课题研究：数学家与函数
2024年终数学课题研究阶段性总结范文(2篇)
2024年终数学课题研究阶段性总结范文____年终数学课题研究阶段性总结____年是数学研究的关键时期，随着科技的快速发展和社会需求的变化，数学研究也面临着新的挑战和机遇。
在这一年的课题研究中，我主要集中在以下几个方面进行了深入的探索和研究，取得了一些初步的成果。
首先，我在代数方面的研究中主要关注了群论和环论。
群论是数学中非常基础和重要的一部分，它对代数学、几何学以及物理学等领域都有着广泛的应用。
通过对群和环的性质进行研究，我发现了一些新的结论，并在理论和应用上做出了一些突破。
例如，我发现了一种新的群结构，并探索了它在密码学中的应用。
此外，我还研究了环的同调代数和模论的一些新方法，为解决一些复杂的代数结构问题提供了新的思路。
其次，我在数论方面的研究中主要关注了素数和数论中的一些经典问题。
素数是数论研究的核心对象，其分布规律和性质一直是数学家们关注的热点问题。
通过分析素数的分布规律和性质，我发现了一些新的结论，并提出了一种新的素数筛法。
此外，我还研究了数论中一些经典问题，如哥德巴赫猜想和费马大定理，并在解决这些问题中取得了一些突破。
另外，我还在几何学方面进行了一些研究，主要集中在流形和曲面的性质和拓扑学的应用。
通过对流形和曲面的性质进行研究，我发现了一些新的拓扑学问题，并提出了一些新的解决方法。
此外，我还在图论和网络科学中应用了几何学的方法，解决了一些复杂网络结构和图的性质问题。
最后，在实际应用方面，我将数学理论与计算机科学、金融学、生物学等领域相结合，进行了一些交叉学科的研究。
例如，在金融学中，我研究了金融市场中的随机过程和期权定价模型，并提出了一种新的交易策略。
在生物学中，我研究了生物信息学和计算生物学的一些方法，并应用于基因组学和蛋白质结构预测等问题上。
总的来说，____年是我数学研究的一个丰收的一年。
在不同领域的研究中，我不断探索新的问题，提出新的方法，并取得了一些初步的成果。
然而，我也意识到数学研究仍然存在着许多挑战和困难，需要不断努力和深入探索。
关于一些数论函数的性质研究
ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｔｏ ｔｈｅ ｒａｎｄｏｍ Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ ｓｏｕｒｃｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ Ｘ，砂，ｗｅ ｈａｖｅ ｇｉｖｅｎ ｄｏｕｂｌｅ Ｌ－ａｎｄ ｅｘｐｒｅｓｓｅｓ ｃ（七，ｌ，ｄ；ｘ，矽）ｓｉｍｐｌｅ ｆｏｒｍｕｌａ．Ｃｏｍｐａｒｅ ｗｉｔｈ Ｔｅｒｈｕｎｅ ｄｏｕｂｌｅ Ｌ－ａｎｄ ｔｈｅ ｆｏｒｍｕｌａ，ｗｈｅｎ ｘ（一１）砂（一１）＝（一１）七＋“－ｄ＋１，ｗｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｓｅａｌ ｆｏｒｍ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｃ（七，ｌ，ｄ；Ｘ，砂）．
２
两北大学硕士学位论文
第 弟一 二早 章 数 鳅Ｔ论匕间简７Ｉ介’
§２．１数论的发展简史
人类从使用数字开始，生活中就伴随着自然数．随着实践的需要，数的概念 被进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整 数和负整数中间的中性数叫做０．它们合起来叫做整数（注：现在自然数的概 念有了改变，包括正整数和０）．对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算， 叫做四则运算．随着人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数 的特性．如，整数可分为两大类：奇数和偶数．利用整数的一些基本性质，可以 进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今 来许多的数学家和学者不断地进行研究和探索．
ｌｌ
ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ Ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｎｕｍｂｅｒ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ａｎａｌｙｔｉｃ ｎｕｍｂｅｒ ｔｈｅｏｒｙ，ａｎｄ ｓｅｖｅｒａｌ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｆｏｒｍｕｌａｅ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ．
“课程思政”视域下中职数学教学设计——以“函数的概念”为例
“课程思政”视域下中职数学教学设计——以“函数的概念”为例发布时间：2023-03-06T03:04:58.576Z 来源：《教学与研究》2022年第20期作者：黄志维[导读] 函数是中职数学“十四五”职业教育国家规划教材基础模块的重要内容，同时是中职数学学习的重难点。
黄志维聊城高级财经职业学校山东聊城252000研究设计函数是中职数学“十四五”职业教育国家规划教材基础模块的重要内容，同时是中职数学学习的重难点。
在函数的教学设计过程中，通过结合我国日新月异发展进程、时事热点新闻、一带一路引领世界发展新格局、脱贫攻坚战的成就和我国数学家的卓越贡献等素材的嵌入和渗透，帮助中职生树立辩证唯物主义观、生态文明观、爱国爱党情怀，培养科技创新意识，养成良好的个性品格，有助于中职生形成正确的人生观、价值观和世界观，并将个人梦想融入到聊城地区发展的建设中和中华民族伟大复兴的中国梦中。
一、“课程思政”数学教学设计流程科学的教学设计框架是实现学科与思政融合的催化剂。
在“一四八”教学设计框架中坚持“一个核心”，即中职数学核心素养。
统筹课程思政切入点规划、数学基础分析、数学实施设计、教学评价设计“四个阶段”。
联结“八个融合点”，即：规划课程思政元素“切入点”；结合“学生特点”寻找数学核心素养与课程思政元素的“衔接点”，在 “契合点”上完成教学内容的重组；在教学目标的设定上体现“思政点”，教学过程中落实课程思政的“切入点”；通过教学评价，教师反思教学过程寻找“改进点”，通过学生评价实现“育人点”，达到课程育人的教学目标。
二、课程思政下“函数的概念”的教学设计分析2.1教材分析函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，中职阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻细函数，函数的思想方法将贯穿中职数学课程的始终。
通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用,函数与方程、不等式、数列、三角函数、解析几何等内容的联系也非常密切.函数的基础知识在现实生活，及其他学科中有着广泛的应用。
函数概念的发展史
函数概念的发展史函数概念的萌芽时期函数思想是随着人们开始运用数学知识研究事物的运动变化情况而出现的，16世纪，由于实践的需要，自然科学界开始转向对运动的量进行研究，各种变化着的物理量之间的关系也就成为数学家们关注的对象。
17世纪意大利数学家、科学家伽利略（Galileo，1564-16421是最早研究这方面的科学家，伽俐略在《两门新科学》一书中多处使用比例关系和文字表述了量与量之间的依赖关系，例如，从静止状态自由下落的物体所经过的距离与所用时间的平方成正比，这实际上就运用了函数思想，与此同时，英国著名的物理学家、数学家、天文学家牛顿（Newton，1642-1727）在对微积分的讨论中，使用了“流量”一词来表示变量间的关系，1673年，法国数学家笛卡尔（Descartes，1596-1650）在研究曲线问题时，发现了量的变化及量与量之间的依赖关系，引进了变量思想，并在他的《几何学》一书中指出：所谓变量是指“不知的和未定的量”，这成为数学发展的里程碑，也为函数概念的产生奠定了基础。
直到17世纪后期，在德国数学家莱布尼兹（Leib-niz，1646-1716）、牛顿建立微积分学时，还没有人明确函数的一般意义，大部分的函数是被当作研究曲线的工具，最早把“函数”（function）一词用作数学术语的是莱布尼兹，当时，莱布尼兹用“函数”（function）一词表示幂，后来又用函数表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量，例如曲线上的点的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等，从这个定义，我们可以看出，莱布尼兹利用几何概念，在几何的范围内揭示了某些量之间的依存关系。
