和积法具体计算步骤
层次分析法
层次分析法的步骤
下面结合一个实例来说明递阶层次结构的建立。 例1 假期旅游有P1 、 P2 、 P3共3个旅游胜地供你选择，试 确定一个最佳地点。 在此问题中，你会根据诸如景色、费用、居住、饮食和旅途 条件等一些准则去反复比较3个侯选地点。可以建立如下 的层次结构模型。（完全层次关系和不完全层次关系）
丙 1/7 1/7
层次分析法实例
用和积法对判断矩阵进行层次单排序 B
p1 1 1 1 1/4 1 2
6.25
p2 1 1 1/2 1/4 1 2
5.75
p3 1 2 1 1/5 1/3 2
6.53
p4 4 4 5 1 3 3
20
p5 1 1 3 1/3 1 1
7.33
p6 1/2 1/2 例子来说，一块石头重量记为1，打碎分成 各小块， 各块的重量分别记为： w1 , w 2 ,, w n 相互比较可得成对比较矩阵
1 w 2 A = w1 wn w 1 w1 w2 1 wn w2
w w
i j
w1 wn w2 wn 1
= wi w wk w
B2 甲 乙 丙 B 甲 丙
甲 1 4 5 甲 1
乙 丙 1/4 1/5 1 1/2 2 乙 1 1 1 丙 1/5 1 1
乙 1/ 5
口 才
B4 甲 乙 丙 甲 1 1/3 5 乙 3 1 丙 1/5 1/7 B5 甲 乙 甲 1 1 乙 1 1 7 1 丙 7 7 1
p4 政 策 水 平 p5
层次分析法的步骤
3、层次单排序 对判断矩阵的一致性检验的步骤如下： （i）计算一致性指标CI
CI =
λmax n
n 1
（ii）查找相应的平均随机一致性指标RI，对n为1到9，Saaty给 出了的值，如下所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 CI （ⅲ）计算一致性比例CR：CR = 当CR<0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否 则应对判断矩阵作适当修正。
高中不等式解题方法：含指数的“和积结构”,掌握技巧轻松解决
高中不等式解题方法：含指数的“和积结构”，掌握技巧轻松解决高中不等式解题方法：指数的“和积结构”多学生都有着关于解决不等式问题方面的困惑，作为高中阶段的一门必修课，不等式的学习也是每个学生都应该掌握的基础知识。
因此，了解该课的解题技巧并且熟练掌握它们是很重要的。
其中，含指数的“和积结构”解题方法是高中不等式类问题解法的良好策略，它可以对数的问题进行有效的求解。
首先，让我们介绍什么是“和积结构”。
它是一种带指数的表达式，由乘积和和形成。
乘积指的是一系列乘法项，每个项都有一个公因子，而和指的是一系列加法项，每个项都有这样一个结构：指数乘以常数。
也就是说，“和积结构”可以表示为：(Constant Exponent) + (Constant Exponent) + ...比如说12x+8x+4，这个式子就是使用“和积结构”表达的，它可以表示成：(12×4)+(8×2)+(4×1)。
这种表达式本身也是很有规律的，它的每个乘积项的指数都是从大到小排列的，每个加法项的指数也是从大到小排列的，从而使得它更容易被理解和解决。
那么，如何使用“和积结构”解题呢？将“和积结构”化简，成为一个简单的不等式，是解决不等式中乘积最简单的方法。
一般来说，可以使用加法、减法或除法将乘积中的若干因子分离出来，并将其化简成一个不等式，而在复杂的一些问题中，可以使用合并加法和减法的方式，将其化简成一个不等式。
例如，假设有这样一个不等式：3x+4x-6≥0，由于是大于等于0，所以需要将这个不等式化简成一个正数表达式。
那么，我们可以先将其“和积结构”化为：(3×2)+(4×1)+(6×0)，然后再使用减法除法将它化简成3x+2≥0，即可得出结果。
另外，也可以使用“和积结构”来求解偏导数问题。
比如，假设有一个函数：f(x)=x+x-4x，需要计算f’(x)，即函数的偏导数。
这个问题的解决方案也是使用“和积结构”，将f(x)表示为：(1×3)+(1×2)+(4×1)，分别求出每个乘积项的偏导数，然后将其求和即可求得完整的偏导数。
和积法具体计算步骤
和积法具体计算步骤和积法是一种常用的计算积分的方法，也称为换元法或变换法。
其基本思想是通过对积分变量进行变换，将原积分转化为一个更为简单的形式。
下面我将具体介绍和积法的计算步骤。
1.根据被积函数的特点选择适当的换元变量在应用和积法时，我们首先需要根据被积函数的特点选择一个适当的换元变量。
一般来说，选择的变量应该使得原函数的形式变得简单或者与已知积分形式相似。
2.将原函数的自变量换成新的变量通过选择的换元变量，将原函数的自变量进行变换。
这个变换应该是可逆的，即能够通过反变换将新变量重新表示为原变量。
