2015-2016学年南京市鼓楼区九年级上期末数学试卷含答案解析
2015-2016学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）1．从单词“happy”中随机抽取一个字母，抽中p的概率为（）A．B．C．D．2．一元二次方程x2+x﹣2=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根3．若x1，x2是一元二次方程2x2﹣7x+5=0的两根，则x1+x2的值是（）A．﹣7 B．C．D．74．下列哪一个函数，其图形与x轴有两个交点（）A．y=17（x+50）2+2016 B．y=17（x﹣50）2+2016C．y=﹣17（x+50）2+2016 D．y=﹣17（x﹣50）2﹣20165．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD等于（）A．57.5°B．65°C．115°D．130°6．已知二次函数y=x2﹣x+a（a＞0），当自变量x取m时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（）A．m﹣1＞0 B．m﹣1＜0 C．m﹣1=0 D．m﹣1与0的大小关系不确定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）7．已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为4cm，那么直线l与⊙O的位置关系是．8．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：AB=4：9，则S△ADE：S△ABC=．9．若线段AB=6cm，点C是线段AB的一个黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为cm（结果保留根号）．10．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为cm．11．已知正六边形的边长为4cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为cm．（结果保留π）12．如图，电线杆上的路灯距离地面8m，身高1.6m的小明（AB）站在距离电线杆的底部（点O）20m的A处，则小明的影子AM长为m．13．某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是m．14．AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB=2，则线段BQ的长为．15．若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＜0的解集为．16．如图，在⊙O中，AD是直径，BC是弦，D为的中点，直径AD交BC于点E，AE=5，ED=1，则BC的长是m．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）解方程：2x2﹣4x﹣6=0．（2）①直接写出函数y=2x2﹣4x﹣6的图象与x轴交点坐标；②求函数y=2x2﹣4x﹣6的图象的顶点坐标．18．九（2）班组织了一次朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩（10分制）如下表（单位：分）：甲7 8 9 7 10 10 9 10 10 10乙10 8 7 9 8 10 10 9 10 9（1）甲队成绩的中位数是分，乙队成绩的众数是分；（2）计算乙队成绩的平均数和方差；（3）已知甲队成绩的方差是1.4分2，则成绩较为整齐的是队．19．如图，G是边长为8的正方形ABCD的边BC上的一点，矩形DEFG的边EF过点A，GD=10．（1）求FG的长；（2）直接写出图中与△BHG相似的所有三角形．20．一个不透明的袋子中装有3个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同．（1）从中随机摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．摸出的两个球中，1个为红球，1个为白球的概率为；（2）从中随机摸出1个球，记录颜色后不放回，再摸出1个球．求摸出的两个球中，1个为红球，1个为白球的概率．21．在淘宝一年一度的“双十一”活动中，某电商在2014年销售额为2500万元，要使2016年“双十一”的销售额达到3600万元，平均每年“双十一”销售额增长的百分率是多少？22．在作二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象时，先列出下表：x …﹣1 0 1 2 3 4 5 …y1…0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12 …y2…0 2 4 6 8 10 12 …请你根据表格信息回答下列问题，（1）二次函数y1=ax2+bx+c的图象与y轴交点坐标为；（2）当y1＞y2时，自变量x的取值范围是；（3）请写出二次函数y1=ax2+bx+c的三条不同的性质．23．请探究两个等腰三角形相似的条件，用文字语言直接写出探究的结果即可．24．（1）如图（1），已知射线OP与线段OH，在射线OP上取点D、E、F，且OD=DE=EF，用尺规作出OH的三等分点M、N；（不写作法，保留作图痕迹）（2）请用尺规在图（2）中∠BAC的内部作出一点O，使点O到AB的距离等于点O到AC的距离的2倍．（不写作法，保留作图痕迹）25．如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC上一点，以OC为半径的⊙O与CD交于点M，且∠BAC=∠DAM．（1）求证：AM与⊙O相切；（2）若AM=3DM，BC=2，求⊙O的半径．26．某家禽养殖场，用总长为110m的围栏靠墙（墙长为22m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形AEHG与矩形CDEF面积都等于矩形BFHG面积的一半，设AD长为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？27．如图（1），在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，连接BD．现将一个足够大的直角三角板的直角顶点P放在BD所在的直线上，一条直角边过点C，另一条直角边与AB所在的直线交于点G．（1）是否存在这样的点P，使点P、C、G为顶点的三角形与△GCB全等？若存在，画出图形，并直接在图形下方写出BG的长．（如果你有多种情况，请用①、②、③、…表示，每种情况用一个图形单独表示，如果图形不够用，请自己画图）（2）如图（2），当点P在BD的延长线上时，以P为圆心、PB为半径作圆分别交BA、BC延长线于点E、F，连EF，分别过点G、C作GM⊥EF，CN⊥EF，M、N为垂足．试探究PM与FN的关系．15-16鼓楼九（上）期末参考答案与试题解析一、1．C．2．A．3．C．4．C．5．D．6．A．二、7．相交．8．16：81．9．3（﹣1）10．4cm．11．8π12．513．314．．15．x＜3或x＞5．16．2m．三、【解答】解：（1）解方程2x2﹣4x﹣6=0，整理得x2﹣2x﹣3=0，（x﹣3）（x+1）=0，x﹣3=0或x+1=0，所以x1=3，x2=﹣1；（2）①函数y=2x2﹣4x﹣6的图象与x轴交点坐标（3，0），（﹣1，0）；②y=2（x2﹣2x）﹣6 =2（x2﹣2x+1﹣1）﹣6 =2（x﹣1）2﹣8，所以抛物线的顶点（1，﹣8）18．【解答】解：（1）把甲队的成绩从小到大排列为：7，7，8，9，9，10，10，10，10，10，最中间两个数的平均数是（9+10）÷2=9.5（分），则中位数是9.5分；乙队成绩中10出现了4次，出现的次数最多，则乙队成绩的众数是10分；故答案为：9.5，10；（2）乙队的平均成绩是：（10×4+8×2+7+9×3）=9，则方差是：[4×（10﹣9）2+2×（8﹣9）2+（7﹣9）2+3×（9﹣9）2]=1；（3）∵甲队成绩的方差是1.4，乙队成绩的方差是1，∴成绩较为整齐的是乙队；答案：乙．19．【解答】解：（1）在正方形ABCD和矩形DEFG中，∠E=∠C=90°，∵∠EDA与∠CDG均为∠ADG的余角，∴∠EDA=∠CDG，∴△DEA∽△DCG，∴=∵ED=FG，∴=，∵GD=10，AD=CD=8，∴=，∴FG=6.4；（2）△AFH，△DCG，△DEA，△GBH均是相似三角形．20．【解答】解：（1）画树状图得：∵共有16种等可能的结果，摸出的两个球中，1个为红球，1个为白球的有6种情况，∴摸出的两个球中，1个为红球，1个为白球的概率为：=；故答案为：；（2）编画树状图得：∵共有12种可能出现的结果，它们出现的可能性相同，摸出“1个是红球，1个白球”（记为事件B）的结果有6种，∴摸出的两个球中，1个为红球，1个为白球的概率为：=．21．【解答】解：设平均每年“双十一”销售额增长的百分率是x，根据题意得2500（1+x）2=3600，（1+x）2=，1+x=±，x1==20%，x2=﹣（不合题意，舍去），答：平均每年“双十一”销售额增长的百分率是20%．22．【解答】解：（1）二次函数y1=ax2+bx+c的图象与y轴交点坐标为（0，﹣3）；（2）由题意得，，解得．∴二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4．∵一次函数y2=kx+m的图象过点（﹣1，0），（0，2），∴，解得．∴一次函数的解析式为y=2x+2，如图所示，当x＜﹣1或x＞5时，二次函数的值大于一次函数的值．（3）该函数的图象开口向上；当x=1时，函数有最大值；当x＜1时，y随x的增大而减小，当x≥1时，y随x 的增大而增大；顶点坐标为（1，﹣4）；对称轴为直线x=1．23．【解答】解：①顶角相等的两个等腰三角形相似；②底角相等的两个等腰三角形相似；③腰和底成比例的两个等腰三角形相似．（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．24．【解答】解：（1）如图1，点M、N为所作；（2）如图2，点O为所作．25．【解答】（1）证明：连接OM．在矩形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°∴∠BAC=∠DCA，∵OM=OC，∴∠OMC=∠OCM．∵∠BAC=∠DAM，∴∠DAM=∠OMC．∴∠OMC+∠DMA=∠DAM+∠DMA．在△DAM中，∠D=90°，∴∠DAM+∠DMA=180°﹣90°=90°．∴∠OMC+∠DMA=90°．∴∠AMO=90°，∴AM⊥MO．点M在⊙O上，OM是⊙O的半径，∴AM与⊙O 相切．（2）在△BAC与△DAM中，∵∠BAC=∠DAM，∠B=∠D，∴△BAC∽△DAM，∴=，∴=．∵AM=3DM，∴AC=3BC．BC=2，∴AC=6，在△DAM中，DM2+AD2=AM2即DM2+22=（3DM）2解得DM=．AM=．在△AMO中，AM2+MO2=AO2即（）2+MO2=（6﹣MO）2．解得MO=．26．【解答】解：（1）∵矩形AEHG与矩形CDEF面积都等于矩形BFHG面积的一半，∴矩形AEFB面积是矩形CDEF面积的3倍，∴AD=3DE，∵AD=x，∴GH=x，∵围栏总长为110m，∴2x+x+2CD=110，∴CD=55﹣x，∴y=x（55﹣x）=﹣x2+55x，∴自变量x的取值范围为：24≤x＜40；（2）∵y=﹣x2+55x=﹣（x2﹣40 x）=﹣（x﹣20）2+550，∵自变量x的取值范围为：24≤x＜40，且二次项系数为﹣＜0，∴当x=24时，y有最大值，最大值为528平方米．27．【解答】解：（1）存在点P，使点P、C、G为顶点的三角形与△GCB全等．①若点G在线段AB上，如图①．当BG=PC时，根据HL可得Rt△GBC≌Rt△CPG，此时∠GCB=∠CGP，∴PG∥BC，∴∠GPC+∠PCB=90°．∵∠GPC=90°，∴∠PCB=90°，∴点P在点D处，∴BG=PC=DC=AB=3；②若点G在线段AB的延长线上，如图②．当BG=PC时，根据HL可得Rt△GBC≌Rt△CPG，此时BC=PG，∠GCB=∠CGP，∴OG=OC，OB=OP，∴∠PBO=∠BPO=（180°﹣∠BOP），∠OCG=∠OGC=（180°﹣∠GOC）．∵∠BOP=∠GOC，∴∠PBO=∠OCG，∴BD∥CG．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，即BG∥DC，∴四边形BGCD是平行四边形，∴BG=CD=3；11 ③若点G 在线段AB 的反向延长线上，如图③．当PC=BC 时，根据HL 可得Rt △GBC ≌Rt △GPC ，此时BG=PG ，∴点G 、C 在BP 的垂直平分线上，∴GC 垂直平分BP ，∴∠BGC+∠GBD=90°．∵∠CBD+∠GBD=90°，∴∠BGC=∠CBD ．又∵∠GBC=∠BCD=90°，∴△GCB ∽△BDC ，∴=．∵BC=4，CD=3，∴=，∴BG=； （2）如图2，由（1）可知，此时△GBC ≌△GPC ，且BG=PG=，BC=PC=4．∵GM ⊥EF ，CN ⊥EF ，∴∠GMP=∠PNC=90°，∴∠MGP+∠GPM=90°．∵∠GP ∴∠GPM+∠NPC=90°，∴∠MGP=∠NPC ， ∴△PGM ∽△CPN ， ∴=．∴==，即PM=CN ．∵PB=PF ，∴∠F=∠PBC ．又∵∠FNC=∠BCD=90°，∴△FNC ∽△BCD ，∴=．∵BC=4，DC=3，∴=，∴FN=CN ，∴PM=FN ．。
2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级(上)期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x﹣1＝0B．x2＝3C．4x﹣3y＝3D．x2﹣y2＝32．（2分）已知⊙O的半径为3，平面内点P到圆心O的距离为√5，则点P与⊙O的位置关系（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定3．（2分）二次函数y＝2（x﹣3）2+2的图象的顶点坐标是（）A．（3，2）B．（﹣3，2）C．（3，﹣2）D．（﹣3，﹣2）4．（2分）如图，在长40m、宽22m的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的部分铺上草坪，要使草坪的面积达到760m2，设道路的宽为x m，则根据题意，可列出方程（）A．（40﹣x）（22﹣x）＝760B．（40+x）（22+x）＝760C．40×22﹣40x﹣22x＝760D．40×22﹣40x﹣22x﹣x2＝7605．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示．下列说法中，正确的是（）A．图象的开口向上B．图象经过点（4，0）C．图象与x轴只有一个公共点D．点（2，3）右边的图象呈下降趋势6．（2分）如图，在⊙O中，动弦AB与直径CD相交于点E且总有∠BED＝45°，则AE2+BE2的值（）A．随着OE的增大而增大B．随着OE的增大而减小C．随着OE的增大先增大后减小D．保持不变二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题7．（2分）写出一个一元二次方程，使它的两个根分别是3、﹣2．8．（2分）已知圆锥的底面半径为6，母线长为10，则此圆锥的侧面积为．9．（2分）若点（1，y1）与（2，y2）都在函数y＝﹣x2+3的图象上，则y1，y2的大小关系是．10．（2分）若扇形的半径为3，圆心角120°，为则此扇形的弧长是．11．（2分）若一元二次方程x2+mx﹣3＝0（m为常数）的一个根是x＝1，则另一个根是．12．（2分）如图是函数y＝ax2+bx+c的部分图象，则该函数图象与x轴负半轴的交点坐标是．13．（2分）已知⊙O的半径等于4cm，AB为⊙O的弦，其长为4√2cm，则弦AB所对的圆周角的度数为．14．（2分）五边形ABCDE为圆的内接五边形，其中AB＝AE，∠A＝100°，则∠B+∠D＝°．15．（2分）如图，AB是⊙O的直径，若∠E＝25°，∠CAD＝45°，则∠CDA的度数为°．16．（2分）等边△ABC的边长是4√3，直线l经过等边△ABC的外心O，过B作BD⊥l，垂足为D，连接CD，则CD的最小值是．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解下列方程．（1）（x﹣1）2﹣16＝0；（2）x2﹣3x+1＝0．18．（7分）已知二次函数y＝x2﹣mx+1的图象经过点（2，3）．（1）求m的值；（2）该二次函数的图象是否经过点（﹣2，6）？判断并说明理由．19．（7分）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点P．（1）求证AP＝BP；（2）已知图中阴影部分面积为10π，求弦AB的长．20．（8分）一个直角三角形的两条直角边长度之和是10cm，面积是12cm2，求斜边的长．21．（7分）二次函数图象的顶点为（﹣1，2），图象经过（0，1）．（1）求该二次函数的表达式；（2）结合图象，直接写出当﹣2≤x≤3时y的取值范围．22．（8分）尺规作图：作已知圆的一条直径．要求：①保留作图痕迹；②用两种不同方法作图．23．（8分）已知关于x的方程x2﹣4x+4﹣k2＝0（k为常数）．（1）求证：不论k取何值时，该方程总有实数根．（2）方程的两个实数根可能都是负根吗？判断并说明理由．24．（8分）如图是二次函数y＝x2﹣2x﹣3的大致图象．（1）求该图象顶点的坐标；（2）该图象经过怎样的平移可以得到函数y＝x2的图象？（3）将该图象绕原点旋转180°直接写出所得图象对应的表达式．25．（8分）某商店八月份的销售额为30万元，九月份因经营不善销售额有明显下降，商店积极改进，十月份的销售额恢复到30万元，已知十月份销售额的增长率是九月份销售额的下降率的1.5倍．求九月份的销售额．26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝90°，BC与⊙O相交于点E，D是AC的中点，直线DE 与直线AB相交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）已知AB＝4，当AC长度变化时，AF的长也随之变化．①当AC＝时，AF＝6；②在整个变化过程中，AF的长是否存在最大值？判断并说明理由．27．（9分）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大．从特殊验证已知四边形ABCD的各边长依次为7，15，20，24，求它的面积S何时最大？易得S＝⋯Ⅱ．∠B为钝角易证当∠ABC为钝角时，∠ADCⅢ．∠B为锐角同理可得Ⅱ中结论综上所述，S的最大值为…．（1）探索情形Ⅰ：①求证：点A，B，C，D在同一个圆上．②S的值为．（2）探索情形Ⅱ：说明此时S的值小于情形Ⅰ中S的值．向一般进发（3）已知四边形ABCD的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S的最大值．2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x﹣1＝0B．x2＝3C．4x﹣3y＝3D．x2﹣y2＝3【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【解答】解：A．方程x﹣1＝0是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B．方程x2＝3是一元二次方程，故本选项符合题意；C．方程4x﹣3y＝3是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D．方程x2﹣y2＝3是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．故选：B．2．（2分）已知⊙O的半径为3，平面内点P到圆心O的距离为√5，则点P与⊙O的位置关系（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定【分析】点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r，点P在圆上⇔d＝r，点P在圆内⇔d＜r，由此即可判断．【解答】解：∵圆的半径r＝3，点P到O的距离d=√5，∴d＜r，∴点P在圆内，故选：C．3．（2分）二次函数y＝2（x﹣3）2+2的图象的顶点坐标是（）A．（3，2）B．（﹣3，2）C．（3，﹣2）D．