重庆八中高一数学期中试题

重庆八中2013—2014学年度(上)半期考试高一年级数 学 试 题数学试题共4页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的（1）集合{1,2,3,4}U =，{1,2}M =，{2,3}N =，则()U C M N =U（A ）{2}（B ）{4}（C ）{1,2,3}（D ）{1,3,4}（2）下列函数中，与函数y x =有相同图象的是（A ）y （B ）2y =（C ）y（D ）2x y x=（3）“0a =”是“(2)0a a -=”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）函数223xxy -=的单调递增区间为 （A ）(,0)-∞（B ）(,1)-∞（C ）(1)+∞，（D ）(2)+∞，（5）函数y =（A ）3()2+∞， （B ）3(,2]2（C ）[2)+∞，（D ）3(,2)(2)2+∞U ，（6）已知32x=，39log 4y =, 则2x y +的值为 （A ）1（B ）2（C ）3（D ）9（7）已知0.1 1.35log 0.3,5,0.5a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（A ）a b c << （B ）b c a << （C ）c a b <<（D ）a c b <<（8）设10<<a ，在同一直角坐标系中，函数xay -=与)(log x y a -=的图象是（9）设()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，又(1)0f -=，则()0xf x <的解集是（A ）(1,1)-（B ）(1,)+∞ （C ）(1,0)(1,)-+∞U（D ）(,1)(0,1)-∞-U（10）不等式22121log ()2x x x x ->-+的解集为（A ）1313⎫⎛-+⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭U（B ）1313⎛⎫-+-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U（C ）13⎫-⎪⎪⎝⎭（D ）13⎛+ ⎝⎭二. 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应的位置上（11）已知3(0)()4(0)5(0)x f x x x >⎧⎪==⎨⎪<⎩，则[](1)f f -=_______.（12）二次函数223x y x -+=在区间[0,3]的最大值为 .（13）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()1f x x =-，则当0x <时，()f x = ____ .（14）函数1()(0)1x f x x x -=≥+的值域是 . （15）设定义在R 上的函数1(0)()lg (0)x f x x x =⎧⎪=⎨≠⎪⎩，若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 恰有3个不同的实数解321,,x x x ，则222123x x x ++= .三. 解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （16）（本小题满分13分） 已知集合{}220A x x x =+-≤，{}21B x a x a =≤≤+.若B A ⊆，求实数a 的取值范围.（17）（本小题满分13分）解关于x 的不等式219x x ++-<.（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分．） 张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y (元/吨)与采购量x (吨)之间函数关系的图象如图中的折线段ABC 所示(不包含端点A ，但包含端点C ). （Ⅰ）求y 与x 之间的函数关系式；（Ⅱ）已知老王种植水果的成本是2800元/吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润w 最大？最大利润是多少？（19）（本小题满分12分，（I ）小问6分，（II ）小问6分）设()f x 是定义在R 上的增函数，且对任意实数,x y 均有()()()f x y f x f y -=-.（Ⅰ）求(0)f ，并证明()f x 是R 上的奇函数；（Ⅱ）若(1)2f =，解关于x 的不等式()(8)4f x f x --≤.（20）（本小题满分12分，（I ）小问5分，（II ）小问7分）设函数())f x x a R =+∈.4 8（Ⅰ）若1a =，求()f x 的值域；（Ⅱ）若不等式()2f x ≤对[8,3]x ∈--恒成立，求实数a 的取值范围.（21）（本题满分12分，（I ）小问4分，（II ）小问8分）已知函数4()log (4)4mx f x x x -=>+,01m <<. （Ⅰ）判断()f x 在定义域上的单调性，并用定义法证明；（Ⅱ）若存在4βα>>使得()f x 在[],αβ上的值域为[]log (1),log (1)m m m m βα--，求m 的取值范围.重庆八中2013—2014学年度(上)半期考试考高一年级数学试题参考答案【10】令2u x x =-，不等式221122log ()log 22x x x x u u ->-+⇔>+.在同一直角坐标系中画函数112log y x =和212y x =+的图象，由图象可知满足12y y >的x 的范围为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，即要求2102u x x <=-<，解得x ⎫⎛∈⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭U ，故选A. 二、填空题：11.3 12.613.21x +-14.[)1,1-15.200【15】由函数1(0)()lg (0)x f x x x =⎧⎪=⎨≠⎪⎩的图象知，满足()1f x =的x 有3个为110x =-，20x =，310x =；而对任意1u ≠，满足()f x u =的x 均有2个. 令()u f x =，方程0)()(2=++c x bf x f20u bu c ⇔++=. 由于方程0)()(2=++c x bf x f 恰有3个不同的实数解，所以20u bu c ++=只能有唯一解1u =，即()1f x =，所以()22222212320010010x x x ++=++=-. 三、解答题：【16】解：{}21A x x =-≤≤...........................