第二章 直线和圆的方程 专题测试(原卷版+解析版) (人教A版)高二数学选择性必修一
第二章 直线与圆的方程单元测试卷-高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册
第二章 直线与圆的方程满分卷-2021-2020人教A （2019）高二（上）选择性必修第一册一．选择题（共8小题）1．如图中的直线1l 、2l 、3l 的斜率分别为1k 、2k 、3k ，则( )A ．123k k k <<B ．312k k k <<C ．321k k k <<D ．132k k k <<2．已知直线1:10l ax y -+=，2:420l ax y ++=，则“2a =”是“12l l ⊥”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．经过点(0,1)P -的直线l 与连接(1,2)A -，(2,1)B 两点的线段总有公共点，则l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．[1-，1] B ．(-∞，1][1-，)+∞C ．3[,]44ππD ．3[0,][,)44πππ4．已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称，则圆C 中以(,)22a a-为中点的弦长为( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．两条直线1:20l x y c ++=，2:210l x y -+=的位置关系是( ) A ．平行B ．垂直C ．重合D ．不能确定6．已知实数x ，y 满足224x y +=，则函数226825S x y x y =+--+的最大值和最小值分别为( )A ．49，9B ．7，3C D ．77．已知直线l 经过点(1,2)P -，且与直线2310x y +-=垂直，则l 的方程为( ) A ．2340x y ++=B ．2380x y +-=C ．3270x y --=D ．3210x y --=8．关于x 、y 的方程210(0)a x ay a --=≠表示的直线（图中实线）可能是( )A ．B ．C ．D ．二．多选题（共4小题）9．已知直线:20l kx y k -+=和圆222:O x y r +=，则( ) A ．存在k 使得直线l 与直线0:220l x y -+=垂直B ．直线l 恒过定点(2,0)C ．若4r >，则直线l 与圆O 相交D ．若4r =，则直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围为 10．下列结论错误的是( )A ．若直线1l ，2l 的斜率相等，则12//l lB ．若直线的斜率121k k ⋅=，则12l l ⊥C ．若直线1l ，2l 的斜率都不存在，则12//l lD ．若直线1l ，2l 的斜率不相等，则1l 与2l 不平行11．已知动直线:0m x y λλ-+=和:320n x y λλ+--=，P 是两直线的交点，A 、B 是两直线m 和n 分别过的定点，下列说法正确的是( ) A ．B 点的坐标为(3,2)- B ．m n ⊥C ．P 的轨迹是一条直线D ．PA PB ⨯的最大值为1012．已知直线1:40l x y +-=与圆心为(0,1)M 且半径为3的圆相交于A ，B 两点，直线2:22350l mx y m +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 的面积的值可以是()A ．B ．C ．D ．1)三．填空题（共4小题）13．在平面直角坐标系中，已知(2,2)A 、(1)B -若过点(1,1)P --的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 斜率的取值范围是 ．14．直线210x y -+=和圆222410x y x y +---=的位置关系是 ． 15．直线1:3470l x y +-=与直线2:3410l x y ++=之间的距离为 ．16．圆222440x y x y +-++=上的点到3490x y -+=的最大距离是 ，最小距离是 ． 四．解答题（共6小题）17．已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点(3,0)A -，(1,2)B -． （Ⅰ）求圆C 的标准方程； （Ⅱ）过点(0,2)P 斜率为34的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，求弦MN 的长． 18．（1）求直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长；（2）已知圆22:430C x y x +-+=，求过点(3,2)M 的圆的切线方程．19．在直角坐标系xOy 中，直线:40l x --=交x 轴于M ，以O 为圆心的圆与直线l 相切．（1）求圆O 的方程；（2）设点0(N x ，0)y 为直线3y x =-+上一动点，若在圆O 上存在点P ，使得45ONP ∠=︒，求0x 的取值范围；（3）是否存在定点S ，对于经过点S 的直线L ，当L 与圆O 交于A ，B 时，恒有AMO BMO ∠=∠？若存在，求点S 的坐标；若不存在，说明理由．20．已知直线10l y -+=，圆C 的方程为224210x y x y ++-+=． （Ⅰ）判断直线l 与该圆的位置关系；（Ⅱ）若直线与圆相交，求出弦长；否则，求出圆上的点到直线l 的最短距离． 21．已知圆M 过点(4,0)A ，(2,0)B -，(1,3)C ． （Ⅰ）求圆M 的标准方程；（Ⅱ）若过点(2,3)P且斜率为k的直线l与圆M相切，求k的值．22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线:20l x y++=和圆22+=，P是直线l上一O x y:1点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．（1）若PA PB⊥，求点P的坐标；（2）求线段PA长的最小值；（3）设线段AB的中点为Q，是否存在点T，使得线段TQ长为定值？若存在，求出点T；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．如图中的直线1l 、2l 、3l 的斜率分别为1k 、2k 、3k ，则( )A ．123k k k <<B ．312k k k <<C ．321k k k <<D ．132k k k <<解：由图象知，直线1l 、2l 、3l 的倾斜角分别为1α，2α，3α， 且1(2πα∈，)π，3202παα<<<；所以对应的斜率分别为10k <，320k k <<， 即132k k k <<． 故选：D ．2．已知直线1:10l ax y -+=，2:420l ax y ++=，则“2a =”是“12l l ⊥”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：直线1:10l ax y -+=，2:420l ax y ++=，12l l ⊥， (1)40a a ∴⨯+-⨯=，240a ∴-=，2a ∴=±， 2a ∴=是12l l ⊥的充分不必要条件，故选：A ．3．经过点(0,1)P -的直线l 与连接(1,2)A -，(2,1)B 两点的线段总有公共点，则l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．[1-，1]B ．(-∞，1][1-，)+∞C ．3[,]44ππD ．3[0,][,)44πππ解：如图所示，设直线l 的倾斜角为α，[0α∈，)π． 12101PA k -+==--，11102PB k --==-． 直线l 与连接(1,2)A -，(2,1)B 的线段总有公共点，1tan 1α∴-．[0α∴∈，3][44ππ，)π． 故选：D ．4．已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称，则圆C 中以(,)22a a-为中点的弦长为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解：依题意可知直线过圆心(1,2)-，即34110a +-=，2a =．故(,)(1,1)22a a-=-．圆方程配方得22(1)(2)5x y -++=，(1,1)-与圆心距离为1，故弦长为4=． 故选：D ．5．两条直线1:20l x y c ++=，2:210l x y -+=的位置关系是( ) A ．平行B ．垂直C ．重合D ．不能确定解：直线1l 的斜率是：2-， 直线2l 的斜率是：12， 由1212-⨯=-，得直线垂直， 故选：B ．6．已知实数x ，y 满足224x y +=，则函数226825S x y x y =+--+的最大值和最小值分别为( )A ．49，9B ．7，3CD ．7解：22226825(3)(4)S x y x y x y =+--+=-+-， 实数x ，y 满足224x y +=，22(3)(4)S x y ∴=-+-的几何意义为圆224x y +=上的动点与定点(3,4)M 的距离的平方， 如图，||5OM =，2(52)49max S ∴=+=，2(52)9min S =-=．∴函数226825S x y x y =+--+的最大值和最小值分别为49，9．故选：A ．7．已知直线l 经过点(1,2)P -，且与直线2310x y +-=垂直，则l 的方程为( ) A ．2340x y ++=B ．2380x y +-=C ．3270x y --=D ．3210x y --=解：直线l 与直线2310x y +-=垂直， 所以直线l 的斜率为32， 又直线l 经过点(1,2)P -，所以直线l 的方程为：3(2)(1)2y x --=-，化简得：3270x y --= 故选：C ．8．关于x 、y 的方程210(0)a x ay a --=≠表示的直线（图中实线）可能是( )A ．B ．C ．D ．解：关于x 、y 的方程210(0)a x ay a --=≠表示的直线，直线的斜率为a ，在y 轴上的截距为1a-，直线的斜率和它在y 轴上的截距的乘积等于1-，图A 中，直线的斜率和它在y 轴上的截距都是正的，这不满足条件，故排除A ；图B 中，直线的斜率小于1，它在y 轴上的截距大于1-小于零，这不满足条件，故排除B ； 图C 中，直线的斜率和它在y 轴上的截距都是负值，这不满足条件，故排除C ；图D 中，直线的斜率小于1-，它在y 轴上的截距大于零小于1，能满足条件，故D 可能成立， 故选：D ．二．多选题（共4小题）9．已知直线:20l kx y k -+=和圆222:O x y r +=，则( ) A ．存在k 使得直线l 与直线0:220l x y -+=垂直B ．直线l 恒过定点(2,0)C ．若4r >，则直线l 与圆O 相交D ．若4r =，则直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围为 解：对于A ，直线0:220l x y -+=的斜率为12，则当2k =-时，满足直线l 与直线0:220l x y -+=垂直，故A 正确；对于B ，由:20l kx y k -+=，得(2)0k x y +-=，令200x y +=⎧⎨-=⎩，解得20x y =-⎧⎨=⎩，∴直线l 恒过定点(2,0)-，故B 错误；对于C ，若4r >，则直线l 所过定点(2,0)-在圆O 内部，则直线l 与圆O 相交，故C 正确；对于D ，若4r =，则直线l 被圆O 截得的弦长的最大值为8，最小值为=即直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围为，8]，故D 错误． 故选：AC ．10．下列结论错误的是( )A ．若直线1l ，2l 的斜率相等，则12//l lB ．若直线的斜率121k k ⋅=，则12l l ⊥C ．若直线1l ，2l 的斜率都不存在，则12//l lD ．若直线1l ，2l 的斜率不相等，则1l 与2l 不平行 解：若直线1l ，2l 的斜率相等，则12//l l 或重合，A 错误； 若直线的斜率121k k ⋅=-，则12l l ⊥，B 错误；若直线1l ，2l 的斜率都不存在，则12//l l 或重合，C 错误； 若直线1l ，2l 的斜率不相等，则1l 与2l 一定不平行，D 正确． 故选：ABC ．11．已知动直线:0m x y λλ-+=和:320n x y λλ+--=，P 是两直线的交点，A 、B 是两直线m 和n 分别过的定点，下列说法正确的是( ) A ．B 点的坐标为(3,2)- B ．m n ⊥C ．P 的轨迹是一条直线D ．PA PB ⨯的最大值为10解：对于A ，直线:(2)30n y x λ-+-=，所以直线n 过点(3,2)，故A 错误； 对于B ，1(1)0λλ⨯+-⨯=，所以m n ⊥，故B 正确；对于C ，因为PA PB ⊥，所以P 的轨迹是以AB 为直径的圆，故C 错误； 对于D ，222202PA PB AB PA PB +==⨯，所以D 正确． 故选：BD ．12．已知直线1:40l x y +-=与圆心为(0,1)M 且半径为3的圆相交于A ，B 两点，直线2:22350l mx y m +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 的面积的值可以是()A ．B ．C ．D ．1)解：根据题意，圆M 的圆心为(0,1)M 且半径为3，则圆M 的方程为22(1)9x y +-=，即22280x y y +--=，直线1:40l x y +-=与圆M 相交于A ，B 两点，则有2228040x y y x y ⎧+--=⎨+-=⎩，解可得：31x y =⎧⎨=⎩或04x y =⎧⎨=⎩，即A 、B 的坐标为(3,1)，(0,4)，则||AB AB 的中点为3(2，5)2，直线2:22350l mx y m +--=，变形可得(23)250m x y -+-=，直线2l 恒过定点3(2，5)2，设3(2N ，5)2，当CD 与AB 垂直时，四边形ACBD 的面积最大， 此时CD 的方程为5322y x -=-，变形可得1y x =+，经过点(0,1)M ， 则此时||6CD =，故ACBD S 四边形的最大值162ACB ADB S S ∆∆=+=⨯⨯=故92ACBD S 四边形， 分析选项：BC 符合题意， 故选：BC ．三．填空题（共4小题）13．在平面直角坐标系中，已知(2,2)A 、(1)B -若过点(1,1)P --的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 斜率的取值范围是 ． 解：如图，显然点P 在直线AB 下方，直线AP 的斜率为21121AP k +==+，直线BP 的斜率BP k == 所以若过点(1,1)P --的直线l 与线段AB 有公共点， 则直线l 斜率BP k k ，或者AP k k ， 所以3k -或者1k ，故答案为：(-∞，[1，)+∞．14．直线210x y -+=和圆222410x y x y +---=的位置关系是 ．解：圆222410x y x y +---=化简可得22(1)(2)6x y -+-=，圆心坐标为(1,2)，，圆心到直线210x y -+==< ∴直线210x y -+=和圆222410x y x y +---=的位置关系是相交，故答案为：相交．15．直线1:3470l x y +-=与直线2:3410l x y ++=之间的距离为 ． 解：直线1:3470l x y +-=与直线2:3410l x y ++=之间的距离85d ==．故答案为：85．16．圆222440x y x y +-++=上的点到3490x y -+=的最大距离是 ，最小距离是 ． 解：圆222440x y x y +-++=即22(1)(2)1x y -++=，表示以(1,2)C -为圆心，半径为1的圆．由于圆心(1,2)C -到直线3490x y -+=的距离4d ==，故动点P 到直线3490x y -+=的距离的最小值与最大值分别为3，5， 故答案为：5，3． 四．解答题（共6小题）17．已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点(3,0)A -，(1,2)B -． （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(0,2)P 斜率为34的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，求弦MN 的长． 解：（Ⅰ）设AB 的中点为D ，则(2,1)D -， 由圆的性质得CD AB ⊥， 所以1CD AB k k ⨯=-，得1CD k =-，所以线段AB 的垂直平分线方程是1y x =--，设圆C 的标准方程为222()x a y r -+=，其中(,0)C a ，半径为(0)r r >， 由圆的性质，圆心(,0)C a 在直线CD 上，化简得1a =-，所以圆心(1,0)C -，||2r CA ==，所以圆C 的标准方程为22(1)4x y ++=； （Ⅱ）因为直线l 过点(0,2)P 斜率为34， 则直线l 的方程为324y x =+， 圆心(1,0)C -到直线l的距离为3|2|1d -==，所以MN ==18．（1）求直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长；（2）已知圆22:430C x y x +-+=，求过点(3,2)M 的圆的切线方程． 解：（1）根据题意，圆22(2)4x y +-=的圆心为(0,2)，半径2r =， 圆心到直线y x =的距离d =则直线y x =被圆截得的弦长2l == 故直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为（2）圆22:430C x y x +-+=，即22(2)1x y -+=，其圆心为(2,0)，半径1r =， 若切线的斜率不存在，则切线的方程为3x =，符合题意；若切线的斜率存在，则设切线的斜率为k ，则切线的方程为2(3)y k x -=-，即320kx y k --+=，则有1d ==，解可得：34k =，此时切线的方程为3410x y --=．综上可得，圆的切线方程为3x =或3410x y --=．19．在直角坐标系xOy 中，直线:40l x --=交x 轴于M ，以O 为圆心的圆与直线l 相切．（1）求圆O 的方程；（2）设点0(N x ，0)y 为直线3y x =-+上一动点，若在圆O 上存在点P ，使得45ONP ∠=︒，求0x 的取值范围；（3）是否存在定点S ，对于经过点S 的直线L ，当L 与圆O 交于A ，B 时，恒有AMO BMO ∠=∠？若存在，求点S 的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）直线:40l x -=交x 轴于(4,0)M ，圆心半径2r ==，所以圆的方程224x y +=．（2）如图，直线NP 与圆相切，设PNO α∠=，则2sin ONα=， 根据图象，N 越靠近O 点，ON 越小，sin α越大，由2sin 452ON ︒==，得ON = 设(,3)N x x -，由距离公式22(3)8x x +-=，解得x =0372x +．（3）AMO BMO ∠=∠，若直线L 的斜率不存在，显然S 点存在； 当斜率存在时，设:L y kx m =+，L 与圆的交点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 根据题意只需0AM BM k k +=，即1212044y yx x +=--， 把11y kx m =+，22y kx m =+带人并化简得12122(4)()80kx x m k x x m +-+-=， 把L 与圆联立解方程224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得12221kmx x k +=-+，212241m x x k -=+， 带入上式222422(2)8011m kmk m k m k k ----=++，化简得0k m +=，即m k =-，所以:(1)L y k x =-，恒过(1,0)点．20．已知直线10l y -+=，圆C 的方程为224210x y x y ++-+=． （Ⅰ）判断直线l 与该圆的位置关系；（Ⅱ）若直线与圆相交，求出弦长；否则，求出圆上的点到直线l 的最短距离． 解：（Ⅰ）圆的方程为224210x y x y ++-+=，即22(2)(1)4x y ++-=，∴圆心为(2,1)-，半径为2r =，则圆心到直线的距离d r =，∴直线与圆相交．（Ⅱ）弦长2l ==． 21．已知圆M 过点(4,0)A ，(2,0)B -，(1,3)C ． （Ⅰ）求圆M 的标准方程；（Ⅱ）若过点(2,3)P 且斜率为k 的直线l 与圆M 相切，求k 的值． 解：（Ⅰ）设圆M 的标准方程为222()()x a y b r -+-=，则有222222222(4)(0)(2)(0)(1)(3)a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪--+-=⎨⎪-+-=⎩，解得1a =，0b =，3r =，所以圆M 的标准方程为22(1)9x y -+=； （Ⅱ）因为直线l 过点(2,3)P 且斜率为k ，则直线l 的方程为：3(2)y k x -=-，即230kx y k --+=， 因为直线l 与圆M 相切，所以圆心到直线l3=，解得0k =或34-．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y ++=和圆22:1O x y +=，P 是直线l 上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ． （1）若PA PB ⊥，求点P 的坐标； （2）求线段PA 长的最小值；（3）设线段AB 的中点为Q ，是否存在点T ，使得线段TQ 长为定值？若存在，求出点T ；若不存在，请说明理由．解：（1）若PA PB ⊥，则四边形PAOB 为正方形， 则P=P 在直线20x y ++=上，设(,2)P x x --，则||OP =1x =-， 故(1,1)P --；（2）由22||||1PA PO =-，可知当线段PO 长最小时，线段PA 长最小． 线段PO 长的最小值，即点O 到直线l 的距离，故||min PO ==∴||1min PA ==；（3）设0(P x ，02)x --，则以OP 为直径的圆的方程为222200002(2)()()224x x x x x y --+---+-=， 化简得：2200(2)0x x x x y y -+++=，与221x y +=联立， 可得AB 所在直线方程为00(2)1x x x y -+=，联立0022(2)11x x x y x y -+=⎧⎨+=⎩，得22200000(244)2430x x x x x x x ++----=， Q ∴的坐标为002200002(,)244244x x x x x x --++++， 可得Q 点轨迹为22111()()448x y +++=，圆心11(,)44--，半径4R =．故存在点11(,)44T --，使得线段TQ 长为定值．。
