离散型随机变量及其分布函数
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离散型随机变量的概率函数和分布函数的性质和分析
离散型随机变量的概率函数和分布函数的性质和分析随机变量是概率论中的重要概念，它描述了随机事件的可能结果。
离散型随机变量是指可能取有限个或者可数个值的随机变量。
在概率论中，我们通常通过概率函数和分布函数来描述离散型随机变量的性质和分布情况。
概率函数是离散型随机变量的重要工具，它定义了随机变量取某个特定值的概率。
对于一个离散型随机变量X，其概率函数可以表示为P(X=x)，其中x为X可能取的某个值。
概率函数具有以下性质：1. 非负性：对于任意的x，P(X=x)≥0。
2. 正则性：所有可能取值的概率之和等于1，即∑P(X=x)=1。
通过概率函数，我们可以计算离散型随机变量的期望值、方差等统计量。
例如，对于一个服从二项分布的离散型随机变量X，其概率函数可以表示为P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，其中n为试验次数，k为成功次数，p为成功的概率。
通过计算概率函数，我们可以得到二项分布的期望值为E(X)=np，方差为Var(X)=np(1-p)。
除了概率函数，分布函数也是描述离散型随机变量的重要工具。
分布函数描述了随机变量小于等于某个特定值的概率。
对于离散型随机变量X，其分布函数可以表示为F(x)=P(X≤x)。
分布函数具有以下性质：1. 单调性：对于任意的x1<x2，有F(x1)≤F(x2)。
2. 有界性：对于任意的x，0≤F(x)≤1。
3. 右连续性：对于任意的x，有lim[F(x+Δx)]=F(x)，其中Δx→0。
通过分布函数，我们可以计算离散型随机变量落在某个区间的概率。
例如，对于一个服从泊松分布的离散型随机变量X，其分布函数可以表示为F(x)=∑(k=0 to x)P(X=k)=e^(-λ)∑(k=0 to x)λ^k/k!，其中λ为平均发生率。
通过计算分布函数，我们可以得到泊松分布在某个特定值x处的概率P(X=x)=e^(-λ)λ^x/x!。
概率函数和分布函数是描述离散型随机变量的重要工具，它们可以帮助我们了解随机变量的性质和分布情况。
离散型随机变量及其分布函数_图文
5.超几何分布
设X的分布律为
说明 超几何分布在关于废品率的计件检验中常用到.
三、内容小结
1.常见离散型随机变量的分布 两点分布 二项分布 泊松分布
几何分布 超几何分布
两点分布
二项分布
泊松分布
则 X 的取值范围为 (a, b) 内的任一值.
定义 说明
离散型随机变量的分布律也可表示为 或
例1 设一汽车在开往目的地的路上需经过四盏信号
灯.每盏灯以
的概率禁止汽车通过.以
表示汽车首次停下时已经过的信号灯盏数（信
号灯的工作是相互独立的），求 的分布律.
Байду номын сангаас
离散型随机变量的分布函数与其分布律之间的关系 ：
也就是： 分布律
分布函数
二、常见离散型随机变量的概率分布
1.两点分布
设随机变量 X 只取0与1两个值 , 它的分布律为
则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布或伯努利分布.
说明
两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
离散型随机变量及其分布函数_图文.ppt
一、离散型随机变量的分布函数
随机变量
离散型 非离散型
连续型 其它 (1)离散型 若随机变量所有可能的取值为有限个
或可列无穷个，则称其为离散型随机变量.
实例1 观察掷一个骰子出现的点数. 随机变量 X 的可能值是 : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
实例2 若随机变量 X 记为 “连续射击, 直至命 中时的射击次数”, 则 X 的可能值是:
二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放射出的 粒子个数的情况时, 他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)，发现 放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子 数X 服从泊松分布.
