数值分析计算方法
数值分析计算方法介绍
据此有 Vt1 vt0 S ，两端同除以 V v ，有
S t * 由于 V v
V v S t1 t0 V v V v V v
为人龟追赶问题的精确解，
由此可见，精确解等于任给预报值同它的校正值的加权平均：
其中
v V v
t* (1 )t1 t0
数
值
分
析
——插值、拟合与数值微积分
：
1
• 引例
数值分析(计算方法)简介
a11 x1 a1n xn b1 a x a x b nn n n n1 1
考虑如下线性方程组
(1)
或者：
Ax b
其中 det(A) 0 , 由克莱姆法则可知 (1)有唯一的解，而且解为：
, a3 0.8610 ，其绝对误差限都是0.005， 例 设近似值 a1 1.38, a2 0.0312 求各个近似值各有几位有效数字？
解
4
3 李庆扬. 数值分析. 清华大学出版社，2001.
4 白峰杉. 数值计算引论. 高等教育出版社, 2004. 5 王能超. 计算方法. 北京: 高等教育出版社, 2005
8
数值分析的基本概念
内容:
• • • • • 算法设计技术 误差 数值计算中需要注意的一些问题 算法的稳定性 病态问题
9
算法设计技术
1 a x1 x0 2 x0
0出发，利用上式反复迭代，即可获得满足精度要求的开
1 a xk , k 0,1, 2, 2 xk
校正技术的基本思想：删繁就简，逐步求精 ！ 17
• 算法优化的松弛技术 再考察Zeno算法： 对于给定的预报值 t 0 ，校正值为 t1
数值分析计算方法实验报告
end;
end;
X=x;
disp('迭代结果:');
X
format short;
输出结果：
因为不收敛，故出现上述情况。
4.超松弛迭代法：
%SOR法求解实验1
%w=1.45
%方程组系数矩阵
clc;
A=[2,10,0,-3;-3,-4,-12,13;1,2,3,-4;4,14,9,-13]
b=[10,5,-2,7]'
b=[10,5,-2,7]'
[m,n]=size(A);
if m~=n
error('矩阵A的行数和列数必须相同');
return;
end
if m~=size(b)
error('b的大小必须和A的行数或A的列数相同');
return;
end
if rank(A)~=rank([A,b])
error('A矩阵的秩和增广矩阵的秩不相同,方程不存在唯一解');
3．实验环境及实验文件存档名
写出实验环境及实验文件存档名
4.实验结果及分析
输出计算结果，结果分析和小结等。
解：1.高斯列主元消去法：
%用高斯列主元消去法解实验1
%高斯列主元消元法求解线性方程组Ax=b
%A为输入矩阵系数,b为方程组右端系数
%方程组的解保存在x变量中
format long;
A=[2,10,0,-3;-3,-4,-12,13;1,2,3,-4;4,14,9,-13]
return;
end
c=n+1;
A(:,c)=b;
for k=1:n-1
数值分析计算方法复习提纲
数值分析总复习提纲数值分析课程学习的内容看上去比较庞杂，不同的教程也给出了不同的概括，但总的来说无非是误差分析与算法分析、基本计算与基本算法、数值计算与数值分析三个基本内容。
在实际的分析计算中，所采用的方法也无非是递推与迭代、泰勒展开、待定系数法、基函数法等几个基本方法。
一、误差分析与算法分析误差分析与算法设计包括这样几个方面： （一）误差计算 1、截断误差的计算截断误差根据泰勒余项进行计算。
基本的问题是(1)1()(01)(1)!n n f x x n，已知ε求n。
例1．1：计算e 的近似值，使其误差不超过10－6。
解：令f(x)=e x ,而f （k)(x)=e x ,f （k)(0)=e 0=1。
由麦克劳林公式，可知211(01)2!!(1)!n x xn x x e e x x n n当x=1时，1111(01)2!!(1)!e e n n故3(1)(1)!(1)!n e R n n 。
当n＝9时，R n (1)<10－6，符合要求。
此时， e≈2.718 285。
