三角函数计算题专训

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三角函数计算题训练(含答案)

三角函数解答题训练1．如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α、()ββα>的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，点43,55A ⎛⎫⎪⎝⎭.（1）若点512,1313B ⎛⎫⎪⎝⎭，求cos()αβ+的值：（2）若310OA OB ⋅=u u u v u u u v ，求sin β.2.已知向量33cos ,sin 22a x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）求a r ·b r 及||a b +r r ；（2）若3()||2f x a b a b =⋅-+r rr r ，求()f x 的最小值3．已知向量(cos ,sin ),(1,3),[0,]a x x b x π==∈r r .（1）若//a b r r ，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅r r ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.4．已知函数()cos f x x x =+．（1）求6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）求()f x 的最大值．5．设函数()sin 1f x x x =+.（1）求函数()f x 的值域和函数的的单调递增区间；（2）当()135fα=，且263ππα<<时，求2sin 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.6．已知函数()sin 22f x x x =-.（1）求()f x 的最小正周期和对称轴方程；（2）将函数()f x 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g()x 的图象.当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求g()x 的值域.7．已知函数1()sin 224f x x x =+ （1）求()f x 的值域；（2）求函数()f x 的最小正周期及函数的单调区间；（3）将函数()y f x =的图像向右平移3π个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()g x 的表达式.8．已知()()2cos sin f x x x x =-+(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间;(2)求函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的取值范围.9．已知函数)1()cos cos 2f x x x x =-+. （1）求()f x 单调减区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()2c f x c <<+恒成立，求实数c 的取值范围.10．已知函数()cos s co )f x x x x =-.（1）求()f x 的最小正周期及对称中心；（2）若将函数()y f x =的图象向左平移m 个单位所得图象关于y 轴对称，求m 的最小正值.11．已知函数()2sin sin cos f x x x x =+ （1）求2233f f ππ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（2）求()f x 的最大值及取得最大值时对应的x 的值．12．已知函数22()cos sin f x x x =-.求：（1）()12f π的值；（2）()f x 的单调递增区间.13．已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.14．已知函数()2212cos f x x x =+-. （1）求()f x 的对称轴；（2）将()f x 的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x 的图象，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域.15．已知函数22()cos sin cos ()f x x x x x x R =-+∈. （1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域.16．已知函数()2sin cos x x x f x =. （Ⅰ）求π3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（Ⅰ）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.17．已知函数2()2sin 2sin cos 1=++f x x x x . （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域.18．已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =++. （1）求函数()y f x =周期及其单调递增区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()y f x =的最大值和最小值.19．已知函数()44cos 2sin cos sin x x x f x x =+-. (1)求()f x 的最小正周期;(2)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.20．已知函数()22cos sin 22f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的周期和值域；（2）求()f x 的单调区间.21．已知函数2()222cos f x x x =++. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数()f x 在[0,]2π上的最小值.22．已知函数)22()2sin sin cos sin 2f x x x x x π⎛⎫=⋅-+- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅰ）求方程()2f x =的解构成的集合.23．已知函数2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值.24．设函数2()sin cos 2=+-f x x x x . （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.25．已知函数()22sin cos f x x x x =+． ()1求函数()f x 的单调减区间；()2将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =在,128ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的值域．26．已知函数()()22f x sin x cos x x cos x x R =--∈ （I ）求2f 3π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值（II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.27．已知函数()2sin cos f x x x x =. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅰ）若()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，求m 的最小值.28．已知函数()22sin cos x x f x x =- （1）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域；（2）设,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，10213f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，求sin α的值.29．已知()22sin ,cos ,,2),()a x x b x f x a b ===⋅v v v v . (1)求()f x 的最小正周期及单调递减区间;(2)求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.30．已知函数()()22sin cos 3f x x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭. (1)求()f x 的最小正周期;(2)求()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.31．已知函数2 ()22cos 1f x x x =+-．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．32．已知函数3()sin 2f x x x ωω=（其中0>ω）．（1）若函数()f x 的最小正周期为3π,求ω的值，并求函数()f x 的单调递增区间；（2）若2ω=，0α<<π，且3()2f α=，求α的值．33．设函数2()sin cos f x x x x a ωωω=++ （其中0,a R ω>∈），且()f x 的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π. （1）求()f x 的最小正周期T ；（2）假如()f x 在区间5,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦a 的值.34．设函数22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为23π．（Ⅰ）求ω的值．（Ⅰ）若函数()y g x =的图象是由()y f x =的图象向右平移2π个单位长度得到，求()y g x =的单调增区间．35．已知函数()()2sin sin cos 03x x x f x πωωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为π. （1）求ω的值；（2）求函数()f x 在区间7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围.36．已知函数()()22sin 12x f x x ωϕωϕ+=++-（0>ω，0ϕπ<<）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为2π．（1）当,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，求()f x 的单调递减区间；（2）将函数()y f x =的图象沿x 轴方向向右平移6π个单位长度，再把横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．当时,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()g x 的值域．37．已知：2()2cos 2f x x x a =++（a R ∈，a 为常数）．（1）若x ∈R ，求()f x 的最小正周期；（2）若()f x 在[6π-，]4π上最大值与最小值之和为3，求a 的值．38．已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =+-. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）当3,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值.39．已知函数()2sin()2cos ,[,]62f x x x x πππ=+-∈.（1）若4sin 5x =，求函数()f x 的值；（2）求函数()f x 的值域.40．已知函数()32cos 2sin 32x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调减区间.（2）求函数()f x 的最大值并求()f x 取得最大值时的x 的取值集合. （3）若()65f x =，求cos 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.41．已知函数()sin sin cos 66f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.42．已知函数()22sin cos 6f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的最小正周期；（2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域．43．已知函数2()cos cos 64f x x x x π⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭，x ∈R . （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在闭区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.44．已知函数()2sin 22cos 16x f x x π⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=.(Ⅰ)求函数()f x 的最大值及其相应x 的取值集合； (Ⅰ)若42ππα<<且()45f α=，求cos2α的值.45．已知函数f （x ）=（2x 3π-）﹣2sin x cos x . （1）求f （x ）的最小正周期及对称中心；（2）当x Ⅰ（44ππ-，]时，求f （x ）的值域.46．已知函数()sin cos cos sin 22x x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R . （1）求12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间.47．已知函数()()2cos 2166f x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=---+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (1)求函数()f x 的最小正周期；(2)求使函数()f x 取得最大值的x 的集合.48．已知函数()sin sin cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）将函数()f x 化简成sin()A x ωϕ+的形式，并求出函数的最小正周期；（2）求出函数()f x 的单调递增区间，对称轴，对称中心，及当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围.49．已知函数2()sin 2cos 22cos 136f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）若,42ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且()5f α=，求cos cos 4παα⎛⎫+ ⎪⎝⎭．50．已知函数()22sin cos 6f x x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值．51．已知函数()2sin 22cos 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）求函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.52．已知函数()()2112122f x cos x sin x cos x x R ππ⎛⎫⎛⎫=+++-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ()1求()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；()2若7224f απ⎛⎫-=⎪⎝⎭2sin α的值．