+4k 2，点O 到直线PQ 的距离d =√1+k 2，S =12|PQ|d =6√k 2(k 2+1)(3+4k 2)2，令u =3+4k 2∈(3, +∞)， 故S =6√u−34∗u+14u2=32√−3u 2−2u +1∈(0,32)，故S 的最大值为32【答案】（I ）依题意，f ´(x)=e 2+1+xe x ，故f ´（0）=e 0+1=2 因为f(0)=0，故所求切线方程为y =2x ； (Ⅱ)依题意，g ´(x)=(x −a +1)⋅e x ，令g ´(x)=0得x =a −1所以当a −1≤1时，x ∈[1, 2]时，g ´(x)≥0恒成立，g(x)单调递增，g(x)最大值为g(2)，当a −1≥2时，x ∈[1, 2]时，g ´(x)≤0恒成立，g(x)单调递减，g(x)最大值为g(1) 当1<a −1<2时，x ∈[1, a −1)时，g ´(x)≤0，g(x)单调递减； x ∈(a −1, 2)时，g ´(x)>0，g(x)单调递增． 当x ∈[1, 2]时，g(x)最大值为g(1)或g(2) g(1)=(1−a)e ，g(2)=(2−a)e 2，g(1)−g(2)=(1−a)e −(2−a)e 2=(e 2−e)a −(2e 2−e) ∴ 当a ≥2e 2−e e 2−e=2e−1e−1时，g(1)−g(2)≥0，g(x)max =g(1)=(1−a)e ．当a <2e 2−e e 2−e=2e−1e−1时，g(1)−g(2)<0，g(x)max =g(2)=(2−a)e 2【考点】导数求函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程(Ⅰ)求出函数的导数，计算f(0)，f′(0)，求出切线方程即可；(Ⅱ)求出函数的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出函数的最大值即可．【解答】（I）依题意，f´(x)=e2+1+xe x，故f´（0）=e0+1=2因为f(0)=0，故所求切线方程为y=2x；(Ⅱ)依题意，g´(x)=(x−a+1)⋅e x，令g´(x)=0得x=a−1所以当a−1≤1时，x∈[1, 2]时，g´(x)≥0恒成立，g(x)单调递增，g(x)最大值为g(2)，当a−1≥2时，x∈[1, 2]时，g´(x)≤0恒成立，g(x)单调递减，g(x)最大值为g(1)当1<a−1<2时，x∈[1, a−1)时，g´(x)≤0，g(x)单调递减；x∈(a−1, 2)时，g´(x)>0，g(x)单调递增．当x∈[1, 2]时，g(x)最大值为g(1)或g(2)g(1)=(1−a)e，g(2)=(2−a)e2，g(1)−g(2)=(1−a)e−(2−a)e2=(e2−e)a−(2e2−e)∴当a≥2e2−ee2−e =2e−1e−1时，g(1)−g(2)≥0，g(x)max=g(1)=(1−a)e．当a<2e2−ee2−e =2e−1e−1时，g(1)−g(2)<0，g(x)max=g(2)=(2−a)e2（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4一4：坐标系与参数方程]（10分），【答案】（I）依题意，直线l的极坐标方程为θ=θ0(θ0≠π2, ρ∈R)曲线C:ρSin2θ=4cosθ，ρ2sin2θ=4ρcosθ，直角坐标方程为y2=4x．(Ⅱ)把θ=θ0代入ρsin2θ=4cosθ，得ρM=4cosθ0sin2θ0．直线l´过原点且与直线l相互垂直，可知直线l´的极坐标方程为θ=θ0+π2(ρ∈R)代入ρsin2θ=4cosθ，得ρN cos2θ=−4sinθ0，所以ρN=−4sinθ0cos2θ0，S△OMN=12|OM|⋅|ON|，=2|ρM|⋅|ρN|，=16|2sinθ0cosθ0|=16|sin2θ0|≥16，（当且仅当θ0=π4或3π4时，等号成立）即△OMN面积的最小值为16．【考点】圆的极坐标方程【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(Ⅱ)利用直线的极坐标方程建立方程组，进一步利用三角形的面积公式求出结果．（I ）依题意，直线l 的极坐标方程为θ=θ0(θ0≠π2, ρ∈R) 曲线C:ρSin 2θ=4cosθ，ρ2sin 2θ=4ρcosθ， 直角坐标方程为y 2=4x ．(Ⅱ)把θ=θ0代入ρsin 2θ=4cosθ，得ρM =4cosθsin 2θ0．直线l ´过原点且与直线l 相互垂直，可知直线l ´的极坐标方程为θ=θ0+π2(ρ∈R) 代入ρsin 2θ=4cosθ， 得ρN cos 2θ=−4sinθ0，所以ρN =−4sinθcos 2θ0，S △OMN =12|OM|⋅|ON|， =2|ρM |⋅|ρN |， =16|2sinθ0cosθ0|=16|sin2θ0|≥16，（当且仅当θ0=π4或3π4时，等号成立） 即△OMN 面积的最小值为16．[选修4-5：不等式选讲]（10分）【答案】（1）当a =3时，函数f(x)=log 2(|x +1|+|x −1|−a)=log 2(|x +1|+|x −1|−3)， ∴ |x +1|+|x −1|−3>0，即|x +1|+|x −1|>3∴ {x <−1−x −1+1−x >3 或{−1≤x ≤1x +1+1>3 或{x >1x +1+x −1>3 ．解得x <−32或x >32．故函数的定义域为{x|x <−32或x >32}（2）若不等式f(x)≥2的解集为R ，则f(x)≥2恒成立． 故|x +1|+|x −1|−a ≥4恒成立．∵ |x +1|+|x −1|≥|x +1−(x −1)|=2，（当且仅当−1≤x ≤1时，取“=”） ∴ 2−a ≥4，故有a ≤−2，故实数a 的最大值为−2 【考点】绝对值三角不等式 【解析】（I ）当a =3时，函数f(x)=log 2(|x +1|+|x −1|−a)=log 2(|x +1|+|x −1|−3)， 可得|x +1|+|x −1|−3>0，即|x +1|+|x −1|>3，去掉绝对值分别求解， (Ⅱ)若不等式f(x)≥2的解集为R ，则f(x)≥2恒成立．故|x +1|+|x −1|−a ≥4恒成立．求得|x +1|+|x −1|≥|x +1−(x −1)|=2 即可． 【解答】（1）当a =3时，函数f(x)=log 2(|x +1|+|x −1|−a)=log 2(|x +1|+|x −1|−3)， ∴ |x +1|+|x −1|−3>0，即|x +1|+|x −1|>3∴ {x <−1−x −1+1−x >3 或{−1≤x ≤1x +1+1>3 或{x >1x +1+x −1>3．解得x <−32或x >32．故函数的定义域为{x|x <−32或x >32}（2）若不等式f(x)≥2的解集为R ，则f(x)≥2恒成立． 故|x +1|+|x −1|−a ≥4恒成立．∵ |x +1|+|x −1|≥|x +1−(x −1)|=2，（当且仅当−1≤x ≤1时，取“=”） ∴ 2−a ≥4，故有a ≤−2，故实数a 的最大值为−2。
【数学】黑龙江省普通高等学校2018届全国统一招生考试仿真模拟(八)数学(文)试题
普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟(八)文科数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（2017·福建省质检）集合{|A y y ==，2{|20}B x x x =--≤，则A B =（ ） A ．[2,)+∞ B ．[0,1] C ．[1,2] D ．[0,2]2.（2017·甘肃省二诊）复数512i+-（i 是虚数单位）的模等于（ ）A ．10 C ．53.（2017·西安市质检）采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.抽到的50人中，编号落入区间[1,400]的人做问卷A ，编号落入区间[401,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷C 的人数为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．154.已知数列{}n a 为等差数列，若1a ，2a ，3a 成等比数列，且11a =，则公差d =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．45.抛物线22(0)y px p =>上的动点Q 到其焦点的距离的最小值为1，则p =（ ）A ．12B ．1C ．2D ．4 6.（2017·石家庄一模）程序框图如图，当输入x 为2016时，输出的y 的值为（ ）A ．18B ．1C ．2D ．47.（2017·河南九校联考）已知107700,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，表示的平面区域为D ，若(,)x y D ∀∈，2x y a +≤为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[5,)+∞B ．[2,)+∞C ．[1,)+∞D ．[0,)+∞8.（2017·济宁市模拟）在ABC ∆中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．129.已知函数22()()()f x x x x ax b =+⋅++，若对x R ∀∈，均有()(2)f x f x =-，则()f x 的最小值为（ ）A ．94-B ．3516- C ．-2 D ．0 10.（2017·重庆市适应性考试）已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC∆是边长为1的正三角形，PC 为球O 的直径，则球O 的表面积为（ ） A ．4π B ．8π C ．12π D ．16π11.过双曲线22115y x -=的右支上一点，分别向圆1C ：22(4)4x y ++=和圆2C ：22(4)1x y -+=作切线，切点分别为M ，N ，则22PM PN -的最小值为（ ）A ．10B ．13C ．16D ．1912.定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为'()f x ，若对任意的实数x ，都有2()'()2f x xf x +<恒成立，则使22()(1)1x f x f x -<-成立的实数x 的取值范围为（ ）A ．{|1}x x ≠±B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C ．(1,1)- D ．(1,0)(0,1)-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸上）13.（2017·南昌市一模）已知向量(1,3)a =，向量a ，c 的夹角是3π，2a c ⋅=，则c 等于 ．14.已知函数sin()(0,)y x ωϕωπϕπ=+>-≤<的图象如图所示，则ϕ= ．15.（2017·咸阳市二模）某事业单位公开招聘一名职员，从笔试成绩合格的6（编号分别为1～6）名应试者中通过面试选聘一名，甲、乙、丙、丁四人对入选者进行预测.甲：不可能是6号；乙：不是4号就是5号；丙：是1、2、3号中的一名；丁：不可能是1、2、3号.已知四人中只有一人预测正确，那么入选者是________号．16.已知数列{}n a 满足12a =，1(45)(41)3n n a a +--=-，则12311111111n a a a a +++⋅⋅⋅+=---- ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（2017·开封市一模）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cos c A ，cos b B ，cos a C 成等差数列.（1）求B ；（2）若2a c +=，b =ABC ∆的面积. 18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，13AA =.（1）过BC 的截面交1A A 于P 点，若PBC ∆为等边三角形，求出点P 的位置； （2）在（1）条件下，求四棱锥11P BCC B -与三棱锥111ABC A B C -的体积比.19.某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位（每班学生50人），每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据.其中高三（1）班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：（1）用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值；（2）已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率.20.已知点(1,0)M -，(1,0)N ，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N .（1）求曲线E 的方程；（2）已知0m ≠，设直线1l ：10x my --=交曲线E 于A ，C 两点，直线2l ：0mx y m +-=交曲线E 于B ，D 两点，若CD 的斜率为-1，求直线CD 的方程.21.已知函数()ln f x x x =-.（1）判断函数()f x 的单调性；（2）函数1()()2g x f x x m x=++-有两个零点1x ，2x ，且12x x <.求证：121x x +>. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数），在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的方程为22(1sin)1ρθ+=.（1）求曲线M 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线M 只有一个公共点，求倾斜角α的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()f x x a =-.（1）当2a =时，解不等式()71f x x ≥--；（2）若()1f x ≤的解集为[0,2]，11(0,0)2a m n m n+=>>，求证：43m n +≥. 普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟（八）文科数学一、选择题1-5: DAAAC 6-10: AADAA 11、12：BB二、填空题 13. 