放射性计数的统计误差及处理
核衰变的统计规律与放射性测量的实验数据处理 2
核衰变的统计规律与放射性测量的实验数据处理一、实验目的1.验证核衰变所服从的统计规律；2.熟悉放射性测量误差的表示方法；3.了解测量时间对准确度的影响；4.学会根据准确度的要求选择测量时间。
二、实验原理1.核衰变所服从的统计规律在对长寿命放射性物质活度进行多次重复测量时，每次测量结果都围绕某一平均值上下涨落，并且这种涨落服从高斯分布：P(n)=nn n en2)(221--π高斯分布说明，与平均值的偏差（n -n ）对于n 轴而言具有对称性，而绝对值大的偏差出现的几率小。
由于放射性的衰变并不是均匀地进行，所以在相同的时间间隔内作重复的测量时测量的放射性粒子数并不严格的保持一致，而是在某个平均值附近起伏。
通常我们都把平均值n 看作是测量结果的几率值，并用它来表示放射性活度，而把起伏带来的误差叫做测量的统计误差，习惯上用标准误差n ±来描述。
实验室里都将一次测量的结果当作平均值，并做类似的处理而记为N N ±，其中N 表示放射性本身，N ±则表示其测量误差。
2.放射性测量误差的表示方法 计数的相对标准误差为NN N 1±=±它能说明测量的准确度。
当N 大时，相对标准误差小，准确度高，反之则相对误差大，准确度低。
为了得到足够的计数N 以保证准确度，就需要延长放射性的测量时间t 或增加相同测量的次数m 。
根据简单的计算可知，从时间t 内测得的结果中算出的计数率的标准误差为t ntN t N ±=±=±2 其中N 为t 时间内测得的脉冲数目，n 为单位时间内的脉冲数。
计数率的相对标准误差E 用下式表示:ntn tnE 1±=±= 在每次测量的数据里，实际上都包含本底计数，本底计数是由于宇宙射线和测量装置周围有微量放射性物质沾污等因素造成的，也服从统计规律。
所以，本底的标准误差也要加到样品的测量结果里去，这就增加了测量的标准误差。
第四章 放射性测量中的统计误差
第四章放射性测量中的统计误差核事件发生的数目，例如，在一定时间内放射性原子核的衰变数，带电粒子在介质中损耗能量所产生的离子对数，都具有随机性，亦即统计涨落。
在粒子探测器中测量的粒子计数，也有统计涨落。
研究这些现象，对于了解核事件随机性方面的知识，对于合理地安排放射性实验，正确地处理测量数据和分析测量数据及指标，是必要的。
本章着重讨论放射性测量中的一些统计涨落计算问题。
§1 核衰变数和计数的分布问题的提出：在任何一次放射性强度的测量中，即使所有的测量条件都保持不变，如源的活度，源的位置，仪器的各项指标等。
若多次记录探测器在相同的时间间隔中所测到的粒子数目，就会发现，每次测到的计数并不完全相同，而是围绕某个平均数往上，下涨落。
我们把这种现象叫做放射性计数的统计涨落。
这种统计涨落，不是由于测量条件的变化引起的，而是由于原子核衰变的随机性引起的，它是一种客观现象。
既然是客观现象，这种涨落本身有什么规律性呢？（规律：事物之间的本质联系），这是本节要讨论的问题。
一、二项分布①二项分布假定有许多相同的客体，其数目为N，它们中的每一个都可以随机地归为A类或B类。
设归为A类的概率为p，归为B类的概率为p+q=1。
现考虑试验后归为A类的数目为ξ，可以证明ξ为随机变量。
ξ服从二项分布。
个客体中发现有n个属考虑ξ取值为n的概率。
设从N于A类的概率为P（n）。
N个客体是不可区分的，对于n个客体归为A 类的概率为p n ，还有（N 0-n ）个客体归为B 类的概率为从N 0个中取出n 的组合数为n N q -0)!(!!000n N n N C n N -=故从N 0个客体中发现有n 个属于A 类的概率为nN n n N q p C n P -=00)( 这是二项分布的概率密度。
②二项分布的期望值和方差对于一种分布，通常用两个特征量—数学期望和方差来描述。
