三角函数计算题期末复习(含答案)演示教学
初三数学三角函数(含答案)
初中数学三角函数1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
a 2b 2c 24、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值； 任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
tan A cot B cot A tan Bcot-1 ~3~6、 正弦、余弦的增减性：当0°w < 90°时，sin 随 的增大而增大，cos 随 的增大而减小7、 正切、余切的增减性：当0° < <90°时，tan 随 的增大而增大，cot 随 的增大而减小。
1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）一所有未知的 边和角。
依据：①边的关系： a 2b 2c 2;②角的关系：A+B=90 °；③边角关系：三角函数的定义。
（注意：尽量避免使用中间数据和除法）2、应用举例：（1）仰角：视线在水平线上方的角； 俯角：视线在水平线下方的角（2）坡面的铅直高度 h 和水平宽度I 的比叫做坡度（坡比）。
用字母i 表示，即i y 。
坡度一 般写成1: m 的形式，如i 1:5等。
把坡面与水平面的夹角记作 （叫做坡角），那么h + i tan 。
l3、 从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图 3, OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。
4、 指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30° （东北方向）， 南 偏东45° （东南方向），南偏西60° （西南方向）， 北偏西60° （西北方向）。
铅垂线*视线 ‘ 仰角水平线俯角1*视线初三数学三角函数综合试题一、填空题： 1、在 Rt △ ABC 中/C = 90°, a = 2, b = 3,则 cosA =_, sinB =_ , tanB = ___ 2、直角三角形 3、已知tan ABC 的面积为24cm 2，直角边AB 为6cm , / A 是锐角，则sinA = =—, 是锐角，贝U sin 12 + ) + cos 2(40 ° 4、 cos 2(50° — _______ ? 5、 如图1,机器人从A 点，沿着西南方向，行了个4,：2单位，至U 达 60°的方向上，贝U 原来 )—tan(30)tan(60 ° + 到原点O 在它的南偏东 保留根号).A 的坐标为B 点后观察 _ (结果 NMNC 0(2)10cm 周长为36cm 则一底角的正切值为_、3的山坡走了 50米，则他离地面 米高。
(完整版)三角函数计算题期末复习(含答案)
一、解答题1．sin30°+tan60°−cos45°+tan30°．2．计算：－12016－2tan 60°＋（－）0－.3．计算:2sin30°+3cos60°﹣4tan45°．4．计算： ()222sin30-°()0π33--+-． 5．计算: 2sin30tan60cos60tan45︒-︒+︒-︒．6．计算：｜﹣3|+（π﹣2017）0﹣2sin30°+（13）﹣1． 7．计算： ()0222cos30tan60 3.14π--︒+︒+-。
8．计算: 2212sin458tan 60-+︒-+︒．9．计算： 2sin30°2cos45-°8+．10．计算：（1）22sin 60cos 60︒+︒； （2)()24cos45tan6081︒+︒---． 11．计算： ()()103sin4513cos30tan6012-+-+⋅--． 12．求值：+2sin30°－tan60°— tan 45°13．计算：（sin30°﹣1）2﹣×sin45°+tan60°×cos30°． 14．(1）sin 230°+cos 230°+tan30°tan60° （2）o o o o 45cos 30sin 245sin 45tan -15．计算：﹣4﹣tan60°+|﹣2｜．16．计算：﹣2sin30°+（﹣）﹣1﹣3tan60°+（1﹣）0+．17．（2015秋•合肥期末）计算：tan 260°﹣2sin30°﹣cos45°． 18．计算:2cos30°－tan45°－()21tan 60+︒． 19．（本题满分6分） 计算:121292cos603-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭ 20．(本题5分)计算：3－12+2sin60°+11()321．计算： ()1013tan3023122-⎛⎫︒+--+- ⎪⎝⎭． 22．计算：∣–5∣+3sin30°–（–6）2+（tan45°）–123．（6分)计算: ()()2122sin303tan45--+︒--+︒． 24．计算：()1021cos 603sin 60tan302π-⎛⎫-︒+--︒︒ ⎪⎝⎭（6分)25．计算：2sin45°－tan60°·cos30°．26．计算：()1012sin 60320152-⎛⎫-+︒---- ⎪⎝⎭． 27．计算：︒+︒⋅︒-45sin 260cos 30tan 8．28．计算： ()()12015011sin30 3.142π-⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭． 29．计算：．30．计算：32sin 45330cos602︒︒+︒+-． 31．计算:2sin 603tan 302tan 60cos 45︒+︒-︒⋅︒32．计算：cos30sin602sin 45tan 45︒︒+︒•︒－ ．33．计算 ：23tan60sin 453tan 45cos60︒-︒-︒+︒．34．计算:27-3sin60°—cos30°+2tan45°．35．计算:()201273tan3033π-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭ 36．计算20140+121-⎪⎭⎫ ⎝⎛−2sin45°+tan60°． 37．计算:tan30°cos30°+sin 260°— sin 245°tan45° 38．计算：（π﹣3）0+﹣(﹣1）2017﹣2sin30° 39．计算：﹣12016﹣（π﹣3）0+2cos30°﹣2tan45°•tan60°． 40．计算：（1)+|sin60°﹣1｜+tan45°(2）tan 260°+4sin30°cos45°41．计算：(1）（﹣1）2017﹣2﹣1+sin30°+（π﹣314）0； （2）cos 245°+sin60°tan45°+sin 230．42．计算：。
锐角三角函数（含习题及答案）
锐角三角函数——正弦一、教学目标1.通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与用计算器求锐角三角函数值和根据三角函数值求锐角斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实．2.能根据正弦概念正确进行计算3.经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力．二、教学重点、难点重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实．三、教学过程（一）复习引入操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度．（演示学校操场上的国旗图片）小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34º，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了．你想知道小明怎样算出的吗？师：通过前面的学习我们知道，利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度；实际上我们还可以象小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度．这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法．下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦（二）实践探索为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30º，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？分析：问题转化为，在Rt△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=35m，求AB根据“再直角三角形中，30o角所对的边等于斜边的一半”，即==可得AB=2BC=70m，即需要准备70m长的水管结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90º，∠A=45º，计算∠A的对边与斜边的比，能得到什么结论？分析：在Rt△ABC 中，∠C=90º，由于∠A=45º，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得AB2 = AC2+BC2 = 2BC2，AB =BC故===结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45º，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？如图：Rt△ABC与Rt△A’B’C’，∠C=∠C’=90º，∠A=∠A’=α，那么与有什么关系？分析：由于∠C=∠C’=90º，∠A=∠A’=α，所以Rt△ABC与Rt△A’B’C’相似，=，即=结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．认识正弦如图，在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c．师：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦．记作sinA．