离散型随机变量及其分布规律
合集下载
离散型随机变量及其分布规律
量。
离散型随机变量的取值
02 离散型随机变量的取值可以是整数、分数或任何可以
明确区分的数值。
离散型随机变量的概率
03
离散型随机变量的概率是指该随机变量取某个特定值
的概率，可以通过概率分布表或概率函数来描述。
性质
离散性
离散型随机变量的取值是离散的，可以一一列举出来。
有限性
离散型随机变量的取值范围通常是有限的，也可以是 无限的但可以划分为若干个有限区间。
Excel、SPSS、SAS等统计软件都提供了模 拟实验的功能。
操作步骤
在软件中设置离散型随机变量的分布参数， 运行模拟实验，并输出结果。
结果分析
根据软件提供的统计量，对模拟实验结果进 行分析和解释。
实验结果分析
数据整理
将模拟实验结果整理成表格或图形，以便更直观地展示。
对比分析
将不同实验条件下的结果进行对比，分析离散型随机变量的分布 规律。
结论总结
根据实验结果和分析，总结离散型随机变量的分布规律，并给出 实际应用的建议。
感谢观看
THANKS
概率性
离散型随机变量具有概率性，即其取每个特定值的概 率是确定的。
例子
01
投掷一枚骰子，出现1、2、3、4、5、6点数中的任何一个点数 都是一个离散型随机变量。
02
从一副扑克牌中抽取一张牌，出现红桃、黑桃、梅花、方块中
的任何一种花色都是一个离散型随机变量。
一个人的身高，由于可以明确区分不同的身高值，因此也是一
分布函数具有归一性，即P(X=x)在所有可能取值上的概率之和为1，即 P(X=x)从-∞到+∞的积分值为1。
对于任意实数x1<x2，P(X=x1)>=P(X=x2)。
离散型随机变量及其分布律
解 由 0 p 1 ( k 0 , 1 , 2 , ), p 1 k k k 0 1 k ( ) a 得 k 1 即 a 3 1 ! k! k 03 k k0 1k 1 1 ( ) ae 3 3 e3 ! k 0 k
2. 离散型随机变量分布律与分布函数及 事件概率的关系 (1) 若已知 X 的分布律：
X
pk
0 1 2
1 2
1
实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格 品,现从中随机抽取一件,那末,若规定
1 , 取得不合格品, X 0 , 取得合格品.
X
0
190 200
1
10 200
pk
则随机变量 X 服从(0-1)分布.
说明 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
p P { X x } k k
或
F ( x ) F ( x 0 ) k k k 1 , 2 , ) F ( x ) F ( x ) ( k k 1
( P { X x } P { x X x } ) k k 1 k 注 1º 离散型随机变量X的分布函数F(x)是阶
梯函数，x1, x2,· · · ,是F(x)的第一类间断 点, 而X在xk（k=1,2, · · ·）处的概率就是
F(x)在这些间断点处的跃度.
2º P { a X b }
P { a X b } P { X a } P { X b }
[ F ( b ) F ( a )] [ F ( b ) F ( b 0 )] [ F ( a ) F ( a 0 )]
2-2离散型随机变量及其分布律
松定理（第二章）和中心极限定理（第五章），利用这些定理
可以近似计算出它们的值．
3．泊松分布
定义 2.5 如果随机变量 X 的分布律为
P{X k} k e ， k 0,1, 2,L ， 0 ，
k!
