2015-2016学年高中数学 第1章 4简单计数问题课件 北师大版选修2-3
[反思总结]
本题考查计数原理与排列数公式的应用，常
分为对点、线段的染色和对区域的染色两类，对点、线段的染 色要注意依次染色，主要方法有：①根据共用了多少种颜色分 类讨论；②根据相对的点或线段是否同色讨论，对区域的染色 可以根据所用颜色种数对区域进行染色，也可以对各区域逐个 分步染色．
如图，用 4 种不同的颜色涂入图中的矩形 A、B、C、D 中， (四种颜色可以不全用也可以全用)要求相邻的矩形涂色不同， 则不同的涂法有( ) A C D A.72 种 C．24 种
理与分步乘法计数原理是关于计数的两个基本原理，它们不仅 是推导排列数公式和组合数公式的基础，而且其应用贯穿于排 列与组合的始终．学好两个计数原理是解决排列与组合应用题 的基础．切记：排组分清(有序排列、无序组合)，加乘明确(分
类为加、分步为乘).
1.从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比 赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为( )
[ 分析 ]
可以根据所用颜色种数对所染元素进行分类染
色，也可根据据所需染色元素进行分类，逐个染色．
[解析] 方法一：满足题设条件的染色，至少需要 3 种颜 色． ①若用 3 种颜色，则青海与云南染同色，可把两省(区)看 作同一省(区)，共有 A3 4＝24(种)方法； ②若用 4 种颜色，则有 A4 4＝24(种)方法． 综上知，共有 24＋24＝48(种)染色方法． 方法二：逐个给各省(区)染色．给四川染色有 4 种方法， 给青海染色有 3 种方法，给西藏染色有 2 种方法，给云南染色 有 2 种方法，根据乘法原理，不同的染色方法共有 4×3×2×2 ＝48(种)．
2 到 7 级的台阶上”有 C1 A 3 7种不同的站法． 1 2 因此不同的站法种数是 A3 ＋ C 7 3A7＝336.
课堂典例探究
与染色有关的计数问题 如图所示，现有4 种颜色给四川、青海、西藏、云南 四省(区)的地图染色，每一个省
( 区 ) 只染一种颜色，要求相邻的省
( 区 ) 染不同的色，则不同的染色方 法有多少种？
2 2 角线不能构成异面直线，故共有 C2 － 12C － 8C 28 6 3＝174 对异面
直线．
方法二：因为一个三棱锥的 6 条棱中有且仅有 3 对异面直 线，而一个正方体的 8 个顶点中取 4 个点的取法有 C4 8种，上述 12 个底面、侧面和对角面每个面的 4 个顶点不能构成三棱锥， 故一个正方体的 8 个顶点可构成 C4 所以一 8－12＝58 个三棱锥， 个正方体中符合题设要求的异面直线共有 3· (C4 8－12)＝3×58＝ 174 对．
答)．
[答案] 264
[解析] 由条件上午不测“握力”，则 4 名同学测四个项 目，则 A4 4；下午不测“台阶”但不能与上午所测项目重复，如 甲 乙 丙 丁
上午 台阶 身高 立定 肺活量 下午 ，下午甲测“握力”乙丙丁所测不与上午重复有 2 种，甲 测“身高”、“立定”、“肺活量”中一种，则 3×3＝9，故 A4 4(2＋9)＝264 种．
(3)排列数与组合数的联系． 求从 n 个不同元素中取出 m 个 元素的排列数 Am n ，可以分为以下两步：第一步，先求出从这 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 Cm n ；第二步，求每一个 组合中 m 个元素的全排列数 Am m根据分步乘法计数原理，得到
m m Am ＝ C n n A m . 从这一过程中可得出排列与组合的另一重要联
第一章
计数原理
第一章
§4 简单计数问题
1
课前自主预习
2
课堂典例探究
3
课 时 作 业
课前自主预习
能选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理，应用有关 排列、组合的知识解决一些简单的实际问题．
本节重点：两个计数原理、排列组合知识．
本节难点：用好两个计数原理和排列、组合的知识.