函数概念的初步形成18世纪微积分的发展促进了函数概念“解析定义”的发展，瑞士著名数学家约翰·贝努利（Bernoulli Jo-hann，1667-1748）在研究积分计算问题时提出，积分工作的目的是在给定变量的微分中，找出变量本身之间的关系，而要用莱布尼兹定义的函数表示出变量本身之间的关系是很困难的，于是，1718年贝努利从解析的角度，把函数定义为：变量的函数就是由某个变量及任意一个常数结合而成的量，其意思是凡变量x和常量构成的式子都叫作x的函数，并且贝努利强调，函数要用公式来表示才行。
数学研究报告
数学研究报告（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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多元函数Taylor公式及其应用
2021年第08期256高教论坛多元函数Taylor公式及其应用刘心蕾西南石油大学，四川资阳000000一、课题背景：于一七一二年，泰勒公式由布瑞科泰勒所提出，他是英国的一位伟大的数学家.泰勒公式后来经过了拉格朗日以及柯西等数学家的进一步补充后，为数学理论未来的发展提供了非常有效的工具.近几年来关于公式的研究非常繁多，对泰勒公式在一些近似计算、向量值函数、等式与不等式、判断函数的敛散性和极限中都有特别深刻的研究.下面就我对其在几篇文章中的应用的理解为，在其中有一篇名为泰勒公式及其余项的证明中，主要研究的内容是先理解泰勒公式的一般型，在理解泰勒公式基本概念后，对泰勒公式的一般型进行一些推导，就可以分别得到佩诺型、拉格朗日型以及积分型三种不同形式的余项。
其次也研究了泰勒公式“中点函数”的可微性以及其余项“中间点”的渐进性.在高阶方向导数与多元泰勒定理的简单基本形式的文章中，泰勒公式对方向导数进行了推广.并且在对多元函数的研究中得到了高阶方向导数的概念及其相关方面的计算.最后，利用高阶方向导数从而推导出了多元函数泰勒公式的简单形式.泰勒是英国的一位伟大的数学家,他在函数值逼近上面做出了伟大的成就，而且他在函数值逼近上的研究结果显示:若这个函数具有一直到n + 1阶的导数，并且在某一个点的邻域中取得的值能用此函数在这一点的函数值和这个函数的各阶导数值所组成的n次多项式来近似表达出来，则由此产生的就称为泰勒公式.二、多元函数泰勒公式及其应用的发展状况:对于研究者来说，泰勒公式的证明与应用方面的研究一直都具有非常强大的吸引力.很多研究者在此领域中获得的成就很高，并且在一些优秀的文献中，有的作者在不等式和等式的证明和计算中都最大限度地利用了泰勒公式及其性质，而且使用的研究方法新颖又简便易懂，非常值得我们引以为我们学习的风向标.在泰勒提出公式后，一九九九年六月，就关于多元函数的高阶微分和泰勒共识这一篇文章的探讨中，它主要是研究了把一阶微分的微分定义为二阶微分的明确性，并且对多元函数泰勒公式也进行了一些推导，但在此文中仅仅是以二元函数来进行的展开。
【数学】大学毕业论文狄利克雷函数的性质及应用
【关键字】数学狄利克雷（Dirichlet）函数性质及应用作者黄玉峰指导教师马永传摘要：狄利克雷函数作为分析学中的一种构造性函数有着许多特殊的性质，它在数学分析、实变函数与泛函分析、复合函数等诸多领域均有十分广泛的应用，在数学发展过程中起过重要的作用。
本文将在性质与应用两个方面对狄利克雷函数进行讨论。
关键词：狄利克雷函数；性质；应用；反例函数概念最早出现在世纪英国数学家格雷戈里的文章《论圆和双曲线的求积》(年)中。
他定义函数是这样一个量：它是从一些其他量经过一系列代数运算或者任何其他可以想象到的运算而得到的。
世纪德国著名数学家莱布尼茨年在一篇手稿里使用了“函数”这一概念。
后来, 莱布尼茨又引进“常量”、“变量”和“参变量”的概念。
在数学史上, 这是一大进步, 它使得人们可以从数量上描述运动了。
当时的函数指的是可以用解析式表示的函数,但这种概念对数学和科学的进一步发展来说实在是太狭隘了。
历史上第一个给出函数一般定义的是世纪德国数学家狄利克雷（）。
这也促成了微积分的严格性的开始。
事实上,如果严格性没有进入定义,那就无法在推理中体现严格性。
当时, 数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义,数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象。
