医学统计学-几种离散型变量的分布及其应用.共83页
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离散型随机变量及其分布列 课件
X0
1 …m
P
C0MCNn－－0M CnN
C1MCNn－－1M CnN
…
CmMCnN－－mM CNn
• 辨析感悟
• 1．离散型随机变量
• (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是 随机变量．(√)
• (2)离散型随机变量的分布列中，随机变量 取各个值的概率之和可以小于1. (×)
• (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事 件是彼此互斥的． (√)
• (2)求X的数学期望E(X)．
解 (1)由题意得 X 取 3,4,5,6，
且 P(X＝3)＝CC3539＝452，P(X＝4)＝CC14·C93 25＝1201， P(X＝5)＝CC24·C93 15＝154，P(X＝6)＝CC3439＝211.
所以 X 的分布列为
X3 4 5 6
P
5 42
10 21
0
1
P 1－p p
• ，其中p＝P(X＝1)称为成功概率．
(2)超几何分布：在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其
CkMCnN－－kM 中恰有 X 件次品，则 P(X＝k)＝ CnN ，k＝0,1,2，…，m，
其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机
变量 X 服从超几何分布.
• 从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5 监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本， 监测值频数如下表所示：
PM2.5 日均值( [25,3 (35,4 (45,5 (55,6 (65,7 (75,8 微克/立 5] 5] 5] 5] 5] 5]
方米)
频数 3 1 1 1 1 3
•(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天， 求恰有一天空气质量达到一级的概率；
离散型随机变量的分布列 课件
ξ＝－1 有以下 6 种情况：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，
4)，(3，4)，故 P(ξ＝－1)＝166＝38；
ξ＝1 有以下 2 种情况：(3，2)，(4，3)，故 P(ξ＝1)＝126＝18，
所以随机变量 ξ 的分布列为
ξ －1 0 1
P
3 8
11 28
探究点 2 离散型随机变量的分布列的性质 设随机变量 X 的分布列 P(X＝k5)＝ak(k＝1，2，3，4，
5)． (1)求常数 a 的值； (2)求 P(X≥35)； (3)求 P(110＜X＜170)．
【解】 (1)由 P(X＝k5)＝ak，k＝1，2，3，4，5 可知，
k＝5 1P(X＝k5)＝k＝5 1ak＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，
解得 a＝115. (2)由(1)可知 P(X＝k5)＝1k5(k＝1，2，3，4，5)， 所以 P(X≥35)＝P(X＝35)＋P(X＝45)＋P(X＝1) ＝135＋145＋155＝45.
探究点 3 两点分布与超几何分布 一个袋中装有 6 个形状大小完全相同的小球，其中红
球有 3 个，编号为 1，2，3；黑球有 2 个，编号为 1，2；白球 有 1 个，编号为 1.现从袋中一次随机抽取 3 个球． (1)求取出的 3 个球的颜色都不相同的概率． (2)记取得 1 号球的个数为随机变量 X，求随机变量 X 的分布列．
随机变量 X 的分布列为 P(X＝k)＝k（k＋c 1），
k＝1，2，3，4，c 为常数，则 P 23＜X＜52 的值为(
)
A.4
B.5
5
6
C.2
D.3
3
4
解析：选 B.由题意1×c 2＋2×c 3＋3×c 4＋4×c 5＝1， 即45c＝1，c＝54， 所以 P23＜X＜52 ＝P(X＝1)＋P(X＝2) ＝54×1×1 2＋2×1 3 ＝56.故选 B.
医学统计学课件：第六章 几种离散型变量的分布及其应用
2020/10/18
医学统计学 第六章 几种离散型变量的分布及其应用
1.52 SPSS: 常用PDF函数(23种)
11
BERNOULLI：贝努里。
BINOM：二项分布。
CHISQ：卡方分布。
第七章。
F：F分布，第四章。
NORMAL：正态分布。
POISSON：泊松分布。
下一节。
T：t分布。
UNIFORM：均匀分布。
从阳性率为 的总体中随机抽取大小为 n 的
样本，则出现阳性数为 X 的概率分布呈二项分布，
记为 X~B(n,)。
2020/10/18
医学统计学 第六章 几种离散型变量的分布及其应用
1.2 二项分布，binomial distribution
6
用某药治疗某种疾病，其疗效分为有效或无效， 每个病案的有效率相同； 在动物的致死性试验中，动物的死亡或生存； 接触某种病毒性疾病的传播媒介后，感染或非 感染等。
X 2 X 1 X 0
n 3，( (1 ))3 3 3 2(1 ) 3 (1 )2 (1 )3
2020/10/18
XБайду номын сангаас3
X 2 X 1
X 0
医学统计学 第六章 几种离散型变量的分布及其应用
1.5 例6-1 二项分布概率的计算
9
某种药物治疗某种非传染性疾病的有效率为 0.70。今用该药治疗该疾病患者10人。计算10 人中有6人、7人、8人有效概率。
P(8) 10! 0.708 (1 0.70)108 0.23347 8!(10 8)!