板书：sinA＝= (举例说明：若a = 1，c = 3，则sinA=)注意：1、sinA不是 sin与A的乘积，而是一个整体；2、正弦的三种表示方式：sinA、sin56º、sin∠DEF；3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位．提问：∠B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？（三）教学互动例、如图，在RtΔABC中，∠C = 90º，求sinA和sinB的值.分析：可利用勾股定理分别求出两个三角形中未知的那一边长，再根据正弦的定义求解.解答按课本.锐角三角函数——余弦和正切一、教学目标1.使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实．2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力．二、教学重点、难点重点：理解余弦、正切的概念难点：熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算三、教学过程（一）复习引入1.口述正弦的定义2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90º，CD⊥AB于点D．已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD＝（）A． B． C．D．（二）实践探索一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？如图：Rt△ABC与Rt△A’B’C’，∠C=∠C’=90o，∠A=∠A’=α，那么与有什么关系？分析：由于∠C=∠C’=90o，∠B=∠B’=α，所以Rt△ABC与Rt△A’B’C’相似，=，即=结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比也是一个固定值．如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA；即cosA ==类似地，把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA =锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（三）教学互动例、如图，在RtΔABC中，∠C = 90º，BC=6，sinA =，求cosA和tanB的值．解：∵sinA =，∴AB == 6×= 10又AC === 8∴cosA ==，tanB ==30°、45°、60°角的三角函数值一、教学目标1.能推导并熟记30º、45º、60º角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数．2.能熟练计算含有30º、45º、60º角的三角函数的运算式二、教学重点、难点重点：熟记30º、45º、60º角的三角函数值，能熟练计算含有30º、45º、60º角的三角函数的运算式难点：30º、45º、60º角的三角函数值的推导过程三、教学过程(一)复习引入还记得我们推导正弦关系的时候所到结论吗？即sin30º =，sin45º=你还能推导出sin60º的值及30º、45º、60º角的其它三角函数值吗？(二)实践探索让学生画30º、45º、60º的直角三角形，分别求sin30º、cos45º、tan60°归纳结果（三）教学互动例1、求下列各式的值：(1) cos260º+cos245º+sin30ºsin45º(2)+解：(1)原式 = ()2+()2+××=++= 1(2)原式 =+=+= −(1+)2−(1−)2=−3−2−3+2= −6说明：本题主要考查特殊角的正弦余弦值，解题关键是熟悉并牢记特殊角的正弦余弦值．易错点因没有记准特殊角的正弦余弦值，造成计算错例2、(1)如图(1), 在RtΔABC中，∠C = 90º，AB =，BC =，求∠A的度数．(2)如图(2)，已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍，求α.解：(1)在图(1)中，∵sinA ===，∴∠A = −45º，(2)在图(2)中，∵tanα ===，∴α = 60º用计算器求锐角三角函数值和根据三角函数值求锐角一、教学目标1.让学生熟识计算器一些功能键的使用2.会熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角二、教学重点、难点重点：运用计算器处理三角函数中的值或角的问题难点：知道值求角的处理三、教学过程（一）复习引入通过上课的学习我们知道，当锐角A是等特殊角时，可以求得这些角的正弦、余弦、正切值；如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？我们可以用计算器来求锐角的三角函数值．（二）实践探索1.用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值利用求下列三角函数值（这个教师可完全放手学生去完成，教师只需巡回指导）sin37º24′sin37°23′cos21º28′ cos38°12′tan52°tan36°20′ tan75°17′2.熟练掌握用科学计算器由已知三角函数值求出相应的锐角.例如：sinA=0.9816.∠A＝；cosA＝0.8607，∠A＝；tanA＝0.1890，∠A=；tanA＝56.78，∠A＝．典型例题1．若把ΔABC中锐角A的两边AB、AC分别缩小为原来的，已知其中∠C = 90º，则锐角A的正弦，则sinA的变化情况为( )A．nsinA B．sinA C． D．保持原值不变答案：D说明：因为当一个锐角大小不变时，其正弦值是固定的，与∠A的两边大小无关，所以正确答案为D．2．已知ΔABC中，∠C = 90º，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c、且c = 3b，则cosA = ( )A． B． C．D．答案：C说明：因为cosA =，而c = 3b，所以cosA =，答案为C．3．a、b、c是ΔABC的三边，a、b、c满足等式(2b)2= 4(c+a)(c−a)，且有5a−3c = 0，求sinA+sinB的值．分析：用正弦的定义把正弦换为边的比，再由所给的边与边的关系即可求值．解：由(2b)2 = 4(c+a)(c−a)得b2 = c2−a2，∴c2 = a2+b2，∴ΔABC是直角三角形，且∠C = 90º；由5a−3c = 0，得=，即sinA =设a = 3k，则c = 5k，∴b == 4k，∴sinB ===∴sinA+sinB =+=．4．如图，∠POQ = 90º，边长为2 cm的正方形ABCD的顶点B在OP上，C在OQ上，且∠OBC = 30º；分别求点A、D到OP的距离．分析：由正方形的性质可证ΔABE≌ΔBCO≌ΔCDG，再由∠OBC = 30º，即可求出OC、CG、AE的长．解：过点A、D分别作AE⊥OP、DF⊥OP，DG⊥OG，垂足分别为E、F、G．在正方形ABCD中，∠ABC =∠BCD = 90º∵∠OBC = 30º，∴∠ABE =∠BCO = 60º同理可求∠CDG = 60º，又AB = BC = CD = 2 cm，∴RtΔABE≌RtΔBCO≌RtΔCDG∴CG = AE = AB•sin∠ABE = 2•=(cm)OC = BC•sin∠OBC = 2•= 1(cm)∴DF = OG = GC+OC = (+1)(cm)即点A到OP的距离为cm，点D到OP的距离为(+1)cm．习题精选选择题：1．如图，CD是RtΔABC斜边上的高，AC = 4，BC = 3，则cos∠BCD的值是( )A．B．C． D．答案：D说明：因为CD⊥AB，所以∠BCD+∠B = 90º；又∠A+∠B = 90º，所以∠BCD =∠A；由BC = 3，AC = 4，得AB === 5，∴cos ∠BCD = cosA ==，所以答案为D．2．如图，以平面直角坐标系的原点为圆心，以1为半径作圆，若点P是该圆在第一象限内的一点，且OP与x轴正方向组成的角为α，则点P的坐标是( )A．(cosα，1)B．(1，sinα)C．(sinα，cosα)D．(cosα，sinα)答案：D说明：如图，作PA⊥x轴于点A；由锐角三角函数定义知，cosα =，sinα =，所以OA = OPcosα = cosα，PA = OPsinα，所以点P的坐标为(cosα，sinα)，所以答案为D．3．如图，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C’处，BC’交AD于E，下列结论不一定成立的是( )A．AD = BC’B．∠EBD =∠EDBC．ΔABE与ΔBCD相似D．sin∠ABE =答案：C说明：因为ΔBC’D≌ΔBCD，所以BC’ = BC；又BC = AD，所以AD = BC’；因为AD//BC，所以∠EDB =∠CBD，而∠CBD =∠EBD，所以∠EDB =∠EBD，所以EB = ED；而sin∠ABE ==，所以A、B、D都是成立的，答案为C．4．如图，RtΔABC中，∠C = 90º，D为BC上一点，∠DAC = 30º，BD = 2，AB = 2，则AC的长是( )A． B．2 C．3D．答案：A说明：在RtΔACD中，因为∠CAD = 30º，设CD = x，因为tan∠DAC =，则AC =x，在RtΔABC中，由勾股定理得AB2= AC2+BC2= AC2+(CD+DB)2，即(2)2= (x)2+(x+2)2，∴x2+x−2 = 0，解得x1 = 1或x2 = −2(舍去)，即DC = 1，AC =，答案为A．5．在RtΔABC中，∠C = 90º，如果∠A = 30º，那么sinA+cosB的值等于( )A．1 B． C．D．答案：A说明：因为在RtΔABC中，∠C = 90º，∠A = 30º，所以∠B = 60º，所以sinA = sin30º =，cosB = cos60º =，故sinA+cosB =+= 1，所以答案为A．6．在矩形ABCD中，BC = 2，AE⊥BD于E，∠BAE = 30º，那么ΔECD的面积是( )A．2 B． C．D．答案：C说明：如图，由题意得，ΔABE与ΔBDC相似，∴∠CBD =∠BAE = 30º，∴CD = BC•tan∠CBD = 2•=，AB = CD =，BE = AB•sin30º =×=，EF = BE•sin30º =×=，∴SΔECD = SΔBCD−SΔEBC =BC•CD−BC•EF =×2×−×2×=，答案为C．7．如图，两条宽度都是1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的夹角为α，则它们重叠部分(图中黄色部分)的面积为( )A． B．sinα C． D．cosα答案：C说明：如图，过点A作AN⊥CD于N，过点D作DM⊥BC于M，则AN = DM = 1，∠DCM =α，在RtΔDCM中，CD == ，所以S平行四边形ABCD = CD•AN =，答案为C．解答题：1．如果α是锐角，且cosα =，求sinα及tanα的值．分析：事实上，因为α为锐角，所以可构造一个RtΔABC，使∠C = 90º，∠A = α，则有AC = 4k，AB = 5k，由勾股定理得BC == 3k，从而可求sinα；还可直接用公式sinA =求解．解：构造RtΔABC，使∠A = α，∠C = 90º，如图，∵cosα = cosA =，∴可令AC = 4k，AB = 5k，∴BC == 3k，∴sinA ===，tanA ===，即sinα =，tanα =．2．若tan2x−(+1)tanx+= 0，求锐角x．分析：这是以tanx为未知数的一元二次方程，可先求出tanx，再求x．解：tan2x−(+1)tanx+= 0，(tanx−1)(tanx−) = 0，得tanx = 1或tanx =；当tanx = 1时，x = 45º；当tanx =时，x = 60º；∴x1 = 45º，x2 = 60º．。
