高三数学模拟试题文新人教A版

D

C

B

A

中山一中 高考文数模拟试题

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z 的实部是1-，虚部是2，其中i 为虚数单位，则

z

1

在复平面对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2. 数列{}n a 是等差数列，n S 是它的前n 项和，若,30,1253==S S 那么7S =

A ．43

B ．54

C ．48

D ．56 3.“2a =

”是“直线l ：y x a =+和圆C :221x y +=相切”的（ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 4. 如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为 （ ） A ．

163 B ．8 C ．16 D ． 83

5．如图，在ABC ?中，已知DC BC 3=，则AD = （ ）

A. AC AB 3

1

32+ B. AC AB 3132-

C.

1233AB AC + D. 12

33

AB AC - 6.若2

1ln (),x f x x -?=?≥?

（0

B ．2

C.

1e D ． 2或1

e

7.已知0,0>>b a ，若不等式31

03m a b a b

--≤+恒成立，则m 的最大值等于（ ）

A.4

B.16

C.9

D.3

8.函数2

()f x x x b =++，函数()()x

g x e f x '=-的零点所在的区间是(,1)k k +(k Z ∈)，则k 的值等于 （ ）

A. 1-

B.0

C. 1

D. 0或1 9．有下列四种说法：

①命题“2000,0x R x x ?∈->使得”的否定是“2

,0x R x x ?∈-≤都有” ； ②“命题q p ∨为真”是“命题q p ∧为真”的必要不充分条件； ③“若b a bm am <<则,2

2

”的逆命题为真； ④若实数,[0,1]x y ∈,则满足: 12

2

<+y x 的概率为

4

π. 其中错误的个数是（ ）

0 B ．1 C ．2 D ．3

10．对于定义域和值域均为[0,1]的函数()f x ，定义1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，

1()(())n n f x f f x -=，n =1，2，3，…．满足()n f x x =的点

[0,1]x ∈称为f 的n 阶周期点．设

12,0,2

()122,1,

2

x x f x x x ?

≤≤??=??-<≤?? 则f 的3阶周期点的个数

是（ ）

A ．4

B ．6

C ．8

D ．10

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. （一）必做题（11～13题）

11．双曲线)0,0.(122

22>>=-b a b

y a x 的一条渐近线为

x y 3-=，双曲线的离心率为 ．

12.如图，该程序运行后输出的结果是 ． 13．已知数列{}n a 满足12a =，111n n n

a a a ++=

-（*

n ∈N ），则3a 的值为 ， 1232013a a a a ????的值

为 ．

（二）选做题（14～15题） 14．（几何证明选讲选做题）如图,△ABC 中,D 、E 分别在边AB 、AC 上,CD 平分∠ACB,DE∥BC,如果AC=10,BC=15,那么AE=___________.

15.（坐标系与参数方程选做题）若直线1224x t

y t =+??

=-?

（t 为参数）与直线023=+-ky x 垂

直，则常数k = .

三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本题满分12分）已知)sin ,(cos )),cos(),2

(sin(x x b x x a -=-+= ππ

，

函数b a x f

?=)(.

（1）求函数()f x 的最小正周期；

（2）在ABC ?中，已知A 为锐角，()1f A =,2,3

BC B π

==,求AC 边的长.

17．(本小题满分12分)

一车间生产A, B, C 三种样式的LED 节能灯,每种样式均有10W 和30W 两种型号,某天的产量如右表(单位:个):

按样式分层抽样的方法在这个月生产的灯泡中抽取100个，其中有A 样式灯泡25个. （1）

型号 A 样式 B 样式 C 样式 10W 2000 z 3000 30W

3000

4500

5000

A=1，S=0

S=S+1 A=A+2

A>15?

输出S

结束

开始

否 是

求z 的值；

（2）用分层抽样的方法在A 样式灯泡中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取2个灯泡，求至少有1个10W 的概率．

18.(本小题满分14分) 矩形ABCD 中，AD AB =2，E 是AD 中点，沿BE 将ABE ?折起到'A BE ?的位置，使

''AC A D =，F G 、分别是BE CD 、中点. （1）求证：F A '⊥CD ；

（2）设2=AB ，求四棱锥BCDE A -'的体积.

19. (本小题满分14分) 在平面直角坐标系上，设不等式

组)()3(20

0*∈???

??--≤≥>N n x n y y x 表示的平面区域为n D ，记n D 内的整点（横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为n a .

