北师大版九年级数学下册第二章：二次函数 基础练习题(word版,无答案)
2.1二次函数基础练习
一、选择题
1．将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝x2+5，下列叙述正确的是（）
A．向上平移5个单位B．向下平移5个单位
C．向左平移5个单位D．向右平移5个单位
2．抛物线y＝2x2﹣3的顶点在（）
A．第一象限B．第二象限C．x轴上D．y轴上
3．关于y＝x2，y＝x2，y＝3x2，的图象，下列说法中不正确的是（）
A．顶点相同B．对称轴相同
C．图象形状相同D．最低点相同
4．二次函数y＝x2+bx+1的图象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位后对应的函数表达式为y＝x2+c，则（）
A．b＝4，c＝﹣2 B．b＝﹣4，c＝0 C．b＝4，c＝﹣4 D．b＝﹣4，c＝﹣4 5．若二次函数y＝x2﹣mx+1的图象的顶点在x轴上，则m的值是（）
A．2 B．﹣2 C．0 D．±2
6．抛物线y＝2x2经过平移得到y＝2（x+1）2，则这个平移过程正确的是（）A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位
C．向上平移1个单位D．向下平移1个单位
7．如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为（）
A．B．
C．D．
8．二次函数y＝2x2﹣4x+5的图象可由y＝2x2的图象（）得到
A．先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度
C．先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
D．先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①a＜0；②b＜0；
③c＞0；④2a+b＝0；⑤a﹣b+c＜0，其中正确的个数是（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①a＜0；②b＞0；
③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；其中结论正确的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．抛物线y＝﹣2（x﹣3）2+5的顶点坐标是。
12．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点，若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为．
13．如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1与a2互为相反数，b1与b2相等，c1与c2互为倒数，那么称这两个函数为“亚旋转函数”．请直接写出函数y＝﹣x2+3x﹣2的“亚旋转函数”为．
14．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示，对于下列说法：
①abc＜0；②当﹣1＜x＜3时，y＞0；③a﹣b+c＜0；④3a+c＜0．
其中判断正确的是（说法正确的序号都填上）．
三、解答题
15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣3（m＞0）与x轴的交点为A，B．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，求m的取值范围；
（3）若抛物线在﹣1＜x＜0位于x轴下方，在3＜x＜4位于x轴上方，求m的值．
16．如图所示，抛物线y＝2x2+2m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若∠ACB＝90°，求抛物线的解析式．
17．在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称之为“理想点”，例
如点（﹣2，﹣4），（1，2），（3，6）…都是“理想点”，显然这样的“理想点”有无数多个．
（1）若点M（2，a）是二次函数y＝﹣ax2+ax﹣2图象上的“理想点”，求这个二次函数的表达式；
（2）函数y＝ax2+ax﹣1（a为常数，a≠0）的图象上存在“理想点”吗？请说明理由．18．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）a0；
（2）b0；
（3）b2﹣4ac0；
（4）y＜0时，x的取值范围是．
19．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点P在抛物线的对称轴上，当△ACP的周长最小时，求出点P的坐标；
（3）若点M为抛物线第四象限内一点，连接BC、CM、BM，求当△BCM的面积最大时点M的坐标．。
2020春北师大版九年级数学下册第二章二次函数2二次函数的图像与性质练习
2.2 二次函数的图象与性质第1课时二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质1.填空：（1）y＝x2的图像是；开口向；对称轴是；顶点坐标是；（2）y＝-x2的图像是；开口向；对称轴是；顶点坐标是；（3）在抛物线y＝x2的对称轴左侧y随x的减小而；而在对称轴的右侧是y随着x 的增大而；此时函数y＝x2当x＝时的值最是.（4）在抛物线y＝-x2的对称轴左侧y随x的减小而；而在对称轴的右侧是y随着x 的增大而；此时函数y＝x2当x＝时的值最是.2.如图，⊙O的半径为2．C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=﹣x2的图象，则阴影部分的面积是_________ ．3.已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=x与y=x2的图象有可能是（）A．B．C．D．4.已知正方形的边长为ccm，面积为Scm2.(1)求S与c之间函数关系式；(2)画出图象；(3)根据图象，求出S ＝1cm 2时，正方形的边长； (4)根据图象，求出c 取何值时，S ≥4cm 2.2.2 二次函数的图象与性质第2课时 二次函数y =ax 2和y =ax 2+c 的图象与性质1.抛物线y=-3x 2+5的开口向________,对称轴是_______,顶点坐标是________,顶点是最_____点,所以函数有最________值是_____.2.抛物线y=4x 2-1与y 轴的交点坐标是_________,与x 轴的交点坐标是_____. 3.把抛物线y=x 2向上平移3个单位后,得到的抛物线的函数关系式为_______. 4.抛物线y=4x 2-3是将抛物线y=4x 2,向_____平移______个单位得到的.5.抛物线y=ax 2-1的图像经过(4,-5),则a=_________. 6.抛物线y=－3(2x 2－1)的开口方向是_____，对称轴是_____.7.在同一坐标系中，二次函数y=－21x 2，y=x 2，y=－3x 2的开口由大到小的顺序是______. 8.在同一坐标系中，抛物线y ＝4x 2,y ＝41x 2,y ＝-41 x 2的共同特点是( )A.关于y 轴对称，抛物线开口向上;B.关于y 轴对称，y 随x 的增大而增大 B.关于y 轴对称，y 随x 的增大而减小;D.关于y 轴对称，抛物线顶点在原点. 9.如图，函数y ＝ax 2与y ＝-ax+b 的图像可能是( ).10.求符合下列条件的抛物线y=ax 2-1的函数关系式: (1)通过点(-3,2);(2)与y=12x 2的开口大小相同,方向相反; (3)当x 的值由0增加到2时,函数值减少4.11..已知抛物线y=mx 2+n 向下平移2个单位后得到的函数图像是y=3x 2-1,求m,n 的值.2.2 二次函数的图象与性质第3课时 二次函数y =a (x -h )2的图象与性质1.把二次函数2x y =的图象向右平移3个单位长度，得到新的图象的函数表达式是（ ）A. 32+=x yB. 32-=x yC. 2)3(+=x yD. 2)3(-=x y2.抛物线2)3(2--=x y 的顶点坐标和对称轴分别是（ ） A.3),0,3(-=-x 直线 B. 3),0,3(=x 直线 C. 3),3,0(-=-x 直线 D. 3),3,0(-=x 直线3.已知二次函数2)1(3+=x y 的图象上有三点 ),2(),,2(),,1(321y C y B y A - ，则321,,y y y 的大小关系为（ ）A.321y y y >>B. 312y y y >>C. 213y y y >>D. 123y y y >>4.把抛物线2)1(6+=x y 的图象平移后得到抛物线26x y =的图象，则平移的方法可以是（ ）A.沿y 轴向上平移1个单位长度B.沿y 轴向下平移1个单位长度C.沿x 轴向左平移1个单位长度D.沿x 轴向右平移1个单位长度5.若二次函数12+-=mx x y 的图象的顶点在x 轴上，则m 的值是（ ）A. 2B. 2-C.0D. 2± 6.对称轴是直线2-=x 的抛物线是（ ）A.22+-=x yB.22+=x y C.2)2(21+=x y D.2)2(3-=x y 7.对于函数2)2(3-=x y ，下列说法正确的是（ ）A. 当0>x 时，y 随x 的增大而减小B. 当0<x 时，y 随x 的增大而增大C. 当2>x 时，y 随x 的增大而增大D. 当2->x 时，y 随x 的增大而减小8.二次函数132+=x y 和2)1(3-=x y ，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y 轴，顶点坐标都是原点（0,0）； ③当0>x 时，它们的函数值y 都是随着x 的增大而增大； ④它们的开口的大小是一样的. 其中正确的说法有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个9.抛物线2)1(3--=x y 的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 。
(完整word版)北师大版九年级数学下册第二章二次函数练习题
第二章二次函数1.对于二次函数y = —（x — 1）2+ 2的图象与性质,下列说法正确的是（ ）A. 对称轴是直线x = 1,最小值是2B. 对称轴是直线x = 1,最大值是2C .对称轴是直线 x =— 1,最小值是2D .对称轴是直线x =—1,最大值疋22.已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图A . b > 0, c > 0B . b > 0, c < 0C . b < 0, c < 0D . b < 0, c > 03.将如图2— Y — 2所示的抛物线1个单位长度，再向上平移3个单位长度0;② c > 0;③ b 2— 4ac > 0;④—0,正确的是（ ）A .①②B .②④C .①③D .③④4已知二次函数 y = ax 2 + bx + c （a ^ 0）的图象如图2 — Y — 3所示，以下四个结论：①a >图 2 — Y —3图 2 — Y —45. 如图2 —Y—4,抛物线y = ax2+ bx + c(a^ 0)的对称轴为直线x = - 1，给出下列结论：①b2= 4ac;②abc> 0 :③a>c;④4a—2b+ c> 0,其中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6. ______________________________________________________________ 若抛物线y= x2—6x + m与x轴没有交点，则m的取值范围是 _______________________________ .7. __________________________ 如图2 —Y—5,若抛物线y= ax2+ bx + c上的P(4, 0), Q 两点关于它的对称轴直线x= 1对称，则点Q的坐标为.8. 已知函数y=—(x —1)2的图象上两点A(2 , y1), B(a , y2),其中a> 2,贝U y1与y图2—Y—6的大小关系是y1 _____________ y2(填或“=”).9. 如图2—Y—6,图中二次函数的表达式为y = ax2+ bx + c(a^ 0),则下列命题中正确的有________ (填序号).①abc>0:② b2v 4ac;③4a—2b+ c> 0;④ 2a+ b> c.10. 如图2 —Y—7是抛物线y1= ax2+ bx + c(a* 0)的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1 ,3),与x轴的一个交点是B(4 , 0),直线y2= mx + n(m^ 0)与抛物线交于A , B两点，下列结论：图 2 —Y—7①abc>0;②方程ax2+ bx+ c= 3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是(一1, 0);④当1 <x v 4时，有y2>y i；⑤x(ax + b)< a+ b,其中正确的结论是 ______________ .(只填序号)11. 已知函数y=—x2+ (m—1)x + m(m为常数).(1) 该函数的图象与x轴公共点的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 1 或2⑵求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y= (x + 1)2的图象上；(3)当一2< m W 3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围.12. 某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元•市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元/个)有如下关系：y=—x+ 60(30W xW 60) •设这种双肩包每天的销售利润为w元.(1) 求w与x之间的函数关系式；(2) 这种双肩包销售单价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3) 如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元/个，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少？13.随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽. 小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池,在水池中心竖直安装了一根咼2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱3 / 11在与池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米.(1)请你建立适当的直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数表达式;(2) 求出水柱的最大高度是多少.14.我们知道，经过原点的抛物线可以用y= ax2+ bx(a丰0)表示，对于这样的抛物线：(1) 当抛物线经过点(一2, 0)和(—1, 3)时，求抛物线的表达式；(2) 当抛物线的顶点在直线y=—2x上时，求b的值；(3) 如图2—Y—9,现有一组这样的抛物线，它们的顶点A1, A2,…，A n在直线y=—2x上，横坐标依次为—1, —2, —3,…，—n(n为正整数，且n< 12),分别过每个顶点作X轴的垂线,垂足记为B1, B2,…，B n,以线段A n B n为边向左作正方形A n B n C n D n,如果这组抛物线中的某一条经过点D n,求此时满足条件的正方形A n B n C n D n的边长.图 2 —Y—9详解详析1. B2.B ［解析］•••二次函数y = ax 2 + bx + c 图象的开口向下，/• a v 0.•••二次函数图象与y 轴交于负半轴，••• c v 0.• •对称轴为直线• b > 0•故选 B.3. C ［解析］由图象，得原抛物线的表达式为 y = 2x 2— 2.由平移规律，得平移后所得抛物线的表达式为 y = 2(x — 1)2+ 1,故选C.4.C ［解析］••抛物线开口向上，• a >0,结论①正确；••抛物线与y 轴的交点在y 轴负半轴， • c v 0,结论②错误；••抛物线与x 轴有两个交点， • b 2— 4ac >0,结论③正确；••抛物线的对称轴在 y 轴右侧，故选C.5. C ［解析］••抛物线与x 轴有2个交点， • b 2— 4ac >0, •①错误； ••抛物线开口向上，• a > 0. ••抛物线的对称轴在 y 轴的左侧， • a , b 同号，• b > 0.••抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，• c > 0, • abc > 0, •②正确；b门2a >0,结论④错误.x=—1 时，y v 0,即a—b + c v 0.北师大版九年级数学下册第二章二次函数练习题b = 2a ,a — 2a + c v 0,即 a > c ,•••③正确；•••抛物线的对称轴为直线 x =— 1,• - x =— 2和x = 0时的函数值相等，即x =— 2时，y > 0, •• 4a — 2b + c > 0, ••④正确. •••正确的有②③④，3个， 故选C. 6.m>9 ［解析］由△= b 2— 4ac = (— 6)2— 4X 1 x m<0,解得 m>9.a + 47. (— 2, 0)［解析］设 Q(a , 0),由对称性知，一厂=1, • a =— 2•即 Q( — 2, 0). & > ［解析］•••函数y =— (x — 1)2,图象的对称轴是直线 x = 1,开口向下，•••当x > 1时，y 随x 的增大而减小.T 函数图象上两点 A(2, y 1), B(a , y 2), a > 2,•- y 1 > y 2.故答案为：〉• 9.①③④ ［解析］•••抛物线开口向上，对称轴在y 轴右侧，与y 轴交于负半轴，• a > 0, ——> 0, c v 0,2a• b v 0, • abc >0,①正确； •••抛物线与x 轴有两个交点， • b 2— 4ac >0,即 b 2>4ac ,②错误；当 x = — 2 时，y = 4a — 2b + c > 0,③正确;•/ 0v —••• 2a + b > 0> c ,④正确.•.•对称轴为直线 x =—1 ,2a 一1故答案为：①③④•10. ②⑤［解析］根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可.由图象可知：a v 0, b> 0, c> 0,故abc v 0,故①错误；观察图象可知，抛物线与直线y= 3只有一个交点，故方程ax1 2+ bx+ c= 3有两个相等的实数根，故②正确；根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是(—2, 0),故③错误；观察图象可知，当 1 v x v 4时，有y2V y i,故④错误；因为当x= 1时，y i有最大值,所以ax2+ bx+ c< a+ b + c,即x(ax+ b)w a+ b,故⑤正确.所以②⑤正确.故答案为②⑤•11. ［解析］(1)表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果；⑵将二次函数表达式配方变形后，判断其顶点坐标是否在已知函数图象上即可；⑶根据m的范围确定出顶点纵坐标的范围即可.解：(1)•••函数y=—x2+ (m—1)x+ m(m 为常数),• A = (m—1)2+ 4m= (m+ 1)2> 0,则该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2•故选D.2m —1 2( m+ 1) 2»甘"十」一，m —1⑵证明：y= —x2+ (m —1)x+ m = —(x——)2+ 4 ，其图象顶点坐标为匕 ,).m—1 …m —1 c （m +1）2把x = 2代入y=（x+ 1）2,得y = （一+ 1）2= 4 ,故不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y= (x+ 1)2的图象上.2、(m+ 1)⑶设z= 4 ,当m=—1时，z有最小值为0;当m v—1时，z随m的增大而减小；当m>—1时，z随m的增大而增大.1当m=— 2 时，z= 4；当m = 3 时，z= 4.m+ 1) 2贝y当—2< m w 3时，该函数图象的顶点纵坐标z的取值范围是O w z w 4.12. 解：⑴w = (x—30)y= (x—30)( —x+ 60) = —x2+ 90x—1800.所以w与x之间的函数关系式为w = —x2+ 90x—1800(30 w x w 60).(2) w = —x2+ 90x—1800=—(x—45)2+ 225.•••—1<0, •••当x = 45时，w有最大值为225.答：销售单价定为45元/个时，每天的销售利润最大，最大利润为225元.(3) 当w = 200 时，可得方程—(x—45)2+ 225 = 200.解得X1= 40, x2= 50.•/ 50 >42,• X2= 50不符合题意，应舍去.答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元/个.13. 解：(1)所建直角坐标系不唯一，如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.由题意可设抛物线的表达式为y= a(x—1)2+ h(0w x w 3).抛物线过点(0, 2)和(3, 0),代入抛物线表达式可得_ 24a+ h = 0, a=—3，解得a+ h= 2. 8h= 3.2 8 2 4•••水柱抛物线的表达式为y=—3(x—1)2+ 3(0w x w 3).化为一般式为y= —~x2+ §x +2(0 w x w 3).2 o 8 8(2)由⑴知抛物线的表达式为y= —3(x—1)2+ 3(0w x w 3).当x= 1时，y最大=孑8•••水柱的最大高度为8米.14. 解：⑴•••抛物线 y = ax 2 + bx 经过点(一2, 0)和(-1, 3), ⑵T 抛物线y = ax 2+ bx 的顶点坐标是且该点在直线y =— 2x 上,4a =—2 % (-2a ).-a 工 0, - - — b 2= 4b ,解得 b i = — 4, b 2= 0.⑶这组抛物线的顶点 A i , A 2,…，A n 在直线y = — 2x 上， 由⑵可知，b =— 4或b = 0.① 当b = 0时，抛物线的顶点在坐标原点，不合题意，舍去; ② 当b =— 4时，抛物线的表达式为 y = ax 2 — 4x.由题意可知，第n 条抛物线的顶点为 A n ( — n , 2n),贝V D n (— 3n , 2n). T 以A n 为顶点的抛物线不可能经过点 D n ,设第(n + k)(k 为正整数)条抛物线经过点D n , 此时第(n + k)条抛物线的顶点坐标是 A n +k ( — n — k , 2n + 2k),2•••第(n +k )条抛物线的表达式为y =-不广4x.4a — 2b = 0, a — b = 3, 解得a = 一 3,b = — 6, •抛物线的表达式为 y =— 3x 2— 6x.2a =—n—k , b 2 (n + k ) 2n +T D n(—3n, 2n)在第(n + k)条抛物线上,2 4 ••• 2n=- x (—3n)2—4X (-3n),解得n. n+ k 5T n, k为正整数，且n < 12,•n i = 5, n2 = 10.当n = 5 时，k= 4, n + k= 9;当n = 10 时，k= 8, n+ k= 18> 12(舍去),• D5(—15, 10),•••正方形的边长是10.。
