高中数学函数的性质.doc

高中数学函数的性质

高中数学函数性质：单调性

一、单调性的证明方法：定义法及导数法

1、定义法：

利用定义证明函数单调性的一般步骤是：

①任取x1、x2 D，且x1

②作差f(x1)-f(x2)，并适当变形( 分解因式、配方成同号项的和等);

③依据差式的符号确定其增减性。

2、导数法：

设函数y=f(x)在某区间D内可导。如果f (x) 0，则f(x)在区间D内为增函数;如果f (x) 0，则f(x)在区间D内为减函数。

补充

a.若使得f (x)=0的x的值只有有限个，则如果f (x) 0，则f(x)在区间D内为增函数;如果f (x) 0，则f(x)在区间D内为减函数。

b.单调性的判断方法：定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等。

二、单调性的有关结论

1、若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)+g(x)仍为增(减)函数。

2、互为反函数的两个函数有相同的单调性。

3、y=f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性

相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数;若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数，简称同增异减。

4、奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同;偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反。

高中数学函数性质：奇偶性

8、若函数y=f(x)满足f(x+a)={1-f(x)}/{1+f(x)}(x R，a 0),则f(x)为周期函数且4a是它的一个周期。

9、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b a)都对称,则f(x)为周期函数且2(b-a)是它的一个周期。

10、函数y=f(x)x R的图象关于两点A(a,y)、B(b,y),a b都对称，则函数是以2(b-a)为周期的周期函数;

11、函数y=f(x)(x R)的图象关于A(a,y)和直线x=b(a b)都对称，则函数f(x) 是以4(b-a)为周期的周期函数;

12、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2a的绝对值是它的一个周期。

13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4a的绝对值是它的一个周期。

14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a 0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。

15、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x R，T 0),则f(T/2)=0。