（1）求出a a a 123,,的值（不要求写过程）； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）令b n =

1

1+n n a a （n ∈N *

），求b 1+b 2+…+b n .

20．（本小题满分14分）已知函数()32

1232

a f x x x x =-

+-()a ∈R ． （1）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；

（2）若对于任意[)1,x ∈+∞都有()2(1)f x a '<-成立，求实数a 的取值范围； （3）若过点10,3?

?- ???

可作函数()y f x =图象的三条不同切线，求实数a 的取值范围．

21．（本小题满分14分） 已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点为F (2,0)-,离心率

e=

2

2

,M 、N 是椭圆上的的动点。 （Ⅰ）求椭圆标准方程；

（Ⅱ）设动点P 满足：2OP OM ON =+，直线OM 与ON 的斜率之积为1

2

-

，问：是否存在定点12,F F ，使得12PF PF +为定值？，若存在，求出12,F F 的坐标，若不存在，

说明理由。

（Ⅲ）若M 在第一象限，且点,M N 关于原点对称，点M 在x 轴上的射影为A ，连接NA 并延长交椭圆

于点B ，证明：MN MB ⊥；

中山一中 高考文数模拟试题答题卷

班级 姓名 登分号 一、选择题 二、填空题

11. 12. 13. ; 14. 15.

三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分） 17．(本小题满分12分) 18.(本小题满分14分) 19. (本小题满分14分)

20．（本小题满分14分）已知函数()32

1232

a f x x x x =-

+-()a ∈R ． （1）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；

（2）若对于任意[)1,x ∈+∞都有()2(1)f x a '<-成立，求实数a 的取值范围； （3）若过点10,3?

?- ???

可作函数()y f x =图象的三条不同切线，求实数a 的取值范围．

21．（本小题满分14分） 已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点为

F (,离心率

e=

2

,M 、N 是椭圆上的的动点。 （Ⅰ）求椭圆标准方程；

（Ⅱ）设动点P 满足：2OP OM ON =+，直线OM 与ON 的斜率之积为1

2

-

，问：是否存在定点12,F F ，使得12PF PF +为定值？，若存在，求出12,F F 的坐标，若不存在，说明理由。

（Ⅲ）若M 在第一象限，且点,M N 关于原点对称，点M 在x 轴上的射影为A ，连接NA 并延长交椭圆于点B ，证明：MN MB ⊥；

中山一中 高考文数模拟试题参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.

1. C

2. D

3. A

4. B

5. C 6．C 7．B 8．C 9. B 10．C

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. 11． 2; 12．8 ; 13. 1

,2

-

(2分) 2（3分） ; 14.4 ; 15. 6 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本题满分12分）已知)sin ,(cos )),cos(),2

(sin(x x b x x a -=-+= ππ

，

函数b a x f

?=)(.

（1）求函数()f x 的最小正周期；

（2）在ABC ?中，已知A 为锐角，()1f A =,2,3

BC B π

==,求AC 边的长.

16 解： (1) 由题设知()sin(

)cos sin cos()

2

f x x x x x π

π=+--（2分）

21()cos sin cos )42f x x x x x π∴=+=

++……4分 T π∴= …6分

(2)

2()cos sin cos 1f A A A A =+= 22sin cos 1cos sin A A A A ∴=-=

sin cos A A ∴= 4A π

∴=

……………………8分

6

AC =……………………………12分

17．(本小题满分12分)

一车间生产A, B, C 三种样式的LED 节能灯,每种样式均有10W 和30W 两种型号,某天的产量如右表(单位:个):

按样式分层抽样的方法在这个月生产的灯泡中抽取100个，其中有A 样式灯泡25个. （1）求z 的值；

（2）用分层抽样的方法在A 样式灯泡中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取2个灯泡，求至少有1个10W 的概率． 17解: (1).设该厂本月生产的B 样式的灯泡为n 个,在C 样式的灯泡中抽取x 个，由题意

