多项式根的定位与估计
多项式根的范围
多项式根的范围（原创版）目录1.多项式根的定义2.多项式根的范围的定义3.多项式根的范围的计算方法4.多项式根的范围的应用实例正文1.多项式根的定义多项式是指由一系列项按照一定次序组合而成的代数式，其中每一项由一个常数与一个或多个变量的乘积构成。
例如，f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 1 就是一个三次多项式。
多项式的根是指能使多项式等于零的变量值。
例如，上述多项式的根为 x=1, x=-1 和 x=0。
2.多项式根的范围的定义多项式根的范围是指多项式的所有根可能存在的区间。
例如，对于多项式 f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 1，其根的范围是实数集。
3.多项式根的范围的计算方法计算多项式根的范围需要使用代数的方法，一般使用如下的 Wolfram 算法。
Wolfram 算法：设 f(x) 是一个 n 次多项式，其根的范围可以表示为{x1, x2,..., xn}。
首先，计算多项式的导数 f"(x)，然后求解 f"(x)=0 的解，这些解将多项式分成了 n 个区间。
接着，在每个区间内选取一个测试点，例如区间的端点，计算 f(测试点) 的值。
最后，根据 f(测试点) 的符号确定每个区间内根的范围。
4.多项式根的范围的应用实例多项式根的范围在许多领域都有应用，例如在计算机图形学中，用于确定图形的交点；在控制系统中，用于确定系统的稳定区域等。
例如，考虑以下二次多项式 f(x) = x^2 - 3x + 2，其根的范围为 x ∈(1, 2)，即 x 的取值在 1 和 2 之间。
这意味着，当我们在坐标轴上画出该多项式时，其与 x 轴的交点将在 1 和 2 之间。
这对于确定图形的形状和性质非常重要。
3.7 多项式的零点估计
3.7 多项式的零点估计既然一般的5次以上方程没有准确的求根公式，人们仍然期望得到多项式的近似根，至少得到根的位置的估计，这就是本节的任务. 引理3.16(c) 若复系数多项式0111)(a x a xa x a x f n n n n +++=-- 则当x 充分大时，有||||0111a x a xa k x a n n n n +++≥-- 其中k 是任意正实数. 证明 令|}||,||,||,m ax {|021a a a L n n --=,则有≤++--||011x a xa n n ≤+++----||||||||02211a x a xa n n n n =+++--)1|||||(|21n n xxL1||1||--x x L n现假设|x |>1,则 1||||1||1||-≤--x x Lx x L nn欲使1||||||->x x kLx a nnn只要取 ||||1||n a kLx >-即 1||||||+>n a kL x就有 ||||0111a x a xa k x a n n n n +++>-- 定理3.17 复系数n 次多项式0111)(a x a xa x a x f n n n n ++++=-- 的根的模小于1+na L .其中|}||,||,||,m ax {|021a a a L n n --=证明 在引理3.16(c)中令k =1,当x 充分大，即1||+>n a L x 时，||||0111a x a xa x a n n n n +++>-- 所以这时x 不可能是f (x )的根，即f (x )的根的模小于1+na L .定理3.18 已知正实系数n 次多项式0111)(a x a xa x a x f n n n n ++++=-- 如果f (x )的系数是递减的，即 011a a a a n n >>>>- 则f (x )的根α均有|α|<1.证明 因为令,1->k k a a01>-=-k k k a a β n k ,,2,1 = 00a =β显然有 ∑==kj kk a 0β=+++=--==∑∑011)()()(βββα n n j j nnj j xx f)(1jn n nnj jn xxx--=-++∑β对于任意复数α，有=++=--=-∑)()(1jn n nnj jn f αααβα)(111+-=-+-∑n jn nj jn aααβ注意 αααααα--=++++---111n jn jn n n如果)(x f 是α的根，则∑∑∑∑∑∑∑==--==+=-=+--=+--====-nj nj jn j j nj nj jn jj nj jn nj n jn jn nj n jn jn 010010101)(βαββααββααβααβ但 ∑∑==----≤nj nj n j jn j j 011||||||αβαβ当1||>α时∑∑∑===--=≤nj nj jnj jn j j 01||||ββαβ这与∑∑==--=nj nj jn j j 01βαβ矛盾.所以α的根)(x f 的模不能大于1.推论3.18(a) 若正实数多项式011)(a xa xa x f n n nn +++=--的系数均为正数，而且满足 M a a m kk <-<|1|n k ,,2,1 =M m x f <<||)(αα有的根则.证明 令01111)()(a Mx a xMa x Ma Mx f x g n n n n nn ++++==---因为M a a kk <-1，故111<--kk k k Ma M a所以g (x )的系数是正的，且为递减的，因而由定理3.18知，g (x )的根的模小于等于1. 如果)(x g 是α的根，0)()(==ααM f g则)(x f M 是α的根.因.||)(,1||M M x f ≤≤αα的根所以 另一方面0111a x a x a x a f n n n n ++++=--的根是0)(a x a x f nn ++= 的根的倒数.由于k k a a m 10-<<，所以ma a kk 11<-同理可证)(x f 的根的模.)(,1m x f m≥≤的模即例 求方程65432)(2345+++++=x xxxxx f的根的上下限.解 由引理3.16(c),f (x )的根的模上限为,7161=+再由推论3.18(a)可得kk a a 1-数列为12 23 34 45 56所以 2,56==M m所以f (x )的根2||56≤≤αα满足.练习3.7求下列多项式根的上下限：1．12335234++++x x x x 2．543223+++x x x。
多项式的根
的根.如果2是f ( x)的根，试确定其重数k,并把f ( x) 表示成f ( x) ( x - 2)k g( x)的形式.
