圆锥曲线的切线及切点弦方程

x2 y 2 对于圆锥曲线 2 ± 2 = 1，过点P(m, 0)，作两条切线， a b 切点为A，B，求证直线AB恒过定点
证：设A( x1 , y1），B( x2 , y2 )
x1 x y1 y 则过A点的切线方程l1： 2 ± 2 = 1 a b
x2 x y 2 y 则 过 B点 的 切 线 方 程 l2： 2 ± 2 = 1 a b
2
γ
圆锥曲线的切点弦方程
◆ 设P ( x0 , y0 )为圆x 2 + y 2 = r 2外一点，则切点弦的方程为：
xx0 + yy0 = r 2。
x2 y 2 ◆ 设P( x0 , y0 )为椭圆 2 + 2 = 1外一点，过该点作椭圆的两条切线， a b xx0 yy0 切点为A，B则弦AB的方程为：
解：设P点坐标为P（x0 ,y0）,所以切点弦所在直线方程为：
y
xx0 + 2 yy0 = 1.
1 1 所以M ( ,0),N(0, ) x0 2y 0
SOMN 1 = 4x y 0
0
P
A O
N
B
又 Q 4 x0 + 3 y0 = 12 ≥ 4 3x y
0
0
3 ∴ x y 0 ≤ 3,当且仅当4 x0 = 3 y0，即x0 = ，y0 = 2 0 2
此时SOMN 1 3 = ，直线AB方程为 x + 4 y = 1 12 2
y P
A O
N
B
M
例题4 例题4：
已知 M ： x 2 +(y-2)2 = 1, Q 是 x 轴 上 的 动 点 ， QA, M 于 A,B 两 点 。 QB分 别 切
4 2 （ 1） ： 如 果 AB = ， 求 直 线 M Q的 方 程 ； 3 （ 2） ： 求 动 弦 AB 的 中 点 的 轨 迹 方 程 。
xx0 yy0 + 2 =1 2 a b
x2 y 2 设 3： P ( x0 , y0 )为双曲线 2 − 2 = 1上的点，则过该点的切线方程为： ： a b
xx0 yy0 − 2 =1 2 a b 2 4： P ( x0 , y0 )为抛物线y = 2 px上的点，则过该点的切线方程为： ： 设
圆锥曲线的切线及切点弦方程
近几年， 近几年，圆锥曲线考试的热点为直线与圆锥曲线相 切或相交问题， 切或相交问题，直线与圆锥曲线交于两点时弦长问 题或弦上某点（或中点）的轨迹问题，焦点弦问题， 题或弦上某点（或中点）的轨迹问题，焦点弦问题， 或弦与其它点构成的三角形、 或弦与其它点构成的三角形、四边形面积或面积的 最值等问题。 最值等问题。
．
PF1 ⊥ AB
Y
A P B F1 O F2
X
例题1 例题1： 如图，设抛物线 : y = x 2 的焦点为F，动点P在直线 C l : x − y − 2 = 0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB， 且与抛物线C分别相切于A、B两点.求△APB的重心G的轨迹方程.
2 ( x , x0 )和 ( x1 , x12 )(( x1 ≠ x0 ) 解：设切点A、B坐标分别为
因为P在直线l1和直线l2上，所以 mx1 mx = 1和 22 = 1 a2 a
P
Y
A F1 H B O F2
X
a2 a2 所以直线AB的方程为x = ，即恒过定点H ( , 0) m m
例题3 例题3：
已知椭圆x 2 + 2 y 2 = 1, P是在直线4 x + 3 y = 12上一点， 由向已知椭圆作两切线，切点分别为A,B，问 当直线AB与两坐标轴围成的三角形OMN面积最小， 最小值为多少？
a
l2
的倾斜角为
γ.
b
证明: 证明 点
的唯一交点； P 是椭圆与直线 l1的唯一交点；
γ
复习： 复习：
过圆x 2 + y 2 = r 2上一点M ( x0 , y0 )的切线方程: 1： ：
xx0 + yy0 = r 。
2
x2 y 2 2： P ( x , y )为椭圆 ： 设 0 0 + 2 = 1上的点，则过该点的切线方程为： 2 a b
解：设Q(t， ，AB的中点为N, AB = 0) Q
2
4 2 1 ,∴ MN = 3 3
M A N
由射影定理 MQ = 3， t + 4 = 9 ∴ ∴ t= ± 5
B
∴ 直线MQ的方程为 ± 2x+5y-2 5 = 0
Q
(2)设Q(t， ，则直线AB的方程为tx-2(y-2)=1 0)
x y 直线MQ的方程为 + = 1, t 2
t 2t + 6 交点N的坐标为（ 2 , 2 ）, t +4 t +4
2
B M A Q N
x= 2 t +4 ∴ 点 N的参数方程为 2t2 + 6 y = t2 + 4
t
Байду номын сангаас
7 ∴点N的轨迹方程为x + y − y + 3 = 0 2
2 2
思考题： 思考题：
已知P是直线l：y = x+3上一点，过点P作抛物线 y 2 = 2 x的两条切线，切点分别为A,B.求∆PAB面积 的最小值。
yy0 = p( x + x0 )
圆锥曲线切线的几个性质
性质1 性质 过椭圆（双曲线，抛物线）的准线与其长（实）轴所在直线 的交点作椭圆（双曲线，抛物线）的两条切线，则切点弦长等于该 椭圆（双曲线，抛物线）的通径．
Y
A
A1 F1 O F2 A2X
B
性质2 过椭圆（双曲线，抛物线）的焦点F1的直线交椭圆 性质 （双曲线，抛物线）于A，B两点，过A，B两点作椭圆（双曲 线，抛物线）的切线交于点P，则P点的轨迹是焦点F1的对应 的准线，并且
a
2
+
b
2
=1
x2 y 2 ◆ 过P( x0 , y0 )为双曲线 2 − 2 = 1的两支作两条切线，则切点弦方程为： a b
xx0 yy0 − 2 =1 2 a b
◆ 设P( x0 , y0 )为抛物线y2 = 2 px开口外一点，则切点弦的方程为：
yy0 = p( x + x0 )
例题2 例题2：
y l B P x A
y 0 + y1 + y P x + x + x0 x1 ( x0 + x1 ) − x0 x1 yG = = = = 3 3 3
4xP − y p
2
3
,
所以
2 y p = −3 y G + 4 x G
由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：
1 x − (−3 y + 4 x ) − 2 = 0, 即y = (4 x 2 − x + 2). 3
09年安徽高考试题 09年安徽高考试题
x2 y 2 x0 点 P( x0 , y0 )在椭圆 a 2 + b2 = 1(a > b > 0) 上，
= a cos β , y0 = b sin β , β ∈ (0, ) 2
π
直线 直线
垂直， 为坐标原点， l2 与直线 l1 : xx20 + yy0 = 1垂直， 为坐标原点，直线 op的倾斜角为 α， O 2
∴切线AP的方程为： 切线BP的方程为： 解得P点的坐标为：
2 2 x 0 x − y − x 0 = 0;
2 x1 x − y − x12 = 0;
x0 + x1 xP = , y P = x0 x1 2
xG = x0 + x1 + x P = xP 3
2
所以△APB的重心G的坐标为：
2 0 2 1