三角函数解答题训练(答案)1．如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α、()ββα>的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，点43,55A ⎛⎫⎪⎝⎭.（1）若点512,1313B ⎛⎫⎪⎝⎭，求cos()αβ+的值：（2）若10OA OB ⋅=u u u v u u u v，求sin β.【答案】(1) 1665- (2) 50【解析】【分析】（1）根据43,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭512,1313B ⎛⎫ ⎪⎝⎭计算3sin 5α=，4cos 5α=，12sin 13β=5cos 13β=代入公式得到答案.（2）根据OA OB ⋅=u u u r u u u r ,得到cos()βα-=，根据sin sin[()]βαβα=+-计算得到答案. 【详解】解：（1）因为α是锐角，且43,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，512,1313B ⎛⎫⎪⎝⎭在单位圆上，所以3sin 5α=，4cos 5α=，12sin 13β=5cos 13β=， ∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-453121651351365=⨯-⨯=-（2）因为OA OB ⋅=u u u r u u u r，所以||||cos()OA OB βα⋅-=u u u r u u u r ，且1OA OB ==u u u r u u u r，所以，cos()βα-=，可得：sin())βαβα-=>，且4cos 5α=，3sin 5α= 所以，sin sin[()]βαβα=+-sin cos()cos sin()αβααβα=-+-3455=+=. 2.已知向量33cos ,sin 22a x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）求a r ·b r及||a b +rr；（2）若3()||2f x a b a b =⋅-+r rr r ，求()f x 的最小值【答案】（1）见解析；（2）178-. 【解析】【分析】（1）运用向量数量积的坐标表示，求出a r ·b r；运用平面向量的坐标运算公式求出a b +r r ，然后求出模．（2）根据上（1）求出函数()f x 的解析式，配方，利用二次函数的性质求出最小值．【详解】（1）33cos cos sin sin cos22222x x a b x x x ⋅=⋅-⋅=rra b +=r r=∴0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴cos 0x …∴2cos a b x +=r r （2）()cos23cos f x x x =- 223172cos 13cos 2cos 48x x x ⎛⎫=--=--⎪⎝⎭∴0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴0cos 1x 剟∴()min317cos 48x f x ==- 3．已知向量(cos ,sin ),(1,[0,]a x x b x π==∈r r.（1）若//a b r r，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅r r，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.【答案】(1)23π;(2)0x =时,()f x 的最大值为1;当23x π=时, ()f x 的最小值为-2. 【解析】【分析】(1)根据向量平行的坐标表示求出tan x 的值,根据角的范围求出x 的值;(2)根据向量的数量积公式将三角函数化简为余弦型函数借助余弦函数的图象性质即可求出所得. 【详解】(1)//,(cos ,sin ),(1,a b a x x b ==r r r rQ ,(cos -sin =0x x ∴,即tan x =2(0,],3x x ππ∈∴=Q .(2) ()=cos cos 23f x x x x a b π=+⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭r r Q4[0,],[,]333x x ππππ∈∴+∈Q , ∴当,33x ππ+=即0x =时, ()f x 的最大值为1;当,3x ππ+=即23x π=时, ()f x 的最小值为-2.4．已知函数()cos f x x x =+．（1）求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()f x 的最大值．【答案】（1（2）2. 【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简函数()y f x =的解析式为()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，然后代值计算可得出6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）利用正弦函数的有界性可得出函数()y f x =的最大值. 【详解】（1）()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，2sin 2sin 6663f ππππ⎛⎫⎛⎫∴=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）当()262x k k πππ+=+∈Z 时，即()23x k k ππ=+∈Z 时，()max 2sin22f x π==．5．设函数()sin 1f x x x =+.（1）求函数()f x 的值域和函数的的单调递增区间；（2）当()135fα=，且263ππα<<时，求2sin 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）值域是[]1,3-，单调递增区间为52+266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，；（2）2425-. 【解析】【分析】（1）根据三角函数的关系式，即可求求函数f （x ）的值域和函数的单调递增区间．（2）根据三角函数的诱导公式即可得到结论．【详解】（1）依题意()sin 1f x x x =+ 2sin 13x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 因为22sin 23x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，则12sin 133x π⎛⎫-≤++≤ ⎪⎝⎭. 即函数()f x 的值域是[]1,3-.令32222k x k πππππ-+≤+≤+，Z k ∈，解得52+266k x k ππππ-+≤≤，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为52+266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，，Z k ∈.（2）由()132sin 135f παα⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，得4sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 因为263ππα<<，所以23ππαπ<+<时，得3cos 35πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 所以2sin 2sin233ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭432425525-⨯⨯=-.6．已知函数()sin 22f x x x =-. （1）求()f x 的最小正周期和对称轴方程；（2）将函数()f x 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g()x 的图象.当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求g()x 的值域. 【答案】（1）最小正周期为π，对称轴方程为5122k x ππ=+，k Z ∈ （2）[]1,2 【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换将函数转化为标准型正弦函数，再求该函数性质；（2）先求()g x 的解析式，之后再求值域即可. 【详解】（1）1()2sin 222f x x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭2sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因此()f x 的最小正周期为π. 由232x k πππ-=+得对称轴方程为5122k x ππ=+，k ∈Z .（2）由条件可知()2sin 3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有2,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，从而1sin ,132x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故g()x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是[]1,2.7．已知函数1()sin 224f x x x =+ （1）求()f x 的值域；（2）求函数()f x 的最小正周期及函数的单调区间；（3）将函数()y f x =的图像向右平移3π个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()g x 的表达式. 【答案】（1）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）T π=，增区间为：5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，减区间为：7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ ；（3）1()sin 423g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的性质求出最值；（2）利用正弦型函数最小正周期公式、单调性直接求解即可；（3）按照正弦型函数变换的解析式的变化特点求解即可. 【详解】（1）11()sin 2sin 2423f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. ()f x 的值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）22T ππ== 由222232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈得增区间为：5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；由3222232k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈得减区间为：7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）由（1）知1()sin 223f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图像向右平移3π个单位后，得到11sin 2sin 223323y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图像，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数1sin 423y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，所以1()sin 423g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.8．已知()()2cos sin f x x x x =-+ (1)求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间; (2)求函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的取值范围.【答案】(1)π,32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈;(2)⎡-⎣. 【解析】【分析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式对()f x 的解析式进行三角恒等变换，得到()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据周期公式和整体代换法即可求出周期和单调递减区间；(2)令42,333πππt x ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦，由sin y t =在4,33ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的单调性，即可求出22sin t -≤≤()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的取值范围．【详解】(1)由题意，化简得())22cos sin 2cos 1f x x x x =-sin 22x x =2sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期π ∴sin y x =的减区间为32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 由3222232k x k πππππ+≤-≤+，得5111212k x k ππππ+≤≤+．所以函数()f x 的单调递减区间为511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．(2)因为∴,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，所以42,333πππt x ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦，即有22sin t -≤≤所以，函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围是⎡-⎣．9．已知函数)1()cos cos 2f x x x x =-+.（1）求()f x 单调减区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()2c f x c <<+恒成立，求实数c 的取值范围. 【答案】（1）5,36ππk πk π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（2）11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化简，利用正弦函数的单调性即可求解；（2）由x 的范围求得相位的范围，进一步得到f （x ）的值，再把c ＜f （x ）＜c +2恒成立转化为关于c 的不等式组求解．【详解】（1）()21cos cos 2f x x x x =-+=1cos222x x - =sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭由3222262k x k πππππ+≤-≤+解得536k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈ 所以()f x 单调减区间为5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）因为02x π≤≤所以52666x πππ-≤-≤，所以1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭ 由不等式()2c f x c <<+恒成立，得1221c c ⎧<-⎪⎨⎪+>⎩，解得112c -<<-.