1.从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素后， 剩下 n－m 个 元素．因为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的每一个组合，与
顺序无关．
(2)排列与组合的共同点，就是都要“从n个不同元素中， 任取m(m≤n) 个元素”，而不同点在于元素取出以后，是“排 成一排”，还是“组成一组”．其实质就是取出的元素是否存 在顺序上的差异．因此，区分排列问题和组合问题的主要标志
是：是否与元素的排列顺序有关，有顺序的是排列问题，无顺
序的是组合问题，例如 123 、 321 和 132 是不同的排列，但它们 都是相同的组合．再如两人互寄一次信是排列问题，互握一次 手则是组合问题．
捆绑法，也就是将相邻的若干元素“捆绑”在一起，看作一个
大元素，与其他的元素进行全排列；然后再“松绑”，将被 “捆绑”的若干个元素内部进行全排列．
(2)插空法：解决“若干元素不相邻”，也就是“若干元素
间隔”的排列问题时，往往先排列好个数较少的元素，再让其 余元素插排在它们之间或两端的空位中．否则，若先排个数较 多的元素，再让其余元素插空排列时，往往个数较多的元素有 相邻的情况．插空法与捆绑法有同等作用．
一一对应 ，所以从 n 个不同 剩下的 n－m 个元素的每一个组合_________
元素中取出 m 个元素的组合数，等于从这 n 个元素中取出 n－
Cn ＝Cn m 个元素的组合数，即：__________.
m n－m
2．从 a1，a2，„，an＋1 这 n＋1 个不同的元素中取出 m 个
m C n＋1 ，这些组合可分为两类：一类含有 a1，一类不 的组合数是_____
2 2 [解析] 分两类：若 1 与 3 相邻，有 A2 C1 2· 3A2A3＝72(个)， 3 若 1 与 3 不相邻有 A3 · A 3 3＝36(个)
) B．96 D．144
故共有 72＋36＝108 个．
4．有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、 “立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的 测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午 不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下 午都各测试一人，则不同的安排方式共有________种(用数字作
3．常用的解答组合问题的方法有很多，有分类法、直接
法、间接法等常用的方法，还有插空法及隔板法等特殊方 法．要解决组合问题，还可用到构造数学模型等方法．不同的
方法用以解决不同的问题，要掌握好各种方法及方法应用的背
景．
4 ．有关组合问题的题目的背景常以“几何问题”、“产 品质量抽样检测问题”、“集合问题”、“人或物的有关分配
A．50种
C．140种 [答案] D
B．51种
D．141种
4 2 [解析] 按第二天到第七天选择持平次数分类得 C6 ＋ C 6 6A2 2 2 0 3 3 ＋C2 6C4C2＋C6C6C3＝141 种．
3．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5
相邻的六位偶数的个数是( A．72 C．108 [答案] C
A．100
C．120 [答案] B
B．110
D．130
[解析] 10 人中任选 3 人的组队方案数为 C3 10＝120，没有 女生的组队方案数为 C3 5 ＝10，所以符合要求的组队方案数为 120－10＝110.
2．(2014·山西太原五中月考)如果小明在某一周的第一天
和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所 吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个” 或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水 果个数的不同选择方案共有( )
[答案] A
B
B．48 种 D．12 种
[解析] 解法 1：(1)4 种颜色全用时，有 A4 4＝24 种不同涂 色方法． (2)4 种颜色不全用时，因为相邻矩形不同色，故必须用三 种颜色，先从 4 种颜色中选 3 种，涂入 A、B、C 中，有 A3 4种 涂法，然后涂 D，D 可以与 A(或 B)同色，有 2 种涂法，∴共有 2A3 4＝48 种，∴共有不同涂色方法，24＋48＝72 种． 解法 2： 第一步涂 A 有 4 种方法， 第二步涂 B 有 3 种方法， 第三步涂 C 有 2 种方法，第四步涂 D 有 3 种方法，故共有 72 种方法.