（﹣3，﹣2）【分析】由于二次函数y＝a（x﹣b）2+c的顶点坐标为（b，c），由此即可求出抛物线的顶点坐标．【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣3）2+2，∴其图象的顶点坐标为（3，2）．故选：A．4．（2分）如图，在长40m、宽22m的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的部分铺上草坪，要使草坪的面积达到760m2，设道路的宽为x m，则根据题意，可列出方程（）A．（40﹣x）（22﹣x）＝760B．（40+x）（22+x）＝760C．40×22﹣40x﹣22x＝760D．40×22﹣40x﹣22x﹣x2＝760【分析】把四块耕地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是（40﹣x）和（22﹣x），根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程．【解答】解：设道路的宽应为x米．依题意得：（40﹣x）（22﹣x）＝760，故选：A．5．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示．下列说法中，正确的是（）A．图象的开口向上B．图象经过点（4，0）C．图象与x轴只有一个公共点D．点（2，3）右边的图象呈下降趋势【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的顶点坐标为（1，4），则设顶点式y＝a（x﹣1）2+4，再把（0，3）代入求出a得到抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，于是根据二次函数的性质可对选项进行判断；通过解方程﹣（x﹣1）2+4＝0得到抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），则可对B选项和C 选项进行判断；根据二次函数的性质，当x＞1时，y随x的增大而减小，从而可对D选项进行判断．【解答】解：∵抛物线经过点（0，3）、（2，3），∴抛物线的顶点坐标为（1，4），设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，把（0，3）代入得3＝a×（0﹣1）2+4，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，∵a＜0，∴抛物线开口向下，所以A选项不符合题意；当y＝0时，﹣（x﹣1）2+4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），所以B选项不符合题意，C选项不符合题意；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，∴点（2，3）右边的图象呈下降趋势，所以D选项符合题意．故选：D．6．（2分）如图，在⊙O中，动弦AB与直径CD相交于点E且总有∠BED＝45°，则AE2+BE2的值（）A．随着OE的增大而增大B．随着OE的增大而减小C．随着OE的增大先增大后减小D．保持不变【分析】作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，设半径为R，在直角三角形OAH和OBH中，利用勾股定理整理化简即可．【解答】解：作OH⊥AB于点H，连接OA，OB．设半径为R，∵∠BED＝45°，∴OH＝HE，∴AE2+BE2＝（AH+HE）2+（BH﹣HE）2＝AH2+HE2+2AH•HE+BH2+HE2﹣2BH•HE＝R2+R2+2HE（AH﹣BH）＝2R2∴AE2+BE2的值保持不变．故选：D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题7．（2分）写出一个一元二次方程答案不唯一，正确即可，如：x2﹣x﹣6＝0，使它的两个根分别是3、﹣2．【分析】以3、﹣2为根分方程为（x﹣3）（x+2）＝0，即x2﹣x﹣6＝0．【解答】解：由题意可知方程为（x﹣3）（x+2）＝0，即x2﹣x﹣6＝0．故答案为x2﹣x﹣6＝0．8．（2分）已知圆锥的底面半径为6，母线长为10，则此圆锥的侧面积为60π．【分析】利用圆锥的底面半径为6，母线长为10，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．【解答】解：依题意知母线长＝10，底面半径r＝6，则由圆锥的侧面积公式得S＝πrl＝π×10×6＝60π．故答案为：60π．9．（2分）若点（1，y1）与（2，y2）都在函数y＝﹣x2+3的图象上，则y1，y2的大小关系是y1＞y2．【分析】首先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+3的开口向下，对称轴是y轴，∴在y轴的右面y随x的增大而减小，∵点点（1，y1）与（2，y2）都在函数y＝﹣x2+3的图象上，且0＜1＜2，∴y1＞y2．故选：y1＞y2．10．（2分）若扇形的半径为3，圆心角120°，为则此扇形的弧长是2π．【分析】根据弧长的公式l=nπr180进行计算即可．【解答】解：∵扇形的半径为3，圆心角为120°，∴此扇形的弧长=120π×3180=2π．故答案为：2π11．（2分）若一元二次方程x2+mx﹣3＝0（m为常数）的一个根是x＝1，则另一个根是﹣3．【分析】法一：利用方程的根，求出m的值，再解方程即可；法二：利用一元二次方程的根与系数的关系，进行求解即可．【解答】解：法一：由题意得：12+m﹣3＝0，解得：m＝2，∴方程为：x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3；法二：设方程的根为：x1＝1，x2，由根与系数的关系得：x1x2＝﹣3，∴1×x2＝﹣3，∴x2＝﹣3．故答案为：﹣3．12．（2分）如图是函数y＝ax2+bx+c的部分图象，则该函数图象与x轴负半轴的交点坐标是（﹣1，0）．【分析】根据二次函数的性质，抛物线的对称轴为直线x＝2，然后写出点（5，0）关于直线x＝2的对称点即可．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．故答案为：（﹣1，0）．13．（2分）已知⊙O的半径等于4cm，AB为⊙O的弦，其长为4√2cm，则弦AB所对的圆周角的度数为45°或135°．【分析】连接OA、OB，∠ACB与∠ADB为弦所对的圆周角作OH⊥AB于H，根据垂径定理得AH=12 AB＝2√2，在Rt△OAH中利用勾股定理计算出OH＝2√2，于是可判断△OAH为等腰直角三角形，得到∠AOH＝45°，则∠AOB＝90°，根据圆周角定理得∠ACB=12∠AOB＝45°，根据圆内接四边形性质得∠ADB＝135°．【解答】解：连接OA、OB，∠ACB与∠ADB为弦所对的圆周角，作OH⊥AB于H，则AH＝BH=12AB＝2√2，在Rt△OAH中，∵OA＝4，AH＝2√2，∴OH=√OA2−AH2=2√2，∴△OAH为等腰直角三角形，∴∠AOH＝45°，∴∠AOB＝90°，∴∠ACB=12∠AOB＝45°，∴∠ADB＝180°﹣∠ACB＝135°，即弦AB所对的圆周角的度数为45°或135°．故答案为45°或135°．14．（2分）五边形ABCDE为圆的内接五边形，其中AB＝AE，∠A＝100°，则∠B+∠D＝220°．【分析】连接BE、BD、AD，先由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠ABE＝40°，再由圆周角定理得∠ADE＝40°，然后由圆内接四边形的性质得出∠ABC+∠ADC＝180°，即可解决问题．【解答】解：如图，连接BE、BD、AD，∵AB ＝AE ，∠BAE ＝100°，∴∠ABE ＝∠AEB =12（180°﹣100°）＝40°，∴∠ADE ＝∠ABE ＝40°，∵∠ABC +∠ADC ＝180°，∴∠ABC +∠CDE ＝∠ABC +∠ADC +∠ADE ＝180°+40°＝220°，故答案为：220．15．（2分）如图，AB 是⊙O 的直径，若∠E ＝25°，∠CAD ＝45°，则∠CDA 的度数为 35 °．【分析】连接BC ，由圆周角定理得∠ACB ＝90°，∠BAD ＝∠BCD ，再证∠CAB +∠ABC ＝70°+2∠BAD ＝90°，解得∠BAD ＝10°，即可得出结论．【解答】解：如图，连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠CAB +∠ABC ＝90°，∵∠CAB ＝∠CAD +∠BAD ，∠ABC ＝∠BCD +∠E ，∠BAD ＝∠BCD ，∴∠CAB +∠ABC ＝∠CAD +∠BAD +∠BAD +∠E ＝45°+2∠BAD +25°＝70°+2∠BAD ＝90°，解得：∠BAD＝10°，∴∠CDA＝∠BAD+∠E＝10°+25°＝35°，故答案为：35．16．（2分）等边△ABC的边长是4√3，直线l经过等边△ABC的外心O，过B作BD⊥l，垂足为D，连接CD，则CD的最小值是2√7−2．【分析】当直线l过点A时，CD的值最小，即点D为BC的中点，根据等边三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵BD⊥l，垂足为D，连接CD，∵BD+CD≥BC，∴当BD+CD＝BC时，点D在以BO为直径的圆上运动，设BO的中点为M，当D在MC上时，CD取最小值＝2√7−2，故答案为：2√7−2．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解下列方程．（1）（x﹣1）2﹣16＝0；（2）x2﹣3x+1＝0．【分析】（1）移项后开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出答案即可．【解答】解：（1）（x﹣1）2﹣16＝0，（x﹣1）2＝16，开方，得x﹣1＝±4，解得：x1＝5，x2＝﹣3；（2）x2﹣3x+1＝0，这里a＝1，b＝﹣3，c＝1，∵b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，∴x=−b±√b2−4ac2a=3±√52×1，∴x1=3+√52，x2=3−√52．18．（7分）已知二次函数y＝x2﹣mx+1的图象经过点（2，3）．（1）求m的值；（2）该二次函数的图象是否经过点（﹣2，6）？判断并说明理由．【分析】（1）将（2，3）代入二次函数即可求解；（2）把x＝﹣2代入二次函数计算，若y＝7，则点P（﹣2，6）不在二次函数图象上．【解答】解：（1）将（2，3）代入二次函数y＝x2﹣mx+1得，4﹣2m+1＝3，解得m＝1，∴m的值是1．（2）由（1）得二次函数的解析式为y＝x2﹣x+1，当x＝﹣2时，y＝4﹣（﹣2）+1＝7≠6，∴点P（﹣2，6）不在这个二次函数图象上．19．（7分）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点P．（1）求证AP＝BP；（2）已知图中阴影部分面积为10π，求弦AB的长．【分析】（1）连接OP，利用圆的切线的性质定理和垂径定理解答即可；（2）连接OA，利用圆的面积公式和垂径定理解答即可．【解答】（1）证明：连接OP ，如图，∵大圆的弦AB 与小圆相切于点P ，∴OP ⊥AB ，∴P A ＝PB =12AB ，∴AP ＝BP ；（2）连接OA ，∵图中阴影部分面积为10π，∴π•OA 2﹣π•OP 2＝10π，∴OA 2﹣OP 2＝10．∵OP ⊥AB ，∴AP 2＝OA 2﹣OP 2＝10，∴AP =√10，∴AB ＝2AP ＝2√10．20．（8分）一个直角三角形的两条直角边长度之和是10cm ，面积是12cm 2，求斜边的长．【分析】设这个直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，根据题意得a +b ＝14，12ab ＝12，由c 2＝a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ，代值开平方求斜边长．【解答】解：设这个直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，根据题意得a +b ＝14，12ab ＝12，即ab ＝24， ∴c 2＝a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝102﹣2×24＝52，开平方，得c =2√13，即斜边长为2√13cm ．21．（7分）二次函数图象的顶点为（﹣1，2），图象经过（0，1）．（1）求该二次函数的表达式；（2）结合图象，直接写出当﹣2≤x ≤3时y 的取值范围．【分析】（1）设顶点式y＝a（x+1）2+2，然后把已知点的坐标代入求出a即可；（2）先利用（1）中的解析式计算出自变量为﹣2和3所对应的自变量的范围，再根据二次函数的性质得到x＝﹣1时，y有最大值2，然后结合图象求解．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+2，把（0，1）代入得1＝a×（0+1）2+2，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+2；（2）当x＝﹣2，y＝﹣（﹣2+1）2+2＝1，当x＝3，y＝﹣（3+1）2+2＝﹣14，而x＝﹣1时，y有最大值2，∴﹣2≤x≤3时，﹣14≤y≤2．22．（8分）尺规作图：作已知圆的一条直径．要求：①保留作图痕迹；②用两种不同方法作图．【分析】方法1：在圆上任取弦AB，作线段AB的垂直平分线，与圆分别交于点C，D，连接CD，根据垂径定理可知CD为已知圆的一条直径；方法2：在圆上任取弦EF，过点F作EF的垂线，交圆于点G，连接EG，由圆周角定理可知EG为已知圆的一条直径．【解答】解：方法1：如图，在圆上任取弦AB，作线段AB的垂直平分线，与圆分别交于点C，D，连接CD，则CD即为已知圆的一条直径．方法2：如图，在圆上任取弦EF，过点F作EF的垂线，交圆于点G，连接EG，则EG即为已知圆的一条直径．23．（8分）已知关于x的方程x2﹣4x+4﹣k2＝0（k为常数）．（1）求证：不论k取何值时，该方程总有实数根．（2）方程的两个实数根可能都是负根吗？判断并说明理由．【分析】（1）证明判别式大于等于0即可；（2）根据两根之和是正数，判断即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣4）2﹣4（4﹣k2）＝4k2≥0，∴方程总有实数根；（2）解：不可能．理由：∵两根之和＝4＞0，∴两个根不可能都是负数．24．（8分）如图是二次函数y＝x2﹣2x﹣3的大致图象．（1）求该图象顶点的坐标；（2）该图象经过怎样的平移可以得到函数y＝x2的图象？（3）将该图象绕原点旋转180°直接写出所得图象对应的表达式．【分析】（1）把解析式化为顶点式，即可求出顶点坐标；（2）按照平移的规律：左加右减，上加下减即可；（3）根据旋转180°关于原点对称，可得答案．【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴该图象顶点的坐标为（1，﹣4）；（2）将该图象向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得函数y＝x2的图象；（3）该图象绕原点旋转180°直接写出所得图象对应的表达式为﹣y＝（﹣x）2﹣2（﹣x）﹣3，即y＝﹣x2﹣2x+3．25．（8分）某商店八月份的销售额为30万元，九月份因经营不善销售额有明显下降，商店积极改进，十月份的销售额恢复到30万元，已知十月份销售额的增长率是九月份销售额的下降率的1.5倍．求九月份的销售额．【分析】设九月份销售额的下降率为x，则十月份销售额的增长率为1.5x，根据某商店八月份的销售额为30万元，九月份因经营不善销售额有明显下降，十月份的销售额恢复到30万元，列出一元二次方程，解之取其正值，即可解决问题．【解答】解：设九月份销售额的下降率为x，则十月份销售额的增长率为1.5x，由题意得：30（1﹣x）（1+1.5x）＝30，整理得：3x2﹣x＝0，解得：x1=13，x2＝0（不符合题意，舍去），∴30（1﹣x ）＝30×（1−13）＝30×23=20， 答：九月份的销售额为20万元． 26．（10分）如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝90°，BC 与⊙O 相交于点E ，D 是AC 的中点，直线DE 与直线AB 相交于点F ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线．（2）已知AB ＝4，当AC 长度变化时，AF 的长也随之变化．①当AC ＝ 4√3 时，AF ＝6；②在整个变化过程中，AF 的长是否存在最大值？判断并说明理由．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠EDA ＝∠EAD ，可得∠ODA ＝∠OAD ，由余角的性质可求∠OED ＝90°，可得结论；（2）①通过证明△ABE ∽△CBA ，可得AB AC =BE AE ，通过证明△FEB ∽△FAE ，可得BE AE =BF EF 即可求解；②利用①中结论得出AC 和AF 的关系，可判断AF 的长度的变化．【解答】（1）证明：如图1，连接OE ，AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°，∴∠AEC ＝90°，∵D 是AC 的中点，∴AD ＝DE ＝CD ，∴∠EAD ＝∠AED ，∵OE ＝OA ，∴∠OAE ＝∠OEA ，∵∠BAC ＝∠OAE +∠EAD ＝90°，∴∠OED ＝∠OEA +∠AED ＝90°，∵OE 是⊙O 的半径，∴DF 是⊙O 的切线．（2）解：①∵∠BAC ＝∠AEC ＝90°，∴∠C ＝∠BAE ，又∵∠ABE ＝∠CBA ，∴△ABE ∽△CBA ，∴AB AC =BE AE ，∵∠FEB +∠BEO ＝∠BEO +∠AEO ＝90°，∴∠FEB ＝∠AEO ＝∠OAE ，∵∠F ＝∠F ，∴△FEB ∽△F AE ，∴BE AE =BF EF =EF AF ， ∴AB AC =BF EF ，EF 2＝AF •BF ，∴AB •EF ＝AC •BF ，如图1，∵AB ＝4，AF ＝6，∴BF ＝2，EF ＝2√3，∴4×2√3=2AC ，即AC ＝4√3；如图2，∵AB ＝4，AF ＝6，∴BF ＝10，EF ＝2√15，∴4×2√15=10AC ，即AC =4√155； 故答案为：4√3或4√155；②AF 不存在最大值，理由如下：如图1，设AC ＝x ，AF ＝y ，∴EF 2＝y （y ﹣4），∴4EF ＝x （y ﹣4），整理得，y＝4+64x2−16，当x无限接近4时，y的值无限大，即当DE和AB接近平行时，此时AF无限大．27．（9分）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大．从特殊验证已知四边形ABCD的各边长依次为7，15，20，24，求它的面积S何时最大？易得S＝⋯Ⅱ．∠B为钝角易证当∠ABC为钝角时，∠ADCⅢ．∠B为锐角同理可得Ⅱ中结论综上所述，S的最大值为…．（1）探索情形Ⅰ：①求证：点A，B，C，D在同一个圆上．②S的值为234．（2）探索情形Ⅱ：说明此时S的值小于情形Ⅰ中S的值．向一般进发（3）已知四边形ABCD的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S的最大值．【分析】（1）①连接AC，取AC的中点O，连接OB，OD，证出∠ADC＝90°，由直角三角形的性质及圆的定义可得出结论；②由三角形面积公式可得出答案；（2）由三角形面积公式可得出答案；（3）设AB＝6，BC＝8，CD＝8，AD＝12，连接AC，过点C分别作CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，证明Rt△BCE≌Rt△DCF（HL），△AEC≌△AFC，得出AE＝AF，BE＝FD，求出BE＝3，则可得出答案．【解答】（1）①证明：连接AC，取AC的中点O，连接OB，OD，∵∠ABC＝90°，∴AC2＝BC2+AB2＝625，又∵AD2+CD2＝225+400＝625，∴AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，∵O为AC的中点，∴AO＝OB＝OC＝OD，∴点A，B，C，D在同一个圆上；②解：∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴S＝S△ADC+S△ABC=12AD⋅DC+12AB⋅BC=12×15×20+12×7×24＝150+84＝234．故答案为：234；（2）解：∵AE＝x，AF＝y，∴S =12×20⋅x +12×24⋅y =10x +12y ， 在Rt △AED 中，x ＜15，在Rt △AFB 中，y ＜7，∴S ＝10x +12y ＜10×15+12×7，即S ＜234；（3）解：由题意可知，当四边形ABCD 四顶点共圆时，它的面积最大，设AB ＝6，BC ＝8，CD ＝8，AD ＝12，连接AC ，过点C 分别作CE ⊥AB 于点E ，CF ⊥AD 于点F ， ∵BC ＝CD ，∴BĈ=CD ̂， ∴∠BAC ＝∠DAC ，∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE ＝CF ，∵BC ＝CD ，∴Rt △BCE ≌Rt △DCF （HL ），同理可证△AEC ≌△AFC ，∴AE ＝AF ，BE ＝FD ，∴AD ﹣BE ＝AB +BE ，∴BE ＝3，∵∠BEC ＝90°，∴CE =√BC 2−BE 2=√82−32=55，∴CF =√55，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ACD =12AB ⋅EC +12AD ⋅CF =9√55，即四边形ABCD 面积S 的最大值为9√55．。