2 14. 910π 15. 6 16. 133222n n +-- 三、解答题17.解析：（1）∵cos c A ，cos b B ，cos a C 成等差数列,∴2cos cos cos b B c A a C =+，由正弦定理2sin a R A =，2sin c R C =，2sin b R B =，R 为ABC ∆外接圆的半径， 代入上式得：2sin cos sin cos sin cos B B C A A C =+，即2sin cos sin()B B A C =+.又A C B π+=-，∴2sin cos sin()B B B π=-，即2sin cos sin B B B =.而sin 0B ≠，∴1cos 2B =，由0B π<<，得3B π=. （2）∵2221cos 22a cb B ac +-==，∴22()2122a c ac b ac +--=，又a c +=，b = ∴27234ac ac --=，即54ac =，∴115sin 224ABC S ac B ∆==⨯=.18.解析：（1）由题意可得PC PB BC ===在三棱柱中，由1AA ⊥平面ABC 且2AB AC ==，可得2PA =，故点P 的位置为1AA 的三等分点，且靠近点1A 处.（2）由（1）可知，111122362ABC A B C V -=⨯⨯⨯=， 111112221323P A B C V -=⨯⨯⨯⨯=， 114222323P ABC V -=⨯⨯⨯⨯=， 所以11426433P BCC B V -=--=， 所以所求两个几何体的体积比为23. 19.解析：（1）高三（1）班学生视力的平均值为4.42 4.62 4.82 4.9 5.1 4.78⨯+⨯+⨯++=， 故用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值为4.7.（2）从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，所有的取法共有15种，而满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法有：(4.3,4.5)，(4.3,4.6)，(4.3,4.7)，(4.3,4.8)，(4.4,4.6)，(4.4,4.7)，(4.4,4.8)，(4.5,4.7)，(4.5,4.8)，(4.6,4.8)，共有10种，故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为102153P ==. 20.解析：（1）设曲线E 上任意一点坐标为(,)x y ，由题意，=整理得22410x y x +-+=，即22(2)3x y -+=为所求.（2）由题知12l l ⊥，且两条直线均恒过点(1,0)N ，设曲线E 的圆心为E ，则(2,0)E ，线段CD 的中点为P ，则直线EP ：2y x =-，设直线CD ：y x t =-+，由2y x y x t =-⎧⎨=-+⎩，解得点22,22t t P +-⎛⎫ ⎪⎝⎭，由圆的几何性质，知12NP CD == 而22222122t t NP +-⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23ED =， 22EP =，解之得0t =或3t =，所以直线CD 的方程为y x =-或3y x =-+.21.解析：（1）因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，11'()1x f x x x-=-=， 令11'()10x f x x x-=-=>，得01x <<， 令11'()10x f x x x -=-=<，得1x >. 所以函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，函数()f x 的单调递减区间为(1,)+∞.（2）证明：根据题意，1()ln (0)2g x x m x x =+->， 因为1x ，2x 是函数1()ln 2g x x m x =+-的两个零点， 所以111ln 02x m x +-=，221ln 02x m x +-=. 两式相减，可得122111ln22x x x x =-， 即112212ln 2x x x x x x -=，故1212122ln x x x x x x -=， 那么1211212ln x x x x x -=，2121212ln x x x x x -=. 令12x t x =，其中01t <<，则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t ---+=+=. 构造函数1()2ln (01)h t t t t t=--<<， 则22(1)'()t h t t-=. 因为01t <<，所以'()0h t >恒成立，故()(1)h t h <，即12ln 0t t t --<，可知112ln t t t ->，故121x x +>. 22.解析：（1）∵2222(1sin )(sin )1ρθρρθ+=+=，∴2221x y y ++=，即2221x y +=，此即为曲线M 的直角坐标方程.（2）将cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩代入2221x y +=得222210cos cos 2sin 14t t ααα+++=，∴223(1sin )cos 02t αα++=， ∵直线l 与曲线M 只有一个公共点，∴223)4(1sin )02αα∆=-⨯⨯+=， 即21sin 4α=， 1sin 2α=±，又[0,)απ∈，∴6πα=或56π. 23.解析：（1）当2a =时，不等式为217x x -+-≥，∴1217x x x <⎧⎨-+-≥⎩或12217x x x ≤≤⎧⎨-+-≥⎩或2217x x x >⎧⎨-+-≥⎩， ∴不等式的解集为(,2][5,)-∞-+∞.（2）证明：()1f x ≤，即1x a -≤，解得11a x a -≤≤+，而()1f x ≤，解集是[0,2]，∴1012a a -=⎧⎨+=⎩，解得1a =， 所以111(0,0)2m n m n+=>>， ∴114(4)2m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭4332n m m n =++≥.。
2018年黑龙江省普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(十一)数学(文)试题(解析版)
2018年黑龙江省普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（十一）数学（文）试题（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意首先求得a,b的值，然后进行并集运算即可.【详解】由题意可得：，则，据此可得：，，故.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查交集的定义及其应用，并集的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 复数在复平面内对应的点关于直线对称，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先确定，然后利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】点关于直线的对称点坐标为，且在复平面内对应的点的坐标为，据此结合题意可知在复平面内对应的点的坐标为，即，据此可得：.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个平面内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 等比数列中，，，，则（）A. 64B. 128C. 256D. 512【答案】A【解析】【分析】由题意首先求得数列的首项和公比，然后求解的值即可.【详解】由题意结合等比数列的通项公式可得：，解得：，则.本题选择A选项.【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若垂直于同一平面，则与平行B. 若平行于同一平面，则与平行C. 若不平行，则在内不存在与平行的直线D. 若不平行，则与不可能垂直于同一平面【答案】D【解析】【分析】由题意结合立体几何的结论逐一考查所给命题的真假即可.【详解】垂直于同一平面的两平面相交或平行，A不正确；平行于同一平面的两直线可相交、平行或异面，B不正确；平面不平行即相交，在一个平面内平行两平面交线的直线与另一平面平行，C不正确；D为直线与平面垂直性质定理的逆否命题，故D正确.本题选择D选项.【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.5. 某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：........................附表：经计算的观测值，则下列选项正确的是（）A. 有99.5％的把握认为使用智能手机对学习有影响B. 有99.5％的把握认为使用智能手机对学习无影响C. 有99.9％的把握认为使用智能手机对学习有影响D. 有99.9％的把握认为使用智能手机对学习无影响【答案】A【解析】【分析】由题意结合的观测值由独立性检验的数学思想给出正确的结论即可.【详解】由于的观测值,其对应的值，据此结合独立性检验的思想可知：有99.5％的把握认为使用智能手机对学习有影响.本题选择A选项.【点睛】独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. 40 C. D.【答案】C【解析】【分析】首先确定几何体的空间结构，然后求解几何体的体积即可.【详解】如图所示，在长宽高分别为的长方体中，，三棱锥为三视图对应的几何体，三棱锥的底面积，三棱锥的高,据此可得其体积为.本题选择C选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．7. 从1，2，3，4，5，6，7，8中随机取出一个数为，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于40的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由程序框图，得输出的结果为，令，即，解得，即的值可能为4,5,6,7,8，所以输出的不小于40的概率为；故选B．考点：1.程序框图；2.古典概型．8. 设，则的最小值为（）A. 4B. 16C. 5D. 25【答案】B【解析】【分析】将原问题转化为两点之间的距离问题，然后数形结合求解最小值即可.【详解】表示点P(3-4y，4+3y)、Q(cosx，-sinx)两点距离的平方，由得点P的机迹方程为，由得点Q的轨迹方程为，则，，即的最小值为16.【点睛】本题主要考查两点之间距离公式的应用，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9. 设是内一点，且，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可知，点P为三角形的重心，据此结合平面向量基本定理整理计算即可求得最终结果.【详解】如图所示，设E为AB的中点，由可知点P为△ABC的重心，故，，，故.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理及其应用，向量的加法、减法运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10. 设是双曲线左、右焦点，是双曲线右支上一点，满足（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D. 5【答案】D【解析】试题分析：设,则A,因,故,即,故点在以坐标原点为圆心为半径的圆上,所以,设,由双曲线的定义可得,又,即,所以,即,故应选D.考点：双曲线及有关性质和向量的数量积公式． 11. 若满足不等式组则的最小值为（ ）A. 7B. 6C.D. 4【答案】C 【解析】 【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定函数取得最值时的点的坐标，最后求解最值即可. 【详解】画出可行城如图所示，目标函数可化为，共图象是对称轴为x =3的两条射线， 由得取得最小值时的最优解为.即.本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查利用线性规划知识求最值的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12. 已知函数是偶函数，且当时满足，则（ ）A. B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合函数的特征构造新函数，结合函数的单调性和函数的奇偶性整理计算即可确定正确选项.【详解】f(x+2)是偶函数，则的对称轴为x=2，构造函数，则关于（2，0）对称，当x>2时，由，得，则g（x)在上单调递增，g(x)在上也单调递增，故，.本题选择A选项.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数则__________．【答案】8【解析】【分析】由题意结合分段函数的解析式求解函数值即可.【详解】由函数的解析式可得：，则.故答案为：．【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．14. 某工厂生产的三种不同型号的产品数量之比依次为，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的三种产品中抽出样本容量为的样本，若样本中型产品有16件，则的值为__________．【答案】80【解析】【分析】由题意结合分层抽样的概念计算n的值即可.【详解】由题意结合分层抽样的定义有：，求解关于的方程可得：故答案为：．【点睛】进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1) ；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．15. 已知中心在坐标原点的椭圆的右焦点为，点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的方程为__________．