3.计算换元后的函数关系式将原函数转化为新变量表示的形式，并计算新变量与原变量之间的关系式。
这个关系式一般可以通过反变换获得。
4.求变换后的函数的微分形式求变换后的函数对新变量的微分形式。
这一步的目的是为了将被积函数中的微分元由原变量表示转化为新变量表示。
5.将变换后的函数代入被积函数将得到的变换后的函数代入原被积函数中。
这样得到的被积函数就成为新变量的函数。
6.根据变换后的函数计算积分根据变换后的新函数，进行求积分。
这样将被积函数转化为了新变量的函数，从而简化了计算。
7.根据变量关系式计算新变量的范围根据前面得到的变量关系式，计算新变量的取值范围。
这一步是为了保证变换后的积分变量在原积分变量的范围内。
8.进行反变换根据前面得到的变量关系式，进行反变换。
将新变量换算回原变量，并将积分结果转化为原变量表示的形式。
这些步骤是和积法的基本计算步骤，其中的关键是选择适当的换元变量和变换后的函数的计算。
在实际应用中，需要根据被积函数的不同特点灵活选择，有时可能需要多次换元。
和积法在计算积分过程中能够大大简化被积函数的形式，从而使得积分问题更容易求解。
和积法具体计算步骤
和积法具体计算步骤和积法（Summation Method）是一种应用在离散数学领域的计算方法，用于计算离散数列的和。
具体步骤如下：步骤1：给定一个数列a1, a2, a3, …, an，我们的目标是计算这个数列的和，即S = a1 + a2 + a3 + … + an。
步骤2：观察数列的规律，寻找数列中每个项与其前面项或者后面项的关系。
通常可以通过确定一个递推关系式来找到这种关系。
递推关系式的形式可以是线性的，也可以是非线性的。
步骤3：用递推关系式表示当前项与前面的若干项的关系。
这可以通过索引的方式完成，即用ai表示第i个项，ai-1表示第i-1个项，等等。
步骤4：对递推关系式进行重新排列和重组，使得每个项在等式中都出现，并且每个项只出现一次。
步骤5：将数列的每个项相加，并应用递推关系式进行求解，得到一个关于n的表达式。
这个表达式可以表示数列的和，即S=f(n)，其中f(n)是关于n的函数。
步骤6：证明求得的表达式是正确的。
一种方式是使用数学归纳法，对n进行归纳。
首先验证n=1时，等式成立。
然后假设对于任意的k，等式都成立。
接下来验证n=k+1时，等式也成立。
如果等式在n=1和n=k+1时都成立，那么根据数学归纳法原理，等式对于任意的n都成立。
这样，根据和积法，我们可以通过递推关系式计算出离散数列的和。
以下是两个常见的应用和积法的例子：例子1：求解等差数列的和考虑一个等差数列1,3,5,7,…，求解它的和。
步骤2和3：观察这个数列，我们可以发现每个项与它前面的项的关系是线性的，即an = an-1 + d，其中d是等差。
步骤4：由于an = an-1 + d，我们可以将等式两边同时减去an-1，得到an - an-1 = d。
步骤5：将数列的每个项相加，并应用递推关系式得到∑(an - an-1) = ∑d，即an - a1 = nd。
步骤6：证明∑an = (n/2)(a1 + an)是成立的。
层次分析法
bn1
bn2 ……
bnn
bij是对于Ak而言，Bi对Bj的相对重要性的数值表示。
Bij通常取1、3、5、7、9及其他们的倒数，其含义为：
尺度
１ ３ ５ ７ ９
含义
第i个因素与第j个因素的影响相同 第i个因素比第j个因素的影响稍强 第i个因素比第j个因素的影响强 第i个因素比第j个因素的影响明强 第i个因素比第j个因素的影响绝对地强
层次分析法
一 问题的提出
例1 购物 买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、
外形等方面的因素选择某一支钢笔。 下馆子，则要依据馆子的饭菜质量、区位条件、档
次、饭菜价格、服务质量等方面因素来选择。
例2 旅游 假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的
北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景 色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。
课题D2
课题可行性B3
难
研财
易
究政
程
周支
度
期持
c3
c4
c5
课题D3
层次分解时注意事项：
如果所选的要素不合理，其含义混淆不清，或 要素间的关系不正确，都会降低AHP法的结果质量， 甚至导致AHP法决策失败。 为保证递阶层次结构的合理性，需注意以下问题： 1、要对问题的影响因素有充分的理解，必要的时 候可以咨询相关的专家； 2、分解简化问题时把握主要因素，不漏不多 3、注意相比较元素之间的强度关系，相差太悬殊 的要素不能在同一层次比较。 4、以上均为完全层次
