2020年黑龙江省大庆一中高考数学三模试卷1 (含答案解析)

2020年黑龙江省大庆一中高考数学三模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z=i(1+i)，则|z|等于()A. 0B. 1C. √2D. 22.已知集合A={x|−3<x<3}，B={x∈N∗|x2−2x−8<0}，则A∩B=()A. {1,2}B. {0,1，2}C. {1,2，3}D. {−1,0，1，2，3}3.曲线y=x2x−1在点(1,1)处的切线方程为()A. x−y−2=0B. x+y−2=0C. x+4y−5=0D. x−4y−5=04.从甲、乙等5名学生中随机选出2名学生，则甲被选中的概率为()．A. 15B. 25C. 825D. 9255.函数f(x)=cosx⋅ln(√1+x2−x)(−2≤x≤2)的图象大致为()A. B.C. D.6.过双曲线x2−y2b2=1(b>0)的右焦点F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为E，O为坐标原点，若∠OFE=2∠EOF，则b=()A. 12B. √3 C. 2 D. √337.若函数y=f(x)与函数y=log2x互为反函数，则f(1+log√23)=()A. 9B. 11C. 16D. 188.如果直线m//平面α，直线n⊂平面α，则下列说法正确的为()A. 有且只有一个平面β，使得m⊥β，且n⊂βB. 有无数个平面β，使得m⊥β，且n⊂βC. 不存在平面β，使得m ⊥β，且n ⊂βD. 至多有一个平面β，使得m ⊥β，且n ⊂β9. (sin22.5°+cos22.5°)2的值为( )A. 1−√22B. 1+√22C. √2−1D. 210. “勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD 中，△ABC 满足“勾3股4弦5”，且AB =3，E 为AD 上一点，BE ⊥AC.若BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的值为( )A. 107B. 98C. 2516D. 291811. 在△ABC 中，若bsinA =acosB ，则角B 的值为( )A. 30°B. 60°C. 90°D. 45°12. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，下顶点为A ，直线AF 2与椭圆C 的另一个交点为B.若△BF 1A 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率为( )A. 13B. √33C. 12D. √22二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知实数x ，y 满足约束条件{x −y +3≥0,x +2y ≥0,x ≤2,则z =3x +y 的最小值为________． 14. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 15=300，则a 1，a 2，a 3，…，a 15这15个数的中位数为______．15. 设函数f(x)=sinx −cosx +x +1，求函数f(x)的单调区间与极值． 16. 如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1=a ，∠BAB 1=∠B 1A 1C 1=30°，则AB 与A 1C 1所成的角为____，AA 1与B 1C 所成的角为____. 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1−2a n =2n (n ∈N ∗)，数列{b n }满足b n =an2n .求数列{a n }的前n项和S n ．18.某校体育教研组研发了一项新的课外活动项目，为了解该项目受欢迎程度，在某班男女中各随机抽取20名学生进行调研，统计得到如下列联表：喜欢不喜欢总计女生15男生1220合计附：参考公式及数据P(K2≥k)0.150.100.050.025k 2.0722.7063.8415.024(1)在喜欢这项课外活动项目的学生中任选1人，求选到男生的概率；(2)根据题目要求，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“喜欢该活动项目与性别有关”？19.四棱锥P−ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB//CD，AB⊥AD，AB=1CD=1，PA⊥平面ABCD，PA=AD=√3．2(1)求证：PD⊥AB；(2)求四棱锥P−ABCD的体积．20. 