2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区金陵汇文学校九年级(上)月考数学试卷(12月份)+答案解析
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知关于x 的方程有一个根为，则另一个根为( )A. 5B.C. 2D.2.数据2，6，5，0，1，6，8的中位数和众数分别是( )A. 0和6 B. 0和8C. 5和8D. 5和63.已知抛物线的开口向下，顶点坐标为，那么该抛物线有2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区金陵汇文学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）( )A. 最小值B. 最大值C. 最小值2D. 最大值24.是四边形ABCD 的外接圆，AC 平分，则正确结论是( )A. B. C. D.5.下列命题中，正确的个数是( )三点确定一个圆； 平分弦的直径垂直于弦；相等的圆心角所对的弧相等； 正五边形是轴对称图形．A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个6.当时，函数的最小值为，最大值为1，则m 的取值范围是( )A.B.C.D.二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.抛物线的顶点坐标是__________.8.一组数据：5、、3、4、6、，这组数据的极差是__________.9.若二次函数的图象经过，，三点，则、、大小关系是__________用“<”号连接10.圆锥底面圆的半径为4cm，其侧面展开图的圆心角，则圆锥母线长为__________11.把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位所得图象对应的二次函数解析式为__________.12.二次函数的部分对应值如下表：x…0135…y…707…则当时对应的函数值__________.13.如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是__________.14.如图，某运动员推铅球，铅球行进高度与水平距离之间的关系是，则此运动员将铅球推出的距离是__________15.已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②；③；④；⑤当时，y随x的增大而增大，你认为其中正确的是__________填序号16.如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为，的半径为1，点Q在上，连接PQ，若PQ与相切．则线段PQ的最小值为__________.三、计算题：本大题共1小题，共6分。
南京市鼓楼区2019-2020学年九年级(上)期中数学试卷(含解析)
2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共12分）1．平面内，⊙O的半径为3，OP＝2，则点P在（）A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．以上都有可能2．某商品单价经过两次降价从100元降至81元，设平均每月降价百分率为x，则可列方程（）A．100（1+x）2＝81 B．100（1﹣x）2＝81C．81（1+x）2＝100 D．81（1﹣x）2＝1003．一元二次方程x2+2x+4＝0的根的情况是（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根4．解一元二次方程x2+4x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5 5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝110°，则∠BOD的度数是（）A．70°B．120 C．140°D．160°6．如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（）A．2 B．3 C．4 D．6二、填空题（共20分）7．写出一个两根分别为0和2的一元二次方程．8．若扇形的半径长为3，圆心角为60°，则该扇形的弧长为．9．圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为．（结果保留π）10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1，CD＝4，则OC的长为．11．若x＝m是方程x2+2x﹣2019＝0的一个根，则m（m+2）的值为．12．如图，⊙O与四边形ABCD各边相切，若AB＝5，BC＝6，CD＝4，则AD的长为．13．如图，⊙O半径为2，弦AB∥弦CD，AB＝2，CD＝2，则AB和CD之间的距离．14．若关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0的两根之差为8，则k的值为．15．如图，AB是⊙O的内接正方形一边，点C在弧AB上，且AC是⊙O的内接正六边形的一边，若将BC看作是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值是．16．若方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0有公共根，则常数m的值是．三、解答题（共88分）17．解下列一元二次方程（1）x（x+3）＝5（x+3）（2）2x2+4x+1＝018．如图，AB是⊙O的直径，AC＝BC，AC、BC分别交⊙O于点D、E，连接DE，求证：DE∥AB．19．一个直角三角形三边的长为一组连续自然数，求该直角三角形的三边长．20．已知关于x的一元二次方程：kx2+（2k+1）x+k+2＝0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若该方程的两根x1，x2满足＝﹣3，求k的值．21．如图，AB是⊙O的直径，点C、F在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，CD的延长线交BF于点E，求证：∠BCE＝∠BFC．22．如图，∠ABM＝90°，⊙O分别切AB、BM于点D、E．AC切⊙O于点F，交BM于点C（C 与B不重合）．（1）用直尺和圆规作出AC；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若⊙O半径为1，AD＝4，求AC的长．23．学校打算用50m的篱笆围城一个矩形生物园ABCD，生物园的一面靠墙MN（墙MN可利用的长度为25m），面积是300m2．求这个生物园的边AB的长．24．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，＝，过点C作CE⊥AD延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BC＝3，AC＝4，求CE和AD的长．25．如图，⊙O的半径为2，O到顶点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点，若B在⊙O上运动一周．（1）点P的运动路径是一个圆；（2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围．26．已知⊙O半径为1，若点P在⊙O外且⊙O上存在点A、B使得∠APB＝60°，则称点P 是⊙O的领域点．（1）对以下情况，用三角板或量角器尝试画图，并判断点P是否是⊙O的领域点（在横线上填“是”或“不是”）．（2）若点P是⊙O的领域点，则OP的取值范围是；（3）如图，以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，设直线y＝﹣x+b（b＞0）与x轴、y轴分别相交于点M、N．①若线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点，求b的值；②若线段MN上存在⊙O的领域点，求b的取值范围．27．解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法．例题呈现关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝1，x2＝﹣2（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是．解法探讨（1）小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题个方程中求出（2）小红仔细观察两个方程，她把第二个方程中的“x+2”看做第一个方程中的“x”，则“x+2”的值为，从而更简单地解决了问题．策略应用（3）小明和小红认真思考后认为，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解決以下问题，请用他们说的方法完成解答．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．平面内，⊙O的半径为3，OP＝2，则点P在（）A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．以上都有可能【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；点与圆心的距离d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【解答】解：∵OP＜3，∴点P在⊙O内部．故选：A．2．某商品单价经过两次降价从100元降至81元，设平均每月降价百分率为x，则可列方程（）A．100（1+x）2＝81 B．100（1﹣x）2＝81C．81（1+x）2＝100 D．81（1﹣x）2＝100【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据降价前及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得：100（1﹣x）2＝81．故选：B．3．一元二次方程x2+2x+4＝0的根的情况是（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝4，∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×4＝﹣12＜0，∴方程没有实数根．故选：D．4．解一元二次方程x2+4x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．【解答】解：∵x2+4x﹣1＝0，∴x2+4x+4＝5，∴（x+2）2＝5，故选：C．5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝110°，则∠BOD的度数是（）A．70°B．120 C．140°D．160°【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝110°，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝70°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝140°，故选：C．6．如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得．【解答】解：如图，以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），共6组．故选：D．二．填空题（共10小题）7．写出一个两根分别为0和2的一元二次方程x（x﹣2）＝0 ．【分析】根据以x1x2为根的一元二次方程为（x﹣x1）（x﹣x2）＝0写出即可．【解答】解：两根分别为0和2的一元二次方程是（x﹣0）（x﹣2）＝0，即x（x﹣2）＝0．故答案为：x（x﹣2）＝0．8．若扇形的半径长为3，圆心角为60°，则该扇形的弧长为π．【分析】根据弧长的公式列式计算即可．【解答】解：∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°，∴此扇形的弧长为＝π．故答案为：π．9．圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为2π．（结果保留π）【分析】圆锥侧面积＝圆周率×底面圆的半径×母线长，依此列式计算即可．【解答】解：∵圆锥的底面半径为1，母线长为2，∴它的侧面积为π×1×2＝2π．故答案为：2π．10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1，CD＝4，则OC的长为．【分析】先利用垂径定理得到CE＝DE＝CD＝2，设OC＝r，根据勾股定理得（r﹣1）2+22＝r2，然后解方程即可．【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，∴CE＝DE＝CD＝2，设OC＝r，则OE＝OA﹣AE＝r﹣1，在Rt△COE中，（r﹣1）2+22＝r2，解得r＝，即OC的长为．故答案为．11．若x＝m是方程x2+2x﹣2019＝0的一个根，则m（m+2）的值为2019 ．【分析】把x＝m代入方程求出m2+2m＝2019，把m（m+2）m（m+2）代入求出即可．【解答】解：根据题意，将x＝m代入方程，得：m2+2m﹣2019＝0，则m2+2m＝2019，∴m（m+2）＝m2+2m＝2019．故答案为：2019．12．如图，⊙O与四边形ABCD各边相切，若AB＝5，BC＝6，CD＝4，则AD的长为 3 ．【分析】根据切线长定理可得AD+BC＝AB+CD，即可求AD的长度．【解答】解：∵⊙O与四边形ABCD各边相切，∴AD+BC＝AB+CD，∵AB＝5，BC＝6，CD＝4，∴AD＝3，故答案为：3．13．如图，⊙O半径为2，弦AB∥弦CD，AB＝2，CD＝2，则AB和CD之间的距离﹣或+．【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1所示，∵AB＝2，CD＝2，∴AF＝1，CE＝，∵OA＝OC＝2，∴EO＝＝＝，OF＝＝，∴EF＝OF﹣OE＝﹣；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2所示，∵AB＝2，CD＝2，∴AE＝1，CF＝，∵OA＝OC＝2，同法可得EO＝，OF＝，∴EF＝OF+OE＝+；综上所述：AB和CD之间的距离为﹣或+．故答案为：﹣或+．14．若关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0的两根之差为8，则k的值为11或﹣5 ．【分析】由根与系数的关系可知：x1+x2＝k+3，x1•x2＝3k；又知两根之差为8，即|x1﹣x2|＝8，根据（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2，建立等量关系求k．【解答】解：由根与系数的关系可知：x1+x2＝k+3，x1•x2＝3k．由已知两根之差为8，得|x1﹣x2|＝8，即（x1﹣x2）2＝64．则（x1+x2）2﹣4x1x2＝64，（k+3）2﹣4×3k＝64，解得k＝11或﹣5．故答案为：11或﹣5．15．如图，AB是⊙O的内接正方形一边，点C在弧AB上，且AC是⊙O的内接正六边形的一边，若将BC看作是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值是12 ．【分析】根据中心角的度数＝360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，则∠AOC＝30°，则边数n＝360°÷中心角．【解答】解：连接OC，∵AB是⊙O内接正方形的一边，∴∠AOB＝360°÷4＝90°，∵BC是⊙O内接正六边形的一边，∴∠BOC＝360°÷6＝60°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，∴n＝360°÷30°＝12；故答案为：12；16．若方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0有公共根，则常数m的值是1或﹣2 ．【分析】先设公共根为t，则t2+mt+1＝0，t2+t+m＝0，把两方程相减得到（m﹣1）t＝m ﹣1，如果m＝1，那么两个方程均为x2+x+1＝0，符合题意；如果m≠1，解方程求出t 的值，再根据方程解的定义得出1+m+1＝0，解得m的值即可．【解答】解：设方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0的公共根为t，则t2+mt+1＝0①，t2+t+m＝0②，①﹣②得（m﹣1）t＝m﹣1，如果m＝1，那么两个方程均为x2+x+1＝0，符合题意；如果m≠1，那么t＝1，把t＝1代入①，得1+m+1＝0，解得m＝﹣2．故常数m的值为1或﹣2．故答案为：1或﹣2．三．解答题（共11小题）17．解下列一元二次方程（1）x（x+3）＝5（x+3）（2）2x2+4x+1＝0【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用公式法求解可得．【解答】解：（1）∵x（x+3）﹣5（x+3）＝0，∴（x+3）（x﹣5）＝0，则x+3＝0或x﹣5＝0，解得x＝﹣3或x＝5；（2）∵a＝2，b＝4，c＝1，∴△＝42﹣4×2×1＝8＞0，则x＝＝．18．如图，AB是⊙O的直径，AC＝BC，AC、BC分别交⊙O于点D、E，连接DE，求证：DE∥AB．【分析】根据圆周角定理和内接四边形解答即可【解答】证明∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∵四边形ABCD是内接于⊙O，∴∠CDE＝∠B，∴DE∥AB．19．一个直角三角形三边的长为一组连续自然数，求该直角三角形的三边长．【分析】三个连续自然数，依次大1，设中间一个为x，则其余两个为x﹣1，x+1，再根据勾股定理即可求解．【解答】解：设中间一个为x，则其余两个为x﹣1，x+1，由勾股定理得（x+1）2＝（x﹣1）2+x2，即x（x﹣4）＝0，∴x1＝0，x2＝4，当x＝0时，x﹣1＝﹣1＜0，∵x﹣1表示三角形的边长，不能为负数，∴x＝0舍去，当x＝4，x﹣1＝4﹣1＝3，x+1＝4+1＝5，∴它的三边长为3，4，5．20．已知关于x的一元二次方程：kx2+（2k+1）x+k+2＝0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若该方程的两根x1，x2满足＝﹣3，求k的值．【分析】（1）由x的一元二次方程kx2+（2k+1）x+k+2＝0的两个实数根是x1和x2，可得k≠0且△＞0即可求出k的取值范围，（2）根据根与系数的关系及＝﹣3，即可求出k的值．【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴k≠0且△＝（2k+1）2﹣4k（k+2）＞0，解得：k＜且k≠0，∴k的取值范围：k＜且k≠0．（2）∵一元二次方程kx2+（2k+1）x+k+2＝0的两个实数根是x1和x2，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴＝﹣3，∴＝﹣3，解得：k＝﹣5．