北师大版九年级数学下册第二章 二次函数 复习同步练习题
2020-2021学年北师大版九年级数学下册第二章二次函数复习同步练习题A组(基础题)1．关于抛物线y＝x2－4x＋4，下列说法错误的是( )A．开口向上B．与x轴只有一个交点C．对称轴是直线x＝2D．当x＞0时，y随x的增大而增大2．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋bx＋b(a≠0)与一次函数y ＝ax＋b的图象可能是( )3．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)．(1)方程ax2＋bx＋c＝0的解为_______；(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为_______；(3)不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为_______；4．将抛物线y＝(x－1)2－5关于y轴对称，再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是_______；5．如图，用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长14 m，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是_______；6．已知抛物线y＝－x2－2x＋3，当－2≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围为_______；7．在画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下：(1)求原二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的表达式；(2)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x_______时，y的值随x的值增大而增大；(3)若关于x的方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数根，求k的取值范围．B组(中档题)8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①4a＋2b＋c＞0；②abc＞0；③b＜a＋c；④2c＜3b；⑤a＋b＞m(am＋b)(m≠1的实数)．其中正确的结论是_______．9．已知二次函数y＝ax2＋2ax＋3a2＋3(其中x是自变量)，当x≥2时，y 随x的增大而增大，且－2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为_______；10．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝9 2；③足球被踢出9 s时落地；④足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m.其中正确的结论是_______．11．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2a2x(a≠0)的对称轴与x轴交于点P.(1)求点P的坐标(用含a的代数式表示)；(2)记函数y＝－x＋2(－1≤x≤2)的图象为图形M，若抛物线与图形M恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．12．某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y(件)与销售单价 x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．(1)该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式为_______；(2)若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大？最大利润是多少？(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？C 组(综合题)13．如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝12x ＋12相交于A(－1，0)，B(4，m)两点，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交y 轴于点C(0，－32)，交x 轴正半轴于点D ，抛物线的顶点为M.(1)求抛物线的表达式及点M 的坐标；(2)设P 为直线AB 下方的抛物线上一动点，当△PAB 的面积最大时，求此时△PAB 的面积及点P 的坐标；(3)Q 为x 轴上一动点，N 是抛物线上一点，当△QMN ∽△MAD(点Q 与点M 对应)时，求点Q 的坐标．参考答案2020-2021学年北师大版九年级数学下册第二章二次函数复习同步练习题A组(基础题)1．关于抛物线y＝x2－4x＋4，下列说法错误的是(D)A．开口向上B．与x轴只有一个交点C．对称轴是直线x＝2 D．当x＞0时，y随x的增大而增大2．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋bx＋b(a≠0)与一次函数y ＝ax＋b的图象可能是(C)3．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)．(1)方程ax2＋bx＋c＝0的解为x1＝1，x2＝3；(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为x＜1或x＞3；(3)不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为1＜x＜3．4．将抛物线y＝(x－1)2－5关于y轴对称，再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是(2，－5)．5．如图，用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长14 m，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是112m2.6．已知抛物线y＝－x2－2x＋3，当－2≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围为－5≤y≤4．7．在画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下：y甲… 6 3 2 3 6 …乙写错了常数项，列表如下：x …－1 0 1 2 3 …(1)求原二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的表达式；(2)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x＞－1时，y的值随x的值增大而增大；(3)若关于x的方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数根，求k的取值范围．解：(1)由表格易得y甲＝x2－2x＋3，y乙＝x2＋2x－1.∵甲写错了一次项的系数，乙写错了常数项，∴a＝1，b＝2，c＝3.∴y＝x2＋2x＋3.(3)方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数根，即x2＋2x＋3－k＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4－4(3－k)＞0.∴k＞2.B组(中档题)8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①4a＋2b＋c＞0；②abc＞0；③b＜a＋c；④2c＜3b；⑤a＋b＞m(am＋b)(m≠1的实数)．其中正确的结论是①④⑤．9．已知二次函数y＝ax2＋2ax＋3a2＋3(其中x是自变量)，当x≥2时，y 随x的增大而增大，且－2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为1．10．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝9 2；③足球被踢出9 s时落地；④足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m.其中正确的结论是②③．11．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2a2x(a≠0)的对称轴与x轴交于点P.(1)求点P的坐标(用含a的代数式表示)；(2)记函数y＝－x＋2(－1≤x≤2)的图象为图形M，若抛物线与图形M恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．解：(1)∵抛物线y＝ax2－2a2x的对称轴是直线x＝－－2a22a＝a，∴点P的坐标是(a，0)．(2)由题意可知图形M为线段AB，A(－1，3)，B(2，0)．当抛物线经过点A时，则a＋2a2＝3，解得a＝1或－3 2；当抛物线经过点B时，则4a－4a2＝0，解得a＝1或0(舍)，如图1，当a＝－32时，抛物线与图形M恰有一个公共点．如图2，当a＝1时，抛物线与图形M恰有两个公共点．结合函数的图象可知，当a≤－32或0＜a＜1或a＞1时，抛物线与图形M恰有一个公共点．12．某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y(件)与销售单价 x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．(1)该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝－2x＋160；(2)若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大？最大利润是多少？(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？解：(2)由题意，得w＝(x－30)(－2x＋160)＝－2(x－55)2＋1 250.∵－2＜0，∴当x＜55时，w随x的增大而增大．又∵30≤x≤50，∴当x＝50时，w有最大值，w最大＝1 200.故销售单价定为50元，才能使销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为1 200元．(3)当w＝800时，(x－30)(－2x＋160)＝800，解得x1＝40，x2＝70.∵w ≥800，∴结合二次函数w ＝(x －30)(－2x ＋160)图象可得40≤x ≤70. ∴每天的销售量y ＝－2x ＋160≥20. ∴每天的销售量最少应为20件．C 组(综合题) 13．如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝12x ＋12相交于A(－1，0)，B(4，m)两点，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交y 轴于点C(0，－32)，交x 轴正半轴于点D ，抛物线的顶点为M.(1)求抛物线的表达式及点M 的坐标；(2)设P 为直线AB 下方的抛物线上一动点，当△PAB 的面积最大时，求此时△PAB 的面积及点P 的坐标；(3)Q 为x 轴上一动点，N 是抛物线上一点，当△QMN ∽△MAD(点Q 与点M 对应)时，求点Q 的坐标．解：(1)把点B(4，m)代入y ＝12x ＋12中，得m ＝52，∴B(4，52)．把点A(－1，0)，B(4，52)，C(0，－32)代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝52，c ＝－32.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1，c ＝－32.∴抛物线的表达式为y ＝12x 2－x －32.∵y ＝12x 2－x －32＝12(x －1)2－2，∴点M 的坐标为(1，－2)．(2)如图1所示，过点P 作y 轴的平行线交AB 于点H ，设点P 的坐标为(m ，12m 2－m －32)，则H(m，12m＋12)，∴PH ＝12m＋12－(12m2－m－32)＝－12m2＋32m＋2.∵点P为直线AB下方的抛物线上一动点，∴－1＜m＜4.∴S△PAB ＝12×HP·(xB－xA)＝12×(－12m2＋32m＋2)×5＝－54(m－32)2＋12516.∵－54＜0，∴当m＝32时，S△PAB最大，最大为12516，此时点P(32，－158)．(3)如图2所示，在y＝12x2－x－32中，令y＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴D(3，0)．∵M(1，－2)，A(－1，0)，∴△AMD为等腰直角三角形．∵△QMN∽△MAD，∴△QNM为等腰直角三角形，且∠MQN＝90°，MQ＝NQ.设点N的坐标为(n，12n2－n－32)，易证：△QEN≌△MFQ，∴FQ＝EN＝2，MF＝EQ＝12n2－n－32.∴12n2－n－32＋1＝n＋2.解得n＝5或－1(舍)．∴点Q的坐标为(7，0)．根据对称性可知，点Q的坐标为(－5，0)时也满足条件，∵△ADM是等腰直角三角形，∴当点Q是AD的中点，N与A或D重合时，△QMN∽△MAD，此时Q(1，0)．综上所述，点Q的坐标为(7，0)或(－5，0)或(1，0)．。
北师大版初三数学二次函数练习题
二次函数的图像与性质同步检测一、选择题1．抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（ ）A ．（-1，2）B ．（-1，-2）C ．（1，2）D ．（1，-2）2．函数k y x=与2y kx k =-+（k ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A ． B.C ．D.3．在下列二次函数中，其图象对称轴为x =-2的是（ ）A ．22y x =+（）B ．222y x =-C ．222y x =--D ．222y x =-（） 4．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，下列结论：①二次三项式2ax bx c ++的最大值为4；②4a +2b +c ＜0；③一元二次方程21ax bx c ++=的两根之和为-1；④使y ≤3成立的x 的取值范围是x ≥0．其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．在同一直角坐标系中，函数2y kx k =-和y =kx +k （k ≠0）的图象大致是（ ）A. B. C.D.6．如图图形中，阴影部分面积相等的是（ ）A ．甲 乙B ．甲 丙C ．乙 丙D ．丙 丁7．王芳将如图所示的三条水平直线1m ，2m ，3m 的其中一条记为x 轴（向右为正方向），三条竖直直线4m ，5m ，6m 的其中一条记为y 轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了抛物线263y ax ax =--，则她所选择的x 轴和y 轴分别为（ ）A ．1m ，4mB ．2m ，3mC ．3m ，6mD ．4m ，5m8．已知抛物线y =ax 2+bx +c 开口向下，顶点坐标（3，-5），那么该抛物线有（ ） A ．最小值-5 B ．最大值-5 C ．最小值3 D ．最大值39．抛物线222y x x =-+-经过平移得到2y x =-，平移方法是（ ）A ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位D ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位10．若（2，5）、（4，5）是抛物线2y ax bx c =++上的两个点，则它的对称轴是（ ）A ．b x a =-B ．x =1C ．x =2D ．x =311．若点A （2，1y ），B （-3，2y ），C （-1，3y ）三点在抛物线24y x x m =--的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y ＞＞B ．213y y y ＞＞C ．231y y y ＞＞D ．312y y y ＞＞ 12．若函数222x y x x c-=-+的自变量x 的取值范围是全体实数，则c 的取值范围是（ ） A ．c ＞1 B ．c =1 C ．c ＜1 D ．c ≤113．二次函数2y x x m =-+（m 为常数）的图象如图所示，当x =a 时，y ＜0；那么当x =a -1时，函数值（ ）A ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．y ＞mD ．y =m14．直角坐标平面上将二次函数2212y x =---（）的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（ ）A ．（0，0）B ．（1，-2）C ．（0，-1）D ．（-2，1）15．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y （元）与每件销售价x （元）之间的关系满足22201558y x =--+（），由于某种原因，价格只能15≤x ≤22，那么一周可获得最大利润是（ ）A ．20B ．1508C ．1558D ．1585二、填空题16．已知二次函数22y m x =-（）的图象开口向下，则m 的取值范围是 17．黄冈中学是百年名校，百年校庆上的焰火晚会令很多人记忆犹新．有一种焰火升高高度为h （m ）与飞行时间t （s ）的关系式是252012h t t =-++，若这种焰火在点燃升空后到最高处引爆，则从点火到引爆所需时间为 s ．18．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点P （a ，bc ）在第 象限．19．二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，给出下列说法：①ac ＞0；②2a +b =0；③a +b +c =0；④当x ＞1时，函数y 随x 的增大而增大；⑤当y ＞0时，-1＜x ＜3．其中，正确的说法有 （请写出所有正确说法的序号）．20．已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过A （-2，0）、O （0，0）、B （-3，1y ）、C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是三、解答题21．已知抛物线2142y x x =--+，（1）用配方法确定它的顶点坐标、对称轴；（2）x 取何值时，y 随x 增大而减小？（3）x 取何值时，抛物线在x 轴上方？22．用配方法把函数23610y x x =--+化成2y a x h k =-+（）的形式，然后指出它的图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值．23．已知m ，n 是关于x 的方程2260x ax a -++=的两实根，求2211y m n =-+-（）（）的最小值．24．把抛物线212y x =平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点A （-6，0）和原点O （0，0），它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线212y x =交于点Q ．（1）求顶点P 的坐标；北师大版数学九年级下册第2章第2节二次函数的图像与性质同步检测1．答案：C解析：解答：∵顶点式2y a x h k =-+（），顶点坐标是（h ，k ），∴抛物线y =（x -1）2+2的顶点坐标是（1，2）．故选：C ．分析：利用抛物线顶点式的特点直接写出顶点坐标．此题考查了求抛物线的顶点坐标的方法．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键．2．答案：B解析：解答：由解析式2y kx k =-+可得：抛物线对称轴x =0；A ．由双曲线的两个分支分别位于二、四象限，可得k ＜0，则-k ＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y 轴的交点为y 轴的负半轴上；本图象与k 的取值相矛盾，故A 错误；B ．由双曲线的两个分支分别位于一、三象限，可得k ＞0，则-k ＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，本图象符合题意，故B 正确；C ．由双曲线的两个分支分别位于一、三象限，可得k ＞0，则-k ＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，本图象与k 的取值相矛盾，故C 错误；D ．由双曲线的两个分支分别位于一、三象限，可得k ＞0，则-k ＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，本图象与k 的取值相矛盾，故D 错误． 