2、绝对误差、相对误差及误差限计算绝对误差、相对误差和误差限的计算直接利用公式即可。
基本的计算公式是：①e(x)＝x *－x ＝△x ＝dx② *()()()ln r e x e x dxe x d x x x x③(())()()()e f x f x dx f x e x ④(())(ln ())r e f x d f x⑤121212121122121122((,))(,)(,)(,)()(,)()x x x x e f x x f x x dx f x x dx f x x e x f x x e x ⑥121212((,))((,))(,)f x x f x x f x x⑦ x注意：求和差积商或函数的相对误差和相对误差限一般不是根据误差的关系而是直接从定义计算，即求出绝对误差或绝对误差限，求出近似值，直接套用定义式()()r e x e x x或x， 这样计算简单。
数值分析与数值计算方法
数值分析与数值计算方法数值分析与数值计算方法是现代科学与工程领域中的重要学科，它涉及到利用计算机和数值方法解决数学问题的理论和技术。
本文将从数值分析的基本概念、应用领域以及常见的数值计算方法等方面进行探讨。
一、数值分析的基本概念数值分析是一门研究数学算法与计算机实现相结合的学科，旨在通过数学模型的建立和数值计算方法的选择，对实际问题进行定量分析和计算。
它不仅包括了数值计算方法的研究，还包括了误差分析、计算复杂性和算法设计等内容。
数值分析的核心任务是将问题转化为数学模型和计算机可处理的形式，通过数值计算方法求解模型得到近似解。
数值分析的基本思想是通过将连续问题离散化，将其转化为离散的代数问题，然后利用数值计算方法进行求解。
二、数值分析的应用领域数值分析广泛应用于科学和工程领域，例如物理学、化学、生物学、经济学、计算机科学等。
在实际的科学研究和工程应用中，常常需要对现象进行数值建模和计算求解，以获得更加准确的结果。
在物理学中，数值分析用于求解微分方程、积分方程等物理模型，并模拟和预测天体运动、流体流动等自然现象。
在化学和生物学中，数值分析被用于计算分子结构、化学反应动力学等问题。
在经济学中，数值分析可以用于建立经济模型、进行风险评估和决策分析。
三、常见的数值计算方法1. 插值和拟合方法：插值和拟合方法用于根据已知数据点的函数值，构造出一个逼近原函数的函数。
常见的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值；拟合方法包括最小二乘拟合、多项式拟合等。
2. 数值积分方法：数值积分方法用于计算函数在一定区间上的定积分。
常见的数值积分方法有梯形规则、辛普森规则等。
3. 数值微分方法：数值微分方法用于在离散数据点上估计函数的导数。
常见的数值微分方法有中心差分法和向前差分法等。
4. 常微分方程数值解法：常微分方程数值解法用于求解常微分方程的数值解。
常见的数值解法有欧拉法、龙格-库塔法等。
5. 线性方程组的数值解法：线性方程组的数值解法用于求解线性代数方程组的数值解。
数值分析与计算方法 第一章 插值法
同 理 ： (t) 至 少 有n 个 互 异 零 点；
(t) 至 少 有n 1 个 零 点 ；
(n1) (t ) 至 少 有 一 个 零 点 ； 即 (a ，b)，
(n1) (
)
R(n1) n
(
)
K ( x)n1(n1) (
)
R(n1) n
(
)
K ( x) (n
1)!
f (n1) ( ) K ( x) (n 1)! 0
x x0 x1 x2 xn ， y f ( x)？ y y0 y1 y2 yn
（1）有的函数没有表达式，只是一种表格函数，而我们需要的 函数值可能不在该表格中。
（2）如果函数表达式本身比较复杂，计算量会很大；
对于这两种情况，我们都需要寻找一个计算方便且表达简单
的函数 P x来近似代替 f ( x)，求 P x 的方法称为插值法。
Ln1( x)
为此我们考虑对Lagrange插值多项式进行改写； ——由唯一性，仅是形式上的变化
期望：Ln ( x) 的计算只需要对Ln1( x)作一个简单的修正.