所以实数c 的取值范围为11,2⎛⎫--⎪⎝⎭. 10．已知函数()cos s co )f x x x x =-. （1）求()f x 的最小正周期及对称中心；（2）若将函数()y f x =的图象向左平移m 个单位所得图象关于y 轴对称，求m 的最小正值.【答案】（1）π，1,()2122k k Z ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭；（2）3π【解析】【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心.（2）利用（1）的关系式，利用整体思想的应用对函数的关系式进行平移变换和对称性的应用求出最小值. 【详解】（1）因为2()cos cos )cos cos f x x x x x x x =-=-1cos 21sin 2sin 22262x x x π+⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以最小正周期为22T ππ==，由正弦函数的对称中心知26x k ππ-=，解得212k x ππ=+，k Z ∈，所以对称中心为1,()2122k k Z ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭；（2）()y f x =的图象向左平移m 个单位所得解析式是1sin 2262y x m π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，因为其图象关于y 轴对称，所以262m k πππ-=+，k Z ∈，解得23k m ππ=+，k Z ∈，所以m 的最小正值是3π. 11．已知函数()2sin sin cos f x x x x =+ （1）求2233f f ππ⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（2）求()f x 的最大值及取得最大值时对应的x 的值．【答案】（1）32（2）()max f x =()38x k k ππ=+∈Z ．【解析】【分析】（1）将23x π=与23x π=-代入原函数可得答案；（2）将()f x 化简为()12242f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，可得函数的最大值及取得最大值时对应的x 的值. 【详解】解：（1）将23x π=代入()f x ，将23x π=-代入()f x ；可得223332f f ππ⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()()1cos 2111sin 2sin 2cos 22222x f x x x x -=+=-+，故()12242f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()max 12f x +=．此时，()2242x k k πππ-=+∈Z ，即()38x k k ππ=+∈Z ．【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，二倍角及两角和的三角函数及三角函数最值得求法，考查计算能力.12．已知函数22()cos sin f x x x =-.求：（1）()12f π的值；（2）()f x 的单调递增区间.【答案】（12）[,]2k k πππ-，k Z ∈【解析】【分析】（1）逆用余弦的倍角公式对函数解析式进行化简，代值即可求得函数值；（2）将2x 代入余弦的单调增区间，解得x 的取值范围即可.【详解】22()cos sin cos 2f x x x x =-=（1）cos 2cos 12126f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由222k x k πππ-≤≤，k Z ∈，得2k x k πππ-≤≤，k Z ∈.所以()f x 的单调递增区间为[,]2k k πππ-，k Z ∈.13．已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】（1）πT =；（2）[]1,2- 【解析】【分析】（1）由二倍角公式，并结合辅助角公式可得()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用周期2πT ω=可求出答案；（2）由x 的范围，可求得π26x +的范围，进而可求出πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的范围，从而可求得()f x 的值域.【详解】（1）()2cos 2cos 1f x x x x =+-2cos2x x +122cos 222x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的最小正周期为πT =. （2）∴π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，∴π12sin 226x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为[]1,2-.14．已知函数()2212cos f x x x =+-. （1）求()f x 的对称轴；（2）将()f x 的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x 的图象，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域.【答案】（1）23k x ππ=+(k Z ∈)（2）[]0,2 【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换，化简函数解析式为标准型，再求对称轴；（2）先求平移后的函数解析式，再求值域. 【详解】（1）()222cos 1f x x x =-+2cos 2x x =-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭令：262x k πππ-=+，得23k x ππ=+，所以()f x 的对称轴为23k x ππ=+(k Z ∈). （2）将()f x 的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x ，所以()12g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2sin 22sin 2126x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有220,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故[]sin 20,1x ∈， ()g x ∴的值域为[]0,2.15．已知函数22()cos sin cos ()f x x x x x x R =-+∈. （1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域. 【答案】（1）最小正周期是π，单调递减区间是2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）[]1,2- 【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式换件()f x 解析式，由此求得()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）根据三角函数值域的求法，求得()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【详解】（1）由22cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得()cos22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭所以()f x 的最小正周期是π 由正弦函数的性质得3222262k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈ 解得263k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈ 所以()f x 的单调递减区间是2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，72666x πππ≤+≤当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 最大为2当7266x ππ+=，即2x π=时，最小为-1所以()f x 的值域为[]1,2-16．已知函数()2sin cos x x x f x =.（Ⅰ）求π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（Ⅰ）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.【答案】（∴（∴）1 【解析】【分析】（∴）利用特殊角的三角函数值计算即可.（∴）利用降幂公式和辅助角公式可得()πsin 232f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求出π23x +的范围后利用正弦函数的性质可求最大值. 【详解】解：（∴）2ππππ()sincos 3333f =⋅ 211222=+⎛⎫⎪⎝⎭2=（∴）()2sin cos x x x f x =⋅1cos 21sin 222x x +=+πsin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ4π2333x +∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦,.当ππ232x +=，即π12x =时，()f x 取得最大值12+.17．已知函数2()2sin 2sin cos 1=++f x x x x . （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域.【答案】（1）T π=；单调减区间为37,()88⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭k k k Z ππππ（2）2]【解析】【分析】（1）逆用正弦和余弦的倍角公式，以及辅助角公式即可化简求得函数的性质；（2）先求出x ωϕ+的取值范围，再根据y sinx =的单调性，求得函数值域. 【详解】2()2sin 2sin cos 11cos2sin 21=++=-++f x x x x x x224x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（1）容易知：22T ππ==. 由3222242+<-<+k x k πππππ 得()f x 的单调减区间为37,()88⎛⎫++∈⎪⎝⎭k k k Z ππππ（2）∴02x π≤≤∴32444x πππ-≤-≤∴当0x =时，()f x 有最小值(0)1f =当242x ππ-=即38x π=时，()f x 有最大值328⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f π故()f x 的值域为2].18．已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =++. （1）求函数()y f x =周期及其单调递增区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()y f x =的最大值和最小值. 【答案】（1）最小正周期为π，单调递增区间为3[,]88k k k Z ππππ-++∈；（2）最大值为1.【解析】【分析】（1）首先根据三角恒等变换可得()224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据周期公式即可求出周期；然后再令222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，即可求出函数的单调递增区间；（2）由题意可知52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，进而sin 242x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，由此即可求出函数的最值. 【详解】因为22()(sin cos )2cos 2sin 2cos 2224f x x x x x x x π⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭所以()224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；所以()f x 的最小正周期为2=2ππ；令222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，所以3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 所以()f x 的单调递增区间为3[,]88k k k Z ππππ-++∈；（2）50,2,2444x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q ，，所以sin 2,142x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦所以()f x ⎡∈⎣，所以()f x 的最大值为 1; 19．已知函数()44cos 2sin cos sin x x x f x x =+-.(1)求()f x 的最小正周期; (2)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.【答案】(1)π;(2)当2x π=时,()f x 取得最小值1-;当8x π=时,()f x .【解析】【分析】（1）利用降幂扩角公式先化简三角函数为标准型，再求解最小正周期；（2）由定义域，先求x ωϕ+的范围，再求值域. 【详解】（1）()()()2222cos sin cos sin sin 2f x x x x x x =+-+cos2sin 2x x =+24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()f x 的最小正周期为22ππ=. （2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得52,444x x πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，当5244x ππ+=，即2x π=时，()f x 取得最小值1-，当242x ππ+=，即8x π=时，()f x .20．已知函数()22cos sin 22f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （1）求()f x 的周期和值域；（2）求()f x 的单调区间.【答案】（1）周期T π=，值域为[]22-,；（2）递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由此可得出函数()y f x =的周期和值域；（2）解不等式()222262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈可分别得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间.【详解】（1）()22cos sin 2cos 222sin 226f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，所以，函数()y f x =的周期为22T ππ==，值域为[]22-,；（2）解不等式()222262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以，函数()y f x =的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 解不等式()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈，因此，函数()y f x =的单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.21．