故选：B ．分析：此题可以先根据反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看一看是否一致．解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k 的取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y 轴的交点是否符合要求．3．答案：A解析：解答：22y x =+（）的对称轴为x =-2，故A 正确； 222y x =-的对称轴为x =0，故B 错误；222y x =--的对称轴为x =0，故C 错误；222y x =-（）的对称轴为x =2，故D 错误． 故选：A ．分析：根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，依次进行判断，选出正确的选项．本题考查的是二次函数的性质，正确求出二次函数图象的对称轴是解题的关键．4．答案：B解析：解答：∵抛物线的顶点坐标为（-1，4），∴二次三项式2ax bx c ++的最大值为4，故①正确；∵x =2时，y ＜0，∴4a +2b +c ＜0，故②正确；根据抛物线的对称性可知，一元二次方程21ax bx c ++=的两根之和为-2，故③错误； 使y ≤3成立的x 的取值范围是x ≥0或x ≤-2，故④错误，故选：B ．分析：此题考查的是二次函数的图象、二次函数的最值、二次函数与不等式，掌握二次函数的性质、正确获取图象信息是解题的关键．①根据抛物线的顶点坐标确定二次三项式2ax bx c ++的最大值；②根据x =2时，y ＜0确定4a +2b +c 的符号；③根据抛物线的对称性确定一元二次方程21ax bx c ++=的两根之和；④根据函数图象确定使y ≤3成立的x 的取值范围．5．答案：D解析：解答：A ．由一次函数y =kx +k 的图象可得：k ＞0，此时二次函数2y kx k =-的图象应该开口向上，错误；B ．由一次函数y =kx +k 图象可知，k ＞0，此时二次函数2y kx k =-的图象顶点应在y 轴的负半轴，错误；C ．由一次函数y =kx +k 可知，y 随x 增大而减小时，直线与y 轴交于负半轴，错误；D ．正确．故选：D ．分析：先根据一次函数的图象判断k 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．本题考查的是一次函数和二次函数的图象，解答此类题要熟练掌握一次函数y =kx +b 在不同情况下所在的象限，以及二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标． 6．答案：B解析：解答：甲：直线443y x =-+与x 轴交点为（3，0），与y 轴的交点为（0，4），则阴影部分的面积为12×3×4=6； 乙：阴影部分为斜边为4的等腰直角三角形，其面积为12×4×2=4；丙：抛物线2229y x =-与x 轴的两个交点为（-3，0）与（3，0），顶点坐标为（0，-2），则阴影部分的面积为12×6×2=6； 丁：此函数是反比例函数，那么阴影部分的面积为12×6=3； 因此甲、丙的面积相等，故选：B ．分析：甲、丙：根据函数解析式求出图象与x 轴，y 轴的交点坐标，再计算阴影部分的面积；乙：可判断出阴影部分为斜边为4的等腰直角三角形，据此计算阴影部分的面积；丁：利用反比例函数系数k 的几何意义求出阴影部分的面积．此题考查了函数图象与坐标轴交点坐标的求法以及图形面积的求法，熟练掌握各类函数的图象特点是解决问题的关键． 7．答案：A解析：解答：∵抛物线263y ax ax =--的开口向上，∴a ＞0，∵2263339y ax ax a x a =--=---（），∴抛物线的对称轴为直线x =3，∴应选择的y 轴为直线4m ；∵顶点坐标为（3，-3-9a ），抛物线263y ax ax =--与y 轴的交点为（0，-3），而-3-9a ＜-3，∴应选择的x 轴为直线1m ，故选：A ．分析：根据抛物线开口向上可知a ＞0，将抛物线配方为2339y a x a =---（），可得抛物线的对称轴为x =3，顶点纵坐标为-3-9a ，由此结合图象得到答案．此题考查了二次函数的图象，理解二次函数的图象与各系数的关系是解题的关键，注意数形结合思想的运用． 8．答案：B解析：解答：因为抛物线开口向下和其顶点坐标为（3，-5），所以该抛物线有最大值-5．故选：B ．分析：由抛物线的开口向下和其顶点坐标为（3，-5），根据抛物线的性质可以做出判断． 9．答案：C解析：解答：∵222211y x x x =-+-=---（）的顶点坐标为（1，-1），平移后抛物线2y x =-的顶点坐标为（0，0），∴平移方法为：向左平移1个单位，再向上平移1个单位．故选：C ．分析：由抛物线222211y x x x =-+-=---（）得到顶点坐标为（1，-1），而平移后抛物线2y x =-的顶点坐标为（0，0），根据顶点坐标的变化寻找平移方法．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．10．答案：D解析：解答：因为抛物线与x 轴相交于点（2，5）、（4，5），根据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的平均数就是对称轴， 所以，对称轴242x +==3； 故选：D ．分析：因为点（2，5）、（4，5）是该抛物线上关于对称轴对称的两点，所以只需求出两对称点横坐标的平均数即可．此题考查了二次函数的对称性．11．答案：C解析：解答：∵二次函数24y x x m =--中a =1＞0，∴开口向上，对称轴为x =2b a-=2， ∵A （2，1y ）中x =2，∴1y 最小，又∵B （-3，2y ），C （-1，3y ）都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y 随x 得增大而减小，所以23y y ＞．∴231y y y ＞＞．故选：C ．分析：首先求出二次函数24y x x m =--的图象的对称轴，然后判断出A （2，1y ），B （-3，2y ），C （-1，3y ）在抛物线上的位置，最后根据二次函数的增减性求解．解答此题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数20y ax bx c a =++≠（）的图象性质． 12．答案：A解析：解答：由题意，得△=224c 0--（）＜，解得c ＞1．故选：A ．分析：先根据分式的意义，分母不等于0，得出220x x c -+≠，再根据二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象性质，可知当二次项系数a ＞0，△＜0时，有y ＞0，此时自变量x 的取值范围是全体实数．要使得此题函数式子有意义，必须满足分母不等于0．难点在于分母是关于自变量x 的二次函数，要使自变量x 的取值范围是全体实数，必须满足△＜0．13．答案：C解析：解答：当x =a 时，y ＜0，则a 的取值范围是12x a x ＜＜，又对称轴是x =12， 所以a -1＜0，当x ＜12时，y 随x 的增大而减小， 当x =0时，函数值是m ．因而当x =a -1＜0时，函数值y 一定大于m ．故选：C ．分析：根据对称轴及函数值判断a 的取值范围，从而得出a -1＜0，因为当x ＜12时，y 随x 的增大而减小，所以当x =a -1＜0时，函数值y 一定大于m ．此题主要考查二次函数的对称轴，以及增减性．14．答案：C解析：解答：由题意得原抛物线的顶点为（1，-2），∵图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，∴新抛物线的顶点为（0，-1）．故选：C ．分析：易得原抛物线顶点，把横坐标减1，纵坐标加1即可得到新的顶点坐标．此题考查二次函数的平移问题；用到的知识点为：二次函数图象的平移与顶点的平移一致． 15．答案：C解析：解答：∵一周利润y （元）与每件销售价x （元）之间的关系满足22201558y x =--+（），且15≤x ≤22，∴当x =20时，y 1558=最大值．故选：C ．分析：因为该二次函数的开口方向向下，所以当x -20=0时，y 取最大值．此题考查了二次函数的最值．此题要注意x 的取值范围，在15≤x ≤22范围内求解．二、填空题16．答案：m ＜2解析：解答：∵二次函数22y m x =-（）的图象开口向下，∴m -2＜0，∴m ＜2，故答案为：m ＜2．分析：由图象的开口方向知m -2＜0，确定m 的取值范围．考查了二次函数的性质，二次项系数决定了开口方向，大于零开口向上，小于零开口向下．17．答案：4解析：解答：根据题意，得焰火引爆处为抛物线的顶点处，顶点处的横坐标即代表从点火到引爆所需时间， 则t =1205-⨯-=4s ， 故答案为：4．分析：根据关系式可知焰火的运行轨迹是一个开口向下的抛物线，已知焰火在升到最高时引爆，即到达抛物线的顶点时引爆，顶点横坐标就是从点火到引爆所需时间．利用二次函数的性质，结合图象与实际问题的联系进行解答．18．答案：一解析：解答：从图象得出，二次函数的对称轴在y 轴的右侧，且开口向上，∴a ＞0，2b a-＞0，所以b ＜0， ∵二次函数的图象与y 轴交于y 轴的负半轴，∴c ＜0，∴a ＞0，bc ＞0，则点P （a ，bc ）在第一象限．故答案为：一．分析：只要根据二次函数的图象及性质判断出a 及bc 的符号，就可得出点P （a ，bc ）所在象限．此题考查了二次函数图象的对称轴、开口方向与y 轴的交点与系数的关系． 19．答案：②⑤解析：解答：∵抛物线的开口向下，与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴a ＜0，c ＞0，∴ac ＜0，∴①错误； 由图象可知：12b a-=， ∴2a +b =0，∴②正确；当x =1时，y =a +b +c ＞0，∴③错误；由图象可知：当x ＞1时，函数y 随x 的增大而减小，∴④错误；根据图象，当-1＜x ＜3时，y ＞0，∴⑤正确；正确的说法有②⑤．故答案为：②⑤分析：①由图象开口向下和与y 轴的交点位置，求出a ＜0，c ＞0判断；②由抛物线的顶点的横坐标12b a-=判定；③把x =1代入抛物线，根据纵坐标y 的值判断；④根据图象的性质（部分图象的延伸方向）判断；⑤根据图象在x 轴的上方时，y ＞0，即可求出．注意：根据抛物线的开口方向即可得到a 的正负，根据抛物线与y 轴的交点的纵坐标即可求出c 的值，根据顶点的横坐标得出2a 和b 的关系式，把x =1或（-1）代入即可求出a +b +c 和a -b +c 的值．20．答案：12y y ＞解析：解答：∵抛物线与x 轴交于A （-2，0）、O （0，0）两点，∴抛物线对称轴为x =202-+=-1， ∵B （-3，1y ）、C （3，2y ），点B 离对称轴较近，且抛物线开口向下，∴12y y ＞．故答案为：12y y ＞．分析：由已知得抛物线与x 轴交于A （-2，0）、O （0，0）两点，开口向下，对称轴为x =202-+=-1，可知B 、C 两点在对称轴的两边，点B 离对称轴较近，再根据抛物线图象进行判断．此题考查了二次函数的增减性．熟练掌握：当二次项系数a ＞0时，在对称轴的左边，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右边，y 随x 的增大而增大；a ＜0时，在对称轴的左边，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右边，y 随x 的增大而减小．三、解答题21．答案：（-1，92）｜直线x =-1 答案：x ＞-1答案：-4＜x ＜2解析：解答：（1）∵2142y x x =--+=12-228x x +-（）=12-2 [(1)9]x +-=12-29(1)2x ++， ∴它的顶点坐标为（-1，92），对称轴为直线x =-1； （2）∵抛物线对称轴是直线x =-1，开口向下，∴当x ＞-1时，y 随x 增大而减小；（3）当y =0时，12-29(1)2x ++=0 解得1x =2，2x =-4，而抛物线开口向下，∴当-4＜x ＜2时，抛物线在x 轴上方．分析：（1）用配方法写成顶点式，根据顶点式的坐标特点求顶点坐标及对称轴；（2）对称轴是x =-1，开口向下，根据对称轴及开口方向确定函数的增减性；（3）令y =0，确定函数图象与x 轴的交点，结合开口方向判断x 的取值范围．注意：抛物线的顶点式适合与确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最大（小）值，增减性等；抛物线的交点式适合于确定函数值y ＞0，y =0，y ＜0．22．答案：向下｜x =-1｜（-1，13）｜最大值13解析：解答：∵2236103113y x x x =--+=-++（），∴开口向下，对称轴x =-1，顶点坐标（-1，13），最大值13．分析：这个函数的二次项系数是-3，配方法变形成2y a x h k =++（）的形式，配方的方法是把二次项，一次项先分为一组，提出二次项系数-3，加上一次项系数的一半，就可以变形成顶点式的形式．二次函数的顶点式是：2y a x h k =-+（）（a ≠0，且a ，h ，k 是常数），它的对称轴是x =h ，顶点坐标是（h ，k ）．23．答案：8解析：解答：依题意△=2446a a -+（）≥0，即260a a --≥，∴a ≤-2或a ≥3，由m +n =2a ，mn =a +6，2222y m n m n =+-++（）2222m n mn m n =+--++（）（）24610a a =--23494()44a =--， ∴a =3时，y 的最小值为8．故答案为：8．分析：根据方程有两个根，利用根的判别式求出a 的取值范围，再根据根与系数的关系求出m +n 与mn 的值，然后把2211y m n =-+-（）（）整理成m +n 与mn 的形式，代入进行计算求解．此题考查了二次函数的最值问题，根的判别式，利用根的判别式求出a 的取值范围是解题的关键．24．答案：（-3，92-）答案：先向左平移3个单位，再向下平移92个单位 答案：272解析：解答：（1）平移的抛物线解析式为1(6)2y x x =+=2132x x + =219(3)22x +-， 所以顶点P 的坐标为（-3，92-）；（2）把抛物线212y x =先向左平移3个单位，再向下平移92个单位即可得到抛物线219(3)22y x =+-； （3）图中阴影部分的面积=OPQ 127S 3922∆=⨯⨯=． 分析：（1）先利用交点式确定平移后的抛物线解析式，然后配成顶点式得到P 点坐标；（2）利用顶点的平移过程得到抛物线的平移过程；（3）根据平移得到图中阴影部分的面积OPQ S ∆=，然后根据三角形面积公式计算．此题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，所以a 不变．求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，求出解析式．。
数学北师大版九年级下册《二次函数》基础性练习题
《二次函数》基础性练习题一、选择题1．下列函数：y ＝x （8－x ），y ＝1－221x ，y ＝42-x ，y ＝x x 62-，其中以x 为自变量的二次函数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．在函数2y x=，5y x =+，2y x =的图象中，关于y 轴对称的图形有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个3．点A （2，3）在函数21y ax x =-+的图象上，则a 等于（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－24．下列四个函数中，图象经过原点且对称轴在y 轴左侧的二次函数是（ ）A ．x x y 22+=B ．x x y 22-=C ．y ＝2（1+x ）2D ．y ＝2（1-x ）25．在同一坐标系中，图象与22x y =的图象关于x 轴对称的函数为（ ）A ．221x y =B ．221x y -= C ．22x y -= D ．2x y -= 6．二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列结论正确是（ ）A ．a ＞0，b ＞0，c ＞0B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 7．将抛物线22x y =经过平移得到抛物线2=y （4-x ）21-是（ ）A ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位B ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位C ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位8．已知抛物线2(0)y x bx c a =++≠的部分图象如图所示，若y ＜0，则x 的取值范围是 （ ）A ．1-＜x ＜4B ．1-＜x ＜3C ．x ＜1-或x ＞4D ．x ＜1-或x ＞3二、填空题1．抛物线2241y x x =--的开口向 ；顶点坐标是 ；对称轴方程为 ．2．抛物线232y x x =-+不经过第 象限.3．若点),1(1y P 、Q 2(1,)y -都在抛物线21y x =+上，则线段P Q 的长为 ．4．如图所示，二次函数26y x x =--的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，则ABC ∆的面积ABC S ∆= ．5．一条抛物线，顶点坐标为(4,2)-，且形状与抛物线22y x =+相同，则它的函数表达式是 ．6．函数2412x x y -+=的图象与x 轴有 个交点；当 时，y 值随x 值增大而增大；当=x 时， y 有最 值．7．函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则c b a ++ 0，c b a ++24 0．（用“＝”、“＞”或“＜”填空）三、解答题：1．（9分）如图所示的是一个二次函数的图象，试求其解析式2．已知一抛物线经过点()2,6-，它与x 轴的两交点间的距离为4，对称轴为直线1x =-，求此抛物线的解析式．3．（12分）抛物线2y x bx c =++(0)a ≠与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点．（1）求该抛物线的解析式．（2）一动点P 在（1）中抛物线上滑动且满足10ABP S ∆=，求此时P 点的坐标．参考答案一、选择题1．B 2．B 3．A 4．A 5．C6．D 7．C 8．B二、填空题（每小题3分，满分21分）． 1.上；（1，-3）；x=1. 2. 三； 3.2； 4.15； 5．2(4)2y x =--；6．两；x ＜2；2；大. 7．＜；=.三、解答题 1.2113424y x x =--。
九年级数学二次函数y=ax2k(a≠0)的图像与性质(基础篇)(专项练习)Word版含解析
专题2.8 二次函数y=ax2+k(a≠0)的图像与性质（基础篇）（专项练习）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）专题2．8 二次函y=ax2+k(a≠0)的图像与性质（基础篇） （专项练习） 一、单选题知识点一、二次函数()20y ax k a =+≠的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值1．抛物线y ＝x 2﹣3的顶点坐标、对称轴是（ ） A ．（0，3），x ＝3B ．（0，﹣3），x ＝0C ．（3，0），x ＝3D ．（3，0），x ＝02．下列各点中，在抛物线24y x =-上的是（ ） A ．()1,3B ．()1,3--C ．()1,5-D ．()1,5--3．抛物线y ＝-3x 2＋4的开口方向和顶点坐标分别是（ ）． A ．向下，（0，-4） B ．向下，（0，4） C ．向上，（0，4）D ．向上，（0，-4）4．关于二次函数224y x =+，下列说法错误．．的是（ ） A ．它的图象开口方向向上 B ．它的图象顶点坐标为（0，4） C ．它的图象对称轴是y 轴D ．当0x =时，y 有最大值45．若在同一直角坐标系中，作23y x =，22y x =-，221y x =-+的图像，则它们（ ） A ．都关于y 轴对称 B ．开口方向相同C ．都经过原点D ．互相可以通过平移得到知识点二、二次函数()20y ax k a =+≠图象的增减性6．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝﹣x 2+2x ．点D （n ，y 1），E （3，y 2）在抛物线上，若y 1＜y 2，则n 的取值范围是（ ） A ．n ＞3或n ＜﹣1B ．n ＞3C ．n ＜1D ．n ＞3或n ＜17．已知函数y=x 2﹣2，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是（ ） A ．x ＜2B ．x ＞0C ．x ＞﹣2D ．x ＜08．下列函数中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大的是( ) A ．y x 1=-+ B ．2y x 1=-C ．1y x=D ．2y x 1=-+9．点11(0.5,)P y -，22(2.5,)Py ，33(5,)P y -均在二次函数22y x x =-+的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．321y y y >>B ．312y y y >=C ．123y y y >>D ．123y y y =>10．已知点()()()25,,521A m B m C m n --++,,,在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ） A ．2y x =+B ．25y x =--C ．25y x =+D ．2y x=-知识点三、二次函数()20y ax k a =+≠的图象11．2y ax k =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数21(1)2(1)x x y x x⎧+≥-⎪=⎨<-⎪⎩则下列图像正确的是（ ）A ．B ．C．D．13．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2的大致图象可能是（）A．B．C．D．14．二次函数y＝－x2－1的图象大致是（）A．B．C．D．15．二次函数22=--的图象大致是（）y xA．B．C．D．知识点四、二次函数()20y ax k a =+≠的性质综合16．