离散型随机变量及其分布律
解 由 0 p 1 ( k 0 , 1 , 2 , ), p 1 k k k 0 1 k ( ) a 得 k 1 即 a 3 1 ! k! k 03 k k0 1k 1 1 ( ) ae 3 3 e3 ! k 0 k
2. 离散型随机变量分布律与分布函数及 事件概率的关系 (1) 若已知 X 的分布律：
X
pk
0 1 2
1 2
1
实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格 品,现从中随机抽取一件,那末,若规定
1 , 取得不合格品, X 0 , 取得合格品.
X
0
190 200
1
10 200
pk
则随机变量 X 服从(0-1)分布.
说明 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
p P { X x } k k
或
F ( x ) F ( x 0 ) k k k 1 , 2 , ) F ( x ) F ( x ) ( k k 1
( P { X x } P { x X x } ) k k 1 k 注 1º 离散型随机变量X的分布函数F(x)是阶
梯函数，x1, x2,· · · ,是F(x)的第一类间断 点, 而X在xk（k=1,2, · · ·）处的概率就是
F(x)在这些间断点处的跃度.
2º P { a X b }
P { a X b } P { X a } P { X b }
[ F ( b ) F ( a )] [ F ( b ) F ( b 0 )] [ F ( a ) F ( a 0 )]
2-2离散型随机变量及其分布律
松定理（第二章）和中心极限定理（第五章），利用这些定理
可以近似计算出它们的值．
3．泊松分布
定义 2.5 如果随机变量 X 的分布律为
P{X k} k e ， k 0,1, 2,L ， 0 ，
k!
就称 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ P() ．
【注 1】 P{X
k
k}
e
0 ， k 0,1, 2,L
一般地，在随机试验 E 中，如果样本空间 只包含两个
样本点
{1,2}，且
X
0, 1,
若 =1 , 若 =2 ,
则 X ~ B(1, p) ，其中 p P{X 1} P({2}) ．
在现实生活中，0 1两点分布有着广泛的应用．例如某产品 合格与不合格；某课程的考试及格与不及格；某事件 A 发生与 不发生等许多现象都能够刻划成 0 1两点分布．
§2 离散型随机变量及其分布律
一、离散型随机变量及其分布律的概念 定义 2.1 若随机变量 X 的取值为有限个或可列无限多个，就 称 X 为离散型随机变量．
定义 2.2 设 X 为离散型随机变量，其所有可能的取值为 x1, x2 ,L , xi ,L ，且
P{X xi} pi ， i 1, 2,L ．
的概率为 0.6 ，求该射手在 4 次射击中，命中目标次数 X 的
分布律，并问 X 取何值时的概率最大． 解 将每次射击看成一次随机试验，所需考查的试验结果只
有击中目标和没有击中目标，因此整个射击过程为 4 重的贝
努里试验．故由题意知， X ~ B(4, 0.6) ，即
P{X k} C4k 0.6k 0.44k ， k 0,1, 2,3, 4 ．
P{X
10}
离散型随机变量及其分布规律
解:
例5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，
已知他每发命中的概率是p，求射击次数X 的分布列.
解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ， 为计算 P(X =k )， k = 1,2, …，
设 Ak = {第k 次命中}，k =1, 2, …，
于是
P(X =1)=P(A1)=p,
P(X 2)P(A1A2 ) (1 p)p
P(X 3)P(A1A2 A3)(1 p)2p
可见 P(Xk)(1 p)k1p k1,2,
这就是所求射击次数 X 的分布列.
若随机变量X的分布律如上式， 则称X 服从
几何分布. 不难验证:
(1 p)k1p 1
k 1
几个重要的离散性随机变量模型
(0,1)分布 二项分布 波松分布
一、 (0-1)分布 （二点分布）
按Po
k
n=10 n=20 n=40 n=100 =np=1 p=0. p=0.05 p=0.02 p=0.01
0 10.349 0.3585 0.369 0.366
0
1 0.305 0.377 0.372 0.370
0
2 0.194 0.189 0.186 0.185
0
3 0.057 0.060 0.060 0.061
•• • • • • • 56 7 8 9 10
•
•
•
•
•
•
•
•
•20x
二项分布的图形特点:
X ~ Bn, p
对于固定n 及 P， 当k 增加时 , 概率P (X = k ) 先是随之增加
Pk
直至达到最大值, 随后单调减少.
