第二讲函数的概念、定义域与表示

第二讲：函数的概念、定义域与表示一、基础知识
1．函数
⑴定义：设A、B都是非空数集，f：x→y
是从A到B的一个对应法则，若A中的任一元素x在B中都有惟一元素y与之对应，则称f：A→B为函数，记作y=f(x)，其中A叫做函数的定义域，y的集合C叫
C ）
做函数的值域.（B
注意：①A必须用完，B可以有余
②一对一，多对一是函数。

但一对多
不是函数
2、．映射
设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任一个元素a，在集合B中都有唯一的元素b和它对应，则这样的对应叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B.b叫做a的象，a叫做b的原象.
注意:①映射是函数的推广
②函数是特殊的映射
3、函数的三要素：①定义域②对应法则③值域
4、函数的表示方法：①解析法②列表法③图象法
5、求函数解析式的方法：
（1）定义法⑵换元法（配凑法）
⑶待定系数法⑷函数方程法等
6、函数的定义域：
未加特殊说明，函数的定义域就是指使函数有意义的自变量x的取值的集合.
（1）求函数定义域的主要依据：
①分式的分母不为零；
②偶次方根的被开方数不小于零，零的零次方没有意义；
③对数函数的真数必须大于零； ④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；
⑤三角函数中的正切函数
tan (,,)
2
y x x R x k k Z π
π=∈≠+
∈且
⑥如果函数是有实际意义确定的解析式，应根据自变量的实际意义确定其取值范围。

注意：如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是由各
基本函数定义域的交集. ⑵复合函数定义域：
①[])(x g f 的定义域的定义域为[],a b ，指的是
[],x a b ∈，如(31)f x -的定义域为[]1,2
，指的
是[]1,2x ∈
②已知f (x )的定义域为[],x a b ∈,其复合函数[])(x g f 的定义域应由不等式b x g a ≤≤)(解出.
二、应用举例：
例1.下列各组函数中，表示相同函数的是
()()()x x g x
x f A ln 2,ln 2
==；
()()()()x x g a a a x f B x a
=≠>=,1,0log
()()()[]
1,1(1,12
-∈-=-=x x x g x x f C ()()()3
3
),
1,0(log
x x g a a x f D x a a
=
≠>=
练习：下列各对函数中，相同的是（ ）
()()()3
3
2
,x x g x x f A ==
()()()()()1
B lg
,lg 1lg 11
x f x g x x x x -==--++ ()(
)(
)C f u g v =
=
(D)()()
f x
g x
==
例2.下列对应是否为从A到B的映射？能否构成函数？
()
1
1
:
,
,
1
+
=
→
=
=
x
y
x
f
R
B
R
A
()
a
b
a
f
N
n
n
b
b
B
N
a
a
A
1
:
,
,
1
,
2
1
2=
→
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∈
=
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∈
=*
(){}{} 3,, :
A B
f
αα
==
平面内的矩形平面内的圆作矩形的外接圆
练习：{}{}20,20≤≤=≤≤=y y N x x M 给出的四个图形，其中能表示集合M 到N 的函数关系的有（ ）
A 、 0个
B 、1个
C 、2个
D 、3个
例3.函数⎪⎩
⎪⎨⎧≥<<-=-)0(,)01(),sin()(1
2
x e x x x f x π 2)()1(=+a f f 若则a 的所有可能值为( )
A .1
B .1,2
2- C .2
2
- D .1, 2
2
练习：
()()
2
2(1)2(12)
22
x x f x x x x x ⎧
⎪+≤-⎪
=-<<⎨⎪⎪≥⎩已知函数 ()⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-471f f f 求 ()().,32的值求若a a f =
例4、求下列函数的定义域
()()x
x x
x x y ---+=
2
5611
()x x y cos lg 2522
+-=
例5、⑴(2)y f x =-的定义域为[0，1]，求
()y f x =的定义域
⑵若函数(2)x
y f =的定义域为[-1，1]，
求2
(log )x y f =的定义域
练习：已知函数f (x )的定义域为[]1,1-，求
函数()⎪⎭⎫
⎝⎛+a x f ax f 的定义域（其中a 为正
常数）.
例6、根据下列条件，分别求出函数的解析式
⑴已知f (1-c o s x )=s i n 2
x ，求f (x )；
⑵已知f (
x +1)=x +2x ，求f (x )，f (x 2)； ⑶已知2f (x )+f (x 1)=10x
，求f (x )。

⑷已知f (x )=3x -1, f [h (x )]=g (x )=2x +3, h (x )为
x 的一次函数，求h (x ).
例7、 已知f (x )是R 上的奇函数,且当x ∈(-∞,0)时,f (x )= -x .l g (2-x ),求f (x )的解析式
练习：已知f (x )是定义在[]6,6-上的奇函数，
它在[]3,0上是一次函数，在[]6,3上是二次函数，且当[]6,3∈x 时，()()35=≤f x f ，()26=f ,求f (x )的解析式.。