狄利克雷在年给出了下面的著名函数（后人称为狄利克雷函数）:这个函数具有三个特点:(1)没有解析式:使函数概念从解析式中解放了出来。
(2)没有图形:使函数概念从几何直观中解放了出来。
(3)没有实际背景:使函数概念从客观世界的束缚中解放了出来。
狄利克雷函数的出现,表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化,数学的一些“人造”特征开始展现出来。
这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”。
1 狄利克雷函数及其性质狄利克雷( [德])函数在数学分析、实变函数、泛函分析等研究领域中起着十分重要的作用。
1.1 狄利克雷函数的相应定义（1）对任意令，则称为定义在实数上的狄利克雷函数．（2）对任意令，则称为定义在实数上的狄利克雷拓展函数．（3）一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：其中为实数,．1.2 狄利克雷函数与狄利克雷拓展函数的性质1．周期性定理1.1 任意的非零有理数都是及的周期；但是任何的无理数都不是的周期．证由对任意有理数，有故任意的有理数都是及的周期．对任意的无理数，有故任何的无理数都不是和．2.有界性定理1.2 都是有界函数．证由故知且，所以都是有界函数．3.奇偶性定理1.3 都是偶函数．证由且知负号不改变数的有理性及无理性，所以可得所以且，故及都是偶函数．4.单调性定理1.4 及在实数集的任何区间上都不具有单调性．证对,在区间上由实数的稠密性知，在区间上存在无数个有理数及无数个无理数．不妨设，、为无理数，为有理数，.则，；，；故可知在实数集的任何区间上都不具有单调性．5.连续性定理1.5 对于及都不存在．证对任意小的由实数的稠密性知在内存在一组递加的有理数组存在一组递加的无理数组且．又易得可知及不存在，故和不存在.定理1.6 及在上处处不连续． 证：由定理1.5知对于及都不存在．故知0()()D x E x x 及在处不连续，又由0x 的任意性知()()D x E x 及在R 上处处不连续．6.可积性定理1.7 ()D x 及()E x 在任何区间[],()a b a b <上非R 可积．证 由 []1,()(,);0,x D x x a b x ⎧=∈⎨⎩当为有理数当为无理数对于[],a b 的一个分割{}12,,n T =∆∆∆,任取点i i ξ∈∆,1,2,,i n =,并作和式：由实数的稠密性知，当取i ξ为有理数时，()1i D ξ=，则1()ni i i D x b a ξ=∆=-∑；而取i ξ为无理数时，()0,i D ξ=1()0ni i i D x ξ=∆=∑；故()D x 在任何区间[],()a b a b <上非R 可积．由 []1,()(,)1,x E x x a b x ⎧=∈⎨-⎩当为有理数当为无理数对于[],a b 的一个分割{}'''112,,n T =∆∆∆,任取点''i i ξ∈∆,1,2,,i n =,并作和式：当'i ξ分别取有理数和无理数时，''1()ni i i E x ξ=∆∑的值互为相反数且都不为零．故()E x 在任何区间[],()a b a b <上非R 可积．综上可知, ()D x 及()E x 在任何区间[],()a b a b <上非R 可积． 2 狄利克雷函数的应用数学中的反例，是用以否定错误命题而举的例子。
浅述初中数学差异教学的研究与实施——以“一次函数概念”为例
浅述初中数学差异教学的研究与实施——以“一次函数概念”为例发布时间：2021-08-03T15:09:48.477Z 来源：《教学与研究》2021年4月10期作者：欧国强[导读] 一次函数是初中生最先接触到的函数概念，是学生后续学好其他函数的基础欧国强中山市第一中学广东中山 528400摘要：一次函数是初中生最先接触到的函数概念，是学生后续学好其他函数的基础，学生在进入到初二以后，学习难度进一步加大，学生对数学的理解水平会出现差异分化，因此，根据学生的水平差异制定不同的课堂教学方法显得尤为重要。
差异教学绝不仅仅是把学生简单地分开，也不仅仅是讲多讲少、讲快讲慢的区别，而是要从教学目标、教学实施过程、作业布置、评价方式等采取不同教学设计。
文章以八年级下册“一次函数概念”的教学为例，探讨差异教学的研究和实施。
关健词：一次函数；差异教学；实施与研究引言一次函数的内容较多，也为后期其他函数的学习提供了学习思路和框架，而函数这个载体，又需要结合前期的很多知识。