已知函数2()222cos f x x x =++.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数()f x 在[0,]2π上的最小值.【答案】（1）最小正周期为π，单调递减区间为2[,],63k k k Z ππππ++∈，（2）2 【解析】【分析】（1）利用二倍角的余弦公式以及辅助角公式将函数化为()2sin(2)36f x x π=++，再利用正弦函数的最小正周期公式2T πω=以及正弦函数的单调递减区间整体代入即可.（2）根据题意可得72[,]666x πππ+∈，再利用三角函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为2()222cos 2cos23f x x x x x =++=++2sin(2)36x π=++所以函数()f x 的最小正周期22T ππ== 由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈ 得：2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以()f x 的单调递减区间为2[,],63k k k Z ππππ++∈ （2）因为[0,]2x π∈，所以72[,]666x πππ+∈ 所以1sin(2)126x π-≤+≤ 所以()2sin(2)3[2,5]6f x x π=++∈所以min ()2f x =22．已知函数)22()2sin sin cos sin 2f x x x x x π⎛⎫=⋅-+-⎪⎝⎭. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅰ）求方程()2f x =的解构成的集合. 【答案】（∴）π（∴）|,12x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z 【解析】【分析】（∴）利用二倍角公式化简函数，再逆用两角和的正弦公式进一步化简函数，代入最小正周期公式即可得解；（∴）由()2f x =得sin(2)13x π+=，则22,32x k k πππ+=+∈Z ，求解x并写成集合形式. 【详解】（∴）)22()2sin cos cos sin f x x x x x =⋅-sin 22x x =2sin(2)3x π=+，所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==. （∴）由()2f x =得sin(2)13x π+=，22,32x k k πππ∴+=+∈Z ，解得,12x k k ππ=+∈Z因此方程()2f x =的解构成的集合是：|,12x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z . 【点睛】本题考查简单的三角恒等变换，已知三角函数值求角的集合，属于基础题. 23．已知函数2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值.【答案】（1）3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈；（2）()max f x =，()min 12f x =- 【解析】【分析】（1）直接利用三角函数的恒等变换，把三角函数变形成正弦型函数．进一步求出函数的单调区间．（2）直接利用三角函数的定义域求出函数的最值．【详解】解：（1）2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-Q 11()cos 2sin 222f x x x ∴=+()242f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ 令222242k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈解得388k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈ 即函数的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈（2）由（1）知n ()224f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ,82x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦Q520,44x ππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦所以当242x ππ+=，即8x π=时，()maxf x = 当5244x ππ+=，即2x π=时，()min 12f x =-24．设函数2()sin cos =+-f x x x x （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.【答案】（1）π （2）1；【解析】【分析】（1）由二倍角公式降幂，由两角差的正弦公式化简函数为一个角的一个三角函数形式，然后可求周期；（2）由正弦函数性质可求得最大值．【详解】（1）1()sin 2sin 223⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭f x x x x π 2T 2ππ== （2）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，sin 232π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦x ，∴()f x 的最大值为1，最小值为.25．已知函数()22sin cos f x x x x =+．()1求函数()f x 的单调减区间；()2将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =在,128ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的值域．【答案】（1）()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）(]1,2-【解析】【分析】()1 利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数()f x 化为2sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数()f x 的递减区间；()2利用函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式，由,128x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭可得274,336x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭结合正弦函数的单调性，求得()g x 的值域．【详解】()1函数()22sin cos sin22sin 23f x x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，∴当3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈时,解得：7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，因此，函数()f x 的单调减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．()2将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，可得2sin 233y x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭的图象，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()22sin 43y g x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭的图象， ,128x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭Q ，274,336x πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭， ()21sin 4,1,32x y g x π⎛⎫⎛⎤∴+∈-∴= ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦的值域为(]1,2-．26．已知函数()()22f x sin x cos x x cos x x R =--∈（I ）求2f 3π⎛⎫⎪⎝⎭的值（II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.【答案】（I ）2；（II ）()f x 的最小正周期是π，2+k +k k 63Z ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.【解析】【分析】（∴）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．（∴）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间．【详解】（∴）f （x ）＝sin 2x ﹣cos 2x -x cos x ，＝﹣cos2x x ，＝﹣226sin x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则f （23π）＝﹣2sin （436ππ+）＝2，（∴）因为()2sin(2)6f x x π=-+．所以()f x 的最小正周期是π．由正弦函数的性质得3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以，()f x 的单调递增区间是2[,]63k k k ππ+π+π∈Z ，．27．已知函数()2sin cos f x x x x =.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅰ）若()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，求m 的最小值.【答案】（∴）π ；（∴）π3. 【解析】【分析】（I ）将()f x 化简整理成()sin()f x A x ωϕ=+的形式，利用公式2||T πω=可求最小正周期；（II ）根据[,]3x m π∈-，可求26x π-的范围，结合函数图象的性质，可得参数m 的取值范围. 【详解】（∴）()1cos211π1cos2sin 22222262x f x x x x x -⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. （∴）由（∴）知()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 因为π,3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π5ππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦.要使得()f x 在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，即πsin 26x ⎛⎫-⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1. 所以ππ262m -≥，即π3m ≥. 所以m 的最小值为π3. 点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.28．已知函数()22sin cos x x f x x =-（1）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域；（2）设,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，10213f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，求sin α的值.【答案】（1）2⎡⎤⎣⎦,（2）526+【分析】（1）根据题意可知，()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当0.2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42333x πππ≤+≤，根据三角函数的性质即可求出()f x 的值域. （2）因为10213f α⎛⎫=⎪⎝⎭，所以5sin 313πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又54633πππα<+<，所以12cos 313πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，根据三角函数的两角差正弦公式sin sin 33ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，进而求出结果. 【详解】（1）()sin 222sin 23f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，当0.2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42333x πππ≤+≤，所以，此时()f x 的值域为2⎡⎤⎣⎦.（2）因为102sin 2313f απα⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5sin 313πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 54633πππα<+<，所以12cos 313πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，sin sin 33ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦5sin cos cos sin 333326ππππαα+⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭29．已知()22sin ,cos ,,2),()a x x b x f x a b ===⋅v v v v .(1)求()f x 的最小正周期及单调递减区间; (2)求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】(1)T π=,单调递减区间为2,,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ;(2)见解析【分析】（1）利用二倍角的正弦公式，余弦公式和两角和的正弦公式的逆用将函数解析式化为()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后利用正弦型函数的周期公式可得周期，利用正弦函数的递减区间可得()f x 的递减区间；（2）根据正弦函数的性质可得最大最小值. 【详解】（1）2()cos 2cos f x a b x x x =⋅=+rr 2cos 212sin 216x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期22T ππ==. 由3222,262k x k k Z πππππ+++∈剟，得2,63k x k k Z ππππ++∈剟， ∴()f x 的单调递减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）∴0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，当7266x ππ+=，即2x π=时，函数()f x 取得最小值，为72sin106π+=；当262x ππ+=，即6x π=时，函数()f x 取得最大值，为2sin132π+=.30．已知函数()()22sin cos 3f x x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭. (1)求()f x 的最小正周期; (2)求()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】(1)π;(2)1,24⎡-⎢⎣⎦。