2.6.3 多项式的根的个数
定理2.12 设f (x) F[x].如果0 f (x) n n 0，
若
f x g x,
则 f (c) g (c).
2.6.2 余式定理和因式定理
定理2.10（余式定理） 一次多项式x c
除多项式f x所得余式为f (c).
定义2.1 设f (x) F[x], c F . 如果 f (c) 0, 则称c是f (x)在F中的一个根.
定理2.11(因式定理) 设f ( x) F[x], c F . c是f ( x)的根当且仅当x - c是f ( x)的因式.
定义 设f ( x) F[x], c F .如果(x c)是f ( x)
的k重因式,则称c是f ( x)的k重根. 当k 1时，c称为 f ( x)的一个单根; k 1时，c 称为f ( x)的重根, k称为 c 的重数.
那么f (x)在F中最多有n个根(k重根按k个计).
推论2.12.1设f ( x) F[ x]. f ( x) 0当且仅当f ( x)在 F中有无穷多个根.
推论2.12.2 设f ( x), g( x) F[ x]. f ( x) g( x)当且 仅当它们确定的两个多项式函数相等.
推论2.12.3 设f ( x), g( x)是数域F上两个次数 n 的多项式. 如果对于F中n 1个不同的数c1,L ,cn1,有
说明：由. 推论2.12.3，数域F上满足以上条 件的多项式至多存在一个.事实上，利用拉格朗 日插值公式或待定系数法可以确定一个多项式.
多项式的根的分布问题-毕业论文
---文档均为word文档，下载后可直接编辑使用亦可打印---摘要本文主要考虑多项式的正根、负根的个数问题，通过介绍多项式的相关定理及符号原则，并举出实例，总结整理多项式的根的分布问题，把多项式的根的分布问题进行细致归纳．关键字：多项式；存在性；二分法；根ABSTRACTThis paper mainly considers the number of positive and negative roots of polynomials．By introducing the relatrd theorems and sign principles of polynomials，and gives examples．Summarizes and sorts out the root distribution of polynomials，and sums up the root distribution of polynomials in detail．Keywords：polynomial；exist；dichotomy；root目录摘要 (I)ABSTRACT............................................................................................................. I I 第1章绪论 (1)第2章多项式根的存在性 (2)2．1相关定理介绍 (2)2．2例题总结 (2)第3章多项式的根的确定性 (4)3．1奇次多项式的根的确定性 (4)3．2偶次多项式的根的确定性 (4)第4章笛卡尔符号原则 (8)4．1多项式的正根 (9)4．2多项式的负根 (9)第5章总结 (11)参考文献 (12)致谢 (13)第1章绪论在数论、代数的组成和数值代数等多个学科里面，都会将多项式作为它们知识网络的基础之一．多项式作为一个可以孤立的体系，也可以与其他的学科体系相联系，并与它们形成一个复杂而又明了的知识网络．在理论和实际应用方面，多项式有着多种多样的内容和作用，一般情况下，它在实际应用研究方面通常会对于某类特定情形下的多项式在一些概括的概念或特定的问题中帮助其求出答案；而在理论方面，就显得有较强的针对性，究其原因，还是取决于多项式它的封闭性、齐次性、可分解性、可约性等其它推导的各种性质．另外，在一些线性或非线性微分方程、常系数微分方程乃至其它微分动力系统中，我们可以利用多项式已知的各种性质来求得问题的近似解或者说是解的取值范围，得到它们特定式子根的实部情况，使所联系的系统达到稳定即可，而不用一定要得出所列多项式的精确解和它们的一切根．本文首先介绍多项式的相关理论基础（罗尔定理和零点定理），然后根据相关定理得到多项式的根的存在性以及根的确定性，其次介绍由笛卡尔符号原则得到多项式的正根、负根的个数的方法，并举出实例，解决多项式的正根、负根的个数的问题．通过总结整理多项式的根的分布问题，可以帮助我们快速准确的选解决多项式的根的问题，从而进一步加深我们对多项式的根的分布的掌握，把多项式的根的分布问题进行细致归纳．第2章多项式根的存在性2.1相关定理介绍罗尔定理和零点定理是高等数学微积分理论中的两个重要定理．