【答案】【解析】【分析】首先求得点关于直线的对称点，然后结合椭圆的性质求解椭圆方程即可.【详解】设点关于直线的对称点的坐标为：，由题意可得：，解得：，据此可得点在椭圆上，设椭圆方程为，则：，解得：，据此可知椭圆的方程为.【点睛】求椭圆的标准方程有两种方法：①定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．16. 已知函数有两个极值，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】将原问题转化为函数有两个交点的问题，考查临界条件，利用导函数研究函数的切线方程即可求得最终结果.【详解】,由题意知有两个零点，由可得，即有两个交点，如图所示，考查临界条件：设与的切点为，即，，则，切线方程为.把代入切线方程可得，，据此可得：，即，实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的极值，导函数研究函数的切线方程，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在中，角所对的边分别为，且．（1）求；（2）若，求的面积的最大值．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理边化角可得，则．（2）由题意结合余弦定理和均值不等式的结论可得，结合面积公式可知面积的最大值为．【详解】（1）由正弦定理，得，即，∴，．（2）∵，由余弦定理，得，∴，，即面积的最大值为．【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．18. 为了响应全民健身，加大国际体育文化的交流，兰州市从2011年开始举办“兰州国际马拉松赛”，为了了解市民健身情况，某课题组跟踪了兰州某跑吧群在各届全程马拉松比赛中群友的平均成绩（单位：小时），具体如下：（1）求关于的线性回归方程；（2）利用（1）的回归方程，分析2011年到2015年该跑吧群的成绩变化情况，反映市民健身的效果，并预测2016年该跑吧群的比赛平均成绩．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】【分析】（1）由题意结合系数公式计算可得，．则回归方程为．（2）利用（1）的回归方程，可知2011年到2015年该跑吧群的成绩变化情况为逐年递减，且可预测2016年该跑吧群的比赛平均成绩大约是3.32.【详解】（1），．所以．（2）利用（1）的回归方程，可知2011年到2015年该跑吧群的成绩变化情况为逐年递减，将代入，得，所以2016年该跑吧群的比赛平均成绩大约是3.32.【点睛】一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，分别为的中点．（1）求证：平面；（2）若，求证：平面.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）由中位线的性质可得．结合线面平行的判断定理可得平面．（2）由平行线的性质可知．由平面几何的结论可知．结合面面垂直的性质定理可得平面．故．最后利用线面垂直的判断定理可得平面．【详解】（1）因为分别为的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．（2）因为，，所以．因为，，所以．因为平面平面，平面，平面平面，所以平面．因为平面，所以．因为，平面，平面，，所以平面．【点睛】本题主要考查线面平行的判断定理，线面垂直的判断定理，面面垂直的性质定理等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20. 已知点，直线与轴交于点，动点到两点的距离之比为2．（1）求动点的轨迹的方程；（2）设与轴交于两点，是直线上一点，且点不在上，直线分别与交于另一点，证明：三点共线．【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）设点，由题意结合点到直线距离公式可得曲线的方程为．（2）结合(1)的结论不妨设，．设，，，则直线的方程为，联立直线方程题意圆的方程可得，据此可得，．同理可得，．结合斜率公式计算可得，即三点共线．【详解】（1）设点，依题意，，化简得，即曲线的方程为．（2）证明：由（1）知曲线的方程为，令得，不妨设，．设，，，则直线的方程为，由得，所以，即，．直线的方程为，由得，所以，即，．所以，，所以，所以三点共线．【点睛】本题主要考查轨迹方程的求解，三点共线的证明方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21. 已知函数在处的切线与直线垂直．（1）求的值；（2）证明：．【答案】(1)2；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得，则，所以．（2）原问题等价于，构造函数，由导函数研究函数的最值可得．而在上为减函数，故，据此可得，即不等式成立.【详解】（1）函数的定义域为，，由已知在处的切线的斜率，所以，所以．（2）证明：要证明，即证明，，等价于证明，令，所以．当时，；当时，，所以在上为减函数，在上为增函数，所以．因为在上为减函数，所以，于是，所以．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线和圆的极坐标方程；（2）设直线和圆相交于两点，求弦与其所对劣弧所围成的图形面积．【答案】(1)直线的方程为，圆的极坐标方程为．(2).【解析】【分析】（1）参数方程化为极坐标方程可得直线的方程为，圆的极坐标方程为．（2）由题意结合极坐标的几何意义可得交点坐标为，，弦与其所对劣弧所围成的图形面积为.【详解】（1）求直线的普通方程为，①将，代入①得，化简得直线的方程为，圆的极坐标方程为．（2），解之得：，，∴，∴，，∴.【点睛】本题主要考查参数方程与极坐标方程的互化，极坐标的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23. 设．（1）解不等式；（2）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）由题意零点分段求解不等式可得不等式的解集为．（2）分类讨论和两种情况可得实数的取值范围是．【详解】（1）①当时，原不等式可化为，解之得：，∴．②当时，原不等式可化为，解之得：，∴．③当时，原不等式可化为不等式恒成立，∴．综上，不等式的解集为．（2）当时，恒成立，，当时，原不等式可化为，，∴，解之得：．【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
【数学】黑龙江省普通高等学校2018届全国统一招生考试仿真模拟(十一)数学(文)试题
普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（十一）文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，若，则（ ）{}0,2M a ={},N a b ={}2M N =I M N =U A ． B ． C ． D ．{}0,2,3{}1,2,3{}0,1,2{}0,1,32．复数在复平面内对应的点关于直线对称，且，则（ ）12,z z y x =132i z =+12z z ⋅=A ． B ． C ． D ．1213i +1312i +13i -13i3．等比数列中，，，，则（ ）{}n a 0n a >126a a +=38a =6a =A ．64 B ．128 C ．256 D ．5124．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）,m n ,αβA ．若垂直于同一平面，则与平行,αβαβB ．若平行于同一平面，则与平行,m n m n C ．若不平行，则在内不存在与平行的直线,αβαβD ．若不平行，则与不可能垂直于同一平面,m n m n 5．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：附表：经计算的观测值，则下列选项正确的是（ ）2K 10k =A ．有99.5％的把握认为使用智能手机对学习有影响B ．有99.5％的把握认为使用智能手机对学习无影响C ．有99.9％的把握认为使用智能手机对学习有影响D ．有99.9％的把握认为使用智能手机对学习无影响6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．B ．40C ．D ．28+40330+7．从1，2，3，4，5，6，7，8中随机取出一个数为，执行如图所示的程序框图，则输出x 的不小于40的概率为（ ）xA ．B ．C ．D ．345878128．设，则的最小值为（ ）,x y ∈R ()()2234cos 43sin y x y x --+++A ．4 B ．16 C ．5 D ．259．设是内一点，且，，则（ ）P ABC ∆0AP BP CP ++=u u u r u u r u u r r 13BD BC =u u u r u u u r AD AP +=u u u r u u u r A ． B ． C ． D ．23AB AC +u u u r u u u r 1233AB AC +u u u r u u u r 4233AB AC +u u u r u u u r 23AB AC +u u u r u u u r10．设是双曲线左、右焦点，是双曲线右支上一点，满12F F 、()222210,0x y a b a b-=>>P 足（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ()220OP OF PF +⋅=u u u r u u u r u u u rO 1234PF PF =u u u r u u u r ）A ．2B D ．511．若满足不等式组则的最小值为（ ）,x y 20,5100,80,x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩32z x y =-+A ．7 B ．6 C ． D ．426512．已知函数是偶函数，且当时满足，则（ ）()2f x +2x >()()()2xf x f x f x ''>+A ． B ． C ． D ．()()214f f <()3232f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭()5042f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭()()13f f <第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数则 ．()232,0,,0,x x f x x x +⎧<⎪=⎨≥⎪⎩()1f f -=⎡⎤⎣⎦14．某工厂生产的三种不同型号的产品数量之比依次为，为研究这三种产A B C 、、2:3:5品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的三种产品中抽出样本容量为的A B C 、、n 样本，若样本中型产品有16件，则的值为 ．A n 15．已知中心在坐标原点的椭圆的右焦点为，点关于直线的对称点在C ()1,0F F 12y x =椭圆上，则椭圆的方程为 ．C C 16．已知函数有两个极值，则实数的取值范围为 ()212e 12x f x ax ax =+++a ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 在中，角所对的边分别为，且．ABC ∆,,A B C ,,a b c 3cos cos cos a A b C c B =+（1）求；cos A（2）若，求的面积的最大值．3a =ABC ∆18． 为了响应全民健身，加大国际体育文化的交流，兰州市从2011年开始举办“兰州国际马拉松赛”，为了了解市民健身情况，某课题组跟踪了兰州某跑吧群在各届全程马拉松比赛中群友的平均成绩（单位：小时），具体如下：（1）求关于的线性回归方程；y x （2）利用（1）的回归方程，分析2011年到2015年该跑吧群的成绩变化情况，反映市民健身的效果，并预测2016年该跑吧群的比赛平均成绩．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．1221ˆni i i n i i x y nx y b xn x ==-=-⋅∑∑ˆˆay bx =-19． 如图，在三棱锥中，平面平面，，分别为P ABC -PAB ⊥ABC PA PB ⊥,M N 的中点．,ABPA （1）求证：平面；PB ∥MNC （2）若，求证：平面.AC BC =PA ⊥MNC 20． 已知点，直线与轴交于点，动点到两点的距离之比为()4,0A -:1l x =-x B M ,A B 2．（1）求动点的轨迹的方程；M C （2）设与轴交于两点，是直线上一点，且点不在上，直线分别C x ,E F P l P C ,PE PF与交于另一点，证明：三点共线．C ,S T ,,A S T 21． 已知函数在处的切线与直线垂直．()e ln xf x a x =1x =2e 0x y +=（1）求的值；a （2）证明：．()115e x xf x ->-请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程xOyl ,x y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩t C 为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标2cos ,2sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩θO x 系．（1）求直线和圆的极坐标方程；l C （2）设直线和圆相交于两点，求弦与其所对劣弧所围成的图形面积．l C A B 、AB 23．选修4-5：不等式选讲设．()211f x x x =-+-（1）解不等式；()34f x x ≤+（2）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．x ()()233f x m m x ≥-+⋅m普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（十一）文科数学答案一、选择题1-5：CDADA 6-10：CBBAD 11、12：CA二、填空题13．8 14．80 15． 16．2255194x y +=(),2-∞-三、解答题17．