不等式的基本性质
不等式的基本性质知识点
不等式的基本性质知识点1 .不等式的定义：a-b>0 a>b, a-b=O a=b, a-b<O L> a<b。
①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。
它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。
②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。
作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。
如证明y=x3为单增函数，3 3 2 2 2设x1, X2《(-m,+ m), X<X2, f(x i)_f(X 2)=X1 _X2 =(X1_X2)(X1 +X1X2+X2 )=(X1_X2)[(X l+ -)3+ X22]5 3再由(X什- )2+ X22>0, X1-X2<0,可得 f(X l)<f(X2), ••• f(X)为单增。
2.不等式的性质：①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
不等式基本性质有：(1)a>b三b<a (对称性)(2)a>b, b>c 二a>c (传递性)⑶ a>b = a+c>b+c (c € R)(4) c>0 时，a>b A，ac>bcc<0 时，a>b ac<bc。
运算性质有：(1) a>b, c>d —a+c>b+d。
⑵ a>b>0,c>d>0 ac>bd。
⑶ a>b>0 —a n>b n(n € N, n>1)。
⑷ a>b>0= 川>w (n € N, n>1)。
应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“ ”和“ ”即推出关系和等价关系。
一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。
解不等式就是施行一系列的等价变换。
因此，要正确理解和应用不等式性质。
不等式的基本性质
4
3
2
= 2x (x -1)+(1- x)(1+ x) 3 =(x -1)(2x - x -1) 2 = (x 1)(x 1)(2x 2x 1) 1 1 = (x -1) 2(x + 2) + 2 > 0
2 2
3
∴A>B
1、不等式的基本性质： ①对称性： a b b a
考点突破 利用不等式性质判断命题真假 运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的 条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意 捏造性质．解有关不等式的简单判断和选择题时，
也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵
循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简
单，便于验证计算．
对于实数 a，b，c，下列命题中的真命题 是( ) A．若 a＞b，则 ac2＞bc2 1 1 B．若 a＞b＞0，则a＞b b a C．若 a＜b＜0，则 ＞ a b 1 1 D．若 a＞b，a＞b，则 a＞0，b＜0
本专题知识结构
第一讲 不等式和绝对值不等式
不 等 式 选 讲
第二讲 证明不等式的基本方法 第三讲 柯西不等式与排序不等式 第四讲 数学归纳法证明不等式
第一讲
不等式和绝对值不等式
1.不等式的基本性质
知识回顾
A B a b b>a B b
a>b
A a
a>b a-b>0
解：
2
2
2 2 2
4 2 4
4
,
4
不等式的性质 不等式的基本性质
不等式的性质不等式的基本性质各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢不等式的性质不等式的性质1.不等式的基本性质:性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).性质2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,cd,那么a+c>b+d.性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.例1:判断下列命题的真假,并说明理由.若a>b,c=d,则ac2>bd2;(假)若,则a>b;(真)若a>b且abb;(真)若|a|b2;(充要条件)命题A:a命题A:,命题B:0说明:本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程,在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性.a,b∈R且a>b,比较a3-b3与ab2-a2b 的大小.(≥)说明:强调在最后一步中,说明等号取到的情况,为今后基本不等式求最值作思维准备.例4:设a>b,n是偶数且n∈N*,试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小.说明:本例条件是a>b,与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a,b为正值这一条件,为此我们必须对a,b的取值情况加以分类讨论.因为a>b,可由三种情况(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想.练习:1.若a≠0,比较(a2+1)2与a4+a2+1的大小.(>)2.若a>0,b>0且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小.(>)3.判断下列命题的真假,并说明理由.(1)若a>b,则a2>b2;(假) (2)若a>b,则a3>b3;(真)(3)若a>b,则ac2>bc2;(假) (4)若,则a>b;(真)若a>b,c>d,则a-d>b-c.(真).各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢。
不等式的基本性质
(a b)( a b ) ( a b )( a b )2 ab ab 2 1 2 1 a 2 b 2 （定号） 0 ( ) ( ) a b b a
三、例题分析：
a b 例4:已知a 0, b 0，比较 ( ) ( ) b a 与 a b 的大小。
变式练习
已知 3≤a＋b≤4,1≤4a－2b≤2，求 4a
＋2b 的取值范围．
解：方法 1：(方程组思想) 1 1 x＝ a＋ b a＝3x＋6y 令 ，则 y＝ 4a－ 2b b＝2x－ 1y 3 6
.