在实际问题里，罗尔定理讨论多项式根中的应用非常多，主要取决于多项式的连续求导、次数随求导次数依次降级的性质．零点定理反映了闭区间上连续函数的一个性质，在有关方程根的存在性方面有着重要的应用．罗尔定理如果函数f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）f(a)=f(b)，那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得f′(ξ)=0．[1]运用点一：如果想要讨论一个函数它的导数根是否存在，或当根存在时其取值范围和具体有哪几个，那么这个函数在定义域内是连续可导的，由罗尔定理不难看出，其导数方程至少有一个根会存在于多项式方程两个根之间．运用点二：若是将罗尔定理反过来看的话，我们可以发现：如果多项式方程f(x)=0没有解出来根，则方程f(x)=0最多有一个根．可以根据已知函数方程的根来求其它函数方程的跟，然后再根据零点定理，就可以得到“如果方程f′(x)=0没有根，则方程f(x)=0只有一个根．”这样的结论．零点定理设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)∙f(b)<0），则在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ζ(a<ζ<b)，使f(ζ)=0．[2]应用根据所给方程作辅助函数，再寻找闭区间，是辅助函数在该区间端点处的函数值异号．2.2例题总结例2.1 设函数f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)，讨论方程f′(x)=0有几个实根，并分别指出他们所在的区间．分析：令f(x)=0，则 x=1、2、3、4，可得f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0，再利用罗尔定理，即可得出结论．解：函数f(x)在（−∞,+∞）内处处可导，并且满足f(1)=f(2)=f(3)= f(4)=0，f(x)在区间[1,2]，[2,3]，[3,4]上分别满足罗尔定理的三个条件因此至少存在一点ξ1∈(1,2)，ξ2∈(2,3)，ξ3∈(3,4)使得f′(ξ1)=f′(ξ2)=f′(ξ3)=0即ξ1，ξ2，ξ3是f′(x)=0的三个实根，又因为f′(x)=0是三次方程，至多有三个实根，故f′(x)=0只有三个实根，分别在区间(1,2)，(2,3)，(3,4)内．例2.2 证明方程6x7+2x+a=0至多有一个根，其中a为任意常数．分析：用反证法，假设方程有两个不同的实根，再由罗尔定理可知其导数方程至少有一个根，从而产生矛盾，即可得出结论．证明：方程6x7+2x+a=0的导数方程42x6+2=0没有根假设方程6x7+2x+a=0有两个根，由罗尔定理可知其导数方程42x6+2=0至少有一个根．产生矛盾．所以方程6x7+2x+a=0有一个根．例2.3 证明方程2x3−5x2+1=0在区间(0,1)内至少有一个根．分析：在解决此类问题时，要牢记方程的根=函数的零点．通过区间端点值的正负来判断是否存在零点，即方程的根．证明：函数f(x)=2x3−5x2+1在闭区间[0,1]上连续又f(0)=1>0，f(1)=−2<0根据零点定理，在(0,1)内至少有一点ζ，使得f(ζ)=0即2ζ3−5ζ2+1=0(0<ζ<1)因此方程2x3−5x2+1=0在区间(0,1)内至少有一个根．第3章多项式的根的确定性3.1奇次多项式的根的确定性例3.1 奇次多项式必至少有一个实根．证明：设f(x)=a n x n+a n−1x n−1+⋯+a1x+a0(其中n为奇数)明显有f(x)为连续函数，当a n<0时有：lim(x→−∞)，f(x)=−∞lim(x→+∞)，f(x)=+∞由于f(x)是连续函数，所以f(x)至少有一个零点即f(x)至少有一个实数根．当a n<0时有：lim(x→−∞)，f(x)=+∞lim(x→+∞)，f(x)=−∞由于f(x)是连续函数，所以f(x)至少有一个零点即f(x)至少有一个实数根．综上所述：奇次多项式必至少有一个实根．3.2偶次多项式的根的确定性定理3.1 任何实系数四次方程ax4+bx3+cx2+dx+e=0如果满足下列两个条件之一：（1）a>0，e>0，c−14a b2−14ed2>0；（2）a<0，e<0，c−14a b2−14ed2<0；则方程无实根．[3]定理3.2 任意实系数六次方程a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0=0如果满足下列两个条件之一：（1）a6>0，a0>0，a4−14a6a52>0，a2−14(a4−14a6a5)a32−14a0a12>0；（2）a6>0，a0>0，a4−14a6a52>0，a2−1a4−14a6a52a32−14a0a12>0；则方程无实根．