考虑 h( x) Ln ( x) Ln1( x) h( x) 是次数 n 的多项式，且有
h( x j ) Ln ( x j ) Ln1( x j ) 0 ，j 0 ，1，2 ，L ，n 1 ；
)
3
)
1 2
(x
(
4
6
6
)( x
)(
4
3
)
3
)
1
(
x
6
)(
x
4
)
2
(
3
6
)(
3
4
)
3 2
数值分析-计算方法-插值a
sin 50 0
L2
(
5
18
)
0.76543
- c os
R (x ) x(x-)x (-)x (-);
c o s3
2
3 ! 6 4 3
x2
R2
5 18
0.00077
sin 50 = 0.7660444…
2次插值的实际误差 0.00061
高次插值通常优于 低次插值
但绝对不是次数越 高就越好，嘿 嘿……
R1(
5
18
)
0.01077
sin 50 = 0.7660444…
外推 /* extrapolation */的实际误差 -0.01001
利用 x1 4, x2 3
sin 50 0.76008,
内插/* interpolation */ 的实际误差 0.00596
R~ 1
5
18
0.00660
The wife said: "No, they're TEN!" "But I have counted them: 0, 1, 2, ..."
n1 li(x)
希望找到li(x)，i = 0, …, n 使得 li(xj)=ij ；然后令
n
Ln ( x )
li ( x )
y i
，则显然有Ln(xi)
[b a,]
n
RRno(lxl)e’至s T少h有eornem+1:个若根( x) 充分Rn光(x)滑 ，K(x() x i00)( x - (xx i )1)0，则
任存意在固注定意(这xx0里,xxi是1)(i对使= 0得t, 求…,导(n),)考0察。
数值分析与计算方法的基本原理
数值分析与计算方法的基本原理数值分析与计算方法是一门涉及数学、计算机科学和工程学的学科，主要研究如何利用数值计算的方法解决实际问题。
本文将从数值分析和计算方法的基本原理两个方面进行论述。
一、数值分析的基本原理数值分析的基本原理是通过数学方法对实际问题进行近似计算，以获得问题的数值解。
它主要涉及数值逼近、数值积分、数值微分和数值代数等方面。
1. 数值逼近数值逼近是指通过一系列已知的数值来近似表示一个函数或者数值。
其中最常用的方法是插值和拟合。
插值是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数在这些点上与原函数值相等；拟合是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数在这些点上与原函数的差别最小。
插值和拟合可以用于曲线拟合、数据预测等问题。
2. 数值积分数值积分是指通过数值计算的方法对函数的积分进行近似计算。
常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和龙贝格法则等。
这些方法通过将积分区间划分成若干小区间，在每个小区间上用简单的数值计算方法来估计积分值，然后将这些估计值相加得到近似的积分值。
3. 数值微分数值微分是指通过数值计算的方法对函数的导数进行近似计算。
常用的数值微分方法有有限差分法和微分拟合法。
有限差分法通过计算函数在某一点的前后差值来估计导数的值；微分拟合法通过在某一点附近构造一个拟合函数，然后计算该函数的导数来估计原函数的导数。
4. 数值代数数值代数是指通过数值计算的方法解决线性代数方程组、非线性方程和矩阵特征值等问题。
常用的数值代数方法有高斯消元法、迭代法和特征值分解等。
这些方法通过将复杂的代数问题转化为简单的数值计算问题来求解。
二、计算方法的基本原理计算方法是指利用计算机进行数值计算的方法，它主要涉及数值计算软件、算法设计和计算机编程等方面。
1. 数值计算软件数值计算软件是指专门用于进行数值计算的软件工具，如MATLAB、Python的NumPy库和SciPy库等。
这些软件提供了丰富的数学函数和数值计算工具，方便用户进行各种数值计算操作。
数值分析计算方法
void main(void)
{
double fa=fc(1),fb=fc(3),a=1,b=3,f,x0;
int k=0;
for(;b>a&&b-a>=pow(10,-4)*0.5;)
{
仁fc((a+b)/2);
if(仁=0)
{ x0=(a+b)/2; break;
}Байду номын сангаас
else if(fa*f<0)
{
double y;
y=pow((3*x+1),1.0/3);
return y;
}
double Derivative1(double x)
{
double y;
y=pow((3*x+1),-2.0/3);
return y;
} double Iterate2(double x) {
double y;
y=(1-x*x*x)/3.0;
1.19 817
1.23223
作五次插值，并求x1=0.46，x2=0.55，x3=0.60时的函数近似值.