专题12 三角函数(全题型压轴题)试题含解析

专题12三角函数（全题型压轴题）目录①三角函数的图象与性质 (1)②函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换 (2)③三角函数零点问题（解答题） (3)④三角函数解答题综合 (6)①三角函数的图象与性质②函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换③三角函数零点问题（解答题）(1)求()f x 的解析式；(2)将()f x 图像向左平移12个单位得到123,,x x x ，求()()123tan 2x x x π++的值④三角函数解答题综合专题12三角函数（全题型压轴题）目录①三角函数的图象与性质 (1)②函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换 (9)③三角函数零点问题（解答题） (12)④三角函数解答题综合 (20)①三角函数的图象与性质设()t f x =，则方程()()2220f x af x ⎡+⎣+⎦=⎤可化为由图象可得：当2t =时，方程()t f x =有2个实数根；当322t <<时，方程()t f x =有4个实数根；①当22m-=时，即②当3-=时，即t=m③当3->时，即t<m②函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换③三角函数零点问题（解答题）由图可知，当1t =或12t -≤<当112t ≤<时，()h x 在区间⎡⎢⎣当21t <-或1t >时，()h x 在区间令ππ2πZ 62,x k k-=+∈故两个零点12,x x关于x故()122πcos cos3x x+=7．（2023春·江西·高一统考期末）已知函数由图可知，30a -≤≤，且21πt t +=，所以()12121ππsin sin 466x x t t ⎛⎫+=-+- ⎪⎝⎭故a 的取值范围为()123,0,sin x x ⎡⎤-+⎣⎦8．（2023春·湖北咸宁·高一统考期末）已知(1)求()f x 的解析式；(2)将()f x 图像向左平移12个单位得到123,,x x x ，求()()123tan 2x x x π++的值④三角函数解答题综合(2)当11π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()π02f x kf x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)43310-(2)()3,1--【详解】（1）由题意得，向量()1,3ON = 的相伴函数为()sin 3cos f x x x =+，所以()13πsin 3cos 2sin cos 2sin 223f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()85f x =，∴π4sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∵ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴ππ0,32x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴23cos 1s πin 335πx x ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以ππ1π3π433sin sin sin cos 33232310x x x x ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2）向量()1,3ON = 的相伴函数为()πsin 3cos 2sin 3f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当11π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()π2sin 2cos 03π2π3f x kf x x k x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即ππsin cos 033x k x ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos sin π3π3k x x ⎛⎫⎛⎫+>-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立．所以①当π06x ≤<，即πππ332x ≤+<时，πcos 03x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以πsin π3tan π3cos 3x k x x ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭>-=-+ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，即max πtan 3k x ⎡⎤⎛⎫>-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由于πππ332x ≤+<，所以πtan 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为πtan 33=，所以max πtan 33k x ⎡⎤⎛⎫>-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；②当π6x =，ππ32x +=，不等式ππsin cos 033x k x ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为10>成立．③当π11π612x <≤，ππ5π234x <+≤时，πcos 03x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，。

专项训练——三角函数习题(含答案)

1．已知ΔABC 三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c ，0)．(1)若0AB AC = ，求c 的值；(2)若5c =，求sin ∠A 的值．2.设函数πf(x)=3sin(ωx +)6，ω>0，x ∈(－∞，+∞)，且以π2为最小正周期. (1)求f(0)； (2)求f(x)的解析式； (3)已知απ9f(+)=4125，求sinα的值.3．已知 )sin ,2(cos αα=a ，)1sin 2,1(-=αb ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππα,2，且52=⋅b a ，求)4cos(πα+的值．4.在锐角△ABC 中，cos B ＋cos (A －C )＝3sin C ．(Ⅰ) 求角A 的大小；(Ⅱ) 当BC ＝2时，求△ABC 面积的最大值．5.已知函数2()2cos cos()3sin sin cos 6f x x x x x x π=--+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）设]2,3[ππ-∈x ，求()f x 的值域．6.已知函数2()2sin cos 2cos ()f x x x x x R =-∈．（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数)(x f 的取值范围．7.在ABC ∆中，2AB =，1BC =，3cos 4C =．（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）求BC CA ⋅ 的值．1.解: (1) (3,4)AB =-- (3,4)A C c =-- 由 3(3)16253AB AC c c =--+=-= 得 253c = (2) (3,4)AB =-- (2,4)AC =-6161cos 5205AB AC A AB AC-+∠=== 225sin 1cos 5A A ∠=-∠=2.解：(1) π3f(0)=3sin62=； (2) ∵π2πT=2ω=，∴ω=4，∴f(x)=3sin(4x+π6)； (3)由απ9f(+)=4125，得αππ93sin[4(+)+]=41265，即π3sin(α+)=cos α=25， ∴sinα＝±45.3.解：由52=⋅b a 得52sin sin 22cos 2=-+ααα52sin 1=-⇒α 所以53sin =α 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππα,2，所以54cos -=α 所以4sin sin 4cos cos 4cos παπαπα-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 210722532254-=⋅-⋅-=4. (Ⅰ) 解：因为cos B ＋cos (A －C )＝3sin C ，所以－cos (A ＋C )＋cos (A －C )＝3sin C ，得2sin A sin C ＝3sin C ，故sin A ＝32．因为△ABC 为锐角三角形，所以A =60°．(Ⅱ) 解：设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．由题意知 a ＝2，由余弦定理得4＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ≥bc ，所以△ABC 面积＝12bc sin60°≤3，且当△ABC 为等边三角形时取等号，所以△ABC 面积的最大值为3．5.解：（Ⅰ）∵2()cos (3cos sin )3sin sin cos f x x x x x x x =+-+223(cos sin )2sin cos x x x x =-+x x 2sin 2cos 3+=)32sin(2π+=x ． )(x f ∴的最小正周期为π．（Ⅱ）∵]2,3[ππ-∈x ，34323πππ≤+≤-∴x ，又)32sin(2)(π+=x x f ，]2,3[)(-∈∴x f ，()f x 的值域为]2,3[-． 6.解：（Ⅰ）因为 ()sin 2cos 21f x x x =--2sin(2)14x π=--．所以 22T π==π．（Ⅱ）()2sin(2)14f x x π=-- 当 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 32444x πππ-≤-≤，所以当242x ππ-=，max ()21f x =-，当244x ππ-=-，min ()2f x =-．所以)(x f 的取值范围是221⎡⎤--⎣⎦，． 7.解：（1）在ABC ∆中，由3cos 4C =，得7sin 4C = 又由正弦定理sin sin AB BC C A= 得：14sin 8A =（2）由余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅得：232124b b =+-⨯ 即23102b b --=，解得2b =或12b =-（舍去），所以2AC = 所以，BC CA ⋅ cos ,cos()BC CA BC CA BC CA C π=⋅⋅<>=⋅⋅- 3312()42=⨯⨯-=-，即32BC CA ⋅=-。