解：（1）由正弦定理，得，6sin cos 2sin cos 2sin cos R A A R B C R C B =+即，()3sin cos sin sin 0A A B C A =+=≠∴，．1cos 3A =sin A =（2）∵，由余弦定理，得，3a =22292cos a b c bc A ==+-≥24233bc bc bc -=∴，，274bc ≤127sin 24ABC S bc A ∆==≤=即ABC ∆18．解：（1），1221ˆn i ii n i i x y nx y b x nx==-==-∑∑55.453 3.80.165559-⨯⨯=--⨯．ˆ 3.80.163 4.28a=+⨯=所以．ˆ0.16 4.28yx =-+（2）将代入，得，所以2016年该跑吧群的比赛平均成绩6x =ˆ0.16 4.28yx =-+ˆ 3.32y =大约是3.32.19．证明：（1）因为分别为的中点，,M N ,AB PA 所以．MN PB ∥因为平面，平面，MN ⊂MNC PB ⊄MNC 所以平面．PB ∥MNC （2）因为，，所以．PA PB ⊥MN PB ∥PA MN ⊥因为，，所以．AC BC =AM BM =CM AB ⊥因为平面平面，PAB ⊥ABC 平面，平面平面，CM ⊂ABC PAB I ABC AB =所以平面．CM ⊥PAB 因为平面，所以．PA ⊂PAB CM PA ⊥因为，平面，平面，，PA MN ⊥MN ⊂MNC CM ⊂MNC MN CM M =I 所以平面．PA ⊥MNC 20．解：（1）设点，依题意，，(),M x y2MAMB==化简得，即曲线的方程为．224x y +=C 224x y +=（2）证明：由（1）知曲线的方程为，C 224x y +=令得，不妨设，．0y =2x =±()2,0E -()2,0F设，，，()01,P y -()11,S x y ()22,T x y 则直线的方程为，PE ()02y y x =+由得，()0222,4,y y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩()222200014440y x y x y +++-=所以，即，．201204421y x y --=+20120221y x y -=+012041y y y =+直线的方程为，PF ()023y y x =--由得，()0222,34,y y x x y ⎧=--⎪⎨⎪+=⎩()2222000944360y x y x y +-+-=所以，即，．2022043629y x y -=+202202189y x y -=+0220129y y y =+所以，020012201020412224341AS y y y y k y x y y +===-++++，02002220202012922184349AT y y y y k y x y y +===-++++所以，所以三点共线．AS AT k k =,,A S T 21．解：（1）函数的定义域为，()f x ()0,+∞，()e e ln xx f x a x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭由已知在处的切线的斜率，()y f x =1x =e k a =所以，()1e 2e f a '==所以．2a =（2）证明：要证明，即证明()115e x xf x ->-，，12e ln 15e x x x x ->-0x >等价于证明，512ln e ex x x +>令，所以．()52ln eg x x x =+()()2ln 1g x x '=+当时，；当时，，10e x <<()0g x '<1e x >()0g x '>所以在上为减函数，()2ln g x x x =10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭在上为增函数，1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭所以．()min 13e e g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭因为在上为减函数，所以，1e x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭()0,+∞0111e e x ⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是，()311e ex g x ≥>>所以．()115e x xf x ->-22．解：（1）求直线的普通方程为， ①l 20x -=将，代入①得，cos x ρθ=sin y ρθ=cos sin 20ρθθ-=化简得直线的方程为，l cos 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭圆的极坐标方程为．C 2ρ=（2），2,cos 1,3ρπρθ=⎧⎪⎨⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎩解之得：，，()2,0A 22,3B π⎛⎫ ⎪⎝⎭∴，∴，23AOB π∠=2112442233AOB S r ππα=⋅⋅=⋅⋅=扇形，1sin 2AOB S OA OB α∆=⋅⋅=∴.43AOB AOB S S S π∆=-=扇形23．解：（1）①当时，原不等式可化为，解之得：，12x <12134x x x -+-≤+13x ≥-∴．1132x -≤<②当时，原不等式可化为，112x ≤<21134x x x -+-≤+解之得：，∴．2x ≥-112x ≤<③当时，原不等式可化为不等式恒成立，∴．1x ≥21134x x x -+-≤+1x ≥综上，不等式的解集为．13x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭（2）当时，恒成立，，0x =20≥m ∈R 当时，原不等式可化为，0x ≠221133x x m m x-+-≥-+，2112111x x x x x x-+--+-≥=∴，2331m m -+≤解之得：． 12m ≤≤。
2018年 黑龙江省普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟文科数学试卷(七)答案
| A F |＝| A A ᶄ |, | B F |＝| B B ᶄ |, | A F |＋| B F |＝６,
２ ２ ) 代入抛物线方程整理得 k x ＋( ６ k－４ x＋９＝０．
２, 的性 质 知 B 则在 G １ １＝ ２ ２ ２ R t әO B G O B B １ １ 中, １ ＝G １ １ ２, ２ ２ ( ) 即 ＋O G ２－ x ＝ x ＋ １
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æ ö２ ç ２÷ , 解 得 x＝ ７ , 所以球 ８ è２ ø
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黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(三)数学(文科)试题(解析版)
普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(三)文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知中全集，根据补集的性质及运算方法，先求出，再求出其补集，即可求出答案.【详解】全集，集合，，，，故选：A.【点睛】本题考查的知识点是交、并、补的混合运算，其中将题目中的集合用列举法表示出来，是解答本题的关键.2. 设为复数的共轭复数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，从而求出的值即可.【详解】，共轭复数，则.故选：A.【点睛】本题考查复数的运算性质以及共轭复数，是一道基础题.3. 已知函数，则下列结论正确的是（）A. 是偶函数，递增区间是B. 是偶函数，递减区间是C. 是奇函数，递增区间是D. 是奇函数，递增区间是【答案】D【解析】【分析】由奇偶性的定义可得函数为奇函数，去绝对值结合二次函数可得单调性.【详解】由题意可得函数定义域为R，函数，，为奇函数，当时，，由二次函数可知，函数在单调递增，在单调递减；由奇函数的性质可得函数在单调递增，在单调递减.综合可得函数的递增区间为.故选：D.【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，涉及奇偶性的判定，属基础题.4. 已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为，则双曲线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出、，即可得到双曲线方程.【详解】双曲线的一条渐近线方程是，可得，它的一个焦点坐标为，可得，即，解得，所求双曲线方程为：.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.5. 从数字，，，，中任取个，组成一个没有重复数字的两位数，则这个两位数大于的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】可以构成的两位数的总数为20种,因为是“任取”两个数,所以每个数被取到的概率相同,可以采用古典概型公式求解,其中大于40的两位数有以4开头的:41,42,43,45共4种;以5开头的:51,52,53,54共4种.所以所求概率为.本题选择B选项.6. 已知函数的部分图象如图所示，且，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图象可得A值和周期，由周期公式可得，代入点可得值，从而得解析式，再由和同角三角函数基本关系可得.【详解】由图象可得，，解得，故，代入点可得，，即有，，又，，故.又，.，.故选：D.【点睛】根据y＝A sin(ωx＋φ)＋k的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A的确定：根据图象的最高点和最低点，即；②k的确定：根据图象的最高点和最低点，即；③ω的确定：结合图象，先求出周期T，然后由(ω>0)来确定ω；④φ的确定：由函数y＝A sin(ωx＋φ)＋k最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为(即令ωx＋φ＝0，x＝)确定φ.7. 我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有坦厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自信，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的的值，当，满足条件，退出循环，输出的值为4，从而得解.【详解】模拟执行程序，可得，，不满足条件，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，，满足条件，退出循环，输出的值为4.故选：A.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，模拟执行程序正确写出每次循环得到的的值是解答的关键，属于基础题.8. （）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：原式．考点：三角恒等变换.9. 不等式组的解集为，下列命题中正确的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】试题分析：如下图所示，画出不等式组所表示的区域，作直线：，平移，从而可知当，时，，即，故只有B成立，故选B．【考点】本题主要考查线性规划系．10. 已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设与x轴的交点为M，过Q向准线作垂线，垂足为N，由，可得，又，根据抛物线的定义即可得出.【详解】设与x轴的交点为M，过Q向准线作垂线，垂足为N，，，又，，，.故选：A.【点睛】本题考查了抛物线的定义及其性质、向量的共线，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.11. 设函数，若存在，使，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数，通过讨论的范围，确定函数的单调性，求出的最大值，得到关于的不等式，解出即可.【详解】的定义域是，，当时，，则在上单调递增，且，故存在，使；当时，令，解得，令，解得，在上单调递增，在上单调递减，，解得.综上，的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题.12. 已知，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先将用两角和正弦公式化开，然后与合并后用辅助角公式化成一个三角函数，最后再由三角函数的诱导公式可得答案.【详解】，，，.故选：D.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式和三角函数的诱导公式，三角函数部分公式比较多，容易记混，对公式一定要强化记忆与应用.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知单位向量，的夹角为，则向量与的夹角为__________．【答案】【解析】【分析】分别求出，，，从而代入求余弦值，从而求角.【详解】单位向量，的夹角为，，，，设向量与的夹角为，则，.故答案为：.【点睛】(1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对要引起足够重视，它是求距离常用的公式．(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系．在向量的运算中，灵活运用运算律，就会达到简化运算的目的．14. 在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀，当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀”；乙说：“我得了优秀”；甲说：“丙说的是真话”．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是__________．