1■实验目的：通过拉格朗日插值和牛顿插值的实例，了解两种求解方法，并分析 各自的优缺点。
2.算法描述：
3.源程序：
拉格朗日插值：
#include<stdio.h>
#define k2
void main()
三•实验三：分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算f(x)=s in( x)/x的积分, 并与准确值比较判断精度。
1■实验目的：通过实例体会各种算法的精度。熟练掌握复化梯形，复化辛普森, 复化柯特斯求积方法的程序。
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《计算方法》实验内容一．实验一：用两种不同的顺序计算644834.11000012≈∑=-n n，分析其误差的变化。
1.实验目的：通过正序反序两种不同的顺序求和，比较不同算法的误差；了解在计算机中大数吃小数的现象，以后尽量避免；体会单精度和双精度数据的差别。
2.算法描述：累加和s=0； 正序求和：对于n=1,2,3,......,10000 s+=1.0/(n*n); 反序求和：对于n=10000,9999,9998,.....,1 s+=1.0/(n*n); 3.源程序： #双精度型##include<stdio.h>c void main() {double s=0; int n;for(n=1;n<=10000;n++) s+=1.0/(n*n);printf("正序求和结果是：%lf\n",s); s=0;for(n=10000;n>=1;n--) s+=1.0/(n*n);printf("反序求和结果是:%lf\n",s); }#单精度型##include<stdio.h> void main() {float s=0; int n;for(n=1;n<=10000;n++) s+=1.0/(n*n);printf("正序求和结果是：%f\n",s); s=0;for(n=10000;n>=1;n--) s+=1.0/(n*n);printf("反序求和结果是:%f\n",s); }4.运行结果：双精度型运行结果：单精度型运行结果：5.对算法的理解与分析：舍入误差在计算机中会引起熟知的不稳定，算法不同，肯结果也会不同，因此选取稳定的算法很重要。
选取双精度型数据正反序求和时结果一致，但选用单精度型数据时，求和结果不一致，明显正序求和结果有误差，所以第一个算法较为稳定可靠。
二．实验二：1、拉格朗日插值按下列数据xi-3.0 -1.0 1.0 2.0 3.0yi1.0 1.52.0 2.0 1.0作二次插值，并求x1=-2，x2=0，x3=2.75时的函数近似值2牛顿插值按下列数据xi0.30 0.42 0.50 0.58 0.66 0.72yi 1.044031.084621.118031.156031.19817 1.23223作五次插值，并求x1=0.46，x2=0.55，x3=0.60时的函数近似值.1.实验目的：通过拉格朗日插值和牛顿插值的实例，了解两种求解方法，并分析各自的优缺点。
2.算法描述：3.源程序：拉格朗日插值：#include<stdio.h>#define k 2void main()double L,Y,a;double x[3];double y[3];for(int p=0;p<=2;p++)scanf("%lf%lf",&x[p],&y[p]);for(int q=0;q<=2;q++){Y=0;scanf("%lf",&a);for(int j=0;j<=k;j++){L=1;for(int i=0;i<=k;i++)if(i!=j)L*=(a-x[i])/(x[j]-x[i]);Y+=L*y[j];}printf("x=%lf的函数值是:%lf\n",a,Y);}}牛顿插值：#include<stdio.h>void main(){int i,j;double a[6][6],y,s,x;for(j=0;j<=1;j++)for(i=0;i<6;i++)scanf("%lf",&a[i][j]);for(j=2;j<=5;j++)for(i=j-1;i<=5;i++)a[i][j]=(a[i][j-1]-a[i-1][j-1])/(a[i][0]-a[i-j+1][0]); for(int k=0;k<3;k++){scanf("%lf",&x);y=0;for(i=0;i<5;i++){s=a[i][i+1];for(j=i-1;j>=0;j--)s*=x-a[j][0];y+=s;}printf("结果是：%lf\n",y);}4.运行结果：拉格朗日运行结果：牛顿插值运行结果：5.对算法的理解与分析：（1）拉格朗日插值：该公式是对一系列点加权求和。
