一元多项式的根与韦达定理
韦达定理根与系数的关系
韦达定理根与系数的关系韦达定理（Vieta's theorem）是数学中的一个重要定理，它描述了多项式根与系数之间的关系。
这个定理以法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète）的名字命名，他在16世纪首次提出了这个定理。
韦达定理的表述非常简洁，它指出：对于一个n次多项式，其根的乘积等于(-1)^n乘以常数项与最高次项系数的商。
换句话说，如果一个多项式可以表示为：P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0其中a_i为多项式的系数，那么它的根r_1、r_2、...、r_n满足以下关系：r_1 * r_2 * ... * r_n = (-1)^n * a_0 / a_n这个定理的证明可以通过多项式展开和对称多项式的性质来完成，但在这篇文章中，我们将重点讨论韦达定理的应用。
我们可以利用韦达定理来求解多项式的根。
对于一个已知的多项式，我们可以通过观察常数项和最高次项系数的关系，来推测根的乘积。
然后，我们可以根据多项式的次数和已知的根之间的关系，来求解其他缺失的根。
通过这种方法，我们可以快速而准确地求解多项式的根。
韦达定理还可以用于多项式的因式分解。
根据韦达定理，如果我们已知一个多项式的根r_1、r_2、...、r_n，那么我们可以将这个多项式表示为以下形式的乘积：P(x) = (x - r_1)(x - r_2)...(x - r_n)这个形式的多项式就是多项式的因式分解形式。
通过将多项式因式分解，我们可以更好地理解多项式的性质，并且更方便地进行计算和求解。
韦达定理还可以用于多项式系数的求解。
对于一个已知的多项式，如果我们已知其中n-1个根，以及一个系数，那么根据韦达定理，我们可以求解出剩下的一个系数。
这种方法在实际问题中非常有用，可以帮助我们建立和求解多项式方程。
除了以上应用之外，韦达定理还有很多其他的应用。
韦达定理推广的证明_3
3.4对称多项式代数学基本定理，即实系数n （n ≥）次多项式至少有一个复数根，是代数学上的一个重要成果.它是在18世纪由高斯首先证明的，由于该定理的重要性，以后又陆续出现许多不同的证明方法，但无论怎样的证明都必须依靠实数与复数的连续性质.在我们给出该定理的代数证明前，先给出一些预备知识.定义 3.13 域F 上的n 元多项式n n x ，x x x x x f ,),,(2121称为的多项式.对n x ，x x ,21的任意排列in i i x ，x x ,21，均有),(),,(2121in i i n x ，x x f x x x f =例如 232221321321),,(x x x x x x x x x f +++++=就是对称多项式.如果域F 上的n 次多项式0111)(a x a x a x a x f n n n n +++=--有n 个根：)(,,,21x f n 则ααα 分解为)())(()(21n n x x x a x f ααα---=将上式展开，再与原多项式011a x a x a n n n n +++-- 比较两边的系数，可得nn n a a 121--=++ααα nn n n a a 213121--=++αααααα n n n n n a a 312421321----=++ααααααααα nn n a a 021)1(-=ααα 上面n 个等式，实际上是一元二次方程中韦达定理的推广.我们把下面的多项式)()(31242132132131212211项共项共n n n n n n n nC x x x x x x x x x C x x x x x x x x x ---++=++=++= σσσn n x x x 21=σ称为n x x x ,,21的初等对称多项式.一元多项式可按升幂或降幂排列去写，即可写为011)(a x a x a x f n n n n +++=--或者 n n x a x a a x f ++=10)(.但是n 元多项式各项可以次数相同，但却不是同类项.一般地，n 元多次式可按字典排列法书写.例如比较两项,21212121n n i n i i k n k k ax x bx ax x ax 和若 )(,,12211t t t i k k i k i k >==-则前项项在n n in i i k n k k ax x bx ax x ax 21212121.如多元项式2212123222132132),,(x x x x x x x x x x f ++++= 按字典排列法：2322212122132132·),,(x x x x x x x x x x f ++++=按字典排列的多元多项式的第一项称为多项式的首项.显然两个多元多项式乘积的首项等于两个多元多项式首项的乘积（读者可以自行证明）. 定理 3.13 任意n 元对称多项式),,,(21n x x x f 都表示成初等对称多项式的多项式，即),,,(21n x x x f =),,,(21n g σσσ其中n x x x +++= 211σn n x x x x 1211-+= σn n x x x 21=σ该定理可见于几乎所有高等代数教材中，我们这里再给出简洁证明.证明 设),,,(21n x x x f 的首项为n kn k k x x ax 2121则必有 n k k k ≥≥ 21.否则，若,1+<i i k k 由于f 是对称多项式，所以f 必含有项n i i kn k i k i k k x x x x ax 121121++ n ki k i k k x x x x ax i i 121121++ 与它是f 的首项矛盾.