就称 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ P() ．
【注 1】 P{X
k
k}
e
0 ， k 0,1, 2,L
一般地，在随机试验 E 中，如果样本空间 只包含两个
样本点
{1,2}，且
X
0, 1,
若 =1 , 若 =2 ,
则 X ~ B(1, p) ，其中 p P{X 1} P({2}) ．
在现实生活中，0 1两点分布有着广泛的应用．例如某产品 合格与不合格；某课程的考试及格与不及格；某事件 A 发生与 不发生等许多现象都能够刻划成 0 1两点分布．
§2 离散型随机变量及其分布律
一、离散型随机变量及其分布律的概念 定义 2.1 若随机变量 X 的取值为有限个或可列无限多个，就 称 X 为离散型随机变量．
定义 2.2 设 X 为离散型随机变量，其所有可能的取值为 x1, x2 ,L , xi ,L ，且
P{X xi} pi ， i 1, 2,L ．
的概率为 0.6 ，求该射手在 4 次射击中，命中目标次数 X 的
分布律，并问 X 取何值时的概率最大． 解 将每次射击看成一次随机试验，所需考查的试验结果只
有击中目标和没有击中目标，因此整个射击过程为 4 重的贝
努里试验．故由题意知， X ~ B(4, 0.6) ，即
P{X k} C4k 0.6k 0.44k ， k 0,1, 2,3, 4 ．
P{X
10}
第二节离散随机变量及其分布律
解 X 所取的可能值是 1, 2, 3, .
设 Ai 表示"抽到的第 i 个产品是正品",
P{ X k} P( A1A2 Ak1 Ak )
P( A1) P( A2 ) P( Ak1) P( Ak )
(1 p)(1 p) (1 p) p qk1 p.
( k 1)
所以 X 服从几何分布.
P(X k)
b( 2)k
b2 3
k 1
k 1 3
1 2
2
b
3 1
2b
1
3
3
b 1. 2
二、常见离散型随机变量的概率分布
1、两点分布(0-1分布 )
△定义： 若随机变量X的分布律为:
X
0
1
P
1－p
p
则称X服从参数为p 的两点分布或(0-1)分布,
△背景：样本空间只有两个样本点的情况 都可以用两点分布来 描述。
( X=k )对应着事件 A1 A2 Ak1 Ak
X的所有可能取值为 1，2，3，… ,k,…
P(X=k)=P(A1A2 Ak1 Ak ) (1-p)k-1p ,k=1,2,…
例 设随机变量X的分布律为
PX k b( 2)k , k 1, 2,3,L
3
试确定常数b.
解
由分布律的性质,有
如：上抛一枚硬币。
例 设一个袋中装有3个红球和7个白球，现在从中
随机抽取一球，如果每个球抽取的机会相等，
并且用数“1”代表取得红球，“0”代表取得
白球，则随机抽取一球所得的值是一个离散型
随机变量
1 X 0
（取得红球） （取得白球）
其概率分布为 P( X 1) 3 10
§2.2离散型随机变量及其分布律
P{ X k} 20(0.2)k (0.8)20k , k 0,1, ,20. k
P{ X 0} 0.012 P{ X 4} 0.218 P{ X 8} 0.022 P{ X 1} 0.058 P{ X 5} 0.175 P{ X 9} 0.007 P{ X 2} 0.137 P{ X 6} 0.109 P{ X 10} 0.002 P{ X 3} 0.205 P{ X 7} 0.055
P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1}
1 (0.98)400 400(0.02)(0.98)399
0.9972.
上页 下页 返回
二项分布的分布形态
若 X ~ Bn， p， 则
PX PX k
k 1
1
n
1 p
kq
k
q 1 p
由此可知，二项分布的分布 PX k
先是随着 k 的增大而增大，达到其最大值后再 随着k 的增大而减少．这个使得
P{X=3}=(1-p)3p
设 p 为每组信号灯禁止汽车通过的概率, 则有
X0
1
2
3
4
pk p (1 p) p (1 p)2 p (1 p)3 p (1 p)4
上页 下页 返回
将
p
1 2
代入得
X0
1
pk 0.5 0.25
2
0.125
3
4
0.0625 0.0625
上页 下页 返回
例4 设随机变量 X 的分布律为
则有
PX
k
Cnk
pk 1
p nk
k
k!
e
上页 下页 返回
4. 泊松分(Poisson)分布
如果随机变量 X 的分布律为
P{ X 0} 0.012 P{ X 4} 0.218 P{ X 8} 0.022 P{ X 1} 0.058 P{ X 5} 0.175 P{ X 9} 0.007 P{ X 2} 0.137 P{ X 6} 0.109 P{ X 10} 0.002 P{ X 3} 0.205 P{ X 7} 0.055
P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1}
1 (0.98)400 400(0.02)(0.98)399
0.9972.