一次函数中既有最基本的知识要求，又有难度较大的综合题，因此，对于不同水平的学生差异教学就能较好地解决这个问题。
下文笔者结合自己的实践经历，以“一次函数”为例浅谈差异教学对初中数学教学的重要意义。
一、研究意义1.函数理解是数学理解中重要且困难的内容之一国外对函数的理解相当重视，如美国、法国等在数学课程标准中对函数内容提出了具体的要求。
而我国无论是以前的教学大纲还是现在的课程标准都鲜明地体现了函数理解的重要性与困难性，甚至是目前正在修订的高中数学课程标准中也可看出函数理解是学习数形结合、转化与化归思想的基础，是培养学生核心素养的重要内容（如图1）。
且各国课标在函数的学习中都要求学生能够利用所学的特殊函数模型去解决一些实际问题，可见通过函数的理解能够逐渐培养学生数学建模的核心素养。
图1：鲍建生核心素养的评价建议报告2.函数概念是中学数学的重要概念著名数学家F·克莱茵（F·Klein，1849——1925）称函数为数学的“灵魂”，认为函数概念应该成为中学数学的“基石”，纵观近、现代数学的发展可知，函数是描述运动、变化的基本概念。
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华罗庚
已故数学大师华罗庚院士是中国科学院数学研究所的创始人。他关于典 型域上多元复变数函数论的研究，于1956年获得第一届国家自然科学奖一等 奖。 华罗庚1958年在科学出版社出版了《多复变函数论中典型域上的调和分 析》一书。此书的初稿完成于1954年，是申请一等奖的依据。此书一出版就 引起了国际上的高度重视。首先是苏联科学院Steklov数学研究所于同年来函 要求将此书翻译成俄文出版（但由于苏联人同时精通中文及数学的不多，请 华罗庚先译成英文，再由他们译成俄文出版）。英文版是1963年从俄文版再 翻译成英文，由美国数学会出版的。英文版出版后，此书受到国际数学界的 普遍关注和高度评价，成为该领域研究的必然要引用的书籍。丘成桐教授 （菲尔兹奖、瑞典科学院卡拉夫奖、美国国家科学奖获得者）说，华罗庚这 方面的研究成果领先世界十年。 我们的看法：治学严谨的数学家，科学成就斐然。在美国过着优越的生 活，但是心系祖国，新中国成立后，他毅然抛弃优厚的待遇回国支援国家建 设，并带动起一批海外人才的归国热潮，是当代知识分子的榜样。
我们的看法：祖冲之不仅是我国历史上杰出的科学家，而且在世 界科学发展史上也有崇高的地位。祖冲之创造“密率”，是世界闻名 的。我们应该纪念像祖冲之这样的科学家，珍视他们的宝贵遗产。
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李善兰
李善兰,原名李心兰,字竟芳,号秋纫,别号壬叔.生于 1811 年1 月 2 日,浙江海宁人,是近代著名的数学,天文学,力学和植物学家，创立 了二次平方根的幂级数展开式,各种三角函数,反三角函数和对数函数 的幂级数展开式,这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就。 自幼喜好数学，后以诸生应试杭州，得元代著名数学家李冶撰 《测圆海镜》，据以钻研，造诣日深。道光间，陆续撰成《四元解》、 《麟德术解》、《弧矢启秘》、《方圆阐幽》及《对数探源》等，声 名大起。 我们的看法：李善兰创立了二次平方根的幂级数展开式,各种三角 函数,反三角函数和对数函数的幂级数展开式,这是李善兰也是19 世 纪中国数学界最重大的成就。 返回目录
我们的看法：笛卡尔在哲学上是二元论者，并把上帝看作造物主。 但笛卡儿在自然科学范围内却是一个机械论者，这在当时是有进步意 义的。笛卡尔堪称17世纪及其后的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨 匠之一，被誉为“近代科学的始祖”。 返回目录
莱布尼茨