我们令n n n k n k k n k k k k a σσσσϕ-----=132211211 易知1ϕ的首项与f 的首项相等，1ϕ当然是n x x x ,,21的对称多项式，所以),,,(21n x x x f -1ϕ=),,,(211n x x x ff 1也是对称多项式，f 1的首项低于f 的首项.若f 1的首项为121,21f x x bx n l n l l 对 重复上面的方法，令n n n l n l l n l l l l b σσσσϕ-----=132211212 221f f =-ϕ这里，f 2是对称多项式，它的首项低于f 1.上述过程继续下去，得一系列多项式：s s s f f f f f f f ϕϕϕ-=-=-=-121211,,,,这些f i 的首项一个比一个低，而此过程不可能无限做下去.即，必存在一个s ，使得f s =0, 所以 s f ϕϕϕ+++= 21这里，所有n i ，，，σσσϕ 21是的多项式，所以f 是n ，，，σσσ 21的多项式. 定理3.14 若实系数n 次多项式01a x a x a n n ++有n 个根，它们分别为n n αααααα ,,,,,2121那么的任意对称多项式),,(21n f ααα 都是系数011,,,,a a a a n n -的多项式，特别是当),,(21n f ααα 是实系数对称多项式时，则),,(21n f ααα 也为实数.证明 由定理3.13存在一个实系数多项式g ，使得),,(21n f ααα =),,(21n g σσσ其中 nn n a a 1211-=+++=ααασn n n n a a 2131212--=+++=αααααασ nn n a a 0)1(-=σ 所以),,(21n g σσσ 是n n a a 1-，n n a a 2-，…，n a a 0的多项式.所以),,(21n f ααα 为实数.。
韦达定理文档
韦达定理介绍韦达定理（Vieta’s Theorem）是代数学中一个重要的定理，由法国数学家弗朗索瓦·维耶特（François Viète）于16世纪提出。
该定理描述了一元多项式的根与系数之间的关系，是多项式理论的基础之一。
定理内容韦达定理可以简洁地表达为：对于一元多项式$$ f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \\ldots + a_1x + a_0 $$如果 $r_1, r_2, \\ldots, r_n$ 是该多项式的n个根，即满足f(r i)=0，则有以下关系成立：1.和与差的关系：$$ r_1 + r_2 + \\ldots + r_n = -\\frac{a_{n-1}}{a_n} $$$$ r_1r_2 + r_1r_3 + \\ldots + r_{n-1}r_n = \\frac{a_{n-2}}{a_n} $$$$ r_1r_2r_3 + r_1r_2r_4 + \\ldots + r_{n-2}r_{n-1}r_n = -\\frac{a_{n-3}}{a_n} $$ 以此类推，直到第n个根的系数为−a0/a n。
2.一般形式：$$ r_1^{k_1}r_2^{k_2}\\ldots r_n^{k_n} + r_1^{k_1}r_2^{k_2}\\ldots r_{n-1}^{k_{n-1}}r_n^{k_n-1} + \\ldots + r_{n-1}^{k_{n-1}}r_n^{k_n} + r_n^{k_n} = (-1)^{k-n}\\frac{a_{n-k}}{a_n} $$其中k i表示常数k i的幂，而 $k = k_1 + k_2 + \\ldots + k_n$。
证明要理解韦达定理的证明，我们需要先了解复数域和多项式的根与系数之间的关系。
首先，我们知道复数域是包含实数域的，并且复数具有形如a+bi的表示方式，其中a和b是实数，而i是虚数单位。
韦达定理
韦达定理韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
历史是有趣的，韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
基本介绍英文名称：Vieta's formulas韦达定理证明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
这里讲一元二次方程两根之间的关系。
一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a，X1*X2=c/a定理内容一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac>0)中，设两个根为x1，x2 则X1+X2= -b/aX1*X2=c/a用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)中，若b^2-4ac<0 则方程没有实数根若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根若b^2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根证明结论由一元二次方程求根公式为：X = (-b±√b^2-4ac)/2a （注意：a指二次项系数，b指一次项系数，c指常数，且a≠0）可得X1= (-b+√b^2-4ac)/2a ，X2= (-b-√b^2-4ac)/2a 1. X1﹢X2=（-b+√b^2-4ac)/2a+（-b-√b^2-4ac)/2a所以X1﹢X2=-b/a2. X1X2= [（-b+√b^2-4ac﹚÷2a]×[（-b-√b^2-4ac﹚÷2a]所以X1X2=c/a（补充：X1^2+X2^2=(X1+X2)^2-2X1·X2（扩充）3.X1-X2=（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a 又因为X1.X2的值可以互换，所以则有X1-X2=±【（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a】所以X1-X2=±（√b^2-4ac）/a韦达定理推广的证明设X1，X2，……，xn是一元n次方程∑AiXi =0的n个解。
