第四讲函数
函数的奇偶性
（1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：
若f(－x) =f(x)或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x)或f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。
(14).设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝ ，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝()
A.0B.1C. D.5
(15)．若 ，g（x）都是奇函数， 在（0，＋∞）上有最大值5，
则f（x）在（－∞，0）上有（ ）
A．最小值－5 B．最大值－5 C．最小值－1 D．最大值－3
（16）定义在R上的函数f(x)满足：f(x)·f(x＋2)＝13，f(1)＝2，则f(99)＝( )
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称。
(2)利用图像判断函数奇偶性的方法：
图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y轴对称的函数为偶函数，
（3）简单性质：
设 ， 的定义域分别是 ，那么在它们的公共定义域上：
A．13B．2 C.13/2D.2/13
（17）定义在R上的函数f(x)满足：对于任意α，β∈R，总有f(α＋β)－[f(α)＋f(β)]＝2010，则下列说法正确的是( )
A．f(x)－1是奇函数 B．f(x)＋1是奇函数
C．f(x)－2010是奇函数 D．f(x)＋2010是奇函数
（18）设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈(0,1)时，f(x)＝log (1－x)，则函数f(x)在(1,2)上( )
第四讲 基本初等函数
第四讲 基本初等函数一．命题走向指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。
从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。
为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。
题型估计为：1．题型有两个选择题和一个解答题；2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。
同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。
二．要点精讲1．指数与对数运算 （1）根式的概念：①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。
即若a xn=，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n。
②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a ann=；3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n 。
（2）．幂的有关概念1）规定：①∈⋅⋅⋅=n a a a a n( N *； ②)0(10≠=a a ；n 个2）运算性质：①r a aa a sr sr,0(>=⋅+、∈s Q ）； ②r a aa sr s r ,0()(>=⋅、∈s Q ）；③∈>>⋅=⋅r b a b a b a rr r ,0,0()( Q ）。
④nm nm aaa -=⑤∈=-p aapp(1Q)， ⑥m a a anm nm,0(>=、∈n N *且)1>n 。
（3）．对数的概念①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b=，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,logb N a=其中a 称对数的底，N 称真数。
第四讲 初等函数
(2) f ( z ) f ( z );
(3)当Im( z ) 0时, f ( z ) e x , 其中x Re( z ).
此函数称为复变数z 的指数函数, 记为 exp z e x (cos y i sin y )
注意 e z 没有幂的意义, 只是代替 exp z 的符号.
与 sin z 和 cos z 类似, 我们可以讨论它们的 周期性, 奇偶性, 解析性.
第二章
解析函数
复变函数
四、三角函数 例9 解
第四讲 初等函数
求 f ( z ) sin 5 z 的周期. 因为 sin(z 2) sin z , 所以 sin(5 z 2) sin 5 z ,
求 sin(1 2i).
sin(1 2i).
e i ( 1 2 i ) e i ( 1 2 i ) e 2 i e 2 i 2i 2i e 2 (cos1 i sin1) e 2 (cos1 i sin1) 2i 2 2 2 2 e e e e si n1 i cos1 2 2
z
b
bz b 1 。
第二章
解析函数
复变函数
四、三角函数
四、三角函数
第四讲 初等函数
1.三角函数
e iz e iz e iz e iz 定义 规定 cos z ， sinz 2 2
为 z 的正弦函数和余弦函数。