三角函数计算题 期末复习(含答案)
一、解答题1．sin30°+tan60°−cos45°+tan30°．2．计算：－12016－2tan 60°＋(－)0－.3．计算：2sin30°+3cos60°﹣4tan45°．4．计算： ()222sin30-°()0π33--+-． 5．计算： 2sin30tan60cos60tan45︒-︒+︒-︒．6．计算：|﹣3|+（π﹣2017）0﹣2sin30°+（13）﹣1． 7．计算： ()0222cos30tan60 3.14π--︒+︒+-.8．计算： 2212sin458tan 60-+︒-+︒．9．计算： 2sin30°2cos45-°8+．10．计算：（1）22sin 60cos 60︒+︒； （2）()24cos45tan6081︒+︒---． 11．计算： ()()103sin4513cos30tan6012-+-+⋅--． 12．求值：+2sin30°－tan60°- tan 45° 13．计算：（sin30°﹣1）2﹣×sin45°+tan60°×cos30°． 14．（1）sin 230°+cos 230°+tan30°tan60° （2）o o o o 45cos 30sin 245sin 45tan -15．计算：﹣4﹣tan60°+|﹣2|．16．计算：﹣2sin30°+（﹣）﹣1﹣3tan60°+（1﹣）0+．17．（2015秋•合肥期末）计算：tan 260°﹣2sin30°﹣cos45°．18．计算：2cos30°－tan45°－()21tan 60+︒． 19．（本题满分6分） 计算：121292cos603-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭ 20．（本题5分）计算：3－12+2sin60°+11()321．计算： ()1013tan3023122-⎛⎫︒+--+- ⎪⎝⎭． 22．计算：∣–5∣+3sin30°–（–6）2+（tan45°）–123．（6分）计算: ()()2122sin303tan45--+︒--+︒． 24．计算：()1021cos 603sin 60tan 302π-⎛⎫-︒+--︒︒ ⎪⎝⎭（6分）25．计算：2sin45°－tan60°·cos30°．26．计算：()1012sin 60320152-⎛⎫-+︒---- ⎪⎝⎭． 27．计算：︒+︒⋅︒-45sin 260cos 30tan 8．28．计算： ()()12015011sin30 3.142π-⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭． 29．计算：．30．计算：32sin 453cos602︒︒+︒+-．31．计算：2sin603tan302tan60cos45︒+︒-︒⋅︒32．计算：cos30sin602sin 45tan 45︒︒+︒•︒－ ．33．计算 ：23tan 60sin 453tan 45cos 60︒-︒-︒+︒． 34．计算：27-3sin60°-cos30°+2tan45°．35．计算：()201273tan 3033π-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭ 36．计算20140+121-⎪⎭⎫ ⎝⎛−2sin45°+tan60°． 37．计算：tan30°cos30°+sin 260°- sin 245°tan45°38．计算：（π﹣3）0+﹣（﹣1）2017﹣2sin30°39．计算：﹣12016﹣（π﹣3）0+2cos30°﹣2tan45°•tan60°．40．计算：（1）+|sin60°﹣1|+tan45°（2）tan 260°+4sin30°cos45°41．计算：（1）（﹣1）2017﹣2﹣1+sin30°+（π﹣314）0；（2）cos 245°+sin60°tan45°+sin 230．42．计算：.43．．44．计算：2sin 30°－3tan 45°·sin 45°＋4cos 60°. 45．计算： ()103116220073tan6033π-⎛⎫⎛⎫+÷-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 46．计算：(－1)2 019－()－3＋(cos 68°)0＋|3－8sin 60°|47．计算：(1)；(2)．48．计算：(1)sin45°·cos45°＋tan60°·sin60°；(2)sin30°－tan245°＋tan230°－cos60°. 49．计算：二、填空题5012﹣tan30°+（π﹣4）0112-⎛⎫- ⎪⎝⎭=_____．参考答案1．【解析】【分析】分别代入各特殊角的三角函数值，然后进行计算即可得.【详解】sin30°+tan60°−cos45°+tan30°==×+-+=.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握各特殊角的三角函数值是解题的关键.2．－4.【解析】分析:先根据乘方运算法则,特殊三角函数值,零指数幂,二次根式乘法法则逆用进行计算,然后再进行实数加减运算.详解: －12016－2tan60°＋(－)0－,原式＝－1－2×＋1－2,＝－4.点睛:本题主要考查乘方运算法则,特殊三角函数值,零指数幂,二次根式乘法法则,解决本题的关键是要熟练掌握实数相关运算法则.3．﹣1.5.【解析】试题分析：把30°的正弦值、60°的余弦值、45°的正切值代入进行计算即可. 试题解析：2sin30°+3cos60°﹣4tan45° =11234122⨯+⨯-⨯ =1.5.4【解析】试题分析：分别根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，0指数幂及绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．试题解析：解：原式＝12212-⨯-点睛：本题考查的是二次根式的性质，特殊角的三角函数值，0指数幂及绝对值的性质，熟知以上运算法则是解答此题的关键．5．12【解析】试题分析：将特殊角的三角函数值代入求解即可．试题解析：解：原式= 112122⨯- 12=． 6．6【解析】试题分析：按顺序依次先进行绝对值化简、0次幂计算、特殊角三角函数值、负指数幂计算，然后再按运算顺序进行计算即可.试题解析：原式=3+1-212⨯+3=3+1﹣1+3=6． 7．54【解析】试题分析：原式利用特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可得到结果． 试题解析：2-2-2cos30°+tan60°+(π-3.14)01214=- =548．2【解析】试题分析：先进行绝对值、二次根式的化简，特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可.试题解析：原式123132+-==.9． 1+【解析】试题分析：代入30°角的正弦函数值、45°角的余弦函数值，再按二次根式的相关运算法则计算即可. 试题解析：原式 = 12222⨯-⨯+= 1= 1.10．（1）1；（2）．【解析】试题分析：（1）直接利用特殊角的三角函数值代入化简求出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值代入化简求出答案．试题解析：（1）原式=22312+（）（）=1； （2）原式=24322131⨯+--=-. 11．1．【解析】试题分析：利用三角函数，分母有理化，绝对值性质计算.试题解析：()()103sin4513cos30tan6012-+-+⋅-- =1+13-+3331⨯+-=1+13++32+31-=1. 12．【解析】先得出式子中的特殊角的三角函数值，再按实数溶合运算顺序进行计算即可.解：原式＝13．【解析】试题分析：此题涉及有理数的乘方、特殊角的三角函数值的求法，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果即可．解：（sin30°﹣1）2﹣×sin45°+tan60°×cos30°=1﹣×+× =1﹣1+ =【点评】此题主要考查了实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握有理数的乘方、特殊角的三角函数值的运算．14．（1）2；（2）0.【解析】试题分析：根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案. 试题解析：（1）sin 230°+cos 230°+tan30°tan60° =22133()(3223++ =1+1=2；（2）原式=212 122⨯-⨯⨯=0.考点：特殊角的三角函数值．15．2﹣2．【解析】试题分析：原式前两项化为最简二次根式，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．解：原式=2﹣4×﹣+2﹣=2﹣2．考点：实数的运算；特殊角的三角函数值．16．﹣3﹣．【解析】试题分析：直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质化简进而求出答案．解：原式=﹣2×﹣3﹣3+1+2=﹣3﹣．