二元一次方程解决实际问题
有关实际问题与二元一次方程解的题
有关实际问题与二元一次方程解的题二元一次方程，顾名思义，就是一个含有两个未知数的一次方程，它是中学数学课程中最基础的内容之一。
我们生活中许多实际问题都可以通过构造二元一次方程解决，而二元一次方程也是解决我们日常生活中实际问题的工具之一。
下面，我将介绍一些有关实际问题与二元一次方程解的例子。
1. 买文具小明去文具店买笔和橡皮，他买了6支笔和4个橡皮花了18元，而他买了3支笔和2个橡皮花了7元。
求一支笔和一个橡皮的价格各是多少？这是一个典型的二元一次方程题目。
设一支笔的价格为x元，一个橡皮的价格为y元。
由题意可得：6x + 4y = 183x + 2y = 7将二元一次方程按照一般的格式写出，即ax + by = c的形式，再用解方程的方法，消元求解即可得出一支笔和一个橡皮的价格分别为2元和1元。
2. 求矩形的面积现在我们用一个更加具体的问题来帮助我们理解二元一次方程。
如下图所示，一个矩形的长和宽分别是3和x-1。
同时，矩形的周长为14。
我们该如何求出这个矩形的面积？![矩形图示]根据矩形的周长公式可知，2(3 + x-1) = 14，也就是6 + 2x = 14，进一步化简得到2x = 8，即x = 4。
因此，这个矩形的长为3，宽为3，面积为9。
3. 银行存款小明目前在银行有两个存款，一个是5000元的一年定期，年利率为3.5%，另一个是8000元的活期，年利率为1.5%，每年可以得到200元的利息。
若小明希望每年可以得到至少650元的利息，则他需要将多少钱存入定期存款？设小明需要向定期存款中存入的金额为x元，则根据年利率计算公式可以得到：x × 3.5% + 8000 × 1.5% = 650化简可得：0.035x + 120 = 650x = 17000因此，小明应该在定期存款中存入至少17000元。
4. 空间中的点现在我们来看另一个例子，设在平面直角坐标系中点A坐标为(2,4)，点B坐标为(6,y)。
利用二元一次方程组解决实际问题
教案纸 科目名称 数学 审批意见：课 题 利用二元一次方程组解决实际问题 学生姓名任课教师 学生年级 初一授 课 日 期 授 课 形 式 □AA □AB 教学目的：1、掌握常见实际问题的几种类型中的等量关系式教学重点：实际问题等量关系的挖掘教学难点：实际问题等量关系的挖掘 要点一、常见的一些等量关系（一） 1.和差倍分问题： 增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量. 2.产品配套问题： 解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例. 3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量. 4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，=100% 利润利润率进价 . 要点二、实际问题与二元一次方程组 1.列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足： ①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等. 2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案． 要点诠释： （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.【典型例题】类型一、和差倍分问题例1.在一次数学测验中，甲、乙两校各有100名同学参加测试．测试结果显示，甲校男生的优分率为60％，女生的优分率为40％，全校的优分率为49.6％；乙校男生的优分率为57％，女生的优分率为37％．(男(女)生优分率＝()100%()⨯男女生优分人数男女生测试人数，全校优分率＝100%⨯全校优分人数全校测试人数)(1)求甲校参加测试的男、女生人数各是多少?(2)从已知数据中不难发现甲校男、女生的优分率都相应高于乙校男、女生的优分率，但最终的统计结果却显示甲校的全校优分率比乙校的全校的优分率低，请举例说明原因．【总结升华】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．本题的第（2）问也可以用不等式求出甲乙两校男生人数满足什么关系时，才满足甲校的全校优分率比乙校的全校的优分率低．举一反三：【变式】为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动在2009年正式开始．某经销商在政策出台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共1228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30％和25%．(1)在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台?(2)若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元．