第二章 直线和圆的方程 专题测试(原卷版+解析版) (人教A版)高二数学选择性必修一
第二章直线和圆的方程专题测试(原卷版+解析版) (人教A版)高二数学选择性必修一第二章直线和圆的方程专题测试注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。
2.请将答案正确填写在答题卡上。
第I卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1.（2020·福建高二学业考试）已知直线 $ $l_1\parallell_2$，则实数 $k=$（）。
A。
$-2$B。
$-1$C。
$1$D。
$2$2.（2020·XXX高一月考）直线$l_1:(a-2)x+(a+1)y+4=0$，$l_2:(a+1)x+ay-9=0$ 互相垂直，则 $a$ 的值是（）。
A。
$-0.25$B。
$1$C。
$-1$D。
$1$ 或 $-1$3.（2020·XXX高一月考）直线 $l:(m-1)x-my-2m+3=0$（$m\in R$）过定点 $A$，则点 $A$ 的坐标为（）。
A。
$(-3,1)$B。
$(3,1)$C。
$(3,-1)$D。
$(-3,-1)$4.（2020·广东高二期末）设 $a\in R$，则“$a=1$”是“直线$ax+y-1=0$ 与直线 $x+ay+1=0$ 平行”的（）。
A。
充分不必要条件B。
必要不充分条件C。
充分必要条件D。
既不充分也不必要条件5.（2020·黑龙江高一期末）若曲线 $y=4-x^2$ 与直线$y=k(x-2)+4$ 有两个交点，则实数 $k$ 的取值范围是（）。
A。
$\left[\frac{3}{4},1\right]$B。
$\left[\frac{3}{4},+\infty\right)$C。
$(1,+\infty)$D。
$(1,3]$6.（2020·XXX高三其他）已知直线 $x+y=t$ 与圆$x+y=2t-t^2$（$t\in R$）有公共点，则 $\frac{t(4-t)}{9}$ 的最大值为（）。
高二数学选一人教A版圆的标准方程+答案解析(附后)
3ngk2nmn高二数学选一人教A版第二章直线和圆的方程2.4圆的方程2.4.1圆的标准方程一、单选题（本大题共7小题，共35分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.点与圆的位置关系是( )A. 在圆上B. 在圆内C. 在圆外D. 不能确定2.点与圆的位置关系是( )A. 点M在圆C内B. 点M在圆C上C. 点M在圆C外D. 不能确定3.已知点在圆外，则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.4.已知点，，圆，则( )A. A，B都在C内B. A在C外，B在C内C. A，B都在C外D. A在C内，B 在C外5.若点在圆内，则实数m的取值范围是( )A. B. C. D.6.圆的周长是( )A. B. C. D.7.点与圆的位置关系是( )A. 在圆外B. 在圆上C. 在圆内D. 与a的值有关二、填空题（本大题共3小题，共15分）8.若圆C的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆C的标准方程为__________.9.已知点，，则以线段AB为直径的圆的标准方程为__________.10.与圆同圆心，且过点的圆的标准方程为__________.三、解答题（本大题共6小题，共72分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）11.本小题12分求满足下列条件的圆的标准方程.圆心为，半径等于圆心为，经过点圆心在直线上，且与y轴交于点，12.本小题12分已知x和y满足求的最值;试求点到圆的最远距离.13.本小题12分已知x，y满足，求的最大值与最小值.14.本小题12分已知三条直线，，两两相交，求过这三个交点的圆的标准方程.15.本小题12分已知圆C经过点和，且圆心C在直线上.求圆C的标准方程;设点在圆C上，求的面积.16.本小题12分已知以点，且为圆心的圆经过原点O，且与x轴交于点A，与y轴交于点异于原点求证：的面积为定值;设直线与圆C交于点M，N两点，若，求圆C的标准方程.答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查点与圆位置关系的判断，属于简单题.【解答】解析因为，所以点在圆外，故选2.【答案】C【解析】【分析】本题考查点与圆的位置关系的判定，属于简单题.【解答】根据题意得圆C的圆心为，半径为1，则，则点M在圆C外.故选3.【答案】B【解析】【分析】本题考查已知点与圆的位置关系，求参数范围问题，属于基础题.【解答】圆，即，所以圆心为，半径，因为点在圆外，所以点到圆心的距离大于半径，即，解得4.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，属于基础题．求出圆心C的坐标和半径，再计算AC、BC的值，和半径作比较，从而得出结论．【解答】解：圆C：的圆心，半径为，点，，，，故A在C内，B在C外，故选：5.【答案】A【解析】【分析】本题考查已知点与圆的位置关系，求参数范围问题，属于基础题.【解答】由题意得，即，又，所以6.【答案】B【解析】【分析】本题考查由圆的标准方程确定圆的半径问题，考查圆的面积的求法，属于基础题.【解答】由题意知该圆的半径，所以周长为，故选7.【答案】A【解析】【分析】本题考查点与圆的位置关系的判定，属于基础题.【解答】因为，所以点在圆外.8.【答案】【解析】【分析】本题考查圆的标准方程的求法以及点与直线之间的对称问题，属于基础题.【解答】解：因为圆C的圆心与点关于直线对称，所以圆心的坐标为，故圆C的标准方程为9.【答案】【解析】【分析】本题考查圆的标准方程的求法，属于基础题.【解答】解析易知线段AB的中点的坐标即为圆心的坐标，所以圆心的坐标为，又圆的半径，所以所求圆的标准方程为10.【答案】【解析】【分析】本题考查圆的标准方程的求法，以及由圆的标准方程确定圆心问题，属于简单题.【解答】解：因为已知圆的圆心为，所以所求圆的圆心为，所以所求圆的半径为，所以所求圆的标准方程为11.【答案】解：圆的标准方程为由两点间的距离公式可得圆的半径，故圆的标准方程为因为圆与y轴交于点，，所以圆心在直线上.又圆心在直线上，所以圆心的坐标为，所以圆的半径，故圆的标准方程为【解析】本题考查圆的标准方程的求法，属于基础题.12.【答案】由题意知表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取得最大值和最小值时，其平方也相应的取得最大值和最小值.易知圆的圆心的坐标为，半径为，所以原点到圆心的距离，故圆上的点到坐标原点的最远距离为，最近距离为，因此的最大值和最小值分别为和由知圆心的坐标为，半径为，则点P到圆心的距离为，所以点到圆的最远距离为【解析】本题考查点与圆上的点的最值问题，属于一般题.13.【答案】解：易知点是圆上的任意一点，且圆C的圆心为，半径，因此表示点与该圆上的点的距离.因为，所以点在圆外.如图所示.又，所以的最大值为，最小值为【解析】本题考查点到圆上点的最值问题，属于一般题.14.【答案】解：易知平行于x轴，与互相垂直，设与交于点C，，分别与交于点A，B，则三个交点A，B，C构成直角三角形，所以经过A，B，C三点的圆就是以线段AB为直径的圆.联立得解得所以点A的坐标是，联立得解得所以点B的坐标是，所以线段AB的中点的坐标是，又，所以所求圆的标准方程是【解析】本题考查两条直线交点坐标的求法以及圆的标准方程的求法，属于基础题.15.【答案】解析依题意知，所求圆的圆心C为线段AB的垂直平分线和直线的交点.由题意得线段AB的中点的坐标为，直线AB的斜率为1，的垂直平分线的方程为，即联立得解得即圆心为，半径，故所求圆C的标准方程为点在圆C上，代入圆C的标准方程得或舍去，，故，直线AQ的方程为，点B到直线AQ的距离为4，的面积【解析】本题考查圆的标准方程的求法以及圆中的三角形面积问题，属于一般题.16.【答案】证明：由题意可得，圆的标准方程为，化简得，圆与两坐标轴的交点分别为，，，故的面积为定值.，原点O在线段MN的垂直平分线上，设线段MN的中点为H，则C，H，O三点共线，易知OC的斜率，，解得，圆心为或当圆心为时，该直线与圆C相离，不符合题意;当圆心为时，满足题意.综上所述，圆C的标准方程是【解析】本题考查直线与圆位置关系的判断与求参，考查圆中的三角形面积的求法，以及如何求圆的标准方程问题，属于较难题.。
高二数学选一人教A版课时评价作业第二章直线和圆的方程(3)+答案解析(附后)
3ngk2nmn高二数学选一人教A版课时评价作业第二章直线和圆的方程2.4圆的方程2.4.2圆的一般方程一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知直线l与圆相交于A，B两点，弦AB的中点为，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.2.若方程表示一个圆，则实数a的取值范围为( )A. B.C. D.3.已知直线l过圆的圆心，且倾斜角为，则l的方程为( )A. B. C. D.4.已知圆的圆心和圆上两点A，B构成等边三角形，则线段AB的中点M的轨迹方程是( )A. B.C. D.5.已知圆C经过两点，，且圆心C在直线上，则圆C的一般方程为( )A. B.C. D.6.过三点，，的圆的一般方程是( )A. B.C. D.7.已知定点，点A在圆上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是( )A. B. C. D.8.若圆上所有的点都在第二象限，则a的取值范围为( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共1小题，共5分。
在每小题有多项符合题目要求）9.若方程表示圆，则下列叙述正确的是( )A. 圆心在直线上B. 圆心在x轴上C. 圆过原点D. 圆的半径为三、填空题（本大题共3小题，共15分）10.已知圆M过点，，，则点与圆M上的点的最小距离为__________.11.若直线始终平分圆，则的最小值为__________.12.已知圆，A，B在圆上，点，且，则线段AB的中点R的轨迹方程是__________.四、解答题（本大题共2小题，共24分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）13.本小题12分如图，已知矩形ABCD的四个顶点分别为，，，求对角线AC所在直线的方程;求矩形ABCD外接圆的一般方程;若动点P为外接圆上一点，点为定点，试问：线段PN的中点M的轨迹是什么?并求出该点的轨迹方程.14.本小题12分在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆.最小覆盖圆满足以下性质：①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆;②锐角的最小覆盖圆就是其外接圆.已知曲线，，，，为曲线W上不同的四点.求实数t的值及的最小覆盖圆的一般方程;求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程;求曲线W的最小覆盖圆的方程.答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆的一般方程、直线与圆的位置关系及直线方程的知识，属于基础题.由表示圆得方程及点M在圆内可求得a的取值范围.【解答】解：表示圆，，解得，又点在圆内，，解得，综上所述知故选：2.【答案】A【解析】【分析】本题考查二元二次方程表示圆的条件，注意圆的一般方程的形式，属于基础题．根据题意，由二元二次方程表示圆的条件可得，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，若方程表示一个圆，则，解可得或，即实数a的取值范围为，故选：3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了直线方程的求法，圆的标准方程，求出圆心坐标是解题的关键．把圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标，根据直线l垂直于x轴，可得答案.【解答】解：圆C：，即，圆心，由直线l的倾斜角为，则直线l垂直于x轴，则直线l的方程为：故选：4.【答案】D【解析】【分析】本题考查了动点轨迹方程的求解，定义法求解轨迹方程，属于中档题.先求出圆C的圆心和半径，然后利用等边三角形的性质求出，由圆的定义可知点M的轨迹为圆，求解圆的方程即可.【解答】解：圆C：x22即22，故圆心，半径，因为圆心C和圆上两点A，B构成等边三角形，故等边的边长为2，又M为AB中点，所以，即AB中点M到定点的距离为定长，所以点M的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故点M的轨迹方程为22，即.故选：5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查圆的标准方程，考查直线与圆的关系，属于基础题.求出线段AB的垂直平分线的方程，与直线l联立，即可求出圆心，再求出半径即可得出圆的方程.【解答】解：线段AB的中点坐标为，直线AB的斜率，则线段AB的垂直平分线的方程为，即，由，解得，所以圆C的圆心为，半径，所以圆C的方程为，故选：6.【答案】A【解析】【分析】本题考查求圆的一般方程，属于基础题．设圆的一般方程，将点代入可得圆的方程．【解答】解：设圆的一般方程为，将，，三点代入方程得到方程组，解得，，，故圆的方程为，故选：7.【答案】C【解析】【分析】设出动点坐标，利用已知条件确定坐标之间的关系，利用A在圆上，可得结论．本题考查点的轨迹方程、中点坐标公式、代入法等基础知识，属于基础题．【解答】解：设点M的坐标为，点，则是线段AB的中点，，，，，，，故选：8.【答案】D【解析】【分析】本题考查圆的一般方程与圆的标准方程，属于基础题．把圆的一般方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径，根据题意列关于a的不等式组，求出a的范围即可．【解答】解：把圆的一般方程化为标准方程得，所以圆心坐标为，半径为2，由题意可得，解得，所以a的取值范围为故选9.【答案】AC【解析】【分析】本题考查圆的标准方程和一般方程，属于基础题.由题意把方程配方得到标准方程的形式，分析各个选项可得答案.【解答】解：方程可化为，由方程表示的圆可得圆心为，半径，故圆心在直线上，A正确，B错误;圆过原点，C正确，D错误.故选：10.【答案】【解析】【分析】本题考查了与圆有关的最值问题，涉及求圆的方程，属于中档题.先根据O，B，C坐标求出圆M的方程，求出D到圆心距离，所求最小值为D到圆心距离-半径.【解答】解：设圆M的一般方程为，因为圆M过点，，，所以，解得，，，所以圆M的一般方程为，整理可得，所以圆M的圆心为，半径，所以点与圆M上的点的最小距离为11.【答案】5【解析】【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系与点到直线的公式的应用，属于基础题.由已知求出，代入，利用二次函数性质求最小值.【解答】解：圆的方程化为标准方程得：，圆心M坐标为，半径，直线l始终平分圆M的周长，直线l过圆M的圆心M，把代入直线l：得：，即，所以，所以的最小值为故答案为：12.【答案】【解析】【分析】本题考查求动点的轨迹方程，属于中档题.依题意设是线段AB的中点，则，可得，在中利用勾股定理计算可得.【解答】解：如图所示，设，则，因为，所以，在中，，，，由勾股定理得，整理得，所以线段AB的中点R的轨迹方程为故答案为：13.【答案】解：由两点式可知，对角线AC所在直线的方程为，整理得；设G为该矩形外接圆的圆心，则G为线段AC的中点，，即；设r为该矩形外接圆的半径，则，该矩形外接圆的方程为，即；设点P的坐标为，线段PN的中点M的坐标为，则，，，，为外接圆上一点，，整理得，该轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，轨迹方程为【解析】本题考查了直线方程，圆的方程，以及中点坐标，属于基础题.根据两点式即可求出直线方程，求出圆心的坐标以及半径即可得到圆的方程，设P 点坐标，线段PN 中点M 坐标为，根据中点坐标公式，即可求出答案.14.【答案】解：因为点在曲线上，所以，解得或舍去，所以，设的外接圆的一般方程为，则，解得，所以的外接圆的一般方程为 ，易知是锐角三角形，所以的最小覆盖圆的一般方程是；因为线段BD 的最小覆盖圆是以线段BD 为直径的圆，所以线段BD 的最小覆盖圆的方程为，又因为，所以点A ，C 在圆内，所以四边形ABCD 的最小覆盖圆的方程是，因为曲线是中心对称图形，所以设，则，当时，，所以曲线W 的最小覆盖圆的方程是【解析】本题考查了新定义问题、待定系数法求圆的一般方程、标准方程以及方程的思想和运算求解能力，属于中档题.求出A 点的坐标，设的外接圆的一般方程为，将A ，B ，C 的坐标代入求解；根据线段BD 的最小覆盖圆是以BD 为直径的圆，然后验证点A ，C 在圆内即可；设，则，然后根据函数的性质求解.。
第二章 直线和圆的方程 高二数学上学期单元测试(人教A版2019选择性必修第一册)(解析版)