内插通常优于外推。
选择的区间包括x，插值效果越好，高次插值通常优于低次插值，但并不是意味着插值次数越高越好。
优点：编程容易实现。
缺点：如果发现当前的插值方法不够精确，就要增加插值节点的个数。
拉格朗日基函数每一个都要重新计算，效率低。
（2）牛顿插值：优点：如果当前插值方法不稳定，需要增加插值节点个数，只需要计算新家节点所增加的差商即可，之前的计算结果可以被复用，比拉格朗日插值节省计算量，效率高，精度高，更为稳定。
三．实验三：分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算f(x)=sin(x)/x的积分，并与准确值比较判断精度。
1.实验目的：通过实例体会各种算法的精度。
熟练掌握复化梯形，复化辛普森，复化柯特斯求积方法的程序。
2.算法描述：复化梯形：fc(x)=sinx/x,N等分,a,b是积分区间;令s=fc(a)+fc(b),对于i=a+1.0/N,a+2.0/N,.....(i<b)s+=2*fc(i);s*=double(b-a)/(2*N);输出s;复化辛普森：fc(x)=sinx/x,N等分,a,b是积分区间;令s=fc(a)+fc(b),对于i=a+1.0/N,a+2.0/N,.....(i<b)s+=2*fc(i);对于i=a+0.5/N,a+1.5/N,.....(i<b)s+=4*fc(i);s*=double(b-a)/(6*N);输出s；复化柯特斯：fc(x)=sinx/x,N等分,a,b是积分区间;令s=fc(a)+fc(b),对于i=a+1.0/(4*N),a+2.0/(4*N),.....(i<b)s+=32*fc(i);对于i=a+2.0/(4*N),a+6.0/(4*N),.....(i<b)s+=12*fc(i);对于i=a+1.0/N,a+2.0/N,.....(i<b)s+=14*fc(i);s*=double(b-a)/(90*N);输出s;3.源程序：#include<stdio.h>#include<math.h>#define N 8#define a 0#define b 1double fc(double x){double y;y=sin(x)/x;return y;}void tx(){double s,i;s=fc(a)+fc(b);for(i=a+1.0/N;i<b;i+=1.0/N)s+=2*fc(i);s*=double(b-a)/(2*N);printf("复合梯形8等分求积结果是：%lf\n",s);}void xps(){double s,i;s=fc(a)+fc(b);for(i=a+1.0/N;i<b;i+=1.0/N)s+=2*fc(i);for(i=a+0.5/N;i<b;i+=1.0/N)s+=4*fc(i);s*=double(b-a)/(6*N);printf("复合辛普森8等分求积结果是：%lf\n",s);}void kts(){double s,i;s=fc(a)+fc(b);for(i=a+1.0/(4*N);i<b;i+=2.0/(4*N))s+=32*fc(i);for(i=a+2.0/(4*N);i<b;i+=1.0/N)s+=12*fc(i);for(i=a+1.0/N;i<b;i+=1.0/N)s+=14*fc(i);s*=double(b-a)/(90*N);printf("复合柯特思斯8等分求积结果是：%lf\n",s); }void main(){char d;scanf("%c",&d);if(d=='t')tx();if(d=='x')xps();if(d=='k')kts();}4.运行结果：5.对算法的理解与分析：他们都适用于求数值积分，而且都能提高计算的精度，他们都是在每个小区间上在使用梯形，辛普森，柯特斯求积公式，其中复化辛普森和复化柯特斯的收敛速度较快。
四．实验四：用改进欧拉方法解初值问题y’=x+y; y(0)=1。
0<x<1,取步长h=0.1计算，并与准确值 y=-x-1-2e x相比较。
（p141习题第二题2）1.实验目的：熟悉常微分方程初值问题的求解方法；熟悉其算法；2.算法描述：3.源程序：4.运行结果：5.对算法的理解与分析：=2附近的根。
根的准确值五．实验五：分别用下列方法求f(x)=x3-3x-1=0在x为x*=1.87938524…，要求准确到四位有效数字，并对比各种算法的计算量。
（1）二分法；（2）简单迭代法；（3）牛顿迭代法1.实验目的：通过对二分法，简单迭代法和牛顿迭代法的编程和上机实验，进一步体会他们在方程求根中的不同特点；比较三者的计算速度和计算精度。