1 1 2 1 8 1 ∴ 4a＋2b＝4( x＋ y)＋ 2( x－ y)＝ x＋ y， 3 6 3 6 3 3 8 32 3≤ x≤ 4 8≤3x≤ 3 又 ⇒ 1≤ y≤ 2 1≤1y≤2 3 3 3 25 8 1 34 ⇒ ≤ x＋ y≤ ， 3 3 3 3
1 2 2 a, b, , 2ab, a b 从小到大的顺序是 2
1 2 2 a 2ab a b b ______________________ 2 1 3 特殊值法: 取 a , b 4 4
三、例题分析：
2 2 2 x 4 y 1 x y 例2:(2)已知 ，比较
方法 2：(待定系数法)设 f(3)＝λf(1)＋μf(2)， ∴9a－c＝λ(a－c)＋μ(4a－c)． 5 λ ＝－ 3 9＝λ＋4μ ∴ ，解得 －1＝－λ－μ μ＝8. 3 5 8 ∴f(3)＝－ f(1)＋ f(2)．下同方法 1，略． 3 3
• 【方法总结】 本题把所求的问题用已 知不等式表示，然后利用同向不等式性 质解决．本题常用待定系数法解决，设 出方程，求出待定系数即可．
不等式的基本性质
D
ab .
A
ab 这个圆的半径为 2 显然，它大于或等于CD，
ab 2
ab
C
a
O
b
B
半径不小于半弦
E
二. 最值定理应用:设 x 0, y 0,由x y 2 xy
x 1.若积 xy P(定值），则和 y有最小值2 P
作业：
P10 Ex 3、10、11、13选做来自Ex 14五、基本不等式
一．常用的重要的不等式和基本不等式
a R, 则a 2 0, a 0（ 当且仅当 a 0时, 取“” 1.若 ）。
2.若 a, b R, 则a b 2ab （当且仅当a=b时取等号）.
2 2
a, b R ，则 a b 2 ab （当且仅当a=b时取等号）. 3.若
不等式的基本性质
一.不等式的三个基本事实：
a b a b 0; a b a b 0; a b a b 0.
比较大小的基本依据。
O
二. 不等式的基本性质(运算性质)
(1)a b b a. 对称性 (2)a b, b c a c. 传递性 (3)a b a c b c. 可加性 (4)a b, c 0 ac bc; 可乘性 a b, c 0 ac bc. (5)a b 0 a b (n N , n 2).
a 2 b2 ab 2 ( ) （当且仅当a=b时取等号）. 4.若a, b R , 则 2 2
1 3：（1）已知0<x< , 求函数y x(1 3x)的最大值。 3
不等式的基本性质
以数学符号表示为：若A>B，则B<A。例如，如果一个人年龄大于另一个人年龄，那么另一个人年龄必然小于第一个人年龄。
详细描述
不等式的对称性是指在不等式两端同时加上或减去同一个数或式子，不等式仍然成立。
以数学符号表示为：若A>B，则A±C>B±C。例如，如果一个人身高大于另一个人身高，那么无论在这两个人身高上加上或减去同一个数值，不等式仍然成立。
04
不等式的应用
数学竞赛中的不等式主要用于解决一些与不等式有关的问题，如最值、不等式证明等。
通过使用不等式性质，可以分析得出一些解决问题的技巧和方法，如放缩法、常数代换法等。
数学竞赛中的应用
不等式在数论中主要用于研究一些与不等式有关的问题，如三角不等式、柯西不等式等。
不等式在数论中还有许多应用，如在研究素数分布、算术级数等问题时都会涉及到不等式的应用。
最优化问题
控制理论
数据科学
经济与金融
THANK YOU.