故k的值是﹣5．21．如图，AB是⊙O的直径，点C、F在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，CD的延长线交BF于点E，求证：∠BCE＝∠BFC．【分析】连接AC，利用圆周角定理得出∠CAB＝∠CFB，进而利用同角的余角相等解答即可．【解答】证明：连接AC，∵∠CAB与∠CFB所对弧为，∴∠CAB＝∠CFB，∵∠CAB+∠CBA＝90°，∠BCE+∠CBA＝90°∴∠BCE＝∠CAB＝∠CFB．22．如图，∠ABM＝90°，⊙O分别切AB、BM于点D、E．AC切⊙O于点F，交BM于点C（C 与B不重合）．（1）用直尺和圆规作出AC；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若⊙O半径为1，AD＝4，求AC的长．【分析】（1）以A为圆心，AD为半径画弧交⊙O于F，作直线AF交BM于点C，直线AC 即为所求．（2）设CF＝CE＝x，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图，直线AC即为所求．（2）连接OE，OD．∵⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∴∠OEB＝∠ODB＝∠B＝90°，∴四边形OEBD是矩形，∵OE＝OD＝1，∴四边形OEBD是正方形，∴BD＝BE＝1，∵AF＝AD＝4，设CF＝CE＝x，在Rt△ABC中，∵AC2＝AB2+BC2，∴（4+x）2＝52+（1+x）2，∴x＝，∴AC＝AF+CF＝4+＝．23．学校打算用50m的篱笆围城一个矩形生物园ABCD，生物园的一面靠墙MN（墙MN可利用的长度为25m），面积是300m2．求这个生物园的边AB的长．【分析】可设宽为xm，则长为（50﹣2x）m，根据等量关系：面积是300m2．列出方程求解即可．【解答】解：设宽为xm，则长为（50﹣2x）m．由题意，得x•（50﹣2x）＝300，解得x1＝10，x2＝15．∵50﹣2x≤25，∴x≥12.5，∴x＝15．答：生物园的边AB的长15m．24．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，＝，过点C作CE⊥AD延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BC＝3，AC＝4，求CE和AD的长．【分析】（1）连接OC，OA＝OC，则∠OCA＝∠OAC，再由已知条件，可得∠OCE＝90°；（2）由CE是⊙O的切线，得∠DCE＝∠CAE＝∠CAB，从而求得△CDE∽△ABC，△ACE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可求得．【解答】解：（1）连接OC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵＝∴DC＝BC，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠OCA＝∠CAD，∴OC∥AE，∵∠E＝90°∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）∵CE是⊙O的切线，∴∠DCE＝∠CAE＝∠CAB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠E，∴△CDE∽△ABC，△ACE∽△ABC，∴＝＝，＝∵BC＝3，AC＝4，∴AB＝5，CD＝3，∴＝，＝，＝∴CE＝，ED＝，AE＝，∴AD＝AE﹣ED＝．25．如图，⊙O的半径为2，O到顶点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点，若B在⊙O上运动一周．（1）点P的运动路径是一个圆；（2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围．【分析】（1）连接OA、OB，取OA的中点H，连接OB，HP，则HP是△ABO的中位线，得出HP＝OB＝1，即P点到H点的距离固定为1，即可得出结论；（2）由等边三角形的性质和直角三角形的性质分别求出PC的最小值和最大值即可．【解答】（1）解：连接OA、OB，取OA的中点H，连接OB，HP，如图1所示：则HP是△ABO的中位线，∴HP＝OB＝1，∴P点到H点的距离固定为1，∴B在⊙O上运动一周，点P运动的路径是以点H为圆心，半径为1的一个圆；（2）解：连接AO并延长AO交⊙O于点M、N，如图2所示：∵△ABC是等边三角形，点P是线段AB的中点，∴PC⊥AB，PA＝PB＝AB＝BC，∴PC＝PA＝AB，当点B运动到点M位置时，点P运动到点P'位置，PC最短，∵AM＝OA﹣OM＝5﹣2＝3，∴AP'＝AM＝，∴PC＝；当点B运动到点N位置时，点P运动到点P''位置，PC最长，∵AN＝OA+ON＝5+2＝7，∴AP''＝AN＝，∴PC＝；∴PC长的取值范围是≤PC≤．26．已知⊙O半径为1，若点P在⊙O外且⊙O上存在点A、B使得∠APB＝60°，则称点P是⊙O的领域点．（1）对以下情况，用三角板或量角器尝试画图，并判断点P是否是⊙O的领域点（在横线上填“是”或“不是”）．（2）若点P是⊙O的领域点，则OP的取值范围是1＜OP≤2 ；（3）如图，以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，设直线y＝﹣x+b（b＞0）与x轴、y轴分别相交于点M、N．①若线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点，求b的值；②若线段MN上存在⊙O的领域点，求b的取值范围．【分析】（1）根据点P是⊙O的领域点的定义即可判断．（2）如图1中，由题可知：若点P刚好是⊙O的领域点，则点P到⊙O的两条切线PA 与PB之间的夹角为60°，求出OP的长即可．（3）①如图2中，当点O到直线y＝﹣x+b的距离OP＝2时，线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点，求出b的值即可．②当直线与⊙O相切时，设切点为E，求出b的值即可判断．【解答】解：（1）观察图形可知图①②中，点P是⊙O的领域点，图③中点P不是⊙O 的领域点．故答案为是，是，不是．（2）由题可知：若点P刚好是⊙O的领域点，则点P到⊙O的两条切线PA与PB之间的夹角为60°，如图1，∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠APO＝∠BPO＝∠APB＝30°．∴OP＝2OA．设⊙O的半径为r，则点P刚好是⊙O的领域点时OP＝2r．所以若点P是⊙O的领域点，则需点满足1＜OP≤2．（3）①如图2中，当点O到直线y＝﹣x+b的距离OP＝2时，线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点，∵M（b，0），N（0，b），∴OM＝ON，∵OP⊥MN，∴PM＝PN，∴OP＝PM＝PN＝2，∴OM＝ON＝2，∴b＝2，∴当线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点时b＝2．②当直线与⊙O相切时，设切点为E，∵OE＝EN′＝EM′＝1，∴ON′＝OM′＝，观察图象可知，当线段MN上存在⊙O的领域点，b的取值范围为＜b．27．解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法．例题呈现关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝1，x2＝﹣2（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是x1＝﹣1，x2＝﹣4 ．解法探讨（1）小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题个方程中求出（2）小红仔细观察两个方程，她把第二个方程中的“x+2”看做第一个方程中的“x”，则“x+2”的值为1或﹣2 ，从而更简单地解决了问题．策略应用（3）小明和小红认真思考后认为，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解決以下问题，请用他们说的方法完成解答．【分析】（1）把x1＝1，x2＝﹣2分别代入原方程求得m＝，于是得到原方程为：a（x）+b＝0，求得﹣，将m＝和﹣＝代入第2个方程得于是得到结论；（2）把第二个方程中的“x+2”看做第一个方程中的“x”，即可得到结论；（3）根据原方程的结构特点得到x＝1，即原方程可化成m（x﹣1）2＝0的形式，根据二次项系数和常数项相等于是得到结论．【解答】解：（1）把x1＝1，x2＝﹣2分别代入原方程得，，解得：m＝，∴原方程为：a（x）+b＝0，∴﹣，将m＝和﹣＝代入第2个方程得，（x+）2＝，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣4；故答案为：x1＝﹣1，x2＝﹣4；（2）把第二个方程中的“x+2”看做第一个方程中的“x”，则x+2”的值为1或﹣2；故答案为：1或﹣2；（3）∵（a2﹣2b2）x2+（2b2﹣2c2）x+2c2﹣a2＝0有两个相等的实数根，∴观察原方程可得x＝1，即原方程可化成m（x﹣1）2＝0的形式，由方程的结构特点可得，展开得：mx2﹣2mx+m＝0，∴二次项系数和常数项相等，即a2﹣2b2＝2c2﹣a2，∴a2＝b2+c2，∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°．。
2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区七年级(下)期末数学试卷及答案解析
2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区七年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能大致用平移来分析其形成过程的是（）A．B．C．D．2．（2分）计算2﹣1的值为（）A．2B．C．﹣2D．﹣13．（2分）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a3÷a＝a3C．（﹣a2）3＝a5D．（a2b）3＝a6b34．（2分）不等式3x+1＞0的最小整数解是（）A．﹣1B．0C．1D．25．（2分）“抖空竹”是国家级非物质文化遗产，也是大家钟爱的运动之一．在公园里，小聪看到小女孩在抖空竹（图1），抽象得到图2，在同一平面内，已知AB∥CD，∠A＝70°，∠ECD＝110°，则∠E的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°6．（2分）在矩形ABCD中将边长分别为a和b的两张正方形纸片（a＞b）按图1和图2两种方式放置（两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1、图2中阴影部分的面积分别为S1，S2．当时，的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）用不等式表示“a的一半与b的和不小于0”是．8．（2分）我国某品牌手机以其创新的5nm工艺领先世界，其中5nm＝0.000000005m，用科学记数法表示0.000000005是．9．（2分）已知是方程2mx﹣y＝﹣1（m为常数）的解，则m的值为．10．（2分）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则ac bc．（填“＞”“＜”或“＝”）11．（2分）如图，在同一平面内，∠1+∠2＝180°，∠3＝70°，则∠4＝°．12．（2分）若整式4x2+kx+1可以写成一个多项式的平方，则常数k的值为．13．（2分）若某一多边形的所有外角都为60°，则该多边形的内角和为°．14．（2分）“方程”二字最早见于我国数学经典著作《九章算术》，该书的第八章名为“方程”．如从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程x+4y＝23，则将中两个方程联立成方程组可表示为_______ 15．（2分）有一个两位数，它的个位上的数为a，十位上的数为b，如果交换它个位和十位上的数，使得到的两位数比原来的两位数大18，那么a，b的数量关系为．16．（2分）如图，点D，E，F分别在△ABC的各边上，DE∥AC，DF∥AB．将△ABC沿DE翻折，使得点B落在B′处，沿DF翻折，使得点C落在C′处．若∠B′DC′＝40°，则∠A＝°．三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：（1）（2a2）3﹣a8÷a2；（2）（a+b﹣1）（a﹣b﹣1）．18．（6分）分解因式：（1）2a2﹣8ab+8b2；（2）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）．19．（8分）解二元一次方程组：（1）；（2）．20．（5分）解不等式组并在数轴上表示该不等式组的解集．21．（5分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠B＝∠C，∠A＝40°．（1）求∠B的度数；（2）若∠ADE＝∠AED，求证DE∥BC．22．（6分）如图，点C在∠AOB的边OB上，过C作DE∥OA，CF平分∠BCD，CG⊥CF于C．（1）若∠BCG＝55°，求∠DCF；（2）过O作OH∥CF，交DE于点H，求证：OH平分∠AOB．23．（7分）某超市准备购进A，B两种商品，进3件A，4件B需要270元；进5件A，2件B需要310元；该超市将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元．（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A，B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？24．（7分）一个正方形边长为a+4（a为常数，a＞0），记它的面积为S1．将这个正方形的一组邻边长分别增加2和减少2，得到一个长方形，记该长方形的面积为S2．（1）求S2（用含a的代数式表示）．（2）小丽说无论a为何值，S1与S2的差都不变，你同意她的观点吗？为什么？（3）将原正方形一组邻边分别增加4和减少3，得到一个长方形，记该长方形的面积为S3，比较S2与S3的大小．25．（9分）如图1，正方形甲、乙、丙的边长分别为a，b，c，且a+b＜c．（1）如图2，将正方形甲、乙拼接在一起，沿着外边框可以画出一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积为或，从而可以得到一个乘法公式为；（2）如图3，将正方形甲、乙、丙拼接在一起，沿着外边框可以画出一个大正方形，类比（1）的思路进行思考，直接写出所得到的等式；（3）用正方形甲、乙、丙构造恰当的图形，说明（p﹣m﹣n）2＜p2﹣m2﹣n2．26．（9分）在几何软件中，将△ABC和△DEF按图1所示的方式摆放，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，∠D ＝45°，∠ABC＝30°，点D，A，F，B在同一条直线上，E在B的正上方，且EB＜ED．（1）如图1，将△DEF绕点F顺时针旋转，当BC第一次与DE平行时，∠DFA＝°；（2）将图1中的△DEF绕点E逆时针旋转一定角度使点D落在边BC上，过E作EG∥BC，直线DM 平分∠FDB，直线EN平分∠GED交直线DM于点N．在图2中按以上叙述补全图形（无需尺规作图），并直接写出∠END的度数．（3）如图3，将图1中的△ABC绕点B逆时针旋转．①当BC∥DE时，连接AF，BF，则∠DFA﹣∠FAB＝°；②若∠E与∠ABC的角平分线所在直线相交于点Q，∠EQB＝27°，直接写出∠DBA的度数．2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．【分析】根据图形平移的性质解答即可．【解答】解：由图可知A，B，D不是平移得到，C是利用图形的平移得到．故选：C．【点评】本题考查了生活中的平移现象，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．2．【分析】直接利用负整数指数幂的性质，负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数），计算得出答案．【解答】解：2﹣1＝．故选：B．【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质，正确掌握相关性质是解题关键．3．【分析】分别进行同底数幂的乘除法、积的乘方和幂的乘方等运算，然后选择正确答案．【解答】解：A、a2•a3＝a5，原式计算错误，故本选项错误；B、a3÷a＝a2，原式计算错误，故本选项错误；C、（﹣a2）3＝﹣a6，原式计算错误，故本选项错误；D、（a2b）3＝a6b3，原式计算正确，故本选项正确；故选：D．【点评】本题考查了同底数幂的乘除法、积的乘方和幂的乘方等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．4．【分析】根据一元一次不等式组的解法求出x的范围，然后再找出最小整数解．【解答】解：3x+1＞0，3x＞﹣1，x＞﹣，x的最小整数解为x＝0，故选：B．【点评】本题考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练运用一元一次不等式组的解法，本题属于基础题型．5．【分析】延长DC交AE于M，由平行线的性质推出∠CME＝∠A＝70°，由三角形外角的性质得到∠E＝∠DCE﹣∠CME＝40°．【解答】解：延长DC交AE于M，∵AB∥CD，∴∠CME＝∠A＝70°，∵∠ECD＝110°，∴∠E＝∠DCE﹣∠CME＝40°．故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由平行线的性质推出∠CME＝∠A＝70°，由三角形外角的性质求出∠E的度数．6．【分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．【解答】解：由图可得，S1＝AD•AB﹣a2﹣b（AD﹣a），S2＝AD•AB﹣a2﹣b（AB﹣a），S2﹣S1＝[AD•AB﹣a2﹣b（AB﹣a）]﹣[AD•AB﹣a2﹣b（AD﹣a）]＝AD•AB﹣a2﹣b（AB﹣a）﹣AD•AB+a2+b（AD﹣a）＝﹣b•AB+ab+b•AD﹣ab＝b（AD﹣AB），∵AD＝AB，∴S2﹣S1＝b（AD﹣AB）＝b•AB，∴＝＝．故选：B．【点评】本题考查了整式的混合运算：整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看作整体的代数式通常要用括号括起来．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．【分析】首先表示出a的一半为a，与b的和表示为：a+b，再根据不小于0可列出不等式．【解答】解：由题意得：a+b≥0．故答案为：a+b≥0．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．8．【分析】先把5nm转化为用米作单位，再用科学记数法表示即可．【解答】解：∵1nm＝0.000000001m，∴5nm＝5×0.000000001m＝0.000000005m＝5×10﹣9m，故答案为：5×10﹣9．【点评】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数；关键是确定n与a的值，1≤|a|＜10，n等于原数中左起第一个非零数前零的个数．9．【分析】把是代入方程2mx﹣y＝﹣1得关于m的方程，解方程即可．【解答】解：把知是代入方程2m+3＝﹣1得：2m＝﹣4，m＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了二元一次方程的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．10．【分析】直接利用数轴判断得出：a＜0，b＜0，c＞0，a＞b即可求解．【解答】解：如图所示：a＜0，b＜0，a＞b，c＞0，∴ac＞bc，故答案为：＞．【点评】本题考查的是实数大小比较，实数与数轴，解题的关键是先判断出各数的符号．11．【分析】根据平行线的判定与性质、邻补角定义求解即可．