[3]定理3.3 任意实系数2 n次（n≥3为正整数）方程a2n x2n+a2n−1x2n−2+⋯+a1x+a0=0如果满足下列两个条件之一：（1）a2n>0，a0>0，a′2n−2=a2n−2−14a2n a2n−12>0，a′2n−4=a2n−4−14a′2n−2a2n−32>0，a′2n−6=a2n−6−14a′2n−4a2n−52>0，……，a′4=a4−14a′6a52>0 ，a′2=a2−14a′4a32−1(4a0)a12>0 ；（2）a2n<0，a0<0，a′2n−2<0，a′2n−4<0，a′2n−6<0，……，a′4<0，a′2<0，则方程无实根．[3]除定理3.1，定理3.2，定理3.3所述的情况方程无实根外，其他情况均有实根．当多项式的根的精确解得不到时，则用二分法得到近似解并估计误差．在数学分析中，若函数f在区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)∙f(b)<0），则至少存在一点x∗∈(a,b)，使得f(x∗)=0，即方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个根，这就是根的存在定理．二分法求方程的近似实根基于根的存在定理的第一个方法称作二分法(或逐次分半法)．假设f是定义在区间[a,b]上的连续函数，且f(a)与f(b)反号．根据根的存在定理，在(a,b)内至少存在一个数x∗使得f(x∗)=0．为了简单起见设在这个区间内的根是唯一的．这种方法要求将[a,b]的子区间反复减半，在每一步找出含有x∗的那一半，直到区间长度不大于预设进度ε．二分法求方程根的步骤：第一步：输入有根区间端点a，b和计算精度ε；第二步：取区间[a,b]的中点x0；第三步：计算函数值f(a)，f(x0)，若f(x0)=0，则x0就为所求实根，输出x0结束算法，否则转第四步；第四步：若f(a)∙f(x0)<0，记a=a，b=x0；否则记a=x0，b=b，转第五步；第五步：若|b−a|≤ε，则输出x0=a+b，结束算法，否则转第二步．2二分法求方程根的MATLAB程序：function x=agui_bisect(fname,a,b, );fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b);if fa*fb>0 error(‘两端函数值为同号’)；endk=0;x0=(a+b)/2;while |b−a|≤εfx=feval(fname,x);if fa*fx<0;b=x;fb=fx;elsea=x;fa=fx;endk=k+1;x=(a+b)/2end例3.2 利用计算器，求方程lgx=3−x的一个近似解（精确到0.1）．分析：分别画函数y=lgx和y=3−x的图像，在两个函数图像的交点处，函数值相等．这个点的横坐标就是方程lgx=3−x的解．有函数y=lgx与y= 3−x的图像可发现，方程lgx=3−x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(2,3)内．解：图1设f(x)=lgx+x−3，利用计算器计算得f(2)<0，f(3)>0⇒x1∈(2,3)；f(2.5)<0，f(3)>0⇒x1∈(2.5,3)；f(2.5)<0，f(2.75)>0⇒x1∈(2.5,2.75)；f(2.5)<0，f(2.625)>0⇒x1∈(2.5,2.625)；f(2.5626)<0，f(2.625)>0⇒x1∈(2.5626,2.625)因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以此方程的近似解为x1≈2.6．第4章笛卡尔符号原则设实系数多项式函数f(x)=a0x n+a1x n−1+⋯+a i x n−i+⋯+a n(a0≠0) (1)定理4.1 n次多项式f(x)至多有n个不同的根．[5]定理4.2（笛卡尔符号原则）对于多项式函数f(x)，它的正实根个数等于f(x)的非零系数的符号变化个数，或者等于比该变化个数小一个偶数的，数；f(x)的负实根个数等于f(−x)的非零系数的符号变化个数，或者等于比该变化个数小一个偶数的数．[6]定理4.3 设f(x)为实系数多项式，D(f)为f(x)的根的判别式，则当D(f)=0时，方程f(x)=0有重根；当D(f)<0时，方程f(x)=0无重根，且有奇数对虚根；当D(f)>0时，方程f(x)=0无重根，且有偶数对虚根．[6]对（1）式中的f(x)，D(f)定义为:D(f)=(−1)n(n−1)2a0−1R(f,f′)，其中f′为f(x)的导函数，R(f,f′)称为f和f′的结式,是由f(x)的各项系数确定的一个2n−1阶方阵R的行列式．