下列关于抛物线y ＝2x 2﹣3的说法，正确的是（ ） A ．抛物线的开口向下B ．抛物线的对称轴是直线x ＝1C ．抛物线与x 轴有两个交点D ．抛物线y ＝2x 2﹣3向左平移两个单位长度可得抛物线y ＝2（x ﹣2）2﹣317．二次函数22y x =-的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ） A ．抛物线开口向下B ．当0x =时，函数的最大值是2-C ．抛物线的对称轴是直线2x =D ．抛物线与x 轴有两个交点18．关于二次函数y ＝﹣2x 2+1，以下说法正确的是（ ） A ．开口方向向上B ．顶点坐标是（﹣2，1）C ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大D ．当x ＝0时，y 有最大值﹣1219．二次函数221y x =-的图象是一条抛物线，下列说法中正确的是（ ） A ．抛物线开口向下B ．抛物线经过点1,1C ．抛物线的对称轴是直线1x =D ．抛物线与x 轴有两个交点20．关于二次函数221y x =-+，则下列说法正确的是（ ） A ．开口方向向上 B ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 C ．顶点坐标是（-2，1）D ．当x =0时，y 有最小值1知识点五、二次函数()20y ax k a =+≠图形与其他函数图象的判定21．直线y=ax+c 与抛物线y=ax 2+c 的图象画在同一个直角坐标系中，可能是下面的（ ）A ．B ．C ．D ．22．函数ay x=与20()y ax a a =--≠在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．23．用min{a ，b }表示a ，b 两数中的最小数，若函数{}22min 1,1y x x =+-，则y 的图象为( )A ．B ．C ．D ．24．二次函数y ＝x 2＋1的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．25．二次函数y ＝x 2＋1的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．26．在同一直角坐标系中2y ax b =+与()y ax b a 0,b 0=+≠≠图象大致为( )A ．B ．C ．D ．27．点()()1122,,,x y x y 均在抛物线21y x =-上，下列说法正确的是（ ）A ．若12y y =，则12x x =B ．若12x x =-，则12y y =-C ．若120x x <<，则12y y >D ．若120x x <<，则12y y >二、填空题知识点一、二次函数()20y ax k a =+≠的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值28．抛物线223y x =--的开口方向_______，对称轴是_____，顶点坐标是_______． 29．通过_______法画出221y x =+和221y x =-的图像：通过图像可知：221y x =+的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________．221y x =-的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________．30．写出顶点坐标为（0，-3），开口方向与抛物线2y x =-的方向相反，形状相同的抛物线解析式_________________________．31．抛物线2y ax k =+的图象相当于把抛物线2y ax =的图象______（k ＞0）或______（k ＜0）平移______个单位．32．一抛物线的形状，开口方向与23312y x x =-+相同，顶点在(－2，3)，则此抛物线的解析式为_______．知识点二、二次函数()20y ax k a =+≠图象的增减性33．已知点P （﹣2，y 1）和点Q （﹣1，y 2）都在二次函数2y x c =-+的图象上，那么1y 与2y 的大小关系是_____．34．已知二次函数y ＝－x 2＋4，当－2≤x≤3时，函数的最小值是－5，最大值是_________. 35．当m=______时抛物线22(1)9m m y m x +=++开口向下，对称轴是________，在对称轴左侧部分是________的（填“上升”或“下降”）．36．已知二次函数y ＝2x 2+bx ，当x ＞1时，y 随x 增大而增大，则b 的取值范围为______． 37．设点（﹣1，y 1），（2，y2），（3，y3）是抛物线y=﹣x 2+a 上的三点，则y 1、y2、y3的从小到大排列为__________. 三、解答题38．在同一直角坐标系中画出二次函数2113=+y x 与二次函数2113=--y x 的图形．（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点． 39．如图，已知抛物线24y x =-+．（1）该抛物线顶点坐标为________；（2）在坐标系中画出此抛物线y 的大致图像（不要求列表）；（3）该抛物线24y x =-+可由抛物线2y x =-向________平移________个单位得到；（4）当0y >时，求x 的取值范围． 40．已知二次函数2y x 4x =-+．()1求函数图象的对称轴和顶点坐标；()2求这个函数图象与x 轴的交点坐标．参考答案：1．B【分析】按照二次函数y ＝ax 2+k 顶点坐标（0，k ），对称轴y 轴即可求解． 【详解】解：∵y ＝x 2﹣3，∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣3），对称轴为y 轴； 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，以及顶点坐标和对称轴，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 2．B【分析】分别把x=±1代入抛物线解析式，计算对应的函数值，然后进行判断． 【详解】解：∵当x=-1时，y=x 2-4=-3； 当x=1时，y=x 2-4=-3；∵点（-1，-3）在抛物线上，点（1，3）、（1，-5）、（-1，-5）都不在抛物线上． 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足二次函数的解析式． 3．B【分析】根据二次函数的性质分析，即可得到答案． 【详解】抛物线y ＝-3x 2＋4 ∵30-<∵抛物线y ＝-3x 2＋4开口向下当0x =时，y ＝-3x 2＋4取最大值，即y ＝4 ∵顶点坐标为()0,4 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解． 4．D【分析】由抛物线的解析式可求得其开口方向、对称轴、函数的最值即可判断． 【详解】∵224y x =+，∵抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝0，顶点为（0，4），当x ＝0时，有最小值4， 故A 、B 、C 正确，D 错误； 故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y ＝a （x−h ）2＋k 中，对称轴为x ＝h ，顶点坐标为（h ，k ）． 5．A【分析】根据二次函数的图像和性质逐项分析即可．【详解】A.因为23y x =，22y x =-，221y x =-+这三个二次函数的图像对称轴为0x =，所以都关于y 轴对称，故选项A 正确，符合题意；B.抛物线23y x =，22y x =-的图象开口向上，抛物线221y x =-+的图象开口向下，故选项B 错误，不符合题意；C.抛物线22y x =-，221y x =-+的图象不经过原点，故选项C 错误，不符合题意；D.因为抛物线23y x =，22y x =-，221y x =-+的二次项系数不相等，故不能通过平移其它二次函数的图象，故D 选项错误，不符合题意； 故选A ．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，熟记二次函数的图像和性质是解题的关键． 6．A【分析】由抛物线的对称轴找到E 点的对称点，抛物线开口向下，y 1＜y 2时结合图象求解； 【详解】解：∵抛物线y ＝﹣x 2+2x 的对称轴为x ＝1， E （3，y 2）关于对称轴对称的点（﹣1，y 2）， ∵抛物线开口向下，∵y 1＜y 2时，n ＞3或n ＜﹣1， 故选A ．【点睛】本题考查二次函数图象的性质；找到E 点关于对称轴的对称点是解题的关键． 7．D【详解】解：∵y =x 2-2，∵抛物线开口向上，对称轴为y 轴，∵当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握y =ax 2+c 的图象的开口方向、对称轴及增减性是解题的关键．8．B【分析】根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断【详解】解：A 、y x 1=-+，一次函数，k ＜0，故y 随着x 增大而减小，错误；B 、2y x 1=-（x ＞0），故当图像在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大，正确；C 、1y x=，k =1＞0，分别在一、三象限里，每个象限内y 随x 的增大而减小，错误； D 、2y x 1=-+（x ＞0），故当图像在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减小，错误． 故选：B ．【点睛】本题考查一次函数，二次函数及反比例函数的增减性，掌握函数图像性质利用数形结合思想是解答本题的关键.9．D【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性和增减性判断即可．【详解】解：∵()22211y x x x =-+=--+，∵抛物线对称轴为直线1x =，∵10a =-<，∵1x <时，y 随x 的增大而增大，∵()222.5,P y 的对称点为()20.5,y -，且50.51-<-<，∵123y y y =>．故选：D ．【点睛】本题考查的是二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质等知识点的理解和掌握，熟练运用二次函数的性质进行推理是解决本题的关键．10．B【分析】由点A （-5，m ），B （5，m ）的坐标特点，于是排除选项A 、B ；再根据A （-5，m ），C （-2，m +n 2+1）的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即a ＜0，可得结果．【详解】解：∵A （-5，m ），B （5，m ），∵点A 与点B 关于y 轴对称；由于y =x +2不关于y 轴对称，2y x=-的图象关于原点对称，因此选项A 、D 错误； ∵n 2＞0，∵m +n 2+1＞m ；由A （-5，m ），C （-2，m +n 2+1）可知，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大， 对于二次函数只有a ＜0时，满足条件，∵B 选项正确，故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．11．D【分析】根据二次函数的对称轴进行判断即可．【详解】二次函数2y ax k =+的对称轴为0x =观察四个选项可知，只有选项D 的图象符合故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性），掌握二次函数的图象与性质是解题关键．12．C【分析】根据所给解析式判断出正确函数图象，注意自变量的取值范围．【详解】A 选项错误，两个函数图象都不符合自变量的取值范围；B 选项错误，反比例函数的图象不符合自变量的取值范围；C 选项正确；D 选项错误，当=1x -时，图象不应该是一条直线．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数和反比例函数的图象，解题的关键是掌握二次函数和反比例函数的图象．13．C【分析】根据函数解析式，二次项系数交点判别式小于0，所以排除A 、B 、D ，故选C ．【详解】解：A选项，由函数解析式，2-=-<0，所以函数图像与x轴无交点，A=48b ac错误；B选项，由函数解析式，2-=-<0，所以函数图像与x轴无交点，B错误；=48b acC选项，由函数解析式，2=48-=-<0，所以函数图像与x轴无交点，C正确；b acD选项，由函数解析式，2-=-<0，所以函数图像与x轴无交点，D错误．=48b ac【点睛】本题考考察的是二次函数图像的基本性质，根据解析式，判断开口方向及交点个数，判断图像的形状．14．C【分析】根据二次函数的图像与性质即可求解．【详解】二次函数y＝－x2－1的图象开口向下，且顶点坐标为(0，－1)，故选项C符合题意．【点睛】此题主要考查二次函数的图像判断，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质．15．D【分析】根据二次函数的图象的性质，开口方向，顶点坐标，对称轴即可判断.【详解】由题意可知：a＝－1，所以开口向下，顶点坐标为（0，－2），故答案选D.【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式来判断该函数的图象，解本题的要点在于熟知二次函数图象的基本性质.16．C【分析】根据二次函数的性质及二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律逐一判断即可得答案.【详解】∵2>0，∵抛物线y＝2x2﹣3的开口向上，故A选项错误，∵y＝2x2﹣3是二次函数的顶点式，∵对称轴是y轴，故B选项错误，∵-3<0，抛物线开口向上，∵抛物线与x轴有两个交点，故C选项正确，抛物线y＝2x2﹣3向左平移两个单位长度可得抛物线y＝2（x+2）2﹣3，故D选项错误，故选：C.【点睛】此题考查二次函数的性质及二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的性质及“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键.17．D【分析】根据二次函数22y x =-的图象和性质，逐一判断选项，即可.【详解】∵a=1>0，∵抛物线开口向上，故A 错误，∵当0x =时，函数的最小值是2-，∵B 错误，∵抛物线的对称轴是y 轴，∵C 错误，∵∆=224041(2)80b ac -=-⨯⨯-=>，∵抛物线与x 轴有两个交点，∵D 正确，故选D.【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的系数的几何意义，是解题的关键.18．C【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵二次函数y ＝﹣2x 2+1，∵该函数图象开口向下，故选项A 错误；顶点坐标为（0，1），故选项B 错误；当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，故选项C 正确；当x ＝0时，y 有最大值1，故选项D 错误；故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．19．D【分析】根据二次函数的性质对A 、C 进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对B 进行判断；利用方程2x 2-1=0解的情况对D 进行判断．【详解】A. a =2,则抛物线y =2x 2−1的开口向上，所以A 选项错误；B. 当x =1时,y =2×1−1=1,则抛物线不经过点(1,-1)，所以B 选项错误；C. 抛物线的对称轴为直线x =0，所以C 选项错误；D. 当y =0时,2x 2−1=0，此方程有两个不相等的实数解，所以D 选项正确.故选D.【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，结合图像是解题的关键.20．B【分析】根据二次函数的图像与性质逐项进行判断即可.【详解】因为20a =-<，所以二次函数图像开口向下，故A 选项错误；因为抛物线开口向下，对称轴为y 轴，所以当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，故B 选项正确；二次函数221y x =-+的顶点为（0,1），故C 选项错误；因为二次函数开口向下，对称轴为y 轴，所以当x =0时，y 有最大值1，故D 选项错误. 故选B.【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，熟练掌握图像与性质是解题的关键.21．A【详解】两图象与y 轴的交点相同,故排除了B 、D,若a>0,选A,C 中两个函数中的a 符号相反.22．B【分析】分a>0与a<0两种情况分类讨论即可确定正确的选项.【详解】解：当a>o 时，函数a y x=的图象位于一、三象限，20()y ax a a =--≠的开口向下，交y 轴的负半轴，选项B 符合；当a<o 时，函数a y x=的图象位于二、四象限，20()y ax a a =--≠的开口向上，交y 轴的正半轴，没有符合的选项.故答案为：B.【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键.23．C【分析】根据题意，把问题转化为二次函数问题．【详解】根据题意，min{x 2+1，1-x 2}表示x 2+1与1-x 2中的最小数，不论x 取何值，都有x 2+1≥1-x 2，所以y=1-x 2；可知，当x=0时，y=1；当y=0时，x=±1；则函数图象与x 轴的交点坐标为（1，0），（-1，0）；与y 轴的交点坐标为（0，1）． 故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图像的性质是解决此题的关键．24．C【详解】解：二次函数y =x 2+1中，a =1>0,图象开口向上,顶点坐标为(0,1)，符合条件的图象是C.故选C.25．B【分析】利用二次函数的开口方向和顶点坐标，结合图象找出答案即可．【详解】解：二次函数y ＝x 2＋1中，a ＝1＞0，图象开口向上，顶点坐标为（0，1），符合条件的图象是B ．故选B ．【点睛】此题考查二次函数的图象，掌握二次函数的性质，图象的开口方向和顶点坐标是解决问题的关键．26．A【分析】本题由一次函数y ax b =+图象得到字母系数的正负，再与二次函数2y ax b =+的图象相比较看是否一致．【详解】解：A 、由抛物线可知，a 0<，b 0<，由直线可知，a 0<，b 0<，故本选项正确； B 、由抛物线可知，a 0<，b 0>，由直线可知，a 0>，b 0>，故本选项错误； C 、由抛物线可知，a 0>，b 0<，由直线可知，a 0>，b 0>，故本选项错误； D 、由抛物线可知，a 0>，b 0>，由直线可知，a 0<，b 0>，故本选项错误． 故选A ．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象.解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象的性质．27．D【详解】解：由图象，根据二次函数的性质，有A ．若12y y =，则12x x =±，原说法错误；B ．若12x x =-，则12y y =，原说法错误；C ．若120x x <<，则12y y <，原说法错误；D ．若120x x <<，则12y y >，原说法正确．故选D ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．28． 下 y 轴 （0，－3）【解析】略29． 描点 向上 y 轴 ()0,1 向上 y 轴 ()0,1-【分析】根据画二次函数的图像采用描点法，然后根据二次函数性质得出开口方向，对称轴，顶点坐标即可．【详解】解：通过描点法画出221y x =+和221y x =-的图像，通过图像可知：221y x =+的开口方向向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0,1)，221y x =-的开口方向向上，对称轴y 轴，顶点坐标(0,1)-，故答案为：描点；向上；y 轴；()0,1；向上；y 轴；()0,1-．【点睛】本题考查了画函数图像的方法，二次函数的基本性质，根据题意画出相应的图像是解本题的关键．30．23y x =-【分析】根据开口方向与抛物线2y x =-的方向相反，形状相同可得1a =，再利用顶点坐标即可写出解析式．【详解】∵抛物线与2y x =-的方向相反，形状相同，且顶点坐标（0，-3）∵设抛物线解析式为：2y x k =+，代入顶点坐标（0，-3）得：3k =-∵解析式为23y x =-故答案为23y x =-．【点睛】本题考查求抛物线解析式，熟记抛物线顶点式是解题的关键．31． 向上 向下 |k |【解析】略32．23(2)32y x =++ 【分析】根据二次函数的图象与性质即可得． 【详解】抛物线的顶点为(2,3)-∴可设此抛物线的解析式为2(2)3y a x =++ 又此抛物线的形状，开口方向与23312y x x =-+相同 32a ∴= 则此抛物线的解析式为23(2)32y x =++ 故答案为：23(2)32y x =++． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟记二次函数的图象与性质是解题关键． 33．12y y <．【分析】先判断抛物线的开口方向和对称轴，再根据二次函数的性质解答即可．【详解】∵二次函数2y x c =-+的开口向下，对称轴为y 轴，∵当0x <时，y 随x 的增大而增大，∵21-<-，∵12y y <，故答案为：12y y <．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．34．4.【分析】根据所给二次函数的解析式结合“自变量的取值范围”进行分析解答即可.【详解】∵在24y x =-+中：23x -≤≤，∵其图象开口向下，顶点坐标为（0，4），∵其最大值为4.故答案为：4.【点睛】熟记“二次函数2(0)y ax k a =+≠的图象的顶点坐标为(0)k ，”是解答本题的关键.35． 1- y 轴 上升【分析】根据二次函数的指数是2列出方程求出m 的值，再根据抛物线开口方向向下可得10+<m ，然后求解即可．【详解】解：由题意得，222m m +=且10+<m ， 解得113m ，213m 且1m <-，∵1m =-对称轴是y 轴， ∵113130m∵在对称轴左侧部分是上升；故答案是：1-y 轴，上升．