层次总排序的一致性检验
(1)
(2)
(3)
在(1)式中，CI为层次总排序的一致性指标，CIj为与aj对应 的Ｂ层次中判断矩阵的一致性指标；在(2)式中，RI为层次总排 序的随机一致性指标，RIj为与aj对应的Ｂ层次中判断矩阵的随 机一致性指标；在(3)式中，CR为层次总排序的随机一致性比例。
层次分析法10.12
二。AHP的步骤 用AHP分析问题大体要经过以下五个步骤： ⑴ 建立层次结构模型； ⑵ 构造判断矩阵； ⑶ 层次单排序； (4)一致性检验。 (5) 层次总排序； 其中后三个步骤在整个过程中需要逐层地进行。
⑴ 建立层次结构模型 人们在日常生活中经常会碰到多目标决策问题，例如：假期 旅游，现有三个目的地可供选择（方案）：风光绮丽的杭州 （ P ），迷人的北戴河（P2 ），山水甲天下的桂林（P3）。有5 1 个行动方案准则：景色、费用、居住、饮食、旅途情况。
……
An
w1
w2
wn
（一）方根法： 方根法：
(1)计算判断矩阵A的每一行元素的乘积Mi=∏nj=1aij， i=1,2,Λ,n (2)计算Mi的n次方根fi得：F=[f1，…，fn]T (3)对F进行归一化，即得W=(1/∑fi)×[f1，…，fn]T=[w1，…，wn]T (4)单层次一致性检验
λmax= (1/n)×∑ni=1[(AW)i/wi]
目标层 景 方 层 色 用 费
选择旅游地 居 住 食 饮 途 旅
层
P 1
P2
层
P3
5.1 选择旅游地
⑵ 构造判断矩阵 ① 通过相互比较确定各准则对于目标的权重，即构造判断矩 阵。
C C 设准则层5个准则 C1 : 景色， 2 : 费用，C3 : 居住， 4 : 饮食
C5 : 旅途。相对于目标层：选择旅游地， 两两比较打分。
目标层
工作选择
准则层
易 做 出 贡 献
收
入
发 展 前 景 好
声
誉
工 作 环 境
生 活 环 境
方案层
可供选择的单位P 可供选择的单位 1’ P2 ， Pn
例2. 选择旅游地
和积法具体计算步骤
和积法具体计算步骤和积法，也叫辛普森法则或者辛普森积分法，是一种数值积分方法，用于计算定积分的近似值。
它的基本思想是将函数曲线分割成若干小的曲线段，并在每个小曲线段上使用二次多项式来逼近函数，进而计算出近似的定积分值。
和积法的计算步骤如下：1.给定需要计算的定积分区间[a,b]，其中a为下限，b为上限；同时确定将区间分割为n个小区间的数量，n必须为偶数。
2.计算每个小区间的宽度Δx=(b-a)/n。
3. 将整个区间分割为n个小区间：a = x0, x1, ..., xn-1, xn = b。
4. 对于每个小区间，计算中间点的值，即xi = (xi-1 + xi)/2，其中i为小区间的编号。
5.计算每个小区间的积分近似值，使用二次多项式来逼近函数。
在每个小区间上，使用如下公式来计算积分近似值：∫(xi-1, xi) f(x) dx ≈ Δx/6 * [f(xi-1) + 4f(xi) + f(xi+1)]这里f(xi-1), f(xi), f(xi+1)分别为小区间两个端点和中点的函数值。
6.将所有小区间的积分近似值相加，得到最终的定积分的近似值。
7.如果需要更精确的近似值，可以增加n的个数，将区间分割得更细致，然后按照上述步骤重新计算。
需要注意的是，和积法要求区间分割的数量为偶数，这是因为每个小区间需要有一个中间点用于计算函数值。
另外，和积法对于一些特殊的曲线可能不适用，比如含有锐角或折线的曲线。
以下是一个具体的例子来说明和积法的计算过程。
假设需要计算函数f(x)=x^2在区间[0,2]的定积分。
1.给定定积分区间为[0,2]，我们选择将区间分割为6个小区间。
2.计算每个小区间的宽度Δx=(2-0)/6=0.3333.将整个区间分割为6个小区间：0,0.333,0.666,1,1.333,1.666,24.对于每个小区间，计算中间点的值：0.167,0.5,0.833,1.167,1.5,1.8335.