初中几何证明题库：菱形

８．如图,已知Ｅ是菱形AB ＣD 的边BC 上一点，且∠ＤＡE=∠B ＝80°，那么∠CDE 的度数为（ ）

?A ． 20°?Ｂ． 2５° C. ３０° Ｄ. 35°

考点:?菱形的性质． 分析： 依题意得出AE=AB=AD ，∠ADE ＝50°,又因为∠B=8０°故可推出∠ＡD Ｃ＝80°，∠ＣDE=∠ADC ﹣∠ADE ，从而求解． 解答:?解:∵AD ∥BC,

∴∠AEB=∠D ＡE=∠Ｂ=80°, ∴A Ｅ=AB=A Ｄ,

在三角形AE Ｄ中，AE=ＡＤ，∠ＤAE=8０°， ∴∠ＡD Ｅ=5０°， 又∵∠Ｂ=８0°, ∴∠AD Ｃ=80°，

∴∠CDE ＝∠ADC ﹣∠A ＤＥ=30°. 故选Ｃ.

点评:?本题是简单的推理证明题，主要考查菱形的边的性质,同时综合利用三角形的内角和及等腰三角形的性质.

已知菱形A ＢCD 的边长是８，点E 在直线ＡD 上，若ＤE ＝3，连接BE 与对角线AC 相交于点Ｍ，则

MC

AM

的值是 .

6．如图，两条笔直的公路ｌ1、l 2相交于点O ，村庄Ｃ的村民在公路的旁边建三个加工厂 Ａ、B 、D ，已知AB=BC=C Ｄ=ＤA=5公里,村庄C 到公路l 1的距离为4公里,则村庄C 到公路ｌ２的距离是【 】

?A 、3公里?B 、４公里 Ｃ、5公里?D 、６公里

图1

M

E

D

B

C A

图2

M

E

D

B

C

A

7.如图，已知菱形AＢＣＤ的边长为２，∠ＢＡD＝60°，若ＤE⊥ＡB,垂足为点E，则DＥ的长为▲ .

２.如图,已知菱形ＡBCD的边长为２,∠ＢAＤ=６0°，若DE⊥AB,垂足为点E,则DE的长为▲ ．

例5.如图，在四边形ABＣD中,AD∥BC,对角线AC的中点为O，过点O作ＡC的垂直平分线分别与ＡD、ＢＣ相交于点E、Ｆ,连接AF。

求证：AE=AF。

【答案】证明:连接CE。

∵ＡＤ∥BC,∴∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠ＦCO，。

又∵AO=CO,∴△ＡEO≌△CFO(AAＳ）。

∴ＡE=CF。∴四边形ＡＥＣF是平行四边形。

又∵EF⊥AC，∴平行四边形AＥCF是菱形。

∴AE=AＦ。

【考点】菱形的判定和性质,平行的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】由已知,根据AAＳ可证得△AEＯ≌△CFO,从而得ＡE=CF。根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定可得四边形ＡECF是平行四边形。由ＥＦ⊥AC，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定得平行四边形AECF是菱形。根据菱形四边相等的性质和AE＝AＦ。

3.如图,菱形ABＣＤ的周长为2０ｃm，且tan∠ABD=4

3

,则菱形ＡBCD的面积为

▲ cm2．

例1.如图，菱形纸片ＡＢＣD中，∠A＝6０0，将纸片折叠,点A、D分别落在A’、D’处,

且A’D’经过B，EF为折痕，当D’Ｆ⊥ＣD时，CF

FD

的值为【】

D.

【答案】A。

【考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】延长DC 与A′D′，交于点M ，

∵在菱形纸片A ＢＣD 中,∠A=60°, ∴∠ＤCB=∠A＝60°，AB∥CＤ。 ∴∠Ｄ=１80°－∠A=120°。 根据折叠的性质,可得 ∠A′D′F＝∠Ｄ=120°，

∴∠FD′M=180°－∠A′D′F=6０°。

∵D′F⊥CD,∴∠D′FＭ=90°，∠Ｍ＝90°-∠FD′Ｍ=30°。

∵∠ＢＣM=1８0°-∠BCD=１2０°,∴∠ＣＢM=１80°－∠BＣM-∠Ｍ=30°。∴∠C

ＢM ＝∠Ｍ。

∴BC=CＭ。

设CF=x,D′F=DF＝ｙ， 则B Ｃ=CM=CD=CF+DF=x+y 。∴ＦＭ=CM+CF=2x+y,

在Rt△D′FM 中，ta ｎ∠M=tan３0°=

D F y FM 2x y '==+x y 2

=。

∴

CF x FD y 2

==。故选Ａ。 例2.如图,菱形A ＢＣD 中,AB=AC ，点E 、Ｆ分别为边AB 、BC 上的点，且AE ＝BF,连接ＣE 、AF 交于点H ，连接ＤH 交A Ｇ于点O.则下列结论①△ABF≌△CAE,②∠AＨC=1200