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的定义，熟记性质和概念是解题的关键．36．b ≥﹣4【分析】先表示出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性列出不等式求解即可．【详解】解：二次函数y ＝2x 2+bx 对称轴为直线x ＝﹣22⨯b ＝﹣4b ， ∵a ＝2＞0，x ＞1时，y 随x 增大而增大，∵﹣4b ≤1， 解得b ≥﹣4．故答案为：b ≥﹣4．【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质与二次函数的对称轴，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的增减性．37．y1>y2>y3【分析】由题意可得对称轴为y 轴，则（-1，y 1）关于y 轴的对称点为（1，y 1），根据二次函数的增减性可得函数值的大小关系．【详解】∵抛物线y=-x 2+a ，∵对称轴为y 轴，∵（-1，y 1）关于对称轴y 轴对称点为（1，y 1），∵a=-1＜0，∵当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，∵1＜2＜3，∵y 1＞y 2＞y 3，故答案为y 1＞y 2＞y 3．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，利用增减性比较函数值的大小是本题的关键.38．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）根据二次函数的图象解答即可；（2）从开口大小和增减性两个方面作答即可.【详解】（1）解：如图：，2113=+y x 与2113=--y x 图象的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y 轴， 2113=+y x 与2113=--y x 图象的不同点是：2113=+y x 开口向上，顶点坐标是（0，1），2113=--y x 开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）； （2）解：两个函数图象的性质的相同点：开口程度相同，即开口大小一样；不同点：2113=+y x ，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大；2113=--y x ，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握抛物线的图象与性质是解答的关键.39．解：（1）(0,4)；（2）见解析；（3）上，4；（4）22x -<<．．【分析】（1）求出对称轴得到抛物线的顶点坐标；（2）先确定抛物线与y 轴的交点为（0，4），与x 轴交点为（-2，0）和（2，0），然后利用描点法画函数图像；（3）根据二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”即可求解；（4）结合函数图像，写出函数图像上x 轴上方所对应的自变量的范围即可．【详解】（1）抛物线的对称轴为：x =-2b a=0 令x =0，y =4则顶点坐标为（0，4）；（2）由（1）得，抛物线与y 轴的交点为（0，4），令y =0，x =±2，则抛物线与x 轴交点为（-2，0）和（2，0），画图得：（3）由上加下减的原则可得，y =-x 2向上平移4个单位可得出y =-x 2+4；（4）根据图像得，当y >0时，x 的取值范围为：-2<x <2．【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点、二次函数的性质和抛物线的平移等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．40．（1）对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2,4）（2）图象与x轴的交点坐标是（0，0）和（4，0）．【详解】试题分析：（1）可根据配方法的解题步骤，将一般式转化为顶点式，根据顶点式可确定对称轴及顶点坐标；（2）令y=0，解一元二次方程可求抛物线与x轴两交点的坐标．试题解析：（1）y=-（x2-4x）=-（x-2）2+4，对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2,4）（2）当y=0时，-x2+4x=0，解得x=0或4，∵图象与x轴的交点坐标是（0，0）和（4，0）．考点：1.二次函数的三种形式；2.二次函数的性质；3．抛物线与x轴的交点．。
北师大九年级数学下册第二章二次函数测试题.doc
九年级数学《二次函数》试题一、精心选一选，！（每小题3分，共30分）1、下列关系式中，属于二次函数的是（x 为自变量） （ ）A 218y x =B y =21y x= D 22y a x = 2、当m 不为何值时，函数2(2)45y m x x =-+-（m 是常数）是二次函数（ ）A -2B 2C 3D -33、抛物线y=x 2-1的顶点坐标是( )．A (0，1)B (0，一1)C (1，0)D (一1，0)4、22y x =+的对称轴是直线（ ）A x=2B x=0C y=0D y=25、二次函数247y x x =-+的最小值为（ ）A 2B -2C 3D -36、经过原点的抛物线是（ ） A y=2x 2+x B 221)y x =+（ C y=2x 2-1 D y=2x 2+1 7、已知二次函数232)1y x =-+（，当x=３时,y 的值为（ ） Ａ ４ Ｂ －４ Ｃ ３ Ｄ －３8、已知一个矩形的面积为24cm 2,其长为ycm,宽为xcm ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致为（ ）9、设抛物线y=x 2+8x-k 的顶点在x 轴上，则k 的值为（ ）A -16B 16C -8D 810、下列函数中，当x<0时，y 随x 的增大而减小的函数是（ ） A y=-3x B y=4x C 2y x=- D y=-x 2 二、耐心填一填：（把答案填放相应的空格里。
每小题3分，共24分）。
x 11、二次函数y =－122x 2+3的开口方向是_________. 12、抛物线y =x 2+8x －4与直线x ＝4的交点坐标是__________.13、若二次函数y =ax 2的图象经过点（－1，2），则二次函数y =ax 2的解析式是＿＿＿.14、函数)1(432-=x y 的自变量x 的取值范围是 ； 15、已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A (1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，3)，则二次函数的解析式是 ．16、若函数y =3x 2与直线y =kx +3的交点为（2，b ），则k ＝＿＿，b 17、函数y =9－4x 2，当x =_________时有最大值________. 18、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则a 0,b 0,c 0。
北师大新版九年级数学下学期《第2章 二次函数》 单元练习卷 含解析
第2章二次函数一．选择题（共10小题）1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是（）A．y＝2x+3 B．C．y＝3x2﹣1 D．y＝（x﹣1）2﹣x22．对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣2C．顶点坐标是（2，1）D．与x轴有两个交点3．抛物线y＝3x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，所得的抛物线是（）A．y＝3（x+2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+14．抛物线y＝x2+2x与x轴的交点坐标是（）A．（0，0）B．（2，0）C．（0，0）或（﹣2，0）D．（0，0）或（2，0）5．如图所示，中堂中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，水柱喷出的竖直高度y （m）与水平距离x（m）满足y＝﹣（x﹣2）2+6，则水柱的最大高度是（）A．2 B．4 C．6 D．2+6．若A（﹣3，y1），，C（2，y3）在二次函数y＝x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3B．y1＜y3＜y2C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y17．已知二次函数y＝ax2+bx+c中x和y的值如下表（）x0.10 0.11 0.12 0.13 0.14y﹣5.6 ﹣3.1 ﹣1.5 0.9 1.8 则ax2+bx+c＝0的一个根的范围是（）A．0.10＜x＜0.11 B．0.11＜x＜0.12C．0.12＜x＜0.13 D．0.13＜x＜0.148．赵州桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度AB 为20m时，水面与桥拱顶的高度DO等于（）A．2m B．4m C．10m D．16m9．抛物线y＝x2﹣x+m与x轴至少有一个公共点，则m的取值范围是（）A．m B．m＞C．m≤D．m＜10．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+b与一次函数y＝bx+a的图象可能是（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）11．已知点A（3，n）在二次函数y＝x2﹣x+1的图象上，那么n的值为．12．抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴交点的交点坐标为．13．函数y＝（m+1）x|m|+1+5x﹣5是二次函数，则m＝．14．二次函数y＝kx2﹣4x+1与x轴有交点，则k的取值范围是．15．如图，一次函数y＝mx+n的图象与二次函数y＝ax2+bx+c的图象交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是．16．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b ＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜0时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中，正确的有．（只填序号）17．如图，将函数y＝+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A′、B′．若曲线段AB扫过的面积为12（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是．三．解答题（共23小题）18．（1）解方程：（x﹣2）（x+3）＝6；（2）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，求该抛物线的顶点坐标．19．已知抛物线y＝﹣x+5．（l）求该抛物线的顶点坐标；（2）判断点P（﹣2，5）是否落在图象上，请说明理由．20．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为C．（1）求A，B，C，D的坐标；（2）求四边形ABCD的面积．21．二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y… 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 m…（1）写出m的值；（2）在图中画出这个二次函数的图象；（3）当y≥5时，x的取值范围是；（4）当﹣4＜x＜1时，y的取值范围是．22．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调査，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y与x之间的函数关系式，并直接写出当x取何值时，商场可获得最大利润？最大利润为多少元？23．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）一辆宽为2米，高为3米的货船能否从桥下通过？24．已知函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k2﹣3k﹣10的图象经过原点，试确定k的值．25．在平面直角坐标系中，若抛物线y＝2x2与直线y＝x+1交于点A（a，b）和点B（c，d），其中a＞c，点O为原点，求△ABO的面积．26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，点P从点C开始沿CB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从A开始沿AC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q同时从点C，A出发，试问：（1）出发多少时间时，点P，Q之间的距离等于？（2）出发多少时间时，△PQC的面积为6cm2？（3）△PQC面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？27．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D 作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？28．我县某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包田地种植“黄金梨”，已知该黄金梨的成本价为8元/千克，到了收获季节投入市场销售时，通过调查市场行情发现销售该黄金梨不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当黄金梨定价为多少元时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）某农户今年共采摘黄金梨4800千克，若黄金梨的保质期为40天，则按（2）中的方式进行销售，能否销售完这批黄金梨？请说明理由．29．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P 在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．30．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B和点C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），抛物线的对称轴为x＝1，D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）点E为线段BC上一动点，过点E作x轴的垂线，与抛物线交于点F，求四边形ACFB面积的最大值，以及此时点E的坐标．（3）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，写出点P点的坐标；若不存在，说明理由．31．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（4，0），B（﹣1，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是直线AC上一动点，过点D作DE垂直于y轴于点E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点D的坐标；（3）在AC上方的抛物线上是否存在点P，使得△ACP是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．32．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件50元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件40.5元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价2元，每天可多销售16件，那么每天要想获得最大利润，每件售价应多少元？最大利润是多少？33．如图，已知直线y＝x+4交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．（1）求抛物线解析式；（2）点C（m，0）是x轴上异于A、O点的一点，过点C作x轴的垂线交AB于点D，交抛物线于点E．①当点E在直线AB上方的抛物线上时，连接AE、BE，求S△ABE的最大值；②当DE＝AD时，求m的值．34．已知等边△ABC和Rt△DEF按如图所示的位置放置，点B、D重合，且点E、B（D）、C在同一条直线上．其中∠E＝90°，∠EDF＝30°，AB＝DE＝，现将△DEF沿直线BC以每秒个单位向右平移，直至E点与C点重合时停止运动，设运动时间为t 秒．（1）试求出在平移过程中，点F落在△ABC的边上时的t值；（2）试求出在平移过程中△ABC和Rt△DEF重叠部分的面积S与t的函数关系式．35．如图，为了绿化小区，某物业公司要在形如五边形ABCDE的草坪上建一个矩形花坛PKDH．已知：PH∥AE，PK∥BC，DE＝100米，EA＝60米，BC＝70米，CD＝80米．以BC所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，坐标原点为O．（1）求直线AB的解析式．（2）若设点P的横坐标为x，矩形PKDH的面积为S，求S关于x的函数关系式．36．在体育测试时，九年级的一名高个男同学推铅球，已知铅球所经过的路径是某个二次函数图象的一部分（如图所示）．如果这个男同学出手处A点的坐标是（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标是（6，5）．求这个二次函数的解析式．37．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，在图中直角坐标系内，求涵洞所在抛物线的函数表达式．38．已知二次函数y＝﹣x2+x+（1）将y＝﹣x2+x+成y＝a（x﹣h）2+k的形式：（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线x……y……（3）当﹣3＜x＜3时，观察图象直接写出函数值y的取值的范围．（4）将该抛物线在x上方的部分（不包含与x的交点）记为G，若直线y＝x+b与G 只有一个公共点，则b的取值范围是．39．抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，（1）抛物线与x轴的另一个交点坐标为；m＝，n＝．（2）画出此二次函数的图象；（3）利用图象回答：当x取何值时，y≤0？40．已知抛物线y＝﹣2x2+（m﹣3）x﹣8．（1）若抛物线的对称轴为y轴，求m的值；（2）若抛物线的顶点在x正半轴上，求顶点坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是（）A．y＝2x+3 B．C．y＝3x2﹣1 D．y＝（x﹣1）2﹣x2【分析】根据二次函数的定义，可得答案．【解答】解：A、是一次函数，故A错误；B、二次函数都是整式，故B错误；C、是二次函数，故C正确；D、是一次函数，故D错误；故选：C．2．对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣2C．顶点坐标是（2，1）D．与x轴有两个交点【分析】利用二次函数的性质对A、B、C进行判断；利用3（x﹣2）2+1＝0的实数解的个数对D进行判断．【解答】解：二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象的开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1），当y＝0时，3（x﹣2）2+1＝0，此方程没有实数解，所以抛物线与x轴没有交点．故选：C．3．抛物线y＝3x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，所得的抛物线是（）A．y＝3（x+2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+1【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式写出抛物线解析式即可．【解答】解：抛物线y＝3x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位后的抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣1），所得抛物线为y＝3（x+2）2﹣1．故选：A．4．抛物线y＝x2+2x与x轴的交点坐标是（）A．（0，0）B．（2，0）C．（0，0）或（﹣2，0）D．（0，0）或（2，0）【分析】根据题意可知，解方程x2+2x＝0，即可得出结果．【解答】解：令y＝0，则x2+2x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣2，所以抛物线y＝x2+2x与x轴的交点坐标是（0，0）或（﹣2，0），故选：C．5．如图所示，中堂中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，水柱喷出的竖直高度y （m）与水平距离x（m）满足y＝﹣（x﹣2）2+6，则水柱的最大高度是（）A．2 B．4 C．6 D．2+【分析】直接利用二次函数最值求法得出答案．【解答】解：∵抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，∴水柱的最大高度是：6．故选：C．6．若A（﹣3，y1），，C（2，y3）在二次函数y＝x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3B．y1＜y3＜y2C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可．【解答】解：对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∵a＝1＞0，∴x＜﹣1时，y随x的增大而减小，x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∴y2＜y1＜y3．