计算每个小区间的积分近似值：∫(0, 0.333) f(x) dx ≈ 0.333/6 * [f(0) + 4f(0.167) +f(0.333)] = 0.333/6 * [0^2 + 4*(0.167)^2 + (0.333)^2] = 0.0184∫(0.333, 0.666) f(x) dx ≈ 0.333/6 * [f(0.333) + 4f(0.5) + f(0.666)] = 0.333/6 * [(0.333)^2 + 4*(0.5)^2 + (0.666)^2] =0.2848∫(0.666, 1) f(x) dx ≈ 0.333/6 * [f(0.666) + 4f(0.833) +f(1)] = 0.333/6 * [(0.666)^2 + 4*(0.833)^2 + (1)^2] = 0.7408∫(1, 1.333) f(x) dx ≈ 0.333/6 * [f(1) + 4f(1.167) +f(1.333)] = 0.333/6 * [(1)^2 + 4*(1.167)^2 + (1.333)^2] = 1.2216∫(1.333, 1.666) f(x) dx ≈ 0.333/6 * [f(1.333) + 4f(1.5) + f(1.666)] = 0.333/6 * [(1.333)^2 + 4*(1.5)^2 + (1.666)^2] =1.4968∫(1.666, 2) f(x) dx ≈ 0.333/6 * [f(1.666) + 4f(1.833) +f(2)] = 0.333/6 * [(1.666)^2 + 4*(1.833)^2 + (2)^2] = 1.78726.将所有小区间的积分近似值相加：0.0184+0.2848+0.7408+1.2216+1.4968+1.7872=5.5496所以，函数f(x)=x^2在区间[0,2]的定积分的近似值为5.5496以上就是和积法的具体计算步骤。
权重确定方法归纳
权重确定方法归纳多指标综合评价是指人们根据不同的评价目的,选择相应的评价形式据此选择多个因素或指标,并通过一定的评价方法将多个评价因素或指标转化为能反映评价对象总体特征的信息,其中评价指标与权重系数确定将直接影响综合评价的结果;按照权数产生方法的不同多指标综合评价方法可分为主观赋权评价法和客观赋权评价法两大类,其中主观赋权评价法采取定性的方法由专家根据经验进行主观判断而得到权数,然后再对指标进行综合评价,如层次分析法、综合评分法、模糊评价法、指数加权法和功效系数法等;客观赋权评价法则根据指标之间的相关关系或各项指标的变异系数来确定权数进行综合评价,如熵值法、神经网络分析法、TOPSIS法、灰色关联分析法、主成分分析法、变异系数法等;两种赋权方法特点不同,其中主观赋权评价法依据专家经验衡量各指标的相对重要性,有一定的主观随意性,受人为因素的干扰较大,在评价指标较多时难以得到准确的评价;客观赋权评价法综合考虑各指标间的相互关系,根据各指标所提供的初始信息量来确定权数,能够达到评价结果的精确但是当指标较多时,计算量非常大;下面就对当前应用较多的评价方法进行阐述;一、变异系数法一变异系数法简介变异系数法是直接利用各项指标所包含的信息,通过计算得到指标的权重;是一种客观赋权的方法;此方法的基本做法是：在评价指标体系中,指标取值差异越大的指标,也就是越难以实现的指标,这样的指标更能反映被评价单位的差距;例如,在评价各个国家的经济发展状况时,选择人均国民生产总值人均GNP作为评价的标准指标之一,是因为人均GNP不仅能反映各个国家的经济发展水平,还能反映一个国家的现代化程度;如果各个国家的人均GNP没有多大的差别,则这个指标用来衡量现代化程度、经济发展水平就失去了意义;由于评价指标体系中的各项指标的量纲不同,不宜直接比较其差别程度;为了消除各项评价指标的量纲不同的影响,需要用各项指标的变异系数来衡量各项指标取值的差异程度;各项指标的变异系数公式如下：式中：是第项指标的变异系数、也称为标准差系数；是第项指标的标准差；是第项指标的平均数;各项指标的权重为：二案例说明例如,英国社会学家英克尔斯提出了在综合评价一个国家或地区的现代化程度时,其各项指标的权重的确定方法就是采用的变异系数法;案例：利用变异系数法综合评价一个国家现代化程度时的指标体系中的各项指标的权重;数据资料是选取某一年的数据,包括中国在内的中等收入水平以上的近40个国家的10项指标作为评价现代化程度的指标体系,计算这些国家的变异系数,反映出各个国家在这些指标上的差距,并作为确定各项指标权重的依据;其标准差、平均数数据及其计算出的变异系数等见表1-1;i ii x V σ=()n i ,,2,1 =iV i i σi i xi ∑==ni iii VV W 1计算过程如下：1先根据各个国家的指标数据,分别计算这些国家每个指标的平均数和标准差；2根据均值和标准差计算变异系数; 即：这些国家人均GNP 的变异系数为：农业占GDP 比重的变异系数：其他类推;3将各项指标的变异系数加总：4计算构成评价指标体系的这10个指标的权重： 人均GNP 的权重：农业占GDP 比重的权重：其他指标的权重都以此类推; 三变异系数法的优点和缺点当由于评价指标对于评价目标而言比较模糊时,采用变异系数法评价进行评定是比较合适的,适用各个构成要素内部指标权数的确定,在很多实证研究中也多数采用这一方法;缺点在于对指标的具体经济意义重视不够,也会存在一定的误7 