高二数学上学期同步课堂单元测试（人教A 版2019选择性必修第一册）第二章 直线和圆的方程 培优必刷卷一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知()111P a b ，与()122P a b ，是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ） A ．无论12k P P 、、如何,总是无解B ．无论12k P P 、、如何,总有唯一解C ．存在12k P P 、、，使之恰有两解 D ．存在12k P P 、、，使之有无穷多解 【答案】B【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出1122,,,a b a b 的关系，再求解方程组的解，即可求解，得到答案．【详解】 由题意，点()111P a b ，与()122P a b ，是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点， 直线1y kx =+的斜率存在，所以2121b b k a a -=-，即12a a ≠， 且11221,1b ka b ka =+=+，所以211212122121a b a b ka a ka a a a a a -=-+-=-，由方程组11221(1)1(2)a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩，21(1)(2)b b ⨯-⨯可得：122121()a b a b x b b -=-，即1221()a a x b b -=-，所以方程组有唯一的解．故选B ．2．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知ABC ∆的顶点()()2,0,0,4AB ，若其欧拉线的方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标为 A ．()4,0-B ．()3,1--C ．()5,0-D ．()4,2--【答案】A【分析】设出点C 的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB 的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C 的坐标【详解】 设C （m ，n ），由重心坐标公式得，三角形ABC 的重心为24,33m n ++⎛⎫ ⎪⎝⎭代入欧拉线方程得：242033m n ++-+=整理得：m -n+4=0 ① AB 的中点为（1，2），40202AB k -==-- AB 的中垂线方程为()1212y x -=-， 即x -2y+3=0．联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩ 解得11x y =-⎧⎨=⎩①①ABC 的外心为（-1，1）．则（m+1）2+（n -1）2=32+12=10，整理得：m 2+n 2+2m -2n=8 ①联立①①得：m=-4，n=0或m=0，n=4．当m=0，n=4时B ，C 重合，舍去．①顶点C 的坐标是（-4，0）．故选A3．已知在ABC 中，其中(1,4)B ，(6,3)C ，BAC ∠的平分线所在的直线方程为10x y -+=，则ABC 的面积为（ ）A．B． C ．8 D． 【答案】C【分析】首先求得直线10x y -+=与直线BC 的交点D 的坐标，利用D 到直线,AB AC 的距离相等列方程，解方程求得A 点的坐标.利用A 到直线BC 的距离以及BC 的长，求得三角形ABC 的面积.【详解】直线BC 的方程为()1415y x -=--，即5210x y +-=. 由521010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得811,33D ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 设()8,1,3A a a a +≠，直线,AB AC 的方程分别为()()3241,3616a a y x y x a a ---=--=--- ，即 ()()3131a x a y a ---+-，()()26360a x a y a -----=.根据角平分线的性质可知，D 到直线,AB AC 的距离相等，所以=，=，由于83a ≠，所以上式可化为2=两边平方并化简得2803a a -=，解得0a =（83a ≠），所以()0,1A .所以()0,1A 到直线BC=BC ==182ABC S ∆==. 故选：C4．若直线:l y kx =30x y +-=相交，且交点在第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是A ．()000,60B ．()0030,60C ．()0030,90D ．()0060,90 【答案】C【详解】联立方程30y kx x y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩得交点，由交点在第一象限知：00>>解得k >，即tan αα>是锐角，故3090α︒<<︒ ，选C. 5．点(),M x y 在曲线22:4210C x x y -+-=上运动，22+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值为b ，若a ，b R +∈，则111a b++的最小值为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】 由题意曲线C 为圆，22(6)(6)222t x y a =++---，且22(6)(6)x y ++-表示曲线C 上的点M 到点()6,6N -的距离的平方，结合圆的特征可得点()6,3M -，由此可得22max (66)(36)222t a b =++----=，于是3a b +=，故()14a b ++=，以此为基础并由基本不等式可得所求的最小值．【详解】曲线22:4210C x x y -+-=可化为()22225x y -+=，表示圆心为()2,0A ，半径为5的圆．2222+1212150(6)(6)222t x y x y a x y a =+---=++---，22(6)(6)x y ++-可以看作点M 到点()6,6N -的距离的平方，圆C 上一点M 到N 的距离的最大值为5AN +，即点M 是直线AN 与圆C 的离点N 最远的交点，所以直线AN 的方程为()324y x =--， 由()()22324225y x x y ⎧=--⎪⎨⎪-+=⎩，解得1163x y =⎧⎨=-⎩或2223x y =-⎧⎨=⎩（舍去）， ①当63x y =⎧⎨=-⎩时，t 取得最大值，且22max (66)(36)222t a b =++----=， ①3a b +=，①()14a b ++=，①()111111112114141b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+++=++≥ ⎪ ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎝⎭， 当且仅当11b a a b +=+，且3a b +=，即1,2a b ==时等号成立． 故选A ．6．已知点(,1),P t t t R -∈，点E 是圆2214x y +=上的动点，点F 是圆229(3)(1)4x y -++=上的动点，则PF PE -的最大值为A ．2B ．52C ．3D ．4【答案】D【分析】 由于两圆不在直线的同侧，先做出圆O 关于直线对称的圆1O ，把PF PE -转化为PF PE '-，若PF PE '-最大，必须PF 最大，PE '最小.【详解】如图：依题意得点(,1),P t t t R -∈在直线1y x =-上，点E 关于直线1y x =-对称的点E ',点E '在圆2214x y +=关于直线1y x =-对称的圆2211:(1)(1)4O x y ++-=上， 则PE PE '=，设圆229(3)(1)4x y -++=的圆心为2O ， 因为11PE PO E O ''≥-，22PF PO FO ≤+， 所以22112112()()224PF PE PF PE PO FO PO E O PO PO OO ''-=-≤+--=-+≤+=，当12,,,,P E F O O '五点共线，E '在线段1O 上，2O 在线段PF 上时“=”成立. 因此，PF PE -的最大值为4.7．圆22210x y x +--=关于直线230x y -+=对称的圆的方程是（ ）A ．221(3)(2)2x y ++-=B ．221(3)(2)2x y -++= C ．22(3)(2)2x y ++-=D ．22(3)(2)2x y -++=【答案】C【分析】 根据圆的方程可得已知圆的圆心坐标和半径；求得圆心关于直线的对称点坐标，即为所求圆的圆心，又半径不变，从而可得圆的方程.【详解】由圆的方程可知圆心坐标为：()1,0设圆心关于直线230x y -+=的对称点为(),x y则：01121023022y x x y -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪⨯-+=⎪⎩，解得：32x y =-⎧⎨=⎩，即所求圆圆心为：()3,2-∴所求圆的方程为：()()22322x y ++-=本题正确选项：C8．圆22(1)(2)1x y -+-=关于点(2,3)-对称的圆的标准方程为（ ）A ．22(5)(4)1x y ++-=B ．2215122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．22(5)(4)1x y -++=D ．2215122x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】A【分析】求出圆心(1,2)关于(2,3)-的对称点，即为对称圆的圆心，对称圆的半径为1.【详解】圆22(1)(2)1x y -+-=的圆心为(1,2)，因为点(1,2)关于点(2,3)-对称的点为(5,4)-，所以对称圆的圆心为(5,4)-，又因为半径不变，所以所求圆的标准方程为22(5)(4)1x x ++-=.故选：A9．设集合3(,)2,,1y A x y x y R x -⎧⎫==∈⎨⎬-⎩⎭，{}(,)4160,B x y x ay x y R =+-=∈，若A B =∅，则实数a 的值为（ ）A ．4B ．2-C ．4或2-D ．4-或2【答案】C【分析】本题先化简集合A 、集合B ，再结合A B =∅，确定直线21y x =+与4160x ay +-=平行或直线4160x ay +-=过点(1,3)，最后求实数a 的值.【详解】解：集合A 表示直线32(1)y x -=-，即21y x =+上的点，但除去点(1,3)，集合B 表示直线4160x ay +-=上的点，当A B =∅时，直线21y x =+与4160x ay +-=平行或直线4160x ay +-=过点(1,3)， 所以42a -=或43160a +-=，解得2a =-或4a =．故选：C.10．已知0a ≠，直线()240ax b y +++=与直线()230ax b y +--=互相垂直，则ab 的最大值为（ ）A ．0B ．2C ．4D 【答案】B【分析】根据两直线垂直,得到关于,a b 的等式224a b +=,再利用基本不等式即可求出ab 的最大值.【详解】因为直线()240ax b y +++=与直线()230ax b y +--=互相垂直,所以2(2)(2)0a b b ++-=,即224a b +=,因为222a b ab +≥,所以24ab ≤,即2ab ≤,故选:B.11．直线20x y b -+=与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[]22-,B ．(][),22,-∞-+∞C ．[)(]2,00,2-D ．(,)-∞+∞ 【答案】C【分析】令0x =，可得2b y =；令0y =，可得x b =-，可得1|()|122b b ⨯-，0b ≠，解出即可． 【详解】 解：令0x =，可得2b y =；令0y =，可得x b =-， ∴1()122b b ⨯-，0b ≠， 解得22b -，且0b ≠．故选：C ．12．设直线1:370l x y +-= 与直线2:10l x y -+=的交点为P ,则P 到直线:20l x ay a ++-=的距离最大值为AB ．4C ．D【答案】A【分析】先求出P 的坐标，再求出直线l 所过的定点Q ，则所求距离的最大值就是PQ 的长度.【详解】 由37010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩可以得到12x y =⎧⎨=⎩，故()1,2P ， 直线l 的方程可整理为：()210x a y ++-=，故直线l 过定点()2,1-，因为P 到直线l 的距离d PQ ≤，当且仅当l PQ ⊥时等号成立，故max d ==故选A. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知直线l 经过点()1,0P 且与以()2,1A ，()3,2B -为端点的线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为____．【答案】3[0,][,)44πππ⋃ 【解析】当直线l 过B 时，设直线l 的倾斜角为α，则3tan 14παα=-⇒=当直线l 过A 时，设直线l 的倾斜角为β，则tan 14πββ=⇒=综合：直线l 经过点()P 1,0且与以()A 2,1，()B 3,2-为端点的线段AB 有公共点时，直线l 的倾斜角的取值范围为][30,,44πππ⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭14．已知过点1,1（）P -的直线m 交x 轴于点A ，抛物线2x y =上有一点B 使PA PB ⊥,若AB 是抛物线2x y =的切线，则直线m 的方程是___．【答案】320x y +-=或20x y -+=.【解析】分析：由题设()2,B t t ，求导得到直线2:2,AB y tx t =- 然后分0t =和0t ≠两种情况讨论即可得到直线m 的方程.详解：由题设()2,B t t ，求导2x y ='即2AB k t =，则直线2:2,AB y tx t =- 当0t =时，验证符合题意，此时()2,0A - ，故:20m x y -+= ，当0t ≠时，,02t A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，()0111042t PA PB t t t ⎛⎫⋅=⇒++-+=⇒= ⎪⎝⎭或1t =-（,B P 重合，舍去） 此时()()1,1,2,0P A -，故:320m x y +-=15．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:0++=l x y a 与点(2,0)A ，若直线l 上存在点M 满足2=MA MO ，（O 为坐标原点），则实数a 的取值范围是________【答案】⎣⎦【分析】先设(,)--M x x a ，根据(2,0)A ，2=MA MO ，得到226(64)340x a x a +++-=，再由题意，得到()22(64)24340∆=+--≥a a ，求解，即可得出结果.【详解】由题意设(,)--M x x a ， 因为点(2,0)A ，2=MA MO ，，整理得：226(64)340x a x a +++-=①因为直线l 上存在点M 满足2=MA MO ，所以方程①有解，因此()22(64)24340∆=+--≥a a ，≤≤a故答案为⎣⎦16．已知圆M ：()()2211x m y +++=与圆N 关于直线l ：30x y -+=对称，且圆M 上任一点P 与圆N上任一点Q 之间距离的最小值为2，则实数m 的值为__________．【答案】2或6.【解析】分析：由两圆对称可得到圆N 的圆心坐标，然后根据圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值为两圆的圆心距减去两半径可得实数m 的值．详解：设圆N 的圆心为(),x y ，①圆M 和圆N 关于直线l 对称， ①1113022y x m x m y +⎧=-⎪⎪+⎨--⎪-+=⎪⎩，解得43x y m =-⎧⎨=-+⎩， ①圆N 的圆心为()4,3m --+． ①MN == ①圆M 上任一点P与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值为为2，22=，解得2m =或6m =．三、解答题：本题共5小题，每小题12分，共60分.17．如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）.规划在公路l 上选两个点P ，Q ，并修建两段直线型道路PB ，QA ，规划要求：线段PB ，QA 上的所有点到点O 的距离均不小于．．．圆O 的半径.已知点A ，B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C ，D 为垂足），测得10AB =，6AC =，12BD =（单位：百米）.（1）若道路PB 和桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米），求当d 最小时，P ，Q 两点间的距离.【答案】（1）道路PB 的长为15（百米）；（2）不能，答案见解析；（3）(17+百米.【分析】（1）当道路PB 和桥AB 垂直，先确定出点P 的位置，根据题目条件，采用几何法求解；（2）分别假设点P 或点Q 位于点D ，分析道路PB 和QA 上的点到圆心O 的距离是否均不小于．．．圆O 的半径； （3）由题意分析可知，当PB 上所有点到圆心的距离均不小于圆O 的半径时，90OPB ∠≥，且当PB AB ⊥时，PB 最小，验证PB QA d ==时，QA 上的点到圆心O 的距离均不小于．．．圆O 的半径. 【详解】解：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6DE BE AC ===，8AE CD ==.因为PB AB ⊥，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==， 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）不能，理由如下：①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.①若Q 在D 处，连接AD ，由（1）知10AD =， 从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以BAD ∠为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当90OBP ︒∠<时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当90OBP ︒∠≥时，对线段PB 上任意一点F ，OF OB ≥，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115PB =， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当90OBP ︒∠>时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，15d ≥.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得15QA ≥，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当15QA =时，CQ ===此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB AB ⊥点Q 位于点C 右侧，且CQ =d 最小，此时P ，Q 两点间的距离17PQ PD CD CQ =++=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为(17+百米.18．已知圆N 经过点(3,1)A ，(1,3)B -，且它的圆心在直线320x y --=上.（1）求圆N 关于直线30x y -+=对称的圆的方程；（2）若点D 为圆N 上任意一点，且点()3,0C ，求线段CD 的中点M 的轨迹方程.【答案】（1）22(1)(5)10x y -+-=；（2）2255(2)22x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭. 