问题”等形式出现．处理问题时常常利用分类思想．在解组合
问题及组合与排列的综合问题时，要注意准确地应用两个基本 原理；要注意准确区分是排列问题还是组合问题；要注意在利 用直接法解题的同时，也要根据问题的实际恰当地利用间接法 解题．
5．排列与组合的区别与联系：
(1)根据排列与组合的定义，前者是从n个不同元素中取出 m个不同元素后，还要按照一定的顺序排成一列，而后者只要 从n个不同元素中取出m个不同元素并成一组，所以区分某一问 题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关， 若交换任意两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题， 而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问 题．也就是说排列与选取元素的顺序有关，组合与选取元素的
法)．
4 ． 间 接 法 ： 先 不 考 虑 附 加 条 件 ， 计 算 出
全部元素的排列顺序，再减去___________________________ 不符合要求的元素的排列顺序 ． __________________ 特殊 后一 5．解排列组合综合问题，应遵循三大原则：先_____
分类 后分步的原则．充分考虑元素的性 般，先分组后排列，先_____
5．甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最
多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法 种数是________(用数字作答)． [答案] 336
[解析] 由题意分类计数：若 7 个台阶上每一个台阶只站 一人，则“3 人站到 7 级的台阶上”有 A3 7种不同的站法；若选 用 2 个台阶，有一个台阶站 2 人，另一个站 1 人，则“3 人站
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高中数学 1.4 简单计数问题同步课件 北师大版选修23
本类有 C35·C13·C12×2 种涂法．
第三类：用 5 色中的 4 色，有 C45·A44种涂法． 由分类加法计数原理，共有涂法 C25·A22＋C35·C13·C12×2＋C45·A44＝260(种)．
形规转律化方为法简易的图(1)形带．图(形2)涂的色排问列题组是合一实类际特问殊题的通排常列将组复合杂问的题图， 它通常是先分步再分类，但结合题目特点，也可以分类求解， 但无论分类还是分步，思路必须清晰．
(2)分配问题的处理途径 将n个元素按一定要求分给m个人，称为分配问题．分组 问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个 数相同是不可区分的；而后者即使两个元素个数相同，但 因人不同，仍然是可区分的．对于这类问题必须遵循先分 组后排列的原则．
题型一 涂色问题
【例1】 用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四块区域涂色， 要求相邻的区域颜色不同，每块只涂一种颜色，共有多少 种不同的涂色方法？
【训练1】用4种不同的颜色涂入图中矩形A、B、C、D中，要求相 邻的矩形涂色不同，则不同的涂色方法共有多少种？
解 (分步涂色)
A
B
C
D
第一步：给矩形 A 涂色有 C14种方法．
第二步：给矩形 B 涂色有 C13种方法． 第三步：给矩形 C 涂色有 C12种方法． 第四步：给矩形 D 涂色有 C13种方法．
解 (1)分三步，第一步先选 1 人有 C16种选法； 第二步从其余 5 人中选 2 人有 C25种选法； 第三步，最后剩余三人并成一组，有 C33种选法，共有选法 C16C25C33＝60(种)．
(2)先分三步，则应是 C62·C42·C22种方法，但是这里面出现了 重复，不妨记六个人为 A，B，C，D，E，F，若第一步取 了 AB，第二步取了 CD，第三步取了 EF，记该种分法为(AB， CD，EF)，则 C26·C24·C22种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD， AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB， CD)，共 A33种情况，而且这 A33种情况仅是 AB，CD，EF 的顺序不同，因此，只能作为一种分法，故分配方式有 C26·AC2433·C22＝15 种．
第三类：用 5 色中的 4 色，有 C45·A44种涂法． 由分类加法计数原理，共有涂法 C25·A22＋C35·C13·C12×2＋C45·A44＝260(种)．
形规转律化方为法简易的图(1)形带．图(形2)涂的色排问列题组是合一实类际特问殊题的通排常列将组复合杂问的题图， 它通常是先分步再分类，但结合题目特点，也可以分类求解， 但无论分类还是分步，思路必须清晰．
(2)分配问题的处理途径 将n个元素按一定要求分给m个人，称为分配问题．分组 问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个 数相同是不可区分的；而后者即使两个元素个数相同，但 因人不同，仍然是可区分的．对于这类问题必须遵循先分 组后排列的原则．