谢谢您的观看
不等式可以用来描述各种最优化问题，如线性规划、二次规划、非线性规划等。
在经济学和金融学中，不等式被用来描述各种经济和金融模型，如供需模型、最优消费模型等。
在控制理论中，不等式被用来描述系统的稳定性和性能限制。
在数据科学中，不等式被用来进行特征选择和降维，以及建立数据隐私保护的约束条件。
不等式的进一步应用和研究方向
一次不等式
形如ax²+bx+c>0，a、b、c为实数且a≠0的不等式叫做二次不等式。
二次不等式
除一次和二次不等式外，还有指数不等式、对数不等式等其他
VS
不等式的传递性是指如果A和B之间存在不等式关系，且B和C之间也存在不等式关系，那么A和C之间也必然存在同样的不等式关系。
不等式的基本性质
不等式的基本性质
不等式的基本性质
不等式的基本性质有对称性，传递性，加法单调性，即同向不等式可加性;乘
法单调性;同向正值不等式可乘性;正值不等式可乘方;正值不等式可开方;倒数法则。
一、不等式的基本性质
1.如果x>y，那么y<X;如果Yy;(对称性)
2.如果x>y，y>z;那么x>z;(传递性)
3.如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z,即不等式两边同时加或减
去同一个整式，不等号方向不变;
4.如果x>y，z>0，那么xz>yz ,即不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于0
的整式，不等号方向不变;
5.如果x>y，z<0，那么xz<YZ, p 即不等式两边同时乘以(或除以)同一个小于0
的整式，不等号方向改变;<>
6.如果x>y，m>n，那么x+m>y+n;
7.如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn;
8.如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数)，x的n次幂<Y的N
次幂(N为负数)。
< p>
二、不等式的基本性质的另一种表达方式
1.对称性;
2.传递性;
3.加法单调性，即同向不等式可加性;
4.乘法单调性;
5.同向正值不等式可乘性;
6.正值不等式可乘方;
7.正值不等式可开方;
8.倒数法则。
如果由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式。
不等式的性质
等式基本性质1：
等式的两边都加上（或减去）同一个整 式，等式仍成立 如果a=b,那么a±c=b±c
等式基本性质2： 等式的两边都乘以（或除以）同一个不 为0的数，等式仍成立 a b （c≠0）， 如果a=b,那么ac=bc或 c c
不等式
两边都加（或减去） 同一个数
不等号 的方向
７＞４
－3＜４
根据不等式的性质2，3a<6a
当a<0时,根据不等式的性质3,3a>6a
如果关于x的不等式 (1-a)x>1-a 的解 集为 x<1 ,那么请给出一个符合题意a的值 解：由(1-a)x>1-a ，不等式两边同 时除以 1-a ，得到 x<1
不等号方向改变了，由不等式的 性质3可知 1-a<0,a>1 可以取a=2
(1) x+3>-1
解：根据不等式性质1，得 X>-4
-4 0
(2) 6x<5x-7
解：根据不等式性质1,得 X<-7
(3) 4x>-12
解：根据不等式性质2，得 X>-3
-3 0
-7
0
新情境题
以下不等式中,不等号用对了么? (1)3-a<6-a (2)3a<6a
解：(1)3<6,根据不等式的性质1 将不等式两边同时减a,3-a<6-a (2)3<6,当a>0时,
（２）如果a＞b，那么ac2＞bc2。
（３）如果ac2＞bc2, 那么a＞b。
× ×
例3
利用不等式的性质解下列不等式．
(1) x-７＞26 解：根据不等式性质1，不等式两边加7，不等好的 方向不变。 ∴ x-７+7＞26 +7