,③ＡH+C Ｈ=DH ，④ＡD ２

=OD·DＨ中,正确的是【 】．

Ａ. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④

【答案】D。

【考点】菱形的性质,等边三角形的判定和性质,全等、相似三角形的判定和性质,三角形内角和定理，四点共圆的判定，圆周角定理。

【分析】∵菱形AＢCD中，AB＝ＡC,∴△ABＣ是等边三角形。∴∠Ｂ=∠EAＣ=6０0。

又∵AＥ＝BＦ,∴△ABF≌△CAE(SAＳ)。结论①正确。

∵△ABF≌△CAE，∴∠BＡＦ=∠ACE。

∴∠AHC=1８00-（∠ACＥ+∠CAF）=1800-(∠BAF+∠ＣＡF)＝18００-∠BAC=18０0－６00=1200。

结论②正确。

如图,在HD上截取HG＝AH。

∵菱形ABCＤ中,AＢ=ＡC,∴△AＤＣ是等边三角形。

∴∠AＣD＝∠ADC=∠CAD=600。

又∵∠ＡＨC=1200，∴∠ＡＨＣ+∠ＡDＣ＝120０+600＝18０0。

∴A,H,Ｃ，Ｄ四点共圆。∴∠AHD=∠ACＤ =６00。∴△ＡHG是等边三角形。

∴AＨ=AG,∠GＡＨ=６00。∴∠CAＨ=600－∠CAG=∠DAＧ。

又∵AＣ=AＤ，∴△CAH≌△ＤAG(SAS）。∴ＣH=DG。∴AH+CH= ＨＧ+ DG =DH。结论③正确。

∵∠AHD ＝∠OAＤ=６00,∠ADH=∠OＤA,△ＡDH∽△ODA。∴AD HD OD AD

。

∴ＡD 2=OD·DH。结论④正确。

综上所述,正确的是①②③④。故选Ｄ。

例５.已知：如图，在菱形ABＣＤ中，F为边ＢＣ的中点,DF与对角线ＡC交于点Ｍ,过Ｍ作ＭE⊥ＣD于点E，∠1=∠2．

（1）若CＥ=１，求BC的长；

（2）求证：ＡＭ=DF+ME．

【答案】解:（1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥ＣD。∴∠１＝∠ＡCＤ。

∵∠1=∠2，∴∠AＣD=∠２。∴MC=MＤ。

∵MＥ⊥ＣＤ，∴ＣD=２ＣE。

∵ＣE=１,∴CD=2。∴BＣ＝ＣＤ=2。

（２)证明：∵Ｆ为边BＣ的中点，∴BＦ=CF=1

2

ＢC。∴ＣF＝CE。

∵在菱形ABCD中，AＣ平分∠BCD,∴∠ACB=∠ACD。

在△ＣEＭ和△CFM中,∵CE=CF，∠ACＢ=∠AＣD,CM=CM,

∴△CEM≌△CFM（SAS)，∴ME=MF。

延长ＡB交DＦ于点Ｇ,

∵AB∥ＣD,∴∠G＝∠２。

∵∠1=∠2，∴∠1=∠G。

∴AM=MG。

在△CDF和△ＢGF中,

∵∠Ｇ=∠2，∠BFG＝∠CFD,BF＝CF,∴△CDF≌△BＧF（AＡS)。

∴GＦ=DF。

由图形可知，GＭ=GF＋MF,∴AＭ＝ＤF＋ME。

【考点】菱形的性质,平行的性质，等腰三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质。【分析】(1）根据菱形的对边平行可得AB∥D,再根据两直线平行,内错角相等可得∠1=∠AC Ｄ，所以∠ＡCＤ=∠2,根据等角对等边的性质可得CM＝DＭ,再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DＥ，然后求出CＤ的长度,即为菱形的边长ＢC的长度。

(2)先利用SＡS证明△ＣEM和△CFＭ全等,根据全等三角形对应边相等可得ME＝ＭF，延长AB交DF于点G,然后证明∠１＝∠G，根据等角对等边的性质可得ＡM=GＭ，再利用AAS 证明△CＤF和

△BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GＭ=ＧF＋MＦ即可得证。例３.如图，菱形ABCＤ中,ＡB=２，∠A=1２0°，点P,Ｑ，K分别为线段BC，CD，ＢＤ上的任意一点，则PK+ＱK的最小值为【】

?A．1? B C. 2? D＋1

【答案】Ｂ。

【考点】菱形的性质,线段中垂线的性质，三角形三边关系,垂直线段的性质,矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】分两步分析：

(1)若点P，Q固定,此时点Ｋ的位置:如图，作点Ｐ关于BＤ的对称点Ｐ１，连接P1Ｑ，交ＢD于点K1。

由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质,得

P1K１= Ｐ K１，Ｐ1K＝PK。

由三角形两边之和大于第三边的性质，得P1K+QK>P1Q= P1K1+Q K1= P Ｋ1+Q K1。

∴此时的Ｋ1就是使ＰK+QK最小的位置。

(２)点P,Ｑ变动，根据菱形的性质，点P关于BD的对称点P1在AB上，即不论点Ｐ在BC上任一点，点P1总在ＡＢ上。

因此,根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质,得,当P1Q⊥ＡB时Ｐ1Q最短。

过点Ａ作ＡQ1⊥DC于点Ｑ１。∵∠Ａ＝120°，∴∠DＡ Q１＝30°。

又∵AD＝AＢ=2，∴P1Q＝AQ1＝AD·ｃos３０0=2=

综上所述,PK+QK。故选B。