当 n 1p 不为整数时， n 1p 二项概率 PX k
第二节 离散型随机变量及其分布
说明： 1) 泊松分布与二项分布的关系：这两个分布的数学模 型都是Bernoulli概型。Poisson分布是二项分布当n很大 p 很小时的近似计算。 2) Poisson分布主要用于描述一些稀有事件，如地震、 火山爆发、特大洪水等等。
例3.1.3 (进货问题）由某商店过去的销售记录知
道，海尔彩电每月的销售数可用参数为λ =5的泊 松分布来描述，为了以95%以上的把握保证月底不 脱销，问商店在月底至少应进多少台？ 解：设每月的销售数为X，月底进N台，则
其概率分布为 P ( X 1) 3 10 即X服从两点分布。
7 P( X 0) 10
(2) 二项分布 B ( n, p )
背景：n 重Bernoulli 试验中，每次试验感兴 趣的事件A 在 n 次试验中发生的次数 —— X是一离散型随机变量
若P ( A ) = p , 则
Pn ( k ) P ( X k ) C p (1 p)
P{ X 1} 1 P{ X 0} =1 0.99
成功次数服从二项概率
400
0.9820
B(400, 0.01)
有百分之一的希望，就要做百分之百的努力!
(3) Poisson 分布 ( ) 或 P ( )
k! 其中 0 是常数，则称 X 服从参数为 的Poisson 分布，记作 ( ) 或 P ( )
k n k
n k
, k 0,1,, n
称 X 服从参数为n, p 的二项分布(也叫Bernolli 分布).记作
X ~ B( n, p)
0 – 1 分布是 n = 1 的二项分布.
例3.1.1 一大批产品的次品率为0.1，现从中取
出15件．试求下列事件的概率： B ={ 取出的15件产品中恰有2件次品 } C ={ 取出的15件产品中至少有2件次品 }
例3.1.3 (进货问题）由某商店过去的销售记录知
道，海尔彩电每月的销售数可用参数为λ =5的泊 松分布来描述，为了以95%以上的把握保证月底不 脱销，问商店在月底至少应进多少台？ 解：设每月的销售数为X，月底进N台，则
其概率分布为 P ( X 1) 3 10 即X服从两点分布。
7 P( X 0) 10
(2) 二项分布 B ( n, p )
背景：n 重Bernoulli 试验中，每次试验感兴 趣的事件A 在 n 次试验中发生的次数 —— X是一离散型随机变量
若P ( A ) = p , 则
Pn ( k ) P ( X k ) C p (1 p)
P{ X 1} 1 P{ X 0} =1 0.99
成功次数服从二项概率
400
0.9820
B(400, 0.01)
有百分之一的希望，就要做百分之百的努力!
(3) Poisson 分布 ( ) 或 P ( )
k! 其中 0 是常数，则称 X 服从参数为 的Poisson 分布，记作 ( ) 或 P ( )
k n k
n k
, k 0,1,, n
称 X 服从参数为n, p 的二项分布(也叫Bernolli 分布).记作
X ~ B( n, p)
0 – 1 分布是 n = 1 的二项分布.
例3.1.1 一大批产品的次品率为0.1，现从中取
出15件．试求下列事件的概率： B ={ 取出的15件产品中恰有2件次品 } C ={ 取出的15件产品中至少有2件次品 }
第二节 离散性随机变量及其分布
X 0 0.1 1 0.6
。 。 。
1
2 0.3
解： F ( x )＝P{ X x }
0, 0.1, ＝ 0.7, 1, x0 0 x1 1 x 2 x2
1
Pk
F ( x)
0
2
x
0, 0.1 , F ( x )＝ 0.7 , 1,
k!