上页 下页 返回
二项分布的分布形态
若 X ~ Bn， p， 则
PX PX k
k 1
1
n
1 p
kq
k
q 1 p
由此可知，二项分布的分布 PX k
先是随着 k 的增大而增大，达到其最大值后再 随着k 的增大而减少．这个使得
P{X=3}=(1-p)3p
设 p 为每组信号灯禁止汽车通过的概率, 则有
X0
1
2
3
4
pk p (1 p) p (1 p)2 p (1 p)3 p (1 p)4
上页 下页 返回
将
p
1 2
代入得
X0
1
pk 0.5 0.25
2
0.125
3
4
0.0625 0.0625
上页 下页 返回
例4 设随机变量 X 的分布律为
则有
PX
k
Cnk
pk 1
p nk
k
k!
e
上页 下页 返回
4. 泊松分(Poisson)分布
如果随机变量 X 的分布律为
离散型随机变量及其分布规律
一、 (0-1)分布 （二点分布）
随机变量X 只取0与1两个值 它的分布列是
X
0
1
P
1-P
P
或
X
~
0 1
p
1 p
0 p 1
或者表示为： P ( X k ) pk (1 p)1k , k 0,1
例6 将一枚均匀硬币抛掷1次， 令X 表示1次中出现
“正面”的次数 则X 的分布列是：
X=0
反面
(0-1) 分布记为 X ~ B1, p
例10 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回 地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个 次品的概率. 解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验的 条件完全相同且独立，它是贝努里试验.
依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.
设 X 为所取的3个中的次品数，
X
~
B( 8,
1 3
)
P8 (k)
P( X
k)
C8k ( 13)k (1
)1 8k 3
,
k 0,1, ,8
0 1 2 34 5 6 7 8
.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000
P 0.273•
由图表可见 , 当 k 2或3 时， 分布取得最大值
则 X ～B(3, 0.05)， 于是，所求概率为：
P(X 2) C32 (0.05)2 (0.95) 0.007125
注： 若将本例中的“有放回”改为”无放回”，那 次么试各验条件就不同了，不是贝努里概型， 此时只能用
古典概型求解.
P(
X
2)
C915C52 C3
100
2.2 离散型随机变量及其分布律
k k n k n P { X k } C p q ( p q ) 1 n k 0 k 0 n n
(2) 当n=1时，0-1分布. 可以简单地说， 二项分布描述的是n重伯努利 试验中，出现“成功”次数X的分布律.
二项分布的取值情况
1 设X ~ B(8, )，则 3
X 0 1 2 3 .273 4 .179 5 .068 6 .017 7 8 P .039 .156 .273 .0024 .0000
2.2 离散型随机变量 及其分布律
一、离散型随机变量的定义
定义 如果随机变量X只可能取有限个或无限可
列多个值，则称X为离散型随机变量.
讨论离散型随机变量主要要搞清楚两个方面： (1) 随机变量的所有可能取值； (2) 随机变量取这些可能值的概率.
定义 设X为离散型随机变量，它的一切可能取
值为x1, x2, …, xn , … 称 P{ X xn } pn ,
P ( B1 ) P ( A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 )
P ( A1 A2 A3 A4 ) P ( A1 A2 A3 A4 )
1 P ( A1 A2 A3 A4 ) P ( A1 A2 A3 A4 ) C4 pq3 2 2 2 P ( B2 ) C4 pq ,
试确定常数b的值. 解： 利用性质
20
P{ X k } 1
k
20 3 ( 1 3 ) 2 k (1) b 3 b 1 b 20 1 3 3 ( 3 1) k 1
(2) 由于0 P( X k ) 1，易知0 b 1，从而有
3b 1 3b 1 b 1 b 4 k 1
(2) 当n=1时，0-1分布. 可以简单地说， 二项分布描述的是n重伯努利 试验中，出现“成功”次数X的分布律.