数学期望在物理学中也叫平均值，它表示随机变数取值的平均值。
核衰变的统计规律实验
核衰变的统计规律实验薛佳柳083822一、实验目的1．了解并验证原子核衰变及放射性计数的统计性。
2．了解统计误差的意义，掌握计算统计误差的方法。
3.学习检验测量数据的分布类型的方法。
二、实验原理1. 测量NaI(Tl)闪烁晶体探测器的计数率随工作变化的坪曲线，选定合适的工作电压。
2. 在相同条件下，对某放射源进行重复测量，画出放射性计数的频率直方图并与理论分布曲线作比较。
3. 在相同条件下对本底进行重复测量，画出本底计数的频率分布图，并与理论分布曲线作比较。
4. 用2检验法检验放射性计数的统计分布类型。
三、实验仪器①NaI(Tl)闪烁探测器；②γ放射源（137Cs或60Co)；③高压电源、放大器和多道脉冲幅度分析器。
二、实验内容1．放射性测量的随机性和统计性在做重复的放射性测量中，即使保持完全相同的实验条件（例如放射性的半衰期足够长，因此在实验时间内可以认为其强度基本上没有变化；源与计数器的相对位置始终保持不变；每次测量时间不变；测量仪器足够精确，不会产生其它的附加误差等等），每次的测量结果并不完全相同，而是围绕其平均值上下涨落，有时甚至有很大的差别，也就是说物理实验的测量结果具有偶然性，或者说随机性。
物理测量的随机性产生原因不仅在于测量时的偶然误差，而且更是物理现象(当然包括放射性核衰变)本身的随机性质，即——物理量的实际数值时刻围绕着平均值发生微小起伏。
在微观现象领域，特别是在高能物理实验中，物理现象本身的统计性更为突出。
按照量子力学的原理，对处于同一个态的微观粒子，测量同一个可观测的物理量时，即使不存在任何测量误差，各次测量结果也会不同，除非粒子处于这个可观测量的本征态；比如同一种粒子的寿命，其实测值分布在从相当短到相当长的范围内。
另一方面，所谓偶然的东西，是一种有必然性隐藏在里面的形式；我们正是要通过研究其统计分布规律从而找出在随机数据中包含的规律性。
2．核衰变数的统计分布放射性原子核衰变数的统计分布可以根据数理统计分布的理论来推导。
实验一核衰变与放射性计数的统计规律
实验一核衰变与放射性计数的统计规律第一部分 G-M计数器一.实验目的1、了解G-M管的工作原理，掌握其基本性能及其测试方法。
2、学会正确使用G-M管计数装置的方法。
3、了解探测器输出信号与输出回路参数的关系，学会正确选择G-M管计数系统输出回路参量。
二.实验内容1、在一定的甄别阈下，测量卤素G-M管的坪曲线，确定这些坪曲线的各个参量并选择工作电压。
2、用示波器观察法和双源法测定卤素G-M管计数装置的分辨时间。
3、观察并记录G-M计数管的输出电流、电压脉冲与工作电压及输出回路参数的关系。
三.实验原理1、G-M管是一种气体探测器。
当带电粒子射入其灵敏体积时，引起气体原子电离。
电离产生的电子在阳极丝附近的强电场中又引起一系列碰撞电离，即触发“自持放电”。
这一过程产生的电子和正离子向两极漂移时，在外回路产生脉冲信号。
2、从G-M管的工作机制可以看出，入射带电粒子仅仅起一个触发放电的作用，G-M管的输出电流、电压信号的幅度与形状和入射粒子种类与能量无关，只和计数管的几何参量、工作电压以及输出回路参量有关。
在G-M管的使用中，坪特性是其最重要的性能之一。
坪特性是判断管子好坏的主要依据，也是选择管子工作电压的依据。
坪特性曲线就是在一定的实验条件下当入射粒子的注量率不变时，计数管的计数率随工作电压变化的曲线，见图1－1。
图1-1 G-M计数管的坪曲线表征坪特性的参量主要有：起始电压(Vs)：即计数管开始计数时的电压。
坪长： B A =V -V 坪长（单位：百伏） （1-1） 这是管子的工作区域，工作电压一般可选在坪区的21~31的范围内。
坪斜：()100% ()2B A B A B A n n n n V V -=⨯+-坪斜（单位：％/百伏） （1-2） 坪斜主要是由假计数引起的，当然它的值越小越好。