得,

,8000

500025x

=, 所以x=40. -----------2分 则100－40－25＝35， 所以，

,35

500025n

=n=7000， 故z ＝2500 ------6分 (2) 设所抽样本中有m 个10W 的灯泡,

型号 A 样式 B 样式

C 样式

10W

2000

z 3000

因为用分层抽样的方法在A 样式灯泡中抽取一个容量为5的样本, 所以

,5

50002000m

=,解得m=2 -----------8分 也就是抽取了2个10W 的灯泡,3个30W 的灯泡,

分别记作S 1,S 2;B 1,B 2,B 3,则从中任取2个的所有基本事件为

(S 1, B 1), (S 1, B 2) , (S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2 ,B 2), (S 2 ,B 3),( (S 1, S 2),(B 1 ,B 2), (B 2 ,B 3) ,(B 1 ,B 3)

共10个, （10分）

其中至少有1个10W 的灯泡的基本事件有7个基本事件: （11分）

(S 1, B 1), (S 1, B 2) , (S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2 ,B 2), (S 2 ,B 3),( (S 1, S 2),所以从中任取2个,

至少有1个10W 的灯泡的概率为

7

10

. -----------12分 18.(本小题满分14分) 矩形ABCD 中，AD AB =2，E 是AD 中点，沿BE 将ABE ?折起到'A BE ?的位置，

使''

AC A D =，F G 、分别是BE CD 、中点. （1）求证：F A '⊥CD ；

（2）设2=AB ，求四棱锥BCDE A -'的体积. 18（1）证明：矩形ABCD 中，∵F G 、分别是BE 、CD 中点

∴FG BC 1分 ∴FG CD ⊥ 2 分

∵''

AC A D = 3 分

∴'AG CD ⊥

4 分

∴CD ⊥平面'

AGF

6 分 又'A F ?平面'

AGF

7分 ∴'CD A F

⊥8 分

（2）∵2=AB

∴4BC =，2ED =

∴在等腰直角三角形A BE '中，2A F '=且A F BE

'⊥ 9分 ∵'

CD A F ⊥且BE 、CD 不平行

∴A F '⊥平面BCDE

10分

∴几何体'A BCDE -的体积2222

4

223131'=?+?

?=?=-BCDE BCDE A S F A V 四边形 14分

19. (本小题满分14分) 在平面直角坐标系上，设不等式组)()3(20

0*∈??

?

??--≤≥>N n x n y y x 表示

的平面区域为n D ，记n D 内的整点（横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为n a . （1）求出a a a 123,,的值（不要求写过程）；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）令b n =

1

1+n n a a （n ∈N *

），求b 1+b 2+…+b n .

19. 解：（1）;21,15,9321===a a a ………………3分 （2）由0,0,2(3)x y n x y >≥--≥ 得 03x <≤ …………4分 所以平面区域为n D 内的整点为点（3,0）与在直线12x x ==和上，…………5分 直线)3(2--=x n y 与直线12x x ==和交点纵坐标分别为n y n y 2421==和……6分

n D 内在直线12x x ==和上的整点个数分别为4n+1和2n+1,

(41)(21)163n a n n n =++++=+ …………………9分

（3）∵b n =

11111

()6636(1)3

n n a a n n +=-+++ ……………10分

∴b 1+b 2+…+b n

111111111[()()+()++()]66136236236336336436n 36(1)3

n =-+--???-?+?+?+?+?+?++++111()66136(1)3n =-?+++27(23)

n n =+ ………………………14分 20．（本小题满分14分）已知函数()32

1232

a f x x x x =-

+-()a ∈R ． （1）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；

（2）若对于任意[)1,x ∈+∞都有()2(1)f x a '<-成立，求实数a 的取值范围； （3）若过点10,3?

?- ???

可作函数()y f x =图象的三条不同切线，求实数a 的取值范围． 20．解：（1）当3a =时，()32

13232

f x x x x =-

+-，得()2'32f x x x =-+-．…1分 因为()()()2

'3212f x x x x x =-+-=---， 所以当12x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当1x <或2x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减．

所以函数()f x 的单调递增区间为()1,2，单调递减区间为(),1-∞和()2,+∞．………4分

（2）方法1：由()32

1232

a f x x x x =-

+-，得()2'2f x x ax =-+-， 因为对于任意[)1,x ∈+∞都有'()2(1)f x a <-成立， 即对于任意[)1,x ∈+∞都有2

22(1)x ax a -+-<-成立，

即对于任意[)1,x ∈+∞都有2

20x ax a -+>成立，…………6分

令()22h x x ax a =-+，

要使对任意[)1,x ∈+∞都有()0h x >成立，

必须满足0?< 或 ()0,1,210.

a

h ?≥???≤???>?………………………………………………8分

即2

80a a -< 或 280,1,210.

a a a a ?-≥??≤??+>??………………………………9分

所以实数a 的取值范围为()1,8-．………………………10分 方法2：由()32

1232

a f x x x x =-

+-，得()2'2f x x ax =-+-， 因为对于任意[)1,x ∈+∞都有'()2(1)f x a <-成立，

所以问题转化为，对于任意[)1,x ∈+∞都有[]max '()2(1)f x a <-．………6分

因为()2

2224a a f x x ?