已知边长为16√3的等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线C ：y 2=2px(p >0)上．(1)求抛物线C 的方程；(2)直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，交抛物线C 的准线l′于点P ，交x 轴于点M ，若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.证明：直线l 过定点，并求出定点坐标．21. 已知函数(1)当a ≥0时，求f(x)的单调区间；(2)若存在a ∈(−∞,0]，使得f(x)≥bln(x +1)在x ∈[0,+∞)上恒成立，求实数b 的取值范围．22. 在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为{x =3+5cosθy =−4+5sinθ(θ为参数)，以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)过点P(2,0)，倾斜角为π4的直线l与曲线C相交于M，N两点，求1|PM|+1|PN|的值．23.已知函数f(x)=|xa +1|，g(x)=|x−1a|．(1)当a=1时，求不等式f(x)−2g(x)<1的解集；(2)若a>1，b>1，证明：f(−1b )>g(1b)．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵复数z =i(1+i)=−1+i ， ∴|z|=√(−1)2+12=√2． 故选：C ．化简复数z ，求出它的模长即可．本题考查了复数的化简与模长的计算问题，是基础题目．2.答案：A解析：解：∵集合A ={x|−3<x <3}，B ={x ∈N ∗|x 2−2x −8<0}={x ∈N ∗|−2<x <4}={1,2，3}， ∴A ∩B ={1,2}， 故选：A ．求出集合B ，利用交集定义能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：B解析： 【分析】本题主要考查利用导数的几何性质求曲线在某点处的切线方程，属于基础题． 【解答】解：由曲线y =x2x−1，得y ′=−1(2x−1)2， 则斜率为k =y ′|x=1=−1，∴在点(1,1)处的切线方程为y −1=−(x −1)， 即x +y −2=0． 故选B ．4.答案：B解析：【分析】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数n=C52=10，甲被选中包含的基本事件的个数m=C11C41=4，∴甲被选中的概率p=mn =410=25．故选B．5.答案：B解析：解：因为f(−x)=cos(−x)⋅ln(2)=−f(x)，所以f(x)是奇函数，且f(x)=cosx⋅√1+x2+x，所以当0<x<π2时，f(x)<0，当π2<x<2时，f(x)>0，结合选项可知，选项B符合题意．故选：B．由函数的奇偶性及函数的取值，结合排除法得解．本题考查由函数解析式确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．6.答案：D解析：【分析】本题考查了双曲线的性质及几何意义．利用双曲线渐近线与其实轴夹角与离心率的关系得 c=√3，再利用双曲线中a，b，c的关系计算得结论．【解答】解：在RtΔEFO中，因为∠OFE=2∠EOF，所以∠EOF=30°，即双曲线渐近线与其实轴夹角为30°，所以此双曲线的离心率e=1cos30°=√3，即 c=√3．因此43=1+b2，解得b=√33．故选D．7.答案：D解析：解：因为函数y=f(x)与函数y=log2x互为反函数，所以f(x)=2x，所以f(1+log√23)=21+log√23=2×2log√23=2×2log29=2×9=18，故选：D．首先求出反函数的关系式，进一步利用对数的运算的应用求出结果．本题考查的知识要点：反函数，对数的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．8.答案：D解析：解：若存在m⊥β，且n⊂β，则m⊥n，∴m⊥n时，有一个平面β，使得m⊥β，且n⊂β，故选：D．若存在m ⊥β，且n ⊂β，则m ⊥n ，即可得出结论．本题考查线面垂直的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．9.答案：B解析： 【分析】本题主要考查了同角三角函数关系、特殊三角函数的值和二倍角正弦公式等知识，属于基础题． 用完全平方公式将原式展开，结合二倍角的正弦公式和同角三角函数的平方关系，即可得到本题的答案． 【解答】解：(sin22.5°+cos22.5°)2=sin 222.5°+2sin22.5°cos22.5°+cos 222.5°， ∵2sin22.5°cos22.5°=sin45°=√22， sin 222.5°+cos 222.5°=1， ∴(sin22.5°+cos22.5°)2=1+√22， 故选B10.