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．17．1【解析】试题分析：将特殊角的三角函数值代入求解．解：原式=（）2﹣2×﹣×=3﹣1﹣1=1．考点：特殊角的三角函数值．18．-2.【解析】试题分析：分别计算特殊角三角函数值和算术平方根，然后再计算加减法.试题解析：原式=21|1-+11=-2.考点：实数的混合运算.19．1．【解析】试题分析：按照实数的运算法则依次计算．试题解析：原式=1432311312-+-⨯+=--+=．考点：1．特殊角的三角函数值；2．有理数的乘方；3．零指数幂；4．负指数幂．20．3.【解析】试题分析：本题首先将各式分别进行计算，然后根据实数的计算法则进行计算.试题解析：原式×2－考点：实数、三角函数的计算21．331- 【解析】试题分析：先计算三角函数值，零指数，负指数，开方再按照实数的运算计算即可. 试题解析：原式=331223⨯+-+=3123-+=331-. 考点：三角函数值，零指数，负指数，开方.视频22．32 【解析】试题分析：分别求值再进行加减运算试题解析：原式=5+32-6+1=32考点：1.特殊角的三角函数2.实数的运算233【解析】试题分析：先计算绝对值，三角函数，零指数，负指数，平方再按照实数的运算计算即可.试题解析： (()2122sin303tan45--+︒-+︒ 33考点：三角函数，实数的运算.24．214. 【解析】试题分析：任何不是零的数的零次幂都是1，1p pa a .试题解析：原式=2－21()2+13=2－14+1－12=214. 考点：实数的计算、三角函数的计算.25．21- 【解析】试题分析：sin45°=2；tan60°cos30°. 试题解析：原式＝233222⨯-⨯＝123-＝21-． 考点：二次根式的计算、锐角三角函数的计算.26．－3.【解析】试题分析：sin60°=2；任何非零的数的零次幂为1，33；11()2=－2.试题解析：原式=－－1=－3.考点：实数的计算.27．6323-． 【解析】 试题分析：原式=222213322⨯+⨯-=6323-． 考点：实数的运算．28．12． 【解析】试题分析：原式11122=-+-+ 12=． 考点：实数的运算．视频29．2．【解析】试题分析：原式==2．考点：实数的运算．3021．【解析】 试题分析：原式=23132322++21．考点：实数的运算．31．236【解析】试题分析：此题主要考查了特殊角的三角函数值得代入求值问题，因此把相应的特殊角的三角函数值代入即可.试题解析：解：原式=2322+= 考点：特殊角的三角函数32．【解析】试题分析：原式21== 考点：实数的运算．33．0．【解析】 试题分析：原式211322332+⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=213213+--=0=． 考点：实数的运算． 34．1．【解析】试题分析：将tan45°=1，代入，然后化简合并即可得出答案．试题解析：原式=2×32﹣1+2×32=3﹣1+3=23﹣1． 考点：特殊角的三角函数值．35．2310+【解析】试题分析：根据二次根式、特殊角三角函数值、零次幂、负整数指数幂的意义进行计算即可. 试题解析：21273tan 30(3)()3π--︒+-︒+ 333319=-⨯++ 2310=+考点: 实数的混合运算.36．23+.【解析】试题分析：根据零次幂、负整数指数幂、特殊三角函数值的意义进行计算即可. 试题解析:0112014()2sin 45tan 602-+-︒+︒ 21223=+-⨯+ 23=+考点: 1.零次幂,2.负整数指数幂,3特殊三角函数值.37．【解析】【分析】根据特殊三角函数值即可求解.【详解】原式==【点睛】本题考查了特殊的三角函数值,属于简单题,熟记特殊三角函数值是解题关键.38．3【解析】【分析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】解：（π﹣3）0+﹣（﹣1）2017﹣2sin30°=1+2﹣（﹣1）﹣2×=3+1﹣1=3【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解题关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简、绝对值等考点的运算．39．﹣2﹣．【解析】【分析】原式利用乘方的意义，特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可得到结果．【详解】原式=﹣1﹣1+﹣2=﹣2﹣．【点睛】本题考查了实数的运算法则，负指数的性质，特殊角是三角函数，熟练特殊角是三角函数是解题的关键．40．(1)4-;(2)3+【解析】【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；（2）原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．【详解】（1）原式=2+1﹣+1=4﹣；（2）原式=3+4××=3+．【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．41．（1）0；（2）．【解析】【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值化简得出答案．【详解】（1）（﹣1）2017﹣2﹣1+sin30°+（π﹣314）0；=﹣1﹣++1=0；（2）cos245°+sin60°tan45°+sin230=（）2+×1+（）2=++=．【点睛】本题考查了实数运算，掌握实数运算是解题的关键．42．.【解析】分析：代入45°角的正弦函数值，结合“零指数幂的意义”和“负整数指数幂的意义”进行计算即可.详解：原式===.点睛：熟记45°角的正弦函数值、及（为正整数）是正确解答本题的关键.43．【解析】【分析】根据：分别代入计算．【详解】原式．【点睛】考查了特殊角的三角函数值，解答此类题目的关键是熟记特殊角是三角函数值.44．3－【分析】把60°，30°，45°的正弦，余弦，正切的值代入计算即可．【详解】解：原式＝2×－3×1×＋4×＝1－＋2＝3－【点睛】 本题主要考查特殊角的三角函数值和零指数幂的知识点，牢记特殊角的三角函数值是解答的关键．45．-1.【解析】分析：代入60°角的正切函数值，结合“负指数幂的意义”、“零指数幂的意义”和实数的相关运算法则计算即可.详解：原式=()3168133+÷-+-⨯=3213-+-=1-。
【湘教版】九年级数学上册：第4章《锐角三角函数》章末复习教案(含答案)
第四章锐角三角函数教学目标【知识与技能】1.了解锐角三角函数的概念，熟记30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值.2.能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数.3.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.【过程与方法】通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想.【情感态度】通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用.【教学重点】会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.【教学难点】会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.教学过程【布置作业】完成本课时对应练习，并提醒学生预习下一节的内容。
一、知识结构【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.二、释疑解惑，加深理解1.正弦的概念：在直角三角形中，我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦.记作sinα，即：sinα=角α的对边/斜边.2.余弦的概念：在直角三角形中，我们把锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦.记作cosα.即cosα=角α的邻边/斜边.3.正切的概念：在直角三角形中，我们把锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切.记作tanα，即：tanα=角α的对边/角α的邻边4.特殊角的三角函数值：5.三角函数的概念：我们把锐角α的正弦、余弦、正切统称为角α的锐角三角函数.6.解直角三角形的概念：在直角三角形中，利用已知元素求其余未知元素的过程，叫作解直角三角形.7.仰角、俯角的概念：当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，在水平线下方的角叫作俯角．8.坡度的概念：坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度(或坡比)；记作i，坡度通常用l∶m 的形式；坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.【教学说明】引导学生回忆本章所学的有关概念，知识点.加深学生的印象.三、运用新知，深化理解1.已知，如图，D是△ABC中BC边的中点，∠BAD=90°，tanB=2/3，求sin∠DAC．解：过D作DE∥AB交AC于E，则∠ADE=∠BAD=90°，由tanB=2/3，得ADAB=2/3,设AD=2k,AB=3k,∵D是△ABC中BC边的中点，∴DE=3/2k∴在Rt△ADE中，AE=5/2k，2.计算：tan230°＋cos230°－sin245°tan45°3.如图所示，菱形ABCD的周长为20 cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA=3/5，则下列结论正确的个数为（）①DE＝3 cm；②BE＝1 cm；③菱形的面积为15 cm2；④BD＝2 ．A．1个B．2个C．3个D．4个分析：由菱形的周长为20 cm知菱形边长是5 cm．综上所述①②③正确．【答案】 C4.如图所示，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离(结果保留根号)．分析：由题意知，在△ABP中∠A＝60°，∠B＝45°，∠APB＝75°联想到两个三角板拼成的三角形．因此很自然作PC⊥AB交AB于C．