第二章
解析函数
复变函数
四、三角函数 性质
第四讲 初等函数
第二章 解析函数 复变函数
一、指数函数 性质
第四讲 初等函数
z x e e 0 ， Arg (e xpz ) y 2k 。 (1)
第4讲 求函数极值
第4讲 求函数极值求函数极值的一般步骤：①求导数()f x '；②求方程()0f x '=的根；③检验()f x '在方程()0f x '=的根的左右的符号，如果是左正右负（左负右正），则()f x 在这个根处取得极大（小）值．例1．求下列函数的极值：(1)f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋5；(2)f (x )＝3x＋3ln x ． 解：(1)函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋5的定义域为R ，且f ′(x )＝3x 2－6x －9．解方程3x 2－6x －9＝0，得x 1＝－1，x 2＝3．当∴x ＝3是函数的极小值点，极小值为f (3)＝－22．(2)函数f (x )＝3x ＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝－3x 2＋3x ＝3 x －1 x2， 令f ′(x )＝∴当x ＝1例2．设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( ) A ．1=2x 为f (x )的极大值点 B ．1=2x 为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点 D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：由f ′(x )＝22112=1x x x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＝0可得x ＝2． 当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．故x ＝2为f (x )的极小值点．例3．若函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋36x －1在x ＝2处有极值，则a 的值为( )A ．－5B ．5C ．8D ．－8解析：f ′(x )＝6x 2＋6ax ＋36，依题意f ′(2)＝0，∴24＋12a ＋36＝0，解得a ＝－5．例4．函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e)上的极大值为( )A ．－eB ．－1C ．1－eD ．0解析：定义域为(0，＋∞)，()11f x x'=-，令f ′(x )＝0得x ＝1， ∵当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，x ∈(1，e)时f ′(x )＜0，∴f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)＝ln 1－1＝0－1＝－1．例5．设函数f (x )＝x e x ，则( )A ．x ＝1为f (x )的极大值点B ．x ＝1为f (x )的极小值点C ．x ＝－1为f (x )的极大值点D ．x ＝－1为f (x )的极小值点解析：由f ′(x )＝x ′·e x ＋(e x )′·x ＝e x ＋e x ·x ＝e x (x ＋1)＝0，得x ＝－1．当x ＜－1时，f ′(x )＜0，f (x )在(－∞，－1)上单调递减；当x ＞－1时，f ′(x )＞0，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．所以x ＝－1为f (x )的极小值点．例6．求下列函数的极值：(1)y ＝2x 3＋6x 2－18x ＋3；(2)82y x x =+． 解：(1)函数的定义域为R ． y ′＝6x 2＋12x －18＝6(x ＋3)(x －1)，令y ′＝0，得x ＝－3，或x ＝1．当x 单调递增单调递减 单调递增＝－时，函数有极大值，且极大值当x ＝1时，函数有极小值，且y 极小值＝－7．(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 228422'221211y x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 令y ′＝0，得x ＝－2，或x ＝2．当x ＜－2时，y ′＞0；当－2＜x ＜0时，y ′＜0，即x ＝－2时，y 取得极大值－8．当0＜x ＜2时，y ′＜0；当x ＞2时，y ′＞0，即x ＝2时，y 取得极小值，且极小值为8．例7．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于点(1,0)，求函数f (x )的极值．解：∵f (x )与x 轴切于(1,0)点， f ′(x )＝3x 2－2px －q ，∴f ′(1)＝3－2p －q ＝0.又 f (1)＝1－p －q ＝0，∴p ＝2，q ＝－1.∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.由f ′(x )＝0得x 1＝13，x 2＝1. 当x∴f (x )极大值＝f (3)＝27， f (x )极小值＝f (1)＝0.例4．已知函数xx x f ln )(=．求函数)(x f 的单调减区间和极值; 解析. 