,
k =0,1,2, …,
0
解: 依据概率分布的性质: P{X =k}≥0,
P{ X k } 1
k 0
这里用到了幂级数 展开式
欲使上述函数为概率分布
a≥0
a
k 0
k
k!
e
ae 1
k!
k 0
k
从中解得
ae
。
3. 利用分布律求事件概率 离散型随机变量的分布律不仅给出了{X=xk }
x0 0, F ( x )＝P{ X x }＝ x, 0 x 1 1, x1
1
x
0
1
用分布函数描述随机变量不如分布律直观， 对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？
a
b
P{a X b} ?
的概率，而且通过它可以求事件{a X b}, a b 发生的概率。 由概率的有限可加性有
P{a X b}
a xk b
P{ X xk }
a xk b
pk
例2.3 设袋中有5只球，其中有2只白3只红。现从
中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概
注:
1. 这里分布函数的定义对任何随机变量都适用。 2. 分布函数F(x)＝P {Xx} 是一个普通的函数，它 的自变量是全体实数。掌握了X的分布函数就掌 握了X在(－∞, +∞)上的概率分布情况。
。 。 。
1
2 0.3
解： F ( x )＝P{ X x }
0, 0.1, ＝ 0.7, 1, x0 0 x1 1 x 2 x2
1
Pk
F ( x)
0
2
x
0, 0.1 , F ( x )＝ 0.7 , 1,
k!
,
k =0,1,2, …,
0
解: 依据概率分布的性质: P{X =k}≥0,
P{ X k } 1
k 0
这里用到了幂级数 展开式
欲使上述函数为概率分布
a≥0
a
k 0
k
k!
e
ae 1
k!
k 0
k
从中解得
ae
。
3. 利用分布律求事件概率 离散型随机变量的分布律不仅给出了{X=xk }
x0 0, F ( x )＝P{ X x }＝ x, 0 x 1 1, x1
1
x
0
1
用分布函数描述随机变量不如分布律直观， 对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？
a
b
P{a X b} ?
的概率，而且通过它可以求事件{a X b}, a b 发生的概率。 由概率的有限可加性有
P{a X b}
a xk b
P{ X xk }
a xk b
pk
例2.3 设袋中有5只球，其中有2只白3只红。现从
中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概
注:
1. 这里分布函数的定义对任何随机变量都适用。 2. 分布函数F(x)＝P {Xx} 是一个普通的函数，它 的自变量是全体实数。掌握了X的分布函数就掌 握了X在(－∞, +∞)上的概率分布情况。
2.2离散型随机变量及其分布
k k PX k C n p (1 p ) n k
k 0,1, , n,
其中0<p<1, 称X服从参数为n,p的二项分布，记为 X~b(n,p)。
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在n重贝努里试验中，假设A在每次试验中出现 的概率为p，若以X表示n次试验中A出现的次数。那 么由二项概率公式得X的分布律为：
第二节
离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量和概率分布 定义3：如果随机变量所有的可能取值为有限个或 可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。 定义4：设离散型随机变量X的可能取值为xk (k=1,2, …),事件 { X x k } 发生的概率为pk ,即
P { X x k } pk
k k PX k C n p (1 p ) n k
k 0,1, , n
即X服从二项分布。 当n=1时，二项分布化为：P{X=k}=pk(1-p)1-k 即为（0－1）分布 （0－1）分布可用b(1，p)表示。
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k=0,1
k nk n p ( 1 p ) P{X = k}= C k 恰好是 [ Ｐ +(1 － Ｐ )] n 二项展开式中出现pk的那一项，这就是二项分布 名称的由来。
e 5 5 k 0.95 k! k 0
a
e5 5k 即 0.05 k a 1 k !
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查表可得
e 10 ≈0.031828<005 k! k 10
即 a 1 10， a 9
于是，这家商店只要在月底进货这种商品9件 （假定上个月没有存货），就可以95%以上的把握 保证这种商品在下个月不会脱销.