解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AP＝80，∴当轮船位于灯塔P南偏东45°方向时，轮船与灯塔P的距离是【教学说明】通过上面的解题分析，再对整个学习过程进行总结，能够促进理解，提高认知水平，从而促进数学观点的形成和发展.四、复习训练，巩固提高1.如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP 的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（）A．2 B．．3 D．3分析：∵△ABC是等边三角形，点P是∠ABC的平分线上一点，∴∠EBP=∠QBF=30°，∵BF=2，FQ⊥BP，∴BQ=BF·cos30°=2∵FQ是BP的垂直平分线，∴在Rt△BEP中，∵∠EBP=30°，∴【答案】 C2.如图，为了测量某山AB的高度，小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45°，然后沿坡角为30°的斜坡走100米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为30°，求山AB的高1.73）解：过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，设AB=x，在Rt△DEC中，∠DCE=30°，CD=100，∴≈236.6.答：山AB的高度约为236.6米.3.如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG=30°，在E处测得∠AFG=60°，CE=8米，仪器高度CD=1.5米，求这棵树AB的高度（结果保留两位有效数字，3≈1.732）．解：根据题意得：四边形DCEF、DCBG是矩形，∴GB=EF=CD=1.5米，DF=CE=8米.设AG=x米，GF=y米，∴这棵树AB的高度约为8.4米.五、师生互动，课堂小结师生共同总结，对于本章的知识.你掌握了多少？还存在哪些疑惑？同学之间可以相互交流.课后作业布置作业:教材“复习题4”中第1、3、6、8、12、14题.教学反思根据学生掌握的情况，对掌握不够好的知识点、题型多加练习、讲解.力争更多的学生学好本章内容.昨天我所在学校期中考试成绩，有个别同学考的不太理想，跟我发微信，自己在期中考试前已经非常努力的做题了，但最后的成绩却很差。
三角恒等变换专题复习带答案
三角恒等变换专题复习教学目标：1、能利用单位圆中的三角函数线推导出 απαπ±±,2的正弦、余弦、正切的诱导公式；2、理解同角三角函数的基本关系式：；3、可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题; 教学重难点：可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题 基础知识一、同角的三大关系：① 倒数关系 tan α•cot α=1 ② 商数关系 sin cos αα= tan α ； cos sin αα= cot α ③ 平方关系 22sin cos 1αα+=温馨提示：1求同角三角函数有知一求三规律,可以利用公式求解,最好的方法是利用画直角三角形速解;来源:学+科+网2利用上述公式求三角函数值时,注意开方时要结合角的范围正确取舍“±”号;二、诱导公式口诀：奇变偶不变,符号看象限用诱导公式化简,一般先把角化成,2k z α+∈的形式,然后利用诱导公式的口诀化简如果前面的角是90度的奇数倍,就是 “奇”,是90度的偶数倍,就是“偶”；符号看象限是,把α看作是锐角,判断角2k πα+在第几象限,在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“--”,就加在前面;用诱导公式计算时,一般是先将负角变成正角,再将正角变成区间0(0,360)的角,再变到区间00(0,180)的角,再变到区间00(0,90)的角计算;三、和角与差角公式 ：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=变 用 tan α±tan β=tan α±β1 tan αtan β四、二倍角公式：sin 2α= 2sin cos αα.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-五、注意这些公式的来弄去脉这些公式都可以由公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=推导出来;六、注意公式的顺用、逆用、变用;如：逆用sin cos cos sin sin()αβαβαβ±=± 1sin cos sin 22ααα=变用22cos 1cos 2αα+=22cos 1sin 2αα-= 21cos 4cos 22αα+= 七、合一变形辅助角公式把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式;()22sin cos αααϕA +B =A +B +,其中tan ϕB=A． 八、万能公式ααα2tan 1tan 22sin += ααα22tan 1tan 12cos +-= ααα2tan 1tan 22tan -=九、用αsin ,αcos 表示2tanααααααsin cos 1cos 1sin 2tan-=+=十、积化和差与和差化积积化和差 )]sin()[sin(cos sin βαβαβα-++=； )]sin()[sin(sin cos βαβαβα--+=；)]cos()[cos(cos cos βαβαβα-++=； )]cos()[cos(sin sin βαβαβα--+=.和差化积 2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+2sin 2cos 2sin sin ϕθϕθϕθ-+=- 2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+ 2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=-十一、方法总结1、三角恒等变换方法观察角、名、式→三变变角、变名、变式1 “变角”主要指把未知的角向已知的角转化,是变换的主线,如α=α+β－β=α－β+β, 2α=α+β+ α－β, 2α=β+α－β－α,α+β=2·错误! , 错误! = α－错误!－错误!－β等.2“变名”指的是切化弦正切余切化成正弦余弦sin cos tan ,cot cos sin αααααα==, 3“变式’指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂,利用和角和差角公式、合一变形公式展开和合并等; 2、恒等式的证明方法灵活多样①从一边开始直接推证,得到另一边,一般地,如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时多采用此法,即由繁到简.②左右归一法,即将所证恒等式左、右两边同时推导变形,直接推得左右两边都等于同一个式子. ③比较法, 即设法证明: "左边－右边=0" 或" 错误! =1";④分析法,从被证的等式出发,逐步探求使等式成立的充分条件,一直推到已知条件或显然成立的结论成立为止,则可以判断原等式成立.例题精讲例1 已知α为第四象限角,化简：ααααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++-解：1因为α为第四象限角所以原式=αααααα2222cos 1)cos 1(sin sin 1)sin 1(cos --+-- ()ααααααααααsin cos cos 1sin 1sin cos 1sin cos sin 1cos -=---=--+-=例2 已知360270<<α,化简α2cos 21212121++ 解：360270<<α,02cos,0cos <>∴αα所以原式2111cos211cos 22222αα++=+21cos cos cos 222ααα+===- 例3 tan20°+4sin20°解：tan20°+4sin20°=0020cos 40sin 220sin +=0sin(6040)2sin 40cos 20-+00003340sin 403cos 20223cos 20+=== 例4 05天津已知727sin()2425παα-==,求sin α及tan()3πα+．解：解法一：由题设条件,应用两角差的正弦公式得)cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=,即57cos sin =-αα ①由题设条件,应用二倍角余弦公式得)sin (cos 57)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 25722ααααααααα+-=+-=-== 故51sin cos -=+αα ② 由①和②式得53sin =α,54cos -=α因此,43tan -=α,由两角和的正切公式11325483343344331433tan 313tan )3tan(-=+-=+-=-+=+ααπα 解法二：由题设条件,应用二倍角余弦公式得αα2sin 212cos 257-==, 解得 259sin 2=α,即53sin ±=α 由1027)4sin(=-πα可得57cos sin =-αα由于0cos 57sin >+=αα,且057sin cos <-=αα,故α在第二象限于是53sin =α,从而5457sin cos -=-=αα 以下同解法一小结：1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力,可从已知角和所求角的内在联系均含α进行转换得到．2、在求三角函数值时,必须灵活应用公式,注意隐含条件的使用,以防出现多解或漏解的情形． 例 5 已知,,A B C 为锐角ABC ∆的三个内角,两向量(22sin ,cos sin )p A A A =-+,(sin cos ,q A A =-1sin )A +,若p 与q 是共线向量.1求A 的大小；2求函数232sin cos()2C By B -=+取最大值时,B 的大小. 解：122// 2(1)(1+)- p q sinA sinA sin A cos A ∴-=22220 120cos A cos A cos A ∴+=∴+= 1cos 2A 2∴=-0<2A<π,002A 120 A=60∴=∴200A=60 B+C=120∴ 2013y=2sin B+cos(602B)1cos 2B+cos 2B sin 2B 22-=-+31 =sin 2B cos 2B+1=sin(2B )1226π--+ , 2B B 623πππ-=当时，即=． 