【解答】解：如图，∵∠1+∠2＝180°，∴a∥b，∴∠3＝∠5＝70°，∵∠4+∠5＝180°，∴∠4＝110°，故答案为：110．【点评】此题考查了平行线的判定与性质、邻补角定义，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．12．【分析】先根据完全平方式得出kx＝±2×2x×1，再求出答案即可．【解答】解：4x2+kx+1＝（2x）2+kx+12，∵整式4x2+kx+1可以写成一个多项式的平方，∴kx＝±2×2x×1，∴k＝±4．故答案为：±4．【点评】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式（完全平方式有a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2两个）是解此题的关键．13．【分析】根据多边形的外角和是360度，每个外角都相等，即可求得外角和中外角的个数，即多边形的边数，据内角和定理即可求得内角和．【解答】解：多边形的边数是：360÷60＝6，则多边形的内角和是：（6﹣2）×180＝720°．即这个多边形内角和是720°．故答案为：720．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化，因而把求多边形内角的计算转化为外角的计算，可以使计算简便．14．【分析】一个竖线表示一个，一条横线表示一十，仿照图写出答案．【解答】解：根据题知：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，一个竖线表示一个，一条横线表示一十，左边：x+2y＝22；右边：2x+2y＝33，联立成方程组得：，故答案为：．【点评】本题考查根据图意列方程，解题的关键是读懂题意，依据等量关系列出方程．15．【分析】根据题意，可得出原两位数为：10b+a，新两位数为：10a+b，得到的两位数比原来的两位数大18，可得：10a+b﹣（10b+a）＝18，即可知：a＝b+2．【解答】解：根据题意可知，原两位数为：10b+a，交换个位和十位上的数，得出新两位数为：10a+b，∵得到的两位数比原来的两位数大18，∴10a+b﹣（10b+a）＝18，∴9a﹣9b＝18，∴a＝b+2，故答案为：a＝b+2．【点评】本题考查的是列代数式，根据题意正确列出代数式是解题的关键．16．【分析】设∠EDB＝x°，根据折叠可知∠B′DE＝∠EDB＝x°，因此∠EDC′＝x°﹣40°，从而得到∠CDC′＝180°﹣∠BDE﹣∠EDC′＝220°﹣2x°，由折叠可得∠CDF＝∠CDC′＝110°﹣x °，再根据DE∥AC，可得∠C＝∠EDB＝x°，在△DFC中，∠DFC＝180°﹣∠C﹣∠CDF＝70°，根据DF∥AB，得到∠A＝∠DFC＝70°．【解答】解：设∠EDB＝x°，∵△ABC沿DE翻折，点B落在B′处，∴∠B′DE＝∠EDB＝x°，∵∠B′DC′＝40°，∴∠EDC′＝x°﹣40°，∴∠CDC′＝180°﹣∠B′DE﹣∠EDC′＝220°﹣2x°，∵△ABC沿DF翻折，点C落在C′处，∴∠CDF＝∠CDC′＝110°﹣x°，∵DE∥AC，∴∠C＝∠EDB＝x°，在△DFC中，∠DFC＝180°﹣∠C﹣∠CDF＝70°，∵DF∥AB，∴∠A＝∠DFC＝70°．故答案为：70°．【点评】本题考查平行线的性质、折叠的性质、三角形的内角和定理等知识．三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】（1）先算积的乘方和同底数幂的除法，再合并同类项即可；（2）先变形，然后根据平方公式计算，再根据完全平方公式计算．【解答】解：（1）（2a2）3﹣a8÷a2＝8a6﹣a6＝7a6；（2）（a+b﹣1）（a﹣b﹣1）＝[（a﹣1）+b][（a﹣1）﹣b]＝（a﹣1）2﹣b2＝a2﹣2a+1﹣b2．【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式和平方差公式的应用．18．【分析】（1）先提取公因式，再应用完全平方公式进行因式分解即可得出答案；（2）先给（y﹣x）提取“﹣”号，可得a2（x﹣y）+b2（x﹣y），再提取公因式（x﹣y）即可得出答案．【解答】解：（1）原式＝2（a2﹣4ab+4b2）＝2（a﹣2b）2；（2）原式＝a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y）＝（x﹣y）（a2﹣b2）＝（x﹣y）（a+b）（a﹣b）．【点评】本题主要考查了因式分解，熟练应用因式分解的方法合理进行运算是解决本题的关键．19．【分析】（1）（2）用加减消元法解方程组即可．【解答】（1）；②×2，得：2x﹣4y＝8③①﹣③，得7y＝﹣7，y＝﹣1，将y＝﹣1代入③得：2x﹣4×（﹣1）＝8，解此一元一次方程得，x＝2，故原方程组的解为：；（2），①×3，得：3x﹣y﹣2＝3，3x﹣y＝5③，③﹣②，得x＝4，将x＝4代入③，得12﹣y＝5，y＝7．故原方程组的解为．【点评】本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练掌握加减消元法、代入消元法解方程组，属于中考常考题型．20．【分析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x≥﹣2，解不等式②得：x＜2，∴不等式组的解集为：﹣2≤x＜2．所以该不等式组在数轴上表示的解集为：【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，能根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键．21．【分析】（1）由三角形内角和定理得到∠B＝（180°﹣40°）＝70°；（2）由三角形内角和定理推出∠B＝∠ADE，即可证明DE∥BC．【解答】（1）解：∵∠B＝∠C，∠A＝40°，∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°；（2）证明：∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∠ADE＝∠AED，∴∠A+2∠ADE＝180°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B＝∠C，∴∠A+2∠B＝180°，∴∠B＝∠ADE，∴DE∥BC．【点评】本题考查平行线的判定，三角形内角和定理，关键是由三角形内角和定理求出∠B的度数，推出∠B＝∠ADE．22．【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的性质，可以求得∠DCF；（2）根据平行线的性质和角平分线的定义可以求得∠AOH和∠BOH的关系，从而可以证明结论成立．【解答】（1）解：∵CG⊥CF，∴∠FCG＝90°，∴∠BCF＝∠FCG﹣∠BCG＝90°﹣55°＝35°，∵CF平分∠BCD，∴∠DCF＝∠BCF＝35°；（2）证明：∵CF平分∠BCD，∴∠BCF＝∠BCD，∵DE∥OA，∴∠AOB＝∠BCD∵OH∥CF，∴∠BCF＝∠BOH，∴∠BOH＝∠AOB，∴∠AOH＝∠BOH，∴OH平分∠AOB．【点评】本题考查平行线的性质、垂线的定义等知识，解答本题的关键是熟记平行线的性质定理．23．【分析】（1）设A种商品每件的进价为x元，则B种商品每件的进价是（x﹣20）元，由题意得关于x 的分式方程，求解并检验，然后作答即可；（2）设购进A种商品m件，则购进B种商品（40﹣m）件，由题意得关于a的不等式组，解得m的取值范围，再取整数解，则方案数可得．【解答】解：（1）设A种商品每件进价为x元，B种商品每件进价为y元．由题得，解得：，∴A种商品每件进价50元，B种商品每件进价30元．（2）设购进A种商品m件，则购进B种商品（40﹣m）件．白题每，解得，∵m为正整数，∴m取14，15，16，17∴共有四种进货方案．【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式组在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．24．【分析】（1）根据题意列式，再运用多项式乘多项式的运算方法进行求解；（2）通过计算S1﹣S2的结果进行辨别；（3）先根据题意列式表示出S3，再通过作差法对S2与S3的大小进行讨论、比较．【解答】解：（1）由题意得，；（2）同意．∵S1﹣S2＝（a+4）2﹣（a2+8a+12）＝a2+8a+16﹣a2﹣8a﹣12＝4，∴同意小丽的观点，无论a为何值，S1与S2的差都不变；（3）由题意得，S3＝（a+4+4）（a+4﹣3）＝（a+8）（a+1）＝a2+9a+8，∴S3﹣S2＝（a2+9a+8）﹣（a2+8a+12）＝a﹣4，当a＞4时，S3＞S2当a＝4时，S3＝S2；当0＜a＜4时，S3＜S2．【点评】此题考查了整式混合运算的应用能力，关键是能准确根据题意列式，并运用整式运算方法进行正确地计算、比较．25．【分析】（1）根据拼图的方法，从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示其面积即可；（2）由（1）的方法可得答案；（3）画出图形，结合面积的计算方法即可得出结论．【解答】解：（1）图2从“整体”上看是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，拼成图2的四个部分的面积和为a2+2ab+b2，因此有（a+b）2＝a2+b2+2ab，故答案为：（a+b）2，a2+b2+2ab，（a+b）2＝a2+b2+2ab；（2）图3从“整体”上看是边长为a+b+c的正方形，因此面积为（a+b+c）2，拼成图3的九个部分的面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，因此有（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（3）如图，正方形A的面积为（p﹣m﹣n）2，阴影部分面积为p2﹣m2﹣n2，由图形面积之间关系可说明（p﹣m﹣n）2＜p2﹣m2﹣n2．【点评】本题考查完全平方公式、平方差公式的几何背景，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的关键．26．【分析】（1）∠BFM＝180°﹣135°﹣30°＝15°，∠DFA＝∠BFM＝15°；（2）2（α+β）＝45°+2β，解得：α＝22.5°，得出∠END＝α＝22.5°；（3）①先画出图形，计算可得∠DFA﹣∠FAB＝15°或165°；②当Q在两条角平分线左下侧时，当△ABC绕点B逆时针旋转会有两种情况，当Q在两条角平分线右上侧时，当△ABC绕点B逆时针旋转会有两种情况，分类讨论即可．【解答】解：（1）将△DEF绕点F顺时针旋转至第一次BC∥DE，延长DF交BC于点M，∵BC∥DE，∠D＝45°，∴∠BMF＝180°﹣45°＝135°，∵∠ABC＝30°，∴∠BFM＝180°﹣135°﹣30°＝15°，∴∠DFA＝∠BFM＝15°，故答案为：15；（2）补全图形如下：过点N作NQ∥BC，设∠END＝α，∠DNQ＝β，则∠ENQ＝α+β，∵EG∥BC，∴EG∥BC∥NQ，∴∠GEN＝∠ENQ＝α+β，∠MDB＝∠DNQ＝β，∵EN为∠GED的平分线，DM为∠FDB的平分线，∴∠GED＝2∠GEN＝2（α+β），∠FDB＝2∠MDB＝2β，∵∠EDF＝45°，∴∠EDB＝∠EDF+∠FDB＝45°+2β，∵EG∥BC，∴∠GED＝∠EDB，∴2（α+β）＝45°+2β，解得：α＝22.5°，∴∠END＝α＝22.5°；（3）①当△ABC绕点B逆时针旋转第一次BC∥DE时，由题意可得D，F，B同一条直线上，如图，∵ED∥BC，∠D＝45°，∴∠CBD＝45°，∵∠ABC＝30°，∴∠ABF＝15°，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，∴∠DFA﹣∠FAB＝∠ABF＝15°，当△ABC绕点B逆时针旋转第二次BC∥DE时，如图所示，由题意可得D，F，B同一条直线上，∵ED∥BC，∠D＝45°，∴∠CBD＝180°﹣45°＝135°，∵∠ABC＝30°，∴∠ABF＝135°+30°＝165°，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，∴∠DFA﹣∠FAB＝∠ABF＝165°，故答案为15或165；②当Q在两条角平分线左下侧时，当△ABC绕点B逆时针旋转会有两种情况，如图所示，∵∠ACB＝∠DFE＝90°，∠D＝45°，∴∠DEF＝45°，∵QE是∠DEF的角平分线，∴，∴∠DMQ＝45°+22.5°＝67.5°，又∵∠EQB＝27°，∴∠MBQ＝∠DMQ﹣∠EQB＝67.5°﹣27°＝40.5°，∵QB是∠ABC的角平分线，∠ABC＝30°，∴，∴∠DBA＝∠MBQ﹣∠ABQ＝40.5°﹣15°＝25.5°，同理可得∠DBA'＝154.5°，当Q在两条角平分线右上侧时，当△ABC绕点B逆时针旋转会有两种情况，如图所示，∵∠ACB＝∠DFE＝90°，∠D＝45°，∴∠DEF＝45°，∵QE是∠DEF的角平分线，∴，∴∠DMQ＝45°+22.5°＝67.5°，又∵∠EQB＝27°，∴∠MBQ＝180°﹣∠DMQ﹣∠EQB＝180°﹣67.5°﹣27°＝85.5°，∵QB是∠ABC的角平分线，∠ABC＝30°，∴，∴∠DBA＝∠MBQ+∠ABQ＝85.5°+15°＝100.5°，同理可得∠DBA'＝79.5°，综上可得∠DBA的度数为79.5°或100.5°或25.5°或154.5°．【点评】此题主要考查了图形的旋转及性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和及外角的应用，解答此题关键是准确识图，熟练掌握图形的旋转变换，理解两直线平行的性质。
2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级(上)期末数学试卷+答案解析
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.平面内，的半径为3，若点P 在外，则OP 的长可能为( )A. 4B. 3C. 2D. 12.一元二次方程的根的情况是2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期末数学试卷( )A. 没有实数根B. 有一个实数根C. 有两个不相等的实数根D. 有两个相等的实数根3.下列实际问题中的y 与x 之间的函数表达式是二次函数的是( )A. 正方体集装箱的体积，棱长xmB. 高为14m 的圆柱形储油罐的体积，底面圆半径xmC. 妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y 斤，单价为x 元/斤D. 小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶xh ，距上海ykm 4.如图，D ，E 分别是的边AB ，AC 上的点，，，若的周长为6，则的周长等于( )A. 24B. 18C. 12D. 95.在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．物体的下落距离与下落时间之间的函数表达式为其中g 取值为小莉进行自由落体实验，她从某建筑物抛下一个小球，经过4s 后落地，则该建筑物的高度约为( )A. 98mB.C. 49mD. 6.平面直角坐标系内，已知点，，当时，若最大，则t 的值为( )A.B.C.D.二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.若，则为__________.8.点C是线段AB的黄金分割点，若，则__________9.某汽车厂商经过两次增产，将汽车年产量由万辆提升至6万辆，设平均每次增产的百分率是x，可列方程为__________.10.一个圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，沿着一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，则这个扇形的圆心角度数为__________11.将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移一个单位，得到的新图象函数的表达式为__________.12.有3个样本如图所示，关于它们的离散程度有下列几种说法：①样本1与样本3的离散程度相同；②样本2的离散程度最小；③三组数据的离散程度从小到大依次为：样本2、样本3、样本正确的序号为__________.13.如图，AB是的直径，弦于点E，若，，则OA长为__________.14.分别以等边的三个顶点为圆心，边长为半径画弧得到的曲边三角形叫莱洛三角形．如图，等边的边长为2cm，则图中阴影部分的面积为__________15.如图，夜晚路灯下，小莉在点D处测得自己影长，在点G处测得自己影长，E、D、G、B在同一条直线上．已知小莉身高为，则灯杆AB的高度为__________16.中，，，点I是的内心，点O是的外心，则__________.三、计算题：本大题共1小题，共6分。
2016年九年级数学试卷答案(5版)
2015—2016学年度九年级第一学期数学期末试卷参考答案一、 选择题1、D2、B3、A4、B5、C6、A7、D8、C9、B 10、B 二、 填空题（第14题和第16题，填对一个答案不得分）11、-1 12、122-=x y 13、235cm 14、o o 12060或 15、-4 16、o o 12060或 三、解答题17、（1）x 1=-1，x 2=23 （2）x 1=3，x 2=118、（1）∵△=ac 4-b 2=1-2c <0...................................................................2分 ∴c>21............................................................................................4分（2）∵k=c >21 b=1>0........................................................................5分 ∴图像经过第一、二、三象限.....................................................7分19、（1）∵△=ac 4-b 2...............................................3分∵022≥-）（m ∴422+-）（m >0∴方程总有两个不相等的实数根...4分 （2）当x=1时，解得m=2∴ 此三角形的周长为4+10，4+22..............................7分20、（1）过点D 作DF ⊥BC 与F ，连接OE.......................1分 ∵AD,DC,BC 是⊙O 的切线,设FC=x∴AD=DE=4,EC=BC=4+x4)2(84)12(444222+-=+-=--++=m m m m m m 分另一个根为5............................33,1034212∴===+-x x x x∴DC=x+8在Rt △DFC 中，122+x 2=（x+8）2解得：x=5∴BC=x+4=9.................................................2分（2）由题意得，在Rt △DFC 中，DC=x+y 122+（y-x ）2=（x+y ）2xy=36，y=x36................................................4分 （3）∵梯形面积为78 ∴7812y36x 21=⨯+）（............................................6分 解得x=4或9................................................7分 21、（1）∵A(-1,2)在反比例函数上，∴-2=1-k.................................................2分 解得：k=3，..............................................3分 ∴x 3=y ..................................................4分（2）当k=11时，∴x10-=y ∵S OPM ∆=21OM ·MP=21y x =21k =5..............................7分 