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k 0,1, , n,
其中0<p<1, 称X服从参数为n,p的二项分布，记为 X~b(n,p)。
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在n重贝努里试验中，假设A在每次试验中出现 的概率为p，若以X表示n次试验中A出现的次数。那 么由二项概率公式得X的分布律为：
第二节
离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量和概率分布 定义3：如果随机变量所有的可能取值为有限个或 可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。 定义4：设离散型随机变量X的可能取值为xk (k=1,2, …),事件 { X x k } 发生的概率为pk ,即
P { X x k } pk
k k PX k C n p (1 p ) n k
k 0,1, , n
即X服从二项分布。 当n=1时，二项分布化为：P{X=k}=pk(1-p)1-k 即为（0－1）分布 （0－1）分布可用b(1，p)表示。
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k=0,1
k nk n p ( 1 p ) P{X = k}= C k 恰好是 [ Ｐ +(1 － Ｐ )] n 二项展开式中出现pk的那一项，这就是二项分布 名称的由来。
e 5 5 k 0.95 k! k 0
a
e5 5k 即 0.05 k a 1 k !
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查表可得
e 10 ≈0.031828<005 k! k 10
即 a 1 10， a 9
于是，这家商店只要在月底进货这种商品9件 （假定上个月没有存货），就可以95%以上的把握 保证这种商品在下个月不会脱销.
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•因此 P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1} 1 (0.98)400 400(0.02)(0.98)399 0.9972.
•3. 泊松分 设布随机变量所有可能取的值为 0, 1, 2,L ,而取各个
值的概率为
P{X k} ke , k 0,1, 2,L ,
k!
其中 0是常数.则称 X 服从参数为的泊松分 布,记为 X ~ ().
•随机变量 X 的可能值是 : •1, 2, 3, 4, 5, 6
•实例2 若随机变量 X 记为 “连续射击, 直至命中时的射击次数”, 则 X 的可能值是:
1, 2, 3, .
•实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,
•现该射手射了30次,则随机变量 X 记为“击中目标 •的次数”•, 则 X 的所有可能取值
数
数
泊松定理 设 X ~ B(n, pn ) P{X k} Cnk pnk (1 pn )nk
且满足
npn 0
则对任意非负整数k , 有
第2.2节 离散型随机变量 及其分布函数
•一、离散型随机变量的分布函数 •二、几种常见的离散型随机变量 •三、小结
•一、离散型随机变量的分布函数
•随机变量
•离散型 •非离散型
•连续型 •其它 • (1)离散型 若随机变量所有可能的取值为有限
个或可列无穷个，则称其为离散型随机变量.
•实例1 • 观察掷一个骰子出现的点数.
P{ X k} 0.001, 当 k 11时
•图示概率分布
•例3 某人进行射击,设每次射击的命中率为0.02, 独立射击 400 次,试求至少击中两次的概率.
•解 设击中的次数为 X ,
则 X ~ B(400,0.02). X 的分布律为
P{ X k} 400(0.02)k (0.98)400k , k 0,1, ,400. k
xk x
二、常见离散型随机变量的概率分布
•1.两点分布
• 设随机变量 X 只取0与1两个值 , 它的分布
律为
X
0
1pk 1 p源自p•则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布或伯努利
分布.
•说明
•
两点分布是最简单的一种分布,任何一
个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿
是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,
P{ X 0} 0.012 P{ X 4} 0.218 P{ X 8} 0.022 P{ X 1} 0.058 P{ X 5} 0.175 P{ X 9} 0.007 P{ X 2} 0.137 P{ X 6} 0.109 P{ X 10} 0.002 P{ X 3} 0.205 P{ X 7} 0.055
解：X的分布律为
X0
1
2
3
4
pk
p
(1 p) p (1 p)2 p (1 p)3 p (1 p)4
•离散型随机变量的分布函数与其分布律之间的关
系：
F ( x ) P{ X x} pk P ( X xk ).
xk x
xk x
•也就是：
•分布律 pk P{ X xk }
•分布函数 F ( x) P{ X x} pk
•例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电
•话呼唤次数等都服从泊松分布.