(完整版)三角函数计算题期末复习(含答案)

一、解答题1．sin30°+tan60°−cos45°+tan30°．2．计算：－12016－2tan 60°＋（－）0－.3．计算:2sin30°+3cos60°﹣4tan45°．4．计算： ()222sin30-°()0π33--+-． 5．计算: 2sin30tan60cos60tan45︒-︒+︒-︒．6．计算：｜﹣3|+（π﹣2017）0﹣2sin30°+（13）﹣1． 7．计算： ()0222cos30tan60 3.14π--︒+︒+-。

8．计算: 2212sin458tan 60-+︒-+︒．9．计算： 2sin30°2cos45-°8+．10．计算：（1）22sin 60cos 60︒+︒；（2)()24cos45tan6081︒+︒---． 11．计算： ()()103sin4513cos30tan6012-+-+⋅--． 12．求值：+2sin30°－tan60°— tan 45°13．计算：（sin30°﹣1）2﹣×sin45°+tan60°×cos30°． 14．(1）sin 230°+cos 230°+tan30°tan60° （2）o o o o 45cos 30sin 245sin 45tan -15．计算：﹣4﹣tan60°+|﹣2｜．16．计算：﹣2sin30°+（﹣）﹣1﹣3tan60°+（1﹣）0+．17．（2015秋•合肥期末）计算：tan 260°﹣2sin30°﹣cos45°． 18．计算:2cos30°－tan45°－()21tan 60+︒． 19．（本题满分6分）计算:121292cos603-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭ 20．(本题5分)计算：3－12+2sin60°+11()321．计算： ()1013tan3023122-⎛⎫︒+--+- ⎪⎝⎭． 22．计算：∣–5∣+3sin30°–（–6）2+（tan45°）–123．（6分)计算: ()()2122sin303tan45--+︒--+︒． 24．计算：()1021cos 603sin 60tan302π-⎛⎫-︒+--︒︒ ⎪⎝⎭（6分)25．计算：2sin45°－tan60°·cos30°．26．计算：()1012sin 60320152-⎛⎫-+︒---- ⎪⎝⎭． 27．计算：︒+︒⋅︒-45sin 260cos 30tan 8．28．计算： ()()12015011sin30 3.142π-⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭． 29．计算：．30．计算：32sin 45330cos602︒︒+︒+-． 31．计算:2sin 603tan 302tan 60cos 45︒+︒-︒⋅︒32．计算：cos30sin602sin 45tan 45︒︒+︒•︒－．33．计算：23tan60sin 453tan 45cos60︒-︒-︒+︒．34．计算:27-3sin60°—cos30°+2tan45°．35．计算:()201273tan3033π-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭ 36．计算20140+121-⎪⎭⎫ ⎝⎛−2sin45°+tan60°． 37．计算:tan30°cos30°+sin 260°— sin 245°tan45° 38．计算：（π﹣3）0+﹣(﹣1）2017﹣2sin30° 39．计算：﹣12016﹣（π﹣3）0+2cos30°﹣2tan45°•tan60°． 40．计算：（1)+|sin60°﹣1｜+tan45°(2）tan 260°+4sin30°cos45°41．计算：(1）（﹣1）2017﹣2﹣1+sin30°+（π﹣314）0；（2）cos 245°+sin60°tan45°+sin 230．42．计算：。

专题01 锐角三角函数和特殊角的三角函数(六大类型)(题型专练)(解析版)