根的判别式韦达定理
一元二次方程根的判别式和韦达定理知识点1.根的判别式21.4022.02043.,22ac b b ac b x x a a ⎧⎪≠-∆⎪⎪∆>⎧⎪⎪⎪∆=⎨⎨⎪⎪∆<⎩⎪⎪-±--±∆⎪==⎪⎩22概念：对于一个一元二次方程ax +bx+c=0(a 0)来说，b 称为根的判别式，记为。
时，方程有个不相等的根根的判别式意义：时，方程有个相等的根时，方程没有实数根公式法：解为即为补充：0≥∆时，方程有2个解，但不知道两个解是否相等。
例题讲解例1.当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。
（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根； （3）没有实根。
例2.当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有实根。
小结：对于求一元二次方程中字母的取值或取值范围问题，一定要考虑全面。
特别注意“0≠a ”！例3．已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，问是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。
小结：这一类的题要注意3个方面：0≠a ，∆与0的关系，另外1x 和2x 间的数量关系课堂练习1、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x 中，无实根的方程是 。
2、已知关于x 的方程022=+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值是 。
3、下列方程中，无实数根的是（ ）A 、011=-+-x xB 、 762=+y yC 、021=++xD 、0232=+-x x4、若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实根，则m 的取值范围是（ ） A 、43<m B 、m ≤43 C 、43>m 且m ≠2 D 、m ≥43且m ≠25、在方程02=++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程（ ）A 、有两个不等实根B 、有两个相等实根C 、没有实根D 、无法确定 6、关于x 的一元二次方程x 2＋kx －1=0的根的情况是 （ ）A 、有两个不相等的同号实数根B 、有两个不相等的异号实数C 、有两个相等的实数根D 、没有实数根7、 m 取何值时，方程()0112)2(22=++--x m x m （1）有两个不相等的实数根 （2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根8、试证：关于x 的方程1)2(2-=+-x m mx 必有实根。
初中数学韦达定理知识点总结
初中数学韦达定理知识点总结韦达定理一元二次方程a*^2+b*+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac0)中，设两个根为*1，*2那么*1+*2= -b/a*1**2=c/a用韦达定理判断方程的根一元二次方程a*^2+b*+c=0 (a≠0)中，由二次函数推得假设b^2-4ac0 那么方程没有实数根假设b^2-4ac=0 那么方程有两个相等的实数根假设b^2-4ac0 那么方程有两个不相等的实数根推广韦达定理在更高次方程中也是可以运用的。
一般的，对一个一元n次方程∑Ai*^i=0它的根记作*1,*2…，*n我们有右图等式组其中∑是求和，Π是求积。
假如二元一次方程在复数集中的根是，那么由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程在复数集中必有根。
因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：其中是该方程的个根。
两端比较系数即得韦达定理。
(*1-*2)的绝对值为√(b^2-4ac)/|a|法国数学家韦达最早发觉代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
知识要领总结：韦达定理证明白一元n次方程中根和系数之间的关系。
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