966.270.66711 938.4ii iV x σ===782.0352.9316.7===iii x V σ0.6670.7820.2360.560.537 4.59+++++=145.059.4667.01===∑=ni iii VV W 1704.059.4782.01===∑=ni iii VV W差;二、层次分析法一层次分析法概述人们在对社会、经济以及管理领域的问题进行系统分析时,面临的经常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂系统;层次分析法则为研究这类复杂的系统,提供了一种新的、简洁的、实用的决策方法;层次分析法AHP法是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法;该方法将定量分析与定性分析结合起来,用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度,并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数,利用权数求出各方案的优劣次序,比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题;二层次分析法原理层次分析法根据问题的性质和要达到的总目标,将问题分解为不同的组成因素,并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同层次聚集组合,形成一个多层次的分析结构模型,从而最终使问题归结为最低层供决策的方案、措施等相对于最高层总目标的相对重要权值的确定或相对优劣次序的排定;层次分析法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上,利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化,从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法;尤其适合于对决策结果难于直接准确计量的场合;三层次分析法的步骤和方法•建立层次结构模型•构造判断（成对比较）矩阵•层次单排序及一致性检验•层次组合排序及一致性检验1. 建立层次结构模型利用层次分析法研究问题时,首先要把与问题有关的各种因素层次化,然后构造出一个树状结构的层次结构模型,称为层次结构图;一般问题的层次结构图分为三层,如图所示;最高层为目标层O ：问题决策的目标或理想结果,只有一个元素;中间层为准则层C ：包括为实现目标所涉及的中间环节各因素,每一因素为一准则,当准则多于9个时可分为若干个子层;最低层为方案层P ：方案层是为实现目标而供选择的各种措施,即为决策方案;一般说来,各层次之间的各因素,有的相关联,有的不一定相关联；各层次的因素个数也未必一定相同．实际中,主要是根据问题的性质和各相关因素的类别来确定;层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相对权重问题,按此相对权重可以对最低层中的各种方案、措施进行排序,从而在不同的方案中作出选择或形成选择方案的原则;2. 构造判断成对比较矩阵构造比较矩阵主要是通过比较同一层次上的各因素对上一层相关因素的影响作用．而不是把所有因素放在一起比较,即将同一层的各因素进行两两对比;比较时采用相对尺度标准度量,尽可能地避免不同性质的因素之间相互比较的困难;同时,要尽量依据实际问题具体情况,减少由于决策人主观因素对结果造成的影响;决策目标o准则1C 1准则2C 2准则m 1C m1子准则1C 11子准则2C 21方案1P 1方案2P 2方案nP n子准则m 2 C m21设要比较n 个因素n C C C ,,,21 对上一层如目标层O 的影响程度,即要确定它在O 中所占的比重;对任意两个因素i C 和j C ,用ij a 表示i C 和j C 对O 的影响程度之比,按1～9的比例标度来度量),,2,1,(n j i a ij =．于是,可得到两两成对比较矩阵n n ij a A ⨯=)(,又称为判断矩阵,显然0>ij a ,),,2,1,(,1,1n j i a a a ii ijji ===因此,又称判断矩阵为正互反矩阵．