小结：三角函数与向量之间的联系很紧密,解题时要时刻注意例6 设关于x 的方程sinx ＋3cosx ＋a ＝0在0, 2π内有相异二解α、β.1求α的取值范围; 2求tan α＋β的值. 解: 1∵sinx ＋3cosx ＝221sinx ＋23cosx ＝2 sinx ＋3π, ∴方程化为sinx ＋3π＝－2a.∵方程sinx ＋3cosx ＋a ＝0在0, 2π内有相异二解, ∴sinx ＋3π≠sin 3π＝23 .又sinx ＋3π≠±1 ∵当等于23和±1时仅有一解, ∴|－2a |<1 . 且－2a≠23. 即|a |<2且a ≠－3.∴ a 的取值范围是－2, －3∪－3, 2.2 ∵α、 β是方程的相异解, ∴sin α＋3cos α＋a ＝0 ①. sin β＋3cos β＋a ＝0 ②. ①－②得sin α－ sin β＋3 cos α－ cos β＝0. ∴ 2sin2βα-cos2βα+－23sin2βα+sin2βα-＝0, 又sin2βα+≠0, ∴tan2βα+＝33.∴tan α＋β＝2tan22tan22βαβα+-+＝3.小结：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别,这里不能忘记0, 2π这一条件. 例7 已知函数()x x m x f cos sin 2-=在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上单调递减,试求实数m 的取值范围．解：已知条件实际上给出了一个在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上恒成立的不等式． 任取∈21,x x ⎪⎭⎫⎝⎛2,0π,且21x x <,则不等式()()21x f x f >恒成立,即>-11cos sin 2x x m 22cos sin 2x x m -恒成立．化简得()()2112sin 2cos cos x x x x m ->- 由2021π<<<x x 可知：0cos cos 12<-x x ,所以()1221cos cos sin 2x x x x m --<上式恒成立的条件为：()上的最小值，在区间⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--<20cos cos sin 21221πx x x x m . 由于()2sin 2cos 22sin 2sin 22cos 2sin4cos cos sin 22121212121211221x x x x x x x x x x x x x x x x +-=-+--=-- 2sin2cos 2cos 2sin 2sin 2sin 2cos 2cos 221212121x x x x x x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2tan2tan 2tan 2tan 122121x x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=且当2021π<<<x x 时,42,2021π<<x x ,所以 12tan ,2tan 021<<x x , 从而 02tan 12tan 12tan 2tan 2tan 2tan1212121>⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x x x , 有 22tan2tan 2tan 2tan 122121>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x , 故 m 的取值范围为]2,(-∞.基础精练1．已知α是锐角,且sin 错误!＝错误!,则sin 错误!的值等于A.错误! B ．－错误! C.错误! D ．－错误!2．若－2π＜α＜－错误!,则 错误!的值是A ．sin 错误!B ．cos 错误!C ．－sin 错误!D ．－cos 错误!3.错误!·错误!等于A.－sinαB.－cosαC.sinαD.cosα4.已知角α在第一象限且cosα＝错误!,则错误!等于A.错误!B.错误!C.错误!D.－错误!5.定义运算错误!＝ad －bc.若cosα＝错误!,错误!＝错误!,0<β<α<错误!,则β等于A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!6.已知tanα和tan 错误!－α是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根,则a 、b 、c 的关系是A.b ＝a ＋cB.2b ＝a ＋cC.c ＝b ＋aD.c ＝ab7.设a ＝错误!sin56°－cos56°,b ＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°,c ＝错误!,d ＝错误!cos80°－2cos 250°＋1,则a,b,c,d 的大小关系为A.a ＞b ＞d ＞cB.b ＞a ＞d ＞cC.d ＞a ＞b ＞cD.c ＞a ＞d ＞b8．函数y ＝错误!sin2x ＋sin 2x,x ∈R 的值域是A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!9.若锐角α、β满足1＋错误!tanα1＋错误!tanβ＝4,则α＋β＝ .10.设α是第二象限的角,tanα＝－错误!,且sin 错误!<cos 错误!,则cos 错误!＝ .11.已知sin-4πx=135,0<x<4π,求)4cos(2cos x x +π的值;12.若),0(,πβα∈,31tan ,507cos -=-=βα,求α+2β;拓展提高1、设函数fx ＝sin 错误!－错误!－2cos 2错误!＋11求fx 的最小正周期.2若函数y ＝gx 与y ＝fx 的图像关于直线x ＝1对称,求当x ∈0,错误!时y ＝gx 的最大值2.已知向量a ＝cosα,sinα,b ＝cosβ,sinβ,|a －b|＝错误!1求cosα－β的值；2若0<α<错误!,－错误!<β<0,且sinβ＝－错误!,求sinα.3、求证：αβαsin 2sin ）（+－2cos α+β=αβsin sin .基础精练参考答案4．C 解析原式＝错误!＝错误!＝错误!＝2×cosα＋sinα＝2×错误!＋错误!＝错误!. 5.D 解析依题设得：sinα·cosβ－cosα·sinβ＝sin α－β＝错误!.∵0<β<α<错误!,∴cosα－β＝错误!. 又∵cosα＝错误!,∴sinα＝错误!.sinβ＝sinα－α－β＝sinα·cosα－β－cosα·sinα－β ＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!,∴β＝错误!.6.C 解析tan tan()4,tan tan(),4b a c a πααπαα⎧+-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩∴tan 错误!＝tan 错误!－α＋α＝错误!＝1,∴－错误!＝1－错误!,∴－b ＝a －c,∴c ＝a ＋b.7.B 解析a ＝sin56°－45°＝sin11°,b ＝－sin40°cos52°＋cos40°sin52°＝sin52°－40°＝sin12°,c ＝错误!＝cos81°＝sin9°,d ＝错误!2cos 240°－2sin 240°＝cos80°＝sin10°∴b ＞a ＞d ＞c.8.C 解析y ＝错误!sin2x ＋sin 2x ＝错误!sin2x －错误!cos2x ＋错误!＝错误!sin 错误!＋错误!,故选择C. 9. 错误!解析由1＋错误!tanα1＋错误!tanβ＝4,可得错误!＝错误!,即tanα＋β＝错误!. 又α＋β∈0,π,∴α＋β＝错误!.10. －错误!解析：∵α是第二象限的角,∴错误!可能在第一或第三象限,又sin 错误!<cos 错误!,∴错误!为第三象限的角, ∴cos 错误!<0.∵tanα＝－错误!,∴cosα＝－错误!,∴cos 错误!＝－ 错误!＝－错误!.12.解析∵),0(,πβα∈,507cos -=α∴),0,33(71tan -∈-=α),0,33(31tan -∈-=β∴),65(,ππβα∈,α+2β)3,25(ππ∈,又tan2β=43tan 1tan 22-=-ββ,12tan tan 12tan tan )2tan(-=-+=+βαβαβα,来源:Zxxk ∴α+2β=411π拓展提高参考答案1、解析 1fx ＝sin 错误!cos 错误!－cos 错误!sin 错误!－cos 错误!x ＝错误!sin 错误!x －错误!cos 错误!x＝错误!sin 错误!x －错误!,故fx 的最小正周期为T ＝错误!＝82法一：在y ＝g x 的图象上任取一点 x,gx,它关于x ＝1的对称点2－x,gx.由题设条件,点2－x ,gx 在y ＝fx 的图象上,从而gx ＝f2－x ＝错误!sin 错误!2－x －错误! ＝错误!sin 错误!－错误!x －错误!＝错误!cos 错误!x ＋错误!,当0≤x≤错误!时, 错误!≤错误!x ＋错误!≤错误!,因此y ＝gx 在区间0,错误!上的最大值为gx max ＝错误!cos 错误!＝错误!.法二：因区间0,错误!关于x ＝1的对称区间为错误!,2,且y ＝gx 与y ＝fx 的图象关于x ＝1对称,故y ＝gx 在0,错误!上的最大值为y ＝fx 在错误!,2上的最大值,由1知fx ＝错误!sin 错误!x －错误!, 当错误!≤x ≤2时,－错误!≤错误!x －错误!≤错误!,因此y ＝gx 在0,错误!上的最大值为gx max ＝错误!sin 错误!＝错误!.2、解析1∵a ＝cos α,sinα,b ＝cosβ,sinβ, ∴a －b ＝cosα－cosβ,sinα－sinβ. ∵|a －b|＝错误!,∴错误!＝错误!, 即2－2cosα－β＝错误!,∴cosα－β＝错误!.2∵0<α<错误!,－错误!<β<0,∴0<α－β<π,∵cosα－β＝错误!,∴sinα－β＝错误! ∵sin β＝－错误!,∴cosβ＝错误!,∴sinα＝sinα－β＋β＝sinα－βcosβ＋cosα－βsinβ＝错误!·错误!＋错误!·－错误!＝错误!。
三角函数公式练习题及答案详解