中学数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，盼望同学们很好的掌控下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条相互垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为*轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③相互垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般状况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上需要相同。
三次韦达定理公式推导
三次韦达定理公式推导韦达定理在数学中可是个相当重要的知识点呢！咱们今天就来好好聊聊三次韦达定理公式的推导。
还记得我上高中那会，有一次数学考试，最后一道大题就是关于三次方程的韦达定理应用。
当时我看到题目就有点懵，心里想着：“哎呀，这可咋办呀？”不过我还是硬着头皮往下做。
咱们先来说说什么是韦达定理。
对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0 ，如果它有两个根 x₁和 x₂，那么就有 x₁ + x₂ = -b/a ，x₁·x₂ = c/a 。
这就是二次方程的韦达定理。
那三次方程的韦达定理是啥样呢？对于一个一元三次方程 ax³ + bx²+ cx + d = 0 ，假设它的三个根分别是 x₁、x₂、x₃。
咱们先假设这个方程可以分解成 (x - x₁)(x - x₂)(x - x₃) = 0 ，展开这个式子：(x - x₁)(x - x₂)(x - x₃) = (x² - (x₁ + x₂)x + x₁x₂)(x - x₃)= x³ - (x₁ + x₂)x² + (x₁x₂)x - x²x₃ + (x₁ + x₂)x₃x - x₁x₂x₃= x³ - (x₁ + x₂ + x₃)x² + (x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃)x - x₁x₂x₃对比一下原方程 ax³ + bx² + cx + d = 0 ，我们就能得到：x₁ + x₂ + x₃ = -b/a ①x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a ②x₁x₂x₃ = -d/a ③这就是三次方程的韦达定理啦！咱们来举个例子实际感受一下。
比如说方程 x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 ，我们来看看它的根和韦达定理的关系。
通过试根法，我们能发现 1 是这个方程的一个根，然后用多项式除法，就可以把方程分解为 (x - 1)(x² - 5x + 6) = 0 ，进一步分解为 (x -1)(x - 2)(x - 3) = 0 ，所以这个方程的三个根就是 1、2、3。
韦达定理n次方程
韦达定理n次方程1. 引言韦达定理（Vieta’s theorem）是代数学中一个重要的定理，它描述了多项式方程的系数与根之间的关系。
韦达定理广泛应用于代数学、数论及物理学等领域。
本文将介绍韦达定理的基本概念和应用，并探讨如何利用韦达定理求解n次方程。
2. 韦达定理的基本概念2.1 多项式方程和根多项式方程是指形如a n x n+a n−1x n−1+⋯+a1x+a0=0的方程，其中a i是常数系数，x是未知数，n是一个非负整数。
一个多项式方程的根是使得该方程成立的解。
例如，在一元二次方程ax2+bx+ c=0中，x=−b±√b2−4ac2a就是该方程的根。
2.2 韦达定理的表述对于一个 n 次多项式方程a n x n+a n−1x n−1+⋯+a1x+a0=0，韦达定理给出了方程的系数与根之间的关系。
根据韦达定理，如果x1,x2,…,x n是该方程的 n 个根，则有以下等式成立：x1+x2+⋯+x n=−a n−1 a nx1x2+x1x3+⋯+x n−1x n=a n−2 a n…x1x2…x n=(−1)n a0 a n其中，a i是方程中对应的系数。
2.3 韦达定理的证明韦达定理可以通过多项式展开和配凑系数的方法进行证明。
不过，在本文中我们将不深入讨论其具体证明过程。
3. 韦达定理在求解n 次方程中的应用3.1 求解一元二次方程韦达定理在求解一元二次方程时特别有用。
对于一元二次方程 ax 2+bx +c =0，我们可以直接利用韦达定理得到其根与系数之间的关系：x 1+x 2=−b ax 1x 2=c a通过求解这两个方程，我们可以得到一元二次方程的根。
3.2 求解一元三次方程和一元四次方程对于一元三次方程 ax 3+bx 2+cx +d =0 和一元四次方程 ax 4+bx 3+cx 2+dx +e =0，同样可以利用韦达定理求解。
对于一元三次方程，我们有以下等式成立：x 1+x 2+x 3=−b ax 1x 2+x 1x 3+x 2x 3=c ax 1x 2x 3=−d a通过求解这三个方程，我们可以得到一元三次方程的根。
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12. 一元多项式的根与韦达定理
万芸芸 20132113404
【知识总结】
一．一元多项式的根
定义：令 f(x)是 R[x]的一个一元多项式而 c 是 R 的一个数，若是当 x=c 是 f(x) 的值 f(c)=0，那么 c叫作 f(x)在数环 R 中的一个根.
定理1：数 c 是多项式 f(x)的根的充分且必要条件是 f(x)能被 x-c 整除.
定理2：设 f(x)是 R[x]中的一个 n ≥ 0 次多项式.那么 f(x)在 R 中最多有 n 个不同
的根.