答案：C解析：解：由题意建立如图所示的直角坐标系因为AB =3，BC =4，则A(0,3)，B(0,0)，C(4,0)． 设E(a,3)，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−3)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,3)， 因为BE ⊥AC ，所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4a −9=0，解得a =94，由BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得(94,3)=λ(0,3)+μ(4,0)，所以{4μ=94,3λ=3.解得{λ=1,μ=916所以λ+μ=2516． 故选：C ．由题意建立如图所示的直角坐标系，设E(a,3)，根据BE ⊥AC ，得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4a −9=0，解得a =94，再根据BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得到{4μ=943λ=3，解之即得解． 本题主要考查向量的坐标表示，考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．11.答案：D解析：解：在△ABC 中，bsinA =acosB ，由正弦定理可得：sinBsinA =sinAcosB ，∵sinA ≠0． 又B ∈(0°,180°)∴sinB =cosB ，所以B =45°． 故选：D ．直接利用正弦定理化简求解即可． 本题考查正弦定理，是基础题．12.答案：B解析：解：如图，因为△BF 1A 为等腰三角形，且|AF 1|=|AF 2|=a ， 所以|AB|=|BF 1|，又|AB|+|BF 1|+|AF 1|=4a ，所以|AB|=3a 2，所以|AF 2|=2|F 2B|．过点B 作BM ⊥x 轴，垂足为M ，则△AOF 2∽△BMF 2，由A(0,−b)，F 2(c,0)， 得B(3c 2,b2)．因为点B 在椭圆C 上， 所以9c 24a 2+b 24b 2=1，所以c 2a 2=13， 即离心率e =ca =√33，故选：B ．画出图形，过点B 作BM ⊥x 轴，垂足为M ，利用△AOF 2∽△BMF 2，求出B 的坐标，点B 在椭圆C 上，转化求解椭圆的离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，是中档题．13.答案：−5解析：解：由实数x ，y 满足约束条件{x −y +3≥0x +2y ≥0x ≤2作出可行域如图， 联立{x −y +3=0x +2y =0，解得A(−2,1)，化目标函数z =3x +y 为y =−3x +z ， 由图可知，当直线y =−3x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为3×(−2)+1=−5．故答案为：−5．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.答案：20解析：解：由等差数列的单调性可知a 1，a 2，a 3，…，a 15的中位数为a 8． 因为S 15=15(a 1+a 15)2=15a 8=300，所以，a 8=20，即所求中位数为20， 故答案为：20．由题意利用中位数的定义、等差数列的性质，得出结论． 本题主要考查中位数的定义、等差数列的性质，属于基础题．15.答案：解：由已知得f′(x)=1+√2sin(x +π4)，由三角函数性质得f′(x)为x =−π+2kπ，T =2π的周期函数，令f′(x)=0，1+√2sin(x+π4)=0，解得x=−π2+2kπ或x=−π2+2kπ，k∈Z由上表知，f(x)的单调递减区间为(−π+2kπ,−π2+2kπ)，单调递增区间为(−π2+2kπ,π+2kπ)，k∈Z．极小值为f(−π2+2kπ)=−π2+2kπ，极大值为f(π+2kπ)=π+2kπ+2．解析：由已知得f′(x)=1+√2sin(x+π4)，由此利用三角函数性质和导数性质能求出函数f(x)的单调区间与极值．本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的极值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质和分类讨论思想的合理运用．16.答案：30°；45°．解析：【分析】本题考查了异面直线所成的角，找出异面直线所成的角是解题的关键，属于基础题．平移直线，将异面直线平移到同一个三角形里，即可得出答案．