故选：A．7．已知二次函数y＝ax2+bx+c中x和y的值如下表（）x0.10 0.11 0.12 0.13 0.14y﹣5.6 ﹣3.1 ﹣1.5 0.9 1.8 则ax2+bx+c＝0的一个根的范围是（）A．0.10＜x＜0.11 B．0.11＜x＜0.12C．0.12＜x＜0.13 D．0.13＜x＜0.14【分析】由表格可发现y的值﹣1.5和0.9最接近0，再看对应的x的值即可得．【解答】解：由表可以看出，当x取0.12与0.13之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为0.12＜x＜0.13．故选：C．8．赵州桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度AB 为20m时，水面与桥拱顶的高度DO等于（）A．2m B．4m C．10m D．16m【分析】根据题意，把x＝10直接代入解析式即可解答．【解答】解：根据题意B的横坐标为10，把x＝10代入y＝﹣x2，得y＝﹣4，∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），即水面与桥拱顶的高度DO等于4m．故选：B．9．抛物线y＝x2﹣x+m与x轴至少有一个公共点，则m的取值范围是（）A．m B．m＞C．m≤D．m＜【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣1）2﹣4m≥0，然后解不等式即可．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣x+m与x轴至少有一个公共点，∴△＝（﹣1）2﹣4m≥0，∴m≤．故选：C．10．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+b与一次函数y＝bx+a的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】本题可先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y ＝bx2+a的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由抛物线y＝ax2+b可知，图象开口向上，与y轴交在负半轴a＞0，b＜0，由直线y＝bx+a可知，图象过一，二，三象限，b＞0，a＞0，故此选项错误；B、由抛物线y＝ax2+b可知，图象开口向上且与y轴交在正半轴a＞0，b＞0，由直线y＝bx+a可知，图象过一，二，四象限，b＜0，a＞0，故此选项错误；C、由抛物线可y＝ax2+b知，图象开口向下且与y轴交在正半轴a＜0，b＞0，由直线y＝bx+a可知，图象过一，三，四象限b＞0，a＜0，故此选项正确；D、由抛物线可y＝ax2+b知，图象开口向下且与y轴交在负半轴a＜0，b＜0，由直线y＝bx+a可知，图象过一，二，三象限b＞0，a＞0，故此选项错误；故选：C．二．填空题（共7小题）11．已知点A（3，n）在二次函数y＝x2﹣x+1的图象上，那么n的值为7 ．【分析】将A（3，n）代入二次函数的关系式y＝x2﹣x+1，然后解关于n的方程即可．【解答】解：∵A（3，n）在二次函数y＝x2﹣x+1的图象上，∴A（3，n）满足二次函数y＝x2﹣x+1，∴n＝9﹣3+1＝7，即n＝7，故答案是：7．12．抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴交点的交点坐标为（1，0）．【分析】通过解方程x2﹣2x+1＝0得抛物线与x轴交点的交点坐标．【解答】解：当y＝0时，x2﹣2x+1＝0，解得x1＝x2＝1，所以抛物线与x轴交点的交点坐标为（1，0）．故答案为（1，0）．13．函数y＝（m+1）x|m|+1+5x﹣5是二次函数，则m＝ 1 ．【分析】根据二次函数的定义，必须二次项系数不等于0，且未知数的次数等于2，据此列不等式组并求解即可．【解答】解：由二次函数的定义可知，当时，该函数是二次函数∴∴m＝1故答案为：1．14．二次函数y＝kx2﹣4x+1与x轴有交点，则k的取值范围是k≤4且k≠0 ．【分析】根据二次函数y＝kx2﹣4x+1与x轴有交点，可以得到关于k的不等式组，从而可以求得k的取值范围．【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣4x+1与x轴有交点，∴，解得，k≤4且k≠0，故答案为：k≤4且k≠0．15．如图，一次函数y＝mx+n的图象与二次函数y＝ax2+bx+c的图象交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是x＜﹣1或x＞4 ．【分析】写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：当x＜﹣1或x＞4，所以关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是x＜﹣1或x＞4．故答案为x＜﹣1或x＞4．16．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b ＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜0时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中，正确的有①②③⑤．（只填序号）【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断；②根据抛物线与x轴的交点个数即可判断；③根据抛物线的对称轴即可判断；④根据抛物线与y轴的交点和顶点坐标即可判断；⑤根据抛物线的性质即可判断；⑥根据当x＝1时y的值即可判断．【解答】解：①根据图象可知：a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0．∴①正确；②∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，即b2﹣4ac＞0，4ac＜b2．∴②正确；③∵抛物线的对称轴x＜1，即﹣＜1，得2a+b＞0．∴③正确；④∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣2），∴抛物线的顶点的纵坐标不能为﹣2．∴④错误；⑤根据抛物线的性质可知：当x＜0时，y随x的增大而减小；∴⑤正确；⑥当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0．∴⑥错误．故答案为①②③⑤．17．如图，将函数y＝+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A′、B′．若曲线段AB扫过的面积为12（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是y＝（x﹣2）2+5 ．【分析】曲线段AB扫过的面积＝（x B﹣x A）×AA′＝3AA′＝12，则AA′＝4，即可求解．【解答】解：曲线段AB扫过的面积＝（x B﹣x A）×AA′＝3AA′＝12，则AA′＝4，故抛物线向上平移4个单位，则y＝（x﹣2）2+5，故答案为．三．解答题（共23小题）18．（1）解方程：（x﹣2）（x+3）＝6；（2）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，求该抛物线的顶点坐标．【分析】（1）根据解一元二次方程的方法可以解答此方程；（2）根据抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，可以求得该抛物线的解析式，然后将该函数的解析式化为顶点式，即可解答本题．【解答】解：（1）∵（x﹣2）（x+3）＝6，∴x2+x﹣6＝6，∴x2+x﹣12＝0，∴（x﹣3）（x+4）＝0，∴x﹣3＝0或x+4＝0，解得，x1＝3，x2＝﹣4；（2）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，解得，，∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．19．已知抛物线y＝﹣x+5．（l）求该抛物线的顶点坐标；（2）判断点P（﹣2，5）是否落在图象上，请说明理由．【分析】（1）将抛物线的解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的顶点坐标；（2）先判断点P是否落在图象上，然后将x＝﹣2代入函数解析式，求出相应的函数值，即可解答本题．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x+5＝+，∴该抛物线的顶点坐标是（1，）；（2）点P（﹣2，5）不落在图象上，理由：当x＝﹣2时，y＝×（﹣2）2﹣（﹣2）+5＝9，∴点P（﹣2，5）不落在图象上．20．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为C．（1）求A，B，C，D的坐标；（2）求四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以求得A，B，C，D的坐标；（2）根据（1）中求得的点A，B，C，D的坐标，可以求得四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）＝（x﹣1）2﹣4，∴当y＝0时，x1＝3，x2＝﹣1，当x＝0时，y＝﹣3，该函数的顶点坐标为（1，﹣4），∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（1，﹣4），点D 的坐标为（0，﹣3）；（2）连接OC，如右图所示，∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（1，﹣4），点D 的坐标为（0，﹣3），∴四边形ABCD的面积是：S△AOD+S△ODC+S△OCB＝＝9．21．二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y… 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 m…（1）写出m的值0 ；（2）在图中画出这个二次函数的图象；（3）当y≥5时，x的取值范围是x≤﹣4或x≥2 ；（4）当﹣4＜x＜1时，y的取值范围是﹣4≤y＜5 ．【分析】（1）先确定出对称轴，根据抛物线的对称性即可求得；（2）根据二次函数图象的画法作出图象即可；（3）根据抛物线的对称性，（﹣4，5）关于直线x＝﹣1的对称点是（2，5），根据图象即可求得结论，（4）根据函数图象，写y的取值范围即可．【解答】解：（1）由图表可知抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∵（﹣3，0）关于直线x＝﹣1的对称点是（1，0），∴m＝0，故答案为：0；（2）函数图象如图所示；（3）∵（﹣4，5）关于直线x＝﹣1的对称点是（2，5），由图象可知当y≥5时，x的取值范围是x≤﹣4或x≥2，故答案为x≤﹣4或x≥2；（4）由图象可知当﹣4＜x＜1时，y的取值范围是﹣4≤y＜5，故答案为﹣4≤y＜5．22．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调査，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y与x之间的函数关系式，并直接写出当x取何值时，商场可获得最大利润？最大利润为多少元？【分析】（1）根据一天获利＝每件利润×一天的销售量即可求解；（2）①根据降价后的单件利润乘以销售量等于总利润列方程即可求解；②根据①的关系式利用二次函数的性质即可求解．【解答】解：（1）根据题意，得（100﹣80）×100＝2000．答：商场经营该商品原来一天可获利润2000元（2）①根据题意，得（100﹣80﹣x）（100+10x）＝2160整理，得x2﹣10x+16＝0，解得x1＝2，x2＝8．答：每件商品应降价2元或8元．②y＝（100﹣80﹣x）（100+10x）＝﹣10x2+100x+2000＝﹣10（x﹣5）2+2250当x＝5时，y有最大值为2250．答：y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x2+100x+2000．当x取5元时，商场可获得最大利润，最大利润为2250元．23．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）一辆宽为2米，高为3米的货船能否从桥下通过？【分析】（1）根据直角坐标系中的抛物线，和已知条件即可求解；（2）根据货车宽度可知抛物线解析式中的x值，即可求出对应的y的值，再与货车高度比较即可求解．【解答】解：（1）根据题意，得抛物线的顶点坐标为（5，4），经过（0，0），∴设：抛物线解析式为y＝a（x﹣5）2+4，把（0，0）代入，得25a+4＝0，解得a＝﹣，所以抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+4＝﹣x2+x．答：抛物线解析式为y＝﹣x2+x．（2）货船能从桥下通过．理由如下：∵货船宽为2米，高为3米，当x＝6时，y＝﹣（6﹣5）2+4＝3.84，∵3.84＞3，∴货船能从桥下通过．答：货船能从桥下通过．24．已知函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k2﹣3k﹣10的图象经过原点，试确定k的值．【分析】根据函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k2﹣3k﹣10的图象经过原点，可以得到关于k的一元二次方程，从而可以求得k的值．【解答】解：∵函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k2﹣3k﹣10的图象经过原点，∴0＝2×02﹣（3﹣k）×0+k2﹣3k﹣10，∴k2﹣3k﹣10＝0，∴（k﹣5）（k+2）＝0，解得，k1＝5，k2＝﹣2，即k的值是5或﹣2．25．在平面直角坐标系中，若抛物线y＝2x2与直线y＝x+1交于点A（a，b）和点B（c，d），其中a＞c，点O为原点，求△ABO的面积．【分析】首先求得两个交点的坐标，然后求得三角形的面积即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＝﹣或x＝1，∵点A（a，b）和点B（c，d），其中a＞c，∴A（1，2），B（﹣，），∴S△ABO＝×1×+×1×1＝．26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，点P从点C开始沿CB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从A开始沿AC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q同时从点C，A出发，试问：（1）出发多少时间时，点P，Q之间的距离等于？（2）出发多少时间时，△PQC的面积为6cm2？（3）△PQC面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？【分析】（1）可设出发xs时间时，点P，Q之间的距离等于2cm，根据勾股定理列出方程求解即可；（2）可设出发ys时间时，△PQC的面积为6cm2，根据三角形的面积公式列出方程求解即可；（3）根据题意得到△PQC面积和时间t的关系式，根据关系式即可得到结论．【解答】解：（1）设出发xs时间时，点P，Q之间的距离等于2cm，依题意有x2+（12﹣2x）2＝（2）2，解得x1＝2，x2＝7.6（不合题意舍去）．答：出发2s时间时，点P，Q之间的距离等于2cm；（2）设出发ys时间时，△PQC的面积为6cm2，依题意有y（12﹣2y）＝6，解得y1＝3﹣，y2＝3+．答：出发（3﹣）s或（3+）s时间时，△PQC的面积为6cm2；（3）依题意有S△PQC＝t（12﹣2t）＝﹣（t﹣3）2+9，∵﹣1＜0，∴△PQC面积的有最大值9，此时时间是3．27．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D 作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？【分析】（1）由平行线得△ABC∽△ADE，根据相似形的性质得关系式；（2）由S＝•BD•AE；得到函数解析式，然后运用函数性质求解．【解答】解：（1）动点D运动x秒后，BD＝2x．又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x．∵DE∥BC，∴，∴，∴y关于x的函数关系式为y＝（0＜x＜4）．（2）解：S△BDE＝＝＝（0＜x＜4）．当时，S△BDE最大，最大值为6cm2．28．我县某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包田地种植“黄金梨”，已知该黄金梨的成本价为8元/千克，到了收获季节投入市场销售时，通过调查市场行情发现销售该黄金梨不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当黄金梨定价为多少元时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）某农户今年共采摘黄金梨4800千克，若黄金梨的保质期为40天，则按（2）中的方式进行销售，能否销售完这批黄金梨？请说明理由．【分析】（1）根据图象即可求出y与x的函数关系；（2）根据销售利润等于每千克的利润乘以销售量即可求解；（3）每天的销售量与天数即可求解．【解答】解：（1）设y与x的函数关系为y＝kx+b，将（10，200），（15，150）代入，得，，∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+300（8≤x≤30）．（2）设每天销售获得利润为w元，根据题意，得w＝（x﹣8）（﹣10x+300）＝﹣10x2+380x﹣2400＝﹣10（x﹣19）2+1210∵﹣10＜0，当x＝19时，w有最大值为1210，答：黄金梨定价为19元时，每天销售获得的利润最大，最大利润是1210元．（3）根据题意，得40y＝4800，即﹣10x+300＝120，解得x＝18．答：能销售完这批黄金梨．29．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P 在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，∴0＝a（3﹣1）2+4，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3，∵点D在y轴上，令x＝0可得y＝3，∴D点坐标为（0，3），∴可设直线BD解析式为y＝kx+3，把B点坐标代入可得3k+3＝0，解得k＝﹣1，∴直线BD解析式为y＝﹣x+3；（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），∴PM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝，PM有最大值；（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），∴QG＝|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|＝|﹣x2+3x|，∵△BOD是等腰直角三角形，∴∠DBO＝45°，∴∠HGQ＝∠BGE＝45°，当△BDQ中BD边上的高为时，即QH＝HG＝，∴QG＝＝2，∵点Q在第一象限，∴﹣x2+3x＝2，解得x＝1或x＝2，∴Q（1，4）或（2，3），综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（1，4）或（2，3）．30．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B和点C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），抛物线的对称轴为x＝1，D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）点E为线段BC上一动点，过点E作x轴的垂线，与抛物线交于点F，求四边形ACFB面积的最大值，以及此时点E的坐标．（3）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，写出点P 点的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由B、C的坐标，结合抛物线对称轴，根据待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由B、C可求得直线BC解析式，可设出F点坐标，则可表示出E点坐标，从而可求得EF的长，则可表示出△CBF的面积，从而可表示出四边形ACFB的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，可求出E点的坐标；（3）由抛物线解析式可求得D点坐标，可设P点坐标为（1，t），则可表示出PC、PD和CD的长，由等腰三角形可分PC＝PD、PC＝CD和PD＝CD三种情况分别得到关于t的方程，可求得P点坐标．【解答】解：（1）∵点B和点C的坐标分别为（3，0）（0，﹣3），抛物线的对称轴为x＝1，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2））∵B（3，0），C（0，﹣3），∴直线BC解析式为y＝x﹣3，∵E点在直线BC上，F点在抛物线上，∴设F（x，x2﹣2x﹣3），E（x，x﹣3），∵点F在线段BC下方，∴EF＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，∴S△BCF＝EF•OB＝×3（﹣x2+3x）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，又∵S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6，∴S四边形ACFB＝S△ABC+S△BCF＝﹣（x﹣）2++6＝﹣（x﹣）2+，∵﹣＜0，∴当x＝时，S四边形ACFB有最大值，最大值为，此时E点坐标为（，﹣），综上可得四边形ACFB面积的最大值为，此时点E的坐标为（，﹣）；（3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4），且C（0，﹣3），∵P点为抛物线对称轴上的一点，∴设P（1，t），∴PC＝＝，PD＝|t+4|，CD＝＝，∵△PCD为等腰三角形，∴分PC＝PD、PC＝CD和PD＝CD三种情况，①当PC＝PD时，则＝|t+4|，解得t＝﹣3，此时P点坐标为（1，﹣3）；②当PC＝CD时，则＝，解得t＝﹣2或t＝﹣4（与D点重合，舍去），此时P点坐标为（1，﹣2）；。