当工作电压高于B V 时，曲线急剧上升，表明管子内发生了持续放电，这会大大缩短管子的寿命，因此在使用中必须注意避免这种情况。
放射性计数的统计误差及处理
给定了任意两个量，就可以确定第三个量。 • 例题 3 n 10 cpm，要求 n 1% 若 ，则
1 1 t 2 10min 2 3 n n 0.01 10
当需要考虑本底计数时，为了在规定的测量 时间（ T t s t b ）内合理分配样品测量和本底测 量时间，使结果的误差最小，即
n N / t 1880/ 2 940cpm
n n / t 940/ 2 470 22cpm
n 1/ N 2.3%
n 940 22cpm 940(1 2.3% ）cpm
2）平均计数
1 K N N i 的误差 K i1
1 K N
N
N
N
N
1 KN
1
N
i
N 3）平均计数率 n 的误差 t 1 Nk 1 n 2N 2 t t k
1 n n n k
n t
1
n
n 1 t knt
N
i
• 例题. 对放射性样品进行计数，每次测量2 min， 共测量了20次，计算得平均计数率为949cpm ， 试计算结果的误差及写出误差表达式。 解：
n0Leabharlann Nc Nb 200 72 ( 2 2 ) 2 2.8cpm 2 tc tb 8 4
n 0 n0 7.2 2.8 （ 7 1 40% ）cpm
4. 测量条件的选择
1）测量时间确定 计数率n、测量时间t和相对误差n 三者具有 关系： 2
n nt 1
1
考虑到 /m 1 ， 3/m （2 /m)( / m） 2 /m 可略 3 2 去包括 /m 以上的高次项，并注意到
二,放射性测量
125I的测量
125I的物理特性：
1，T1/2=60d；2，标记后抗原的放射性比活度较高；3，发射的γ射线容易测量。
在125I的衰变过程中，以X和γ 射线的形式释放能量。其中电子俘获后产生 的特征X线的能量为27.5keV。原子核俘获电子后，生成激发态的125Te（碲）， 退激时以两种途径释放35.5keV的能量：一是核本身以70%的几率释放γ 射线； 二是以内转换方式产生特征X线。因此，除27.5keV和35.5keV的X线和γ 线外， 还包括55keV(27.5+27.5)和63keV（35.5+27.5）的符合峰。 由于125I有上述四组可探测的能量辐射，再考虑NaI闪烁晶体对低能X线和γ 线的分辨率大约在20%左右，两个峰有既分离又相互连接的特点，因此一般将 125I能量的测量范围设定在20到80keV的范围。这是对125I的最佳测量条件。
缺点：易潮解，导致透明度降低，性能下降；大面积的NaI（Ti）晶 体易破裂。
注意：使用NaI（Ti）晶体的测量仪器时，要保持干燥，防止剧烈震动。
2，液体闪烁体
一般由溶剂、闪烁剂和添加剂组成，常用于测定低能β射线，也可进行 低能γ射线，契伦科夫效应、单光子测定。
① 溶剂：溶解闪烁剂，吸收和传递射线的能量。（烷基苯类——甲苯、
2，液体闪烁计数器：主要用于低能β射线的计数测量。
（三）辐射剂量监测仪
1，个人辐射剂量监测仪：常用的有袖珍计量仪、胶片计量仪和热释光 计量仪。
2，表面污染和场所辐射剂量监测仪
第三节 放射性样品的测量
一、γ射线的测量
γ射线穿透力强，无论固体、液体或组织样品均可直接测量。对于低能γ 射线样品，应使用薄壁NaI（Ti）晶体可降低本底，提高测量效果。 二、高能β射线的计数测量 对于高能β射线的测量可选用端窗式盖革计数管（端窗式GM计数管）、 液体β盖革计数管、钟罩型β计数管、流气式4π计数管。 三、低能β射线的测量 液体闪烁测量法
放射性测量统计学科学原则
7.1 基本概念
7.1.4 合成分布 2）相互独立的随机变量之和或之积的数学期
望是各随机变量的数学期望之和或之积， 即：