【分析】（1）设出圆N 的圆心坐标，然后题意列出方程，解出圆的半径r ，得到圆N 的方程；再解出点N 关于直线30x y -+=的对称点坐标，写出对称圆的方程.（2）利用相关点法，设点(,)M x y ，()11,D x y ，设法用含,x y 的式子表示点D 的坐标，然后将点D 代入圆N 方程即可得到点(,)M x y 的轨迹方程.【详解】解析（1）由已知可设圆心(,32)N a a -，又由已知得||||NA NB =，=2a =，所以圆N 的圆心为(2,4)N，半径r =所以圆N 的方程为22(2)(4)10x y -+-=，圆心关于30x y -+=的对称点为(1,5)，所以圆N 关于直线30x y -+=对称的圆的方程为22(1)(5)10x y -+-=.（2）设(,)M x y ，()11,D x y ，则由()3,0C 及M 为线段CD 的中点得，113202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得11232x x y y =-⎧⎨=⎩. 又点D 在圆22:(2)(4)10N x y -+-=上，所以22(232)(24)10x y --+-=，即225(2)2x y ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭52=， 故所求的轨迹方程为:2255(2)22x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭. 19．已知三条直线l 1:2x -y+a=0(a>0)，直线l 2:4x -2y -1=0和直线l 3:x+y -1=0，且l 1和l 2的距离是10. (1)求a 的值.(2)能否找到一点P ，使得P 点同时满足下列三个条件：①P 是第一象限的点；①P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的12；①P 点到l 1的距离与P 点到l 3若能，求出P 点坐标；若不能，请说明理由.【答案】（1）a=3；（2）P(137,918).【分析】(1) 根据两条直线是平行关系，利用两条平行线的距离公式即可求得a的值．(2) 根据点到直线的距离公式，讨论当P点满足①与①两种条件下求得参数的取值，并注意最后结果的取舍．【详解】(1)l2的方程即为1202x y--=，①l1和l2的距离=①1722a+=.①a>0,①a=3.(2)设点P(x0,y0)，若P点满足条件①，则P点在与l1和l2平行的直线l′:2x-y+c=0=,即c=132或c=116.①2x0-y0+132=或2x0-y0+116=.若点P满足条件①=，①x0-2y0+4=0或3x0+2=0.由P在第一象限，①3x0+2=0不合题意.联立方程2x0-y0+132=和x0-2y0+4=0，解得x0=-3,y0=12,应舍去.由2x0-y0+116=与x0-2y0+4=0联立，解得x0=19,y0=3718.所以P(137,918)即为同时满足三个条件的点.20．直线过点P4,23⎛⎫⎪⎝⎭且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：①①AOB 的周长为12；①①AOB 的面积为6.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 【答案】4x ＋3y ＝1. 【解析】试题分析：设直线的方程1(0,0)x y a b a b +=>>，若满足（1）可得4212,13a b a b +-=+=，联立可解,a b ，即可得方程；（2）若满足，可得4212,13ab a b=+=，同样可得方程，它们公共的方程即为所求. 试题解析： 设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，若满足条件(1)，则a ＋b ＋＝12，①又①直线过点P(，2)，①＋＝1.①由①①可得5a 2－32a ＋48＝0，解得，或.①所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，即3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0.若满足条件(2)，则ab ＝12，①由题意得，＋＝1，①由①①整理得a 2－6a ＋8＝0，解得，或.①所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，即3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0.综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x ＋4y －12＝0.21．点(,)M x y 在函数28y x =-+的图像上，当[2,5]x ∈时，求11y x ++的取值范围. 【答案】15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】 由1(1)1(1)y y x x +--=+--的几何意义是过(,),(1,1)M x y N --两点的直线的斜率且点M 在线段28,[2,5]y x x =-+∈上运动，可求两端点处斜率，利用数形结合可求最值.【详解】1(1)1(1)y y x x +--=+--的几何意义是过(,),(1,1)M x y N --两点的直线的斜率，点M 在线段28,[2,5]y x x =-+∈上运动，易知当2x =时，4y =，此时(2,4)M 与(1,1)N --两项连线的斜率最大，为53； 当5x =时，2y =-，此时(5,2)M -与(1,1)N --两点连线的斜率最小，为16-.115613y x +∴-+,即HF 的取值范围为15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。
高二数学选一人教A版第二章直线和圆的方程+答案解析(附后)
3ngk2nmn高二数学选一人教A版第二章直线和圆的方程2.3直线的交点坐标与距离公式2.3.3点到直线的距离公式2.3.4两条平行直线间的距离一、单选题（本大题共5小题，共25分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知，，，则点M到直线NF的距离为( )A. B. C. D.2.点到直线的距离大于3，则实数a的取值范围为( )A. B.C. 或D. 或3.过点，且与点，的距离相等的直线的方程是( )A. B.C. 或D. 或4.点到直线的距离是( )A. 3B.C. 1D.5.直线与直线的距离为( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30分）6.点到直线的距离为__________.7.已知点到直线的距离为，则__________.已知点到直线的距离不大于3，则a的取值范围是__________.8.若点到直线的距离等于4，则a的值为__________.9.直线与直线的距离为，则c的值为__________.10.已知动点P在直线上运动，动点Q在直线上运动，且，则的最小值为__________.11.两直线和平行，则它们之间的距离为__________.三、解答题（本大题共7小题，共84分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）12.本小题12分求点到直线的距离的最大值.13.本小题12分已知的顶点为，AB边上的中线CM所在直线的方程为，AC边上的高BH所在直线的方程为求顶点B，C的坐标;求的面积.14.本小题12分已知直线恒过定点若直线l经过点A，且坐标原点到l的距离等于2，求l的方程.15.本小题12分已知两条平行直线与直线，求与间的距离.16.本小题12分已知直线l在两坐标轴上的截距相等且不为零，点到直线l的距离为，求直线l的方程.17.本小题12分如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为3，宽为2，边AB，AD分别在x轴，y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合.将该矩形折叠，使点A落在线段DC上，已知折痕EF所在直线的斜率为求折痕EF所在直线的方程;若点P为BC的中点，求的面积.18.本小题12分已知平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD交于点，其中，求点D的坐标及AD所在直线的方程;求平行四边形ABCD的面积.答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查点到直线距离公式，先求出N，F所在直线方程，属于基础题【解答】解析易知直线NF的斜率，故直线NF的方程为，即，所以点M到直线NF的距离为，故选2.【答案】C【解析】【分析】本题考查点到直线距离公式，列不等式求解即可，属于基础题【解答】根据题意得，即，解得或，故选3.【答案】C【解析】【分析】本题考查点到直线距离公式；根据题意分析直线斜率存在，设出直线方程，结合点到直线的距离公式，进而得到结果。
人教版高中数学选择性必修第一册-第2章-直线和圆的方程-章末测试卷(含解析)
第二章直线和圆的方程章末测试卷（原卷版）[时间：120分钟 满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为－12，则|MN|＝( )A．10 B．180C．63D．652．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为( )A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．(x－2)2＋(y－3)2＝13．过点P(2，3)，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于12的直线的方程是( )A．3x－2y＋12＝0 B．3x＋2y－12＝0C．2x＋3y－13＝0 D．2x－3y＋13＝04．若点P(3，－1)为圆(x－2)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )A．x＋y－2＝0 B．2x－y－7＝0C．2x＋y－5＝0 D．x－y－4＝05．已知直线l过点(－2，0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是( )A．(－22，22) B．(－2，2)C.(－24，24)D.(－18，18)6．已知圆C1：x2＋y2－kx－y＝0和圆C2：x2＋y2－2ky－1＝0的公共弦所在的直线恒过定点M，且点M在直线mx＋ny＝2上，则m2＋n2的最小值为( )A.15B.55C.255D.457．已知P，Q分别为圆M：(x－6)2＋(y－3)2＝4与圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上的动点，A 为x轴上的动点，则|AP|＋|AQ|的最小值为( )A．55－3 B.101－3C．75－3 D．53－38．我国魏晋时期的数学家刘徽创立的“割圆术”，也就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长．先作出圆x2＋y2＝2的一个内接正八边形，使该八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该八边形的一条边所在直线的为( )A．x＋(2－1)y－2＝0 B．(1－2)x－y＋2＝0C．x－(2＋1)y＋2＝0 D．(2－1)x－y＋2＝0二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．若直线过点(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为( ) A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0C．2x－y＝0 D．x－y－1＝010．已知点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4，过点M的圆C的切线方程可能为( ) A．x－3＝0 B．x－2＝0C．3x－4y－5＝0 D．3x＋4y－5＝011．已知圆C1：x2＋y2＝r2(r>0)，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列结论正确的是( )A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0B．2ax1＋2by1＝a2＋b2C．x1＋x2＝a D．y1＋y2＝2b12．(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则( ) A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，|PB|＝32D．当∠PBA最大时，|PB|＝32三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若直线(a＋1)x＋2y＋1＝0与直线(a2－1)x－ay－1＝0平行，则a的值为________．14．已知圆C：(x＋5)2＋y2＝r2(r>0)和直线l：3x＋y＋5＝0.若圆C与直线l没有公共点，则r的取值范围是__________．15．已知直线l：y＝k(x＋4)与圆(x＋2)2＋y2＝4相交于A，B两点，M是线段AB的中点，则点M的轨迹方程为________；点M到直线3x＋4y－6＝0的距离的最小值为________．(本题第一空2分，第二空3分)16.2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图，Q(0，－3)是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O，点L，S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O.若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．(1)若点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；(2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值．18．(12分)已知①经过直线l1：x－2y＝0与直线l2：2x＋y－1＝0的交点；②圆心在直线2x －y＝0上；③被y轴截得弦长|CD|＝22.从上面这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的圆存在，求圆的方程；若问题中圆不存在，请说明理由．问：是否存在满足条件的圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上？19．(12分)求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆的方程．20．(12分)已知圆心为C的圆经过点A(0，2)和B(1，1)，且圆心C在直线l：x＋y＋5＝0上．(1)求圆C的标准方程；(2)若P (x ，y )是圆C 上的动点，求3x －4y 的最大值与最小值．21．(12分)为更好地了解鲸的生活习性，某动物保护组织在某头鲸身上安装了电子监测设备，从海岸线放归点O 处把它放归大海，并沿海岸线由西到东不停地对其进行跟踪观测．在放归点O 的正东方向有一观测站C ，可以对鲸的生活习性进行详细观测．已知OC ＝15 km ，观测站C 的观测半径为5 km.现以点O 为坐标原点，以由西向东的海岸线所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，测得鲸的行进路线近似满足曲线y ＝k x (k >0)．(1)若测得鲸的行进路线上一点A (1，1)，求k 的值；(2)在(1)问的条件下，则：①当鲸运动到何处时，开始进入观测站C 的观测区域内？(计算结果精确到0.1)②当鲸运动到何处时，离观测站C 最近(观测最便利)？(计算结果精确到0.1)(参考数据：41≈6.4，11.3≈3.4，58≈7.6)22．(12分)已知圆C ：x 2＋(y －4)2＝4，直线l ：(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0.(1)求直线l 所过定点A 的坐标；(2)求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长；(3)如图，已知点M (－3，4)，在直线MC 上(C 为圆心)，存在一定点N (异于点M )，满足对于圆C 上任一点P ，都有|PM ||PN |为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数．1．已知A (－2，1)，B (1，2)，点C 为直线x －3y ＝0上的动点，则|AC |＋|BC |的最小值为( )A ．22B ．23C ．25D ．272．圆心在曲线y ＝3x(x >0)上，且与直线3x ＋4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )A ．(x －3)2＋(y －3)2＝9B ．(x －3)2＋(y －1)2＝(165)2C ．(x －1)2＋(y －3)2＝(185)2D ．(x －2)2＋(y －32)2 ＝93．已知直线l 经过两条直线l 1：x ＋y ＝2，l 2：2x －y ＝1的交点，且直线l 的一个方向向量ν＝(－3，2)，则直线l 的方程为( )A ．－3x ＋2y ＋1＝0B ．3x －2y ＋1＝0C ．2x ＋3y －5＝0D ．2x －3y ＋1＝04．已知圆C 1：(x ＋a )2＋(y －2)2＝1与圆C 2：(x －b )2＋(y －2)2＝4外切，a ，b 为正实数，则ab 的最大值为( )A ．23 B.94C.32D.625．若过定点M (－1，0)且斜率为k 的直线与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，5)B ．(－5，0)C ．(0，13)D ．(0，5)6．已知在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别是A (0，3)，B (3，3)，C (2，0)，若直线x ＝a 将△ABC 分割成面积相等的两部分，则实数a 的值是( )A.3B ．1＋22C ．1＋33D ．2－227．【多选题】已知两圆方程为x 2＋y 2＝16与(x －4)2＋(y ＋3)2＝r 2(r >0)，则下列说法正确的是( )A ．若两圆外切，则r ＝1B ．若两圆公共弦所在的直线方程为8x －6y －37＝0，则r ＝2C ．若两圆在交点处的切线互相垂直，则r ＝3D ．若两圆有三条公切线，则r ＝28．【多选题】已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－2，3)，B (－2，－1)，C (6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝37C ．x 2＋y 2＝4D ．x 2＋y 2＝1659．已知过点P (4，1)的直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积最小时，直线l 的方程为________．10．曲线y ＝1＋9－x 2与直线y ＝k (x －3)＋5有两个交点，则实数k 的取值范围是________．11．在平面直角坐标系Oxy 中，已知点A (－1，0)，B (5，0)．若圆M ：(x －4)2＋(y －m )2＝4上存在唯一的点P ，使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为________．12．已知圆C 的圆心在直线l ：x ＋y ＋1＝0上且经过点A (－1，2)，B (1，0)．(1)求圆C 的方程；(2)若过点D (0，3)的直线l 1被圆C 截得的弦长为23，求直线l 1的方程．13．如图，在平面直角坐标系Oxy 中，过点P (0，1)且互相垂直的两条直线分别与圆O ：x 2＋y 2＝4交于点A ，B ，与圆M ：(x －2)2＋(y －1)2＝1交于点C ，D .