【解答】解：因为AB//A1B1，所以∠B1A1C1是AB与A1C1所成的角，所以AB与A1C1所成的角为30°，因为AA1//BB1，所以∠BB1C是AA1与B1C所成的角，由已知条件可以得出BB1=a，AB1=A1C1=2a，AB=√3a，所以B1C1=BC=a，所以四边形BB1C1C是正方形，所以∠BB1C=45°．故答案为30°；45°．17.答案：解：由b n=a n2n ，得：b n+1=a n+12n+1，即b n+1−b n=a n+12n+1−a n2n=12，所以数列{b n}是等差数列，首项b1=1，公差为12．所以b n=1+12(n−1)=n+12，所以a n=2n b n=(n+1)×2n−1．所以S n=a1+a2+⋯+a n=2×1+3×2+⋯+(n+1)×2n−1①所以2S n=2×2+3+22+⋯+(n+1)×2n②①−②得：−S n=2×1+2+22+⋯+22−1−(n+1)×2n=2n−(n+1)×2n=−2n n.即S n=2n n．解析：由b n=a n2n ，推出数列{b n}是等差数列，首项b1=1，公差为12.求出通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力．18.答案：解：(1)依题意知，喜欢这项活动的男生有8人，女生有15人，从中选一人有23种选法，其中选到男生有8种，所求概率为823．(2)根据题意，填写列联表如下：将a=15，b=5，c=8，d=12代入K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)中，得K2=40×(15×12−8×5)220×20×23×17≈5.013>3.841，所以，有95%的把握认为“喜欢该活动项目与性别有关”．解析：本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题目． (1)根据古典概型的概率，求出对应的概率；(2)填写列联表，计算K 2的值，对照数表得出概率结论．19.答案：解：(1)因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，又因为AB ⊥AD ，AD ∩PA =A ，，所以AB ⊥平面PAD ． 又PD ⊂平面PAD ， 所以AB ⊥PD ．(2)S 梯形ABCD =12(AB +CD)⋅AD =3√32， 因为PA ⊥平面ABCD ，所以V 四棱锥P−ABCD =13×S 梯形ABCD ×PA =13×3√32×√3=32．解析：本题考查线线垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．(1)推导出PA ⊥AB ，AB ⊥AD ，从而AB ⊥平面PAD.由此能证明AB ⊥PD ． (2)推导出S 梯形ABCD =12(AB +CD)⋅AD =3√32，PA ⊥平面ABCD ，由此能求出四棱锥P −ABCD 的体积．20.答案：(1)解：因为该抛物线关于x 轴对称，所以可知点(24,8√3)在抛物线C 上，所以(8√3)2=2p ×24，解得p =4． 所以抛物线C 的方程为y 2=8x ．(2)证明：由(1)得抛物线C 的准线的方程为x =−2． 设直线l 的方程为x =my +a(m ≠0)，P(−2,−2+a m)，M(a,0)．由得{y 2=8x,x =my +a,得y 2−8my −8a =0，其中△=64m 2+32a >0．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则y 1+y 2=8m ，y 1y 2=−8a ，于是PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+2)(a −x 2)−y 2(y 1+a+2m )+(x 2+2)(a −x 1)−y 1(y 1+a+2m ) =(my 1+a +2)(−my 2)−y 2(y 1+a +2m )+(my 2+a +2)(−my 1)−y 1(y 2+a +2m)=(−2m 2−2)y 1y 2−(a +2)(m +1m )(y 1+y 2) =(−2m 2−2)(−8a)−8m(a +2)(m +1m) =8(m 2+1)(a −2)．由PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得a =2． 所以直线l 的方程为x =my +2，因此直线l 过定点(2,0)．解析：(1)利用点(24,8√3)在抛物线C 上，求出p ，即可得到抛物线C 的方程． (2)设直线l 的方程为x =my +a(m ≠0)，P(−2,−2+a m)，M(a,0).联立直线与抛物线方程，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，利用韦达定理以及向量的数量积求解a ，得到直线系方程即可推出结果．