【答案】丙【解析】【分析】利用反证法，即可得出结论.【详解】假设丙说的是假话，即甲得优秀，则乙也是假话，不成立；假设乙说的是假话，即乙没有得优秀，又甲没有得优秀，故丙得优秀.故答案为：丙.【点睛】反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等．15. 已知函数则__________．【答案】【解析】【分析】根据分段函数由里到外逐步求解即可.【详解】∵∴f（﹣3）=e﹣3+2=e﹣1，f（f（﹣3）=f（e﹣1）=lne﹣1=﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．16. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，当取最大值时，角的值为__________．【答案】【解析】试题分析：由正弦定理得，即，，，故最大角为.考点：解三角形.【思路点晴】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变形等解三角形的知识，还考查了基本不等式的应用，考查了两角差的正切公式.对于题目给定的式子，一般用正弦定理，将边转化为角，再利用三角形内角和定理，消去角，得到的关系后，代入的表达式，然后利用基本不等式来求最值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列中，，又数列是首项为、公差为的等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1），又数列是首项为，公差为的等差数列，可得，即可得出数列的通项公式；（2）由，利用“裂项求和”即可得出.【详解】（1）∵数列是首项为，公差为的等差数列，∴，解得.（2）∵.∴.【点睛】利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．18. 某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间（个月）和市场占有率（）的几组相关对应数据：（1）根据上表中的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过（精确到月）.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）根据表中数据求出和，写出线性回归方程；（2）根据回归方程得出上市时间与市场占有率的关系，列出不等式求出解集即可预测结果．【详解】（1）经计算，，所以线性回归方程为；（2）由上面的回归方程可知，上市时间与市场占有率正相关，即上市时间每增加个月，市场占有率都增加个百分点；由，解得，【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19. 如图，矩形和梯形所在的平面互相垂直，，，.（1）若为的中点，求证：平面；（2）若，求四棱锥的体积.【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）设EC与DF交于点N，连结MN，由中位线定理可得MN∥AC，故AC∥平面MDF；（2）取CD中点为G，连结BG，EG，则可证四边形ABGD是矩形，由面面垂直的性质得出BG⊥平面CDEF，故BG⊥DF，又DF⊥BE得出DF⊥平面BEG，从而得出DF⊥EG，得出Rt△DEG～Rt△EFD，列出比例式求出DE，代入体积公式即可计算出体积．【详解】（1）证明：设与交于点，连接，在矩形中，点为中点，∵为的中点，∴，又∵平面，平面，∴平面.（2）取中点为，连接，，平面平面，平面平面，平面，，∴平面，同理平面，∴的长即为四棱锥的高，在梯形中，，∴四边形是平行四边形，，∴平面，又∵平面，∴，又，，∴平面，.注意到，∴，，∴.【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．20. 已知椭圆的离心率为，其左顶点在圆上.（1）求椭圆的方程；（2）若点为椭圆上不同于点的点，直线与圆的另一个交点为.是否存在点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1) (2)不存在直线，使得【解析】【分析】（1）由题意求出a，通过离心率求出c，然后求解椭圆的标准方程；（2）设点，，设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用弦长公式求出，利用垂径定理求出，从而整理即可得到结果.【详解】（1）因为椭圆的左顶点在圆上，令，得，所以，又离心率为，所以，所以，所以，所以的方程为.（2）设点，，设直线的方程为，与椭圆方程联立得化简得到，因为为方程的一个根，所以，所以，所以.因为圆心到直线的距离为，所以，因为，代入得到，显然，所以不存在直线，使得.【点睛】对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果.21. 设函数.（1）讨论的单调性；（2）若为正数，且存在使得，求的取值范围.【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）求出函数的定义域，求导，讨论k的取值，分别解出，即可得出；（2）由（1）可求得函数的最小值，，将其转化成，构造函数，判断其单调性，即可求得的取值范围.【详解】（1），（），①当时，，在上单调递增；②当时，，；，，所以在上单调递减，在上单调递增.（2）因为，由（1）知的最小值为，由题意得，即.令，则，所以在上单调递增，又，所以时，，于是；时，，于是.故的取值范围为.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性及函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离常数的方法，转化为求函数的值域问题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.（1）以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；（2）已知，，圆上任意一点，求面积的最大值.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：直角坐标系与极坐标系的转换时满足关系式，圆的直角坐标方程为，将其中的利用前面的关系式换作，即可得到极坐标方程；先求出点到直线：的距离，再求的面积，然后求最值。
2018年黑龙江省高考数学仿真试卷(文科)(四)
2018年黑龙江省高考数学仿真试卷（文科）（四）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合A＝{x|x2−3x>0}，B＝{x||x|<2}，则A∩B＝（）A.(−2, 0)B.(−2, 3)C.(0, 2)D.(2, 3)2. 已知复数z1=2−i，z2=a+2i(i为虚数单位，a∈R)，若z1z2∈R，则a=( )A.1B.−1C.4D.−43. 若向量a→，b→满足：|a→|=1，(a→+b→)⊥a→，(3a→+b→)⊥b→，则|b→|=()A.3B.√3C.1D.√334. 在△ABC中，B=π3，AB＝2，D为AB中点，△BCD的面积为3√34，则AC等于（）A.2B.√7C.√10D.√195. 已知x，y∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}，且x+y＝7，则y≥x2的概率（）A.1 3B.23C.12D.566. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1（单位：cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，则该零件的体积（单位：cm2）为（）A.240−24πB.240−12πC.240−8πD.240−4π7. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为1112，则判断框中填写的内容可以是（）8. 函数f(x)=e x cosx 在点（0, f(0)）处的切线斜率为（ ） A.0 B.−1 C.1 D.√229. 若x ，y 满足{x +y −3≥0kx −y +3≥0y ≥0 ，且z ＝y −x 的最小值为−12，则k 的值为（ ）A.12B.−12C.14D.−1410. 设抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，过F 且斜率为√3的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的垂直平分线与 x 轴交于点M(11, 0)，则p =( ) A.2 B.3 C.6 D.1211. 四面体的一条棱长为c ，其余棱长均为3，当该四面体体积最大时，经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（ ） A.272π B.92π C.152πD.15π12. 设f′(x)是函数f(x)的导函数，且f′(x)>2f(x)(x ∈R)，f(12)=e （e 为自然对数的底数），则不等式f(lnx)<x 2的解集为（ ） A.(0, e 2) B.(0, √e) C.(1e , e2)D.(e2, √e)二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）函数y =12sinx +√32cosx(x ∈[0,π2brack)的单调递增区间是________．已知命题：在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，△ABC 的顶点B 在椭圆上，顶点A ，C 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为e ，则sinA+sinC sinB=1e ，现将该命题类比到双曲线中，△ABC 的顶点B 在双曲线上，顶点A 、C 分别为双曲线的左、右焦点，设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)．双曲线的离心率为e ，则有________．在一幢10m 高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为60∘，塔基的俯角为30∘，假定房屋与塔建在同一水平地面上，则塔的高度为________m ．设函数f(x)在[1,+∞)上为增函数，f(3)=0，且g(x)=f(x +1)为偶函数，则不等式g(2−2x)<0的解集为________．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知数列{a n }满足a 1=511，4a n =a n−1−3(n ≥2)．(Ⅰ)求证：数列{a n +1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)令b n =|log 2(a n +1)|，求数列{b n }的前n 项和S n ．(Ⅰ)求证：CF // 平面EAB ；(Ⅱ)若CF ⊥AD ，求四棱锥E −ABCD 的体积．有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由550名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：委，其中从B 组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入表．(Ⅱ) 在(Ⅰ)中，若A ，C 两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．已知动圆经过定点D(1, 0)，且与直线x =−1相切，设动圆圆心E 的轨迹为曲线C (Ⅰ)求取曲线C 的方程；(Ⅱ)设过点P(1, 2)的直线l 1，l 2分别与曲线C 交于A ，B 两点，直线l 1，l 2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB 的斜率为定值．设n ∈N ∗，函数f(x)=lnx x n，函数g(x)=e x x n(x >0)．（1）当n =1时，求函数y =f(x)的零点个数；（2）若函数y =f(x)与函数y =g(x)的图象分别位于直线y =1的两侧，求n 的取值集合A ；（3）对于∀∈A ，∀x 1，x 2∈(0, +∞)，求|f(x 1)−g(x 2)|的最小值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]已知直线l 的参数方程为{x =−1+tcosαy =1+tsinα（t 为参数），曲线C 1的参数方程为{x =2+2cost y =4+2sint（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，（2）求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0, 0≤θ<2π)[选修4-5：不等式选讲]+ax(a>0)在(1, +∞)上的最小值为15，函数g(x)=|x+a|+已知函数f(x)=ax−1|x+1|．（1）求实数a的值；（2）求函数g(x)的最小值．参考答案与试题解析2018年黑龙江省高考数学仿真试卷（文科）（四）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.【答案】 A【考点】 交集及其运算 【解析】化简集合A 、B ，再求A ∩B ． 【解答】∵ 集合A ＝{x|x 2−3x >0}＝{x|x <0或x >3}＝(−∞, 0)∪(3, +∞)， B ＝{x||x|<2}＝{x|−2<x <2}＝(−2, 2)， ∴ A ∩B ＝(−2, 0)． 2.【答案】 C【考点】 复数的运算 【解析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由虚部等于0求得a 值． 【解答】解：∵ z 1=2−i ，z 2=a +2i ，∴ z 1z 2=(2−i)(a +2i)=2a +2+(4−a)i ， 又z 1z 2∈R ，∴ 4−a =0，即a =4． 故选C . 3.【答案】 B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】利用向量垂直的性质直接求解． 