函数x x x f ln )(=的定义域为),1()1,0(+∞ ， x x x f 2/ln 1ln )(-=，令0)(/=x f ，解得e x =， 列表x )1,0( ),1(e e ),(+∞e)(/x f－ － 0 + )(x f 单调递减 单调递减 极小值)(e f 单调递增由表得函数)(x f 的单调减区间为)1,0(，),1(e ;极小值为)(e f ＝e ，无极大值.练习01．函数y ＝1＋3x －x 3有( )A ．极小值－1，极大值1B ．极小值－2，极大值3C ．极小值－2，极大值2D ．极小值－1，极大值302．若函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋3x －1，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则 a 等于 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 03．函数32()1f x x ax bx =++-，当1x =时有极值1，则函数32()g x x ax bx =++的单调减区间为04．若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________. 05．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于06．设函数f (x )＝x e x ，则( )A ．x ＝1为f (x )的极大值点B ．x ＝1为f (x )的极小值点C ．x ＝－1为f (x )的极大值点D ．x ＝－1为f (x )的极小值点07．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( ) A ．x ＝12为f (x )的极大值点 B ．x ＝12为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点 D ．x ＝2为f (x )的极小值点08．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．09．若x ＝－2与x ＝4是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则有( )A ．a ＝－2，b ＝4B ．a ＝－3，b ＝－24C ．a ＝1，b ＝3D ．a ＝2，b ＝－410．(2012重庆)设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1（a ∈R），曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴． (1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．11．（2013）设()()256ln f x a x x =-+,其中a R ∈,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点()0,6.(1)确定a 的值; (2)求函数()f x 的单调区间与极值.。
第四讲 幂函数及反函数(教师)
第四讲 幂函数、与反函数一、知识梳理1．幂函数：①定义：形如ay x =（a 为常数）的函数叫幂函数。
当0>a 时，图象过定点)0,0(和)1,1(；当0<a 时，图象过定点)1,1(。
当10<<a 时，函数图象在第一象限缓慢增长； 当1>a 时，函数图象在第一象限剧烈增长； 当0<a 时，函数图象在第一象限单调递减。
② 几个常见幂函数的图象：③几个常见幂函数的性质：2、反函数①定义：设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中y x ,的关系，用y 把x 表示出，得到()y x ϕ= 若对于y 在C 中的任何一个值，通过()y x ϕ=，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，()y x ϕ=就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数()y x ϕ= (C y ∈)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y f x -=,习惯上改写成)(1x fy -=。
②注意事项：（1）“一一映射”确定的函数才有反函数；定义域上的单调函数必有反函数； （2）奇函数的反函数必是奇函数；定义域为非单元素集合的偶函数不存在反函数； （3）分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成；（4）反函数的单调性与原函数的单调性相同； （5）反函数的定义域由原函数的值域确定。
③函数)(x f y =与)(1x fy -=的图象关于直线x y =对称；若两个函数的图象关于直线y=x 对称，则这两个函数一定是互为反函数。
④如果函数)(x f y =的反函数就是本身，则函数)(x f y =的图像关于直线x y =对称。
⑤公式：()()A x x x f f C x x x ff ∈=∈=--)]([,)]([11。
（其中C 是值域，A 是定义域）。
二、典型例题题型一 幂函数概念例1、已知是32)22(1122-+-+=-n x m m y m 幂函数，求n m ,的值。
第四讲 基本初等函数