比例标度的确定：ij a 取1-9的9个等级,ji a 取ij a 的倒数,1-9标度确定如下：ij a = 1,元素i 与元素j 对上一层次因素的重要性相同； ij a = 3,元素i 比元素j 略重要； ij a = 5,元素i 比元素j 重要； ij a = 7, 元素i 比元素j 重要得多； ij a = 9,元素i 比元素j 的极其重要； 2ij a n =,1,2,3,4n =元素i 与j 的重要性介于21ij a n =-与21ij a n =+之间；1ij a n=,1,2,9n =当且仅当ji a n =;由正互反矩阵的性质可知,只要确定A 的上或下三角的2)1(-n n 个元素即可;在特殊情况下,如果判断矩阵A 的元素具有传递性,即满足),,2,1,,(n k j i a a a ij kj ik ==则称A 为一致性矩阵,简称为一致阵． 3. 层次单排序及一致性检验3.1相对权重向量确定 1和积法取判断矩阵n 个列向量归一化后的算术平均值,近似作为权重,即),,2,1(111n i a a n w n j n k kjiji ==∑∑==类似地,也可以对按行求和所得向量作归一化,得到相应的权重向量; 2求根法几何平均法将A 的各列或行向量求几何平均后归一化,可以近似作为权重,即),,2,1(111111n i a a w nj nk nn j kj nij n j i =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∏∏====3特征根法设想把一大石头Z 分成n 个小块n c c c ,,,21 ,其重量分别为n w w w ,,,21 ,则将n 块小石头作两两比较,记j i c c ,的相对重量为),,2,1,(n j i w w a jiij ==,于是可得到比较矩阵111122221212n n n n n n w w w w w w w w w w w w A w w w w w w ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦显然,A 为一致性正互反矩阵,记12(,,,)T n W w w w =,即为权重向量．且12111,,,n A W w w w ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭则12111,,,n A W W W nW w w w ⎛⎫⋅=⋅= ⎪⎝⎭这表明W 为矩阵A 的特征向量,且n 为特征根．事实上：对于一般的判断矩阵A 有max A W W λ⋅=,这里)(max n =λ是A 的最大特征根,W 为m ax λ对应的特征向量．将W 作归一化后可近似地作为A 的权重向量,这种方法称为特征根法; 注：现有软件求得最大特征根与特征向量; 3.2一致性检验通常情况下,由实际得到的判断矩阵不一定是一致的,即不一定满足传递性和一致性．实际中,也不必要求一致性绝对成立,但要求大体上是一致的,即不一致的程度应在容许的范围内．主要考查以下指标： 1一致性指标：1max --=n n CI λ．2随机一致性指标：RI ,通常由实际经验给定的,如表2-1;表2-1 随机一致性指标3一致性比率指标：RICI CR =,当10.0<CR 时,认为判断矩阵的一致性是可以接受的,则m ax λ对应的特征向量可以作为排序的权重向量;此时()1max 111nij jnnj ii i iia wA W nw n w λ===⋅≈=∑∑∑其中(A )i W ⋅表示A W ⋅的第i 个分量; 4.计算组合权重和组合一致性检验 1组合权重向量设第1-k 层上1-k n 个元素对总目标最高层的排序权重向量为()1(1)(1)(1)(1)12,,,k Tk k k k n Wwww-----=第k 层上k n 个元素对上一层1-k 层上第j 个元素的权重向量为()(1)()()()121,,,,1,2,,k Tk k k k jj jn jk P p p pj n --==则矩阵1()()()()12,P ,,P k k k k k n P P -⎡⎤=⎣⎦是1-⨯k k n n 阶矩阵,表示第k 层上的元素对第1-k 层各元素的排序权向量．那么第k 层上的元素对目标层最高层总排序权重向量为()1()()(1)()()()(1)12()()()12,P ,,P ,,,k kk k k k k k k n Tk k k n W P W P W w w w---⎡⎤=⋅=⋅⎣⎦=或k k j n j k ij k in i w p wk ,,2,1,)1(1)()(1==-=∑- 对任意的2>k 有一般公式()()(1)(3)(2)(2)k k k W P P P W k -=⋅⋅⋅⋅>其中(2)W 是第二层上各元素对目标层的总排序向量． 