(1)若|AB |＝372，求CD 的长；(2)若线段CD 的中点为E ，求△ABE 面积的取值范围．14．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋m＝0与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M.(1)求圆C的圆心坐标及半径；(2)求满足|PM|＝2|PO|的点P的轨迹方程．15．已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，点P是直线l：x－2y＝0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别为A，B.(1)当切线PA的长度为23时，求点P的坐标；(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有定点的坐标；若不过定点，请说明理由．(3)求线段AB长度的最小值．第二章直线和圆的方程章末测试卷（解析版）[时间：120分钟 满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为－12，则|MN|＝( )A．10 B．180 C．63D．65答案 D解析 k MN＝a－4－2－a＝－12，解得a＝10，即M(－2，10)，N(10，4)，所以|MN|＝（－2－10）2＋（10－4）2＝65.故选D.2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为( )A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．(x－2)2＋(y－3)2＝1答案 A解析 方法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知（0－1）2＋（b－2）2＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A.方法二(数形结合法)：根据点(1，2)到圆心的距离为1，作图易知圆心为(0，2)，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A.方法三(验证法)：将点(1，2)代入四个选项中，可排除B、D，又圆心在y轴上，所以排除C.故选A.3．过点P(2，3)，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于12的直线的方程是( )A．3x－2y＋12＝0 B．3x＋2y－12＝0C．2x＋3y－13＝0 D．2x－3y＋13＝0答案 B解析 本题主要考查直线的截距式方程及三角形面积的计算．依题意，设直线方程为xa＋yb＝1(a>0，b>0)，所以{12ab＝12，2a＋3b＝1，所以{a＝4，b＝6，于是所求直线的方程为x4＋y6＝1，即3x＋2y－12＝0.故选B.4．若点P(3，－1)为圆(x－2)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )A．x＋y－2＝0 B．2x－y－7＝0C．2x＋y－5＝0 D．x－y－4＝0答案 D解析 设圆心为C(2，0)，所以k PC＝0＋12－3＝－1，所以k AB＝1，所以l AB：x－y－4＝0.故选D.5．已知直线l过点(－2，0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2)C.(－24，24)D.(－18，18)答案 C解析 易知圆心坐标是(1，0)，半径是1，直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，由点到直线的距离公式，得|k ＋2k |k 2＋1<1，即k 2<18，解得－24<k <24.6．已知圆C 1：x 2＋y 2－kx －y ＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2ky －1＝0的公共弦所在的直线恒过定点M ，且点M 在直线mx ＋ny ＝2上，则m 2＋n 2的最小值为( )A.15 B.55C.255 D.45答案 C解析 由圆C 1：x 2＋y 2－kx －y ＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2ky －1＝0，可得圆C 1和C 2的公共弦所在的直线方程为k (x －2y )＋(y －1)＝0，联立{x －2y ＝0，y －1＝0，解得{x ＝2，y ＝1.即点M (2，1)，又因为点M 在直线mx ＋ny ＝2上，即2m ＋n ＝2，又由原点到直线2x ＋y ＝2的距离为d ＝222＋12＝255，即m 2＋n 2的最小值为255.7．已知P ，Q 分别为圆M ：(x －6)2＋(y －3)2＝4与圆N ：(x ＋4)2＋(y －2)2＝1上的动点，A 为x 轴上的动点，则|AP |＋|AQ |的最小值为( )A ．55－3 B.101－3C ．75－3D ．53－3答案 A解析 圆N ：(x ＋4)2＋(y －2)2＝1关于x 轴对称的圆N ′：(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝1，则|AP |＋|AQ |的最小值为|MN ′|－1－2＝102＋52－3＝55－3.故选A.8．我国魏晋时期的数学家刘徽创立的“割圆术”，也就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长．先作出圆x 2＋y 2＝2的一个内接正八边形，使该八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该八边形的一条边所在直线的为( )A ．x ＋(2－1)y －2＝0 B ．(1－2)x －y ＋2＝0C ．x －(2＋1)y ＋2＝0 D ．(2－1)x －y ＋2＝0答案 C解析 本题在数学文化背景下考查直线方程．如图所示，可知A (2，0)，B (1，1)，C (0，2)，D (－1，1)，E (－2，0)，所以AB ，BC ，CD ，DE 所在直线的方程分别为y ＝1－01－2(x －2)，y ＝(1－2)x ＋2，y ＝(2－1)x ＋2，y ＝12－1(x ＋2)，整理为一般式即x ＋(2－1)y －2＝0，(1－2)x －y ＋2＝0，(2－1)x －y ＋2＝0，x －(2－1)y ＋2＝0.故选C.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．若直线过点(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．2x －y ＝0D ．x －y －1＝0答案 ABC解析 当直线过原点时，设直线的方程为y ＝kx ，把点(1，2)代入，得k ＝2，所以此时直线的方程为2x －y ＝0；当直线斜率k ＝1时，设直线的方程为y ＝x ＋b ，把点(1，2)代入，得b ＝1，所以此时直线的方程为x －y ＋1＝0；当直线斜率k ＝－1时，设直线的方程为y ＝－x ＋b ，把点(1，2)代入，得b ＝3，所以此时直线的方程为x ＋y －3＝0.10．已知点M (3，1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4，过点M 的圆C 的切线方程可能为( )A ．x －3＝0B ．x －2＝0C ．3x －4y －5＝0D ．3x ＋4y －5＝0答案 AC解析 由题意得圆心为C (1，2)，半径r ＝2.∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点M 在圆C 外部．当过点M 的直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝3，即x －3＝0.又点C (1，2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ，∴直线x －3＝0是圆C 的切线；当过点M 的圆C 的切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0，则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋12＝2，解得k ＝34，∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0.故选AC.11．已知圆C 1：x 2＋y 2＝r 2(r >0)，圆C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2交于不同的A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则下列结论正确的是( )A ．a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0B ．2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2C ．x 1＋x 2＝aD ．y 1＋y 2＝2b答案 ABC解析 因为圆C 1：x 2＋y 2＝r 2①，圆C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2②，交于不同的A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，所以①－②得到直线AB 的方程为2ax ＋2by ＝a 2＋b 2，分别把A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点代入直线AB 的方程可得2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2③，2ax 2＋2by 2＝a 2＋b 2④，故B 正确；③－④得到2a (x 1－x 2)＋2b (y 1－y 2)＝0，即a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0，故A 正确；由圆的性质可知，线段AB 与线段C 1C 2互相平分，所以x 1＋x 22＝0＋a 2，y 1＋y 22＝0＋b2，即x 1＋x 2＝a ，y 1＋y 2＝b ，故C 正确，D 错误．故选ABC.12．(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P 在圆(x －5)2＋(y －5)2＝16上，点A (4，0)，B (0，2)，则( )A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当∠PBA 最小时，|PB |＝32D ．当∠PBA 最大时，|PB |＝32答案 ACD解析 设圆(x －5)2＋(y －5)2＝16的圆心为M (5，5)，由题易知直线AB 的方程为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0，则圆心M 到直线AB 的距离d ＝|5＋2×5－4|5＝115>4，所以直线AB 与圆M 相离，所以点P 到直线AB 的距离的最大值为4＋d ＝4＋115，而4＋115<5＋1255＝10，故A 正确．易知点P 到直线AB 的距离的最小值为d －4＝115－4，而115－4<1255－4＝1，故B 不正确．过点B 作圆M 的两条切线，切点分别为N ，Q ，如图所示，连接MB ，MN ，MQ ，则当∠PBA 最小时，点P 与N 重合，此时|PB |＝|MB |2－|MN |2＝52＋（5－2）2－42＝32，当∠PBA 最大时，点P 与Q 重合，此时|PB |＝32，故C 、D 都正确．综上，选ACD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若直线(a ＋1)x ＋2y ＋1＝0与直线(a 2－1)x －ay －1＝0平行，则a 的值为________．答案 23或－1解析 本题主要考查两直线的平行关系．当a ＝－1时，两直线方程分别为2y ＋1＝0，y －1＝0，显然两直线平行；当a ≠－1时，由a 2－1a ＋1＝－a 2≠－11，得a ＝23.故a 的值为23或－1.14．已知圆C ：(x ＋5)2＋y 2＝r 2(r >0)和直线l ：3x ＋y ＋5＝0.若圆C 与直线l 没有公共点，则r 的取值范围是__________．答案 0<r <10解析 因为圆心C (－5，0)到直线l ：3x ＋y ＋5＝0的距离为|－15＋5|32＋12＝1010＝10，所以要使圆C 与直线l 没有公共点，则r 的取值范围是0<r <10.15．已知直线l ：y ＝k (x ＋4)与圆(x ＋2)2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，则点M 的轨迹方程为________；点M 到直线3x ＋4y －6＝0的距离的最小值为________．(本题第一空2分，第二空3分)答案 (x ＋3)2＋y 2＝1(x ≠－4) 2解析 直线l ：y ＝k (x ＋4)过定点(－4，0)，且点(－4，0)在圆(x ＋2)2＋y 2＝4上，不妨设A (－4，0)，M (x ，y )(x ≠－4)，B (x 1，y 1)，则{x 1＝2x ＋4，y 1＝2y ，将(2x ＋4，2y )代入(x ＋2)2＋y 2＝4，得(x ＋3)2＋y 2＝1(x ≠－4)，所以点M 的轨迹是以(－3，0)为圆心，以1为半径的圆(除去点A (－4，0))，则点M 到直线3x ＋4y －6＝0的距离的最小值为|－3×3－6|5－1＝2.16.2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图，Q (0，－3)是圆Q 的圆心，圆Q 过坐标原点O ，点L ，S 均在x 轴上，圆L 与圆S 的半径都等于2，圆S 、圆L 均与圆Q 外切．已知直线l 过点O .若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d ，则d ＝________．答案 125解析 由题意圆L 与圆S 关于原点对称，设S (a ，0)，a >0，则a 2＋32＝2＋3，解得a ＝4，即S (4，0)，所以L (－4，0)．由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx (k ≠0)，则三个圆心到该直线的距离分别为：d 1＝|－4k |1＋k 2，d 2＝|4k |1＋k 2，d 3＝|3|1＋k2，则d 2＝4(4－d 12)＝4(4－d 22)＝4(9－d 32)，即有4－(－4k 1＋k 2)2 ＝4－(4k 1＋k 2)2 ＝9－(31＋k 2)2，解得k 2＝421.则d 2＝4(4－16×4211＋421)＝14425，即d ＝125.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点．(1)若点A (5，0)到直线l 的距离为3，求直线l 的方程；(2)求点A (5，0)到直线l 的距离的最大值．解析 (1)由{2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0得{x ＝2，y ＝1，所以交点坐标为(2，1)．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋1－2k ＝0，则点A 到直线l 的距离为|5k ＋1－2k |k 2＋1＝3，解得k ＝43，所以l 的方程为4x －3y －5＝0；当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，符合题意．故直线l 的方程为4x －3y －5＝0或x ＝2.(2)设直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点为P ，由(1)可知P (2，1)，过点P 任意作直线l (如图所示)，设d 为点A 到直线l 的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时，等号成立)，由两点间的距离公式可知|PA |＝10.即所求的距离的最大值为10.18．(12分)已知①经过直线l 1：x －2y ＝0与直线l 2：2x ＋y －1＝0的交点；②圆心在直线2x－y ＝0上；③被y 轴截得弦长|CD |＝22.从上面这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的圆存在，求圆的方程；若问题中圆不存在，请说明理由．问：是否存在满足条件的圆Q ，使得点A (－2，－1)，B (1，－1)均在圆上？思路分析 由点A (－2，－1)，B (1，－1)均在圆上，可知圆心在线段AB 的垂直平分线x ＝－12上，设圆心坐标为(－12，b )，半径为r ，若选①，求出直线l 1和l 2的交点为(25，15)，再利用两点之间的距离公式求出半径，即可求得圆的方程；若选②，由已知圆心(－12，－1)，再利用两点之间的距离公式求出半径，即可求得圆的方程；若选③，由弦长|CD |＝22，可得半径及圆心，即可求出圆的方程．解析 因为点A (－2，－1)，B (1，－1)均在圆上，所以圆心在线段AB 的垂直平分线上，又线段AB 的垂直平分线所在直线方程为x ＝－2＋12＝－12，则可设圆心坐标为(－12，b )，圆的半径为r ，若选①，存在圆Q ，使得点A (－2，－1)，B (1，－1)均在圆上．由{x －2y ＝0，2x ＋y －1＝0，解得{x ＝25，y ＝15.即直线l 1和l 2的交点为(25，15)，则圆Q 过点(25，15)，所以r 2＝(－12－25)2 ＋(b －15)2＝(－12－1)2＋(b ＋1)2，解得b ＝－1，则r 2＝94.即存在圆Q ，且圆Q 的方程为(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝94.若选②，存在圆Q ，使得点A (－2，－1)，B (1，－1)均在圆上．由圆心在直线2x －y ＝0上可得2×(－12)－b ＝0，则b ＝－1，所以r 2＝(－12－1)2 ＋(－1＋1)2＝94，即存在圆Q ，且圆Q 的方程为(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝94.若选③，存在圆Q ，使得点A (－2，－1)，B (1，－1)均在圆上．若圆被y 轴截得弦长|CD |＝22，根据圆的性质可得，r 2＝(12)2＋(|CD |2)2 ＝94，由r 2＝(－12－1)2 ＋(b ＋1)2＝94，解得b ＝－1.即存在圆Q ，且圆Q 的方程为(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝94.19．(12分)求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆的方程．解析 因为圆C 1可化为(x －6)2＋(y －1)2＝50，所以C 1的坐标为(6，1)，半径r 1＝52，同理可得C 2的坐标为(－6，－8)，半径r 2＝55.所以C 1，C 2所在的直线方程为3x －4y －14＝0.又因为公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －2＝0，由{3x －4y －14＝0，4x ＋3y －2＝0，得{x ＝2，y ＝－2，即所求圆的圆心为C (2，－2)，半径r ＝（52）2－|C 1C |2＝5.所以圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.20．(12分)已知圆心为C 的圆经过点A (0，2)和B (1，1)，且圆心C 在直线l ：x ＋y ＋5＝0上．(1)求圆C 的标准方程；(2)若P (x ，y )是圆C 上的动点，求3x －4y 的最大值与最小值．解析 (1)线段AB 的中点为(12，32)，又k AB ＝－1，所以线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝1×(x －12)，即x －y ＋1＝0.由{x －y ＋1＝0，x ＋y ＋5＝0解得{x ＝－3，y ＝－2，所以圆心C (－3，－2)．圆C 的半径r ＝|AC |＝（0＋3）2＋（2＋2）2＝5，故圆C 的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.