第四讲 基本初等函数一、知识要点1、幂函数解析式()f x x α=，当1α=时，一次函数；当2α=时，二次函数；当1α=-时，反比例函数；当12α=时，y = 幂函数性质的推广(1)一般地，当0α>时，幂函数y x α=有下列性质: ①图象都通过点(0,0)，(1,1)；②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大【也就是0x >单调递增咯】③在第一象限内，1α>时,图象是向下凹的；01α<<时，图象是向上凸的； ④在第一象限内，过(1,1)点后，图象向右上方无限伸展. (2)当0α<时,幂函数y x α=有下列性质: ①图象都通过点(1,1)；②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，图象是向下凹的；【也就是0x >单调递减】 ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近； ④在第一象限内，过(1,1)点后，||α越大，图象下落的速度越快.。
2、指数函数 （1）指数运算n a =；当n a =；当n 为偶数时， (0)|| (0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩．①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,mna a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂：1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈如果是除法就相减咯。
②()(0,,)r srs aa a r s R =>∈③()(0,0,)rr r ab a b a b r R =>>∈3、对数函数（log (01,0)a y x a and a x =>≠>） （1）log ()log log a a a M N M N =+ ；（2）log log log a a a MM N N=-； （3）log log n a a M n M =；（4）log log m na a nb b m=； （5）log log 1a b b a = ；（6）log log log a b a NN b=（换底公式）（7）log b a a N b N =⇔=（指数与对数的关系）；（8）log 1,log 10a a a == 二、例题讲解例1 （1）已知22x xa -+=（常数），求88x x-+的值；（2）已知11223a a -+=，求33221122a a a a----的值。
第四讲函数的迭代
第四讲 函数迭代一、函数迭代的定义函数迭代：对于函数)(x f ，令))(()(,)),(()(),()()1()()1()2()1(x ff x f x f f x f x f x f n n -=== ),2(N n n ∈≥，我 们将)()(x f n 称为函数)(x f 的n 次迭代。
思考：设)()(x f a n n =，则)(1-=n n a f a ，x a =0，)(1x f a =，转化为数列递推。
若()f x x c =+，则()n f x =若3()f x x =，则()()n f x =若()f x ax b =+，则()()n fx = 例1 已知()f x 为一次函数，且 (10)10241023f x x =+，求()f x 的解析式例2 ()f n 是定义在N +上的函数，并且满足（1）(())49f f n n =+,n N +∈;（2）{}1(2)23,0k k f k N ++=+∈⋃求(1789)f 的值例3 ()32,f x x =+证明：存在m N +∈，使(100)()fm 也能被2005整除例4 设n 是不小于3的正整数，以()f n 表示不是n 的因数的最小正整数（例如(12)5f =）.如果()3,f n ≥又可作(())f f n ，类似的如果(())3f f n ≥，又可作((()))f f f n 等等.如果()()2k f n =,就将k 称为n 的“长度”，记为n l .试对任意,3,n N n +∈≥求n l ，并证明二、()()n f x 的求法（1）数学归纳法步骤：①当0n n =时，命题成立；②设0()n k k n =≥时命题成立，可推出1n k =+命题仍然成立，则对于一切 0n n ≥的任何整数，都有命题成立例5 若()f x ax b =+，用数学归纳法求()()n f x例6 已知(),x f x a bx=+求()()n f x（2）递归法递归法：设()f x 是定义在D 上且取值于D 的函数，由此定义数列{}n a ：0a 已知且0,a D ∈1(),1n n a f a n -=≥.一方面，若已求得()()()n f x g x =，则(2)12()()n n n a f a f a --===…()0()n f a =，即{}n a 的通项公式；另一方面，如果如果已求得{}n a 的通项公式0()n a g a =，则取0,(),n a x a g x ==而1()n n a f a -==…()()0()()n n f a f x =，从而()()(),n f x g x =即()()n f x 的表达式由上述原理知，可通过构造数列的方法求函数的n 次迭代，其步骤为①设()0,();n n a x a f x ==②由()1()(),n n n a f x f a -==求出0()n a g a =；③()0()()()n f x g a g x ==尝试用递归法解答例1、例2例7设()1)1f x x =++，求()()n f x（3）相似法若存在一个函数()x ϕ以及它的反函数1()x ϕ-，使得 1()((()))f x g x ϕϕ-=，我们称()f x 与()g x 相似，记~f g ϕ，其中()x ϕ称为桥函数.