2组合一致性指标设k 层的一致性指标为)()(2)(11,,,k nk k k CI CI CI - ,随机一致性指标为 )()(2)(11,,,k n k k k RI RI RI - 则第k 层对目标层的最高层的组合一致性指标为()1()()()()(1)12,,,k k k k k k n CI CI CI CI W --=⋅ 组合随机一致性指标为()1()()()()(1)12,,,k k k k k k n RI RI RI RI W --=⋅ 组合一致性比率指标为)3()()()1()(≥+=-k RICI CRCRk k k k 当10.0)(<k CR 时,则认为整个层次的比较判断矩阵通过一致性检验．四案例说明实例：人们在日常生活中经常会碰到多目标决策问题,例如假期某人想要出去旅游,现有三个目的地方案：风光绮丽的杭州1P 、迷人的北戴河2P 和山水甲天下的桂林3P ;假如选择的标准和依据行动方案准则有5个景色,费用,饮食,居住和旅途;1.建立层次结构模型目标层 准则层2.构造判断矩阵1234511/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311C C A C C C ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭构造所有相对于不同准则的方案层判断矩阵 1相对于景色O 择旅游地P1桂林C1景色C2费用C3居住C4饮食C5旅途P2黄山P3北戴河12345C C C C C 11231251/2121/51/2`1P B P P ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭123P P P2相对于费用3相对于居住4相对于饮食5相对于旅途3. 层次单排序及一致性检验3.1用matlab 求得判断矩阵A 的最大特征根与特征向量：max 5.073λ=,对应于max 5.073λ=的正规化的特征向量为：(2)(0.263,0.475,0.055,0.099,0.110)T W =判断矩阵1B 的最大特征值与特征向量max 3.005λ=(3)10.5950.2770.129W ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭122311/31/8311/383`1P B P P ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭123P P P 132********/31/3`1P B P P ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭123P P P 14231341/3111/41`1P B P P ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭123P P P 1523111/4111/4441P B P P ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭123P P P判断矩阵2B 的最大特征值与特征向量max 3.002λ=(3)20.2360.682W ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭判断矩阵3B 的最大特征值与特征向量max 3λ=(3)30.4290.429,0.142W ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭判断矩阵4B 的最大特征值与特征向量max 3.009λ=(3)40.6330.193,0.175W ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭判断矩阵5B 的最大特征值与特征向量max 3λ=(3)50.1660.166.0.668W ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭4.一致性检验对于判断矩阵A 进行一致性检验：max 5.07350.01825151nCI n λ--===--查表知平均随机一致性指标RI,从而可检验矩阵一致性：0.018250.0162950.11.12CI CR RI ===< 同理,对于第二层次的景色、费用、居住、饮食、旅途五个判断矩阵的一致性检验均通过;利用层次结构图绘出从目标层到方案层的计算结果：5.