【解答】∵ 向量a →，b →满足：|a →|=1，(a →+b →)⊥a →，(3a →+b →)⊥b →，∴ {a →2+a →⋅b →=1+1⋅|b →|⋅cos <a →,b →>=03a →⋅b →+b →2=3⋅1⋅|b →|⋅<a →,b →>+|b →|2=0，解得|b →|=√3． 4.B【考点】正弦定理【解析】在△BCD中，由面积公式可得BC，再由余弦定理可得．【解答】由题意可知在△BCD中，B=π3，AD＝1，∴△BCD的面积S=12×BC×BD×sinB=12×BC×√32=3√34，解得BC＝3，在△ABC中由余弦定理可得：AC2＝AB2+BC2−2AB⋅BCcosB＝22+32−2⋅2⋅3⋅12=7，∴AC=√7，5.【答案】B【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】先列举出所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．【解答】由题基本事件空间中的元素有：(1, 6)，(2, 5)，(3, 4)，(4, 3)，(5, 2)(6, 1)，满足题意的有(1, 6)，(2, 5)，(3, 4)，(4, 3)，故则y≥x2的概率为46=236.【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】由三视图知该该零件是一个长方体在上面中心、两侧对称着分别挖去了三个相同的半圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由柱体的体积公式求出几何体的体积．【解答】根据三视图可知该零件是：一个长方体在上面中心、两侧对称着分别挖去了三个相同的半圆柱，且长方体的长、宽、高分别为：8、6、5，圆柱底面圆的半径为1，母线长是8，∴该零件的体积V＝8×6×5−3×12×π×12×8=240−12π(cm3)，7.【答案】C【考点】程序框图模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S ，n 的值，当n ＝8时，S =1112，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值为1112，故判断框中填写的内容可以是n ≤6．【解答】模拟执行程序框图，可得 S ＝0，n ＝2满足条件，S =12，n ＝4 满足条件，S =12+14=34，n ＝6 满足条件，S =12+14+16=1112，n ＝8由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值为1112，故判断框中填写的内容可以是n ≤6， 8.【答案】 C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】先求函数f(x)=e x cosx 的导数，因为函数图象在点（0, f(0)）处的切线的斜率为函数在x =0处的导数，就可求出切线的斜率． 【解答】∵ f′(x)=e x cosx −e x sinx ， ∴ f′(0)=e 0(cos0−sin0)=1，∴ 函数图象在点（0, f(0)）处的切线的斜率为1． 9.【答案】 D【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式组对应的平面区域，根据目标是的最小值建立不等式关系进行求解即可． 【解答】由z ＝y −x 得y ＝x +z ，要使z ＝y −x 的最小值为−12， 即y ＝x −12，则不等式对应的区域在y ＝x −12的上方， 先作出{y ≥0x +y −3≥0y =x −12 对应的图象，由{y =0y =x −12 得{x =12y =0 ，即C(12, 0)，则12k+3＝0，得k=−14，10.【答案】C【考点】抛物线的标准方程椭圆的定义【解析】由题意可知：抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(p2, 0)，直线AB的斜率为√3，则垂直平分线的斜率为−√33，且与x轴交于点M(11, 0)，则y=−√33(x−11)，则直线AB的方程为y=√3(x−p2)，代入抛物线方程，由韦达定理可知：x1+x2=5p3，根据中点坐标公式求得中点P坐标，代入AB的垂直平分线方程，即可求得p的值．【解答】解：由题意可知：抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(p2, 0)，直线AB的斜率为√3，则垂直平分线的斜率为−√33，且与x轴交于点M(11, 0)，则y=−√33(x−11)，设直线AB的方程为：y=√3(x−p2)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，AB的中点为P(x0, y0)，{y=√3(x−p2)y2=2px，整理得：3x2−5px+3p24=0，由韦达定理可知：x1+x2=5p3，由中点坐标公式可知：x0=5p6，则y0=√3p3，由P在垂直平分线上，则y0=−√33(x0−11)，即p=−(5p6−11)，解得：p=6.故选C.11.【答案】D【考点】球内接多面体【解析】根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】底面积不变，高最大时体积最大，所以，面ACD与面ABD垂直时体积最大，由于四面体的一条棱长为c，其余棱长均为3，所以球心在两个正三角形的重心的垂线的交点，半径经过这个四面体所有顶点的球的表面积为：S =4π(√152)2=15π；12.【答案】 B【考点】 导数的运算 【解析】 构造函数F(x)=f(x)e 2x，求出导数，判断F(x)在R 上递增．原不等式等价为F(lnx)<F(12)，运用单调性，可得lnx <12，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集． 【解答】 可构造函数F(x)=f(x)e 2x， F′(x)=f(x)e 2x −2f(x)e 2x(e 2x )2=f ′(x)−2f(x)e 2x，由f′(x)>2f(x)，可得F′(x)>0，即有F(x)在R 上递增． 不等式f(lnx)<x 2即为f(lnx)x 2<1，(x >0)，即f(lnx)e 21nx <1，x >0．即有F(12)=f(12)e=1，即为F(lnx)<F(12)，由F(x)在R 上递增，可得lnx <12，解得0<x <√e ． 故不等式的解集为(0, √e)，二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 【答案】 [0, π6] 【考点】两角和与差的三角函数 正弦函数的图象 【解析】化简可得y =sin(x +π3)，解不等式2kπ−π2≤x +π3≤2kπ+π2可得函数所有的单调递增区间，结合x ∈[0, π2]可得． 【解答】化简可得y =sinxcos π3+cosxsin π3=sin(x +π3)， 由2kπ−π2≤x +π3≤2kπ+π2可得2kπ−5π6≤x ≤2kπ+π6，k ∈Z ，当k =0时，可得函数的一个单调递增区间为[−5π6, π6]，由x ∈[0, π2]可得x ∈[0, π6]，|sinA−sinC|sinB = 1 e【考点】双曲线的离心率椭圆的离心率【解析】根据椭圆的离心率的说法可以写出推理的前提，对于双曲线的离心率可以通过定义表示出来，根据正弦定理把三角形的边长表示成角的正弦．【解答】根据椭圆的离心率的说法可以写出推理的前提，平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点A(−c, 0)和C(c, 0)，顶点B在双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上，双曲线的离心率是e．∵1e =ac=2a2c=|AB−BC|AC，∴由正弦定理可以得到1e =|sinA−sinC|sinB，【答案】40【考点】解三角形【解析】作出图示，利用30∘角的性质和勾股定理依次求出BC，CE，AC，AE，则AB=AE+ BE．【解答】解如图所示，过房屋顶C作塔AB的垂线CE，垂足为E，则CD=10，∠ACE=60∘，∠BCE=30∘，∴BE=CD=10，BC=2CD=20，EC=BD=√BC2−CD2=10√3．∵∠ACE=60∘，∠AEC=90∘，∴AC=2CE=20√3，∴AE=√AC2−CE2=30．∴AB=AE+BE=30+10=40．【答案】(0, 2)【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】本题考查函数的奇偶性与单调性．【解答】解：依题意得f(−x+1)=f(x+1)，因此f(x)的图象关于直线x=1对称．又f(x)在[1,+∞)上是增函数，因此f(x)在(−∞,1]上是减函数．又g(x)=f(x+1)是偶函数，因此g(x)在[0,+∞)上是增函数，且g(2)=f(2+1)=f(3)=0，g(−2)=0， 不等式g(2−2x)<0，即g(|2−2x|)<g(2)，∴ |2−2x|<2,−2<2−2x <2，解得0<x <2． 所以不等式g(2−2x)<0的解集是(0,2)． 故答案为：(0,2)．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 【答案】（1）证明：由a n =14a n−1−34知：a n +1=14(a n−1+1)， ∴ 数列{a n +1}是以512为首项，14为公比的等比数列． 则a n +1=211−2n ，a n =211−2n −1． ( II)b n =|11−2n|，设数列{11−2n}的前n 项和为T n ，则T n =10n −n 2， 当n ≤5时，S n =T n =10n −n 2；当n ≥6时，S n =2S 5−T n =n 2−10n +50； 所以S n ={10n −n 2,n ≤5n 2−10n +50,n ≥6 ． 【考点】等比数列的通项公式 数列递推式 数列的求和 【解析】（I ）由a n =14a n−1−34知：a n +1=14(a n−1+1)，利用等比数列的通项公式即可得出； ( II)b n =|11−2n|，设数列{11−2n}的前n 项和为T n ，则T n =10n −n 2．当n ≤5时，S n =T n ；当n ≥6时，S n =2S 5−Tn ． 【解答】（1）证明：由a n =14a n−1−34知：a n +1=14(a n−1+1)， ∴ 数列{a n +1}是以512为首项，14为公比的等比数列． 则a n +1=211−2n ，a n =211−2n −1． ( II)b n =|11−2n|，设数列{11−2n}的前n 项和为T n ，则T n =10n −n 2， 当n ≤5时，S n =T n =10n −n 2；当n ≥6时，S n =2S 5−T n =n 2−10n +50； 所以S n ={10n −n 2,n ≤5n 2−10n +50,n ≥6 ． 【答案】证明：(I)取AE 中点G ，连接GF ，GB ， ∵ F 是ED 的中点， ∴ GF =∥12AD ，有∵ BC =∥12AD ，∴ GF =∥BC ，∴四边形BCFG是平行四边形，∴GB // CF，又BG⊂平面EAB，CF平面EAB，∴CF // 平面EAB，（2）∵CF⊥AD，CF // BG，∴BG⊥AD，又AB⊥AD，BG⊂平面EAB，AB⊂平面EAB，BG∩AB＝B，∴AD⊥平面EAB，∵EA⊂平面AEB，∴AD⊥EA，又平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD＝AD，EA⊂平面EAD，∴EA⊥平面ABCD，∴V E−ABCD=13S ABCD⋅EA=13×12×(1+2)×1×2=1．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面平行【解析】（1）取AE中点G，连接GF，GB，则EF=∥12AD=∥BC，故四边形BCFG是平行四边形，于是CF // BG，得出CF // 平面EAB；（2）由CF⊥AD得出BG⊥AD，又AB⊥AD，故AD⊥平面EAB，于是AD⊥EA，由面面垂直的性质得出EA⊥平面ABCD，即EA棱锥E−ABCD的高．【解答】证明：(I)取AE中点G，连接GF，GB，∵F是ED的中点，∴GF=∥12AD，有∵BC=∥12AD，∴GF=∥BC，∴四边形BCFG是平行四边形，∴GB // CF，又BG⊂平面EAB，CF平面EAB，∴CF // 平面EAB，（2）∵CF⊥AD，CF // BG，∴BG⊥AD，又AB⊥AD，BG⊂平面EAB，AB⊂平面EAB，BG∩AB＝B，∴AD⊥平面EAB，∵EA⊂平面AEB，∴AD⊥EA，又平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD＝AD，EA⊂平面EAD，∴EA⊥平面ABCD，∴V E−ABCD=13S ABCD⋅EA=13×12×(1+2)×1×2=1．【答案】 对一空得．(Ⅱ) A 组抽取的3人中有2人支持1号歌手，则从3人中任选1人，支持1号歌手的概率为23． C 组抽取的12人中有2人支持1号歌手，则从12人中任选2人，支持1号歌手的概率为212=16． 现从抽样评委A 组3人，C 组12人中各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率p =23×212=19． ∴ 从A ，C 两组抽样评委中，各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率为19． 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【解析】(Ⅰ)利用分层抽样的性质能求出结果．(Ⅱ)A 组抽取的3人中有2人支持1号歌手，则从3人中任选1人，求出支持1号歌手的概率，C 组抽取的12人中有2人支持1号歌手，则从12人中任选2人，求出支持1号歌手的概率，由此能求出从A ，C 两组抽样评委中，各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率． 【解答】 (Ⅰ)【答案】（1）∵ 动圆经过定点D(1, 0)，且与直线x =−1相切， ∴ E 到点D(1, 0)的距离等于E 到直线x =−1的距离，∴ E 的轨迹是以D(1, 0)为焦点，以直线x =−1为准线的抛物线． ∴ 曲线C 的方程为y 2=4x ．（2）设直线l 1方程为：y =k(x −1)+2， ∵ 直线l 1，l 2的斜率存在，且倾斜角互补， ∴ l 2的方程为y =−k(x −1)+2．联立方程组{y =k(x −1)+2y 2=4x ，消元得：k 2x 2−(2k 2−4k +4)x +(k −2)2=0， 设A(x 1, y 1)，则x 1=(k−2)2k 2=k 2−4k+4k 2．