根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5％给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴了多少万元？类型二、配套问题例2. 某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰需筐68 个，扁担40 根，问这个班的男女生各有多少人？【总结升华】两人抬土需要一根扁担，一只筐；一人挑土需要一根扁担，两只筐．题中的等量关系是：参加劳动的同学一共用去箩筐68个和40根扁担，从而列出方程组，解出即可．举一反三：【变式】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓和两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？类型三、工程问题例3.一项工程，甲队单独做要12天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要20天完成．按原定计划，这项工程要求在7天内完成．现在甲、乙两队先合做若干天，以后为加快速度，丙队也同时加入这项工作，这样比原定时间提前1天完成任务．问：甲、乙两队合做了多少天？丙队加入后又做了多少天？【总结升华】①工程类问题中相等关系一般都比较明显，常见的一组相等关系是：两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量之和等于工作总量．②在工程类问题中如果没有工作总量，一般情况下把工作总量设为单位“1”．变式训练：甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？思路点拨：画直线型示意图理解题意：(1)这里有两个未知数：①汽车的行程；②拖拉机的行程.(2)有两个等量关系：类型四、利润问题例题4.甲乙两件服装的成本为500元，商店老板为获取利润，决定将甲种服装按50%的利润定价，乙种服装按40%的利润定价．实际出售时，两种服装均按九折出售，这样商店共获利157元．求甲乙两件服装的成本各是多少元？举一反三：【变式】儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打8折优惠，能比标价省13.2元．已知书包标价比文具盒标价的3倍少6元，那么书包和文具盒的标价各是多少元？变式：4．小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）课堂练习一、选择题1．某鞋店有甲、乙两款鞋各30双，甲鞋一双200元，乙鞋一双50元．该店促销的方式：买一双甲鞋，送一双乙鞋；只买乙鞋没有任何优惠．若打烊后得知，此两款鞋共卖得1800元，还剩甲鞋x双、乙鞋y双，则依题意可列出下列哪一个方程式? () .A．200(30-x)+50(30-y) ＝1800 B．200(30-x)十50(30-x-y)＝1800C．200(30-x)+50(60-x-y)＝1800 D．200(30-x)十50[30-(30-x)-y]＝18002. 某中心学校现有学生515人，计划一年后女生在校人数增加135，男生在校人数增加190，这样在校学生人数将增加2103，那么该校现有女生和男生人数分别是( ).A．245和270 B．260和255 C．25.9和256 D．240和2753．欣平超市推出如下优惠方案：(1)一次性购物不超过100元不享受优惠；(2)一次性购物超过100元但不超过300元一律九折；(3)一次性购物超过300元一律八折．王波两次购物分别付款80元、252元，如果王波一次性购买与上两次相同的商品，则应付款( ).A．288元B．322元C．288元或316元D．332元或363元4．某次知识竞赛共出了25道试题．评分标准如下：答对一道题加4分；答错1道题扣1分；不答记0分，已知李刚不答的题比答错的题多2道，他的总分为74分，则他答对了().A．18道B．19道C．20道D．21道5．某班学生参加运土劳动，一部分学生抬土，另一部分学生挑土，已知全班共用箩筐59个，扁担36根，若设抬土的学生x人，挑土的学生y人，则有().A．2592362yxxy⎧⎛⎫+=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩B．2592362xyxy⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C．2592236xyx y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩D．259236x yx y+=⎧⎨+=⎩6.在早餐店里，王伯伯买5颗馒头，3颗包子，老板少拿2元，只要50元．李太太买了11颗馒头，5颗包子，老板以售价的九折优待，只要90元．若馒头每颗x元，包子每颗y元，则下列哪一个二元一次联立方程式可表示题目中的数量关系？（）A. B.C. D.二、填空题7.一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，如果1 m3木料可制作方桌的桌面50个，或制作桌腿300条，现有5 m3木料，设用x cm3木料制作桌面，用y m3木料制作桌腿，恰好配成方桌，则可得方程组为________．