22、（1）设一次函数的解析式为y=kx+b..................................1分 ⎩⎨⎧=+=+30b k 6040b k 50 解得：k=-1，b=90.........................................3分 ∴y=-x+90...............................................4分（2）w=xy =x（-x+90）...................................5分=-x2+90x=-（x-45）2+2025.........................................6分∵x=45在40≦x≦50之间，.....................................7分∴当x=45元时，w取得最大值2025元..........................8分23、证明：∵AC是直径∴∠ANC=90°∵AB=AC∴∠ACN=∠ABN∴∠ABN+∠BAN=90°∴∠ACN+∠PCB=90°∴∠PCB=∠BAN..............................................3分（2）∵AB=AC ∠ANC=90°∴∠CAN=∠BAN∴CN=NM=BN∴∠NMB=∠NBM∴∠AMC=∠CBP∵∠PCB=∠BAN∴△AMN∽△CBP∴=..............................................................7分24、（1）25人............................................................1分（2）a=75 b=10 c=3 ..............................................4分（3）43.2°............................................................5分（4）（树形图略）.....................................................7分P （一男一女）=32................................................8分 25、（1）∵ y=ax 2+bx+6经过A(-3,0),B(2,0)∴9a-3b+6=0 4a+2b+6=0解得：a=-1，b=-1∴ y=-x 2-x+6................................................2分（2）∵当x=0时，y=6∴C(0,6) B(2,0)∴设经过点B 和点C 的直线的解析式为y=mx+n∴2m+n=0n=6∴m=-3，n=6∴直线BC 的解析式为y=-3x+6................................3分 ∵点E 在直线y=h 上，∴E(0，h)∵点D 在直线y=h 上，∴D 点的纵坐标为h ，把D 点代入y=-3x+6，解得：X=3h -6 ∴D(3h -6，h)..............................................4分 ∴DE=3h -6 ∴S △BDE=233-h 61-3h -6h 21212+=⋅=⋅）（DE OE .......................5分 ∵61-<0∴当h=23时，△BDE 的面积最大，最大值为23...................6分（3）存在符合题意的直线∵A(-3,0),C(0,6)∴设直线AC 的解析式为y=px+q代入，解得：p=2，q=6∴y=2x+6......................................................7分 把y=h 代入y=2x+6，得x=26-h ∴F （26-h ，h ） 在△OFM 中，OM=2,OF=22h )26h (+- MF=2h )226-h (2++...............8分 若OM=MF,则22h )226h (++-=2.....................................9分 解得：h 1=2，h 2=-56（不合题意，舍去）把y=h 1=2代入 y=-x 2-x+6得x 1=217-1-，x 2=2171-+ ∵点G 在第二象限∴G （217-1-，2）..............................10分 综上所述，存在这样的直线y=2使得OM=MF ；当h=2时，点G （217-1-，2），...................................11分。
2015-2016学年度九年级上第二次月考数学试卷及答案
广东深圳锦华实验学校2015-2016学年度第一学期九年级第二次月考数学试题一、选择题（本大题共小题，每小题3分，共24分）每小题只有一个正确选项 1．下列方程是关于x 的一元二次方程的是【 】 A ．ax 2＋bx ＋c=0B ．21x ＋ x ＝2 C ．x 2＋2x ＝x 2－1 D ．3x 2＋1＝2x ＋22．下列关于x 的方程有实数根的是【 】A ．x 2－x ＋1＝0B ．x 2＋x ＋1＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝0D ．(x －1)2＋1＝0 3．具有四条边都相等且四个角都是直角的性质的四边形只有【 】 A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形4．袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，所抽取的两个球数字之和大于6的概率是【 】 A ．43 B ．85 C ．127 D ．215．下列四幅图形中，表示两棵圣诞树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是【 】A ．B ．C ．D ．6．关于反比例函数y ＝x2的图象，下列说法正确的是【 】 A ．图象经过点（1，1） B ．两个分支分布在第二、四象限 C ．两个分支关于x 轴成轴对称 D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小7．如图，10×2网格中有一个△ABC ，下图中与△ABC 相似的三角形的个数有【 】A ．1个B ．2个C ．3个 D．4个8．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°， BD 平分∠ABC ，P 点是BD 的中点，若AD ＝6， 则CP 的长为【 】A ．3B ．3.5C ．4D ．4.5二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．在矩形ABCD 中， AB ＝5，BC ＝15，则CD 的长为______． 10．菱形的两条对角线长分别是方程x 2－14x ＋48＝0的两实根，则菱形的面积是 ____．11．在平面直角坐标系中，△ABC 顶点A 的坐标为（2，3），若以原点O 为位似中心，画△ABC 的位似图形△A ′B ′C ′，使△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比等于1：2，则点A ′的坐标__________．12．蓄电池电压为定值，使用此电源时，电流I （安） 与电阻R （欧）之间关系图象如图所示，若点P 在图 象上，当电流为2安时，电阻R 为________ 欧．13．请将六棱柱的三视图名称填在相应的横线上（填 “主视图”、“左视图”、“俯视图”）． （1）________；（2）________；（3）________． 14．△ABC 中，D 、E 分别是边AB 与AC 的中点，BC ＝4，下面四个结论：①DE ＝2；②△ADE ∽△ABC ；③△ADE 的面积与△ABC的面积之比为 1：4；④△ADE 的周长与△ABC 的周长之比为 1：4；其中正确的有___________．（只填序号） 三、（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 15．用适当的方法解下列方程：x(x －2)＋x －2＝0 四、（本大题共2小题，每小题7分，共14分）16．已知：如图，AB 和DE 是直立在地面上的两根立柱，AB ＝5m ，某一时刻，AB 在阳光下的投影BC ＝4m ．（1）请你在图中画出此时DE 在阳光下的投影；（2）在测量AB 的投影长时，同时测出DE 在阳光下的投影长为6m ，请你计算DE 的长17．如图，矩形ABCD ，AE ，CF 分别垂直对角线BD 于E ，F ．（1）求证：△ABE ≌△CDF ； （2）若∠ABD ＝60°，AB ＝2，求AD 的长．CA B④③②①E AB C DABCDPI( FA BCD E（1） （2） （3） 正面五、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）18．现有2个红球，1个白球和1个蓝球，它们除颜色外其它均相同，把这些球放入若干个不透明袋中搅匀，求恰好摸到1个红球和1个蓝球的概率，列表格． （1）把这4个球放入一个袋中，任意摸出两个球；（2）把一个红球和一个白球放入一个袋中，再把一个红球和一个篮球放入另一个袋中，分别从这两个袋中各摸一个球．19．已知：如图，一次函数y ＝x+b 的图象与反比例函数y ＝xk(k ＜0)的图象交于A 、B 两点，A 点坐标为（1，m ），连接OB ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，且△BOC 的面积为23（1）求k 的值；（2）求这个一次函数的解析式．（3）根据图象直接写出：当x 取何值时，反比例函数 的值大于一次函数的值．六、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）20．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？21．已知：关于x 的一元二次方程x 2－(3m ＋1)x ＋2m 2＋m ＝0 （1）求证：无论k 取何值，这个方程总有实数根；（2）若△ABC 的两边的长是这个方程的两个实数要根，第三边的长为3，当 △ABC 为等腰三角形时，求m 的值及△ABC 的周长． 七、（本大题共小题，每小题10分，共20分）22．在△ABC 中，D 是BC 的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F ．过C 点作CG ∥AD ，交BA 的延长线于G ， 过A 作BC 的平行线交CG 于H 点．（1）若∠BAC ＝900，求证：四边形ADCH 是菱形； （2）求证：△ABC ∽△FCD ；（3）若DE ＝3，BC ＝8，求△FCD 的面积．23．如图．己知四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝DC ，且AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，对角线AC ＝l0cm ．（1）求证：四边形ABCD 是矩形； （2）如图（2），若动点Q 从点C 出发，在CA 边上以每秒5 cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点P 从点B 出发，在BC 边上以每秒4 cm 的速度向点C 匀速运动，运动时间为t 秒（0≤t ＜2），连接BQ 、AP ，若AP ⊥BQ ，求t 的值； （3）如图（3），若点Q 在对角线AC 上，CQ ＝4cm ，动点P 从B 点出发，以每秒1cm 的速度沿BC 运动至点C 止．设点P 运动了t 秒，请你探索：从运动开始，经过多少时间，以点Q 、P 、C 为顶点的三角形是等腰三角形？请求出所有可能的结果．GHA B C D E F 图（1） A B C D图（2） A Q P B C D 图（3）A Q PB CD2015—2016学年度九年级第一学期第二次月考试题数学试卷 答题卡__________ 班级__________ 姓名_________ 考号_________—————CD。
2016-2017第一学期九年级数学期末试卷(含答案)
2016-2017学年度第一学期九年级数学期末检测试卷一、选择题(本大题8小题，每小题3分，共24分，请将下列各题中唯一正确的答案代号A 、B 、C 、D 填到本题后括号内)1. 民族图案是数学文化中的一块瑰宝，下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ）2．一元二次方程240+=x x 的解为（ ）A ．4=xB ．4=-xC ．121,3=-=x xD ．120,4==-x x 3．如果关于x 的一元二次方程ax 2+x ﹣1=0有实数根，则a 的取值范围是( ) A ．14a >-B ．14a ≥- C ．14a ≥-且a ≠0 D ．14a >且a ≠0 4．抛物线262y x x =-+的顶点坐标是（ ）A ．（－3，7）B ．（3，2）C ．（3，－7）D ．（6，2）5．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上一点，∠CDB ＝20°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则∠E 的度数为（ ） A ．20° B ．30° C ．40° D ． 50°6. 一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是( ) A .49B .13C .16D .197．若反比例函数1232)12(---=k kx k y 的图象位于第二、四象限，则k 的值是（ ）A . 0B . 0或23 C . 0或23- D . 4 8. 已知面积为2的三角形ABC ，一边长为x ，这边上的高为y ，则y 与x 的变化规律用图象表示正确的是（ ）9.如图，Rt △ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，B 点与0刻度线的一端重合，∠ABC=40°，射线CD 绕点C 转动，与量角器外沿交于点D ，若射线CD 将△ABC 分割出以BC 为边的等腰三角形，则点D 在量角器上对应的度数是（ ）A ．40°B ．80°或140°C ．70°D ．70°或80° 10．如图，已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，点D 为边AB 上一点，过点D 作DE∥AC，交BC 于点E ；过点E 作EF⊥DE，交AB 的延长线于点F.设AD ＝x ，△DEF 的面积为y ，则能大致反映y 与x函数关学校 班级 姓名 座位号系的图象是( )二、填空题(本题共4小题，每小题4分，共16分)11．某药品2013年的销售价为50元/盒，2015年降价为42元/盒，若平均每年降价百分率是x ，则可以列方程 ； 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x =经过平移得到抛物线2122y x x =-，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为__________；13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 经过点A(6，0)、B(0，6)，⊙O 的半径为2(O 为坐标原点)，点P 是直线AB 上的一动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为＝ ；14. 如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是 .三、解答题(本大题2小题，每小题8分，共16分)15. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？16．设点A 的坐标为（x ，y ），其中横坐标x 可取﹣1、2，纵坐标y 可取﹣1、1、2． （1）求出点A 的坐标的所有等可能结果（用树状图或列表法求解）； （2）试求点A 与点B （1，﹣1）关于原点对称的概率．四、(本大题2小题，每小题8分，共16分)17. 如图，正比例函数12y x =-与反比例函数2y 相交于点E （m ，2）． （1）求反比例函数2y 的解析式．（2）观察图象直接写出当120y y >>时，x 的取值范围．18．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(10，0)，点B 的坐标为(8，0)，点C ，D 在以OA 为直径的半圆M 上，且四边形OCDB 是平行四边形．求点C 的坐标．五、(本大题2小题，每小题10分，共20分)19．如图所示，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （﹣2，3），B （﹣6，0），C （﹣1，0）． （1）点A 关于原点O 对称的点的坐标为 ；（2）将△ABC 绕坐标原点O 逆时针旋转90°，画出图形并求A 点经过的路径长； （3）请直接写出：以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标．20. 实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y （毫克/百毫升）与时间x （时）的关系可近似地用二次函数2200400y x x =-+；1.5小时后（含1.5小时）y 与x 可近似地用反比例函数(0ky k x=＞）刻画，如图.（1）喝酒后血液中酒精含量达到最大值？最大值是多少？ （2）当x=5时，y=45，求k 的值；（3）按照国家规定，驾驶员血液中酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时，属于“酒后驾驶”，不能驾车，假设某驾驶员晚上20:00在家喝了半斤低度白酒，第二天早上7:00能否驾车去上班？说明理由.六、本题12分21. 如图，△ABC 中，BE 是它的角平分线，∠C ＝90°，D 在AB 边上，以DB 为直径的半圆O 经过点E ，交BC 于点F .(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)若∠A ＝30°，连接EF ，求证：EF ∥AB ；(3)在(2)的条件下，若AE ＝2，求图中阴影部分的面积．七、本题12分22. 操作：在△ABC 中，AC=BC=2，∠C =90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别交射线AC 、CB 于D 、E 两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：y （毫克/百毫升）455x （时）（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．八、本题14分23．科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y=，10：00之后来的游客较少可忽略不计．（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？2016-2017九年级数学参考答案一、选择题: 1-10：C D CCD D A C B A二、填空题11、250(1)42x -=； 12、4； 13、 14； 14、513三、解答题：15、解：设每件衬衫应降价x 元，可使商场每天盈利2100元．根据题意得（45﹣x ）（20+4x ）=2100， 化简得：2403000x x -+=…………………………..5分 解得x 1=10，x 2=30．因尽快减少库存，故x=30．(未作讨论的酌情扣1-2分) 答：每件衬衫应降价30元．…………………………..10分16、（1）列举所有等可能结果，画出树状图如下由上图可知，点A 的坐标的所有等可能结果为：（﹣1，﹣1）、（﹣1，1）、（﹣1，2）、（2，﹣1）、 （2，1）、（2，2），共有6种，…………………………6分 （2）点B （1，﹣1）关于原点对称点的坐标为（-1,1）． ∴P （点A 与点B 关于原点对称）=16…………………………10分 四、17、解：（1）设反比例函数解析式为xky =2………………1分 ∵x y 21-=过点)2,(m E ∴122-==-m m ∴)2,1(-E …………4分∵xky =2过)2,1(-E ∴2-=k ∴反比例函数解析式为xy 22-=……………7分 （2）当x ＜-1时，120y y >>．………………………10分18. 