如果当k>0或k<0时记a k=0，则R的第i行第j列的元素为r ij={a j−i, 当 1≤i≤n−1,(i−j+1)a j+n−i−1,当 n≤i≤2n−1.定理4.4(根的上下界定理) 设(1)式中a0>0，（1）若存在正实数M，当用x−M去对f(x)作综合除法时第三行数字仅出现正数或0，那么M就是f(x)的根的一个上界；（2）若存在不大于0的实数m，当用x−m去对f(x)作综合除法时第三行数字交替地出现正数（或0）和负数（或0）时，那么m就是f(x)的根的一个下界．定理4.5（判断根上下界的牛顿法）设有实数k，使f(k)，f′(k)，⋯，f m(k)，⋯，f n(k)均为非负数，或均为非正数，则方程f(x)=0的实根都小于k，这里f m(k)表示f(x)的m阶导数．[6]4.1多项式的正根想要求一个多项式的根，并且是正根，那么该怎样求呢？（1）通过定理4.1先求有多少个解；（2）通过定理4.2知道其中有几个可能是对的正实数根；（3）通过定理4.3计算该多项式的判别式，判别它有没有重根；若无重根，则根据定理4.3，当判别式大于零时，方程的根的个数与n相差4的倍数；反之，方程的根的个数与n−2相差4的倍数．（4）若判别式等于零，用辗转相除法求出f(x)和f′(x)的最大公因式(f(x),f′(x))，该公因式的根即为f(x)的重根，用带余除法将多项式将次．（5）利用定理4.4、定理4.5或用改写方程的方法找出多项式的根的上下界．例4.1 求多项式函数f(x)=x5−5x4+14x3−34x2+48x−24的实数根．分析：根据寻找多项式函数正根的方法及步骤，分步计算，即可求得该多项式函数的实根．解：由定理4.1知f(x)至多有5个实根；由定理4.2知f(x)有5个或3个或1个正根；计算D(f)，算出R(f,f′)≈4×10−8，因其绝对值远小于1，用矩阵的初等变换求出(f(x),f′(x))=x−2，知2为多项式的一个重根．用(x−2)2除原多项式，将多项式将次，得g(x)=x3−x2+6x−6；=x2+6．显然x2+6计算g(1)=0，知1为多项式的一个根，计算g(x)x−1无实根，故原多项式的实根为1和二重根2．4.2多项式的负根想要求一个多项式的根，并且是负根，那么该怎样求呢？（1）通过定理4.1先求有多少个解；（2）通过定理4.2知道其中有几个可能是对的负实数根；（3）通过定理4.3计算该多项式的判别式，判别它有没有重根；若无重根，则根据定理4.3，当判别式大于零时，方程的根的个数与n相差4的倍数；反之，方程的根的个数与n−2相差4的倍数．（4）若判别式等于零，用辗转相除法求出f(x)和f′(x)的最大公因式(f(x),f′(x))，该公因式的根即为f(x)的重根，用带余除法将多项式将次．（5）利用定理4.4、定理4.5或用改写方程的方法找出多项式的根的上下界．例4.2 求多项式函数f(x)=3x5−2x4−15x3+10x2+12x−8的实数根．分析：根据寻找多项式函数负根的方法及步骤，分步计算，即可求得该多项式函数的实根．解：由定理4.1知f(x)至多有5个实数根；由定理4.2知f(x)有3个或1个正根，有2个或0个负根；计算D(f)，算出R(f,f′)≈4×10−8，从而知D(f)>0，方程有1个或5个实根；因为f(x)=x3(3x2−2x−15)+(10x2+12x−8)，所以(1+√46)是f(x)的一个上界．3又因为f(x)=3x(x4−5x2+4)−2(x4−5x2+4)，所以-2是f(x)的一个下界；又f(x)=(3x−2)(x4−5x2+4)=(3x−2)(x2−1)(x2−4)即得到f(x)的所有实根有2、1、-1、2、-2．3图2第5章总结本文通过相关资料的收集与整理，对多项式的根的分布问题的相关理论和方法的介绍以及这些理论和方法在例题中的应用进行阐述．对于多项式的根的分布问题，先根据罗尔定理及零点定理判断根是否存在，并讨论根的确定性，当精确解得不到时，则用二分法得到多项式的近似解并估计误差，最后由笛卡尔原则得到多项式根的个数（多项式正实根个数等于f(x)的非零系数的符号变化个数，或者等于比该变化个数小一个偶数的数；多项式负实根个数等于f(−x)的非零系数的符号变化个数，或者等于比该变化个数小一个偶数的数．），由此解决多项式的根的分布问题．具体在求多项式函数实根的问题中，应根据题意选择具体简洁的步骤求解．学习数学的时候，数学思维是非常重要的，不断地学习数学理论和讨论数学实际问题，不但能锻炼思维能力，还能培养我们学习数学的兴趣．知识会越用越活，我们的大脑也越用越聪明．参考文献[1]李娟，关晓红．罗尔定理在讨论多项式方程的根中的应用[J]．牡丹江教育学院学报，2010(04)．