3）相互独立的随机变量之和的方差是各随机 变量方差之和：
4）数学期望和方差之间的关系为：
放射性测量统计学科学原则
7.2 核衰变和核辐射测量的统计
7.2.1 核衰变数的统计分分布布
0.04
0.02
0.00
0.01
放射性测量数据分布概率分布图
出 现 次 数
n
7.1 基本概念
7.1.2 泊松分布
二项式分布含有两个相互独立的参数n和 p，使用并不方便。但当概率p(或q)为一个
很小n 值! 、n 且x n 为! 一n 个n 很1 大 n 值 时2 ， 可n 对x 上 述1 各 n x
放射性测量统计学科学原则
7.1 基本概念
7.1.1 二项式分布
设某试验C的试验结果只有s及两种可能，则称C为 伯努利(Bernoulli)试验。设出现s的概率为P(s)=p；则出 现的概率为，其中p∈(0,1)。在相同试验条件下，独 立地将试验C重复n次，则称该n次重复的独立试验为n 重伯努利试验 。
放射性测量统计学科学原则
7.3 核辐射测量中的统计误差与
7.3.1 测量数据的统数计据误差检验
1. 计数率的统计误差
设在t时间内记录了N个计数，则计数率
为
，根据误差传播公式式，计数率n
的标准误差 和相对误差 分别为：
放射性测量统计学科学原则
放射性测量的统计误差
1：标准误差
了解计数值的总体分布，可由计数的有限次测量来估计总体的 真实平均值的大致位置或所在的区间。这就要使用标准误差，
放射性测量数据的处理
一次测量或有限次测量平均值只能是数学期望值近似值，这么就给 测量结果带来了误差。放射性测量这种误差完全是由放射性核衰变 和探测器统计粒子统计性引发，故称为统计误差。
放射性测量数据的处理
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第八章 射性测量数据处理与结果表述
✓以被保留数字末位为基准， ✓假如碰到它后面尾数小于5(4以下)，则该尾数被舍弃； ✓假如碰到它后面尾数大于5(6以上)，则末位数进1； ✓假如尾数恰为5，则要依据被保留数字末位数而定。当末尾数为奇数时，末尾
数进 1；当末尾数为偶数时，尾数5被舍弃。
放射性测量数据的处理
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第八章 射性测量数据处理与结果表述
放射性测量数据的处理
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第八章 射性测量数据处理与结果表述
2).几个数作乘、除运算： 各数中以有效数字位数最少数为基准，其它各数都凑成比该数多1位有效数字数 参加运算；运算结果取小数位数最少位数。 比如： 13469×34＝135×102×34＝4590×102＝46×104
放射性测量数据的处理
放射性测量数据的处理
放射性测量数据的处理
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第八章 射性测量数据处理与结果表述
➢普通只有经过几个不一样方法测量结果比较； ✓ 或即使是同一个方法，但使用不一样设备，将其测量结果进行比较。 ✓ 一旦找到了系统误差，能够对其进行校正，以降低甚至消除系统误差对测 量结果带来影响。
➢偶然误差也叫随机误差，是由不确定原因引发。
✓ 随机误差出现服从统计分布规律。 ✓ 增加测量次数，能够减小偶然误差。
放射性测量数据的处理
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e 1 1 m 2m （ 1 ） 2 m
利用级数展开式 有
x 2 x3 ln（ 1 x） x - 2 3
m 2 1 1 2 ln（ 1 ) （m ） [ - （ ） m 2 m 2 m
1 2 1 1 3 2 2m 2m 2m