解：过点M 作MF ⊥CD 于点F ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，连接CM. 在Rt △CMF 中，CF ＝12CD ＝12OB ＝4，CM ＝12OA ＝5，∴MF ＝CM 2－CF 2＝3.∴CE ＝MF ＝3.又EM ＝CF ＝4，OM ＝12OA ＝5，∴OE ＝OM －EM ＝1. ∴C(1，3)．五、19、解：（1）点A 关于原点O 对称的点的坐标为（2，﹣3）；…………………………..1分（2）△ABC 旋转后的△A ′B ′C ′如图所示，…………………………..4分 点A ′的对应点的坐标为（﹣3，﹣2）； OA ′，即点A；…………..7分（3）若AB 是对角线，则点D （﹣7，3）， 若BC 是对角线，则点D （﹣5，﹣3）， 若AC 是对角线，则点D （3，3）．…………………………..10分 20.解：(1)证明：连接OE.∵OB ＝OE ，∴∠BEO ＝∠EBO.∵BE 平分∠CBO ，∴∠EBO ＝∠CBE. ∴∠BEO ＝∠CBE.∴EO ∥BC.∵∠C ＝90°，∴∠AEO ＝∠C ＝90°. ∴AC 是⊙O 的切线．(2)证明：∵∠A ＝30°，∴∠ABC ＝60°. ∴∠OBE ＝∠FBE ＝30°.∴∠BEC ＝90°－∠FBE ＝60°. ∵∠CEF ＝∠FBE ＝30°，∴∠BEF ＝∠BEC －∠CEF ＝60°－30°＝30°. ∴∠BEF ＝∠OBE.∴EF ∥AB. (3)连接OF.∵EF ∥AB ，BF ∥OE ，OB ＝OE ，∴四边形OBFE 是菱形． ∴S △EFB ＝S △EOF. ∴S 阴影＝S 扇EOF.设圆的半径为r ，在Rt △AEO 中，AE ＝2，∠A ＝30°，∴r ＝OE ＝233.∴S 阴影＝S 扇EOF ＝60π×（233）2360＝2π9.六、21、解：（1）22200400200(1)200y x x x =-+=--+,∴饮酒后1小时血液中酒精含量达到最大值，最大值为200（毫克/百毫升）（2）k=225（3）不能驾车上班，理由：晚上20:00到第二天早上7:00共计11小时，把x=11代入22522511y y x ==得，＞20,所以不能.七、22、解：（1）由图①可猜想PD=PE ，再在图②中构造全等三角形来说明．即PD=PE ．y （毫克/百毫升）455x （时）理由如下：连接PC，因为△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=12∠ACB=45°．∴∠ACP=∠B=45°．又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE，∴∠DPC=∠BPE．∴△PCD≌△PBE．∴PD=PE．（2）△PBE是等腰三角形，①当PE=PB时，此时点C与点E重合，CE=0；②当BP=BE时，E在线段BC上，；E在CB的延长线上，；③当EP=EB时，CE=1．八、23、解（1）由图象可知，300=a×302，解得a=，n=700，b×（30﹣90）2+700=300，解得b=﹣，∴y=，（2）由题意﹣（x﹣90）2+700=684，解得x=78，∴=15，∴15+30+（90﹣78）=57分钟所以，馆外游客最多等待57分钟．。
2015-2016学年北师大版九年级数学上期末检测题附答案解析
期末检测题（本检测题满分：120分，时间：120分钟）一、选择题（每小题3分，共30分）1.（兰州中考）下列命题中正确的是（ ） A .有一组邻边相等的四边形是菱形 B .有一个角是直角的平行四边形是矩形 C .对角线垂直的平行四边形是正方形 D .一组对边平行的四边形是平行四边形2.如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ） A .45︒B .55︒C .60︒D .75︒第2题图 第3题图 3.（2015·浙江温州中考）如图，点A 的坐标是（2，0），△ABO 是等边三角形，点B 在第一象限.若反比例函数xky =的图象经过点B ，则k 的值是（ ） A. 1 B. 2C.3 D. 324.若2-=x 是关于x 的一元二次方程02522=+-a ax x 的一个根，则a 的值为（ ）A.1或4B.-1或-4C.-1或4D.1或-45. 将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD ，转动这个四边形，使它形状改变．当∠B =90°时，如图①，测得AC =2．当∠B =60°时，如图②，AC =（ ）第5题图AB .2CD .6.（2014·天津中考）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为（ ）A .12x （x ＋1）＝28 B .12x （x －1）＝28C .x （x ＋1）＝28D .x （x －1）＝287.（2015·山东青岛中考）如图，正比例函数x k y 11=的图象与反比例函数xk y 22=的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的横坐标为2，当21y y ＞时，x 的取值范围是（ ） A ．x <-2或x >2 B ．x <-2或0<x <2 C ．-2<x <0或0<x <2D ．-2<x <0或x >2第7题图 第8题图8. （2015·贵州安顺中考）如图， 平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ∶FC 等于（ ） A.3∶2B.3∶1C.1∶1D.1∶29.在一个不透明的布袋中，有大小、形状完全相同，颜色不同的15个球，从中摸出红球的概率为，则袋中红球的个数为（ ）A .10B .15C .5D .210. （2015·浙江温州中考）将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示），它的主视图是（ ）A. B. C. D.第10题图第11题图二、填空题（每小题3分，共24分）11.（2014·兰州中考）如图，在一块长为22 m ，宽为17 m 的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300 m 2. 设道路宽为x m ，根据题意可列出的方程为. mm12.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，那么它的另一个根是_________，m=_________.13.(2015·天津中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D,E.若AD＝3，DB=2，BC＝6，则DE的长为.第13题图14.一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，其主视图与左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有个.15.反比例函数kyx=（k>0）的图象与经过原点的直线相交于A、B两点，已知A点的坐标为（2，1），那么B点的坐标为.16.设函数2yx=与1y x=-的图象的交点坐标为（a，b），则11a b-的值为_________．17.已知AD是△ABC的角平分线，E、F分别是边AB、AC的中点，连接DE、DF，在不再连接其他线段的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是______.18.一池塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共10000尾，一渔民通过多次捕捞试验后发现，鲤鱼、鲫鱼出现的频率是31%和42%，则这个池塘里大约有鲢鱼___ __ 尾.三、解答题（共66分）19.（8分）(2015·福州中考)已知关于x的方程+(2m1)x+4=0有两个相等的实数根，求m 的值.20.（8分）（2014·呼和浩特中考）如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC的交点为O，连接DE.（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：DE∥AC.第20题图21（8分）（2014·长沙中考）为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行.某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造.已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元.（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？22.（6分）画出如图所示实物的三视图.第23题图23.（8分）（2014·安徽中考） 如图，管中放置着三根同样的绳子111AA BB CC 、、. （1）小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子1AA 的概率是多少？ （2）小明先从左端A B C 、、三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端111A B C 、、三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连接成一根长绳的概率.24.（8分）某池塘里养了鱼苗1万条，根据这几年的经验知道，鱼苗成活率为95%，一段时间后准备打捞出售，第一网捞出40条，称得平均每条鱼重2.5 kg ，第二网捞出25条，称得平均每条鱼重2.2 kg ，第三网捞出35条，称得平均每条鱼重2.8 kg ，试估计这池塘中鱼的质量.25.（10分）如图，在矩形ABCD 中，AD =5，AB =7.点E 为DC 上一个动点，把△ADE 沿AE 折叠，当点D 的对应点D '落在∠ABC 的角平分线上时，求DE 的长.第25题图第26题图26.（10分）如图，一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数xmy =的图象交于A （2，3）， B （－3，n ）两点．（1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式kx ＋b ＞xm的解集______________； （3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，求S △ABC ．期末检测题参考答案1.B 解析：有一组邻边相等的四边形的四条边不一定都相等，该四边形不一定是菱形，故A 错误；有一个角是直角的平行四边形的四个角都是直角，该四边形一定是矩形，故B 正确；对角线垂直的平行四边形是菱形，该四边形不一定是正方形，故C 错误；一组对边平行的四边形有可能是梯形，故D 错误.2.C 解析：∵ AC 是正方形ABCD 的对角线，∴ ∠BAC =45°.又∵ △ADE 是等边三角形，∴ ∠DAE =60°. ∵ AB =AD =AE ,∠BAE =∠BAD ＋∠DAE =90°＋60°=150°， ∴ ∠ABE =∠AEB =12(180°-150°)=15°.∵ ∠BFC 是△ABF 的一个外角，∴ ∠BFC =∠BAF ＋∠ABF =45°＋15°=60°. 3.C 解析：如图，设点B 的坐标为（x ，y ）， 过点B 作x BC ⊥轴于点C.在等边△ABO 中，OC =121=OA ,3=BC ，即x =1，y =3， 所以点B (1,).又因为反比例函数y =的图象经过点B (1,)，所以k =xy =3. 第3题答图 4.B 解析：把x =-2代入方程，得()225(2)202a a --⨯-+=，解得a =-1或a =-4. 5.A 解析：当∠B =90°时，四边形ABCD 是正方形，由正方形的对角线长为2可知正方形的转动四边形ABCD ，使它形状改变，但是它的边长不变，.当∠B =60°时，△ABC 是等边三角形，所以AC =AB 6.B 解析：因为每个队都要和剩下的()1x -个队各赛１场，所以每个队各赛()1x -场， x 个队共赛()1xx -场.因为每场比赛都是两个队参加，这样每个队的比赛场数都重复计算了一次，所以这x 个队共比赛()112x x -场，所以列方程为()11282x x -=. 7. D 解析：x k y 11=与xk y 22=的图象均为中心对称图形，则A 、B 两点关于原点对称，所以B 点的横坐标为-2，观察图象发现：在y 轴左侧，当-2<x <0时，正比例函数xk y 11=的图象上的点比反比例函数xk y 22=的图象上的点高；在y 轴右侧，当x >2时，正比例函数x k y 11=的图象上的点比反比例函数xky 22=的图象上的点高.所以当21y y ＞ 时，x 的取值范围是-2<x <0或x >2.8.D 解析：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，AD =BC ， 所以△EFD ∽△CFB ，所以=.又点E 是AD 的中点，所以DE =BC ，所以==.9.C 解析：红球的个数为15×＝5（个）.10. A 解析: 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形， 所以A 项为主视图，B 项为左视图，C 项为俯视图，故A 选项正确.11. ()()2217300x x --=（或239740x x -+=，只要方程合理正确均可得分） 解析：如图所示，把小路平移后，草坪的面积等于图中阴影矩形的面积， 即()()2217300x x --=，也可整理为239740x x -+=.第11题答图 12.316，16 解析：将x =1代入方程可得m ＝16，解方程可得另一个根为316.13.518 解析：∵ AD =3,DB =2，∴ AB =AD +DB =5. ∵ DE ∥BC ，∴ △ADE ∽△ABC ，∴=,即=,解得DE =518,故答案为518.14.5 解析：当组成这个几何体的小正方体个数最少时，其俯视图对应如图所示，其中每个小正方形中的数字代表该位置处小正方体的个数. 15.（－2，－1） 解析：设直线l 的表达式为y =ax ，因为直线l 和反比例函数的图象都经过A （2，1），将A 点坐标代入可得a ＝21，k ＝2，故直线l 的表达式为y ＝21x ，反比例函数的表达式为xy 2=，联立可解得B 点的坐标为（－2，－1）. 16.12-解析：将（a ，b ）分别代入表达式2y x =与1y x =-中，得ab 2=，1-=a b ，故12-=a a ，022=--a a ，解得12-==a a 或，当2=a 时，1=b ，2111-=-b a ；当1-=a 时，2-=b ，2111-=-b a .17. BD =DC 解析：答案不唯一，只要能使结论成立即可.18.2 700 解析：池塘里鲢鱼的数量为10 000×（1－31%－42%）＝10 000×27%＝2 700. 19．解：∵ 关于x 的方程+(2m 1)x +4=0有两个相等的实数根，∴ Δ=4×1×4=0.∴ 2m 1=±4. ∴ m =或m =.20.证明：（1）∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ AD =BC ，AB =CD . 又∵ AC 是折痕，∴ BC = CE = AD ，AB = AE = CD . 又DE = ED ，∴ △ADE ≌△CED .（2）∵ △ADE ≌△CED ，∴ ∠EDC =∠DEA . 又△ACE 与△ACB 关于AC 所在直线对称， ∴ ∠OAC =∠CAB .而∠OCA =∠CAB ，∴ ∠OAC =∠OCA ，∴ 2∠OAC = 2∠DEA ，∴ ∠OAC =∠DEA ，∴ DE ∥AC .21. 解: (1)设需购买甲种树苗x 棵，购买乙种树苗y 棵，根据题意，得{400,20030090 000,x y x y +=+=解得{300,100.x y ==答：需购买甲种树苗300棵，购买乙种树苗100棵.(2)设应购买甲种树苗a 棵,根据题意，得200a ≥300(400-a ),解得a ≥240. 答:至少应购买甲种树苗240棵. 22.解:物体的三视图如图所示:第22题答图俯视图左视图主视图23. 解：(1)小明可选择的情况有三种，每种发生的可能性相等，恰好选中绳子AA 1的情况为一种，所以小明恰好选中绳子AA 1的概率13P =.(2)依题意，分别在两端随机任选两个绳头打结，总共有三类9种情况，列表或画树状第23题答图其中左、右打结是相同字母（不考虑下标）的情况，不可能连接成为一根长绳，所以能连接成为一根长绳的情况有6种：①左端连AB ，右端连A 1C 1或B 1C 1；②左端连BC ，右端连A 1B 1或A 1C 1；③左端连AC ，右端连A 1B 1或B 1C 1.故P （这三根绳子连接成为一根长绳）=6293=.24.解:由题意可知三次共捕鱼40+25+35=100（条）， 捕得鱼的总质量为40×2.5+25×2.2+35×2.8=253（千克）， 所以可以估计每条鱼的质量约为253÷100=2.53（千克）. 池塘中鱼的总质量为10 000×95%×2.53=24 035（千克）.25.解：如图，过点D '作直线MN AB ⊥于点M ，交CD 于点N ，连接.BD '第25题答图∵BD '平分,ABC ∠∴ 45,ABD '∠=︒∴ 45MD B MBD ''==︒，∠∠∴ .MB MD '= 在Rt BD M '△中，设BM D M x '==，则7AM x =-. ∵ 5AD AD '==，在Rt AMD '△中，90AMD '=︒∠， ∴ 222AD AM D M ''=+，即2225(7)x x =-+，解得123, 4.x x ==∵ 90,90,NED ND E ND E MD A ''''+=︒+=︒∠∠∠∠∴ .NED MD A ''=∠∠ ∵ 90,END D MA ''==︒∠∠∴ ,AD M D EN ''△∽△∴,AD AMD E D N '=''∴ 5(5)7AD D N x D E AM x ''⋅⨯-'==-. ∵ ,DE D E '=∴ 2557xDE x-=-， 故当3x =时，52DE =；当4x =时，5.3DE = 26．解:（1）∵ 点A （2，3）在xmy =的图象上，∴ m ＝6， ∴ 反比例函数的表达式为xy 6=，∴ n ＝36﹣＝－2. ∵ 点A （2，3），B （－3，－2）在y ＝kx ＋b 的图象上， ∴⎩⎨⎧+-=-+=,32,23b k b k 解得⎩⎨⎧==,1,1b k∴ 一次函数的表达式为y ＝x ＋1． （2）－3＜x ＜0或x ＞2.（3）方法1：设AB 交x 轴于点D ，则D 的坐标为（－1，0），∴ CD ＝2， ∴ S △ABC ＝S △BCD ＋S △ACD ＝21×2×2＋21×2×3＝5． 方法2：以BC 为底，则BC 边上的高为3＋2＝5，∴ S △ABC ＝21×2×5＝5．。
2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区八年级(下)期末数学试卷及答案解析