114-114[2]闫广霞．零点定理的推广及其应用[J]．河北工业大学成人教育学院学报．2002年6月．17（2）1-2[3]杨宗培．实系数一元偶次代数方程无实根的判别法则[J]．南昌大学学报（工科版）．1982（1）：56-61[4]鲍克元．基于MATLAB中随机函数的求方程实根的方法探析[J]．数学之友．2016(24):3-3[5]张禾瑞，郝鈵新．高等代数[M]．第4版．北京：高等教育出版社，1999[6]黄永，康道坤．求多项式函数实数根的方法[J]．邵通学院学报．2007年．29（5）：8-11[7]周伯壎．高等代数[M]．第4版．北京：人民教育出版社，1966致谢随着本课题的完成，我心中不免涌出诸多情感，对我的指导老师xxx老师的感激之情也不禁踊跃到字里行间．自从成为老师的学生，我始终认为，王老师将是我终生学习的榜样．恩师不仅治学严谨，兢兢业业，教书育人方面更是极具耐心，言传身教、诲人不倦，而且做学问方面也是态度认真、思维敏捷，实乃我等榜样．论文上诸多信息和知识，都是老师平日里直接或间接所讲的内容，可以说，没有恩师孜孜不倦的教导，这篇论文我可能写不出来一半．感谢恩师在这次论文中，从选题，结构设计，编排样式等诸多方面给予的指导和帮助，这给了我有力的理论支撑和信息来源，才使得我的拙作更趋于完善．另外，感谢所有在我完成毕业论过程中帮助我所有朋友和同学们．。
整系数多项式是否存在有理根的几种判别法及应用
整系数多项式是否存在有理根的几种判别法及应用
求解一个多项式有没有有理根是数学中常见的实际求解题目，目前一般通过使用多项式有理根的判别法来求解。
本文介绍了三种多项式有理根的判别法，分别是奇异值定理、四平方和定理、乘法原理，它们的应用范围较广，对解决多项式有理根问题有重要作用。
首先，奇异值定理是近代发展出来的一个判别多项式有理根的方法，它能准确的判断一个多项式是否存在一个有理根。
奇异值定理可以简单的概括为，当某个多项式的奇异值大于其次数时，该多项式必存在有理根。
四平方和定理，也叫四次平方和定理，是指在实数域上，一个正整数可以表示为四次整数的平方和的充要条件。
若一个数字无法表示为四次整数的平方和，则它不是多项式的有理根。
即满足四平方和定理的实数必是多项式的有理根。
另一个能够判别多项式有理根的方法是乘法原理，又称四次乘法判别法。
该方法提出了一个充分且必要的条件，如果某个多项式满足该条件，则该多项式必然存在有理根。
乘法原理说明，如果一个数能被任意式根取整，则它必然是多项式的有理根。
以上三种方法在求解多项式有理根问题上均有广泛的应用，比如奇异值定理可应用在多项式的不可分离性检验上，四平方和定理可以在多项式检验任意给定数是否是其系数的一个复数根上，乘法原理可用于研究自变量满足给定条件时多项式是否存在有理根。
综上所述，奇异值定理、四平方和定理、乘法原理是判别多项式有理根的重要方法，它们的应用也有着广泛的范围。
因此，掌握好这些判别方法，对解决多项式有理根问题有一定的帮助。
整系数多项式有理根的求法-文档资料
整系数多项式有理根的求法一、整系数多项式有理根的检验多项式的求根问题历来是多项式理论的重要内容之一，为了尽可能减少有理根的判别范围，除考虑多项式首项系数及常数项外，再利用次高项和一次项系数作辅助，得到整系数多项式有理根判别的一个必要条件，从而使整系数多项式有理根检验的范围得到缩小。
为讨论方便，给出下面定理。
【定理1.1】设是一个整系数多项式。
若有理数是的一个根，这里和是互素的整数，那么，(1)整除的最高次项系数，而整除的常数项；(2)，这里是一个整系数多项式。
在定理中令或，不难得到下面的推论。
[推论1.1]若是整系数多项式的有理根，则必全为整数。
[推论1.2]若是整系数多项式的有理根,,则且。
[推论1.3]若整系数多项式各项系数之和为素数，则有理数必须满足或。
[推论1.4]若整系数多项式的常数项为奇数，而为偶数，则不是的根。
【定理1.2】设是一个整系数多项式，若有理数(其中是的一个根,则必有。
[推论1.5]设，，若，则一定不是的有理根。
[推论1.6]设，若，则一定不是的有理根。
.二、整系数多项式有理根的求法【定理2.1】设既约分数，多项式除整系数多项式，所得的商式为，余式为常数，多项式除多项式所得的商式为，则(ⅰ)为的一个根的充要条件为的各系数都能被整除，并且；(ⅱ)为的一个根的充要条件是为的一个根；(ⅲ)当为的一个根时，。
由以上定理及相关推论,得出求整系数多项式有理根的方法：第一步，判定是否存在有理根；第二步，若有,求出和的所有因数；第三步，用的因数做分母，因数做分子，列出所有可能的既约分数；第四步，先判断出是否为的，再对第二步求出的既约分数进行检验，如果与都是整数，那么的根可能是含有这个；如果两数不全为整数，那么的根一定没有这个；第五步，检验第三步选出来的既约分数可能会是的根，用除（可用综合除法），如果除得余数为零，那么是的根，反之，不是的根。