2.算法描述：二分法：给定区间[a,b],e=pow(10,-4)*0.5(1)令c=(a+b)/2,保持b-a<e;(2)如果f(c)*f(a)=0,输出c;如果f(c)*f(a)<0,b=c,执行（1）否则a=c,执行（1）简单迭代法：3.源程序：二分法：#include<stdio.h>#include<math.h>double fc(double x){double y;y=x*x*x-3*x-1;return y;}void main(void){double fa=fc(1),fb=fc(3),a=1,b=3,f,x0;int k=0;for(;b>a&&b-a>=pow(10,-4)*0.5;){f=fc((a+b)/2);if(f==0){x0=(a+b)/2;break;}elseif(fa*f<0)b=(a+b)/2;elsea=(a+b)/2;k++;}x0=(a+b)/2;printf("近似根是：%lf 准确根是：1.87938524\n",x0);printf("迭代次数是：%d\n",k);}简单迭代法：#include<stdio.h>#include<math.h>double Iterate1(double x){double y;y=pow((3*x+1),1.0/3);return y;}double Derivative1(double x){double y;y=pow((3*x+1),-2.0/3);return y;}double Iterate2(double x){double y;y=(1-x*x*x)/3.0;return y;}double Derivative2(double x){double y;y=-x*x;return y;}double Iterate3(double x){double y;y=(3*x+1)/(x*x);return y;}double Derivative3(double x){double y;y=(-3*x-2)/(x*x*x);return y;}void main(void){double x2=2.0,x1;int k=0;double a1=Derivative1(x2);if(fabs(a1)<1){printf("迭代公式是x=pow((3*x+1),1.0/3);\n");do{x1=x2;x2=Iterate1(x1);k++;}while(fabs(x2-x1)>=pow(10,-4)*0.5);printf("近似根是：%lf 准确根是：1.87938524\n",x1);printf("迭代次数是：%d\n",k);}double a2=Derivative2(x2);if(fabs(a2)<1){printf("迭代公式是x=(1-x*x*x)/3.0;\n");do{x1=x2;x2=Iterate2(x1);k++;}while(fabs(x2-x1)>=pow(10,-4)*0.5);printf("近似根是：%lf 准确根是：1.87938524\n",x1);printf("迭代次数是：%d\n",k);}double a3=Derivative3(x2);if(fabs(a3)<1){printf("迭代公式是x=(3*x+1)/(x*x);\n");do{x1=x2;x2=Iterate3(x1);k++;}while(fabs(x2-x1)>=pow(10,-4)*0.5);printf("近似根是：%lf 准确根是：1.87938524\n",x1);printf("迭代次数是：%d\n",k);}}牛顿迭代法：#include<stdio.h>#include<math.h>double Iterate(double x){double y;y=x*x*x-3*x-1;return y;}double Derivative(double x){double y;y=3*x*x-3;return y;}void main(){double x0=2.0,x1;double f0,f01,f1,f11;f0=Iterate(x0);f01=Derivative(x0);int k=0;x1=x0-f0/f01;for(;fabs(x0-x1)>=pow(10,-4)*0.5;f0=f1,f01=f11){x0=x1;x1=x0-f0/f01;f1=Iterate(x1);f11=Derivative(x1);k++;if(f11==0){printf("牛顿迭代法失效\n");break;}}printf("近似根是：%lf 准确根是：1.87938524\n",x1);printf("迭代次数是：%d\n",k);}4.运行结果：二分法运行结果：简单迭代法运行结果：牛顿迭代法运行结果：Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。