8．如图所示，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的13，另一根露出水面的长度是它的15，两根铁棒长度之和为55cm，则木桶中水的深度是cm.9．如图所示个大小、形状完全相同的小长方形组合成一个周长为68的大长方形，则大长方形的面积为________．10．某商场出售茶壶和茶杯，茶壶每只15元，茶杯每只3元，商店规定买一只茶壶赠一只茶杯，某人共付款171元得茶壶、茶杯共36只(含赠品在内)，其中茶壶________只，茶杯________只．11．已知甲、乙两种商品的进价和为100元，为促销而打折销售，若甲商品打8折，乙商品打6折，则可赚50元；若甲商品打6折，乙商品打8折，则可赚30元，则甲、乙两种商品的定价分别是________．12. 如图①，在第一个天平上，砝码A的质量等于砝码B加上砝码C的质量；如图②，在第二个天平上，砝码A加上砝码B的质量等于3个砝码C的质量．请你判断：1个砝码A与________个砝码C的质量相等．三、解答题13.一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这批货车的情况如下表：第一次第二次甲种货车辆数（单位：辆）2 5乙种货车辆数（单位：辆）3 6吨）现租用该公司4辆甲种货车和5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付费30元计算，问货主应付费多少元?14.某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出大楼共有4道门，其中2道正门大小相同，2道侧门大小也相同，安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启1道正门和2道侧门时，2分钟内可通过560名学生；当同时开启1道正门和1道侧门时，4分钟内可通过800名学生，求平均每分钟1道正门和1道侧门各可通过多少名学生？15. [阅读]在平面直角坐标系中，以任意两点P (x 1，y 1)、Q (x 2、y 2)为端点的线段中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭． [运用](1)如图所示，长方形ONEF 的对角线交于点M ，ON 、OF 分别在x 轴和y 轴上，O 为坐标原点，点E 的坐标为(4，3)，则点M 的坐标为________；。
应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤
2×10x=15(28-x) 解得:x＝12(人) 28-12=16(人)
练一练：
1、某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃” 玩具和徽章两种商品,根据下图提供的信息,求一盒 “福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少?
共计145元 5x+2y=145 10x+3y=280
共计280元 解得：x=25 y=10
0.5x千米 2x千米 2y千米
(1)
A
甲2.5小时走的路程
B
乙2小时走的路程
x千米
11千米
y千米
(2)
A
B
开放性问题
联想集团有A型、B型、C型三种型号的电 脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台 4000元，C型每台2500元，我市某中学计划将 100500元钱全部用于购进其中两种不同型号 的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方 案，并说明理由。 反思：未知数不只两个，为了解决问题方便， 所以设三个未知数以帮助解决问题，把问题 割裂开来看，仍属于二元一次方程组，在一 个问题里面设三个未知数，这本身就是一种 创造性思维。
十位个位三位数的代数式原数新数十位个位三位数的代数式原数新数若设十位数字为x个位数字为y则xy10xyyx10yxxy310yx2710xy例2小强和小明非常喜欢遥控汽车放学后去邮局邮购遥控汽车邮局里小强和小明商量如何购买最后决定在abc三款中做选择其中小强和小明非常喜欢遥控汽车放学后去邮局邮购遥控汽车邮局里小强和小明商量如何购买最后决定在abc三款中做选择其中a款每个48元
3、今年五月27日,印尼中爪哇省发生强烈 地震,给当地人民造成巨大损失.某校积极组织 捐款支援灾区,初三(1)班55名共捐款500元,捐 款情况如下表:
用二元一次方程组解决实际问题