相似关系是一个等价关系，满足①~f f (自身性)；②若~f g ，则~g f （对称性）；③若~,~f g g h ，则~f h若1()((()))f x g x ϕϕ-=，则()1()()((()))n n f x g x ϕϕ-=（自己证明）例8若()f x ax b =+，用相似法求()()n f x例9设()1x f x ax=+，求()()n f x例10 设2()21,[1,1]f x x x =-∈-求()()n f x （提示：2cos 22cos 1x x =-，且cos y x =的反函数为arccos y x =）例11 求一个函数()p x ，使得82()2p x x x =+.（4）不动点法定义：方程()f x x =的根称为()f x 的不动点.性质：（1）若0x 是()f x 的不动点，则()00()n f x x =，即0x 也是()()n f x 的不动点;（2）设1()((()))f x g x ϕϕ-=，因此有(())(())f x g x ϕϕ=.若00()f x x =，则有00()(())x g x ϕϕ=，0()x ϕ是()g x 的不动点小提示：利用不动点，把一些简单的函数先变形再迭代，最后用数学归纳法证之.例12 设()f x =()()n f x利用不动点寻找桥函数的方法：由不动点的性质知，桥函数ϕ具有下列性质：它将f 的不动点0x 映射成g 的不动点0()x ϕ.通常为了求()()n g x ，()g x 通常取23,,,ax x a ax ax +等，这时()g x 的不动点为0或∞，此时若()f x 只有唯一不动点α，则可考虑取()x x ϕα=-或1x α-，这时()0(ϕα=或∞)；若()f x 有两个不动点α、β，则可考虑取()x x x αϕβ-=-，此时()0ϕα=，()ϕβ=∞. 例13 设2()21x f x x =-，求()()n f x .三、函数迭代在竞赛中的应用例14 M 是形如()(,)f x ax b a b R =+∈的实变量x 的非零函数集，且具有下列相纸：（1）若(),(),f x g x M ∈则(())g f x M ∈；（2）若,f M ∈则1(0)f M a -∈≠；（3）对M 中每一个f ，存在一个,i x R ∈使()i i f x x =；求证：总存在一个k ∈R ，对所有的,f M ∈均有()f k k =例15 设:f N N ++→，且对每个n N +∈，均有(1)(())f n f f n +>求证：每个正整数均为f 的不动点.。
第四讲：函数的单调性奇偶性应用
第四讲 函数的单调性 奇偶性的 应用一、函数的单调性应用1．单调性的有关结论1．若f (x ), g (x )均为增(减)函数，则f (x )＋g (x ) 函数；2．若f (x )为增(减)函数，则－f (x )为 ；3．复合函数y ＝f [g(x )]是定义在M 上的函数，若f (x )与g(x )的单调相同，则f [g(x )]为 ，若f (x ), g(x )的单调性相反，则f [g(x )]为 .二、值域的求法（巩固）1.换元法2.数形结合3.分离常数法4.判别式法5.单调性法三、1..定义法判断奇偶性的步骤：2.利用性质法来判断奇偶性：（1）奇函数±奇函数=奇函数；（2）偶函数±偶函数=偶函数；（3）奇函数⨯奇函数=偶函数；（4）偶函数⨯偶函数=偶函数；（5）奇函数⨯偶函数=奇函数.3．通过函数图象的对称关系也可以判断奇偶性．若图象关于原点对称，则函数是奇函数；若图象关于y 轴对称，则函数是偶函数．4．抽象函数奇偶性的判断方法：(1)求定义域后利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现()()f x f x －，)；(2)巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑；(3)找出()f x -与()f x 的关系，得出结论．()x (x)0f f ＋－＝。
()x (x)0f f -－＝5.对于含参函数中参数的求值问题，在填空题与选择题中，充分利用结论：若奇函数()f x 在0x =处有定义，则()00f =.考点一 利用已知函数的单调区间求参数的值(或范围)【例1】(1)已知2(x)x 23f ax =--在区间[1,2]上单调，则实数a 的取值范围是 .(2)函2(13)1,(1)()2,(1)a x x f x x ax x -+<⎧=⎨+≥⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 .例2►已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．练习 1.已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围．2. 求下列函数的单调区间：(1)y ＝－x 2＋2|x |＋1；(2)y ＝1－2x －x 2（3）y ＝－(x －3)|x |.考点二 抽象函数单调性与求最值例1 设()f x 是定义在R 上的函数，对m 、n R ∈恒有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，0()1f x <<。