由以上各式可见，无论是计数或计数率，其 相对误差只取决于总计数，不论是多次（ k次）， 还是一次测量但时间增加至k 倍，只要总计数相 等，那么结果的精度是相同的。
• 例题. 测样品8min得计数200个，测本底4min得 计数72个。求样品净计数率及误差。 解：
N c N b 200 72 n0 7cpm tc tb 8 4
N 0！ n N（ N 1 ）（ N 2 ） （ N n 1 ） N 0 0 0 0 0 （N 0 - n） !n！
（ 1 - p）
N0 -n
（e ）
-p N0 -n
e
-pN0
因此，得到关于计数的泊松分布
n n N0 m P（ n） p n e -pN0 e -m n！ n！
n
0
Nc Nb 200 72 ( 2 2 ) 2 2.8cpm 2 tc tb 8 4
n 0 n0 7.2 2.8 （ 7 1 40% ）cpm
4. 测量条件的选择
1）测量时间确定 计数率n、测量时间t和相对误差n 三者具有 关系： 2
n nt 1
N
N
N
1 KN
1
N
i
N 3）平均计数率 n 的误差 t 1 Nk 1 n 2N 2 t t k
1 n n n k
n t
1
n
n 1 t knt
N
i
• 例题. 对放射性样品进行计数，每次测量2 min， 共测量了20次，计算得平均计数率为949cpm ， 试计算结果的误差及写出误差表达式。 解：
1
考虑到 /m 1 ， 3/m （2 /m)( / m） 2 /m 可略 3 2 去包括 /m 以上的高次项，并注意到
e
1 2m
1
就可以得到
（ 1 ） e m 代入上式，最终有计数的高斯分布
1 1 -2 / 2 m -( n -m ) 2 / 2 2 P（n） e e 2m 2
在最佳时间分配下，当给定总的测量时间后 给定后，有
1 ts T，t b T 1 n s /n b 1 n s /n b n s /n b
在最佳时间分配条件下，结果的最小相对方 差为
2 ns
1 ns - n b
ns n b ts tb
2
） ns 1 （ n s /n b 1 [ nb ] 2 （n s - n b） T n s /n b
n b 1/2 1 n s n b -1/2 n s nb d ns （ ） （ ） [- 2 ]0 2 dt s t s T - t s 2 ts T - ts t s （T - t s）
则
ts tb ns nb
此式表明，要使结果的误差最小，样品和本底的 测量时间比应等于其计数率的平方根之比。
f 2 2 f 2 2 z ( ) x ( ) y y x
1/ 2
N 1）计数率 n 的误差 t
n
1 2 N t N n 2 t t
1 n 1 1 n n n t nt N
n
• 例题 对放射性样品进行计数，测量 2min，得计 数 1880cpm ，计算测量的计数率及误差。 解：
n N / t 1880/ 2 940cpm
n n / t 940/ 2 470 22cpm
n 1/ N 2.3%
n 940 22cpm 940(1 2.3% ）cpm
2）平均计数
1 K N N i 的误差 K i1
1 K N
N
对于泊松分布，当 m 较大，一般说m 20 时，极限情况下又可用高斯分布，又称为正态分 布所替代，推导如下： 注意到，阶乘的斯特令公式 n！ 2n n n e-n 且记 n - m ，则有
m n -m 1 m n 2 n -m p（ n） e （ ） e n！ 2m n
1 m 2
1 2 2m
式中 2 m ，容易验证 2 和 m 就是高斯分布 的方差和期望值。
2.放射性计数的统计误差
由一次测量结果或有限多次测量的平均值作 为计数期望值的估计所引起的误差, 该误差是由 放射性衰变的统计涨落所引起，因此称为放射性 计数的统计误差，一般用标准差 N 表示