三角函数公式1． 同角三角函数基本关系式sin 2α＋cos 2α=1sin αcos α=tan α tan αcot α=12． 诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限)（一） sin(π－α)＝___________ sin(π+α)＝ ___________cos(π－α)＝___________ cos(π+α)＝___________tan(π－α)＝___________ tan(π+α)＝___________sin(2π－α)＝___________ sin(2π+α)＝___________cos(2π－α)＝___________ cos(2π+α)＝___________tan(2π－α)＝___________ tan(2π+α)＝___________（二） sin(π2 －α)＝____________ sin(π2+α)＝____________ cos(π2 －α)＝____________ cos(π2+α)＝_____________ tan(π2 －α)＝____________ tan(π2+α)＝_____________ sin(3π2 －α)＝____________ sin(3π2+α)＝____________ cos(3π2 －α)＝____________ cos(3π2+α)＝____________ tan(3π2 －α)＝____________ tan(3π2+α)＝____________ sin(－α)＝－sin α cos(－α)=cos α tan(－α)=－tan α公式的配套练习sin(7π－α)＝___________ cos(5π2－α)＝___________ cos(11π－α)＝__________ sin(9π2+α)＝____________ 3． 两角和与差的三角函数cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin βcos(α－β)=cos αcos β＋sin αsin βsin (α+β)=sin αcos β＋cos αsin βsin (α－β)=sin αcos β－cos αsin βtan(α+β)= tan α+tan β1－tan αtan βtan(α－β)=tan α－tan β1＋tan αtan β 4． 二倍角公式sin2α=2sin αcos αcos2α=cos 2α－sin 2α＝2 cos 2α－1＝1－2 sin 2αtan2α=2tan α1－tan 2α5． 公式的变形（1） 升幂公式：1＋cos2α＝2cos 2α 1—cos2α＝2sin 2α（2） 降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2 sin 2α＝1－cos2α2（3） 正切公式变形：tan α+tan β＝tan(α+β)（1－tan αtan β）tan α－tan β＝tan(α－β)（1＋tan αtan β)（4） 万能公式（用tan α表示其他三角函数值）sin2α＝2tan α1+tan 2α cos2α＝1－tan 2α1+tan 2α tan2α＝2tan α1－tan 2α6． 插入辅助角公式asinx ＋bcosx=a 2+b 2 sin(x+φ) (tan φ= b a) 特殊地：sinx ±cosx ＝ 2 sin(x ±π4) 7． 熟悉形式的变形（如何变形）1±sinx ±cosx 1±sinx 1±cosx tanx ＋cotx1－tan α1＋tan α 1＋tan α1－tan α若A 、B 是锐角，A+B ＝π4 ，则（1＋tanA ）(1+tanB)=2 cos αcos2αcos22α…cos2 n α= sin2 n+1α 2 n+1sin α8． 在三角形中的结论（如何证明）若：A ＋B ＋C=π A+B+C 2 =π2tanA ＋tanB ＋tanC=tanAtanBtanCtan A 2 tan B 2 ＋tan B 2 tan C 2 ＋tan C 2 tan A 2＝19．求值问题（1）已知角求值题如：sin555°（2）已知值求值问题常用拼角、凑角如：1）已知若cos(π4 －α)＝35 ，sin(3π4 ＋β)＝513， 又π4 <α<3π4 ,0<β<π4,求sin(α＋β)。
(完整版)高三一轮复习三角函数专题及答案解析
三角函数典型习题1 •设锐角ABC的内角A B, C的对边分别为a, b, c,a 2bsi nA.(I )求B的大小；(n)求cosA sin C的取值范围• A B C 厂2 •在ABC中角A,B,C所对的边分别为a, b, c,sin sin— 2 .2 2(1)试判断△ ABC的形状；(II)若厶ABC的周长为16,求面积的最大值•23 •已知在ABC中,A B，且tan A与tan B是方程x 5x 6 0的两个根•(I )求tan (A B)的值;(n )若AB 5 ,求BC的长•2 2 2 14. 在ABC中，角A. B. C所对的边分别是a,b,c,且a c b ac.22A C(1) 求sin cos2B 的值；2(2) 若b=2,求厶ABC面积的最大值.5. 已知函数f(x) 2s in2 n x 3cos2x, xn，-n•4 4 2(1 )求f (x)的最大值和最小值；(2)f(x) m 2在x n,n上恒成立，求实数m的取值范围.4 26. 在锐角△ ABC 中,角A. B. C 的对边分别为a、b、c,已知(b2 c2 a2)ta nA 3bc.(I) 求角A;(II) 若a=2,求厶ABC面积S的最大值？7. 已知函数f (x) (sin x cosx) +cos2 x .(I )求函数f x的最小正周期；(n )当x o,?时,求函数f x的最大值拼写出x相应的取值•8 .在ABC中，已知内角A . B . C所对的边分别为a、b、c,向量r r 2 B r r m 2sin B, 、3 ,n cos2B, 2cos 1，且m//n?2(I) 求锐角B的大小；(II) 如果b 2,求ABC的面积S ABC的最大值?答案解析11【解析】：(I )由a 2bsi nA ,根据正弦定理得si nA 2si n Bsin A ,所以sin B -,2 由ABC 为锐角三角形得B n .6(n )cosA sin C cos A sinAcos A sin -A61 3cos A cos Asin A22、、3sinA -.32【解析】 :I. sinC . sin CC cos .C sin2sin('—222 224C C 即C，所以此三角形为直角三角形2 422••• tanA 3, A 为三角形的内角，二sin A由正弦定理得：-A 艮 -BCsin C sin A-2 2b a b 2 abII.16 号，此时面积的最大值为 32 6 42 .-2ab ,—2ab 64(2 -.2)当且仅当a b 时取等3【解析】：(I )由所给条件 方程x 2 5x 6 ••• tan (A B) tan A tan B1 tan Atan BB C 180 ,• C180 (A 0 的两根 tan A 3, tan B 2 . 1B).由(I )知,tanCtan(A B)1,•/ C 为三角形的内角，• sinC_2 23 10弘知教育内部资料 中小学课外辅导专家2 3••• BC 1 —汇 3.5. 近 y/10 2r r 2B 厂8【解析】:(1) m//n2sinB(2cos ；-1)=-,3cos2B 2sinBcosB=- 3cos2Btan2B=- 32兀 心宀 n••• 0<2B< n,2B=y,A 锐角 B=3① 当B=n^，已知b=2，由余弦定理，得： 4=a 2+c ?-ac > 2aac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)■/ △ ABC 的面积 S ABC =3acsinBh^ac w 3ABC 的面积最大值为.3② 当B=6n 时，已知b=2,由余弦定理，得:4=a 2+c 2+ 3ac 县ac+ . 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= , 6- . 2时等号成立) •，ac < 4(23)1 1•••△ ABC 的面积 S AABC =2 acsinB^ac <2- , 3 ，△ ABC 的面积最大值为 2- 314【解析】:(1)由余弦定理：cosB=4sid +cos2B=1 24⑵由cos B4 得sinB.15 •/ b=2,4n1 2sin 2x —；=；ac+4 > 2c,得 acw —,c 233 2sin(2x -)2 ,即 0 1 -2sin(2x -) 12 44(2)由 tan2B=- .3n ［、. 5nB=3或石 1 V15S\ ABc =~acsi nBw(a=c 时取等号)3故S A ABC 的最大值为5【解析】(I ) T f(x).n _1 cos 2x3cos2x 1 sin2x 3cos2x弘知教育内部资料 中小学课外辅导专家n nn n又••• x —< 2x -<4 2 613 又 S besin A be24所以△ ABC 面积S 的最大值等于32 27【解析】:(I )因为 f (x) (sin x eosx) +eos2 x sin1 sin2x eos2x ( ) =1+.2si n(2x )42所以，T —,即函数f(x)的最小正周期为2(n )因为 0 x ，得 2x L,所以有-sin(2x) 12 4 4 4 24所以，函数f x 的最大值为1 2此时，因为一2x —丄，所以,2x ，即x -4 4 4428即 2 < 1 2sinn2x -3 • f(x) maxf (X)min(n) •/ f (x)f(x)f(x)•- m f (X)maxf ( X) min••• 1 m 4，即m 的取值范围是(1,4).6【解析】：(1)由已知得b 1 2 * 4e 2 a 2 si nA ,32bccos A又在锐角△ ABC 中，所以A=60,［不说明是锐角 △ ABC 中，扣 1 分］(II)因为 a=2,A=60 所以 b e be 4,S1 3besin Abe2而 b 2 e 2 2be be 42bcbe 4 ,3x 2sin xeosx eos 2 x eos2x。
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（1） +|sin60°﹣1|+tan45°
（2）tan260°+4sin30°cos45°
41．计算：
（1）（﹣1）2017﹣2﹣1+sin30°+（π﹣314）0；
（2）cos245°+sin60°tan45°+sin230．
42．计算： .