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第四讲 函数一、函数的发展运动、变量与曲线的数学描述，催生了函数思想，并把函数概念和方法置于整个数学的中心地位。
微积分研究对象是函数，几何图形则成为函数的图像。
世界万物之间的联系与变化都有可能以各种不同的函数作为它们的数学模型。
函数概念是在欧洲文艺复兴之后，在资本主义文明萌芽时期的16－17世纪才逐渐产生。
伽利略研究抛物线的运动及自由落体运动，产生了函数221gt S =。
法国数学家笛卡儿最先提出了“变量”的概念，他在《几何学》中不仅引入了坐标，而且实际上也引入了变量，他在指出y x ,是变量的同时，还注意到y 依赖于x 而变化，这正是函数思想的萌芽。
牛顿深刻地认识到：“曲线是由于点的连续运动”，即曲线是动点的轨迹。
动点的位置是时间的函数()()t y y t x x ==,。
牛顿创立微积分的时候，用“流数”（Fluent ）一词表示变量间的关系。
莱布尼茨在1673年的手稿中则用“Function ”一词。
李善兰在《代微积拾级》一书中将Function 一词翻译为“函数”，并一直沿用至今。
函数作为微积分的研究对象，牢牢地占据着近代数学的中心地位。
1755年，欧拉提出了一个明确的函数定义：“如果某些变量以如下方式依赖于另一些变量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一个变量是后一个变量的函数”。
1851年，黎曼定义：“我们假定Z 是一个变量。
如果对它的每一个值，都有未知量W 的一个值与之对应，则称W 是Z 的函数”。
1939年，布尔巴基学派的著作认为，若F E ,是两个集合，二者的笛卡儿积是指(){}Y y X x y x ∈∈,|,。
XY 中的任何子集S 称为y x ,之间的一种关系。
如果关系F 满足：对于每一个X x ∈，都存在唯一的一个y ，使得()F y x ∈,，则称关系F 是一个函数。
这三种函数的定义，分别是变量说、对应说（映射说）、关系说。
这是函数概念的三个里程碑。
总之，函数概念的灵魂是运动，是变量，是变量关系。
在20世纪以前，中学数学的中心是方程。
1908年，数学家F ·克莱因担任国际数学教育委员会主席。
他首次提出，中学数学应当以函数为中心；或者说“以函数为纲”。
实际上直到第二次世界大战之后，函数思想才全面进入中学数学课程。
中国也是这样。
1949年以前，中国中学里的数学课程仍然少见函数的踪迹。
到了20世纪50年代，中国数学教育全面学习前苏联，函数终于取得了中学数学课程中的核心地位。
《普通高中数学课程标准（实验）》必修课程：数学1函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）；数学4基本初等函数Ⅱ（三角函数）。
二、函数概念的三种定义⒈函数概念的定义定义1 有两个互相联系的变量，一个变量的数值可以在某一范围内任意变化，这样的变量叫做自变量。
另一个变量的数值随着自变量的数值而变化，这个变量称为因变量，并且称因变量为自变量的函数。
（19世纪法国数学家柯西）定义2 在某变化过程中，有两个变量x 和y 。
如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，按照某个对应关系，y 都有唯一确定的值和它对应，那么就把y 称为x 的函数；x 称为自变量。
（19世纪德国数学家黎曼和狄里赫勒分别给出）定义3 A 和B 是两个集合，如果按照某种对应关系，使A 的任何一个元素在B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应关系称为从集合A 到集合B 的函数。
（19世纪70年代德国数学家康托）定义4 从集合A 到集合B 的映射B A f →:称为从集合A 到集合B 的函数，简称为函数f 。
（高等代数课程）定义5 从集合A 到集合B 的函数f 是满足以下条件的从A 到B 的一个关系：⑴()A f D =；⑵如果()f y x ∈,，并且()f z x ∈,，那么z y =。
函数f 记作B A f →:。
⒉函数概念的三种定义⑴函数的变量说定义一般地，设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果变量y 随着x 的变化而变化，那么就说x 是自变量，y 是因变量，也称y 是x 的函数。
这种陈述性的定义，是函数的传统定义。
它建立在变量的基础上，强调了变化。
而描述变化，正是函数最重要的特征。
函数定义的变量说，是对函数的一个宏观的、整体的把握。
⑵函数的对应说定义设A 为非空实数集，如果存在一个对应规律f ，对A 中每个元x 按照对应规律f ，存在R 中唯一的一个实数y 与之对应，则称对应规律f 是定义在A 上的函数，表为R A f →:这一定义建立在“集合”和“对应”这两个基本概念上，是函数的现代定义。
在高中阶段基本上就用这种定义。
目前，在中学数学课程标准中，函数定义在抽象的集合上，把函数看作映射的特殊情形。
由于映射是用对应来定义的，所以“对应说”与“映射说”其实是一回事。
⑶函数的关系说定义设f 是集合X 与集合Y 的关系，即Y X f ⨯⊆。
如果还满足()f y x f y x ∈∈),(,,2111，则21y y =，那么称f 是集合X 到集合Y 的函数。
函数是一种特殊的关系。
“关系说”是完全数学化的定义，也便于为计算机所接受，具有多方面的优越性。
这种定义是函数的形式化定义。
然而，关系说过于形式化，抽去了函数关系生动的直观特征，看不出对应关系的形式，更没有解析式的表达，所以初学者不易掌握。