二项分布的取值情况
1 设X ~ B(8, )，则 3
X 0 1 2 3 .273 4 .179 5 .068 6 .017 7 8 P .039 .156 .273 .0024 .0000
2.2 离散型随机变量 及其分布律
一、离散型随机变量的定义
定义 如果随机变量X只可能取有限个或无限可
列多个值，则称X为离散型随机变量.
讨论离散型随机变量主要要搞清楚两个方面： (1) 随机变量的所有可能取值； (2) 随机变量取这些可能值的概率.
定义 设X为离散型随机变量，它的一切可能取
值为x1, x2, …, xn , … 称 P{ X xn } pn ,
P ( B1 ) P ( A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 )
P ( A1 A2 A3 A4 ) P ( A1 A2 A3 A4 )
1 P ( A1 A2 A3 A4 ) P ( A1 A2 A3 A4 ) C4 pq3 2 2 2 P ( B2 ) C4 pq ,
试确定常数b的值. 解： 利用性质
20
P{ X k } 1
k
20 3 ( 1 3 ) 2 k (1) b 3 b 1 b 20 1 3 3 ( 3 1) k 1
(2) 由于0 P( X k ) 1，易知0 b 1，从而有
3b 1 3b 1 b 1 b 4 k 1
第二章第二节 离散型随机变量及其分布律——概率论与数理统计(李长青版)..
n
n
lim P{X k}
k
k!
e
X
近似地
( )
4、几何分布
在独立重复试验中, 事件 A发生的概率为 p, 若X
表示直到 A发生为止所进行的试验次数, 则
P{ X k} (1 p)k -1 p, k 1, 2,
若一个随机变量 X的分布律由上式给出, 则称 X
k
P( X k ) p (1 p), k 0,1,2,3
k
P( X 4) p ,
4
p 0.4
k
代入
0
1
2
3
4
pk 0.6 0.24 0.096 0.0384 0.0256
二、典型的离散型随机变量
1、两点分布、0﹣1分布 若随机变量 X 的可能取值只有x1, x2 两个, 它的 分布律为 P{ X x1} p, P{ X x2 } 1 p 称 X 服从参数 p 为 的两点分布. 特别地, 若随机变量 X 只可能取0或1两个值, 则 称 X 服从参数 p 为的0﹣1分布, 记为X~b(1, p)，它的 分布律为 X 0 1 pk q p 其中
a k k 1 a ae k 0 k ! k 0 k !
由此得
ae
注 此处使用了 ex 的麦克劳林展开式：
k x 1 2 x e 1 x x 2! k 0 k !
1 k x k! ( x )
例4 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏
同理可得
1 1 PX 3 , 2 8
3 1 1 P X 1 =C , 8 2 2
1 3 2
n
lim P{X k}
k
k!
e
X
近似地
( )
4、几何分布
在独立重复试验中, 事件 A发生的概率为 p, 若X
表示直到 A发生为止所进行的试验次数, 则
P{ X k} (1 p)k -1 p, k 1, 2,
若一个随机变量 X的分布律由上式给出, 则称 X
k
P( X k ) p (1 p), k 0,1,2,3
k
P( X 4) p ,
4
p 0.4
k
代入
0
1
2
3
4
pk 0.6 0.24 0.096 0.0384 0.0256
二、典型的离散型随机变量
1、两点分布、0﹣1分布 若随机变量 X 的可能取值只有x1, x2 两个, 它的 分布律为 P{ X x1} p, P{ X x2 } 1 p 称 X 服从参数 p 为 的两点分布. 特别地, 若随机变量 X 只可能取0或1两个值, 则 称 X 服从参数 p 为的0﹣1分布, 记为X~b(1, p)，它的 分布律为 X 0 1 pk q p 其中
a k k 1 a ae k 0 k ! k 0 k !
由此得
ae
注 此处使用了 ex 的麦克劳林展开式：
k x 1 2 x e 1 x x 2! k 0 k !
