7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义-高一数学新教材讲练导学案(人教A版2019必修第二册)

7.2.1复数的加、减运算及其几何意义

导学案

【学习目标】

1.熟练掌握复数的代数形式的加、减法运算法则

2.理解复数加、减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.

【自主学习】

知识点1 复数的加、减法法则及几何意义与运算律

复数的和z 1＋z 2与向量OZ 1→

＋OZ 2→＝OZ →

的坐标对应

复数的差z 1－z 2与向量OZ 1→

－OZ 2→＝Z 2Z 1→

的坐标对应

z ＋z ＝z ＋z

【合作探究】

探究一复数加、减法的运算

【例1】(1)计算(2＋4i)＋(3－4i)；

(2)计算(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i).

解(1)原式＝(2＋3)＋(4－4)i＝5.

(2)原式＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i＝－2＋2i.

归纳总结：

【练习1】计算(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 011－2 012i)－(2 012－2 013i).

解方法一原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 011－2 012)＋(－2＋3－4＋5＋…－2 012＋2 013)i＝－1 006＋1 006i.

方法二(1－2i)－(2－3i)＝－1＋i，

(3－4i)－(4－5i)＝－1＋i，…，

(2 011－2 012i)－(2 012－2 013i)＝－1＋i.

将上列1 006个式子累加可得

原式＝1 006(－1＋i)＝－1 006＋1 006i.

探究二复数加、减法的几何意义

【例2】如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求：

(1)AO →所表示的复数，BC →

所表示的复数； (2)对角线CA →

所表示的复数；

(3)对角线OB →所表示的复数及OB →

的长度. 解 (1)因为AO →

＝0－(3＋2i)＝－3－2i ， 所以AO →

所表示的复数为－3－2i. 因为BC →＝AO →，

所以BC →

所表示的复数为－3－2i. (2)因为CA →＝OA →－OC →

，

所以CA →

所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为对角线OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →

，

所以OB →

所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 所以|OB →

|＝12＋62＝37.

归纳总结：

【练习2】满足条件|z ＋1－i|＝|4－3i|的复数z 在复平面内对应的点的轨迹是( ) A.一条直线 B.两条直线 C.一个圆 D.一个椭圆

【答案】 C

解析 根据复数减法的几何意义，|z ＋1－i|表示复平面内复数z 对应的点Z 到点(－1,1)的距离，而|4－3i|表示复数4－3i 的模，等于5，故满足|z ＋1－i|＝5的复数z 在复平面内对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，5为半径的圆.

探究三 复数加、减法的综合应用

【例3】已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.

解 方法一 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )， ∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1， ∴a 2＋b 2＝c 2＋d 2＝1，① (a －c )2＋(b －d )2＝1，② 由①②得2ac ＋2bd ＝1， ∴|z 1＋z 2|＝(a ＋c )2＋(b ＋d )2 ＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝ 3. 方法二 设O 为坐标原点，

z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点分别为A ，B ，C . ∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，

∴△OAB 是边长为1的正三角形， 又以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，

∴四边形OACB 是一个内角为60°，边长为1的菱形， 且|z 1＋z 2|是菱形的较长的对角线OC 的长， ∴|z 1＋z 2|＝|OC →

|

＝ (|OA →|2＋|AC →|2＋2|OA →||AC →

|cos 60°)＝ 3.

归纳总结：

【练习3】已知|z 1|＝|z 2|＝1，z 1＋z 2＝12＋3

2

i ，求复数z 1，z 2及|z 1－z 2|.

解 由于|z 1＋z 2|＝????12＋32i ＝1，设z 1，z 2，z 1＋z 2对应的向量分别为OA →，OB →，OC →，则因|OA

→

|＝|OB →|＝|OC →

|＝1，故A ，B ，C 三点均在以原点为圆心，1为半径的圆上，如图所示，由平行四边形法则和余弦定理易得

cos ∠AOC ＝|OA →|2＋|OC →|2－|AC →

|22|OA →||OC →

|

＝1

2，

故∠AOC ＝60°，所以平行四边形OACB 为菱形，且△BOC ，△COA 都是等边三角形，即∠AOB ＝120°.

又∵OC →

与x 轴正半轴的夹角为60°，故点A 在x 轴上，即A (1,0). 而x B ＝|OB →|cos 120°＝－12，y B ＝|OB →

|sin 120°＝32，

∴B 的坐标为???

?－12，3

2.

∴????? z 1＝1，z 2＝－12＋3

2i ，或?????

z 1＝－12＋32i ，

z 2＝1. 方法一 |z 1－z 2|＝???

?32－3

2i ＝ 3.