证明如果 f(x)是零次多项式，那么 f(x)是 R 中一个不等于零的数，所以没有根.因此
定理对于 n=0 成立，于是我们可以对 n 作数学归纳法来证明这一定
理，设 c∈R 是 f(x)另一个根，d ≠ c,那么 0=f(c)=(d-c)g(d). 因为 d-c ≠ 0,所以
g(d)=0。
因
为 g(x)的次数是 n-1，由归纳法假说，g(x)在 R 内至多有 n-1 个不同的根。
因此 f(x)在 R
中至多有 n 个不同的根.
定理3：设 f(x)与 g(x)是 R[x]的两个多项式，它们的次数都不大于 n,
若是以 R 中 n-1 个或更多的不同的数来代替 x 时，每次所得 f(x)与 g(x)的值都
相等，那么 f(x)=g(x).
证明：令 u(x)=f(x)-g(x).
若 f(x)≠ g(x),换一名话说 u(x)≠ 0,那么 u(x)是一个次数不超过 n 的多项式，并且在 R 中有 n+1 个或更多的根。
这与定理3矛盾.
二．韦达定理：
设f(x)=a0x n+a1x n-1+…a n,其中a i∈,a0≠K,a0≠0,设fx=的复根为a1,a2,a3,……a n,则
2
11120
22120
120(1)(,,....,);(1)(,,....,);....
(1)(,,....,)n
n n n n n a a a a a a σσσ=-∂∂∂=-∂∂∂=-∂∂∂
命题：
给定R 上n 次方程，a0xn+a1xn-1+…a n =0 且a 0≠0,
若∂=a+bi 是方程的一个根，则共轭复数σ=a-bi 也是方程的根
【例题解析】
例 1 设 f （ x ） 是一元多项式，a, b , 是任意数，c 是非零数，试证：
1） f(x-c) =f(x) ⇔ 是常数；
2） f (a+b)=f(a)+f(b)⇔f(x)=kx(k 为常数）；
3） f(a+b)=f(a)f(b)⇔f(x)=1或1 。
证 上述命题的充分性显然，下证必要性。
1） 若 f （x ）不是常数，因 f （x ） 是一元多项式，可设 ∂(f (x))= n>0 ，并设 x1 ,x2….xn 是f(x)的n 个根，则
f(xi-c)=f(xi)=0(i=1,2,….n)
于是x1-c,x2-c,….,xn-c 也是 f (x )的 n 个根，再由韦达定律，有
(x1-c)+(x2-c)+....+(xn-c)=x1+x2+. (x)
从而c=0，与假设矛盾，即证f( x) 是常数。
2） 在f(a+b)=f(a)+f(b)中，令 b =0 ，可得f(0)=0，于是 x0=0 是f (x) 的一个 根，从而有f(x)=xg(x),再令 x=2t ，得
2tg(2t)=f(2t)=f(x+t)=f(x)+f(t)=2f(t)=2tg(t)⇔ g(2t)=g(t)
即证 g( x )为一个常数，设其为k ，代入f(x)=xg(x)可得 f( x )=kx 。
3） 若 f(x)=0，则结论成立。
否则由
f(2x)=f(x+x)=f(x)f(x)
知f (x )只能是常数，设其为k ，则
K=f(0)=f(0)+f(0)=f(0)f(0)=k^2
又因假设， k ≠0 ，所以 k=1 ，即证f (x)=1 。
例2 求一个三元一次方程，使其三个根分别为另一个三元一次方程的三个根的立方。
32333333333333333
3233323323++=++3++++33++=++-+++++3=-b -3abc+3c
(33)(0x ax a ab c
c a a x c y b b c b βγβγβγβγββγγβγ
ββγγββγγβγβγββγγβγβγ+∂∂∂-∂⨯∂∂∂=--+∂∂∂∂∂∂⨯∂∂∂∂=-++=-+++-解：设，，分别为的三个根
则（）（）（）+3（）3（）（）于是由韦达定理，所求三元一次方程为
y 2333c )0
abc y c ++=
例3 设a 1,a 2,a 3是方程5x 3-6x 2
+7x-3=0的三个根，计算 (a 12+a 1a 2+a 22)(a 22+a 2a 3+a 32)(a 12+a 1a 3+a 32
)
解 因为 σ1=a 1+a 2+a 3
σ2=a 1a 2+a 2a 3+a 1a 3
σ3=a 1a 2a 3
由根和系数的关系，可得
σ1=6/5, σ2=7/5, σ3=3/5
再将对称多项式化为初等多项式并计算，可得
(a12+a 1a 2+a 22)(a 22+a 2a 3+a 32)(a 12+a 1a 3+a 32)
=σ12σ12-σ13σ3-σ23=-1679/625。