专题01 锐角三角函数和特殊角的三角函数（六大类型）【题型1锐角三角函数的概念】【题型2 锐角三角函数的增减性】【题型3特殊角三角函数值】【题型4 同角三角函数的关系】【题型5 互余两角三角函数的关系】【题型6 三角函数的计算】【题型1锐角三角函数的概念】1．（2022秋•道县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则tan A 的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴tan A＝．故选：B．2．（2023•南岗区校级开学）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则tan B 等于（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝2BC，∴AC＝＝＝BC，∴tan B＝＝＝．故选：D．3．（2022秋•路北区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cos B的值等于（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6，∴cos B＝＝＝．故选：A．4．（2023•新华区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c为斜边，a、b 为直角边，且a＝5，b＝12，则sin A的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，c＝＝＝13，sin A＝．故选：B．5．（2023•陈仓区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，则sin B的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，∴AC＝，∴sin B＝＝＝，故选：C ．6．（2023•虹口区一模）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，那么cos A 的值为（）A ．B ．2C ．D ．【答案】C【解答】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，由勾股定理，得AB ＝＝．由锐角的余弦，得cos A ＝＝＝．故选：C ．7．（2023•金山区一模）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，则∠B 的正切值等于（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解答】解：∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴tan B ＝＝．故选：A ．8．（2023•长宁区一模）在△ABC 中，∠C ＝90°，已知AC ＝3，AB ＝5，那么∠A 的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解答】解：在Rt △ABC 中，AC ＝3，AB ＝5，故选：C．【题型2 锐角三角函数的增减性】9．（2023•未央区校级三模）若tan A＝2，则∠A的度数估计在（）A．在0°和30°之间B．在30°和45°之间C．在45°和60°之间D．在60°和90°之间【答案】D【解答】解：∵tan45°＝1，tan60°＝，而tan A＝2，∴tan A＞tan60°，∴60°＜∠A＜90°．故选：D．10．（2022秋•惠山区校级期中）已知∠A为锐角，且tan A＝3，则∠A的取值范围是（）A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°【答案】D【解答】解：tan30°＝，tan45°＝1，tan60°＝，∵tan A＝3，∴3，又∵一个锐角的正切值随锐角度数的增大而增大，∴60°＜∠A＜90°，故选：D．11．（2021秋•淮北月考）已知角α为△ABC的内角，且cosα＝，则α的取值范围是（）A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．60°＜α＜90°【答案】C【解答】解：∵cos60°＝，cos45°＝，∴cos60°＜cosα＜cos45°，∴45°＜α＜60°，故选：C．【题型3特殊角三角函数值】12．（2022秋•嵊州市期末）已知tan A＝，∠A是锐角，则∠A的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A【解答】解：∵，且∠A是锐角，∴∠A＝30°，故选：A．13．（2023•河西区模拟）计算2cos30°的结果为（）A．B．1C．D．【答案】C【解答】解：∵cos30°＝，∴2cos30°＝2×＝．故选：C．14．（2023•肃州区三模）sin60°的相反数（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵sin60°＝，∴sin60°的相反数是﹣．故选：C．15．（2023•高州市一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝，则∠A的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】C【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A为锐角，∵cos A＝，∴∠A＝60°，故选：C．16．（2023•南开区二模）下列三角函数中，结果为的是（）A．cos30°B．tan30°C．sin60°D．cos60°【答案】D【解答】解：A．cos30°＝，不符合题意；B．tan30°＝，不符合题意；C．sin60°＝，不符合题意；D．cos60°＝sin30°＝，符合题意．故选：D．17．（2023•河西区一模）cos60°的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：cos60°＝，故选：D．18．（2023•东莞市校级一模）已知∠A为锐角且tan A＝，则∠A＝（）A．30°B．45°C．60°D．不能确定【答案】C【解答】解：∵∠A为锐角，tan A＝，∴∠A＝60°．故选：C．19．（2023•迎泽区校级二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么∠B的度数是（）A．15°B．45°C．30°D．60°【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵tan B＝＝＝，∴∠B＝60°，故选：D．【题型4 同角三角函数的关系】20．（2023•泉港区模拟）已知∠A是锐角△ABC的内角，，则cos A的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由勾股定理可得sin2A+cos2A＝1，∵，∴（）2+cos2A＝1，∴cos2A＝，∴cos A＝或cos A＝﹣（舍去），故选：C．21．（2022秋•日照期末）若α为锐角，且sinα＝，则tanα为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由α为锐角，且sinα＝，得cosα＝＝＝，tanα＝＝＝，故选：D．22．（2022秋•桐柏县期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°．若sin A＝，则cos A等于（）A．B．C．D．1【答案】A【解答】解：∵sin2A+cos2A＝1，sin A＝，∴+cos2A＝1，∵∠A为锐角，∴cos A＝．故选：A．23．（2022秋•滦州市期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cos A＝（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，＝，可设BC＝4k，则AB＝5k，由勾股定理得，AC＝＝3k，∴cos A＝＝，故选：C．24．（2023•钟楼区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则cos A 等于（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如图：设BC＝5x，∵tan A＝，∴AC＝12x，AB＝＝13x，∴cos A＝＝＝．故选：D．25．（2023秋•二道区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝，则sin A的值为．【答案】．【解答】解：∵sin2A+cos2A＝1，又∵，∴，∴sin A＝或（舍去），故答案为：．【题型5 互余两角三角函数的关系】26．（2023秋•肇源县校级月考）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，，∴，设BC＝12x，则AB＝13x，，∴，故选：D．27．（2023•二道区校级模拟）在Rt△ABC中，AC≠BC，∠C＝90°，则下列式子成立的是（）A．sin A＝sin B B．sin A＝cos B C．tan A＝tan B D．cos A＝tan B 【答案】B【解答】解：A、sin A＝，sin B＝，sin A≠sin B，故不符合题意；B、sin A＝，cos B＝，sin A＝cos B，故B符合题意；C、tan A＝，tan B＝，tan A≠tan B，故不符合题意；D、cos A＝，tan B＝，则cos A≠tan B，故不符合题意；故选：B．28．（2023秋•东阿县校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则cos B 的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵cos B＝，sin A＝＝，∴cos B＝．故选：B．29．（2022秋•双牌县期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B 的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，∴sin A＝＝，∴设BC＝4a，AB＝5a，∴AC＝＝＝3a，∴tan B＝＝，故选：D．30．（2023•新邵县校级一模）已知△ABC中，∠A＝90°，tan B＝，则sin C＝．【答案】．【解答】解：如图．∵∠A＝90°，tan B＝，∴设AC＝x，则AB＝2x．∴BC＝＝．∴sin C＝．故答案为：．31．（2023•未央区校级二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B 的值为．【答案】．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，∴sin A＝＝，∴设BC＝3a，AB＝5a，∴AC＝＝＝4a，∴tan B＝＝＝．故答案为：．【题型6 三角函数的计算】32．（2023春•江岸区校级月考）计算：．【答案】1．【解答】解：＝＝2﹣1＝1．33．（2022秋•蜀山区校级期末）计算：sin245°+tan60°•cos30°．【答案】2．【解答】解：原式＝（）2+×＝+＝2．34．（2023春•朝阳区校级期末）计算：．【答案】见试题解答内容【解答】解：＝2×﹣+1﹣×＝﹣+1﹣＝．35．（2022秋•武功县期末）计算：sin45°+2cos30°﹣tan60°．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝+2×﹣＝+﹣＝．36．（2022秋•南通期末）计算：tan45°﹣2sin30°+4cos230°．【答案】3．【解答】解：原式＝＝1﹣1+3＝3．37．（2022秋•辛集市期末）计算：sin60°•tan30°+．【答案】1．【解答】解：原式＝＝+＝1．。

三角函数的运算专项练习(含答案)

三角函数的运算专项练习(含答案)三角函数的运算专项练 (含答案)一、求值计算1. 计算 $\sin 30^\circ + \cos 60^\circ$ 的值。

解： $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ 所以，$\sin 30^\circ + \cos 60^\circ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.2. 计算 $\tan 45^\circ + \cot 45^\circ$ 的值。

解： $\tan 45^\circ = 1$ $\cot 45^\circ = \frac{1}{\tan 45^\circ} = 1$ 所以，$\tan 45^\circ + \cot 45^\circ = 1 + 1 = 2$.3. 计算 $\sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ$ 的值。

解： $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 所以，$\sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{4}$.二、方程求解4. 解方程：$\sin x = \frac{1}{2}$.解： 根据正弦函数的定义，$\sin x = \frac{1}{2}$ 可以得到两个解： $x_1 = 30^\circ$ $x_2 = 150^\circ$5. 解方程：$\cos 2x = \frac{1}{2}$.解： 根据余弦函数的定义，$\cos 2x = \frac{1}{2}$ 可以得到两个解： $2x_1 = 60^\circ \Rightarrow x_1 = 30^\circ$ $2x_2 = 300^\circ \Rightarrow x_2 = 150^\circ$6. 解方程：$\tan 2x = 1$.解： 根据正切函数的定义，$\tan 2x = 1$ 可以得到一个解： $2x = 45^\circ \Rightarrow x = 22.5^\circ$三、综合练7. 计算 $\sin (\frac{\pi}{6}) - \cos (\frac{\pi}{3}) \cdot \tan (\frac{\pi}{4})$ 的值。

(完整版)三角函数公式练习(答案)