2020/10/18
医学统计学 第六章 几种离散型变量的分布及其应用
1.51 SPSS: PDF函数
医学统计学 几种离散型变量的分布及其应用
Bernoulli试验）中，当每次试验的“阳性” 概率保持不变时，出现“阳性”的次数X=0，
1，2，…，n的一种概率分布。
2020/2/10
医学统计学
在医学中类似如这种n重Bernoulli试验的 情形较为常见。
如用某种药物治疗某种疾病，其疗效分 为有效或无效；
在动物的致死性试验中，动物的死亡或 生存；
如： 的95%可信区间为 ( p 1.96Sp, p 1.96Sp ) 的99%可信区间为 ( p 2.58Sp, p 2.58Sp )
例6-3 在观测一种药物对某种非传染性疾病 的治疗效果时，用该药治疗了此种非传染性 疾病患者100人，发现55人有效，试据此估 计该药物治疗有效率的95%可信区间。
现 9 人有效。问甲、乙两种药物的疗效是否不同？
显然，这是双侧检验的问题。记乙药治疗该疾病
的有效率为π，其假设检验为
H0：π=0.60
H1：π 0.60
=0.05
本例 n=10，按π=0.60，实际样本阳性数 X =9 出现
的概率由公式（6-1）有
P( X
9)
10! 0.60 9 (1 0.60)109 9!(10 9)!
P(6) 10! 0.706 (1 0.70)106 0.20012 6!(10 6)!
P(7) 10! 0.707 (1 0.70)107 0.26683
7!(10 7)!
P(8) 10! 0.708 (1 0.70)108 0.23347
8!(10 8)!
大，分布趋于对称。当n 时，只要π不
太靠近0或1，二项分布则接近正态分布， 见图6-2。
P(X)
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
1，2，…，n的一种概率分布。
2020/2/10
医学统计学
在医学中类似如这种n重Bernoulli试验的 情形较为常见。
如用某种药物治疗某种疾病，其疗效分 为有效或无效；
在动物的致死性试验中，动物的死亡或 生存；
如： 的95%可信区间为 ( p 1.96Sp, p 1.96Sp ) 的99%可信区间为 ( p 2.58Sp, p 2.58Sp )
例6-3 在观测一种药物对某种非传染性疾病 的治疗效果时，用该药治疗了此种非传染性 疾病患者100人，发现55人有效，试据此估 计该药物治疗有效率的95%可信区间。
现 9 人有效。问甲、乙两种药物的疗效是否不同？
显然，这是双侧检验的问题。记乙药治疗该疾病
的有效率为π，其假设检验为
H0：π=0.60
H1：π 0.60
=0.05
本例 n=10，按π=0.60，实际样本阳性数 X =9 出现
的概率由公式（6-1）有
P( X
9)
10! 0.60 9 (1 0.60)109 9!(10 9)!
P(6) 10! 0.706 (1 0.70)106 0.20012 6!(10 6)!
P(7) 10! 0.707 (1 0.70)107 0.26683
7!(10 7)!
P(8) 10! 0.708 (1 0.70)108 0.23347
8!(10 8)!