层次总排序各个方案优先程度的排序向量为：(3)(2)W W W =0.5950.0820.4290.6330.1660.3000.4750.2770.2360.4290.1930.1660.2460.0550.1290.6820.1420.1750.6680.4560.0990.110 ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭决策结果是首选旅游地为3P 其次为1P ,最后为2P ; 五优点与缺点人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中,面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统;层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法;在应用层次分析法研究问题时,遇到的主要困难有两个： i 如何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构；ii 如何将某些定性的量作比较接近实际定量化处理;层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理,提出了一套系统分析问题的方法,为科学管理和决策提供了较有说服力的依据;但层次分析法也有其局限性,主要表现在：i 它在很大程度上依赖于人们的经验,主观因素的影响很大,它至多只能排除思维过程中的严重非一致性,却无法排除决策者个人可能存在的严重片面性;ii 当指标量过多时,对于数据的统计量过大,此时的权重难以确定;AHP 至多只能算是一种半定量或定性与定量结合的方法;三、熵值法一熵值法的原理在信息论中,熵是对不确定性的一种度量;信息量越大,不确定性就越小,熵也就越小；信息量越小,不确定性越大,熵也越大;根据熵的特性,我们可以通过计算熵值来判断一个事件的随机性及无序程度,也可以用熵值来判断某个指标的离散程度,指标的离散程度越大,该指标对综合评价的影响越大; 二算法实现过程 1.数据矩阵m n nm n m X X X X A ⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111其中ij X 为第i 个方案第j 个指标的数值; 2. 数据的非负数化处理由于熵值法计算采用的是各个方案某一指标占同一指标值总和的比值,因此不存在量纲的影响,不需要进行标准化处理,若数据中有负数,就需要对数据进行非负化处理;此外,为了避免求熵值时对数的无意义,需要进行数据平移：对于越大越好的指标：mj n i X X X X X X X X X X X nj j j nj j j nj j j ij ij ,,2,1;,,2,1,1),,,min(),,,max(),,,min(212121' ==+--=对于越小越好的指标：mj n i X X X X X X X X X X X nj j j nj j j ijnj j j ij,,2,1;,,2,1,1),,,min(),,,max(),,,max(212121' ==+--=为了方便起见,仍记非负化处理后的数据为ij X 3.计算第j 项指标下第i 个方案占该指标的比重),2,1(1m j XX P ni ijijij ==∑=4.计算第j 项指标的熵值1e 0,ln 10ln ,0,)log(*1≤≤=≥>-=∑=则一般令有关，与样本数。
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和积法具体计算步骤
1将判断矩阵的每一列元素作归一化处理：
'1
ij
ij n
ij
i b b b
==
∑ ,1,2,,i j n =K
2将每一列经归一化处理后的判断矩阵按列相加：
'
'1n
i ij j w b ==∑ 1,2,,i n =K
3对向量''''T 12(,,,)n W w w w =K 作归一化处理：
'
'1
i i n
i
i w w w
==
∑ 1,2,,i n =K
得到T 12(,,,)n W w w w =K 即为所求特征向量的近似解。
4计算判断矩阵最大特征根max λ：
max 11=n i i
BW n w λ=∑
5判断矩阵一致性指标C.I.（Consistency Index ）：
max C.I.=
1
n
n λ--
6随机一致性比率C.R.（Consistency Ratio ）：
C.I.
C.R.=
R.I.
对于多阶判断矩阵，引入平均随机一致性指标R.I.（Random Index ），下表给出了1-15阶正互反矩阵计算1000次得到的平均随机一致性指标，当C.R.0.10时，便认为判断矩阵具有可以接受的一
致性。
方根法具体计算步骤
1将判断矩阵的每一行元素相乘：
1n
i ij j m b ==∏ 1,2,,i n =K
2计算i m 的n 次方根'i w ：
'i w = 1,2,,i n =K
3对向量''''T 12(,,,)n W w w w =K 作归一化处理：
'
'1
i i n
i
i w w w
==
∑ 1,2,,i n =K
得到T 12(,,,)n W w w w =K 即为所求特征向量的近似解。