数论算法讲义3章(同余方程)

第 3 章 同余方程

（一） 内容：

● 同余方程概念

● 解同余方程

● 解同余方程组

（二） 重点

● 解同余方程

（三） 应用

● 密码学，公钥密码学

3.1 基本概念及一次同余方程

(一) 同余方程

（1） 同余方程

【定义3.1.1】（定义1）设m 是一个正整数，f(x)为n 次多项式

()0111a x a x a x a x f n n n n ++++=--Λ

其中i a 是正整数（n a ≠0（mod m ）），则

f (x)≡0（mod m ） （1） 叫做模m 的（n 次）同余式（或模m 的（n 次）同余方程），n 叫做f(x)的次数，记为de

g f 。

（2） 同余方程的解

若整数a 使得 f (a)≡0（mod m ）成立，则a 叫做该同余方程的解。

（3） 同余方程的解数

若a 是同余方程（1）的解，则满足x ≡a （mod m ）的所有整数都是方程（1）的解。即剩余类

a C ＝{x ｜x ∈Z ，x ≡a （mod m ）}

中的每个剩余都是解。故把这些解都看做是相同的，并说剩余类a C 是同余方程(1)的一个解，这个解通常记为

x ≡a （mod m ）

当21,c c 均为同余方程(1)的解，且对模m 不同余时，就称它们是同余方程(2)的不同的解，所有对模m 的两两不同余的解的个数，称为是同余方程（1）的解数，记作()m f T ;。显然

()m f T ;≤m

（4） 同余方程的解法一：穷举法

任意选定模m 的一组完全剩余系，并以其中的每个剩余代入方程（1），在这完全剩余系中解的个数就是解数()m f T ;。

【例1】（例1）可以验证，x ≡2，4（mod 7）是同余方程

15++x x ≡0（mod 7）

的不同的解，故该方程的解数为2。

50＋0＋1＝1≡3 mod 7

51＋1＋1＝3≡3 mod 7

52＋2＋1＝35≡0 mod 7

53＋3＋1＝247≡2 mod 7

54＋4＋1＝1029≡0 mod 7

55＋5＋1＝3131≡2 mod 7

56＋6＋1＝7783≡6 mod 7

【例2】求同余方程122742

-+x x ≡0（mod 15）的解。 （解）取模15的绝对最小完全剩余系：－7，－6，…，－1，0，1，2，…，7，直接计算知x ＝－6，3是解。所以，该同余方程的解是

x ≡－6，3（mod 15）

且解数()15;f T ＝2。

【例3】求同余方程72742-+x x ≡0（mod 15）的解 （解）同样直接计算知4,1,2,7---=x 是解。所以它的解是

()15mod 4,1,2,7---≡x ，

解数为4。

【例4】求解同余方程()15mod 092742≡-+x x 。

（解）经直接计算知，本方程无解，即解数为0。

说明：当()x f 的系数都是模m 的倍数时，显见，任意的整数值x 都是同余方程（1）的解，这样的同余方程 （1）的解数为m 。但这并不是同余方程（1）的解数为m 的必要条件。

例如 215x ＋35x ＋14≡0（mod 7）

显然，上方程等价于方程 0≡0（mod 7）

【例5】由Fermat －Euler 定理知，同余方程 ()5mod 05≡-x x

的解数为5；同余方程

()7mod 07≡-x x

的解数为7。

一般地，对素数p ，同余方程

()p x x p mod 0≡-

的解数为p 。

【例6】同余方程 ()()()()35mod 01112422≡+++-x x x x x

即

()35mod 0379≡--+x x x x

的解数为35。

（证）记()x x f =1，()122-=x x f ，()123+=x x f ，

()1244++=x x x f ，由同余的性质，

()()()()35mod 01112422≡+++-x x x x x ⇔ ()()()()()()⎩⎨⎧≡+++-≡+++-7

mod 01115mod 011124222422x x x x x x x x x x ⇔ 存在i ，j 使得()()⎩⎨⎧≡≡7

mod 05mod 0x f x f j i 成立（因5、7都是素

数）

直接计算：()x f 1为奇函数，其余为偶函数

x ＝0时，()01f ≡0（mod 5），()01f ≡0（mod 7） x ＝±1时，()x f 2≡0（mod 5），()x f 2≡0（mod 7）

⇔()x f 2≡0（mod 35）

即()x f i ＝()x f j ＝()x f 2

x ＝±2时，()x f 3≡5≡0（mod 5），

()x f 4≡21≡0（mod 7）

即()x f i ＝()x f 3，()x f j ＝()x f 4

x ＝±3时，()x f 3≡10≡0（mod 5），

()x f 4≡91≡0（mod 7）

x ＝±4时，()x f 2≡15≡0（mod 5），

()x f 4≡273＝39·7≡0（mod 7）

x ＝±5时，()x f 1≡±5≡0（mod 5），

()x f 4≡651＝93·7≡0（mod 7）

x ＝±6时，()x f 2≡35≡0（mod 35），

x ＝±7时，()x f 3≡50≡0（mod 5），

()x f 1≡±7≡0（mod 7）