(2)令z ＝3x －4y ，即3x －4y －z ＝0.当直线3x －4y －z ＝0与圆C 相切于点P 时，z 取得最值，圆心C (－3，－2)到直线3x －4y －z ＝0的距离d ＝|－9＋8－z |32＋（－4）2＝5，解得z ＝－26或z ＝24.故3x －4y 的最大值为24，最小值为－26.21．(12分)为更好地了解鲸的生活习性，某动物保护组织在某头鲸身上安装了电子监测设备，从海岸线放归点O 处把它放归大海，并沿海岸线由西到东不停地对其进行跟踪观测．在放归点O 的正东方向有一观测站C ，可以对鲸的生活习性进行详细观测．已知OC ＝15 km ，观测站C 的观测半径为5 km.现以点O 为坐标原点，以由西向东的海岸线所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，测得鲸的行进路线近似满足曲线y ＝k x (k >0)．(1)若测得鲸的行进路线上一点A (1，1)，求k 的值；(2)在(1)问的条件下，则：①当鲸运动到何处时，开始进入观测站C 的观测区域内？(计算结果精确到0.1)②当鲸运动到何处时，离观测站C 最近(观测最便利)？(计算结果精确到0.1)(参考数据：41≈6.4，11.3≈3.4，58≈7.6)解析 (1)将A (1，1)代入y ＝k x ，可得k ＝1.(2)①以C 为圆心，5为半径的圆的方程为(x －15)2＋y 2＝25，由{y ＝x ，（x －15）2＋y 2＝25，得x 2－29x ＋200＝0，∴x ＝29±412，∴x 1≈11.3，x 2≈17.7，∴当鲸运动到点(11.3，11.3)即(11.3，3.4)处时，开始进入观测站C 的观测区域内．②鲸与点C 的距离为：d ＝（x －15）2＋y 2＝（x －15）2＋x＝x 2－29x ＋225＝(x －292)2＋225－(292)2，∴当x ＝292时d 最小．故当鲸运动到点(292，582)即(14.5，3.8)处时，鲸离观测站C 最近．22．(12分)已知圆C ：x 2＋(y －4)2＝4，直线l ：(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0.(1)求直线l 所过定点A 的坐标；(2)求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长；(3)如图，已知点M (－3，4)，在直线MC 上(C 为圆心)，存在一定点N (异于点M )，满足对于圆C 上任一点P ，都有|PM ||PN |为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数．解析 (1)依题意，得m (3x －y )＋(x ＋y －4)＝0，令{3x －y ＝0，x ＋y －4＝0，解得{x ＝1，y ＝3，∴直线l 过定点A (1，3)．(2)当AC ⊥l 时，所截得的弦长最短．由题知C (0，4)，圆C 的半径r ＝2，∴k AC ＝4－30－1＝－1，∴k l ＝1，∴3m ＋1m －1＝1，∴m ＝－1.∵圆心C 到直线l 的距离为d ＝|AC |＝2，∴最短弦长为2r 2－d 2＝22.(3)由题意知直线MC 的方程为y ＝4.设定点N (t ，4)(t ≠－3)，P (x ，y )，|PM ||PN |＝λ(λ>0)，则|PM |2＝λ2|PN |2，∴(x ＋3)2＋(y －4)2＝λ2(x －t )2＋λ2(y －4)2，∴(x ＋3)2＋4－x 2＝λ2(x －t )2＋λ2(4－x 2)，整理得(6＋2tλ2)x －(λ2t 2＋4λ2－13)＝0，此式对任意的x ∈[－2，2]恒成立，∴{6＋2t λ2＝0，λ2t 2＋4λ2－13＝0，∴{t＝－43，λ＝32或{t ＝－43，λ＝－32(舍去)或{t ＝－3，λ＝±1(舍去)．综上，满足条件的点N 的坐标为(－43，4)，且|PM ||PN |为常数32.1．已知A (－2，1)，B (1，2)，点C 为直线x －3y ＝0上的动点，则|AC |＋|BC |的最小值为( )A ．22B ．23C ．25D ．27答案 C解析 设点A (－2，1)关于直线x －3y ＝0的对称点为D (a ，b )，则{b －1a ＋2＝－3，a －22－3×b ＋12＝0，解得{a ＝－1，b ＝－2，所以D (－1，－2)，所以|AC |＋|BC |＝|DC |＋|BC |，当B ，D ，C 共线时，|AC |＋|BC |取最小值，最小值为|DB |＝（1＋1）2＋（2＋2）2＝25.2．圆心在曲线y ＝3x(x >0)上，且与直线3x ＋4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )A ．(x －3)2＋(y －3)2＝9B ．(x －3)2＋(y －1)2＝(165)2C ．(x －1)2＋(y －3)2＝(185)2D ．(x －2)2＋(y －32)2＝9答案 D解析 设圆心为(a ，b )，半径为r ，则满足条件的圆面积最小即r 最小，r ＝|3a ＋4b ＋3|32＋42＝|3a ＋4b ＋3|5≥23a ×4b ＋35，因为圆心(a ，b )在y ＝3x (x >0)上，所以b ＝3a ，即ab ＝3，所以r min ＝212×3＋35＝3，当且仅当3a ＝4b ，即a ＝2，b ＝32时取等号，所以此时圆的方程为(x－2)2＋(y －32)2＝9.3．已知直线l 经过两条直线l 1：x ＋y ＝2，l 2：2x －y ＝1的交点，且直线l 的一个方向向量ν＝(－3，2)，则直线l 的方程为( )A ．－3x ＋2y ＋1＝0 B ．3x －2y ＋1＝0C ．2x ＋3y －5＝0 D ．2x －3y ＋1＝0答案 C解析 方法一：由{x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得{x ＝1，y ＝1，由题意，知直线l 的斜率k ＝－23，所以直线l 的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0.故选C.方法二：由题意设直线l ：x ＋y －2＋λ(2x －y －1)＝0(λ∈R )，即(1＋2λ)x ＋(1－λ)y －2－λ＝0，又直线l 的一个方向向量ν＝(－3，2)，所以3(1＋2λ)＝2(1－λ)，解得λ＝－18，所以直线l的方程为2x ＋3y －5＝0.故选C.4．已知圆C 1：(x ＋a )2＋(y －2)2＝1与圆C 2：(x －b )2＋(y －2)2＝4外切，a ，b 为正实数，则ab 的最大值为( )A ．23 B.94C.32D.62答案 B解析 因为圆C 1：(x ＋a )2＋(y －2)2＝1的圆心为C 1(－a ，2)，半径r 1＝1，圆C 2：(x －b )2＋(y －2)2＝4的圆心为C 2(b ，2)，半径r 2＝2，所以|C 1C 2|＝（－a －b ）2＋（2－2）2＝|a ＋b |＝1＋2，所以a 2＋b 2＋2ab ＝9，所以(a －b )2＋4ab ＝9，所以ab ＝94－（a －b ）24≤94，即当a ＝b 时，ab 取得最大值，最大值为94.5．若过定点M (－1，0)且斜率为k 的直线与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，5) B ．(－5，0)C ．(0，13) D ．(0，5)答案 A解析 圆C 的方程x 2＋4x ＋y 2－5＝0可化为(x ＋2)2＋y 2＝9，则圆C 与x 轴正半轴交于点A (1，0)，与y 轴正半轴交于点B (0，5)，如图所示，因为过定点M (－1，0)且斜率为k 的直线与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内的部分有交点，所以k MA <k <k MB ，所以0<k <5.6．已知在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别是A (0，3)，B (3，3)，C (2，0)，若直线x ＝a 将△ABC 分割成面积相等的两部分，则实数a 的值是( )A.3 B ．1＋22C ．1＋33D ．2－22答案 A解析 如图所示，易知直线AB 的方程是y ＝3，直线AC 的方程是x2＋y3＝1，即3x ＋2y －6＝0，且直线x ＝a 只与边AB ，AC 相交．设直线x ＝a 与AB 交于点D ，与AC 交于点E ，则点D ，E 的坐标分别为(a ，3)，(a ，6－3a2)，从而|DE |＝3－6－3a 2＝32a ，S △ADE ＝12|AD ||DE |＝12a ×32a ＝34a 2①.又S △ABC ＝12×3×3＝92，所以S △ADE ＝12S △ABC＝94②，由①②得34a 2＝94，解得a ＝3或a ＝－3(舍去)．故选A.7．【多选题】已知两圆方程为x 2＋y 2＝16与(x －4)2＋(y ＋3)2＝r 2(r >0)，则下列说法正确的是( )A ．若两圆外切，则r ＝1B ．若两圆公共弦所在的直线方程为8x －6y －37＝0，则r ＝2C ．若两圆在交点处的切线互相垂直，则r ＝3D ．若两圆有三条公切线，则r ＝2答案 ABC解析 由圆的方程可知，两圆圆心分别为(0，0)，(4，－3)，半径分别为4，r ，所以圆心距为5，若两圆外切，则4＋r ＝5，即r ＝1，故A 正确；此时两圆有三条公切线，故D 错误；当两圆相交时，两圆公共弦所在的直线方程可由两圆方程相减得到，所以公共弦所在的直线方程为8x －6y －41＋r 2＝0，所以－41＋r 2＝－37，解得r ＝2，故B 正确；因为两圆在交点处的切线互相垂直，则一个圆的切线必过另一个圆的圆心，所以两圆圆心距与两圆半径必构成一个直角三角形，故52＝42＋r 2，解得r ＝3，故C 正确．8．【多选题】已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－2，3)，B (－2，－1)，C (6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝37C ．x 2＋y 2＝4 D ．x 2＋y 2＝165答案 AB解析 过点A ，C 的直线方程为y ＋13＋1＝x －6－2－6，化为一般式为x ＋2y －4＝0，过点A ，B 的直线方程为x ＝－2，过点B ，C 的直线方程为y ＝－1，所以原点O 到直线x ＋2y －4＝0的距离d AC ＝455，原点O 到直线x ＝－2的距离d AB ＝2，原点O 到直线y ＝－1的距离d BC ＝1，所以d AB >d AC >d BC ，又|OA |＝（－2）2＋32＝13，|OB |＝（－2）2＋（－1）2＝5，且|OC |＝62＋（－1）2＝37.结合图形可知，若以原点为圆心的圆与△ABC 有唯一公共点，则公共点为(0，－1)或(6，－1)，所以圆的半径为1或37.故选AB.9．已知过点P (4，1)的直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积最小时，直线l 的方程为________．答案 x ＋4y －8＝0解析 设直线l ：x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，因为直线l 过点P (4，1)，所以4a ＋1b ＝1≥24a ×1b ＝4ab，所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立．所以当a ＝8，b ＝2时，△AOB 的面积S ＝12ab 取得最小值，此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.10．曲线y ＝1＋9－x 2与直线y ＝k (x －3)＋5有两个交点，则实数k 的取值范围是________．答案 (724，23]解析 由题可知，y ＝1＋9－x 2，即x 2＋(y －1)2＝9(y ≥1)，其图象如图所示：又直线y ＝k (x －3)＋5即kx －y －3k ＋5＝0过定点A (3，5)．当直线与半圆相切时，则|－1－3k ＋5|k 2＋1＝3，解得k ＝724.当直线过点B (－3，1)时，k ＝5－13－（－3）＝23.所以k ∈(724，23].11．在平面直角坐标系Oxy 中，已知点A (－1，0)，B (5，0)．若圆M ：(x －4)2＋(y －m )2＝4上存在唯一的点P ，使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为________．答案 ±21解析 根据题意，设点P 的坐标为(a ，b )，则直线PA 的方程为y ＝b a ＋1(x ＋1)，其在y 轴上的截距为b a ＋1，直线PB 的方程为y ＝b a －5(x －5)，其在y 轴上的截距为－5ba －5.若点P 满足使直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则有ba ＋1×(－5ba －5)＝5，变形可得b 2＋(a －2)2＝9，则点P 在圆(x －2)2＋y 2＝9上．若圆M ：(x －4)2＋(y －m )2＝4上存在唯一的点P 满足题意，则圆M 与圆(x －2)2＋y 2＝9有且只有一个公共点，即两圆内切或外切．又两圆的圆心距为（4－2）2＋m 2≥2，所以两圆外切，所以4＋m 2＝25，解得m ＝±21.12．已知圆C 的圆心在直线l ：x ＋y ＋1＝0上且经过点A (－1，2)，B (1，0)．(1)求圆C 的方程；(2)若过点D (0，3)的直线l 1被圆C 截得的弦长为23，求直线l 1的方程．解析 (1)由题意得，圆心C 一定在线段AB 的垂直平分线上，k AB ＝0－21－（－1）＝－1，线段AB 中点为(0，1)，所以直线AB 的垂直平分线为x －y ＋1＝0.所以直线l ：x ＋y ＋1＝0与x －y ＋1＝0的交点即为圆心C ，即C 的坐标为(－1，0)，半径r ＝|CA |＝2.所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)当直线l 1斜率不存在时，方程为x ＝0，此时圆心到l 1距离为1，截得的弦长为23，满足题意；当直线l 1斜率存在时，设为k ，则l 1：kx －y ＋3＝0，圆心(－1，0)到l 1的距离d ＝|－k ＋3|k 2＋1＝4－(232)2＝1，所以k ＝43，则直线l 1的方程为4x －3y ＋9＝0.综上，直线l 1的方程为x ＝0或4x －3y ＋9＝0.13．如图，在平面直角坐标系Oxy 中，过点P (0，1)且互相垂直的两条直线分别与圆O ：x 2＋y 2＝4交于点A ，B ，与圆M ：(x －2)2＋(y －1)2＝1交于点C ，D .(1)若|AB |＝372，求CD 的长；(2)若线段CD 的中点为E ，求△ABE 面积的取值范围．解析 (1)直线AB 的斜率显然存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.因为(|AB |2)2 ＋(1k 2＋1)2＝4，所以|AB |＝24k 2＋3k 2＋1，由24k 2＋3k 2＋1＝372，得k 2＝15，因为直线CD 的方程为y ＝－1kx ＋1，所以(|CD |2)2＝1－(－2k＋1－11＋(－1k)2)2，所以|CD |＝21－4k 2＋1＝21－415＋1＝3.(2)当直线AB 的斜率不存在时，△ABE 的面积S ＝12×4×2＝4；当直线AB 的斜率存在时，设其斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，显然k ≠0，则直线CD 的方程为y ＝－1kx ＋1，由|－1k·2－1＋1|(－1k )2＋1<1，得k 2>3，因为(|AB |2)2＋(1k 2＋1)2＝4，所以|AB |＝24k 2＋3k 2＋1，易知E 到直线AB 的距离即M 到AB 的距离，设为d ，则d ＝|2k －1＋1|k 2＋1＝|2k |k 2＋1，所以△ABE 的面积S ＝12|AB |·d ＝2（4k 2＋3）k 2（k 2＋1）2，令k 2＋1＝t >4，则S ＝2（4t －1）（t －1）t 2＝21t 2－5t ＋4＝2(1t －52)2－94，易知1t ∈(0，14)，所以S∈(352，4).综上，△ABE面积的取值范围为(352，4].14．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋m＝0与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M.(1)求圆C的圆心坐标及半径；(2)求满足|PM|＝2|PO|的点P的轨迹方程．解析 (1)圆C：x2＋y2＋2x－4y＋m＝0可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，所以圆C的圆心坐标为(－1，2)．又圆C与y轴相切，所以5－m＝1，即m＝4，故圆C的半径为1.(2)设P(x，y)，则|PM|2＝|PC|2－|MC|2＝(x＋1)2＋(y－2)2－1，|PO|2＝x2＋y2.由于|PM|＝2|PO|，则(x＋1)2＋(y－2)2－1＝4(x2＋y2)，整理得点P的轨迹方程为(x－13)2＋(y＋23)2＝179.15．已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，点P是直线l：x－2y＝0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别为A，B.(1)当切线PA的长度为23时，求点P的坐标；(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有定点的坐标；若不过定点，请说明理由．(3)求线段AB长度的最小值．解析 由题意知，圆M的半径r＝2，M(0，4)，设P(2b，b)．(1)∵PA是圆M的一条切线，∴∠MAP＝90°，∴|MP|＝（0－2b）2＋（4－b）2＝|AM|2＋|AP|2＝22＋（23）2＝4，解得b＝0或8 5，∴点P的坐标为(0，0)或(165，85).(2)圆N过定点(0，4)，(85，45).理由如下：∵∠MAP＝90°，∴经过A，P，M三点的圆N 以MP为直径，其方程为(x－b)2＋(y－b＋42)2＝4b2＋（b－4）24，即(2x＋y－4)b－(x2＋y2－4y)＝0.由{2x＋y－4＝0，x2＋y2－4y＝0，解得{x＝0，y＝4或{x＝85，y＝45.∴圆N过定点(0，4)，(85，45).(3)由(2)得圆N的方程为(x－b)2＋(y－b＋42)2＝4b2＋（b－4）24，即x2＋y2－2bx－(b＋4)y＋4b＝0，①又圆M：x2＋(y－4)2＝4，即x2＋y2－8y＋12＝0，②②－①，得圆M与圆N的相交弦AB所在直线的方程为2bx＋(b－4)y＋12－4b＝0，∴点M到直线AB的距离d＝45b2－8b＋16，∴|AB|＝24－d2＝41－45b2－8b＋16＝41－45(b－45)2＋645，∴当b＝45时，|AB|有最小值，为11.。
高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册《第二章 直线和圆的方程》章节练习(含解析)