北师大版2020九年级数学下册第二章二次函数单元综合基础达标训练题2(附答案详解)
北师大版2020九年级数学下册第二章二次函数单元综合基础达标训练题2（附答案详解）1．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（）A．y=60（300+20x）B．y=（60﹣x）（300+20x）C．y=300（60﹣20x）D．y=（60﹣x）（300﹣20x）2．如图是抛物线y=ax2+bx+c的图象，则下列五个结论：①abc＜0;②b=2a＜0;③a+b+c ＜0;④240->．其中正确的有（）b acA．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，AB是半圆O的直径，且AB＝4cm，动点P从点O出发，沿OA→AB→BO 的路径以每秒1cm的速度运动一周．设运动时间为t，s＝OP2，则下列图象能大致刻画s与t的关系的是（）A．B．C．D．4．如下图，已知经过原点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=-1，下列结论中①ab>0，②a+b+c＞0，③当-2＜x＜0时，y＜0．正确的个数是（）5．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（ ）A ．y=x 2﹣x ﹣2B ．y=﹣12x 2﹣12x+2 C ．y=﹣12x 2﹣12x+1 D ．y=﹣x 2+x+2 6．将二次函数的图象向下平移2个单位，再向右平移3个单位，则平移后的二次函数的解析式为（ ）A ．B ．C ．D ．7．若（2，0）、（4，0）是抛物线y=ax 2+bx+c 上的两个点，则它的对称轴是（ ） A ．直线x=﹣ B ．直线x=1C ．直线x=2D ．直线x=38．若二次函数的图像经过点，则关于的方程的实数根为 A ．， B ．， C ．， D ．，9．二次函数2y x 2x 3=-++的图象与x 轴（ ） A ．有两个交点，且它们位于y 轴同侧 B ．只有一个交点 C ．有两个交点，且它们位于y 轴两侧D ．无交点10．抛物线()225y x =--+与y ．轴的交点．．．．坐标是（ ） A ．（2，5） B ．（2，0） C ．（0，1） D ．（0，5） 11．在直角坐标系中，函数y= 3x 与y= －x 2+1的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．如图是二次函数 y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b ＞2a ；③3a+c=0； ④a ﹣b ＜m （ma+b ）（m≠﹣1的实数）；其中正确的命题是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④13．在直角坐标系中，将抛物线y=﹣x2﹣2x先向下平移一个单位，再向右平移一个单位，所得新抛物线的解析式为__________．14．若二次函数y＝kx2－8x＋8的图象与x轴有交点，则k的取值范围是______．15．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是.则他将铅球推出的距离是 m．16．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点C 的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD 面积的最大值为__________17．已知二次函数y=a（x﹣2）2+c（a＞0），当自变量x分别取1.5、3、0时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，则y1，y2，y3的大小关系是___________．18．函数的最大值是____________．19．抛物线y=4（x+h）2+k的顶点在第三象限，则有h，k满足h______0，k______0．20．抛物线的图象如图，则它的函数表达式是．当x 时，y＞0．21．已知抛物线y ="ax2" +bx +c 的对称轴为x=2，且经过点(1，4)和点(5，0)，则该抛物线的解析式为________22．已知抛物线2y 2(1)16x k x =-++的顶点在x 轴上，则k 的值是___________． 23．已知抛物线y=x 2﹣4x+3，如果点P （0，5）与点Q 关于该抛物线的对称轴对称，那么点Q 的坐标是 ．24．把抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y ＝x 2－3x+5，则a+b+c=__________25．已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点A 和点B （3，0），与y 轴交于点C （0，3），P 是线段BC 上一点，过点P 作PN ∥y 轴交x 轴于点N ，交抛物线于点M ． （1）求该抛物线的表达式；（2）如果点P 的横坐标为2，点Q 是第一象限抛物线上的一点，且△QMC 和△PMC 的面积相等，求点Q 的坐标； （3）如果32PMPN ，求tan∠CMN 的值．26．已知二次函数y ＝a 2x －8ax(a ＜0)的图像与x 轴的正半轴交于点A ，它的顶点为P ．点C 为y 轴正半轴上一点，直线AC 与该图像的另一交点为B ，与过点P 且垂直于x 轴的直线交于点D ，且CB ：AB ＝1：7．（1）求点A 的坐标及点C 的坐标(用含a 的代数式表示)；（2）连接BP ，若△BDP 与△AOC 相似（点O 为原点），求此二次函数的关系式．27．有这样一个问题：探究函数y=12x2+1x的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y=12x2+1x的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=12x2+1x的自变量x的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值．x…﹣3﹣2﹣1﹣12﹣1313121 23…y…25632﹣12﹣158﹣531855181783252m…标格中m的值为m=；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，32），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）．28．已知抛物线215y x3x22=---()1求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；()2x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？函数y有最大值还是最小值？最值为多少？29．已知抛物线C1：y=ax2﹣4ax﹣5（a＞0）．（1）当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；（2）①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；（3）若（2）中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值．30．对于函数，我们定义（为常数）．例如，则.已知：.（1）若方程有两个相等实数根，则m的值为；（2）若方程有两个正数根，则m的取值范围为．31．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴的一个交点为A(－2，0)，与y轴的交点为C，对称轴是x＝3，对称轴与x轴交于点B．(1)求抛物线的函数表达式；(2)经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标．32．求抛物线y=x2-2x的对称轴和顶点坐标，并画出图象．33．把下列二次函数化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项. （1）y＝x2＋（x＋1）2；（2）y＝（2x＋3）（x－1）＋5；（3）y＝4x2－12x（1＋x）；（4）y＝（x＋1）（x－1）.34．如图，用一段长30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度为20米）的矩形鸡场ABCD，设BC边长为x米，鸡场的面积为y平方米.（1）求y与x的函数关系式；（2）写出其二次项、一次项、常数项；（3）写出自变量x的取值范围.35．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣23），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）（1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；（2）若（1）中抛物线的对称轴上有点P，使△ABP的面积等于△ABC的面积的2倍，求出点P的坐标；（3）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点Q，使AQ+CQ的值最小？若存在，求AQ+CQ的最小值；若不存在，请说明理由．36．如图，一次函数122y x=-+分别交y轴、x 轴于A、B两点，抛物线2y x bx c=-++过A、B两点.（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于点M，交这个抛物线于点N.求当t 取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标.参考答案1．B 【解析】每件商品降价x 元后，则每星期的销售量为(300＋20x)件，单价为(60－x)元，则y ＝(60－x)(300＋20x)，故选B. 2．C 【解析】试题解析：由函数图象可得各系数的关系：a ＜0，b ＜0，c=0， ①∵a ＜0，b ＜0，c=0， ∴abc=0，故此选项错误； ②∵对称轴方程-1=-2b a， ∴b=2a， 故此选项正确；③当x=1时，y=a+b+c ＜0， 故此选项正确；④∵抛物线与x 轴有两个不同的交点， ∴b 2-4ac ＞0， 故此选项正确； 故正确答案为：3个． 故选C ． 3．C 【解析】 【分析】在半径AO 上运动时，s=OP 2=t 2；在弧BA 上运动时，s=OP 2=4；在BO 上运动时，s=OP 2=（4π+4-t ）2，s 也是t 是二次函数；即可得出答案． 【详解】解：利用图象可得出：当点P 在半径AO 上运动时，s=OP 2=t 2； 在弧AB 上运动时，s=OP 2=4； 在OB 上运动时，s=OP 2=（2π+4-t ）2． 结合图像可知C 选项正确故选：C ． 【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，能够结合图形正确得出s 与时间t 之间的函数关系是解决问题的关键． 4．D 【解析】12ba-=- ，2b a ∴= .0a > ，0b ∴> ，0ab ∴> ，故①正确；∵当1x = 时，0y > ，0a b c ∴++> ，故②正确；∵对称轴是直线x =﹣1，x 1=0, ∴x 2=-2, ∴当﹣2＜x ＜0时，y ＜0,故③正确；故选Ｄ． 5．D 【解析】 【分析】根据开口方向、顶点坐标、对称轴逐项分析即可. 【详解】A 、由图象可知开口向下,故a ＜0, 故A 错误；B 、抛物线过点（﹣1,0）,（2,0）,根据抛物线的对称性,顶点的横坐标是12, 而211222y x x =--+的顶点横坐标是﹣12, 故B 错误； C 、211122y x x =--+的顶点横坐标是﹣12, 故C 错误；D 、22y x x =-++的顶点横坐标是12,并且抛物线过点（﹣1,0）,（2,0），故D 正确．故选D. 【点睛】本题考察了二次函数的图像和性质，对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0），当a >0时，抛物线开口向上，当a <0时，抛物线开口向下；其对称轴是直线：2b x a=-；若抛物线与轴的两个交点是A (x 1，0)，B (x 2，0)，则抛物线的对称轴是：122x x x +=. 6．D 【解析】试题解析：抛物线y =x 2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为y =（x -3）2-2．故选D ．7．D【解析】试题解析：：∵（2，0）、（4，0）两点是抛物线与x 轴的两交点，∴抛物线的对称轴为x=242+=3． 故选D ．8．A【解析】试题分析：则：，故答案选A. 考点：一元二次方程的解法9．C【解析】令y =0,求二次函数与x 轴的交点,可得:2 230x x -++=,解得:121,3,x x =-=所以二次函数与x 轴的交点坐标为:(－1,0),(3,0),故选C.10．C【解析】令x=0可得y=-4+5=1，所以抛物线y=-(x-2)2+5与y 轴的交点坐标是（0，1），故选C. 11．D【解析】试题分析：由一次函数的性质可知，y= 3x 的函数图像过一、三象限，由二次函数性质可得y= －x 2+1中a <0，抛物线开口向下，故选D.12．D【解析】由图象可知过（1，0），代入得到a+b+c=0；根据=-1，推出b=2a ；由①②的结论判断③：根据a>0，（m+1)2>0，确定a （m+1）2>0，，经过整理即可得出a-b<（ma+b ）. 解：由图象可知：过（1，0），代入得：a+b+c=0，∴①正确；=-1，∴b=2a ，∴②错误；由a+b+c=0和b=2a 得，3a +c=0，③正确；∵m≠-1，∴（m+1）2>0，∵a>0，∴a（m+1）2>0，∴am 2+2am+a>0，∵b=2a ，∴a -b=-a ， ∴am 2+bm>a-b ，∴a -b<m （am+b ），④正确.故选D.“点睛”本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；[a]还可以决定开口大小，一次函数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置.13．y=﹣x 2【解析】试题解析：抛物线222(1)1,y x x x =--=-++ 它的顶点坐标为(−1,1),把点(−1,1)先向下平移一个单位,再向右平移一个单位得到对应点的坐标为(0,0),所以新的抛物线解析式是2.y x =-故答案为2.y x =-14．k≤2且k≠0【解析】因为y ＝kx 2－8x ＋8为二次函数，所以k ≠0,；令y =0，得到一元二次方程kx 2－8x ＋8=0，因为与x 轴有交点，即方程有实数根，故Δ=b 2－4ac =64－32k ≥0，解得k ≤2，又因为k ≠0，所以k 的取值范围是k ≤2且k ≠0.故答案为k ≤2且k ≠0.点睛：遇到一元二次方程与x 轴交点的情况可以令y =0，将问题转化成为一元二次方程根的情况问题.15．10【解析】试题分析：当y=0时，则35321212++-x x =0，解得：x=－2或x=10，即铅球推出的距离是10米.考点：二次函数的实际应用16．15 【解析】试题解析：∵D 是抛物线26y x x =-+上一点，∴设2(,6)D x x x ，-+ ∵顶点C 的坐标为(4,3)，22435OC ，∴=+= ∵四边形OABC 是菱形，5,BC OC BC x ∴==轴，22155(63)(3)1522S BCD x x x ，∴=⨯⨯-+-=--+ 502，-< BCD S ∴有最大值，最大值为15，故答案为：15.17．y 3＞y 2＞y 1（或 y 1＜y 2＜y 3）【解析】试题解析：∵a ＞0，∴二次函数图象开口向上，又∵对称轴为直线x=2，∴x 分别取1.5、3、0时，对应的函数值分别为y 1最小y 3最大，∴y 3＞y 2＞y 1．18．10【解析】∴当时，y 的最大值是10. 故答案为10.19． ＞ ＜【解析】∵抛物线y=4（x+h）2+k的顶点在第三象限，即点（-h，k）在第三象限，∴ -h<0，k<0，∴（1）h>0；（2）k<0.20．243y x x=-+；x＜1或x＞3．【解析】试题分析：观察可知抛物线的图象经过（1，0），（3，0），（0，3），由“交点式”，得抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3），将（0，3）代入，3=a（0﹣1）（0﹣3），解得a=1．故函数表达式为243 y x x=-+．由图可知当x＜1，或x＞3时，y＞0．考点：待定系数法求二次函数解析式．21．y=-0.5x+2x-2.5【解析】∵抛物线对称轴是直线x=2且经过点A(5，0)，由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点(−1，0)，设抛物线的解析式为y=a(x−x1)(x−x2)(a≠0)，即：y=a(x+1)(x−5)，把(1，4)代入得：4=−8a，∴a=−1 2 .∴抛物线的解析式为：y=−12x2+2x+52.故答案为y=−12x2+2x+52.22．3或-5【解析】试题解析：根据顶点纵坐标公式，抛物线y=x2-2（k+1）x+16的顶点纵坐标为()2 64214k⎡⎤--+⎣⎦，∵抛物线的顶点在x轴上时，∴顶点纵坐标为0，即()264214k ⎡⎤--+⎣⎦=0，解得k=3或-5．23．（4，5）．【解析】【分析】 首先确定抛物线的对称轴，然后根据对称点的性质解题即可．【详解】∵y=x 2﹣4x+3的对称轴为x=2，∴点P （0，5）关于该抛物线的对称轴对称点Q 的坐标为（4，5），故答案为（4，5）．24．11【解析】试题解析：∵y=x 2-3x+5=（x-32）2+114，当y=x 2-3x+5向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线y=ax 2+bx+c 的图象，∴y=（x-32+3）2+114+2=x 2+3x+7； ∴a+b+c=11．25．（1）抛物线的表达式为2y x 2x 3=-++；（2）点Q 的坐标为（1）；（3）2.【解析】试题分析：（1）将B(3，0)，C(0，3)代入y=-x 2+bx+c ，求得b 、c 的值，即可得该抛物线的表达式；（2）设直线BC 的解析式为()0y kx b k =+≠，把点C (0，3)，B (3，0)代入，求得直线BC 的解析式为3y x =-+，即可得P （2，1），M （2，3） 所以2PCM S ∆=，设△QCM 的边CM 上的高为h ，则1222QCM S h ∆=⨯⨯=，可得2h =，即可得Q 点的纵坐标为1，所以2231x x -++=，解得1211x x ==舍），即可得点Q 的坐标为（1+）；（3）过点C 作CH MN ⊥，垂足为H ，设M ()2,23m m m -++，则P (),3m m -+，因为32PM PN =，可得25PN MN =，由此可得()223235m m m -+=-++，解得32m =，即可得点P 的坐标为（33,)22，所以M 315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭，求得34MH =，所以tan 2CH CMN MH∠==. 试题解析：（1）将()3,0B ，()03C ，代入2y x bx c =-++，得 930{3b c c -++== 解得 2{3b c == ∴抛物线的表达式为223y x x =-++（2）设直线BC 的解析式为()0y kx b k =+≠，把点C (0，3)，B (3，0)代入得 3{30b k b =+=，解得 1{3k b =-=∴直线BC 的解析式为3y x =-+ ∴P （2，1），M （2，3）∴2PCM S ∆=，设△QCM 的边CM 上的高为h ，则1222QCM S h ∆=⨯⨯= ∴2h =∴Q 点的纵坐标为1，∴2231x x -++=解得1211x x ==舍）∴点Q 的坐标为（1+）（3）过点C 作CH MN ⊥，垂足为H设M ()2,23m m m -++，则P (),3m m -+ ∵32PM PN =，∴25PN MN =，∴()223235m m m -+=-++ 解得32m =，∴点P 的坐标为（33,)22 ∴M 315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴34MH =，∴tan 2CH CMN MH∠== 点睛：本题是二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线、直线的解析式，三角形面积计算，方程思想，以及分类思想，综合性较强，有一定的难度．26．解：（1）A(8，0)，C(0，－8a)；（2）y＝－x+x.【解析】试题分析：（1）由y＝ax2－8ax可得A(8，0)，由CB：AB＝1：7得点B的横坐标为1，故B(1，－7a)，C(0，－8a)．（2）对称轴与x轴交于点H，过点B作BF⊥PD于点F，易知，BF＝3，AH＝4，DH＝－4a，则FD＝－3a， PF＝－9a，由相似，可知：BF2=DF·PF，从而求得a的值，故可求函数关系式.试题解析：（1）P(4，－16a)，A(8，0)，∵CB：AB＝1：7，∴点B的横坐标为1∴B(1，－7a)，∴C(0，－8a)．（2）∵△AOC为直角三角形，∴只可能∠PBD＝90°，且△AOC∽△PBD．………（5分）设对称轴与x轴交于点H，过点B作BF⊥PD于点F，易知，BF＝3，AH＝4，DH＝－4a，则FD＝－3a，∴PF＝－9a，由相似，可知：BF2＝DF·PF，∴9＝－9a·(－3a)，∴a 3a3(舍去)．∴y 3283x．27．（1）x≠0；（2）296；（3）见解析；（4）见解析【解析】【分析】（1）由图表可知x≠0；（2）根据图表可知当x=3时的函数值为m，把x=3代入解析式即可求得；（3）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可；（4）观察图象即可得出该函数的其他性质．【详解】（1）x≠0；（2）当x =3 时，211293236m =⨯+=； （3）注：要用平滑的曲线连接，图象不能与y 轴相交；（4）函数的性质有很多．如：①当x <0时，y 值随着x 值的增大而减小；②该函数没有最大值；③该函数图象与y 轴没有交点．28．见解析【解析】试题分析：二次函数的开口由二次项系数a 决定.0a >，开口向上，0,a <开口向下.对称轴2b x a =-，顶点坐标24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.