题型一 涂色问题
【例1】 用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四块区域涂色， 要求相邻的区域颜色不同，每块只涂一种颜色，共有多少 种不同的涂色方法？
【训练1】用4种不同的颜色涂入图中矩形A、B、C、D中，要求相 邻的矩形涂色不同，则不同的涂色方法共有多少种？
解 (分步涂色)
A
B
C
D
第一步：给矩形 A 涂色有 C14种方法．
第二步：给矩形 B 涂色有 C13种方法． 第三步：给矩形 C 涂色有 C12种方法． 第四步：给矩形 D 涂色有 C13种方法．
解 (1)分三步，第一步先选 1 人有 C16种选法； 第二步从其余 5 人中选 2 人有 C25种选法； 第三步，最后剩余三人并成一组，有 C33种选法，共有选法 C16C25C33＝60(种)．
(2)先分三步，则应是 C62·C42·C22种方法，但是这里面出现了 重复，不妨记六个人为 A，B，C，D，E，F，若第一步取 了 AB，第二步取了 CD，第三步取了 EF，记该种分法为(AB， CD，EF)，则 C26·C24·C22种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD， AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB， CD)，共 A33种情况，而且这 A33种情况仅是 AB，CD，EF 的顺序不同，因此，只能作为一种分法，故分配方式有 C26·AC2433·C22＝15 种．
高中数学 第一章 计数原理归纳整合课件 北师大版选修2
专题二 排列组合应用题的处理方法和策略
(1)认真分析题目的条件和结论，明确“完成一件事”的具 体含义，及完成这件事需要“分类”还是“分步”，还要搞清 楚问题的解决与“顺序”有无关系，以确定是排列问题还是组 合问题．解题时，可以借助示意图、表格等．
(2)常用解题策略如下：
①包含特殊元素或特殊位置的问题，采用优先法，即先考 虑特殊元素或特殊位置，特殊位置对应“排”与“不排”问题， 特殊元素对应“在”与“不在”问题．
【例3】 6个女学生(其中有一个领唱)和2个男学生，分成 两排表演．
(1)若每排4人，共有多少种不同的排法？ (2)领唱站在前排，男学生站在后排，每排4人，有多少种 不同的排法？
本题是排列组合的综合性应用问题，(1)可 以
从[思8路人探中索先]选4人排列，其余4人全排列．(2)从5个女学生 (除
去领唱)中选出3人放在前排，4人全排列，其余4人全排 列．
二项式定理的应用主要有以下几个方面： (1)近似求值．利用二项式定理进行近似计算，关键在于构 造恰当的二项式(p＋q)n，(其中|q|<1)，并根据近似要求，对 展开式的项合理取舍．
(2)解决整除问题．通常把底数化为两数的和或差的形式， 且这种转化形式与除数有密切的关系，再利用二项式定理展开， 只考虑前面或后面的一两项就可以．
本章归纳整合
专题一 对比两个计数原理，做到心中有“数”
选择使用两个原理解决问题时，要根据我们完成某件事情 采取的方式而定，怎样确定是分类还是分步，要抓住两个原理 的本质．分类加法计数原理的关键是“类”，分类时，首先要 根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下 进行分类；其次分类时要注意，完成这件事的任何一种方法必 须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方 法．
高中数学(北师大)选修2-3课件：第1章 简单计数问题 参考课件
1.(5分)（2010·重庆高考）某单位拟安排6位员工在今年6月
14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1
天，若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排
方法共有（ ）
（A）30种
（B）36种
（C）42种
（D）48种
【解析】选C.方法一：所有排法减去甲值14日或乙值16日，
A72 A66A72
(3)4个空位至多有2个相邻的情况有三类： ①4个空位各不相邻有 种坐法; ②4个空位2个相邻，另C有74 2个不相邻有 种坐法; ③ 综合4个上空述位,应分有两组,每组都=有1125个9相2邻0种,有坐C法17种C.62坐法.
C72
A66 (C74 +C17C62 +C72 )
课程目标设置
典型例题精析
知能巩固提升
一、选择题（每题5分，共15分）
1.某班有30名男生，20名女生，现要从中选出5人组成一个宣
传小组，其中男、女学生均不少于2人的选法为（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
【解C析320C】220选C146D.男生女生均不少于两人C，550 -C所350以-C5520人的组成是两个 男生C三550 -个C13女0C42生0 -C或340两C120个女生三个男生，C因330C此220 +选C法320C为320 D.