戈特弗里德·威廉·凡·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm von Leibniz，1646年7月1日～1716年11月14日）德国最重要的自然科学 家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一位举世罕见的科学天 才，和牛顿（1643年1月4日—1727年3月31日）同为微积分的创建人。 最早提出函数（function）概念的，是17世纪德国数学家莱布尼 茨。最初莱布尼茨用“函数”一词表示幂，如y=kx+b都叫函数。以后， 他又用函数表示在直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标。 莱布尼茨曾讨论过负数和复数的性质，得出复数的对数并不存在， 共扼复数的和是实数的结论。在后来的研究中，莱布尼茨证明了自己 结论是正确的。他还对线性方程组进行研究，对消元法从理论上进行 了探讨，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理论，此外， 莱布尼茨还创立了符号逻辑学的基本概念。 我们的看法：莱布尼茨在数学方面的成就是巨大的，他的研究及 成果渗透到高等数学的许多领域。他的一系列重要数学理论的提出， 为后来的数学理论奠定了基础。 返回目录
什么是函数
函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关 系。函数f中对应输入值的输出值x的标准符号为f(x)。包含某个函数 所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的 集合被称作值域。若先定义映射的概念，可以简单定义函数为，定义 在非空数集之间的映射称为函数。 函数是数学中的一种对应关系，是从非空数集A到实数集B的对应。 简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数。精确地说，设X是一个非 空集合，Y是非空数集 ，f是个对应法则， 若对X中的每个x，按对应 法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应 ， 就称对应法则f是X 上的一个函数，记作y＝f（x），称X为函数f（x）的定义域，集合 {y|y=f（x），x∈R}为其值域（值域是Y的子集），x叫做自变量，y 叫做因变量，习惯上也说y是x的函数。对应法则和定义域是函数的两 个要素。
实验中学2013届八班数学研究性课题
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什么是函数： 中国数学家： 祖冲之 李善兰 华罗庚 外国数学家： 笛卡尔 莱布尼茨 欧拉 柯西 狄利克雷 函数之美： 叶形线 箕舌线 双纽线 李萨茹曲线 蔷薇线 阿基米德线 耐克线 星形线 其他 函数之美的调查： 老师的评价： 大家的感受： 张岩 张宇翔 买云婷 张龄予 沈志明 罗大伟 李佳奇 陈濮 总的感受
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祖冲之
他写的《缀术》一书，被收入著名的《算经十书》中，作为唐代 国子监算数课本，可惜后来失传了。《隋书·律厉志》留下一小段关 于圆周率（π ）的记载，祖冲之算出π 的真值在3.1415926和 3.1415927之间，相当于精确到小数第7位，简化成3.1415926，成为 当时世界上最先进的成就。祖冲之入选中国世界记录协会世界第一位 将圆周率值计算到小数第7位的科学家，创造了中国纪协世界之最。 这一纪录直到15世纪才由阿拉伯数学家卡西打破。 祖冲之还给出π 的两个分数形式：22/7（约率）和355/113（密率），其中密率精确 到小数第7位，在西方直到16世纪才由荷兰数学家奥托重新发现。祖 冲之还和儿子祖暅一起圆满地利用「牟合方盖」解决了球体积的计算 问题，得到正确的球体积公式。是在数学发展上创立了解析几何学。在笛卡 儿时代，代数还是一个比较新的学科，几何学的思维还在数学家的头 脑中占有统治地位。笛卡儿致力于代数和几何联系起来的研究，于 1637年，在创立了坐标系后，成功地创立了解析几何学。他的这一成 就为微积分的创立奠定了基础。解析几何直到现在仍是重要的数学方 法之一。笛卡尔不仅提出了解析几何学的主要思想方法，还指明了其 发展方向。他在《几何学》中，将逻辑，几何，代数方法结合起来， 通过讨论作图问题，勾勒出解析几何的新方法，从此，数和形就走到 了一起，数轴是数和形的第一次接触。解析几何的创立是数学史上一 次划时代的转折。而平面直角坐标系的建立正是解析几何得以创立的 基础。直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁，它使几 何概念可以用代数形式来表示，几何图形也可以用代数形式来表示， 于是代数和几何就这样合为一家人了。