•地震
•火山爆发
•特大洪水
•
在生物学、医学、工业统计、保险科学及
•公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的.
•例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电
•话呼唤次数等, 都服从泊松分布.
•商场接待的顾客 •电话呼唤次 •交通事故次数
为: 0, 1, 2, 3, , 30.
• (2)连续型 若随机变量所有可能的取值可以连续 • 地充满某个区间,则称其为连续型随机变量.
•实例1 随机变量 X 为“灯泡的寿
命”.
•则 X 的取值范围为[0, ).
•实例2 随机变量 X 为“测量某零件尺寸时的测误
差• ”.
•则 X 的取值范围为 (a, b) 内的任一值.
k 1
•离散型随机变量的分布律也可表示为
X ~ x1 x2 xn p1 p2 pn
•或
X
x1 x2 xn
pk
p1 p2 pn
例1 设一汽车在开往目的地的路上需经过四盏信号 灯.每盏灯以 （p 0 p 1) 的概率禁止汽车通过.以
X 表示汽车首次停下时已经过的信号灯盏数（信 号灯的工作是相互独立的），求 X的分布律.
•泊松分布的背景及应用
• 二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察
•与分析放射性物质放射出的 粒子个数的情况时,
•他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)，发现 •放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子 •数X 服从泊松分布.
•
在生物学、医学、工业统计、保险科学及
•公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的.
•定义 设离散型随机变量X 所有可能取的值为 xk (k 1,2, ), X 取各个可能值的概率, 即事件 { X xk } 的概率,为
P{ X xk } pk , k 1,2, . 称此式为离散型随机变量 X 的分布律.
•说
(1) pk 0, k 1,2, ;
明
(2) pk 1.
• •分析 这是不放回抽样.但由于这批元件的总 数很大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来 说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.
把检查一只元件看它是否为一级品看成是一次 试验,检查20只元件相当于做20 重伯努利试验.
•解 以 X 记 20 只元件中一级品的只数,
则 X ~ B(20, 0.2), 因此所求概率为 P{X k} 2k0(0.2)k (0.8)20k , k 0,1, ,20.
都属于两点分布.
•2.二项分布
•若X的分布律为：
P{X k} Cknpkqnk , k 0,1,2, n 则 •称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。记为
X ~ B(n , p) •,其中q＝1－p
•二项分布 n 1 •两点分布
•例 按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过 12500 小时的为一级品.已知某一大批产品的一级 品率为0.2, 现在从中随机地抽查20只.问20只元件 中恰有 k 只(k 0,1, ,20) 一级品的概率是多少?
•3. 泊松分 设布随机变量所有可能取的值为 0, 1, 2,L ,而取各个
值的概率为
P{X k} ke , k 0,1, 2,L ,
k!
其中 0是常数.则称 X 服从参数为的泊松分 布,记为 X ~ ().
•随机变量 X 的可能值是 : •1, 2, 3, 4, 5, 6
•实例2 若随机变量 X 记为 “连续射击, 直至命中时的射击次数”, 则 X 的可能值是:
1, 2, 3, .
•实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,
•现该射手射了30次,则随机变量 X 记为“击中目标 •的次数”•, 则 X 的所有可能取值
数
数
泊松定理 设 X ~ B(n, pn ) P{X k} Cnk pnk (1 pn )nk
且满足
npn 0
则对任意非负整数k , 有
第2.2节 离散型随机变量 及其分布函数
•一、离散型随机变量的分布函数 •二、几种常见的离散型随机变量 •三、小结
•一、离散型随机变量的分布函数
•随机变量
•离散型 •非离散型
•连续型 •其它 • (1)离散型 若随机变量所有可能的取值为有限
个或可列无穷个，则称其为离散型随机变量.
•实例1 • 观察掷一个骰子出现的点数.