大，分布趋于对称。当n 时，只要π不
太靠近0或1，二项分布则接近正态分布， 见图6-2。
P(X)
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
离散型变量及其分布
第二章 随机变量及其分布
定义
§2 离散型随机变量及其分布律
定义 如果随机变量 X 的取值是有限个或可列无限个，则称 X 为离散型随机变量． 如抽查一批产品得到的次品数 ξ ，球队在一场比赛中的得分数 η 等都是离散型随机变量． 定义 设离散型随机变量 X 的所有可能的取值为 xk (k = 1, 2, L) ， 并设 X 取各个可能值的概率（即事件{ X = xk }的概率 pk）为 P{ X = xk } = pk , k = 1, 2, L ． （2.2.1） ∞ p 且满足：k ≥ 0 , ∑ pk = 1，则称式（2.2.1）为离散型随机变量 X 的分布
k =1
律（也称概率分布）． X 的分布律也可用如下表格表示．
X
p k = P{ X = xk }
x1
p1p3
L L
xk
pk
L L
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第二章 随机变量及其分布
例题
§2 离散型随机变量及其分布律
例1 设事件 A在一次试验中发生的概率为 p ，在伯努利试验中 ，一直重复到 A 发生 k 次（ k ≥ 1）为止，以 X 表示停止试验时的试 验次数，求 X 的分布律． 解 X 可能的取值为 k , k + 1,L , n,L ，且
§2 离散型随机变量及其分布律 §2 离散型随机变量及其分布律
, 递增； 递减．
(1)当 k < (n + 1) p 时, (2)当 k > (n + 1) p 时,
pk < 1, p k p k −1
第二章 随机变量及其分布
二项分布（2）
§2 离散型随机变量及其分布律
从上式可以得到，概率 P{X =k}先随 k 的增大而增加，直至达到 最大值，随后随 k 的增大而减少，且当 (n + 1) p是整数，k 取 ( n + 1 ) p ， (n+1) p−1时取最大值；当 ( n + 1) p 不是整数， 取 [( n + 1) p ] 时取最大值． k 例2 设某种动物在正常情况下感染某种传染病的概率为20%， 现新发现两种疫苗，疫苗A注射给9只健康动物后无1只感染传染病 ，疫苗B注射给25只健康动物后仅有1只感染，试问如何评价这两种 疫苗，能否初步估计哪种较为有效，并求在正常情况下，没有注射 疫苗的9只动物和25只动物最有可能受感染的动物数． 解 （1）若疫苗A完全无效，则注射后感染的概率仍为0.20， 故9只动物无1只感染的概率为 C90 (0.2) 0 (0.8) 9 = 0.1342 ．同理，若疫 苗B完全无效，则25只中至少有1只感染的概率为 0 1 C25 (0.2)0 (0.8)25 + C25 (0.2)1(0.8)24 = 0.0274．因为概率0.0274很小，并且比概 率0.1342小得多，因此，可以初步认为疫苗B比疫苗A更有效． 返回主目录
定义
§2 离散型随机变量及其分布律
定义 如果随机变量 X 的取值是有限个或可列无限个，则称 X 为离散型随机变量． 如抽查一批产品得到的次品数 ξ ，球队在一场比赛中的得分数 η 等都是离散型随机变量． 定义 设离散型随机变量 X 的所有可能的取值为 xk (k = 1, 2, L) ， 并设 X 取各个可能值的概率（即事件{ X = xk }的概率 pk）为 P{ X = xk } = pk , k = 1, 2, L ． （2.2.1） ∞ p 且满足：k ≥ 0 , ∑ pk = 1，则称式（2.2.1）为离散型随机变量 X 的分布
k =1
律（也称概率分布）． X 的分布律也可用如下表格表示．
X
p k = P{ X = xk }
x1
p1p3
L L
xk
pk
L L
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第二章 随机变量及其分布
例题
§2 离散型随机变量及其分布律
例1 设事件 A在一次试验中发生的概率为 p ，在伯努利试验中 ，一直重复到 A 发生 k 次（ k ≥ 1）为止，以 X 表示停止试验时的试 验次数，求 X 的分布律． 解 X 可能的取值为 k , k + 1,L , n,L ，且
§2 离散型随机变量及其分布律 §2 离散型随机变量及其分布律
, 递增； 递减．
(1)当 k < (n + 1) p 时, (2)当 k > (n + 1) p 时,
pk < 1, p k p k −1
第二章 随机变量及其分布
二项分布（2）
§2 离散型随机变量及其分布律
从上式可以得到，概率 P{X =k}先随 k 的增大而增加，直至达到 最大值，随后随 k 的增大而减少，且当 (n + 1) p是整数，k 取 ( n + 1 ) p ， (n+1) p−1时取最大值；当 ( n + 1) p 不是整数， 取 [( n + 1) p ] 时取最大值． k 例2 设某种动物在正常情况下感染某种传染病的概率为20%， 现新发现两种疫苗，疫苗A注射给9只健康动物后无1只感染传染病 ，疫苗B注射给25只健康动物后仅有1只感染，试问如何评价这两种 疫苗，能否初步估计哪种较为有效，并求在正常情况下，没有注射 疫苗的9只动物和25只动物最有可能受感染的动物数． 解 （1）若疫苗A完全无效，则注射后感染的概率仍为0.20， 故9只动物无1只感染的概率为 C90 (0.2) 0 (0.8) 9 = 0.1342 ．同理，若疫 苗B完全无效，则25只中至少有1只感染的概率为 0 1 C25 (0.2)0 (0.8)25 + C25 (0.2)1(0.8)24 = 0.0274．因为概率0.0274很小，并且比概 率0.1342小得多，因此，可以初步认为疫苗B比疫苗A更有效． 返回主目录
医药数理统计方法2-2常见离散型随机变量的分布
数理统计
02-02-15
例（药效试验）设某种鸭子在一定 条件下感染某种疾病的概率为0.20， 现发明了两种疫苗。
疫苗A：注射了9只鸭子后，没有一
只被感染；
疫苗B：注射了25只鸭子后，至多有
一只被感染；
试评价这两种疫苗的疗效。
数理统计
02-02-16
例（新药疗效的鉴定）根据以往的
资料分析，小白鼠感染某病的概率 为0.30，现对20只健康的小白鼠注射 一种新的血清，实验结果为至多有2 只小白鼠受感染，试问这种血清是 否有一定的预防效果？
B(2,p2),…,B(n,pn),…，且
ln i m npn 0，则
k
ln i m Pn(Xk)k!e
数理统计
02-02-20
例 已知某地区的人群中患某种病 的概率为0.001，试求在检查5000人 中至少有两人患此病的概率。
数理统计
02-02-21
例（微生物的浓度）
在500毫升水中含有150只微生物， 现任意抽取1毫升溶液，问其中含有 多于1只微生物的概率。
数理统计
02-02-18
Poisson 分布(Poisson distribution) 若随机变量 X 的概率函数为
P (Xk)ke (0,k0,1 ,2, )
k!
