[经济学]非寿险第二章

例2.1.1 （二点分布）设同类保单在保险期限内
只有索赔和不索赔两种情况，根据以往经验，索
赔的概率为p，那么，任意一份保单在保险期限 内的索赔次数X就是取值为0、1的离散型随机变 量，其分布列为：
其分布函数为： 0
F(x) 1 p
x0 0 x1
1
x 1
这种分布我们称为两点分布，或0—1分布。
定义 设（X，Y）是二维连续型随机变量，f (x, y)
, (x, y)
x R ,
R,2为它们的联合密度函数，则称 f
为Y = y时X的条件分布密度函数。
(
x
y)

f (x, y) fY (y)
,
类似地期望的计算公式：

离散型：E(X Y yj ) xi pi j i1
随机变量X分布的偏度系数 3 2 3 2
可以度量分布的对称性，当分布对称时，偏度 等于0。所以在偏度不等于0时，分布是不对称的。 当概率密度函数在右边有长的“尾巴”时，其偏 度大于0时，这时称分布是正偏斜的；当概率密度 函数在左边有长的“尾巴”时，其偏度小于0时， 这时称分布是负偏斜的。对一般非寿险业务的大 多数险种来说，因为有大额赔款的发生，所以赔 款额的分布常有明显的正偏斜。
z

FXY (z)
dz


fX (x) fY (z x)dx
EX E E(X Y) VarX Var E(X Y) E Var(X Y)
这两个性质是非寿险精算和风险理论中常用的。
2.1.6 相互独立随机变量和的分布与卷积
如果X、Y是相互独立的两个连续型随机变量，它们的概
率密度函数分别为fX (x) 、fY ( y) 那么，X+Y的分布函数为：
保险期限内，保险标的发生保险事故的次数N 的取值只能是0、1、2、…，这种只能取有限个 值或可列个值的随机变量，我们称之为离散型随 机变量。离散型随机变量除了用分布函数刻划其 规律以外，还可以用分布列来反映其分布规律。
离散型随机变量的分布列和分布函数的关系
可用下式表示：F ( x) pi xi x 离散型随机变量的分布函数是一个右连续的阶梯函数。
2.1.4 随机变量的特征函数与矩母函数
称 (t) EeitX和 M (t) EetX为r.v.X的特征函
数和矩母函数。
随机变量的分布函数和特征函数是相互唯 一确定的 。矩母函数不一定总是存在，但 由于其避免了复数，使用起来比较方便，因 此在风险理论和非寿险精算中更多得使用矩 母函数。
矩母函数具有的性质：
第二章 损失分布
损失和赔款
损失指的是保险标的在保险事故中遭到的 实际损失额。常用一个随机变量来描述。
保险公司的赔款额是由保险标的的实际损失 所决定的，但又并不总等于保险标的的损失 额。
§2.1 研究损失分布的数学工具
2.1.1 随机变量及其分布
随机变量及其分布 : 用X、Y、Z等大写字母表示随机变量;随机变
设X的矩母函数
在原点的某邻域 | t | r 有定义（因为
在原点总有定义）,则
（1）X的分布函数由其矩母函数唯一确定；
（2）X的k阶原点矩 k EX k M (k)(0)，k=1、2、… ,由此得 到矩母函数 的Taylor展开式为：
M (t )


k
k 0
tk k!
| t | r
矩母函数？
2.1.5 条件分布、条件期望和条件方差
定义 设（X，Y）是二维离散型随机变量，Pij , i = 1、
2、… , j = 1、2、… 为它们的联合分布列，则称 pi j
i = 1、2、… 为Y y j 时X的条件分布列。
pij p j
,
类似地，可定义X xi 时Y的条件分布列。
随机变量的分布函数、分布列和密度函数 全面刻划了随机变量的分布规律，然而，有 时更需要反映随机变量分布的主要特征，如 随机变量的平均取值、离散程度等等，这就 是随机变量的数学期望、方差等数字特征。
记 k EX k 为随机变量X的k阶原点矩 ； 记k E(X EX )k 为随机变量X的k阶中心 矩。

连续型： E(X Y y) xf (x y)dx
(2.1.13) (2.1.14)
条件方差
：
Var(
X
Y

y
j
)

E(
X
2
Y

y
j
)

E(
X
Y

y
j
)2
如果在条件期望和条件方差中Y不取定,那么E(X Y)和Var(X Y)
都是随机变量Y的函数，因而也是随机变量。关于这两个随 机变量有如下重要性质：
量X的分布函数，记作F（x）= P (Xx) ，xR .
例：用X表示保险标的的损失额，a表示合同规 定的免赔额，则保险公司承担保险责任的概率为 P（X>a）=1－F(a)。又损失不超过b（b>a）且 保险公司承担保险责任的概率
P(a<X≤b)= F(b) － F(a) 。
2.1.2 离散型随机变量和连续型随机变量
在非寿险精算中，一次事故的损失额或 者保险期限内的全部损失额X的取值范
围是一个区间（0，+∞ ），象这种取
值布满某个区间，并且有密度函数的随 机变量，我们称为连续型随机变量。与 离散型随机变量的分布列相对应，连续 型随机变量可用密度函数来描述其概率 分布。
例2.1.2 （均匀分布）如果某类保单的免赔额为a,
保险金额为b(0<a<b), 赔款额取[a,b]中的每个值
是等可能的，那么赔款额X就是一个在[a,b]均匀分
布的随机变量，其密度函数为：
1
f
(x)

b

a
axb
0
其他
其分布函数为：
0
F
(x)


x b

a a
1
xa a xb xb
2.1.3 随机变量的数字特征
（3）若
为相互独立的随机变量，MX1(t)、MX2 (t) MXn (t)分
别为它们的矩母函数，则它们的和
的矩母函数
MS (t) MX1 (t) MX2 (t) MXn (t)
(4)若Y = aX+b, 其中 a、b为常数，则随机变量Y的矩母函
数为：
MY (t) ebtM X (at)
例：以λ 为参数指数分布函数F为(x) 1 ex , x 0