上述三种函数定义，各有各的不同特点。
“变量说”是最朴素、最根本，也是最重要的，对于初学者更容易接受。
“对应说”形式化的程度较高，对于研究函数的精细性质具有一定的优势。
“关系说”形式化的程度更高，在计算机科学中、人工智能设计中具有一定的作用。
⒊函数在中学数学中的重要作用函数是中学数学的核心内容。
从常量数学到变量数学的转变，是从函数概念的系统学习开始的。
函数知识的学习对学生思维能力的发展具有重要意义。
从中学数学知识的组织结构看，函数是代数的“纽带”，代数式、方程、不等式、数列、排列组合、极限和微积分等都与函数知识有直接的联系。
例如，代数式1322-+a a ，可以看成是函数1322-+=x x y 在a x =时的值；方程()0=x f 的根，可以看成是函数)(x f y =的图像与x 轴交点的横坐标；不等式()0>x f 的解，可以看成是函数)(x f y =的图像上位于x 轴上方部分的点的横坐标集合；等比数列Λ,8,4,2,1，可以看成是函数),3,2,1(2Λ==x y x的另一种表示；等等。
函数性质在等式或不等式的求解、证明中往往是非常有力的工具，例如证明：n n n n n n C C C C 2210=++++Λ ，只要令函数n n n n n n n x C x C x C C x y ++++=+=Λ2210)1(中的1=x 即可。
又如：已知b a >，那么，ba 11> 成立的充要条件是（ ）。
(A)0>>b a (B)0<<a b (C)b a >>0 (D)10<<<a b 引进函数xy 1=，此函数在区间()()+∞∞-,0,0,上都是减函数。
易知，当条件A 、B 或D 之一成立时，均有b a 11< ，当且仅当C 成立时，有b a 11> 。
所以选C 。
函数还是数学的后续发展的基础，同时在物理、化学等自然科学中有着广泛的应用，在解决生产生活中的实际问题时，也往往采用函数作为建模的基本工具。
第四讲函数 家庭作业1自学课本第五节函数概念的教学，并就函数的三种定义（变量说、对应说、关系说）选择一种分析其优缺点。
三、初等函数⒈初等函数的定义中学所学习的主要初等函数有：常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等，称为基本初等函数。
定义（初等函数） 由基本初等函数经过有限次的代数运算及有限次的函数复合所得到的函数叫做初等函数。
基本初等函数一个重要的特点是它能通过一个统一的代数式在定义域上表达出来。
例如⎩⎨⎧+++=<≥==Λ21)(,0,0,],[x x x f x x x x y x y 等都不是初等函数。
定义（代数函数） 如果一个函数是用基本初等函数x x f =)(1和c x f =)(2（初等代数式）经过有限次代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）所得到的初等函数，则叫做代数函数。
不是代数函数的初等函数叫做超越函数。
初等函数的分类⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧超越函数无理函数有理分函数有理整函数有理函数代数函数初等函数 例 证明指数函数)1,0(≠>=a a a y x是超越函数见课本100P 例1⒉初等函数的定义域和值域①函数的定义域函数的定义域是使函数有意义（包括函数表达式的数学意义和问题的实际背景所限定的意义）的自变量的取值范围。
确定初等函数定义域的原则：若()x f 是整式，则定义域为全体实数；若()x f 是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数；若()x f 是偶次根式，则定义域为使被开方式为非负的全体实数；函数()0x x f =的定义域是()()+∞⋃∞-,00,。
例 用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为x 2，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系)(x f y =，并求其定义域。
见课本105P 例2②函数的值域函数的值域就是函数值组成的集合。
四、函数的图像与函数的特征⒈关于函数的图像心理学认为：人们大脑里的长期记忆是以比较稳定的图式结构存在的。
由于每个有序实数对()y x ,就与平面上的一个点一一对应。
所以作函数图像基本的方法就是描点法。
但是，不可能把函数的每个点都描述清楚，这就需要借助函数的特征，先了解图形的大致轮廓，然后在做出函数的图形来。
以绘制函数图像222++=x x y 为例，讲述绘制函数图像的主要步骤：⑴确定函数的定义域；⑵研究函数的有界性；⑶研究函数的奇偶性；⑷研究函数的单调性；⑸研究函数的周期性；⑹找出函数的特殊点；⑺如果函数有渐近线，则先把渐近线求出来，再讨论函数的变化趋势；”表示空缺。
例 做出函数xx y 1+=的图像。
解：⑴函数的定义域：()()+∞⋃∞-,00,⑵函数的有界性：0,,→-∞→+∞→x x x⑶函数的奇偶性：奇函数。
图像关于原点对称，所以只需在),0(+∞内进行讨论。
⑷函数的单调性：设210x x <<，则 )11)(()1()1(2112112212x x x x x x x x y y --=+-+=- 当1021<<<x x 时，有012<-y y 。
所以函数在()1,0上递减，而+∞=++→)1(lim 0x x x ，在x 轴正向函数值由∞+递减到2。
当211x x <≤，有012>-y y 。