用二元一次方程组解决实际问题（一）对大小牛的含量估计1、某班学生参加运土劳动，一部分同学抬土，另一部分同学挑土，已知全班同学共用土筐59个，扁担36根，问抬土和挑土的同学各有多少人？2、某课外小组学生准备分组外出活动，若每组7人，则余下3人，若每组8人，则少5人，求学生有多少人？3、某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工上市销售，该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或粗加工16吨，现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工，几天粗加工？4、两地相距280千米，一轮船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求轮船在静水中的速度？5、已知一铁桥长1000米，有一列火车从桥上通过，测得火车开始上桥到完全过桥共用1分钟，整列火车在桥是的时间为40秒，求火车的速度和列车的长分别是多少？6、一个两位数的数字之和为10，十位数字与个位数字互换后，所得新数比原数小36，求原来的两位数是多少？7、某车间有28个工人生产某种螺栓和螺母，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，为了合理分配劳动，使生产的螺栓和螺母配套（一个螺栓和两个螺母）应分配多少人生产螺栓？8、甲、乙两家超市销售同一价格的某种商品，甲超市分两次降价，每次降价10%，乙超市一次性降价20%，那么顾客到哪家超市购此种商品最合算？8、要修一段420千米长的公路，甲工程队先干2天，乙工程队加入，两队再合干2天完成任务，如果乙队先干2天，两队两队再合干3天完成任务，问两个队每天各能修多少千米？（二）调动问题行程问题中常用到的等量关系：路程=____________________相遇问题：同时两地相向而行，________ ×相遇时间=出发地间的距离追击问题：同时两地同向而行，________ ×追击时间=出发地间的距离环行问题：同时同地同向而行，则快的行的路程-慢的行的路程=n×环形的周长（n为相遇次数）同时同地反向而行，则快的行的路程+慢的行的路程= n×环形的周长（n为相遇次数）1、两人练习跑步，如果乙先跑16米，甲8秒可以追上乙，如果乙先跑2秒，则甲4秒可以追上乙，求甲、乙两人每秒各跑多少米？2、甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲骑车，乙步行，如果乙先行12千米，那么甲1小时就能追上乙，如果乙先走1小时，那么甲只用0.5小时就能追上乙，则乙的速度是多少？3、张华与李明两个同学相距15千米，同时出发，若同向而行，张华3小时追上李明，若相向而行，两人1小时后相遇，则张华与李明的速度分别是多少？4、一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，部货主应付运费多少元？5、北京和上海都有某种仪器可供外地使用，其中北京可提供10台，上海可提供4台，已知重庆需要8台，武汉需要6台，从北京、上海将仪器运往重庆、武汉的费用如下表所示。
二元一次方程实际问题(难题)
二元一次方程实际问题(难题)二元一次方程是数学中常见的一种形式，也是很多实际问题中的重要数学工具之一。
本文将讨论几个二元一次方程实际问题难题，并通过解决问题的方法来加深对这种方程的理解。
难题1：两人捐款的问题问题描述：小明和小张一起为一所学校捐款。
小明捐了300元，小张捐了150元。
他们的捐款总数是450元。
如果另外一个人也和他们一起捐款，那么这个人至少要捐多少钱？解决办法：假设第三个人捐x元钱，则根据题目描述，我们可以列出如下的二元一次方程：300 + 150 + x = 450将其简化为标准形式：x = 450 - 300 - 150计算可得第三个人至少要捐100元。
难题2：两条直线的交点问题问题描述：已知两条直线的方程分别为y = 3x - 1和y = -2x + 5，请问它们在哪个点相交？解决办法：将两条直线的方程转化为标准形式：y - 3x = -1y + 2x = 5将其表示成增广矩阵形式并进行初等行变换，可得：[ 1 -3 | -1 ][ 1 2 | 5 ]再进行高斯消元，得到：[ 1 0 | 2 ][ 0 1 | 1 ]因此，两条直线在点(2, 1)相交。
难题3：矩形的面积问题问题描述：一个矩形的长和宽分别为x和y，它的面积为42平方米。
如果把长和宽都增加3米，它的面积就会增加27平方米。
请问这个矩形的长和宽各是多少？解决办法：根据题目描述，可以列出如下的二元一次方程组：xy = 42(x + 3)(y + 3) = 42 + 27将后一个方程式展开可得：xy + 3x + 3y + 9 = 69xy + 3x + 3y - 27 = 0将第二个式子变形并代入第一个式子，可得：xy + 3(x + y - 9) = 0因为xy不为0，所以可以除掉，得到：x + y - 9 = 0将其代入第一个方程，可得：x(9 - x) = 42解这个方程可得：x = 6y = 3所以这个矩形的长和宽分别为6米和3米。
七下数学课件： 用二元一次方程解决实际问题(第2课时)(课件)
用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
情景引入
如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批
50 + 80 = 1120
= 16
，解得
=4
30 + 50 = 680
所以跳绳的单价为16元，毽子的单价为4元；
（2）设商品按原价的z折销售，根据题意得
(16 + 4) × 100 ×
= 1700
10
解得 = 8.5
所以商品按原价的八五折销售.