【解析】抛物线经过原点，得c=0，
当顶点在第一象限时，a<0,
-
b >0，即
2a
a<则0 有
b>0 ,
当顶点在第三象限时，a>0,
-
b<0，即
2a
共计有 =24条.
ab>>则00 ,有
【测控设计】2015-2016学年高二数学北师大版选修2-3课件：1.4 简单计数问题
-7-
§4 简单计数问题
M 目标导航 Z 知识梳理 Z 重难聚焦
UBIAODAOHANG HISHI SHULI
HONGNAN JVJIAO
D典例透析 S随堂演练
IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
分步: 事件 A 完成分类以后,对每一类要进行分步,分步要做到“步骤连续”和 “步骤独立”,这样就可以确保对每一类事件的分步不漏不重 .事件的分步对 应方法的分步.如 A1 分为 n 步 B1,B2,…,Bn,则对应的有 S1 被分为 n 种方法 S11,S12,…,S1n.其结果用分步乘法计数原理计算 . 由此可见,我们可以得到两点结论 :一,分类与分步是区别选用分类加法 计数原理和分步乘法计数原理的唯一标准 ,即分类相加,分步相乘;二,若把 事件 A 分为 n 类简单事件 A1,A2,…,An,并且完成事件 Ak 又需分作 Sk 步 (k=1,2,3,…,n),对应每一步又可有 Ski(i=1,2,3,…,n)种不同方法,这样完成事 件 A 就共有 N=(S11· S12· S13· …· S1n)+(S21· S22· S23· …· S2n)+…+(Sn1· S n2· Sn3· …· Snn) 种不同方法. (2)“有序与无序”的关系 界定排列与组合问题的唯一标准是 “顺序”,“有序”是排列问题,“无序” 是组合问题.排列与组合问题并存的时候 ,解答排列与组合问题 ,一般采用先 组合后排列的方法解答 .
-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ-
§4 简单计数问题
1 2 3 4
M 目标导航 Z 知识梳理 Z 重难聚焦
UBIAODAOHANG HISHI SHULI
HONGNAN JVJIAO
D典例透析 S随堂演练
2015-2016学年高中数学 第1章 1计数原理课件 北师大版选修2-3
A．14
C．12 [答案] B
B．13
D．10
[解析] ①当a＝0时，2x＋b＝0总有实数根， ∴(a，b)的取值有4个． ②当a≠0时，需Δ＝4－4ab≥0，∴ab≤1. a＝－1时，b的取值有4个，
a＝1时，b的取值有3个，
a＝2时，b的取值有2个． ∴(a，b)的取法有9个． 综合①②知，(a，b)的取法有4＋9＝13个.
难以计数时，利用正难则反的策略，采用间接法常能使问题化
难为易，化繁为简，给人以“柳暗花明又一村”的感觉．
4．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其 中的一个小组，则报名方法共有________种． [答案] 32 [解析] 本题关键在于弄清楚要完成的事情是什么，在这
里是5位同学(设为甲、乙、丙、丁、戊)报名参加课外活动小
5040种．
(3)分六类，每类又分两步，
从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；
从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法； 从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法； 从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法； 从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；
从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．
分步乘法计数原理
一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，
各封信均不相同． (1)从两个口袋里各取1封信，有多少种不同的取法？ (2)把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种 不同的放法？
[分析] (1)各取1封信，不论从哪个口袋里取，都不能算
完成了这件事，因此应分两个步骤完成，共有5×4＝ 20(种)．(2)把信投入邮筒，是将9封信分别投入，投一封信，就 是一步，共有49种．
1.4_简单计数问题_课件(北师大选修2-3)
2 3 5 排列，共有 C5 C4A5＝4 800.
答案：4 800
返回
1．解决排列组合综合问题，应遵循三大原则：先特
殊后一般，先分组后排列，先分类后分步的原则．充分 考虑元素的性质，进行合理的分类和分步，寻找并理解“ 关键词”的含义及其等价问题． 2．求解排列与组合问题的一般步骤 (1)把具体问题化归为排列或组合问题； (2)通过分析确定运用两个计数原理；
殊位置个位只能排偶数．
返回
[精解详析]
因组成的三位数为偶数，个位的数字必须
是偶数，又 0 不能排在首位，故 0 是其中的“特殊”元素， 应优先安排，按 0 排在个位和 0 不排在个位分为两类：①当 0 排在个位时，有 A2 4个；②当 0 不排在个位时，三位偶数有
1 1 1 1 1 1 A2 A3A3个． 由分类加法计数原理， 其中偶数共有 A2 ＋ A 4 2A3A3
[思路点拨]
(1)是平均分配问题，可以理解为一个人
一个人地来取．(2)是“均匀分组问题”．
返回
[精解详析]
(1)分 3 步完成：甲取 2 本，有 C2 6种方法，
2 乙再取 2 本，有 C2 种方法，剩余的 2 本分给丙，有 C 4 2种方
法，根据分步乘法计数原理，得
2 2 C2 6C4C2＝90 种． 2 2 (2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有 C2 C 6 4C2种方法，
种方法．
2 3 3 (2)在(1)的基础上再进行全排列， 所以一共有 C1 6C5C3A3＝
360 种方法.