.我们用以下例子简要说明上述方法的应用。
【例】求整系数多项式的全部有理根。
求多项式有理根的步骤
求多项式有理根的步骤
整系数方程anx^n a(n-1)x^(n-1) .... a2x2 a1x a0=0的有理根x=p/q。
满足：p能整除a0，q能整除an。
要求整系数方程的有理根，只须把an、a0分解质因数，然后找出所有的p/q，代入一一试验，满足的是根，不满足的不是根。
扩展资料
多项式函数及其根
给出多项式f∈R[x1,...,xn]以及一个R-代数A。
对(a1，...，an)∈An，我们把f中的xj都换成aj，得出一个A中的元素，记作f(a1...an)。
如此，f可看作一个由An到A的函数。
若然f(a1...an)=0，则(a1...an)称作f的根或零点。
例如f=x^2 1。
若然考虑x是实数、复数、或矩阵，则f会无根、有两个根、及有无限个根！
例如f=x-y。
若然考虑x是实数或复数，则f的零点集是所有(x,x)的集合，是一个代数曲线。
事实上所有代数曲线由此而来。
另外，若所有系数为实数多项式P(x)有复数根Z，则Z的共轨复数也是根。
若P（x）有n个重叠的根，则P‘(x)有n-1个重叠根。
即若P(x)=(x-a)^nQ(x)，则有a是P’(x)的重叠根且有n-1个。
有理根定理应用
为了确定一个多项式是否有任何有理根，使用该定理，如果是这样就可以找出它们。
由于定理给出了完全减少的有理根的分子和分母作为某些数的`除数的约束，所以可以检查除数的所有可能的组合，或者找出合理的根，或者确定没有一个。
如果找到一个或多个，则可以将它们从多项式中分解出来，导致较低程度的多项式，其根也是原始多项式的根。
多项式的根与代数基本定理
多项式的根与代数基本定理在高中阶段学习数学时，我们都会接触到多项式及其根的概念。
多项式是数学中非常重要，应用广泛且深入的一个概念。
代数基本定理则是多项式的根与复数之间极为紧密的关系之一。
本文将会探究代数基本定理以及多项式的根。
一、多项式的根多项式指的是这样一个函数：$$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_0$$其中，$a_n$ 不为 $0$，$n$ 为非负整数，$a_0, a_1, ..., a_n$ 为常数，$x$ 是变量。
这里的 $x$ 是变量，而 $a_0, a_1, ..., a_n$ 为常数，因此，当给$x$ 赋一个特定的数时，$f(x)$ 就会成为一个数。
我们将这个数称作多项式在 $x$ 处的取值，而 $x$ 称作多项式的根（或零点、解）。
例如，多项式 $f(x) = x^2 - 1$，它的根是 $x = 1$ 和 $x = -1$。
因为当 $x$ 等于 $1$ 或 $-1$ 时，$f(x)$ 的值都等于 $0$。
二、代数基本定理代数基本定理是一个非常重要的定理，它建立了多项式的根与复数之间极为紧密的关系。
代数基本定理的陈述如下：每一个复系数多项式 $f(x)$ 都可以表示为：$$f(x) = a(x - z_1)(x - z_2)...(x - z_n)$$其中，$a$ 是一个常数，$z_1, z_2, ..., z_n$ 是 $n$ 个复数（可能重复），且 $n$ 等于多项式 $f(x)$ 的次数。
换句话说，对于任意一个复系数多项式 $f(x)$，它的根总是可以写成 $z_1, z_2, ..., z_n$ 这 $n$ 个复数的形式。
例如，多项式 $f(x) = x^2 - 1$ 可以表示为 $(x - 1)(x + 1)$，其中根为 $z_1 = 1, z_2 = -1$。
代数基本定理的证明比较复杂，这里不进行详细讲解。
感兴趣的读者可以参考相关教材或资料。
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对于一个次数较高的多项式来说 ， 在不借助于现代计算机辅助软件的情况下 ， 它的分解及其相应根的获 得是十分困难甚至是不可能实现的。同时在许多情况下 ， 也不需要具体获得它的一切根 ， 只需要知道它
的根的分布就可以获得一些问题的解答 ， 比如对于常系数微分方程 （ ， 组） 线性或非线性微分方程 （ ） 组 或微分动力系统 ， 只需要知道它们的特征多项式的根 的实部 的情况便可确定对应系统的稳定性。于是 对于多项式根的估计或定位便成为另外一个重要 的问题。
陕西理工学院学报（ 自然科学版 ）
第２ ７卷
弓
理
ｌ
的特 征 多项式 为
阶
，Ｊ．，．． ．．． ．． ．．．．． ．．．．．．．。．。 ．．