课后回顾
课后回顾
01
02
03
谢谢
解：设购买原料 x 吨，制成成品 y 吨。
1.5（10x ＋ 20y ）= 15000
①
1.2（120x＋110y ）= 97200
②
探索与思考
如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批
每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地. 公路运价为1. 5元
置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A．73cm
B．74cm
C．75cm
D．76cm
【详解】
设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，
由第一个图形可知桌子的高度为：h-y+x=79，
由第二个图形可知桌子的高度为：h-x+y=73，
人教版七年级数学下册利用二元一次方程组解决实际问题
第1课时利用二元一次方程组解决实际问题一般步骤：（1）审：审题、弄清题意及题目中的数量关系；（2）设：设未知数，可直接设元，也可以间接设元；（3）找：找出等量关系；（4）列：列方程组，根据题目中能表示全部含义的相等关系列出方程，并组成方程组；（5）解：解方程组，并检验是否符合问题的实际意义；（6）答：写出答案，作答。
1、产品配套问题：加工总量成比例例1、用白铁皮做罐头盒。
每张铁皮可制盒身16个，或制盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。
现有150张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以刚好配套？等量关系：练1-1、现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问：用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？等量关系：练1-2、某车间有技术工人85人，平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个。
两个甲种部件和三个乙种部件配成一套，问加工甲乙部件各安排多少人才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套？等量关系：练1-3、某车间有工人56名，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓24个或螺母36个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使一个螺栓配2个螺母刚好配套？等量关系：练1-4、机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？等量关系：2、航速问题①顺流（风）：航速=静水（无风）中的速度+水（风）速；②逆流（风）：航速=静水（无风）中的速度-水（风）速；例2、一条船顺水行驶36千米和逆水行驶24千米的时间都是3小时，求船在静水中的速度与水流的速度。
练2-1、两地相距280km，一艘轮船在其间航行，顺流用了14h，逆流用了20h，那么这艘轮船在静水中的速度是。
等量关系：练2-2、一只船顺水每小时行17千米，逆水每小时行13千米，求这只船在静水中的速度和水流速度？等量关系：3、工程问题工作量=工作效率×工作时间；①工作总量已知；②工作总量未知时，一般设为“单位1”。
二元一次方程解决实际问题
解：设甲乙两人的速度分别为 xm/min、ym/min 根据题意，得
甲、乙两人在周长为 400ｍ的环形跑道上练 跑，如果相向出发，每 隔2.5min相遇一次
2.5(x+y)=400
A B
解：设甲乙两人的速度分别为 甲、乙两人在周长为400ｍ
xm/min、ym/min
的环形跑道上练跑，如果
根据题意，得
4（x+y）=240 解之得 6（x-y）=240
X=50 Y=10
答：船在静水中的速度及水流的速度 分别为50km/h、10km/h
二、商品经济问题
本息和=本金+利息 利息=本金×年利率×期
数×利息税
利息所得税=利息金额×20℅
例1李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年 后全部取出，扣除利息所得税后可得利息43.92元，已 知这两种储蓄的年利率的和为3.24℅，问这两种储蓄 的年利率各是几分之几？（注：公民应交利息所得税= 利息金额×20℅）
解:设甲乙两车的速度分别为
x Km/h、y Km/h
根据题意，得
5y=6x 解之得 X=50
4y=4x+40
Y=6o
答：甲乙两车的速度分别为
50km、60km
5y
若甲车先出发1ｈ后 乙车出发，则乙车 出发后5ｈ追上甲车
若甲车先开出30ｋｍ后乙 车出发，则乙车出发4ｈ 后乙车所走的路程比甲车 所走路程多10ｋｍ．
反思：未知数不只两个，为了解决问题方便，所以 设三个未知数以帮助解决问题，把问题割裂开来看， 仍属于二元一次方程组，在一个问题里面设三个未 知数，这本身就是一种创造性思维。
728元，且第一次购物的货款少于第二次购物的，求两次购
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二元一次方程解决实际问题列方程(组)解应用题的一般步骤1、审：有什么，求什么，干什么；2、设：设未知数，并注意单位；3、找：等量关系；4、列：用数学语言表达出来；5、解：解方程(组)6、验：检验方程(组)的解是否符合实际题意．7、答：完整写出答案(包括单位)．列方程组思想：找出相等关系“未知”转化为“已知”.有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.列二元一次方程----解决实际问题类型：（1）行程问题：（2）工程问题;（3）销售中的盈亏问题;（4）储蓄问题;（5）产品配套问题;（6）增长率问题;（7）和差倍分问题;（8）数字问题; （9）浓度问题; （10）几何问题; （11）年龄问题;（12）优化方案问题;（13）分配问题（1）行程问题三个基本量的关系：路程s=速度v×时间t时间t＝路程s÷速度V速度V＝路程s÷时间t（2）三大类型：①相遇问题：快行距＋慢行距＝原距②追及问题：快行距－慢行距＝原距③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度顺速–逆速 = 2水速；顺速 + 逆速 = 2船速顺水的路程 = 逆水的路程甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。
【变式】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。
一列快车长168米，一列慢车长184米，如果两车相向而行，那么两车错车需4秒，如果同向而行，两车错车需16秒钟，求两车的速度（2）工程问题三个基本量的关系：工作总量＝工作时间×工作效率；工作时间＝工作总量÷工作效率；工作效率＝工作总量÷工作时间甲的工作量＋乙的工作量＝甲乙合作的工作总量，注：当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”。