人教A版（2019）选择性必修第一册《第二章直线和圆的方程》章节练习一、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）直线l经过两条直线3x+4y−5=0和3x−4y−13=0的交点，且与直线x+ 2y+1=0垂直，则l的方程是()A. 2x+y−7=0B. 2x−y−7=0C. 2x+y+7=0D. 2x−y+7=02.（5分）到直线2x+y+1=0的距离为√55的点的集合是()A. 直线2x+y−2=0B. 直线2x+y=0C. 直线2x+y=0和2x+y−2=0D. 直线2x+y=0和2x+y+2=03.（5分）直线√3x+y−1=0的倾斜角是()A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘4.（5分）过P(2,−2)的直线l与圆(x−1)2+y2=1相切，则直线l的方程为()A. 3x+4y+2=0或y=−2B. 4x+3y−2=0或y=−2C. 3x+4y+2=0或x=2D. 4x+3y−2=0或x=25.（5分）若方程x2+y2−x+y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是()A. m<12B. m>12C. m<0D. m⩽126.（5分）直线x+√2y−1=0的斜率是()A. √2B. −√2C. √22D. −√227.（5分）已知直线m过点A(2,−3)，且在两个坐标轴上的截距相等，则直线m的方程是()A. 3x+2y=0B. x+y+1=0C. x+y+1=0或3x+2y=0D. x+y−1=0或3x−2y=08.（5分）直线x+2y+3=0在y轴上的截距为()A. 32B. 3 C. −3 D. −32二、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“若A、B为平面上相异的两点，则所有满足：|PA||PB|=λ(λ>0,且λ≠1)的点P的轨迹是圆“，后来人们称这个圆为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系xOy中，A(−2,0)，B(4,0)，若λ=12，则下列关于动点P的结论正确的是()A. 点P的轨迹方程为x2+y2+8x=0B. ΔAPB面积的最大值为6C. 在x轴上必存在异于A、B的两定点M、N，使得|PM||PN|=12D. 若点Q(−3,1)，则2|PA|+|PQ|的最小值为5√210.（5分）已知双曲线C：x2−y24=1，则()A. 双曲线C的离心率等于焦距的长B. 双曲线y2−x24=1与双曲线C有相同的渐近线C. 双曲线C的一条准线被圆x2+y2=1截得的弦长为4√55D. 直线y=kx+b(k,b∈R)与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，211.（5分）已知圆C：(x−1)2+(y−2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0.下列命题正确的有()A. 直线l与圆C可能相切B. y轴被圆C截得的弦长为4√6C. 直线l被圆C截得的最短弦长为2√5D. 直线l被圆C截得弦长最短时，直线l的方程为2x−y−5=012.（5分）设有一组圆C k:(x−1)2+(y−k)2=k4(k∈N∗).下列四个命题正确的是()A. 存在k，使圆与x轴相切B. 存在一条直线与所有的圆均相交C. 存在一条直线与所有的圆均不相交D. 所有的圆均不经过原点13.（5分）过点P(-1,1)的直线l与圆x2+y2+4x=0相交于A,B两点，当|AB|取得最值时，直线l的方程是()A. x-y+2=0B. x-y=0C. x-y-2=0D. x+y=0三、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）圆x2+y2+x=0与圆x2+y2−2y=0的公共弦所在的直线方程为______．15.（5分）已知点A(0,2)关于直线l的对称点为B(4,0)，点C(6,3)关于直线l的对称点为D(m,n)，则m+n= ______ ．16.（5分）已知点P(1,3)，点Q(−1,2)，点M为直线x−y+1=0上一动点，则|PM|+|QM|的最小值为______ .17.（5分）设直线l：3x+4y+4=0，圆C：(x−2)2+y2=r2(r>0)，若圆C上存在两点P，Q，直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，则r的取值范围是______.18.（5分）过点P(3,4)且与直线2x−y+1=0平行的直线方程为 ______.四、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知线段AB两个端点的坐标为A(2,4)，B(3,2)，点P(x,y)是线段AB上一个动点．(1)求yx 的最大值和最小值． (2)求y−x y+x 的取值范围．20.（12分）已知圆心在原点的圆被直线y =x +1截得的弦长为√14． (1)求圆的方程；(2)设动直线y =k(x −1)(k ≠0)与圆C 交于A ，B 两点，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得AN 与直线BN 关于x 轴对称？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．21.（12分）圆心为C 的圆经过点A (0,2)和点B (2,0)，且圆心C 在直线l 1:2x −y −4=0上.(Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅰ)求直线l 2:3x +4y −8=0被圆C 截得的弦的长度.22.（12分）如图，A(m,√3m)和B(n,−√3n)两点分别在射线OS 、OT 上移动，且OA →.OB →=−12，O 为坐标原点，动点P 满足OP →=OA →+OB →． (Ⅰ)求m ⋅n 的值；(Ⅱ)求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？(Ⅲ)若直线l 过点E(2,0)交(Ⅱ)中曲线C 于M 、N 两点，且ME →=3EN →，求l 的方程．23.（12分）已知圆M ：x 2+y 2−2x −2y −2=0，直线L 过点P(2,3)且与圆M 交于A ，B 两点，且|AB |=2√3，求直线L 的方程．答案和解析1.【答案】B;【解析】该题考查直线方程的求解，涉及直线的交点和直线的垂直问题，属基础题．先解方程组求出交点，然后利用垂直得到斜率，然后求出方程即可．解：联立方程{3x+4y−5=03x−4y−13=0，解得x=3，y=−1，故所求直线l过点(3,−1)，由直线x+2y+1=0的斜率为−12，可知l的斜率为2，由点斜式方程可得：y+1=2(x−3)，即2x−y−7=0，故选B．2.【答案】D;【解析】设点(x,y)满足条件，则√22+1=√55，整理得2x+y=0和2x+y+2=0，故选D.3.【答案】C;【解析】此题主要考查直线的倾斜角的求法，是基本知识的应用.首先求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可.解：设直线的倾斜角为α.因为直线√3x+y−1=0的斜率为−√3，所以tanα=−√3，α=120∘，故选C.4.【答案】D;【解析】解：圆(x−1)2+y2=1的圆心为(1,0)，半径为1，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，圆心(1,0)到l的距离为1，满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x−2)−2，即kx−y−2k−2=0，因为直线l与圆(x−1)2+y2=1相切，所以√k2+1=1，解得k=−34，此时直线l的方程为4x+3y−2=0，综上，直线l的方程为4x+3y−2=0或x=2.故选：D.分直线l的斜率不存在和存在两种情况分类讨论，从而可得直线l的方程．此题主要考查圆的切线方程，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于基础题．5.【答案】A;【解析】解：方程x2+y2−x+y+m=0即(x−12)2+(y+12)2=12−m，此方程表示圆时，应有12−m>0，解得m<12，故选：A．方程x2+y2−x+y+m=0即(x−12)2+(y+12)2=12−m，此方程表示圆时，应有12−m>0，由此求得实数m的取值范围．这道题主要考查求圆的标准方程，二元二次方程表示圆的条件，属于基础题．6.【答案】D;【解析】由直线一般式的斜率计算公式即可得出．该题考查了直线的斜率，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解：直线x+√2y−1=0的斜率k=√2=−√22．故选：D．7.【答案】C;【解析】解：①当直线经过原点时，直线方程为y=−32x，即3x+2y=0；②当直线不经过原点时，设所求的直线方程为x+y=a，则a=2−3=−1，因此所求的直线方程为x+y+1=0．综上所述，直线m的方程是3x+2y=0或x+y+1=0．故选：C．分类讨论：当直线经过原点时，当直线不经过原点时两种情况，求出即可．该题考查了截距式、分类讨论等基础知识，属于基础题．8.【答案】D;【解析】此题主要考查直线方程的截距的概念，属于基础题.利用直线方程的截距的概念，令x=0，则y=−32，即可求解；解：因为直线x +2y +3=0， 令x =0，则y =−32，所以在y 轴上的截距为−32. 故选D.9.【答案】ACD;【解析】解：对于选项A ，设P(x,y)，因为P 满足|PA ||PB |=12，所以√(x+2)2+y 2√(x−4)2+y2=12， 化简得x 2+8x +y 2=0，故A 正确；对于选项B ，由选项A 可知，点P 的轨迹方程为x 2+y 2+8x =0，即(x +4)2+y 2=16，所以点P 的轨迹是以(−4,0)为圆心，4为半径的圆， 又|AB |=6，且点A ，B 在直径上，故当点P 到圆的直径距离最大的时候，ΔPAB 的面积最大值， 因为圆上的点到直径的最大距离为半径，即ΔPAB 的高的最大值为4， 所以ΔPAB 面积的最大值为12×6×4=12，故B 错误；对于选项C ，假设在x 轴上存在异于A ，B 的两定点M ，N ，使得|PM ||PN |=12， 设M(m,0)，N(n,0)， 故√(x−m)2+y 2√(x−n)2+y 2=12，即√(x −n)2+y 2=2√(x −m)2+y 2，化简可得x 2+y 2=8m −2n 3x +4m 2−n 23=0.又点P 的轨迹方程为x 2+y 2+8x =0，可得{−8m −2n3=84m 2−n 23=0，解得{n =−12或{n −4(舍去)，故存在异于A ，B 的两定点M(−6,0)，N(−12,0)，使得|PM ||PN |=12，故C 正确；对于选项D ，因为|PA ||PB |=12，所以2|PA |=|PB |，所以2|PA |+|PQ |=|PB |+|PQ |，又点P 在圆x 2+8x +y 2=0上， 如图所示，所以当P，Q，B三点共线时2|PA|+|PQ|取最小值，此时(2|PA|+|PQ|)min=|BQ|=√[4−(−3)]2+(0−1)2=5√2，故D正确．故选：ACD.设出点P的坐标，根据|PA||PB|=12即可求出点P的轨迹方程，即可判断选项A是否正确；根据点A(−2,0)，B(4,0)的位置关系和圆的性质，即可求出ΔAPB面积的最大值，进而判断选项B是否正确；设M(m,0)，N(n,0)，根据|PM||PV|=12可求出点P的轨迹方程，再与x2+y2+8x=0方程进行对比，根据系数关系，列出方程组，即可求出m，n值，进而判断选项C是否正确；由题意可知2|PA|=PB，所以2|PA|+|PQ|=|PB|+|PQ|，当P，Q，B三点共线时，2|PA|+|PQ|取最小值，最小值为|BQ|，由此即可判断选项D是否正确．此题主要考查了轨迹方程，圆的方程以及与圆有关的最值问题，属于中档题．10.【答案】CD;【解析】此题主要考查双曲线的几何性质，考查直线和圆相交所得弦的弦长，考查直线和双曲线的位置关系，属于中档题.根据双曲线的几何性质，直线和双曲线的位置关系，直线和圆的位置关系等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.解：由双曲线C方程可知，a=1，b=2，c=√5，所以离心率e=ca=c≠2c，故A不正确;双曲线C的渐近线方程为y=±bax=±2x，而双曲线y2−x24=1的焦点在y轴上，渐近线方程为y=±12x，二者渐近线方程不同，所以B错误;圆x2+y2=1的圆心(0,0)到双曲线C的准线y=±a2c =±√55的距离为√55，所以准线被圆x 2+y 2=1截得的弦长为2×√12−(√55)2=2√45=4√55， 故C 正确;由直线与双曲线的位置关系可知直线y =kx +b 与双曲线C 的公共点个数只可能为0，1，2，故D 正确. 故选：CD .11.【答案】BD;【解析】解：将直线l ：(2m +1)x +(m +1)y −7m −4=0整理为(x +y −4)+m(2x +y −7)=0，令{2x +y −7=0，解得{y =1， 故无论m 为何值，直线l 恒过定点D(3,1)， ∵圆C ：(x −1)2+(y −2)2=25， ∴圆C(1,2)，半径r =5，∵|CD |=√(1−3)2+(2−1)2<5， ∴定点D 在圆内，直线l 与圆相交，故A 错误， ∵圆C ：(x −1)2+(y −2)2=25，∴令x =0，则(y −2)2=24，解得y =2±2√6， 故y 轴被圆C 截得的弦长为4√6，故B 正确， 圆心C(1,2)，r =5，CD =√5，当截得的弦长最短时，l ⊥CD ，k CD =−12，则直线l 的斜率为2，最短弦长为2√52−(√5)2=4√5，故C 错误，故此时直线l 的方程为y −1=2(x −3)，即2x −y −5=0，故D 正确． 故选：BD .先求出直线l 的定点，通过两点之间的距离公式，可判断该定点在圆内，即可求解A 选项，令x =0，则(y −2)2=24，解得y =2±2√6，即可求解B 选择，结合椭圆最短弦的性质，即可求解CD 选项．此题主要考查直线与圆的位置关系，考查最短弦问题，属于中档题．12.【答案】ABD; 【解析】此题主要考查了圆的标准方程和直线与圆的位置关系，考查推理能力和计算能力，属于一般题．当k =1时A 正确；对于B 、存在直线 x =1；由于所有直线与圆都相交，故C 错误；将(0,0)代入即可判断D 错误.解：对于A：存在k，使圆与x轴相切⇔k=k2(k∈N∗)有正整数解⇔k=1，故A正确；对于B：因为圆心(1,k)恒在直线x=1上，故B正确；对于C：当k取无穷大的正数时，半径k2也无穷大，因此所有直线与圆都相交，故C不正确；对于D：将(0,0)代入得1+k2=k4，即1=k2(k2−1)，因为右边是两个相邻整数相乘为偶数，而左边为奇数，故方程恒不成立，故D正确．故选ABD.13.【答案】AD;【解析】此题主要考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.分|AB|取得最小值和最大值两种情况，求出直线l的斜率，从而求得直线l的方程.解：圆x2+y2+4x=0即圆(x+2)2+y2=4，是以C(−2,0)为圆心，r=2为半径的圆，k PC=1=1，−1+2过点P(−1,1)的直线l与圆x2+y2+4x=0相交于A,B两点，点P(−1,1)在圆内，当|AB|取得最小值时，AB⊥PC,即k PC.k AB=−1，∴k AB=−1，直线l的方程是y−1=−(x+1)，即x+y=0，当|AB|取得最大值时，直线l经过圆心C，k AB=k PC=1，∴直线l的方程是y−1=x+1，即x−y+2=0，故选AD.14.【答案】x+2y=0;【解析】解：圆x2+y2+x=0与圆x2+y2−2y=0的公共弦所在的直线方程即为两圆方程相减可得：即为x+2y=0．故答案为：x+2y=0．两圆公共弦即为方程相减．该题考查公共弦方程，为基础题．;15.【答案】335【解析】该题考查直线关于点、直线对称的方程，根据题意，得到折痕为A，B的对称轴；也是C，D的对称轴，求出A，B的斜率及中点，求出对称轴方程，然后求出C，D的斜率令其等于对称轴斜率的负倒数，求出C，D的中点，将其代入对称轴方程，列出方程组，求出m，n的值，得到答案．解：根据题意，得到折痕为A(0,2)，B(4,0)的对称轴；也是C(6,3)，D(m,n)的对称轴，AB的斜率为k AB=−12，其中点为(2,1)，所以图纸的折痕所在的直线方程为y−1=2(x−2)所以k CD=n−3m−6=−12，①CD的中点为(m+62,n+32)，所以n+32−1=2(m+62−2)②由①②解得m=65，n=275，所以m+n=335．故答案为：335．16.【答案】3;【解析】利用对称思想方法求距离最值问题，考查转化思想和计算能力，属于中档题．由已知可判断P，Q在已知直线的两侧，求出P关于直线的对称点P′的坐标，根据对称性转化为|P′M|+|QM|的最小值的问题，利用两点之间的路程已知线段为最短得到问题的答案．解：设P(1,3)关于直线的对称点的坐标为P′(a,b)，根据PP′与已知直线垂直，并且线段PP′的中点做已知直线上，∴{b−3a−1=−11+a 2−3+b2+1=0，∴a=2，b=2，∴P′(2,2)，由于P′与Q的纵坐标相同，∴|PM|+|QM|=|P′M|+|QM|的最小值为|P′Q|=2+1= 3，故答案为3.17.【答案】[√2,+∞);【解析】此题主要考查直线和圆的位置关系，转化思想是解决问题的关键，属中档题.由切线的对称性和圆的知识将问题转化为MC⊥l时，使得过M作圆的两条切线，切线夹角大于等于90°即可．解：圆C：(x−2)2+y2=r2，圆心为：(2,0)，半径为r，∵在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，∴在直线l上存在一点M，使得过M作圆的两条切线，切线夹角大于等于90°，∴只需MC⊥l时，使得过M作圆的两条切线，切线夹角大于等于90°即可∵C到直线l：3x+4y+4=0的距离2，则r⩾2×sin45°=√2.故答案为[√2,+∞).18.【答案】2x-y-2=0;【解析】解：设与直线2x−y+1=0平行的直线的方程为2x−y+c=0，由点P(3,4)在直线2x−y+c=0上，可得c=−2，故直线的方程为2x−y−2=0.故答案为：2x−y−2=0.设与直线2x−y+1=0平行的直线的方程为2x−y+c=0，由点P(3,4)在直线2x−y+c=0上，求出c，再确定直线的方程．此题主要考查的知识要点：直线的方程的求法，平行直线系的应用，主要考查学生的运算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)如图所示，其中A(2,4)，B(3,2)，则yx =y−0x−0可看作是直线OP的斜率，由图知，k OB⩽k OP⩽k OA，而k OB=23，k OA=2，所以(yx )max=2，(yx)min=23；(2)因为yx ∈[23,2]，所以y−xy+x=yx−1yx+1=yx+1−2yx+1=1−2yx+1∈[−15,13]，所以y−xy+x 的取值范围是[−15,13].;【解析】此题主要考查直线斜率几何意义的应用，(1)依题意，yx =y−0x−0可看作是直线OP的斜率，由图知，k OB⩽k OP⩽k OA，从而求得最值.(2)由(1)知y x∈[23,2]，所以y−x y+x=1−2y x+1，从而求得结果.20.【答案】解：（1）圆心（0，0）到直线y=x+1的距离为d=√2由圆的性质可得r 2=d 2+（√142）2=4 ∴圆的方程为：x 2+y 2=4．（2）设N （t ，0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 由{x 2+y 2=4y =k(x −1)，得（k 2+1）x 2-2k 2x+k 2-4=0． ∴x 1+x 2=2k 21+k2，x 1x 2=k 2−4k 2+1若直线AN 与直线BN 关于x 轴对称，则k AN =-k BN ⇒y 1x 1−t+y 2x 2−t=0⇒k(x 1−1)x 1−t+k(x 2−1)x 2−t=⇒2x 1x 2-（t+1）（x 1+x 2）+2t=0⇒2(k 2−4)k 2+1−2k 2(t+1)k 2+1+2t =0，⇒t=4．∴在x 轴正半轴上存在定点N （4，0），使得AN 与直线BN 关于x 轴对称．; 【解析】(1)圆心(0,0)到直线y =x +1的距离为d =√2由圆的性质可得r 2=d 2+(√142)2=4，即可；(2)设N(t,0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).由{x 2+y 2=4y =k(x −1)，得(k 2+1)x 2−2k 2x +k 2−4=0．x 1+x 2=2k 21+k 2，x 1x 2=k 2−4k 2+1， 若直线AN 与直线BN 关于x 轴对称，则k AN =−k BN ⇒y 1x 1−t+y 2x 2−t=0⇒k(x 1−1)x 1−t+k(x 2−1)x 2−t=0即可求得t ．该题考查了圆的方程，圆的弦长的计算，定点问题，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)设圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0. 由{4+2E +F =04+2D +F =02×(−D 2)−(−E2)−4=0， 解得：{D =−8E =−8F =12，故所求圆C 的方程为x 2+y 2−8x −8y +12=0.