同理可得x 2=k 2+4k+4k 2，∴ x 1+x 2=2k 2+8k 2，x 1−x 2=−8k k 2=−8k．∴ y 1−y 2=[k(x 1−1)+2]−[−k(x 2−1)+2]=k(x 1+x 2)−2k =2k 2+8k−2k =8k ．∴ k AB =y 1−y2x 1−x 2=−1．∴ 直线AB 的斜率为定值−1． 【考点】 轨迹方程 抛物线的性质 【解析】（I ）由抛物线的定义可知E 的轨迹为以D 为焦点，以x =−1为准线的抛物线， (II)设l 1，l 2的方程，联立方程组消元解出A ，B 的坐标，代入斜率公式计算k AB ． 【解答】（1）∵ 动圆经过定点D(1, 0)，且与直线x =−1相切， ∴ E 到点D(1, 0)的距离等于E 到直线x =−1的距离，∴ E 的轨迹是以D(1, 0)为焦点，以直线x =−1为准线的抛物线． ∴ 曲线C 的方程为y 2=4x ．（2）设直线l 1方程为：y =k(x −1)+2， ∵ 直线l 1，l 2的斜率存在，且倾斜角互补， ∴ l 2的方程为y =−k(x −1)+2．联立方程组{y =k(x −1)+2y 2=4x ，消元得：k 2x 2−(2k 2−4k +4)x +(k −2)2=0， 设A(x 1, y 1)，则x 1=(k−2)2k 2=k 2−4k+4k 2．同理可得x 2=k 2+4k+4k 2，∴ x 1+x 2=2k 2+8k 2，x 1−x 2=−8k k =−8k．∴ y 1−y 2=[k(x 1−1)+2]−[−k(x 2−1)+2]=k(x 1+x 2)−2k =2k 2+8k−2k =8k ．∴ k AB =y 1−y2x 1−x 2=−1．∴ 直线AB 的斜率为定值−1． 【答案】当n =1时，f(x)=lnx x，f′(x)=1−lnx x 2(x >0)，由f′(x)>0，可得0<x <e ，f′(x)<0，可得x >e ， ∴ 函数f(x)在(0, e)上单调递增，(e, +∞)上单调递减， ∵ f(e)=1e >0，f(1e )=−e <0， ∴ 函数f(x)在(0, e)上存在一个零点， x ∈(e, +∞)，f(x)=lnx x>0恒成立，∴ 函数f(x)在(e, +∞)上不存在零点，综上所述，函数f(x)在(0, +∞)上存在唯一零点； f(x)=lnx x，∴ f′(x)=1−nlnx x (x >0)，由f′(x)>0，可得0<x <e 1n ，f′(x)<0，可得x >e 1n ， ∴ 函数f(x)在(0, e 1n )上单调递增，(e 1n , +∞)上单调递减， ∴ x =e 1n时，函数f(x)有最大值f(e 1n)=1ne ．由g(x)=e x xn (x >0)，得g′(x)=(x−n)e x x n+1(x >0)，由g′(x)>0，可得x >n ，g′(x)<0，可得0<x <n ，∴ 函数f(x)在(0, n)上单调递减，(n, +∞)上单调递增， ∴ x =n 时，函数g(x)有最小值g(n)=(en )n ， ∵ ∀n ∈N ∗，函数f(x)有最大值f(e 1n )=1ne<1，即f(x)在直线l:y =1的上方∴ g(n)=(en )n >1， ∴ n <e ， ∴ A ={1, 2}；∀x 1，x 2∈(0, +∞)，|f(x 1)−g(x 2)|的最小值等价于(en )n −1ne ． n =1时，(en )n −1ne =e −1e ．n =2时，(en)n −1ne=e 24−12e．∵ (e −1e )−(e 24−12e)=e 2(4−e)−24e>0，∴ |f(x 1)−g(x 2)|的最小值为e 24−12e ．【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值 函数零点的判定定理 【解析】（1）当n =1时，f(x)=lnx x，f′(x)=1−lnx x 2(x >0)，确定函数的单调性，即可求函数y =f(x)的零点个数；（2）若函数y =f(x)与函数y =g(x)的图象分别位于直线y =1的两侧，∀n ∈N ∗，函数f(x)有最大值f(e 1n )=1ne<1，即f(x)在直线l:y =1的上方，可得g(n)=(en )n >1求n 的取值集合A ；(3)∀x 1，x 2∈(0, +∞)，|f(x 1)−g(x 2)|的最小值等价于(en )n −1ne ，发布网球场相应的函数值，比较大小，即可求|f(x 1)−g(x 2)|的最小值． 【解答】当n =1时，f(x)=lnx x，f′(x)=1−lnx x 2(x >0)，由f′(x)>0，可得0<x <e ，f′(x)<0，可得x >e ， ∴ 函数f(x)在(0, e)上单调递增，(e, +∞)上单调递减， ∵ f(e)=1e >0，f(1e )=−e <0， ∴ 函数f(x)在(0, e)上存在一个零点， x ∈(e, +∞)，f(x)=lnx x>0恒成立，∴ 函数f(x)在(e, +∞)上不存在零点，综上所述，函数f(x)在(0, +∞)上存在唯一零点； f(x)=lnxx n，∴ f′(x)=1−nlnx x n+1(x >0)，由f′(x)>0，可得0<x <e 1n ，f′(x)<0，可得x >e 1n ， ∴ 函数f(x)在(0, e 1n )上单调递增，(e 1n , +∞)上单调递减， ∴ x =e 1n 时，函数f(x)有最大值f(e 1n )=1ne．由g(x)=e x xn (x >0)，得g′(x)=(x−n)e x x n+1(x >0)，由g′(x)>0，可得x >n ，g′(x)<0，可得0<x <n ，∴ 函数f(x)在(0, n)上单调递减，(n, +∞)上单调递增， ∴ x =n 时，函数g(x)有最小值g(n)=(en )n ， ∵ ∀n ∈N ∗，函数f(x)有最大值f(e 1n )=1ne<1，即f(x)在直线l:y =1的上方∴ g(n)=(en )n >1， ∴ n <e ， ∴ A ={1, 2}；∀x 1，x 2∈(0, +∞)，|f(x 1)−g(x 2)|的最小值等价于(en )n −1ne ． n =1时，(en )n −1ne =e −1e ．n =2时，(en )n −1ne =e 24−12e ．∵ (e −1e )−(e 24−12e)=e 2(4−e)−24e>0，∴ |f(x 1)−g(x 2)|的最小值为e 24−12e．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】由直线l 的参数方程为{x =−1+tcosαy =1+tsinα （t 为参数）可得直线l 过(−1, 1)点， 当直线l 的斜率为2时，直线l 的普通方程为y −1=2(x +1)，即2x −y +3=0， 由曲线C 1的参数方程为{x =2+2costy =4+2sint （t 为参数），消参得：(x −2)2+(y −4)2=4，则曲线C 1表示以(2, 4)点为圆心，以2为半径的圆， 此时圆心到直线的距离d =5=3√55<2，故直线l 与曲线C 1相交；曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ， 化为普通方程为：x 2+y 2−4x =0， 由{(x −2)2+(y −4)2=4x 2+y 2−4x =0 得：{x =2y =2 ， 故C 1与C 2交点的坐标为(2, 2)， 故C 1与C 2交点的极坐标(2√2, π4)【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化 【解析】（1）利用加减消元法和平方消元法消去参数t ，可把直线l 与曲线C 1的参数方程化为普通方程，结合直线与圆的位置关系，可得结论；（2）将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的坐标，进而可化为极坐标． 【解答】由直线l 的参数方程为{x =−1+tcosαy =1+tsinα （t 为参数）可得直线l 过(−1, 1)点， 当直线l 的斜率为2时，直线l 的普通方程为y −1=2(x +1)，即2x −y +3=0， 由曲线C 1的参数方程为{x =2+2costy =4+2sint （t 为参数），消参得：(x −2)2+(y −4)2=4，则曲线C 1表示以(2, 4)点为圆心，以2为半径的圆， 此时圆心到直线的距离d =√5=3√55<2，故直线l 与曲线C 1相交；曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ， 化为普通方程为：x 2+y 2−4x =0， 由{(x −2)2+(y −4)2=4x 2+y 2−4x =0 得：{x =2y =2 ， 故C 1与C 2交点的坐标为(2, 2)， 故C 1与C 2交点的极坐标(2√2, π4) [选修4-5：不等式选讲] 【答案】f(x)=ax −1+ax(a >0, x >1)=a[(x −1)+1x−1+1]≥a(2√(x −1)∗1x−1+1)=3a ， 当且仅当x =2时，取得最小值3a ， 由题意可得3a =15，解得a =5；函数g(x)=|x +a|+|x +1|=|x +5|+|x +1|， 由|x +5|+|x +1|≥|(x +5)−(x +1)|=4，当且仅当(x +5)(x +1)≤0，即−5≤x ≤−1时，取得等号． 则g(x)的最小值为4． 【考点】函数的最值及其几何意义 【解析】（1）由f(x)=ax−1+ax=a[(x−1)+1x−1+1]，运用基本不等式可得最小值，解方程可得a的值；（2）运用|x+5|+|x+1|≥|(x+5)−(x+1)|=4，即可得到所求的最小值．【解答】f(x)=ax−1+ax(a>0, x>1)=a[(x−1)+1x−1+1]≥a(2√(x−1)∗1x−1+1)=3a，当且仅当x=2时，取得最小值3a，由题意可得3a=15，解得a=5；函数g(x)=|x+a|+|x+1|=|x+5|+|x+1|，由|x+5|+|x+1|≥|(x+5)−(x+1)|=4，当且仅当(x+5)(x+1)≤0，即−5≤x≤−1时，取得等号．则g(x)的最小值为4．。
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2018年黑龙江省普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(一)数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知z 为纯虚数，且3(2)1i z ai +=+（i 为虚数单位），则a z +=( )A ．1B ．3C ．2D ．52. （2017·咸阳市二模)若tan 1α=，则2sin 2cos αα-的值为( )A ．1B ．12C ．13D ．143.命题“00x ∃≤，使得200x ≥”的否定是( )A ．20,0x x ∀≤<B ．20,0x x ∀≤≥C ．2000,0x x ∃>>D ．2000,0x x ∃<≤4.（2017·太原二模）如图是某样本数据的茎叶图，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A ．32 34 32B ．33 45 35 C. 34 45 32 D ．33 36 355.（2017·海口市调研）当双曲线2221862x y m m-=+-的焦距取得最小值时，其渐近线的斜率是( ) A ．1± B ．23± C.13± D ．12± 6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )A ．2πB ．4π C.6(213)π++ D ．(4213)π+7.（2017·合肥市质检）点G 为ABC 的重心（三角形三边中线的交点），设,BG a GC b ==，则AB =( )A ．3122a b -B ．3122a b + C.2a b - D ．2b a - 8. （2017·太原市二模）设函数()sin()0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若12,,63x x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且12()()f x f x =，则12()f x x +=( )A ．1B ．12 C. 22 D ．329. 执行如图所示的程序框图,则输出a 的值为( )A ．2B ．23 C.12D ．-1 10.设等差数列{}n a 的前n 项和为114,22,12n S S a ==-，若30m a =，则m = ( )A ．9B ．10 C. 11 D ．1511. （2017·保定市二模）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A ．6B ．5 C. 4 D ．5.512. （2017·济南市二模）设函数'()f x 是()()f x x R ∈的导函数，(0)1f =，且3()'()3f x f x =-，则4()'()f x f x >的解集是( )A ．ln 4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．ln 2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C.3,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．,3e ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若,x y 满足约束条件：0,23,23,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则x y -的取值范围是 ．14.函数()22()sin log 2g x x x t x =++为偶函数，则t = ． 15. （2017·甘肃省二诊）已知直线340x y m -+=与圆224x y +=交于不同两点,A B ，其中O 为坐标原点，C 为圆外一点，若四边形OACB 是平行四边形，则实数m 的取值范围为 ．16. （2017·泰安一模）已知平面向量,a b 满足1b =，且a 与b a -的夹角为120°，则a 的模的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （2017·成都市二诊）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知3a =，且223b c bc +=+.(1)求角A 的大小；(2)求sin b C 的最大值.18. （2017·昆明市质检）如图，三棱柱111ABC A B C -的侧面11AA B B 为正方形，侧面11BBC C 为菱形，1160,CBB AB BC ∠=⊥.