返回
[例6]
(10分)现有4个不同的球，4个不同的盒子，把
球全部放入盒内： (1)共有几种放法？ (2)恰有1个空盒，有几种放法？ (3)恰有2个空盒，有几种放法？
答案：4 800
返回
1．解决排列组合综合问题，应遵循三大原则：先特
殊后一般，先分组后排列，先分类后分步的原则．充分 考虑元素的性质，进行合理的分类和分步，寻找并理解“ 关键词”的含义及其等价问题． 2．求解排列与组合问题的一般步骤 (1)把具体问题化归为排列或组合问题； (2)通过分析确定运用两个计数原理；
殊位置个位只能排偶数．
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[精解详析]
因组成的三位数为偶数，个位的数字必须
是偶数，又 0 不能排在首位，故 0 是其中的“特殊”元素， 应优先安排，按 0 排在个位和 0 不排在个位分为两类：①当 0 排在个位时，有 A2 4个；②当 0 不排在个位时，三位偶数有
1 1 1 1 1 1 A2 A3A3个． 由分类加法计数原理， 其中偶数共有 A2 ＋ A 4 2A3A3
[思路点拨]
(1)是平均分配问题，可以理解为一个人
一个人地来取．(2)是“均匀分组问题”．
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[精解详析]
(1)分 3 步完成：甲取 2 本，有 C2 6种方法，
2 乙再取 2 本，有 C2 种方法，剩余的 2 本分给丙，有 C 4 2种方
法，根据分步乘法计数原理，得
2 2 C2 6C4C2＝90 种． 2 2 (2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有 C2 C 6 4C2种方法，
种方法．
2 3 3 (2)在(1)的基础上再进行全排列， 所以一共有 C1 6C5C3A3＝
360 种方法.
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[例6]
(10分)现有4个不同的球，4个不同的盒子，把
球全部放入盒内： (1)共有几种放法？ (2)恰有1个空盒，有几种放法？ (3)恰有2个空盒，有几种放法？
高中数学北师大版选修2-3 1.4 简单计数问题 课件(26张)
������ -������ +1 ������ -������ +1
-5-
探究一
探究二
探究三
探究四
【例 1】已知 A,B,C,D,E 五个同学,按下列要求进行排列,分别求其满足 条件的排列方法数. (1)把这五个同学安排到五个空位上且 A,B 必须相邻; (2)把这五个同学安排到五个空位上且 A,B 必须相邻,C,D,E 也必须相 邻; (3)把这五个同学安排到六个空位中的五个空位上且 A,B 必须相邻. 思路分析:(1)符合“捆绑法”的要求,可直接利用“捆绑法”的解决方法 进行解题;(2)由于 A,B 必须相邻,C,D,E 也必须相邻,可考虑将这两部分各自 视为整体,先对两个整体排列,再对整体内部排列;(3)先把同学和座位绑到 一起,进行排列,然后把剩余的空座位插到已经排好的中间.
反思“捆绑法”主要是用于解决元素相邻问题的方法,解题思路
是先整体后局部.从第(2)题中我们知道只要是相邻元素问题,即使是受多个 相邻条件限制的排列问题我们都可以采取“捆绑法”.
-8-
探究一
探究二
探究三
探究四
探究二不相邻问题
解决不相邻问题的方法可以用“插空法”,即将 n 个不同的元素排成一 排,其中 k 个元素互不相邻(k≤n-k+1),求不同排法种数的方法:(1)将没有不 相邻要求的元素共(n-k)个排成一排,其排列方法有A������ -������ 种;(2)将要求两两不 相邻的 k 个元素插入(n-k+1)个空隙中,相当于从(n-k+1)个空隙中选出 k 个 分别分配给两两不相邻的 k 个元素,其排列方法有A������ ������ -������ +1 种;(3)根据分步乘 法计数原理,符合条件的排法种数有A������ -������ ·A������ ������ -������ +1 种. 【例 2】某次文艺晚会上共演出 8 个节目,其中 2 个唱歌、3 个舞蹈、3 个曲艺节目,求分别满足下列条件的排节目单的方法:(1)一个唱歌节目开头, 另一个压台;(2)两个唱歌节目不相邻;(3)两个唱歌节目相邻且 3 个舞蹈节目 不相邻.