则称 X 服从参数为 的 Poisson 分布， 记作 X~P()。
数理统计
02-02-19
Poisson 定理 设 有 一 个 二 项 分 布 列 B(1,p1),
数理统计
02-02-14
EXAMPLE (1) Fewer than 5 will have muscular dystrophy; (2) Five will have muscular dystrophy; (3) Fewer than 8 and more than 2 will have muscular dystrophy.
常见离散型随机变量的分布
P(X
k)
C
k n
pk (1
p)nk
k 0,1, 2, ..., n
称X所服从的分布为二项分布. 记为 X~B(n,p)或X~b(n,p).
二项分布X的分布列表（q=1-p)
X0
1
k
n
P qn Cn1 pqn1
Cnk pk qnk
pn
说明：若X ~ B(n, p),则
二项分布 n 1 两点分布
28
EX E( X1 X 2 X n ) EX1 EX 2 EX n np DX D( X1 X 2 X n ) DX1 DX 2 DX n np(1 p) npq 注：利用方差和的性质时要注意相互独立的条件。
例2 设X表示 10次独立重复射击命中目标的次 数,每次射中目标的概率为0.4, 则X2的数学期 望E(X2)=( 18.4 )
k 0
k0 k !
e
k 1
k1 (k 1)!
ee
E(X )
D(X )
E( X 2 ) k 2P{X k} [k (k 1) k ] k e
k 0
k 0
k!
2e
k 2
E(X )
k2 (k 2)!
2ee 2
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 2 2
P ( X 3 ) P ( A1 A2 A3 ) (1 p)2 p
所求射击次数X的概率分布为：
P ( X k ) (1 p )k1 p k 1, 2,
四、几何分布
在独立重复伯努利试验中，若成功率（事件A发 生的概率）为p，如果X为首次成功（事件A首次 发生）时的试验次数，X的分布列为
例4、设随机变量 X 服从参数为λ的泊松分布，且已知
第六章 几种离散型变量的分布及其应用(正式)
n−x
× × 死 0.2×0.2×0.8=0.032
3 × × 生 0.2×0.8×0.2=0.032 p (x = 1 ) = (1 )π 1 (1 − π )2 = 0.096
2
1
生 死 生
× × 生 0.8×0.2×0.2=0.032 × × 死 0.2×0.8×0.8=0.128 × × 死 0.8×0.2×0.8=0.128 p (x = 2 ) = ( 3 )π 2 (1 − π )1 = 0 .384 2 × × 生 0.8×0.8×0.2=0.128 × × 死 0.8×0.8×0.8=0.512 p(x = 3) =
25
10
10
结论： 结论： 水准， 按α=0.05水准，拒绝 0，接受H1， 水准 拒绝H 接受 认为实施峡部-峡部吻合术妇女的受孕率 认为实施峡部 峡部吻合术妇女的受孕率 要高于壶腹部-壶腹部吻合术妇女的受孕 要高于壶腹部 壶腹部吻合术妇女的受孕 率。
26
直接法(双侧检验 直接法 双侧检验) 双侧检验 回答的是“有无差别” 回答的是“有无差别”，所要计算的双 侧 检验概率P值应为实际样本(记“阳性” 检验概率 值应为实际样本 记 阳性” 值应为实际样本 次 数为k次)出现的概率与更背离无效假设 数为 次 出现的概率与 出现的概率 的极端样本(“阳性 次数i≠k)出现的概 阳性” 的极端样本 阳性”次数 出现的概 率之和。 率之和。
n=3,π=0.5的二项分布 的二项分布
0.4 0.3 pX () 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X
n=10,π=0.5的二项分布 的二项分布
0.5 0.4 pX () 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X