1 k x k! ( x )
例4 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏
同理可得
1 1 PX 3 , 2 8
3 1 1 P X 1 =C , 8 2 2
1 3 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解:
例5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，
已知他每发命中的概率是p，求射击次数X 的分布列.
解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ， 为计算 P(X =k )， k = 1,2, …，
设 Ak = {第k 次命中}，k =1, 2, …，
于是
P(X =1)=P(A1)=p,
P(X 2)P(A1A2 ) (1 p)p
P(X 3)P(A1A2 A3)(1 p)2p
可见 P(Xk)(1 p)k1p k1,2,
这就是所求射击次数 X 的分布列.
若随机变量X的分布律如上式， 则称X 服从
几何分布. 不难验证:
(1 p)k1p 1
k 1
几个重要的离散性随机变量模型
(0,1)分布 二项分布 波松分布
一、 (0-1)分布 （二点分布）
按Po
k
n=10 n=20 n=40 n=100 =np=1 p=0. p=0.05 p=0.02 p=0.01
0 10.349 0.3585 0.369 0.366
0
1 0.305 0.377 0.372 0.370
0
2 0.194 0.189 0.186 0.185
0
3 0.057 0.060 0.060 0.061
•• • • • • • 56 7 8 9 10
•
•
•
•
•
•
•
•
•20x
二项分布的图形特点:
X ~ Bn, p
对于固定n 及 P， 当k 增加时 , 概率P (X = k ) 先是随之增加
Pk
直至达到最大值, 随后单调减少.
当 n 1p 不为整数时， n 1p 二项概率 PX k
在k [n 1 p] 达到最大值；
k m
(X k) (X l) , k l
由全概率公式
P(Y m) P(X k)P(Y m X k)
km
e
km
kk!Ckm
pm (1
p)km
e (p)m km (1 p)km
m! km(k m)!
令k ms
e
(p)m
s (1 p)s
m! s0 s!
e (p)m e(1p) ep (p)m , m 0,1,2,
X
~
B( 8,
1 3
)
P8 (k)
P( X
k)
C8k
(
1 3
)k
(1
)1 8k 3
,
k 0,1,,8
0
1 2 34
56
7
.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024
P
0.273•
由图表可见 , 当k 2或3 时 分布取得最大值
P8(2) P8(3) 0.273 此时的 k 称为最可能成功次数
xn
Pk p1 p2
pk pn
2. 分布列的性质
1. P X xk 0 k 1, 2, （非负性）
n
2. Pk 1 k 1
（归一性）
给定了 xk , Pk k 1, 2, n .我们就能很好的描述X.
即可以知道 X 取什么值，以及以多大的概率取这些值。
例1. 设随机变量X的概率函数为：
解: 由题意,
X ~ (), 且 P X 1 P{X 0} P{X 1} 3e2
e e 3e2 2
P{X 3} 1 P{X 0} P{X 1} P{X 2} 1 e2 21 e2 22 e2 1 5e2 0.323
1! 2!
泊松分布的图形特点：
Pk
X ~ P()
p
)nk
e
k
, k!
k 0,1,2,
例13 有产品15000件，其中次品 150件，今抽取100
件，求有2件是次品的概率。
解法一 超几何分布 N 15000 M 150 n 100
P X
解法二
2
2 98
C C 150 14850 100
C 15000
二项分布 p
M N
0.01
0...
k
n=10,p=0.7
( [x] 表示不超过 x 的最大整数)
简要说明
b(k, n, p) (n k 1) p 1 (n 1) p k
b(k 1, n, p)
kq
kq
k (n 1) p时,b(k, n, p)大于前面一项,P (X = k ) 增加
k (n 1) p时,b(k, n, p)小于前面一项,P (X = k ) 下降
••••••••• 012345678
x
设 X ~ B(20,0.2)
0 12 3 4 5 6 7 89 1 .01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .00
P
0.22 •
由图表可见 , 当k 4 分布取得最大值
P20(4) 0.22
时，
• 0
• ••• 1 234
(0-1) 分布记为 X ~ B1, p
例10 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回 地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个 次品的概率. 解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验的 条件完全相同且独立，它是贝努里试验. 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.