矩 ｇ ） “＋ｂ ＋… ＋ｂ－ ＋ｂ 。 （ ＝ ｉ 一 ｎ ｉ ｎ 阵 引理 １ 表明一个实系数多项式必定联系或对应一个实矩阵 ， 即它的友矩阵。进一步说 ， 一个多项式
； ¨
６一 １ ０ ； ０
； ０
一 有特征值都位于 ｎ 个圆盘 的并 ｛ ∈ｃ：ｚ ≤Ｒｉ ） Ｉ一口 ｌ ｔＡ ｝量 ＧＡ）０ （ （— 中。 Ｏ Ｏ １ ６ １
２
３ 主 要结 果
Ｏ ０ ０
● ● ●
● ● ●
● ● ● ● ● ●
● ● ●
首先对几类经典 的多项式根的估计方法进行讨论 ， 然后得到一般多项式的根的估计方法与结果。 定理 ３ 多项式 ｇ ｘ ＝ ＋ ｌ （） ｂ ＋… ＋ ６ ＋ ０的系数满 足０ Ｏｂ ≤６ ≤… ≤６≤１则 ｂ＝ ６ ０＜ ｌ ｌ ，
Ｉ
１ Ｏ
；
Ｏ
的根也就是它的友矩阵的特征根。这样 ， 我们就可以将多项式根 的估计转化为对一个矩阵特征根 的估
计 问题 。 ｌ Ｏ
¨ ¨ ¨ ； ０
引 （ｅｇ ｎ 盘 理２ Ｇｒｏ 圆 定理） ｓｆ ｉ 设Ａ＝ ０］ Ｍ ， 设Ｒ （） ［ ∈ 又 ＇Ａ 兰∑ Ｉ Ｉ ≤ｉ 。 ｉ 口 ， ≤ 则Ａ的 １ 所
第 ２ 卷第 ４ ７ 期
［ 文章编号】６３— ９４ ２ １ ）４— ０ １ ０ １７ ２４ （０ １０ ０ ７ — ３
多项 式根 的定位 与估计
曹海松 ， 伍俊 良
（ 庆大学 数学与统计学 院， 重庆 ４ １３ ） 重 ０３ １
［ 摘
要］ 将 多项式的根的估计与定位和矩 阵特征值 的估计 与定位联 系起来， 讨论数论命题
中几类特殊的 多项式特征根 的估计方法， 得到一般 多项式的特征根的估计 方法。 ［ 关 键 词 ］ 多项式； 根 ； 友矩阵； 估计与定位 ［ 中图分类号 ］ ０ ７ ．４ １４ １ ［ 文献标识码 ］ Ａ
１ 问题 引入
对多项式的理论及其应用研究广泛存在于基础数学和应用数学之中 ， 它既可以作为一个独立的体 系而存在 ， 同时也构成代数 、 数值代数和数论等重要数学分支的桥梁及其它应用学科的基础。在一般情 况下 ， 对于多项式的理论研究主要基于它的封闭性 、 可分解性 、 可约性 和齐次性进行 的。在应用研究方 面， 主要针对一个或一类特定的多项式在一些抽象的概念下或具体 的应用背景 中根的求解方法。不过 ，
（ ＝２ … ， ｉ ， ｎ一１ ） ）项式的根 的研究具有非常重要 的意义。不过有两点值得我们思考 ： 对于以上 ①
结果 ， ［ ］ 文献 １ 和文献 ［ ］ ２ 分别是基于实分析和复分析两种方法加以证 明的， 其方法非常特殊也 比较烦 琐， 是否存在别的简洁适用的方法可用于对多项式的根的分布的判定 ； 在一般情况下 ， ② 多项式通常作 为其它代数 内容的基础 ， 如它服务于矩阵理论ｌ ， ３ 反过来 ， Ｊ 我们是否可以用现有的矩阵理论结果来解决 多项式的根的分布问题 。事实上 ， 目前已经有学者对这项工作做过一定的探索 。 Ｊ 本文将从代数学的观点 出发 ， 将多项式与矩阵理论联系起来 ， 通过运用矩阵特 征根分布的定理 ， 首 先讨论多类特殊多项式根的分布问题 ， 然后得到一般多项式根的分布与估计方法 。
２ 几个基本 引理
首先 我们给出如下 的引理 ：
收稿 日期 ：０ １０ —３ ２ １－４１
作者简 介 ： 曹海松 （９６ ）男 ， １８一 ， 河南省邓 州市人 ， 大学数学与统计学 院硕 士研究生 ， 重庆 主要研 究方向为矩 阵理论 ； 伍俊 良（９８ ）男 ， １５一 ， 四川省岳池县 人 ， 庆大学 教授 ， 重 博士 ， 主要研究方 向为数值代数 、 矩阵理论与信息系统设计与开发。
我们记 ）＝ａｘ ｎ ＋ａ－ ｎ ｉ ＋ａ＿ ， ＋… ＋ａ ｎＸ ２ Ｉ ＋ａ 为 ａ ， ， ，ｌａ） ｏ ｎａ … ａ ，０ ｏ
在文献［ ］ 我 国著名数学家华罗庚 和王元给出了几类特殊多项式 的根 的分 布， Ｉ 中， 如他们给出了：
① ａ， ， ａ，。（ 一≥…≥口≥口 ＞ ） ａ …，，ａ） 口≥ 。 ０ 根的分布情况 ， 表明这一多项式的根全部位于一个 以原点为圆心的单位圆盘中； ② ａ ， ， ａ ，０ （ ，州 ＝ ＝ ａ ＝一 ） 表明其根具有 ａ …， ａ） ａ ＝１ａ … ａ＝。 １， 多个有用的性质。文献［］ ２ 作者研究了多项式 ａ， ， ａ，。 Ｊ ＝Ｊ。 ＝ｃｃ＞０ ， ｆ ａ …， ａ）（ Ｊ Ｊ （ ａ ａ ） ≤ｃ
２１ 年 ｌ ０ １ ２月
陕 西理 工学院学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｈ ａｘ Ｕ ｉｅ ｉ ｆ ｅｈｏｏｙ（ ａ ｒ ｃｅｃ ｄｔ ｎ ｏｒａ ｏ ａｎｉ ｎｖｒｔ ｏ Ｔ ｃｎｌｇ Ｎ ｔ ａ ＳｉｎｅＥ ｉｏ ） Ｓ ｓｙ ｕｌ ｉ
Ｄ ｃ ２ １ ｅ．０ １ Ｖ０ ． ７ Ｎｏ ４ １２ ．