(Ⅰ)圆心到l 2的距离为d =√32+42=4，所以弦长的一半为√20−16=2， 于是直线l 2被圆C 截得的弦的长度为4.; 【解析】此题主要考查圆的方程的求解，以及直线和圆相交时弦长公式的计算，考查学生的运算能力.(Ⅰ)利用待定系数法即可求圆C 的方程；(Ⅰ)根据直线和圆相交的弦长公式进行求解即可．22.【答案】解：（Ⅰ）由已知得 OA →.OB →=(m ，√3m).(n ，−√3n)(1分) =−2mn =−12∴m.n =14（4分）（Ⅱ）设P 点坐标为（x ，y ）（x ＞0），由OP →=OA →+OB →得(x ，y )=(m ，√3m)+(n ，−√3n)=(m +n ，√3(m −n))（5分） ∴{x =m +n y =√3(m −n)消去m ，n 可得x 2−y 23=4mn ，又因mn =14（8分） ∴P 点的轨迹方程为x 2−y 23=1(x ＞0)它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线x 2−y 23=1的右支（9分）（Ⅲ）设直线l 的方程为x=ty+2，将其代入C 的方程得3（ty+2）2-y 2=3 即（3t 2-1）y 2+12ty+9=0易知（3t 2-1）≠0（否则，直线l 的斜率为±√3，它与渐近线平行，不符合题意） 又△=144t 2-36（3t 2-1）=36（t 2+1）＞0设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则y 1+y 2=−12t3t 2−1，y 1y 2=93t 2−1 ∵l 与C 的两个交点M ，N 在y 轴的右侧 x 1x 2=（t y 1+2）（t y 2+2） =t 2y 1y 2+2t （y 1+y 2）+4 =t 2.93t 2−1+2t .−12t 3t 2−1+4=−3t 2+43t 2−1＞0∴3t 2-1＜0，即0＜t 2＜13又由x 1+x 2＞0同理可得0＜t 2＜13（11分） 由ME →=3EN →得（2-x 1，-y 1）=3（2-x 2，y 2） ∴{2−x 1=3(2−x 2)−y 1=3y 2由y 1+y 2=−3y 2+y 2=−2y 2=−12t3t 2−1得y 2=6t3t 2−1由y 1y 2=(−3y 2)y 2=−3y 22=93t 2−1得y 22=−33t 2−1消去y 2得36t 2(3t 2−1)2=−33t 2−1解之得：t 2=115，满足0＜t 2＜13（13分）故所求直线l 存在，其方程为：√15x −y −2√5=0或√15x +y −2√5=0（14分）; 【解析】(I)由向量数量积OA →.OB →=−12的坐标运算即可求得m ⋅n 的值；(II )欲求P 点的轨迹C 的方程，设点P(x,y)，只须求出其坐标x ，y 的关系式即可，由题意向量关系将x ，y 用m ，n 表示，最后消去m ，n 得到一个关系式，即得点P 的轨迹方程． (III )设直线l 的方程为x =ty +2，将其代入C 的方程得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系结合向量运算即可求得t 值，从而求得l 的方程．本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求直线方程的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力．23.【答案】解：当直线L 的斜率存在时，设直线L 的方程为y −3=k(x −2)，即kx −y +3−2k =0，作MC ⊥AB 于C ，在直角三角形MBC 中，BC =√3，MB =2， 所以MC =1，又因为MC =√k 2+1=1，解得k =34，所以直线方程为3x −4y +6=0.当直线斜率不存在时，其方程为x =2，圆心到此直线的距离也为1， 所以也符合题意，综上可知，直线L 的方程为3x −4y +6=0或x =2.; 【解析】分斜率存在和斜率不存在两种情况，分别由条件利用点到直线的距离公式，弦长公式求出斜率，可得直线L 的方程．此题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．。
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第二章 直线和圆的方程专题测试注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1．（2020·福建高二学业考试）已知直线1l ：2y x =-，2l ：y kx =，若12//l l ，则实数k =（ ） A ．－2B ．－1C ．0D ．12．（2020·洮南市第一中学高一月考）直线()()1:2140l a x a y -+++=与()2:190l a x ay ++-=互相垂直，则a 的值是（ ）. A ．-0.25B ．1C ．-1D ．1或-13．（2020·江苏省海头高级中学高一月考）直线:l (1)230m x my m ---+=（m R ∈）过定点A ，则点A 的坐标为（ ） A ．(3,1)-B ．(3,1)C ．(3,1)-D ．(3,1)--4．（2020·广东高二期末）设a R ∈，则“a =1”是“直线ax+y -1=0与直线x+ay+1=0平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件,5．（2020·黑龙江高一期末）若曲线y 与直线y ＝k （x ﹣2）+4有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦B ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．（1，+∞）D ．（1，3]6．（2020·浙江柯城。
衢州二中高三其他）已知直线x y t +=与圆()2222x y t tt R +=-∈有公共点，则()4t t -的最大值为（ ）A ．4B ．289C ．329D ．3277．（2020·广东高一期末）若两平行直线20,(0)x y m m ++=>与30x ny --=则m +n ＝（ ） A ．0B ．1C ．1-D ．2-8．（2020·北京市第五中学高三其他）过直线y ＝x 上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线l 1，l 2，当直线l 1，l 2关于y ＝x 对称时，它们之间的夹角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°二、多选题（每题不止有一个选项为正确答案，每题5分，共20分）9．（2020·江苏省苏州第十中学校高一期中）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（ ）A ．公共弦AB 所在直线方程为0x y -= B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为12+ 10．（2020·江苏徐州.高一期末）已知直线12:10,:(2)330l x my l m x y +-=-++=，则下列说法正确的是（ ）A ．若12l l //，则m =-1或m =3B ．若12l l //，则m =3C ．若12l l ⊥，则12m =-D ．若12l l ⊥，则12m =11．（2020·江苏扬州.高一期末）已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于,A B 两点，弦AB 的中点为()0,1M ，则实数a 的取值可为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．（2020·江苏省江阴高级中学高一期中）下列说法正确的是（ ） A ．直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2) B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2-C 10y ++=的倾斜角为60°D ．过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y +=第II 卷（非选择题）三、填空题(每题5分，共20分）13．（2020·湖南张家界。
高一期末）圆C 的圆心为(21),-，且圆C 与直线3450x y --=相切，则圆C 的方程为_________________.14．（2020·勃利县高级中学高一期末）经过点P （2，1）作直线l 分别交x 轴、y 轴的正半轴于A 、B 两点，当△AOB 面积最小时，直线l 的方程为_____.15．（2020·包头市田家炳中学高二期中）在圆22420x y x y +-+=内，过点1,0（）M 的最短弦的弦长为_____；16．（2019·浙江拱墅。
杭州四中高二期中）圆()()221:29C x m y -++=与圆()()222:14C x y m ++-=内切，则m 的值为______.四、解答题（17题10分，其余12分，共70分）17．（2020·福建高二学业考试）已知圆C 的方程为()()22215x y -+-=． （1）写出圆心C 的坐标与半径长；（2）若直线l 过点()0,1P ，试判断与圆C 的位置关系，并说明理由．18．（2020·勃利县高级中学高一期末）已知圆C ：（x +2）2+y 2＝5，直线l ：mx ﹣y +1+2m ＝0，m ∈R . （1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；（2）若直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.19．（2020·民勤县第一中学高一期末（理））已知圆()()22:1225C x y -+-=和直线()():211740l m x m y m +++--=.（1）证明：不论 m 为何实数，直线l 都与圆 C 相交于两点； （2）求直线被圆 C 截得的弦长最小时直线l 的方程；（3）已知点P （,x y ）在圆C 上，求22x y +的最大值.20．（2020·广东高一期末）在平面直角坐标系中，直线x +y ＝0与圆C 相切，圆心C 的坐标为(1,-1)． （1）求圆C 的方程；（2）设直线y ＝kx +2与圆C 没有公共点，求k 的取值范围；（3）设直线y ＝x +m 与圆C 交于M ，N 两点，且OM ⊥ON ，求m 的值．21．（2020·武汉市新洲区第一中学高一月考）已知圆C ：2240x y mx ny ++++=关于直线10x y ++=对称，圆心C 在第四象限，半径为1. （1）求圆C 的标准方程；（2）是否存在直线与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由.22．（2020·江苏淮安。
高一期末）平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,4P ，圆22:4O x y +=与x 轴的正半轴的交于点Q ．（1）若过点P 的直线1l 与圆O 相切，求直线1l 的方程； （2）若过点P 的直线2l 与圆O 交于不同的两点A ，B ． ①设线段AB 的中点为M ，求点M 纵坐标的最小值；②设直线QA ，QB 的斜率分别是1k ，2k ，问：12k k +是否为定值，若是，则求出定值，若不是，请说明理由．第二章 直线和圆的方程章末测试注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1．（2020·福建高二学业考试）已知直线1l ：2y x =-，2l ：y kx =，若12//l l ，则实数k =（ ） A ．－2 B ．－1C ．0D ．1【答案】D【解析】已知直线1l ：2y x =-，2l ：y kx =，因为12//l l ，所以1k =故选：D2．（2020·洮南市第一中学高一月考）直线()()1:2140l a x a y -+++=与()2:190l a x ay ++-=互相垂直，则a 的值是（ ）. A ．-0.25 B ．1C ．-1D ．1或-1【答案】D【解析】当10a +=时，1a =-，此时14:3l x =，2:9l y =-，显然两直线垂直， 当0a =时，此时1:240l x y -++=，2:9l x =，显然两直线不垂直， 当10a +≠且0a ≠时，因为12l l ⊥，所以()()()2110a a a a -+++=，解得：1a =，综上可知：1a =或1-.故选D.3．（2020·江苏省海头高级中学高一月考）直线:l (1)230m x my m ---+=（m R ∈）过定点A ，则点A 的坐标为（ ） A ．(3,1)- B ．(3,1)C ．(3,1)-D ．(3,1)--【答案】B【解析】根据直线(1)230m x my m ---+=得()230m x y x ---+=， 故直线过定点为直线20x y --=和30x -+=的交点，联立方程得2030x y x --=⎧⎨-+=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩ ，所以定点A 的坐标为()3,1A .故选：B. 4．（2020·广东高二期末）设a R ∈，则“a =1”是“直线ax+y -1=0与直线x+ay+1=0平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件,【答案】C【解析】若直线ax+y -1=0与直线x+ay+1=0平行，则21a =,且11a-≠解得1a =故选C 5．（2020·黑龙江高一期末）若曲线y与直线y ＝k （x ﹣2）+4有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦B ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．（1，+∞）D ．（1，3]【答案】A【解析】作出曲线y的图像，直线y ＝k （x ﹣2）+4恒过定点()2,4，当直线与曲线相切时，原点到直线240kx y k --+=的距离等于22=，解得34k =，由图可知， ()3401422k -<≤=--，故选：A 6．（2020·浙江柯城。
衢州二中高三其他）已知直线x y t +=与圆()2222x y t tt R +=-∈有公共点，则()4t t -的最大值为（ ）A ．4B ．289C ．329D ．327【答案】C【解析】因为()2222x y t tt R +=-∈表示圆，所以220->t t ，解得02t <<，因为直线x y t +=与圆()2222x y t tt R +=-∈有公共点，所以圆心到直线的距离d r ≤，即≤403t ≤≤，此时403t ≤≤， 因为()()()224424=-=-+=--+f t t t t t t ，在40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，所以()4t t -的最大值34329⎛⎫= ⎪⎝⎭f .故选：C7．（2020·广东高一期末）若两平行直线20,(0)x y m m ++=>与30x ny --=则m +n ＝（ ） A ．0 B ．1C ．1-D ．2-【答案】A【解析】由直线20,(0)x y m m ++=>与30x ny --=平行可得2n -=即2n =-， 则直线20,(0)x y m m ++=>与230x y +-==2m =或8m =-（舍去），所以()220m n +=+-=.故选：A.8．（2020·北京市第五中学高三其他）过直线y ＝x 上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线l 1，l 2，当直线l 1，l 2关于y ＝x 对称时，它们之间的夹角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°【答案】C【解析】如图所示，过圆心C 作CP 垂直直线y x =于点P ，直线,PA PB 分别与圆:C 22(5)(1)2x y -+-=相切，切点分别为,A B ，根据几何知识可知，直线12,l l 也关于直线CP 对称，所以直线12,l l 的夹角为APB ∠（或其补角）． 在Rt CBP中，BC =CP ==所以1sin 2BPC ∠=，而BPC ∠为锐角，即有30BPC ∠=，60APB ∠=．故选：C ．二、多选题（每题不止有一个选项为正确答案，每题5分，共20分）9．（2020·江苏省苏州第十中学校高一期中）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（ ）A ．公共弦AB 所在直线方程为0x y -= B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB1+ 【答案】ABD【解析】对于A ，由圆221:20x y x O +-=与圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，两式作差可得440x y -=，即公共弦AB 所在直线方程为0x y -=，故A 正确；对于B ，圆221:20x y x O +-=的圆心为()1,0，1AB k =，则线段AB 中垂线斜率为1-，即线段AB 中垂线方程为：()011y x -=-⨯-，整理可得10x y +-=，故B 正确； 对于C ，圆221:20x y x O +-=，圆心1O ()1,0到0x y -=的距离为2d ==1r =所以AB ==，故C 不正确；对于D ，P 为圆1O 上一动点，圆心1O ()1,0到0x y -=的距离为2d =，半径1r =，即P 到直线AB 1，故D 正确.故选：ABD10．（2020·江苏徐州.高一期末）已知直线12:10,:(2)330l x my l m x y +-=-++=，则下列说法正确的是（ ）A ．若12l l //，则m =-1或m =3B ．若12l l //，则m =3C ．若12l l ⊥，则12m =- D ．若12l l ⊥，则12m =【答案】BD【解析】直线12l l //，则3(2)0m m --=，解得3m =或1m =-，但1m =-时，两直线方程分别为10x y --=，3330x y -++=即30x y --=，两直线重合，只有3m =时两直线平行，A 错，B 正确；12l l ⊥，则230m m -+=，12m =，C 错，D 正确． 故选：BD ．11．（2020·江苏扬州.高一期末）已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于,A B 两点，弦AB 的中点为()0,1M ，则实数a 的取值可为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】AB【解析】圆C 的标准方程为：()()22125x y a ++-=-，故5a <. 又因为弦AB 的中点为()0,1M ，故M 点在圆内，所以()()2201125a ++-<-即3a <. 综上，3a <. 故选：AB.12．（2020·江苏省江阴高级中学高一期中）下列说法正确的是（ ） A ．直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2- C10y ++=的倾斜角为60°D ．过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y += 【答案】ABD【解析】32()y ax a a R =-+∈可化为()23y a x -=-，则直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)，故A 正确；令0x =，则2y =-，即直线32y x =-在y 轴上的截距为2-，故B 正确；10y ++=可化为1y =-，则该直线的斜率为，即倾斜角为120︒，故C 错误；设过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线的斜率为k 因为直线230x y -+=的斜率为12，所以112k ⋅=-，解得2k =- 则过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线的方程为22(1)y x -=-+，即20x y +=，故D 正确； 故选：ABD第II 卷（非选择题）三、填空题(每题5分，共20分）13．（2020·湖南张家界。