P（ n ) C N0 p q
0
p q （N 0 - n）！n！
0
式中， p n q N -n 表示从 N 0 个核中选出 n 个特定的 n C 核，观察其属于A类的概率， N 表示从 N 0个中取n 个的组合。
0
0
当 N 0 很大而p 又很小时，二项式分布的可用泊 松分布逼近。因计数的期望值m N0p N ，对 于在 m 值附近涨落的 n 值，有
给定了任意两个量，就可以确定第三个量。 • 例题 3 n 10 cpm，要求 n 1% 若 ，则
1 1 t 2 10min 2 3 n n 0.01 10
当需要考虑本底计数时，为了在规定的测量 时间（ T t s t b ）内合理分配样品测量和本底测 量时间，使结果的误差最小，即
( n s /n b 1) 2 n b n2
n s / n b 1 ，而 n 0 （探测 在低水平测量时， 2 效率），则好的探测器要求 /n b 最小，或其倒 数称之为优质因子的值为最大。
0
N M N N
因此计数结果可以表示为:
N N N N
由正态分布知，任何一个计数落在 M 区间的概率为
p（n - m ）
m m-
1 e 2
（n -m)2 2 2
dn
令
z
n-m
Hale Waihona Puke dz dn
对正态分布进行标准化，有
1 p（n - m ） 2
设一个原子核属于A类的概率为p，属于B类 的为 q，即 - t
p （ 1 - e ）
q e-t （ 1 - e-t）（ 1 - ）
在数理统计中，放射性计数是一个所谓得伯 努里实验问题，对于包含 N 0个放射性原子核的源， 在测量时间 t 内的计数是一个随机变数 ，其服 从二项式分布 N 0！ n n N -n n N -n
Tmin 1 40min 2 2 250 0.01 （ 4 -1 ）
t s 27min ，t b 13min
2）测量装置工作条件选择
测量装置的选择应使在给定测量时间T内， 结果的误差最小，即
( n s /n b 1) 2 1 2 2 2 n（ n /n 1 ） n （ n /n 1) ( n /n 1 ) b s b b s b s b
e
-1
1
-z 2 /2
dz (1) (1) 2(1) 68.3%
反过来有：
P( M N ) P(N M N ) 68.3%
因此，标准误差表示 区间包含真平均值的概率 为68.3%，或置信度为68.3%置信区间。
3. 测量结果的误差表示 根据函数误差的传递公式，即
放射性计数的统计误差及处理
中国农业大学 齐孟文
1.放射性测量的统计误差
在放射性样品的测量中，由于放射性原子核 的衰变是随机发生的，所以在源和测量条件不变 的情况下，计数并不是一个确切的定值，而是围 绕平均值上下涨落的，服从一定的统计规律。在 测量 t内，任何一个核发生衰变的概率为 （ ， 1 - e-t） 不衰变的概率为 e - t ，设仪器的探测效率为 ， 则任何一个原子核必然归属于两类之一：A类为 发生衰变并被探测器所计数的情况；B类是没有 衰变或虽然衰变但并未引起计数的情况。
1 1 [ n s /n b 1] (n s - n b） T（ n s /n b -1 ）
1 2 T n（ n /n 1 ） b s b
在给定n下，最小测量时间应为
• 例题
Tmin 1 2 2 n b（ n /n 1 ） n s b
粗测n s 1000cpm ， n b 250cpm ，要求 ns 1% ， 问所需测量时间是多少。 解：已知： n s /n b 4 ，将数据代入以上公式，有
1 n k n 1 949 4.9 t 20 2
n 949 4.9 949(1 0.52%)cpm
4）净计数率的误差
Nc N b n0 nc nb tc tb
n
0
N c N b 12 n c n b 12 ( 2 2 ) ( ) tc tb tc tb