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探究一
探究二
探究三
探究四
【例 1】已知 A,B,C,D,E 五个同学,按下列要求进行排列,分别求其满足 条件的排列方法数. (1)把这五个同学安排到五个空位上且 A,B 必须相邻; (2)把这五个同学安排到五个空位上且 A,B 必须相邻,C,D,E 也必须相 邻; (3)把这五个同学安排到六个空位中的五个空位上且 A,B 必须相邻. 思路分析:(1)符合“捆绑法”的要求,可直接利用“捆绑法”的解决方法 进行解题;(2)由于 A,B 必须相邻,C,D,E 也必须相邻,可考虑将这两部分各自 视为整体,先对两个整体排列,再对整体内部排列;(3)先把同学和座位绑到 一起,进行排列,然后把剩余的空座位插到已经排好的中间.
反思“捆绑法”主要是用于解决元素相邻问题的方法,解题思路
是先整体后局部.从第(2)题中我们知道只要是相邻元素问题,即使是受多个 相邻条件限制的排列问题我们都可以采取“捆绑法”.
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探究一
探究二
探究三
探究四
探究二不相邻问题
解决不相邻问题的方法可以用“插空法”,即将 n 个不同的元素排成一 排,其中 k 个元素互不相邻(k≤n-k+1),求不同排法种数的方法:(1)将没有不 相邻要求的元素共(n-k)个排成一排,其排列方法有A������ -������ 种;(2)将要求两两不 相邻的 k 个元素插入(n-k+1)个空隙中,相当于从(n-k+1)个空隙中选出 k 个 分别分配给两两不相邻的 k 个元素,其排列方法有A������ ������ -������ +1 种;(3)根据分步乘 法计数原理,符合条件的排法种数有A������ -������ ·A������ ������ -������ +1 种. 【例 2】某次文艺晚会上共演出 8 个节目,其中 2 个唱歌、3 个舞蹈、3 个曲艺节目,求分别满足下列条件的排节目单的方法:(1)一个唱歌节目开头, 另一个压台;(2)两个唱歌节目不相邻;(3)两个唱歌节目相邻且 3 个舞蹈节目 不相邻.
《1.4 简单计数问题》 课件 2-优质公开课-北师大选修2-3精品
号分组中分法数，即(1)中的A)，如果再有k组均匀分组应
再除以 Akk.
(3)非均匀编号分组
n个不同元素分成m组，各组元素数目均不相等，且考虑各
组间的顺序，其分法种数为A(A为非均匀不编号分组中的分
法数，即(1)中的A).
(4)均匀编号分组
n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间
的顺序，其分法种数为
③同ห้องสมุดไป่ตู้，有
C62 gC42 gC22 A33
gA33
C62种gC分24 gC法22 .
90
④共有
C64
gC12 A22
gC11
gA种33 分 9法0 .
【例】12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个 组(每组4个队)，则3个强队恰好被分在同一组的分法有 _______种． 【审题指导】本题属于分组问题，３个强队分在同一组， 即３个强队与其余９个队中的任意一个队进行组合，于是 分步考虑即可．
再取ab，最后取ef”，对应的分法是同一种组合，这里共进 行 ②了共有A次33C64，gAC故1222 gC分11种成分1三5法份.③，共每有份2本，共C种有16 gC分52 gC法C6233g.AC42336g0C22 15种分法.
(2)①先从6本书中任取1本分给甲，有C16种给法，再从余 下的5本书中任取2本，分给乙，有C52种给法，最后把余下 的3本书给丙，有 C33种给法，故共有 C16 gC52 gC种33 不 6同0 的 分配方法. ②甲、乙、丙3人谁得1本，谁得2本，谁得3本，不确定， 可考虑先分组，后分配，故共有：C16 gC52 gC33gA种33 分36法0 .
