数值分析计算方法

《计算方法》实验内容

一．实验一：用两种不同的顺序计算

644834.110000

1

2

≈∑=-n n

，分析其误差的变化。

1.实验目的：通过正序反序两种不同的顺序求和，比较不同算法的误差；了解在计算机中大数吃小数的现象，以后尽量避免；体会单精度和双精度数据的差别。

2.算法描述：累加和s=0； 正序求和：

对于n=1,2,3,......,10000 s+=1.0/(n*n); 反序求和：

对于n=10000,9999,9998,.....,1 s+=1.0/(n*n); 3.源程序： #双精度型#

#includec void main() {

double s=0; int n;

for(n=1;n<=10000;n++) s+=1.0/(n*n);

printf("正序求和结果是：%lf\n",s); s=0;

for(n=10000;n>=1;n--) s+=1.0/(n*n);

printf("反序求和结果是:%lf\n",s); }

#单精度型#

#include void main() {

float s=0; int n;

for(n=1;n<=10000;n++) s+=1.0/(n*n);

printf("正序求和结果是：%f\n",s); s=0;

for(n=10000;n>=1;n--) s+=1.0/(n*n);

printf("反序求和结果是:%f\n",s); }

4.运行结果：

双精度型运行结果：

单精度型运行结果：

5.对算法的理解与分析：舍入误差在计算机中会引起熟知的不稳定，算法不同，肯结果也会不同，因此选取稳定的算法很重要。选取双精度型数据正反序求和时结果一致，但选用单精度型数据时，求和结果不一致，明显正序求和结果有误差，所以第一个算法较为稳定可靠。

二．实验二：

1、拉格朗日插值

按下列数据

x

i

-3.0 -1.0 1.0 2.0 3.0

y

i

1.0 1.5

2.0 2.0 1.0

作二次插值，并求x

1=-2，x

2

=0，x

3

=2.75时的函数近似值

2牛顿插值

按下列数据

x

i

0.30 0.42 0.50 0.58 0.66 0.72

y

i 1.0440

3

1.0846

2

1.1180

3

1.1560

3

1.19817 1.23223

作五次插值，并求x

1=0.46，x

2

=0.55，x

3

=0.60时的函数近似值.

1.实验目的：通过拉格朗日插值和牛顿插值的实例，了解两种求解方法，并分析各自的优缺点。

2.算法描述：

3.源程序：

拉格朗日插值：

#include

#define k 2

void main()

double L,Y,a;

double x[3];

double y[3];

for(int p=0;p<=2;p++)

scanf("%lf%lf",&x[p],&y[p]);

for(int q=0;q<=2;q++)

{

Y=0;

scanf("%lf",&a);

for(int j=0;j<=k;j++)

{

L=1;

for(int i=0;i<=k;i++)

if(i!=j)

L*=(a-x[i])/(x[j]-x[i]);

Y+=L*y[j];

}

printf("x=%lf的函数值是:%lf\n",a,Y);

}

}

牛顿插值：

#include

void main()

{

int i,j;

double a[6][6],y,s,x;

for(j=0;j<=1;j++)

for(i=0;i<6;i++)

scanf("%lf",&a[i][j]);

for(j=2;j<=5;j++)

for(i=j-1;i<=5;i++)

a[i][j]=(a[i][j-1]-a[i-1][j-1])/(a[i][0]-a[i-j+1][0]); for(int k=0;k<3;k++)

{

scanf("%lf",&x);

y=0;

for(i=0;i<5;i++)

{

s=a[i][i+1];

for(j=i-1;j>=0;j--)

s*=x-a[j][0];

y+=s;

}

printf("结果是：%lf\n",y);

}

4.运行结果：

拉格朗日运行结果：

牛顿插值运行结果：

5.对算法的理解与分析：

（1）拉格朗日插值：

该公式是对一系列点加权求和。内插通常优于外推。选择的区间包括x，插值效果越好，高次插值通常优于低次插值，但并不是意味着插值次数越高越好。

优点：编程容易实现。

缺点：如果发现当前的插值方法不够精确，就要增加插值节点的个数。拉格朗日基函数每一个都要重新计算，效率低。

（2）牛顿插值：

优点：如果当前插值方法不稳定，需要增加插值节点个数，只需要计算新家节点所增加的差商即可，之前的计算结果可以被复用，比拉格朗日插值节省计算量，效率高，精度高，更为稳定。