(3分)A B B B A =⇔⊆I ,..................................(4分) 当21a a >+即1a >时，B =∅，满足B A ⊆.............(7分)当1a ≤时，若B A ⊆则221011a a a ≥-⎧⇒-≤≤⎨+≤⎩............(12分)综上，a 的取值范围为[]()1,01,-+∞U ......................(13分) 【17】解：219x x ++-<⇔2(2)(1)9x x x ≤-⎧⎨-+--<⎩或21(2)(1)9x x x -<<⎧⎨+--<⎩或1(2)(1)9x x x ≥⎧⎨++-<⎩.... (6分) 解得52x -<≤- 或21x -<< 或14x ≤<................(12分) 即原不等式的解集为()5,4-............................................(13分) 【18】解：（Ⅰ）当0 < x ≤ 20时，y = 8000......... (2分)当20 < x ≤40时，设BC 满足的函数关系式为y = kx + b ，则⎩⎨⎧20k + b = 8 00040k + b = 4 000，解得k = −200，b = 12 000，∴y = −200x + 12 000......... (5分) 所以8000(020)20012000(2040)x y x x <≤⎧=⎨-+<≤⎩..................... (6分)（Ⅱ）当0 < x ≤20时，老王获得的利润为w = (8000 − 2800)x =5 200x ≤104 000，此时老王获得的最大利润为104 000元........................ (8分) 当20 < x ≤40时，老王获得的利润为w = (−200x + 12 000 − 2800)x = −200(x 2 − 46x ) = −200(x − 23)2+ 105 800， 所以，当x = 23时，利润w 取得最大值，最大值为105 800元....... (11分)因为105 800 > 104 000，所以当张经理的采购量为23吨时，老王在这次买卖中所获得的利润最大，最大利润为105 800元.................................. (13分) 【19】解：（Ⅰ）令x y =得(0)0f =.............................. (2分)令0x =得，对任意实数y 有()(0)()()f y f f y f y -=-=-，故()f x 是R 上的奇函数........................................................... (6分)（Ⅱ）令1,1x y ==-得(2)(1)(1)(1)(1)4f f f f f =--=+=.............. (8分)[]()()(8)4(8)(2)28(2)f x f x f x x f f x f --≤⇔--≤⇔-≤，由()f x 是R 上的增函数知()28(2)282f x f x -≤⇔-≤，解得(],5x ∈-∞...(12分)【20】解：（I ）1a =时()f x x =21x t =-，则()2215()1(0)24y f x t t t t ⎛⎫==-+=--+≥ ⎪⎝⎭，故5,4y ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦........... (5分)（II）令t =2()1y f x t at ==-++，则不等式()2f x ≤对[8,3]x ∈--恒成立212t at ⇔-++≤对[2,3]t ∈恒成立...(7分) （法一）：1a t t⇔≤+对[2,3]t ∈恒成立，令1()g t t t =+，[2,3]t ∈，由鞍性函数图象性质知min 5()(2)2g t g ==， 所以min 5()2a g t ≤=即a 的取值范围为5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.......................... (12分)（法二）：210t at ⇔-+≥对[2,3]t ∈恒成立，令2()1g t t at =-+，[2,3]t ∈， ()g t 的对称轴为2at =. 若22a<即4a <，min()(2)52g t g a ==-，由min45()5202a a g t a <⎧⇒≤⎨=-≥⎩， 若232a ≤≤即46a ≤≤，2min ()()124a a g t g ==-，由2min 46()104a a a g t ≤≤⎧⎪⇒∈∅⎨=-≥⎪⎩， 若32a>即6a >，min ()(3)103g t g a ==-，由min 6()1030a a g t a >⎧⇒∈∅⎨=-≥⎩， 综上，a 的取值范围为5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦...................................... (12分)【21】解：（I ）()f x 是()4,+∞上的单调减函数......................... (1分)下用定义法证明：任取124x x <<，12121244()()log log 44m m x x f x f x x x ---=-++， 而12124444x x x x ---++()()()()()()()()()1212121212444484444x x x x x x x x x x -+-+--==++++， 124x x <<Q ，120x x ∴-<，121244044x x x x --∴-<++即12124444x x x x --<++， 又01m <<，121244log log 44m m x x x x --∴>++， 即12()()0f x f x ->，所以()f x 是()4,+∞上的单调减函数.............. (4分) （II ）若()f x 在[],αβ上的值域为[]log (1),log (1)m m m m βα--，由()f x 在()4,+∞上是减函数知4()log log (1)44()log log (1)4m m mm f m f m ββββαααα-⎧==-⎪+⎪⎨-⎪==-⎪+⎩，即22(31)4(1)0(31)4(1)0m m mm m mββαα⎧+---=⎪⎨+---=⎪⎩，即方程2(31)4(1)0mx m x m+---=有两个大于4的不相等实根，所以2012522103142(4)240mm mmmf m<<⎧⎪∆=-+>⎪⎪⎨-->⎪⎪=>⎪⎩，解得0m<<........(12分)。