设 X 为所取的3个中的次品数，
P { X k } ( 1 )k ( 1 )1k , 22
k 0, 1
例3 100件相同的产品中有4件次品和96件正品，
现从中任取一件，求取得正品数 X 的分布列。
解
X
~
0 0.04
1 0.96
伯努利试验 和 二项分布
定义 设将试验独立重复进行n 次，每次试验中， 事件A 发生的概率均为P， 则称这n 次试验为
n 重贝努里试验. 若以X 表示n 重贝努里试验事件A 发生的次数，
则称 X 服从参数为n,p 的二项分布。
记作 X ~ Bn, p
用X 表示n 重贝努里试验中事件A（成功）出现
的次数，则
P(X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n
不难验证：
（1） P( X k) 0
n
（2） P( X k) 1
k 0
二项分布的分布列
若
X ~ Bn, p
c 其分布列为： P{X k} k pk (1 p)nk ,(k 0, 1, ..., n) n Ck pk (1 p)nk 正好是二项式 ( p q)n 的展开式 n 中的通项，因此该分布为二项分布。
显然，n = 1 时，二项分布化为二点分布。
第二节
离散型随机变量及其分布规律
一、离散型随机变量分布律的定义
1、定义
设离散型随机变量X可能取 x1, x2 , , xn .
且取这些值的概率依次为 p1, p2, …, pn,,
称 PX xk Pk k 1, 2,
为X的分布律(列)或概率分布。
分布列也可以用列表法表示
X x1 x2
xk
立,一次次地轰击直到摧毁目标为止.求所需
轰击次数 X 的概率分布.
解 P(X = k) = P(前 k –1次击中 r – 1次， 第 k 次击中目标)
帕斯卡 分布
C r1 k 1
p
r1
(1
p)kr
p
C r1 k 1pr来自(1 p)kr
k r,r 1,
泊松分布
设随机变量X 所有可能取的值为 0,1,2 , … ,
随机变量X 只取0与1两个值 它的分布列是
X
0
P 1-P
1 P
或
X
~
0 1
p
1 p
0 p 1
或者表示为： P ( X k ) pk (1 p)1k , k 0,1
例6将一枚均匀硬币抛掷1次， 令X 表示1次中出现
“正面”的次数 则X 的分布列是：
X=0 X=1
X0
1
反面
正面
P 1/2 1/2
设各个虫卵是否能发育成幼虫是 相互独立的.
求一昆虫所生的虫卵发育成幼
虫数 Y 的概率分布.
解 昆虫
X 个虫卵 Y 个幼虫
已知 P( X k) e k , k 0,1,2,
k!
P(Y m X k) Ckm pm(1 p)km, m 0,1,2,,k
(Y m) ( X k), m 0,1,2,
0
4 0.011 0.013 0.014 0.015
0
Possion定理
设 npn 0 , 则对固定的 k
lim
n
Cnk
pnk (1
pn )nk
e
k
k!
k 0,1,2,
Poisson定理说明若X ~ B( n, p), 则当n 较大 p 较小, 而np 适中, 则可以用近似公式
Cnk pk (1
在实际中，许多随机现象服从或近似服从泊松分布. 泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某 些问题中都占有重要的地位 .
例如
一放射性源放射出的 粒子数；
每天119收到的火灾报警次数； 一个售货员接待的顾客数; 一台纺纱机的断头数;
都可以看作服从泊松分布. …
例6 设一只昆虫所生虫卵数为随机变
量 X , 已知X ~ P()，且每个虫卵发育 成幼虫的概率为 p.
则 X ～B(3, 0.05)， 于是，所求概率为：
P(X 2) C32 (0.05)2 (0.95) 0.007125
注： 若将本例中的“有放回”改为”无放回”，那么各 次试验条件就不同了，不是贝努里概型， 此时只能用 古典概型求解.