P{ X k} 0.001, 当 k 11时
•图示概率分布
•例3 某人进行射击,设每次射击的命中率为0.02, 独立射击 400 次,试求至少击中两次的概率.
•解 设击中的次数为 X ,
则 X ~ B(400,0.02). X 的分布律为
P{ X k} 400(0.02)k (0.98)400k , k 0,1, ,400. k
xk x
二、常见离散型随机变量的概率分布
•1.两点分布
• 设随机变量 X 只取0与1两个值 , 它的分布
律为
X
0
1pk 1 p源自p•则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布或伯努利
分布.
•说明
•
两点分布是最简单的一种分布,任何一
个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿
是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,
P{ X 0} 0.012 P{ X 4} 0.218 P{ X 8} 0.022 P{ X 1} 0.058 P{ X 5} 0.175 P{ X 9} 0.007 P{ X 2} 0.137 P{ X 6} 0.109 P{ X 10} 0.002 P{ X 3} 0.205 P{ X 7} 0.055
解：X的分布律为
X0
1
2
3
4
pk
p
(1 p) p (1 p)2 p (1 p)3 p (1 p)4
•离散型随机变量的分布函数与其分布律之间的关
系：
F ( x ) P{ X x} pk P ( X xk ).
xk x
xk x
•也就是：
•分布律 pk P{ X xk }
•分布函数 F ( x) P{ X x} pk
•例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电
•话呼唤次数等都服从泊松分布.
•地震
•火山爆发
•特大洪水
•
在生物学、医学、工业统计、保险科学及
•公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的.
•例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电
•话呼唤次数等, 都服从泊松分布.
•商场接待的顾客 •电话呼唤次 •交通事故次数
为: 0, 1, 2, 3, , 30.
• (2)连续型 若随机变量所有可能的取值可以连续 • 地充满某个区间,则称其为连续型随机变量.
•实例1 随机变量 X 为“灯泡的寿
命”.
•则 X 的取值范围为[0, ).
•实例2 随机变量 X 为“测量某零件尺寸时的测误
差• ”.
•则 X 的取值范围为 (a, b) 内的任一值.
k 1
•离散型随机变量的分布律也可表示为
X ~ x1 x2 xn p1 p2 pn
•或
X
x1 x2 xn
pk
p1 p2 pn
例1 设一汽车在开往目的地的路上需经过四盏信号 灯.每盏灯以 （p 0 p 1) 的概率禁止汽车通过.以
X 表示汽车首次停下时已经过的信号灯盏数（信 号灯的工作是相互独立的），求 X的分布律.
•泊松分布的背景及应用
• 二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察
•与分析放射性物质放射出的 粒子个数的情况时,
•他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)，发现 •放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子 •数X 服从泊松分布.
•
在生物学、医学、工业统计、保险科学及
•公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的.
•定义 设离散型随机变量X 所有可能取的值为 xk (k 1,2, ), X 取各个可能值的概率, 即事件 { X xk } 的概率,为
P{ X xk } pk , k 1,2, . 称此式为离散型随机变量 X 的分布律.
•说
(1) pk 0, k 1,2, ;
明
(2) pk 1.
• •分析 这是不放回抽样.但由于这批元件的总 数很大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来 说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.
把检查一只元件看它是否为一级品看成是一次 试验,检查20只元件相当于做20 重伯努利试验.
•解 以 X 记 20 只元件中一级品的只数,
则 X ~ B(20, 0.2), 因此所求概率为 P{X k} 2k0(0.2)k (0.8)20k , k 0,1, ,20.
都属于两点分布.
•2.二项分布
•若X的分布律为：
P{X k} Cknpkqnk , k 0,1,2, n 则 •称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。记为
X ~ B(n , p) •,其中q＝1－p
•二项分布 n 1 •两点分布
•例 按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过 12500 小时的为一级品.已知某一大批产品的一级 品率为0.2, 现在从中随机地抽查20只.问20只元件 中恰有 k 只(k 0,1, ,20) 一级品的概率是多少?