?'=--+- ??

?，其图象开口向下，对称轴为2a x =．

①当

12

a

<时，即2a <时，()'f x 在[)1,+∞上单调递减， 所以()()max ''13f x f a ==-，

由()321a a -<-，得1a >-，此时12a -<<．………………7分

②当

12a ≥时，即2a ≥时，()'f x 在1,2a ??????

上单调递增，在,2a ??

+∞ ???上单调递减，

所以()2

max

''224

a a f x f ??==- ???，

由()2

2214

a a -<-，得08a <<，此时28a ≤<．……8分 综上①②可得，实数a 的取值范围为()1,8-．……………10分 （3）设点3

21,23

2a P t t t t ??

-+

- ??

?

是函数()y f x =图象上的切点， 则过点P 的切线的斜率为()2'2k f t t at ==-+-， 所以过点P 的切线方程为()()3

2

21

223

2

a y t t t t at x t +-+=-+--．………11分 因为点10,3??- ???

在切线上，

所以()()32

211220332a t t t t at t -+-

+=-+--，

即32211

0323

t at -+=．……………12分 若过点10,3?

?- ???

可作函数()y f x =图象的三条不同切线，

则方程32211

0323t at -+=有三个不同的实数解．……………13分 令()32211

323

g t t at =-+，则函数()y g t =与t 轴有三个不同的交点．

令()2

20g t t at '=-=，解得0t =或2

a t =．

因为()103g =

，3112243a g a ??

=-

+ ???

， 所以必须31102243a g a ??=-+<

?

??

，即2a >． 所以实数a 的取值范围为()2,+∞．……………14分

21．（本小题满分14分） 已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点为F (,离心率

,M 、N 是椭圆上的的动点。

（Ⅰ）求椭圆标准方程；

（Ⅱ）设动点P 满足：2OP OM ON =+，直线OM 与ON 的斜率之积为1

2

-

，问：是否存在定点12,F F ，使得12PF PF +为定值？，若存在，求出12,F F 的坐标，若不存在，说明理由。

（Ⅲ）若M 在第一象限，且点,M N 关于原点对称，点M 在x 轴上的射影为A ，连接NA

并延长交椭圆于点B ，证明：MN MB ⊥；

21.解：

（Ⅰ）由题设可知：2,c a c c a

?=?

==?=

??2分

故2

2

2

2b a c =-=……………………………3分

故椭圆的标准方程为：22

142

x y +=……………………………4分 （Ⅱ）设1122(,),(,),(,)p P P x y M x y N x y ，由2OP OM ON =+可得：

12

12

2.............2P P x x x y y y =+??

=+?①……………………………5分 由直线OM 与ON 的斜率之积为1

2

-

可得： 12121

2

y y x x =- ，即121220............x x y y +=②……………………………6分 由①②可得：()()22

2

2

2

2

2

2

121211222222(2)4(2)P P x y x x y y x y x y +=+++=+++

M 、N 是椭圆上，故2222

112224,24x y x y +=+=

故22220P

P

x y +=，即

2212010

P P

x y +=……………..8分

由椭圆定义可知存在两个定点12(F F ，

使得动点P 到两定点距离和为

定值……………………………….9分； （Ⅲ）设1122(,),(,)M x y B x y

由题设可知1122121110,0,0,0,,(,0),(,)x y x y x x A x N x y >>>>≠--……10分

由题设可知AB l 斜率存在且满足121121

2NA NB y y y

k k x x x +=∴

=+………….③ 121

121

1 1.........MN MB y y y k k x x x -?+=

?+-④…………………12分 将③代入④可得：

22

222121221122

212121

2()(2)(2)

11MN MB y y y y x y x y k k x x x x x x +-+-+?+=?+=+--……⑤……13分 点,M B 在椭圆22

142

x y +=，故 所以101MN MB MN MB k k k k MN MB ?+=∴?=-∴⊥…………14分