增减性要根据开口和对称轴. 试题解析： ()110,2a -<＝53,.2b c =-＝－ 对称轴是3,2b x a =-=-24 2.4ac b a-= 顶点坐标为：()3,2.-()2在对称轴的左侧，即当3x <-时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当3x >-时，y 随x 的增大而减小.因为抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，所以函数有最大值，当3x =-时，y 的最大值是2.点睛：二次函数的开口由二次项系数a 决定.0a >，开口向上，0,a <开口向下.对称轴2b x a =-，顶点坐标24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.增减性要根据开口和对称轴. 29．（1）（﹣1，0）或（5，0）；对称轴为x=2；（2）①（0，﹣5），（4，﹣5）②y=﹣ax 2+4ax ﹣5（3）a=74或34 【解析】【分析】（1）将a=1代入解析式，即可求得抛物线与x 轴交点；（2）①化简抛物线解析式，即可求得两个点定点的横坐标，即可解题；②根据抛物线翻折理论即可解题；（3）根据（2）中抛物线C 2解析式，分类讨论y=2或﹣2，即可解题【详解】（1）当a=1时，抛物线解析式为y=x 2﹣4x ﹣5=（x ﹣2）2﹣9，∴对称轴为x=2；∴当y=0时，x ﹣2=3或﹣3，即x=﹣1或5；∴抛物线与x 轴的交点坐标为（﹣1，0）或（5，0）；（2）①抛物线C 1解析式为：y=ax 2﹣4ax ﹣5，整理得：y=ax （x ﹣4）﹣5；∵当ax （x ﹣4）=0时，y 恒定为﹣5；∴抛物线C 1一定经过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）；②这两个点连线为y=﹣5；将抛物线C 1沿y=﹣5翻折，得到抛物线C 2，开口方向变了，但是对称轴没变；∴抛物线C 2解析式为：y=﹣ax 2+4ax ﹣5，（3）抛物线C 2的顶点到x 轴的距离为2，则x=2时，y=2或者﹣2；当y=2时，2=﹣4a+8a ﹣5，解得，a=74； 当y=﹣2时，﹣2=﹣4a+8a ﹣5，解得，a=34；∴a=74或34；考点：1、抛物线与x轴的交点；2、二次函数图象与几何变换30．（1）；（2）m≤且m≠．【解析】试题分析：根据题意得y′=，（1）∵方程有两个相等实数根，∴△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=0，解得：m=，故答案为：；（2），即=，化简得：，∵方程有两个正数根，∴，解得：m≤且m≠．故答案为：m≤且m≠．考点：抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系；新定义；综合题．31．(1) 抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋4 ；(2) M的坐标为(6，4)或(3－，－4)或(3＋，－4).【解析】解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋4交x轴于A(－2，0)，∴0＝4a－2b＋4，∵对称轴是直线x ＝3，∴－＝3，即6a＋b＝0，关于a，b的方程联立解得 a＝－，b＝，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋4 (2)∵四边形为平行四边形，且BC∥MN，∴BC＝MN.①N点在M点下方，即M点向下平移4个单位，向右平移3个单位与N重合．设M1(x，－ x2＋x＋4)，则N1(x＋3，－ x2＋x)，∵N1在x轴上，∴－x2＋x＝0，解得 x＝0(M与C重合，舍去)，或x＝6，∴x M＝6，∴M1(6，4)；②M点在N点右下方，即N向下平移4个单位，向右平移3个单位与M重合．设M(x，－ x2＋x＋4)，则N(x－3，－ x2＋x＋8)，∵N在x轴上，∴－x2＋x＋8＝0，解得 x＝3－，或x＝3＋，∴x M＝3－或3＋.∴M2(3－，－4)或M 3(3＋，－4)．综上所述，M 的坐标为(6，4)或(3－，－4)或(3＋，－4)32．见解析 【解析】 试题分析：要求二次函数的对称轴和顶点坐标，可以将题目中给出的二次函数解析式利用配方法转化为二次函数解析式的顶点形式，进而得出二次函数的顶点和对称轴. 在画二次函数的图象时，以对称轴与x 轴的交点为中心在x 轴上左右对称地取得7个点，通过解析式分别计算出相应的函数值并列出表格；在平面直角坐标系中，将表中数据所表示的点描出来；利用平滑的曲线连接各点即得二次函数的图象. 试题解析：利用配方法将该二次函数的解析式y =x 2-2x 转化为相应的顶点形式，得()()222221111y x x x x x =-=-+-=--，即()211y x =--.根据二次函数解析式的顶点形式与图象的关系可知： 该二次函数的对称轴为直线x =1， 该二次函数的顶点坐标为(1, -1). 下面画二次函数y =x 2-2x 的图象.以二次函数y =x 2-2x 的对称轴直线x =1为中心在x 轴上对称地选取7个点并计算相应的函数值，列于下表： x -2 -1 0 1 2 3 4 y 83-138根据上表中的数据，在平面直角坐标系中描出上述数据所表示的点，再用平滑的曲线连接各点则得到该二次函数的图象. 函数图象如图所示：点睛：本题中利用二次函数解析式的顶点形式来确定二次函数顶点和对称轴是一项需要熟练掌握的技能. 在利用配方法时，要注意转换二次函数解析式时用的配方法与解一元二次方程时用的配方法有一定的区别. 在利用配方法转换二次函数解析式的形式时，要特别注意增加的项一定要在解析式中适当的位置予以消除，保持解析式恒等.33．答案见解析【解析】试题分析：（1）根据整式的乘法计算后合并同类项，可得一元二次方程的一般形式，再指出二次项系数、一次项系数及常数项即可；（2）根据整式的乘法计算后合并同类项，可得一元二次方程的一般形式，再指出二次项系数、一次项系数及常数项即可；（2）根据整式的乘法计算后合并同类项，可得一元二次方程的一般形式，再指出二次项系数、一次项系数及常数项即可；（4）根据平方差公式计算后即可得一元二次方程的一般形式，再指出二次项系数、一次项系数及常数项即可．试题解析：（1）∵y＝x2＋（x＋1）2＝x2＋x2＋2x＋1＝2x2＋2x＋1，∴一般形式为y＝2x2＋2x＋1，二次项系数为2，一次项系数为2，常数项为1.（2）∵y＝（2x＋3）（x－1）＋5＝2x2－2x＋3x－3＋5＝2x2＋x＋2，∴一般形式为y＝2x2＋x＋2，二次项系数为2，一次项系数为1，常数项为2.（3）∵y＝4x2－12x（1＋x）＝4x2－12x－12x2＝－8x2－12x，∴一般形式为y＝－8x2－12x，二次项系数为－8，一次项系数为－12，常数项为0.（4）∵y＝（x＋1）（x－1）＝x2－1，∴一般形式为y＝x2－1，二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为－1.34．（1）Y=-12x2+15x；（2）二次项为-12x2，一次项为15x，常数项为0；（3）自变量的取值范围为：0＜x≤20.试题分析：（1）由题意表示出CD的长度，再根据矩形面积公式写出函数关系式即可；（2）将二次函数解析式写成一般式，然后判断出二次项、一次项、常数项；（3）由题意得：0＜x≤20.试题解析：（1）∵在矩形ABCD中，BC=x，∴CD=302x=15－12x，∴y=x(15－12x)=－12x2+15x；（2）二次项为－12x2，一次项为15x，常数项为0；（3）自变量的取值范围为：0＜x≤20.点睛：在判断二次函数的二次项、一次项、常数项时，首先要将二次函数的解析式化为一般式然后再进行判断.35．（1）抛物线的解析式为y=16（x﹣4）2﹣23，A（2，0），B（6，0）；（2）点P坐标（4，4）或（4，﹣4）；（3）存在，QA+QC的最小值为13．【解析】（1）抛物线的顶点坐标为（4，﹣），可以假设抛物线为y=a（x﹣4）2﹣把点（0，2）代入得到a=，∴抛物线的解析式为y=（x﹣4）2﹣．令y=0得到（x﹣4）2﹣=0，解得x=2或6，∴A（2，0），B（6，0）．（2）设P（4，m），由题意：•4•|m|=2××4×2，解得m=±4，∴点P坐标（4，4）或（4，﹣4）．（3）存在．理由如下：∵A、B关于对称轴对称，连接CB交对称轴于Q，连接QA，此时QA+QC最短（两点之间线段∴QA+QC 的最小值=QA+QC=QB+QC=BC==．36．（1）抛物线解析式为2722y x x =-++ ； （2）当 t=2 时，MN 有最大值为 4； （3）D （0，6）或（0，-2）或（4，4）. 【解析】试题分析： （1）先由直线122y x =-+分别交y 轴、x 轴于点A 、B 这一条件求出点A 、B 的坐标，将所求坐标代入抛物线2y x bx c =-++列出关于b c 、的值即可得到所求抛物线的解析式； （2）如图1，由题意可知点M 的横坐标为t ，根据点M 在直线122y x =-+上，点N 在（1）中所求抛物线上，可用含“t ”的代数式表达出点M 、N 的坐标，结合第一象限中，点N 在点M 的上方，可用含“t ”的代数式表达出MN 的长，把所得式子配方，即可得到所求答案； （3）由（2）中答案可得求得对应的点A 、M 、N 的坐标，如图2分析可知点D 有三种可能，其中两种情况点D 在y 轴上，结合AD=MN ，即可求得两个符合要求的点D 1、D 2的坐标；由图可知第三个符合要求点D 就是直线D 1N 和D 2M 的交点，求出两直线的解析式联立成方程组，解方程组即可求得第三个符合要求的点D 的坐标. 试题解析： (1)∵122y x =-+分别交y 轴、x 轴于A.、B 两点， ∴A 、B 点的坐标为：A(0,2)，B(4,0)， 将x=0，y=2代入y=−x²+bx+c 得c=2，将x=4，y=0，c=2代入y=−x²+bx+c 得0=−16+4b+2，解得b=72， ∴抛物线解析式为： 2722y x x =++，(2)如图1，由题意可知，直线MN 即是直线x t =， ∵点M 在直线122y x =+上，点N 在抛物线2722y x x =-++上， ∴点M 、N 的坐标分别为1-22t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，、2722t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，， ∵在第一象限中，点N 在点M 的上方， ∴MN=()222712242422t t t t t t ⎛⎫⎛⎫-++--+=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴当2t =时，MN 最长=4；(3)由(2)可知，A(0，2)，M(2，1)，N(2，5).以A. M 、N 、D 为顶点作平行四边形，D 点的可能位置有三种情形，如图2所示：(i)当D 在y 轴上时，设D 的坐标为(0，a) 由AD=MN ，得|a−2|=4，解得a 1=6，a 2=−2， 从而D 1为(0，6)或D 2(0，−2)，(ii)当D 不在y 轴上时，由图可知D 3为D 1N 与D 2M 的交点，由D1、D2、M、N的坐标可求得直线D1N的解析式为：y=−12x+6，直线D2M的解析式为：y=32x−2，由162{322y xy x=-+=-解得4{4xy==，∴D3的坐标为：(4，4)，综上所述，所求的D点坐标为(0，6)，(0，−2)或(4，4).点睛：解第3小题时，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，则点D必在过△AMN的顶点A、M、N所作的平行于对边的直线上，这样结合MN∥y轴，点A在y轴上，即可画图找到D1和D2的位置，连接D1N、D2M相交，则交点就是D3，这样结合图形和已知条件就可求得所求D点的坐标.。
北师大版九年级数学下册第二章 二次函数 单元测试训练卷(word 含答案)
北师大版九年级数学下册第二章 二次函数单元测试训练卷一、选择题（共8小题，4*8=32）1． 下列函数中，不是二次函数的是( )A ．y ＝1－2x 2B ．y ＝2(x －1)2＋4C ．y ＝12(x －1)(x ＋4) D ．y ＝(x －2)2－x 2 2． 如图是有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是( )A ．h ＝mB ．k ＝nC ．k ＞nD ．h ＜0，k ＞03． 已知二次函数y ＝x 2－4x ＋a ，下列说法错误的是( )A ．当x<1时，y 随x 的增大而减小B ．若图象与x 轴有交点，则a≤4C ．当a ＝3时，不等式x 2－4x ＋3>0的解集是1<x<3D ．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1，－2)，则a ＝－34． 下列关于二次函数的说法错误的是( )A ．抛物线y ＝－2x 2＋12x ＋1的对称轴是直线x ＝3B ．对于抛物线y ＝x 2－2x －3，点A(3，0)不在它的图象上C ．二次函数y ＝(x ＋3)2－3的顶点坐标是(－3，－3)D ．函数y ＝2x 2＋4x －3的图象的最低点是(－1，－5)5． 点P(m ，n)在以y 轴为对称轴的二次函数y ＝x 2＋ax ＋4的图像上．则m －n 的最大值等于( )A ．154B ．4C ．－154D ．－1746． 函数y ＝ax ＋b 和y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一直角坐标系内的图象可能是( )7． 如图是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a －b ＋c ＞0；②3a ＋b ＝0；③b 2＝4a(c －n)；④一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48． 如图，已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，点D 为边AB 上一点，过点D 作DE ∥AC ，交BC 于E 点；过E 点作EF ⊥DE ，交AB 的延长线于F 点．设AD ＝x ，△DEF 的面积为y ，则能大致反映y 与x 函数关系的图象是( )二．填空题（共6小题，4*6=24）9．抛物线y ＝－x 2＋15有最________点，其坐标是________．10． 若二次函数y ＝x 2＋2x ＋a 的图象与x 轴有两个不同的交点，则a 的取值范围是__________．11． 如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是直线x ＝1，过抛物线上两点的直线AB 平行于x 轴，若点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，32，则点B 的坐标为 ．12． 已知二次函数y ＝x 2＋2mx ＋2，当x>2时，y 随x 的增大而增大，则实数m 的取值范围是________．13． 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(－3，0)，对称轴是直线x ＝－1，则a ＋b ＋c ＝________．14． 如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴在y 轴的右侧，其图象与x 轴交于点A(－1，0)，点C(x 2，0)，且与y 轴交于点B(0，－2)，小强得到以下结论：①0＜a ＜2；②－1＜b ＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时，x2＞5－1．以上结论中，正确的结论序号是________．三．解答题（共5小题，44分）15．(6分) 已知抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)经过点(－1，0)，(3，0)，求a，b的值．16．(8分)如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，B(3，2)．(1)求m的值和抛物线的表达式；(2)求不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集．(直接写出答案)17．(8分) 抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，且顶点在x轴上．(1)求b、c的值；(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出抛物线并写出它与y轴的交点C的坐标；(3)根据图像直接写出：点C关于直线x＝2的对称点D的坐标为________；若E(m，n)为抛物线上一点，则点E关于直线x＝2的对称点的坐标为________(用含m、n的式子表示)．18．(10分) 如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B．(1)求二次函数与一次函数的表达式；(2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．19．(12分) 如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T1～T5(各拐角均为90°)，每个台阶的高、宽分别是1和1．5，台阶T1到x轴的距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝－x2＋4x＋12发出一个带光的点P．(1)求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并指出点P会落在哪个台阶上；(2)当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的表达式，并说明其对称轴是否与台阶T5有交点；(3)在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE＝2．在△BDE 沿x轴左右平移时，必须保证(2)中沿抛物线C下落的点P能落在边BD(包括端点)上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？[注：(2)中不必写x的取值范围]参考答案1-4 DBCB 5-8CCCA9．高，(0，15)10．a ＜111．⎝⎛⎭⎫2，32 12．m≥－213．014．①④15．解：把(－1，0)，(3，0)分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝a －b －3，0＝9a ＋3b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2. 即a 的值为1，b 的值为－2．16．解： (1)∵直线y ＝x ＋m 经过点A(1，0)，∴0＝1＋m ．∴m ＝－1．∴y ＝x －1．∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A(1，0)，B(3，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝1＋b ＋c ，2＝9＋3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2.∴抛物线的表达式为y ＝x 2－3x ＋2 (2)x<1或x>317．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝2，且顶点在x 轴上，∴顶点为(2，0)．∴抛物线为y ＝－(x －2)2＝－x 2＋4x －4，∴b ＝4，c ＝－4．(2)画出抛物线如图：点C 的坐标为(0，－4)．(3)(4，－4)；(4－m ，n)18．(1)将点A(1，0)代入y ＝(x －2)2＋m 中得(1－2)2＋m ＝0，解得m ＝－1，所以二次函数的表达式为y ＝(x －2)2－1．当x ＝0时，y ＝4－1＝3，所以点C 坐标为(0，3)，由于点C 和点B 关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x ＝2，所以点B 坐标为(4，3)，将A(1，0)，B(4，3)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，4k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1.所以一次函数的表达式为y ＝x －1 (2)当kx ＋b≥(x －2)2＋m 时，1≤x≤419．解：(1)对于抛物线y ＝－x 2＋4x ＋12，令y ＝0，则－x 2＋4x ＋12＝0，解得x ＝－2或x ＝6，∵OA ＝2，∴A(－2，0)，∴点A 的横坐标为－2．补画y 轴，如图所示，由题意知台阶T 4左边的端点坐标为(4．5，7)，右边的端点为(6，7)．当x ＝4．5时，y ＝9．75>7，当x ＝6时，y ＝0<7，对于y ＝－x 2＋4x ＋12，当y ＝7时，7＝－x 2＋4x ＋12，解得x ＝－1或x ＝5，∴抛物线与台阶T 4有交点，∴点P 会落在台阶T 4上．(2)设抛物线C 的表达式为y ＝－x 2＋bx ＋c ，抛物线y ＝－x 2＋4x ＋12与台阶T 4的交点为R ，则R(5，7)．由题意知抛物线C ：y ＝－x 2＋bx ＋c 经过R(5，7)，最高点的纵坐标为11，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4c －b 2－4＝11，－25＋5b ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝14，c ＝－38或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，c ＝2(舍去)，∴抛物线C 的表达式为y ＝－x 2＋14x －38，∴抛物线C 的对称轴为直线x ＝7，易知台阶T 5的左边的端点为(6，6)，右边的端点为(7．5，6)，∴抛物线C 的对称轴与台阶T 5有交点．(3)对于抛物线C ：y ＝－x 2＋14x －38，令y ＝0，得到－x 2＋14x －38＝0，解得x ＝7＋11或x ＝7－11(舍去)，∴抛物线C 交x 轴于(7＋11，0)，当y ＝2时，2＝－x 2＋14x －38，解得x ＝4(舍去)或x ＝10，∴抛物线经过(10，2)，在Rt △BDE 中，∠DEB ＝90°，DE ＝1，BE ＝2，∴当点D 与(7＋11，0)重合时，点B 的横坐标最大，最大值为8＋11，当点B 与(10，2)重合时，点B 的横坐标最小，最小值为10，∴点B 横坐标的最大值比最小值大11－2．。