一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元(2)已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少总结升华：工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地，将工作总量设为1，也可设为a，需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析。
【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司请你说明理由.甲、乙2个工人同时接受一批任务，上午工作的4小时中，甲用了小时改装机器以提高工效，因此，上午工作结束时，甲比乙少做40个零件；下午2人继续工作4小时后，全天总计甲反而比乙多做420个零件，问这一天甲、乙各做多少个零件（3）销售中的盈亏问题;利润问题：利润=售价—进价，利润率=（售价—进价）÷进价×100%有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。
价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：求该商场购进A、B两种商品各多少件（4）储蓄问题;银行利率问题：免税利息=本金×利率×时间，税后利息=本金×利率×时间—本金×利率×时间×税率小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为％的教育储蓄，另一种是年利率为％的一年定期存款，一年后可取出元，问这两种储蓄各存了多少钱（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税总结升华:我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为%.三年后同时取出共得利息元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元、李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税后可得利息元。
已知这两种储蓄的年利率的和为％，问这两种储蓄的年利率各是多少（注：公民应交利息所得税＝利息金额20％（5）产品配套问题;产品配套问题：加工总量成比例某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套总结升华：生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键. 【变式】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿300条。
现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌能配多少张方桌（6）增长率问题;增长率问题：原量×（1＋增长率）=增长后的量原量×（1＋减少率）=减少后的量某工厂去年的利润（总产值—总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元（1）若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元【变式2】某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加%，农村人口增加%，这样全市人口增加1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。
（7）和差倍分问题;和差倍总分问题：较大量=较小量+多余量，总量=倍数×倍量爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的倍、倍，恰好按时完成了这项任务．求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶【变式】游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。
如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗（8）数字问题;首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。
【变式】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数【变式】某三位数，中间数字为0，其余两个数位上数字之和是9，如果百位数字减1，个位数字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。
甲、乙两人做加法，甲将其中一个加数后面多写了一个0，所以得和是2342，乙将同一个加数后面少写了一个0，所得和是65，求原来的两个加数。
（9）浓度问题;溶液×浓度=溶质现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3∶7，乙种酒精溶液的酒精与水的比是4∶1，今要得到酒精与水的比为3∶2的酒精溶液50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少总结升华：解这类问题常用的相等关系是：混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等。
有时候需要设间接未知数，有时候需要设辅助未知数。
【变式】一种35%的新农药，如稀释到%时，治虫最有效。
用多少千克浓度为35%的农药加水多少千克，才能配成%的农药800千克（10）几何问题;如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少（11）年龄问题;今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.甲、乙两人不知其年龄，只知道甲像乙现在的年龄时，乙只有2岁，又知等乙长到甲现在这么大时，甲已经是38岁了，问甲、乙现在的年龄各是多少（12）优化方案问题.某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元. 当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨；如果进行细加工，每天可加工6吨. 但两种加工方式不能同时进行. 受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成你认为选择哪种方案获利最多为什么某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。
(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案； (2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案某牛奶加工厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2000元。