43． ．
44．计算：2sin 30°－3tan 45°·sin 45°＋4cos 60°.
雪白的云朵雪白的棉花雪白的墙
六、看图写话
a b c d e f g h i j k l m n o p q
和气语气话语笑话蚂蚁凉快快乐赶快就是成名有名
一本书一顿饭一片田一块田一口牙
开—关多—少恨—爱好—坏答—问
碧绿碧绿的叶子（小草、菜地）雪白雪白的雪花（浪花、梨花、贝壳）
清清的河水火红的枫叶高大的雪松
试题解析：2sin30°+3cos60°﹣4tan45°
=
=1.5.
4．
【解析】试题分析：分别根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，0指数幂及绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
试题解析：
解：原式＝ ，
＝ ．
点睛：本题考查的是二次根式的性质，特殊角的三角函数值，0指数幂及绝对值的性质，熟知以上运算法则是解答此题的关键．
详解:－12016－2tan60°＋( － )0－ ,
原式＝－1－2× ＋1－2 ,
＝－4 .
点睛:本题主要考查乘方运算法则,特殊三角函数值,零指数幂,二次根式乘法法则,解决本题的关键是要熟练掌握实数相关运算法则.
3．﹣1.5.
【解析】试题分析：把30°的正弦值、60°的余弦值、45°的正切值代入进行计算即可.
一（条）彩虹一（堆）杏一（朵）花一（只）鸟
远处短处到处找到照亮明亮明晚照明空气空军海军
一（块）稻田一（面）队旗一（场）球赛一（把）铜号
贝（宝贝）虾（河虾）写（写字）
5、根据表达的需要，学会使用逗号、句号、问号和感叹号。
2、近义词
2、一字开花。（一字组多词）
（7）、（）已经（）。
如：爱（爱人）（亲爱）（爱情）（可爱）（热爱）（友爱）
他十分高兴地回家去了。（十分＝特别＝非常＝格外）
5、用偏旁造字。
虫字旁：蚂、蚁、虾
青蛙在洞里睡着啦！我们8岁啦！
四、反义词
一块草地一间学校一张荷叶一个肚子一个菜园
（18）青蛙小的时候叫蝌蚪。
三点水：江、河、湖、海、沙、淡、没、洋、洗、活
洗脸笑脸扫把扫地种地没有许多许可冷热淡红淡绿
只一只只一只只可爱的小兔
5．
【解析】试题分析：将特殊角的三角函数值代入求解即可．
试题解析：解：原式 ．
6．6
【解析】试题分析：按顺序依次先进行绝对值化简、0次幂计算、特殊角三角函数值、负指数幂计算，然后再按运算顺序进行计算即可.
试题解析：原式=3+1-2 +3=3+1﹣1+3=6．
7．
【解析】试题分析：原式利用特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可得到结果．
7．计算： .
8．计算： ．
9．计算： ° ° ．
10．计算：
（1） ；（2） ．
11．计算： ．
12．求值： +2sin30°－tan60°- tan 45°
13．计算：（sin30°﹣1）2﹣ ×sin45°+tan60°×cos30°．
14．（1）sin230°+cos230°+tan30°tan60°（2）
参考答案
1．
【解析】
【分析】
分别代入各特殊角的三角函数值，然后进行计算即可得.
【详解】
sin30°+tan60°−cos45°+tan30°
== × + - +
= .
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握各特殊角的三角函数值是解题的关键.
2．－4 .
【解析】分析:先根据乘方运算法则,特殊三角函数值,零指数幂,二次根式乘法法则逆用进行计算,然后再进行实数加减运算.
34．计算： -3sin60°-cos30°+2tan45°．
35．计算：
36．计算20140+ − sin45°+tan60°．
37．计算：tan30°cos30°+sin260°- sin245°tan45°
38．计算：（π﹣3）0+ ﹣（﹣1）2017﹣2sin30°
39．计算：﹣12016﹣（π﹣3）0+2cos30°﹣2tan45°•tan60°．
走走之旁（赶超起）禾禾字旁（秋秒）
漂亮漂漂亮亮仔细仔仔细细
我爱爸爸，也30°+tan60°−cos45°+tan30°．
2．计算：－12016－2tan60°＋( － )0－ .
3．计算：2sin30°+3cos60°﹣4tan45°．
4．计算： ° ．
5．计算： ．
6．计算：|﹣3|+（π﹣2017）0﹣2sin30°+（ ）﹣1．
试题解析：2-2-2cos30°+tan60°+(π-3.14)0
=
8．2
【解析】试题分析：先进行绝对值、二次根式的化简，特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可.
试题解析：原式= .
9．
【解析】试题分析：
代入30°角的正弦函数值、45°角的余弦函数值，再按二次根式的相关运算法则计算即可.
15．计算： ﹣4 ﹣tan60°+| ﹣2|．
16．计算：﹣2sin30°+（﹣ ）﹣1﹣3tan60°+（1﹣ ）0+ ．
17．（2015秋•合肥期末）计算：tan260°﹣2sin30°﹣ cos45°．
18．计算：2cos30°－tan45°－ ．
19．（本题满分6分）
计算：
20．（本题5分）计算： － +2sin60°+
45．计算：
46．计算：(－1)2 019－( )－3＋(cos68°)0＋|3 －8sin60°|
47．计算：
(1) ；
(2) ．
48．计算：
(1)sin45°·cos45°＋tan60°·sin60°；
(2)sin30°－tan245°＋ tan230°－cos60°.
49．计算：
二、填空题
50． ﹣tan30°+（π﹣4）0 =_____．
21．计算： ．
22．计算：∣–5∣+3sin30°–（– ）2+（tan45°）–1
23．（6分）计算:
24．计算： （6分）
25．计算： sin45°－tan60°·cos30°．
26．计算： ．
27．计算： ．
28．计算： ．
29．计算： ．
30．计算： ．
31．计算：
32．计算： ．
33．计算： ．