分配问题是指把元素分给指定的目标，其实质是先 分组，再排序．
1.4 简单计数问题 课件(北师大选修2-3)
1 C4C2C1 3 6 1 必须除以 m！如“1,1,4 型”中方法的种数应为 · 3； A A2 2
③完全非均匀分组，不用考虑重复现象． (3)分配问题属于“排列”问题， 分配问题可以按要求逐 个分配，也可以分组后再分配．
返回
8．在本例条件下，求解： (1)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本； (2)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人
3 A3种方法．根据分步乘法计数原理可得 C2C2C2＝xA3，所以 6 4 2 3
C2C2C2 6 4 2 x＝ ＝15.因此分为三份， 每份两本一共有 15 种方法． A3 3
返回
[一点通] 问题．
(1)解决此类问题要分清是分组问题还是分配
(2)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三 种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相同； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有 m 组均匀，最后
答案：A
返回
[例4]
由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数， ( )
其中个位数字小于十位数字的共有
A．210个
C．464个
B．300个
D．600个
返回
[精解详析]
若不考虑附加条件，组成的六位数共有
1 A5A5个， 而其中个位数字与十位数字的 A2种排法中只有一 5 2 5 种符合条件，故符合条件的六位数共有 A1A5÷ 2＝300 个． A2 5
1 1 1 A2A1A3个． 由分类加法计数原理， 其中偶数共有 A2＋A1A3A1 3 4 2 3
＝30 个．
[答案] B
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[一点通]
解答含有特殊元素或位置的问题的方法：
若以元素为主时，先满足特殊元素的要求；以位置为 主时，先满足特殊位置的要求．具体解答时还要辩证地看 待“元素”和“位置”，哪些事件看成元素或位置，要视具体
③完全非均匀分组，不用考虑重复现象． (3)分配问题属于“排列”问题， 分配问题可以按要求逐 个分配，也可以分组后再分配．
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8．在本例条件下，求解： (1)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本； (2)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人
3 A3种方法．根据分步乘法计数原理可得 C2C2C2＝xA3，所以 6 4 2 3
C2C2C2 6 4 2 x＝ ＝15.因此分为三份， 每份两本一共有 15 种方法． A3 3
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[一点通] 问题．
(1)解决此类问题要分清是分组问题还是分配
(2)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三 种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相同； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有 m 组均匀，最后
答案：A
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[例4]
由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数， ( )
其中个位数字小于十位数字的共有
A．210个
C．464个
B．300个
D．600个
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[精解详析]
若不考虑附加条件，组成的六位数共有
1 A5A5个， 而其中个位数字与十位数字的 A2种排法中只有一 5 2 5 种符合条件，故符合条件的六位数共有 A1A5÷ 2＝300 个． A2 5
1 1 1 A2A1A3个． 由分类加法计数原理， 其中偶数共有 A2＋A1A3A1 3 4 2 3
＝30 个．
[答案] B
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[一点通]
解答含有特殊元素或位置的问题的方法：
若以元素为主时，先满足特殊元素的要求；以位置为 主时，先满足特殊位置的要求．具体解答时还要辩证地看 待“元素”和“位置”，哪些事件看成元素或位置，要视具体
2015-2016学年高中数学 第一章 计数原理本章整合课件 北师大版选修2-3
3
3
由
2)
������-6
3 C6 ������ ( 2)
6
1 33
3
������-6
=
������ 1 ������ ,化简得 63-4 =6-1,∴ -4=-1,∴ n=9. 6 3
∴ 第 7 项为 C 9 ( 2)
6
9-6
1
3
6
3
3 = C9 ·2· =
1 9
56 . 3
专题一
专题二
专题三
2.赋值法 应用 2 已知(2x-1) =a0· x +a1· x +a2· x +a3· x +a4x+a5. (1)求 a0+a1+a2+…+a5; (2)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|; (3)求 a1+a3+a5. 提示:有关求系数的问题,一般采用 “赋值法 ”,令二项式中的字母取± 1,0 等特殊的数,得到一个或几个等式,然后再根据需求得出结果. 解:(1)令 x=1,得 a0+a1+a2+…+a5=1. (2)令 x=-1,得-35=-a0+a1-a2+a3-a4+a5.∵ 偶数项的系数为 负,∴ |a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5=3 =243.
专题一
专题二
专题三
提示:解决排列组合题目时,从正面入手,情况较复杂,不易解决时,可以 从问题的反面入手,往往能收到意想不到的效果. (1)解法一:(直接法)
4 可分三类,①A,B,C 三人只选一人,有 C1 3 · C9 =378 种,②A,B,C 三人中选