方法二 由结论|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2(|z 1|2＋|z 2|2)知，|z 1－z 2|2＝2|z 1|2＋2|z 2|2－|z 1＋z 2|2＝3， ∴|z 1－z 2|＝ 3.

方法三 由余弦定理可得

|AB →|2＝|OA →|2＋|OB →|2－2|OA →||OB →

|cos 120°＝3，

又∵z 1－z 2＝OA →－OB →＝BA →

， ∴|z 1－z 2|＝|BA →|＝|AB →

|＝ 3.

课后作业

A 组 基础题

一、选择题

1.若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( ) A.0 B.2i C.6 D.6－2i

【答案】 D

解析 z ＝3－i －(i －3)＝6－2i.

2.复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

【答案】 B

解析 i ＋i 2＝－1＋i ，对应的点在第二象限.

3.在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →表示的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，则BC →

表示的复数为( ) A.2＋8i B.－6－6i C.4－4i D.－4＋2i

【答案】 C

解析 BC →＝OC →－OB →＝OC →－(AB →＋OA →

)＝3＋2i －(1＋5i －2＋i)＝4－4i. ∴BC →

表示的复数为4－4i.

4.若|z －1|＝|z ＋1|，则复数z 对应的点在( ) A.实轴上 B.虚轴上 C.第一象限

D.第二象限

【答案】 B

解析 ∵|z －1|＝|z ＋1|，∴点Z 到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z 在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上.

5.复数z 1＝2－12i ，z 2＝1

2－2i ，则z 1＋z 2等于( )

A.0

B.32＋5

2i C.52－5

2i D.52－32

i 【答案】 C

解析 z 1＋z 2＝????2＋12－????12＋2i ＝52－52i. 6.若z ＋3－2i ＝4＋i ，则z 等于( ) A.1＋i

B.1＋3i

C.－1－i

D.－1－3i

【答案】 B

解析 z ＝4＋i －(3－2i)＝1＋3i.

7.复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( ) A.2 B.2＋2i C.4＋2i D.4－2i

【答案】 C

8.设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( ) A.1＋i B.2＋i C.3 D.－2－i 【答案】 D

解析 由????? 2＋a ＝0，b ＋1＝0，得?????

a ＝－2，

b ＝－1.

∴a ＋b i ＝－2－i. 二、填空题

9.已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝ . 【答案】 －1

解析 z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴?

????

a 2－a －2＝0，

a 2＋a －6≠0，解得a ＝－

1.

10.若复数z 1＋z 2＝3＋4i ，z 1－z 2＝5－2i ，则z 1＝ . 【答案】 4＋i

解析 两式相加得2z 1＝8＋2i ，∴z 1＝4＋i. 11.若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是 . 【答案】 1

解析 由|z －2|＝|z ＋2|，知z 对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴.|z －1|表示z 对应的点与(1,0)的距离.∴|z －1|min ＝1.

12.如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是 . 【答案】

11

5

＋3i 解析 设这个复数为x ＋y i(x ，y ∈R )， ∴x ＋y i ＋x 2＋y 2＝5＋3i ， ∴???

x ＋x 2＋y 2＝5，

y ＝3，∴?????

x ＝115，y ＝ 3.

∴x ＋y i ＝11

5＋3i.

三、解答题 13．计算：

(1)(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)； (2)4－(5＋12i)－i ；

(3)若z －(－3＋5i)＝－2＋6i ，求复数z .

[解] (1)(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)＝(2－3＋4)＋(－1＋5＋3)i ＝3＋7i. (2)4－(5＋12i)－i ＝(4－5)＋(－12－1)i ＝－1－13i.

(3)法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，因为z －(－3＋5i)＝－2＋6i ，所以(x ＋y i)－(－3＋5i)＝－2＋6i ，

即(x ＋3)＋(y －5)i ＝－2＋6i ，因此?????

x ＋3＝－2，

y －5＝6，

解得?

????

x ＝－5，

y ＝11，于是z ＝－5＋11i.

法二：由z －(－3＋5i)＝－2＋6i 可得z ＝－2＋6i ＋(－3＋5i)， 所以z ＝(－2－3)＋(6＋5)i ＝－5＋11i.

14.已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数.

解 方法一 设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )， 则D (x ，y )，又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1). ∴AC 中点为????32，2，BD 中点为????

x 2，y －12. ∵平行四边形对角线互相平分，

∴???

32＝x

2，

2＝y －1

2，

∴?

????

x ＝3，

y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i. 方法二 设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R ).

则AD →

对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i) ＝(x －1)＋(y －3)i ，

又BC →

对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ， 由于AD →＝BC →

.∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i.

∴????? x －1＝2，y －3＝2，∴?????

x ＝3，y ＝5.

即点D 对应的复数为3＋5i.