本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.答案：解：(1)f(x)的定义域是，f ′(x)=−e −x (x −1)(ax −a −2)， (i)a =0时，f ′(x)=2e −x (x −1)， 令f ′(x)>0，解得：x >1， 令f ′(x)<0，解得：x <1，故f(x)在(−∞,1)递减，在(1,+∞)递增；(ii)a >0时，1+2a >1，令f ′(x)>0，解得：1<x <1+2a ， 令f ′(x)<0，解得：x <1或x >1+2a ，故f(x)在(−∞,1)递减，在(1,1+2a )递增，在(1+2a ,+∞)递减； (2)f(x)≥bln(x +1)在x ∈[0,+∞)上恒成立， 当x =0时，f(0)≥bln(0+1)， 故a ≥0成立，又a ∈(−∞,0]，故a =0；(i)当b ≥0时，∀x ∈(0,+∞)，bln(x +1)≥0，xe −x >0， 此时，bln(x +1)=2xe −x >0，不合题意，(ii)当b <0时，令ℎ(x)=bln(x +1)+2xe −x ，x ∈[0,+∞)， 则ℎ′(x)=be x +2−2x 2(x+1)e x，其中(x +1)e x >0，∀x ∈[0,+∞)，令p(x)=be x +2−2x 2，x ∈[0,+∞)， ∵b <0，∴p(x)在[0,+∞)递减，①当b ≤−2时，p(x)≤p(0)=b +2≤0， 故对任意x ∈[0,+∞)，ℎ′(x)≤0， 则ℎ(x)在[0,+∞)递减，故对任意x ∈[0,+∞)，ℎ(x)≤ℎ(0)=0，即不等式bln(x +1)+2xe −x ≤0在[0,+∞)上恒成立，满足题意；②当−2<b <0时，由p(0)=b +2>0，p(1)=be <0及p(x)在[0,+∞)递减， 故存在唯一x 0∈(0,1)，使得p(x 0)=0且x ∈(0,x 0)时，p(x 0)>0， 从而x ∈(0,x 0)时，ℎ′(x)>0，故ℎ(x)在区间(0,x 0)递增， 则x ∈(0,x 0)时，ℎ(x)>ℎ(0)=0， 即bln(x +1)+2xe −x >0，不符合题意， 综上，b ≤−2．即b 的取值范围为(−∞,−2].解析：本题考查了函数的单调性，存在性和恒成立问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是难题．(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；(2)利用函数的存在性和恒成立，通过讨论b 的范围结合函数的单调性确定b 的范围即可． 22.答案：解：(1)曲线C 的参数方程为{x =3+5cosθy =−4+5sinθ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为(x −3)2+(y +4)2=25，转换为极坐标方程为ρ2+8ρsinθ−6ρcosθ=0，化简为ρ=6cosθ−8sinθ． (2)过点P(2,0)，倾斜角为π4的直线l ，整理得参数方程为{x =2+√22t y =√22t(t 为参数)，把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得：t 2+3√2t −8=0， 所以t 1+t 2=−3√2，t 1t 2=−8， 所以1|PM|+1|PN|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=√18+328=5√28．解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23.答案：(1)解：当a =1时，f(x)−2g(x)=|x +1|−2|x −1|={−x +3,x ≥1,3x −1,−1<x <1,x −3,x ≤−1.所以当x ≥1时，−x +3<1，得x >2；当−1<x <1时，3x −1<1，得x <23，所以−1<x <23； 当x ≤−1时，x −3<1恒成立．故不等式f(x)−2g(x)<1的解集为{x|x <23或x >2}．(2)证明：当a >1，b >1时，要证f(−1b )>g(1b ).只需证|−1ab +1|>|1b −1a |． 即证|ab −1|>|a −b|．因为|ab −1|2−|a −b|2=a 2b 2+1−a 2−b 2=(a 2−1)(b 2−1)>0， 所以|ab −1|>|a −b|，因此原不等式成立． 即a >1，b >1时，f(−1b )>g(1b )．解析：(1)当a =1时，化简f(x)−2g(x)=|x +1|−2|x −1|={−x +3,x ≥1,3x −1,−1<x <1,x −3,x ≤−1.分段求解不等式的解集即可．(2)利用分析法的证明步骤推出结果即可．本题考查不等式的证明，分析法的应用，绝对值不等式的解法，是中档题．。