三角函数公式练习题（答案）1．1．（）29sin6π=A ．B ．C ．D 12-12【答案】【解析】C试题分析：由题可知，；2165sin )654sin(629sin ==+=ππππ考点：任意角的三角函数2．已知，，（）10274(sin =-πα257cos2=α=αsin A ．B ．C ．D ．5454-53-53【答案】D 【解析】试题分析：由①，7sin()sin cos 45πααα-=⇒-= 2277cos2cos sin 2525ααα=⇒-=所以②，由①②可得 ③，()()7cos sin cos sin 25αααα-+=1cos sin 5αα+=-由①③得，，故选D3sin 5α=考点：本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式点评：解决本题的关键是熟练掌握两角和与差的三角函数，二倍角公式3．（）cos 690= A ．B ．C ．D ．2121-2323-【答案】C 【解析】试题分析：由，故选C ()()cos 690cos 236030cos 30cos30=⨯-=-==考点：本题考查三角函数的诱导公式点评：解决本题的关键是熟练掌握三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值4．的值为π316tanA. B. C. D.33-3333-【答案】 C 【解析】试题分析tanπ=tan（6π﹣）=﹣tan=．考点：三角函数的求值，诱导公式．点评：本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值．5．若，，202παβπ<<<<-1cos()43πα+=cos()42πβ-=cos()2βα+=A ．B ．C ．D ．3333-93596-【答案】C．【解析】试题分析：因为，，所以，且202παβπ<<<<-1cos()43πα+=4344παππ<+<；又因为，所以322)4sin(=+απcos(42πβ-=02<<-βπ，且．又因为，所以2244πβππ<-<3624sin(=-βπ24()4(2βπαπβα--+=+)24sin()4sin(24cos()4cos()]24()4cos[(2cos(βπαπβπαπβπαπβα-++-+=--+=+．故应选C ．935363223331=⨯+⨯=考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角差的余弦公式．6．若角α的终边在第二象限且经过点(P -，则等于sin αA ．．12- D ．12【答案】A 【解析】试题分析：由已知，故选A ．23sin 2,3,1==⇒=∴=-=r y r y x α考点：三角函数的概念．7．sin70Cos370- sin830Cos530的值为（）A ． B ． C ． D ．21-212323-【答案】A 【解析】试题分析：sin70Cos370- sin830Cos530()()3790sin 790cos 37cos 7sin ---=()()2130sin 377sin 37sin 7cos 37cos 7sin -=-=-=-= 考点：三角恒等变换及诱导公式；8．已知，那么＝（）53)4cos(=-x πsin 2x （A ）（B ）（C ）（D ）25182524±257-257【答案】C 【解析】试题分析：sin2x ＝cos （－2x ）＝2cos 2（－x ）－1＝2×2π4π237(1525-=-考点：二倍角公式，三角函数恒等变形9．已知,那么（） 51sin()25πα+=cos α=A ． B ． C ． D ．25-15-1525【答案】C 【解析】试题分析：由=,所以选C ．51sin()25πα+=sin()cos 2a a π+=考点：三角函数诱导公式的应用10．已知，则的值为（）31)2sin(=+a πa 2cos A ． B ． C ． D ．3131-9797-【答案】D 【解析】试题分析：由已知得,从而,故选D.31cos =α971921cos 22cos 2-=-=-=αα考点：诱导公式及余弦倍角公式.11．已知点（）在第三象限，则角在（） P ααcos ,tan αA ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B 【解析】试题分析：由已知得，，故角在第二象限．tan 0,cos 0αα<⎧⎨<⎩α考点：三角函数的符号.12．已知是第四象限角，，则（）α125tan -=α=αsin A ． B ． C ． D ．5151-135135-【答案】D 【解析】试题分析：利用切化弦以及求解即可．，1cos sin 22=+αα125cos sin tan -==ααα又是第四象限角，,故，16925sin 1cos sin 222=∴=+αααα135sin ,0sin -=<αα选：D.考点：任意角的三角函数的定义 ωπω2sin ==T x y ．13．化简得到（）2cos (4πα--2sin ()4πα-A ．α2sin B ．α2sin - C ．α2cos D ．α2cos -【答案】A 【解析】试题分析：απαπαπαπααππα2sin )22cos()4(2cos 4(sin )4(cos )4(sin )4(cos 2222=-=-=---=---考点：三角函数的诱导公式和倍角公式.14．已知，则3cos ,05ααπ=<<tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A.B. C. D.15171-7-【答案】D 【解析】试题分析：由可知，因此，053cos ,0>=<<απα20πα<<54sin =α，由和角公式可知，故答案34tan =α713411344tan tan 14tantan )4tan(-=⨯-+=⋅-+=+παπαπα为D 。

三角函数应用专项练习题(经典)

三角函数应用专项练习题(经典)1. 问题描述本文档收集了一些经典的三角函数应用练题，帮助学生强化对三角函数的理解和应用能力。

这些练题包括求解三角函数的值、求解三角函数方程、求解三角函数不等式等。

每个问题都提供了解题思路和详细步骤，供学生参考。

2. 练题2.1 求解三角函数的值2.1.1 题目一已知角A为第一象限角，且sin A = 0.5，求cos A的值。

2.1.2 题目二已知角B为第二象限角，且tan B = -√3，求sin B的值。

2.2 求解三角函数方程2.2.1 题目三解方程sin x = 0.8，在区间[0, 2π]内。

2.2.2 题目四解方程2cos^2 x - 3 = 0，在区间[-π, π]内。

2.3 求解三角函数不等式2.3.1 题目五求解不等式sin x - cos x ≤ 0，在区间[-π/2, π/2]内。

2.3.2 题目六求解不等式tan^2 x - 2tan x + 1 ≥ 0，在区间[-π, π]内。

3. 解答和步骤3.1 求解三角函数的值3.1.1 题目一由sin A = 0.5可知，角A的对边为0.5，斜边假设为1。

根据勾股定理，可以求得角A的邻边为√(1^2 - 0.5^2) = √(1 - 0.25) =√0.75 = √(3/4) = √3/2。

由于角A为第一象限角，邻边为正数。

所以cos A = √3/2。

3.1.2 题目二由tan B = -√3可知，角B的对边为-√3，邻边假设为1。

根据勾股定理，可以求得角B的斜边为√(1^2 + (-√3)^2) = √(1 + 3) = √4 = 2。

由于角B为第二象限角，邻边为负数。

所以sin B = -√3/2。

3.2 求解三角函数方程3.2.1 题目三解方程sin x = 0.8，可以通过求逆函数arcsin来得到解。

使用计算器可以得到arcsin 0.8 ≈ 0.927。

因为arcsin的定义域是[-π/2, π/2]，所以解法中要考虑解在这个区间的情况。

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3.计算：tan30°cot60°＋cos230°－sin245°tan45°；
4.求值：sin245°－cos60°+ta n60°·cos230°
5.求下列各式的值。
（1）
（2）
6.（1）计算：
（2）计算：
（3）计算：
7.（2011江苏淮安，18，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后得到△AB1C1，B1C1交AC于点D，如果AD= ，则△ABC的周长等于.
12.（2011浙江金华）计算:
锐角三角函数的计算（8.7）
尚孔教育柯瑞
一、基本公式：
（1）平方关系：sin2α+cos2α=1；sin2a+sin2(90-a)=1.
（2）商数关系：tanα= ，cotα= ；
（3）倒数关系：tanαcotα=1．tana tan(90-a)=1.
（4）sin (90-a)=cosa;cos(90-a)=sin a;
8.（2011安徽芜湖6分）计算：
9.(1)sin2l°+sin23°+…+sin287°+sin289°=．
（2）tan10°·tan20°.tan30°·tan40°·tan50°·tan70°·tan80°
10.（2011湖北襄阳，19，6分）
先化简再求值：，其中 .
11.（2011广东）计算：
点评：这一题综合运用了tan a.cot a=1,tana=cot(90-a),即tan a.tan(90-a)=1.
例 3..已知为锐角，tan = ，求的值
解析：分子分母同时除以cosa,原式= = =
三、°－tan54°tan36°＋sin224°；
例 2.计算：tan1°·tan2°·tan3°·tan4°……tan88°·tan89°的值．
解析：cota=tan(90-a),tana.cota=1，于是tan a.cot a=tan a.tan(90-a)=1.那么tan1.tan89=1
tan2.tan88=1
依此类推，原式=tan1.tan89.tan2.tan88….tan44.tan46.tan45=1
tan(90-a)=cota;cot(90-a)=tan a.
注意:公式的逆向运用以及综合运用；
二、典型例题
例1.sin2l°+sin22°+…+sin288°+sin289°=．
解析：
点评：这一题综合运用了sin2α+cos2α=1，sin (90-a)=cosa，即sin2a+sin2(90-a)=1.