(1)证明：平面11AA B B ⊥平面11BBC C ； (2)若三棱柱111ABC A B C -的体积为23，求点A 到平面111A B C 的距离.19. （2017·石家庄模拟）某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究,针对篮球运动员在投篮命中时,运动员在篮筐中心的水平距离这项指标,对某运动员进行了若干场次的统计,依据统计结果绘制如下频率分 布直方图:(1)依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时,他到篮筐中心的水平距离的中位数；(2)若从该运动员投篮命中时,他到篮筐中心的水平距离为2到5米的这三组中,用分层抽样的方法抽取7次成绩(单位:米,运动员投篮命中时,他到篮筐中心的水平距离越远越好),并从抽到的这7次成绩中随机抽取2次.规定:这2次成绩均来自到篮筐中心的水平距离为4到5米的这一组,记 1分,否则记0分.求该运动员得1分的概率.20. （2017·唐山市二模） 已知点F 为抛物线2:4C x y =的焦点，,,A B D 为抛物线C 上三点，且点A 在第一象限，直线AB 经过点,F BD 与抛物线C 在点A 处的切线平行，点M 为BD 的中点.(1)证明：AM 与y 轴平行；(2)求ABD 面积S 的最小值.21. 已知函数2()1xe f x x mx =-+ . (1)若(2,2)m ∈-，求函数()y f x =的单调区间；(2)若10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则当[0,1]x m ∈+时，函数()y f x =的图象是否总在直线y x =上方？请写出判断过程.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位,以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知曲线1C 的极坐标方程为22sin 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为sin (0)a a ρθ=>，射线,,,442πππθϕθϕθϕθϕ==+=-=+与曲线1C 分别交异于极点O 的四点,,,A B C D .(1)若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程；(2)求OA OC OB OD +的值.23.选修4-5：不等式选讲设函数()||,0f x x a a =-<.(1)证明：1()2f x f x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭； (2)若不等式1()(2)2f x f x +<的解集非空，求a 的取值范围.普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟(一)文科数学答案一、选择题1-5:DBABB 6-10:CDDAB 11、12：BB二、填空题 13.33,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 14.12 15. (10,5)(5,10)-- 16.230,3⎛⎤ ⎥ ⎝⎦三、解答题17.解析：(1)由已知223,3a b c bc =+=+，得222231222b c a bc a bc bc +-+-==.详解答案 即1cos 23A A π=⇒=. (2)由正弦定理，得sin 2sin sin a bB B A ==， sin 2sin sin 2sin sin 3b C C B C C π⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭. 13sin 2sin sin cos 22b C C C C ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ 23111sin 3sin cos sin 2cos 2sin 222262C C C C C C π⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭， ∴当3C π=时，sin b C 取得最大值32. 18.解析：(1)证明：侧面11AA B B 为正方形，知1AB BB ⊥，又1111,AB B C BB B C B ⊥=， 所以AB ⊥平面11BB C C ,又AB ⊂平面11AA B B ,所以平面11AA B B ⊥平面11BBC C . (2)设AB a =，A 点到平面111A B C 的距离为h ，由已知，1BB C ∆是边长为a 的等边三角形，在直角三角形ABC 中，AB BC a ==，由(1)知AB ⊥平面1BBC , 则11113ABC A B C A BB C V V --=， 即1133ABC BB C S h S AB ∆=⨯，又已知11123ABC A B C V -=, 所以22113323234a h a a =⨯⨯=， 得2,3a h ==， 即A 点到平面111A B C 的距离为3.19. 解析:(１)设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为x0.0520.100.200.5⨯++<，且(0.400.20)10.60.5+⨯=>，[]4,5x ∴∈由()0.4050.2010.5x ⨯-+⨯=，解得 4.25x =，∴ 该运动员到篮筐的水平距离的中位数是4.25(米) ．(2)由题意知,抽到的7次成绩中,有1次来自到篮筐的水平距离为2到3米的这一组,记作 1A ； 有2次来自到篮筐的水平距离为3到4米的这一组，记作12,B B ；有4次来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组，记作1234,,,C C C C .从7次成绩中随机抽取2次的所有可能抽法如下：1112111213(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A C A C A C ,1412111213(,),(),(,),(,),(,)A C B B B C B C B C ,1421(,),(,)B C B C 222324121314(,),(,),(,),(,),(,),(,)B C B C B C C C C C C C ,232434(,),(,),(,)C C C C C C 共21个基本事件. 其中两次成绩均来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组的基本事件有6个 ．所以该运动员得1分的概率62=217P =. 20.解析：(1)证明：设220101,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2220,(0)4x D x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭. 由'2x y =得02BD x k =，又124BD x x k +=，所以01224x x x +=，即1202Mx x x x +==， 故AM 与y 轴平行.(2)法一：由,,A B F 共线可得AF BF k k =，所以()01014()0x x x x +-=，因010x x -≠，所以014x x =-，即104x x =-. 直线BD 的方程为20011204=()2242x x x x y x x x -+=++， 所以2020422M x y x =++. 由(1)得30014164x x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当004x x =，即02x =时等号成立，故S 的最小值为16. 法二：直线BD 的方程为2011()24x x y x x =-+，20101()24M x x y x x =-+.得2010()4M x x y y --=， 则30124ABD ABM x x S S ∆∆-==. 设直线:1AB y kx =+，代入24x y =得2440x kx --=， 则201414x x k -=+≥，故160ABD S k ∆≥=（时等号成立).21.解析：(1)函数定义域为R ， 222(12)'()(1)x e x mx x m f x x mx -+-+=-+22(1)(1)=(1)x e x x m x mx ----+. ①当11m +=，即0m =时，'()0f x ≥,此时()f x 在R 上单调递增；②当11m +>，即02m <<，(,1)x ∈-∞时，'()0f x >，此时()f x 单调递增，(1,1)x m ∈+时，'()0f x <，此时()f x 单调递减，(1,)x m ∈++∞时，'()0f x >，此时()f x 单调递增.③当11m +<，即20m -<<时，(,1)x m ∈-∞+，'()0f x >，此时()f x 单调递增，(1,1)x m ∈+时，'()0f x <，此时()f x 单调递减，(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，此时()f x 单调递增.综上所述，①当0m =时，()f x 在R 上单调递增，②当02m <<时，()f x 在(,1)-∞和(1,)m ++∞上单调递增，()f x 在(1,1)m +上单调递减， ③当20m -<<时，()f x 在(,1)m -∞+ 和(1,)+∞上单调递增，()f x 在(1,1)m +上单调递减.(2)当10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，由(1)知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,1)m +上单调递减. 令()g x x =.①当[0,1]x ∈时，min max ()(0)1,()1f x f g x ===，所以函数()f x 图象在()g x 图象上方.②当[1,1]x m ∈+时，函数()f x 单调递减，所以其最小值为1(1)2m e f m m ++=+，()g x 最大值为1m +，所以下面判断(1)f m +与1m +的大小，即判断x e 与(1)x x +的大小，其中311,2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦， 令()(1),'()21x x m x e x x m x e x =-+=--，令()'()h x m x =，则'()2x h x e =-， 因311,2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦，所以'()20x h x e =->，'()m x 单调递增； 所以'(1)30m e =-<，323'402m e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭故存在031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 使得000'()210x m x e x =--=，所以()m x 在0(1,)x 上单调递减，在03,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以022*********()()=211x m x m x e x x x x x x x ≥=--+--=-++， 所以031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，2000()10m x x x =-++>， 即2(1)e x x >+，也即(1)1f m m +>+，所以函数()f x 的图象总在直线y x =上方.22.解析：(1)212222sin cos 2sin 2cos 22C ρρθθρθρθ⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭：，化为直角坐标方程为22(1)(1)2x y -+-=.把2C 的方程化为直角坐标方程为y a =，因为曲线1C 关于曲线2C 对称，故直线y a =经过圆心(1,1)， 解得1a =，故2C 的直角坐标方程为1y =.(2)由题意可得，=22sin 4OA πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， =22sin +22cos 2OB πϕϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，=22sin OC ϕ，=22cos 4OD πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以+OA OC OB OD ⋅⋅8sin sin 8cos cos 44ϕπϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2=8cos 84242π=⨯=. 23.解析：（1）证明：函数()||,0f x x a a =-<， 则1111()||||()f x f x a a x a a x a a x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=-+--=-++≥-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111=||2||2||||x x x x x x +=+≥= （当且仅当||1x =时取等号）. (2)()(2)|||2|,0f x f x x a x a a +=-+-<.当x a ≤时，()(2)223f x f x a x a x a x +=-+-=-， 则()(2)f x f x a +≥-；当2a a x <<时，()(2)2f x f x x a a x x +=-+-=-， 则()(2)2a f x f x a -<+<-； 当2a x ≥时，()(2)232f x f x x a x a x a +=-+-=-， 则()(2)2a f x f x +≥-，则()f x 的值域为,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 不等式1()(2)2f x f x +<的解集非空，即为122a >-，解得，1a >-，由于0a <， 则a 的取值范围是(1,0)-. 、。