2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是题目要求的）1．（2分）下列图形是以数学家名字命名的，其中属于中心对称图形的是（）A．笛卡尔心形线B．赵爽弦图C．莱洛三角形D．斐波那契螺旋线2．（2分）下列结论中正确的是（）A．为了调查中央电视台“经典咏流传”节目的收视率，采取普查的方式B．嫦娥六号探测器发射前的零部件检查，采取抽样调查的方式C．“随机选择一个南京景点游玩，恰好选中阅江楼”是随机事件D．“打开电视，播放体育赛事”是必然事件3．（2分）当m≠n，下列分式的化简结果为的是（）A．B．C．D．4．（2分）下列计算正确的是（）A．B．C．D．5．（2分）如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．下列结论：①四边形EGFH是平行四边形；②当AB＝CD时，四边形EGFH是菱形；③当AC⊥BD时，四边形EGFH 是矩形．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③6．（2分）关于函数的描述，正确的是（）A．它的自变量取值范围是全体实数B．它的图象关于原点成中心对称C．它的图象关于直线y＝x成轴对称D．在自变量的取值范围内，y随x的增大而增大二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．8．（2分）分式与的最简公分母是．9．（2分）化简的结果是．10．（2分）计算•（a≥0）的结果是．11．（2分）若x2﹣x﹣2＝0，则＝．12．（2分）在一个不透明的袋子中装有若干个白球和10个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验．然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：摸球试验次数100100050001000050000100000“摸出白球”的次数55618303259573010459995根据试验所得数据，估计白球有个．13．（2分）已知，用“＜”表示a，b，c的大小关系为．14．（2分）如图，在▱ABCD和▱BCEF中，M，N分别为对角线交点，已知BC＝10，且△MDA与△NEF 的周长分别为22与21，则四边形BNCM的周长为．15．（2分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的两个顶点A，B坐标分别为（﹣2，0），，则C点的坐标为．16．（2分）已知有两张全等的矩形纸片，长是6cm，宽是3cm．如图将这两张纸片叠合得到菱形ABCD．设菱形ABCD的面积为S cm2，则S的取值范围是．三、解答题（本大题共10小题，共68分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）计算：（1）；（2）．18．（8分）（1）化简：；（2）解方程．19．（6分）（1）填空：，（填“＞”、“＜”或“＝”）；（2）若a≥0，b＞0，求证：＝．20．（6分）如图，将△ABC绕点O按逆时针旋转得到△DEF，其中A与D是对应点，B与E是对应点，请借助于该图形用符号语言写出关于旋转的3条不同的性质．21．（6分）随着社会的发展，旅游业已成为全球经济中发展势头最强劲的产业之一．阅读以下统计图，并回答问题．（1）在2016﹣2023年这8年中，农村居民国内旅游总花费超过7000亿元的年份的频率是；（2）下列结论中，所有正确结论的序号是．①2022年中国城镇和农村居民国内旅游花费的总和比2020年的总和多；②2016﹣2019年中国城镇和农村居民旅游总花费逐步增长；③2023年中国城镇居民旅游总花费的年增长率高于农村居民旅游总花费的年增长率．（3）请结合如图提供的信息，写出一个与我国国内旅游花费相关的正确结论．22．（6分）已知矩形的面积为10，长为x，宽为y．（1）直接写出y与x的函数表达式（标注自变量x的取值范围）；（2）若A（1，y1），B（3，y2）是该函数图象上的两个点，则y1y2；（3）若A（x1，y1），B（x2，y2）是该函数图象上的两个点，且x1＜x2，试说明y1＞y2．23．（6分）甲、乙两地相距300km，一辆汽车从甲地匀速开往乙地，实际行驶的速度比原计划的速度增加25%，结果提前1h到达．求汽车实际行驶的时间？甲同学所列的方程为：（1+25%）•＝；乙同学所列的方程为：＝+1．（1）甲同学所列方程中的x表示；乙同学所列方程中的y表示．（2）选择甲、乙两同学中的一个方法解答这个题目．24．（7分）如图，在▱ABCD中，分别以AB，CD为边向内作△ABE和△CDF，且△ABE≌△CDF，连接AF，CE．（1）求证：四边形AECF为平行四边形．（2）若点E在对角线BD上，且AE所在直线平分BC，当四边形AECF的面积为6时，▱ABCD的面积为．25．（7分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数图象的两个交点的横坐标分别为﹣1，﹣4．（1）方程的解是，不等式的解集是；（2）在图中用直尺和圆规作出一次函数y＝kx﹣b的图象；（3）直接写出的解集．26．（8分）如图，菱形ABCD边长为6，∠ADC＝120°，点P在AB边上，且AP＝4，点Q是AD边上的一个动点，点Q从点A运动到点D．连接PQ，将线段PQ绕点P顺时针旋转60°得线段PQ′．（1）当点Q与点A重合时，在图中用直尺和圆规作出旋转后的线段PQ′；（2）在点Q运动过程中，求证：点Q'在某一固定线段上运动；（3）直接写出线段DQ′长度的取值范围．2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是题目要求的）1．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2．【分析】根据全面调查与抽样调查、随机事件的概念判断即可．【解答】解：A、为了调查中央电视台“经典咏流传”节目的收视率，采取抽样调查的方式，故本选项结论错误，不符合题意；B、嫦娥六号探测器发射前的零部件检查，采取全面调查的方式，故本选项结论错误，不符合题意；C、“随机选择一个南京景点游玩，恰好选中阅江楼”是随机事件，结论正确，符合题意；D、“打开电视，播放体育赛事”是随机事件，故本选项结论错误，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是全面调查与抽样调查、随机事件，正确理解它们的概念是解题的关键．3．【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可得到答案．【解答】解：A.已是最简分式，无法约分化简，故A选项错误，不符合题意；B.已是最简分式，无法约分化简，故B选项错误，不符合题意；C.＝＝，故C选项正确，符合题意；D.已是最简分式，无法约分化简，故D选项错误，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．4．【分析】利用二次根式的运算法则逐项判断即可．【解答】解：＝＝，则A不符合题意；＝＝＝4，则B不符合题意；＝＝，则C不符合题意；÷（）＝×＝×＝2，则D符合题意；故选：D．【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．5．【分析】①根据三角形中位线定理得到EG＝AB，EG∥AB，FH＝AB，FH∥AB，根据平行四边形的判定定理证明结论；②根据邻边相等的平行四边形是菱形解答；③根据矩形的判定定理解答．【解答】解：①∵E，G分别是AD，BD的中点，∴EG是△DAB的中位线，∴EG＝AB，EG∥AB，同理，FH＝AB，FH∥AB，∴EG＝FH，EG∥FH，∴四边形EGFH是平行四边形；故①正确，符合题意；②∵F，G分别是BC，BD的中点，∴FG是△DCB的中位线，∴FG＝CD，FG∥CD，当AB＝CD时，EG＝FG，∴四边形EGFH是菱形；当AB与CD满足条件AB＝CD时，四边形EGFH是菱形，故②正确，符合题意；③∵HF∥AB，∴∠HFC＝∠ABC，∵FG∥CD，∴∠GFB＝∠DCB，当AB⊥CD时，∴∠ABC+∠DCB＝90°，∴∠HFC+∠GFB＝90°，∴∠GFH＝90°，∴平行四边形EGFH是矩形，∴当AC⊥BD时，四边形EGFH不一定是矩形，故③错误，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形、菱形的判定定理是解题的关键．6．【分析】根据正比例函数的性质判断即可．【解答】解：A、它的自变量取值范围是x≥0，故不符合题意；B、它的图象关于原点不成中心对称，故不符合题意；C、它的图象不关于直线y＝x对称，不符合题意；D、在自变量的取值范围内，y随x的增大而增大，故符合题意；故选：D．【点评】本题考查了正比例函数的性质，关于原点对称的点的坐标，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．【分析】根据分式有意义的条件即可得出答案．【解答】解：∵x﹣4≠0，∴x≠4．故答案为：x≠4．【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．8．【分析】根据最简公分母的定义解答即可．【解答】解：∵分式与的分母分别是xy、yz，∴最简公分母是xyz．故答案为：xyz．【点评】本题考查了最简公分母，熟知通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母是解题的关键．9．【分析】先确定分式的分子、分母的公因式，再约分即可．【解答】解：原式＝＝．故答案为：．【点评】本题考查的是分式的约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．10．【分析】根据二次根式的乘法，可得答案．【解答】解：原式＝＝6a，故答案为：6a．【点评】本题考查了二次根式的乘法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．11．【分析】先计算分式的加法，再整体代入计算即可．【解答】解：∵x2﹣x﹣2＝0，∴x2﹣2＝x，∴＝＝＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是关键．12．【分析】大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解；【解答】解：观察表格发现随着摸球次数的增多摸出黑球频率逐渐稳定在0.6附近，故摸到黑球的概率估计值为0.6，设白球x个，则：＝0.6，解得：x＝15，经检验，x＝15是原方程的根，且符合题意，故答案为：15．【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．13．【分析】根据的范围，得出a，b，c三个数的范围，据此得出大小关系．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜＜3，∴7＜5+＜8，即7＜a＜8；∵9＜10＜16，∴3＜＜4，∴6＜3+＜7，即6＜b＜7；∵25＜30＜36，∴5，即5＜c＜6．∴a，b，c的大小关系为：c＜b＜a．【点评】本题主要考查了无理数的估算和实数的大小比较，正确得出的范围是解答本题的关键．14．【分析】根据平行四边形的性质得到AD＝BC＝10，EF＝BC＝10，AM＝CM，BM＝DM，BN＝EN，CN＝FN，根据三角形的周长公式得到△MDA的周长＝AD+AM+DM＝22，△NEF的周长＝EF+FN+EN ＝21，求得BM+CM＝DM+AM＝22﹣10＝12，BN+CN＝EN+FN＝21﹣10＝11，于是得到结论．【解答】解：在▱ABCD和▱BCEF中，∵AD＝BC＝10，EF＝BC＝10，AM＝CM，BM＝DM，BN＝EN，CN＝FN，∴△MDA的周长＝AD+AM+DM＝22，△NEF的周长＝EF+FN+EN＝21，∴BM+CM＝DM+AM＝22﹣10＝12，BN+CN＝EN+FN＝21﹣10＝11，∴四边形BNCM的周长＝BM+CM+BN+CN＝12+11＝23，故答案为：23．【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的周长公式，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．15．【分析】作CE⊥y轴于E，由正方形ABCD的两个顶点A，B坐标分别为（﹣2，0），，得△CBE≌△BAO（AAS），得BE＝AO＝2，CE＝OB＝，即可得C（﹣，+2）．【解答】解：作CE⊥y轴于E，由正方形ABCD的两个顶点A，B坐标分别为（﹣2，0），，得△CBE≌△BAO（AAS），得BE＝AO＝2，CE＝OB＝，得C（﹣，+2）．故答案为：（﹣，+2）．【点评】本题主要考查了正方形的性质，解题关键是正确构造全等三角形．16．【分析】当两张纸片叠合成如图1的正方形时面积最小，根据正方形的面积公式计算即可；当两张纸片叠合成如图2时，菱形ABCD的面积最大，先证△AFB≌△CEB得出AB＝CB，设AB＝CB＝x，在Rt△CBE中根据勾股定理即可求出x的值，再根据菱形的面积公式计算即可，从而得出S的取值范围．【解答】解：当两张纸片叠合成如图1时，菱形ABCD的面积最小，此时菱形ABCD为正方形，∵矩形的宽是3cm，∴AB＝3cm，∴正方形ABCD的面积为S＝32＝9（cm2）；当两张纸片叠合成如图2时，菱形ABCD的面积最大，∵矩形AECH和矩形AFCG全等，∴AF＝CE＝3cm，∠AFB＝∠CEB＝90°，又∵∠ABF＝∠CBE，∴△AFB≌△CEB（AAS），∴AB＝CB，设AB＝CB＝x cm，则BE＝AE﹣AB＝（6﹣x）cm，在Rt△CBE中，由勾股定理得CB2＝BE2+CE2，∴x2＝（6﹣x）2+32，解得，即AB＝cm，∴S＝AB•CE＝（cm2），∴S的取值范围是9≤S≤，故答案为：9≤S≤．【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共68分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】（1）先化简二次根式，在根据二次根式的加减运算的法则计算即可；（2）根据完全平方公式和平方差公式计算即可．【解答】解：（1）＝2﹣2＝0；（2）＝2+21﹣7+5＝2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．18．【分析】（1）先算括号里面的，再算除法即可；（2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．【解答】解：（1）原式＝[﹣]÷＝•＝•＝；（2）原方程去分母得：2（x﹣8）+6x＝8（2x﹣14），整理得：8x﹣16＝16x﹣112，解得：x＝12，检验：当x＝12时，2x﹣14≠0，故原方程的解为x＝12．【点评】本题考查分式的混合运算及解分式方程，熟练掌握相关运算法则及解方程的方法是解题的关键．19．【分析】（1）根据二次根式的性质进行计算和把二次根式进行分母有理化化简，然后判断即可；（2）利用二次根式的性质和把二次根式进行分母有理化进行证明即可．【解答】解：（1）∵，∴，∵，，∴，故答案为：＝，＝；（2）证明：∵a≥0，b＞0，∴，∴．【点评】本题主要考查了二次根式的有关运算，解题关键是熟练掌握二次根式的性质和如何把二次根式分母有理化．20．【分析】利用旋转变换的性质解答即可（答案不唯一）．【解答】解：性质1：△ABC≌△DEF；性质2：OA＝OD；性质3：∠AOD＝∠COF．【点评】本题主要考查了作图﹣旋转变换以及扇形面积的计算的知识，解答本题的关键是找出旋转中心，正确地画出旋转图形是求线段AB扫过面积的基础，此题难度不大．21．【分析】（1）根据统计图中的数据求解即可；（2）根据统计图中数据解答即可；（3）结合如图提供的信息，可得一个与我国国内旅游花费相关的正确结论．【解答】解：（1）由题意可知，＝0.625，故答案为：0.625；（2）由统计图可知，①2022年中国城镇和农村居民国内旅游花费的总和为16888+3565＝20453（亿元），2020年中国城镇和农村居民国内旅游花费的总和为17967+4320＝22287（亿元），22287＞20453，∴2022年中国城镇和农村居民国内旅游花费的总和比2020年的总和少，故①错误；②2016﹣2019年中国城镇和农村居民旅游总花费逐步增长，故②正确；③2023年中国城镇居民旅游总花费的年增长率为×100%≈147.5%，2023年农村居民旅游总花费的年增长率为×100%≈107.6%，∴2023年中国城镇居民旅游总花费的年增长率高于农村居民旅游总花费的年增长率，故③正确．故答案为：②③；（3）结合统计图提供的信息，可得如下结论：整体而言，2023年是中国旅游市场强势复苏的一年，同时与疫情前的2019年相比，国内出游人次恢复到2019年同期的81.38%，与2019年差距明显缩小，彰显了国内旅游消费的活力与潜能．【点评】本题考查的是条形统计图，频数与频率，根据统计图读取信息，准确识图，理解统计图中所反映的数据内容及其意义是解题关键．22．【分析】（1）根据矩形的面积＝长×宽，列出解析式即可；（2）将A，B两点的横坐标代入函数解析式，求出两点的纵坐标，比较大小即可；（3）根据反比例函数增减性判断即可．【解答】解：（1）根据题意得：xy＝10，∴y＝（0＜x＜10），∴y与x的函数表达式是y＝（0＜x＜10），（2）当x＝1时，y1＝10，当x＝3时，y2＝，∵10，∴y1＞y2，故答案为：＞；（3）∵y与x的函数表达式是y＝，∴k＝10＞0，根据函数图象的性质可知：y随x的增大而减小，∴当x1＜x2，y1＞y2．【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题关键．23．【分析】（1）根据题目中的方程即可得到结论；（2）设汽车原计划需行驶的时间为x h，则汽车实际行驶的时间为（x+1）h，根据题意列方程，解方程即可得到结论．【解答】解：（1）甲同学所列方程中的x表示汽车原计划需行驶的时间；乙同学所列方程中的y表示y 表示实际行驶的速度，故答案为：汽车原计划需行驶的时间；y表示实际行驶的速度；（2）选择甲同学的方法，设汽车原计划需行驶的时间为x h，则汽车实际行驶的时间为（x﹣1）h，根据题意得，（1+25%）•＝，解得：x＝5，经检验，x＝5是原方程的解，∴x﹣1＝4，答：汽车实际行驶的时间为4h．【点评】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．24．【分析】（1）先由全等三角形的性质可得AE＝CF，再根据SAS证明△ADF≌△CBE，可得AF＝CE，可得结论；（2）根据同高等底的三角形面积相等可解答．【解答】（1）证明：∵△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∠ABE＝∠CDF，BE＝DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠ABC＝∠ADC，∴∠CBE＝∠ADF，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：如图，连接AC，交BD于点O，∵点E在对角线BD上，△ABE≌△CDF，∴点F在对角线BD上，由（1）知：四边形AECF是平行四边形，且面积为6，＝×6＝3，∴S△AEC∵M是BC的中点，∴BM＝CM，＝S△CEM，S△ABM＝S△ACM，∴S△BEM＝S△AEC＝3，∴S△ABE∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，＝S△COE＝1.5，∴S△AOE＝4.5，∴S△AOB∴▱ABCD的面积＝4×4.5＝18．故答案为：18．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，同高等底三角形面积相等，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．25．【分析】（1）根据两个函数图象交点的横坐标结合图象解答即可；（2）画出图象即可；（3）根据图象直接写出不等式解集即可．【解答】解：（1）∵两个函数图象交点的横坐标分别为﹣1，﹣4，∴方程的解是：x1＝﹣1，x2＝﹣4，不等式的解集是：﹣4＜x＜﹣1或x＞0．故答案为：x1＝﹣1，x2＝﹣4；﹣4＜x＜﹣1或x＞0．（2）作图如下：（3）不等式的解集为：0＜x＜1或x＞4．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握反比例函数图象的对称性质是关键．26．【分析】（1）以点P为圆心，AP为半径作圆，交AD于Q'，即可求解；（2）由旋转的性质可得PQ＝PQ'，∠QPQ'＝60°，由“SAS”可证△APQ≌△EPQ'，可得AQ＝EQ'，∠A＝∠PEQ'＝60°，则点Q'在过点E平行于AB的直线上运动，即可求解；（3）由垂线段最短，可得当DQ'⊥EQ''时，DQ'有最小值，当点Q'在点Q''时，DQ'有最大值，由勾股定理可求解．【解答】（1）解：如图1所示，以点P为圆心，AP为半径作圆，交AD于Q'，则PQ'是所求的线段；（2）证明：如图，在AD上截取AE＝AP，连接EP，EQ'，∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，∴AD＝AB，∠A＝60°，∵AP＝AE，∴△APE是等边三角形，∴AP＝PE，∠APE＝60°，∵将线段PQ绕点P顺时针旋转60°得线段PQ′．∴PQ＝PQ'，∠QPQ'＝60°，∴∠APE＝∠QPQ'＝60°，∴∠APQ＝∠EPQ'，∴△APQ≌△EPQ'（SAS），∴AQ＝EQ'，∠A＝∠PEQ'＝60°，∴∠APE＝∠PEQ'＝60°，∴EQ'∥AB，∴点Q'在过点E平行于AB的直线上运动，∵点Q是AD边上的一个动点，点Q从点A运动到点D．∴Q'从点E出发，运动的距离为AD的长，即EQ''的长，∴点Q'在某一固定线段上运动；（3）如图2，过点D作D作DN⊥EQ'于N，∵AE＝AP＝4，AD＝6，∴DE＝2，∵EQ'∥AB，∴∠A＝∠DEN＝60°，∵DN⊥EQ'，∴∠EDN＝30°，∴EN＝DE＝1，DN＝EN＝，∵EQ'∥AB，AB∥CD，∴EQ'∥CD，又∵AD∥BC，∴四边形DCQ''E是平行四边形，∴DC＝EQ''＝6，∴NQ''＝5，∴DQ''＝＝＝2，∴≤DQ′≤2．【点评】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键。