B 组 能力提升

一、选择题

1.如果复数z 满足|z ＋2i|＋|z －2i|＝4，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( ) A.1 B.2 C.2 D.5

【答案】 A

解析 设复数－2i,2i ，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3，因为|z ＋2i|＋|z －2i|＝4，Z 1Z 2＝4，所以复数z 的几何意义为线段Z 1Z 2，如图所示，问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求ZZ 3的最小值.

因此作Z 3Z 0⊥Z 1Z 2于Z 0，则Z 3与Z 0的距离即为所求的最小值，Z 0Z 3＝1.故选A.

2.复平面内点A ，B ，C 对应的复数分别为i,1,4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作?ABCD ，则|BD →

|等于( )

A.5

B.13

C.15

D.17 【答案】 B 解析 如图，

设D (x ，y )，F 为?ABCD 的对角线的交点，则点F 的坐标为???

?2，32，

所以????? x ＋1＝4，y ＋0＝3，即?????

x ＝3，y ＝3.

所以点D 对应的复数为z ＝3＋3i ， 所以BD →＝OD →－OB →

＝(3,3)－(1,0)＝(2,3)， 所以|BD →

|＝13.

3．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( ) A ．0

B ．1

C ．

22

D ．12

【答案】C [由|z ＋1|＝|z －i|知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y ＝－x ，而|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离，即为2

2

.] 4．(多选题)已知i 为虚数单位，下列说法中正确的是( )

A ．若复数z 满足|z －i|＝5，则复数z 对应的点在以(1,0)为圆心，5为半径的圆上

B ．若复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，则复数z ＝15＋8i

C ．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模

D ．复数z 1对应的向量为OZ 1→，复数z 2对应的向量为OZ 2→，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则OZ 1→⊥OZ 2→

【答案】CD [满足|z －i|＝5的复数z 对应的点在以(0,1)为圆心，5为半径的圆上，A 错误；在B 中，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2.由z ＋|z |＝2＋8i ，得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，

∈?

??

a ＋a 2＋

b 2＝2，b ＝8.解得?????

a ＝－15，

b ＝8.∈z ＝－15＋8i ，B 错误；由复数的模的定义知C

正确；由|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|的几何意义知，以OZ 1→，OZ 2→

为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D 正确．故选CD ．] 二、填空题

5．若复数z 满足z ＝|z |－3－4i ，则z ＝________.

【答案】7

6

－4i [设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，

则???

a ＝a 2＋

b 2－3，b ＝－4，所以?????

a ＝76，

b ＝－4，

所以z ＝7

6－4i.]

三、解答题

6．在复平面内，A ，B ，C 分别对应复数z 1＝1＋i ，z 2＝5＋i ，z 3＝3＋3i ，以AB ，AC 为邻边作一个平行四边形ABDC ，求D 点对应的复数z 4及AD 的长．

[解] 如图所示. AC →

对应复数z 3－z 1， AB →

对应复数z 2－z 1， AD →

对应复数z 4－z 1.

由复数加减运算的几何意义，得AD →＝AB →＋AC →

， ∈z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1)，

∈z 4＝z 2＋z 3－z 1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i.

∈AD 的长为|AD →

|＝|z 4－z 1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝210.

7.集合M ＝{z ||z －1|≤1，z ∈C }，N ＝{z ||z －1－i|＝|z －2|，z ∈C }，集合P ＝M ∩N . (1)指出集合P 在复平面上所表示的图形； (2)求集合P 中复数模的最大值和最小值.

解 (1)由|z －1|≤1可知，集合M 在复平面内所对应的点集是以点E (1,0)为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由|z －1－i|＝|z －2|可知，集合N 在复平面内所对应点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l ，因此集合P 是圆面截直线l 所得的一条线段AB ，如图所示.

(2)圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0， 直线l 的方程为y ＝x －1.

解?

????

x 2＋y 2－2x ＝0，y ＝x －1得 A (2＋22，22)，B (2－22，－22).

∴|OA |＝2＋2，|OB |＝2－ 2.

∵点O 到直线l 的距离为

22，且过O 向l 作垂线，垂足在线段BE 上，∴2

2

<2－ 2. ∴集合P 中复数模的最大值为2＋2，最小值为

2

2

. 8．在复平面内，A ，B ，C 三点所对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i ，其中i 为虚数单位． (1)求AB →，BC →，AC →

对应的复数； (2)判断△ABC 的形状； (3)求△ABC 的面积．

[解] (1)AB →

对应的复数为2＋i －1＝1＋i ， BC →

对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ， AC →

对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i.

(2)∈|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →

|＝8＝22， ∈|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →

|2，∈∈ABC 为直角三角形． (3)S ∈ABC ＝1

2×2×22＝2.