大一高数导数的概念共38页文档
高等数学-导数的概念
0− 时，极限
(0 +)−(0 )
−
存
→0
在，则称此极限值为函数 = ()在0 处的左导数，记为
−′ (0 )
=
(0 +)−(0 )
−
→0
=
()−(0 )
−
.
−
→0
0
16
01 导数的定义
4.左导数和右导数
′ 在点0 处的函数值，即 ′ (0 ) = ′ ()|=0 ．
12
01 导数的定义
例2 求函数() = ( > 0)的导数．
根据导数定义，使用分子有理化得
( + ) − ()
+ −
′
() =
=
→0
→0
注
如果 ′ (0 ) = ∞，曲线 = ()在点(0 , (0 ))处的
切线为垂直于轴的直线 = 0 .
19
02 导数的意义
结论 1 曲线 = ()上点(0 , 0 )处的切线方程为
− 0 = ′ (0 )( − 0 ) .
2 如果 ′ (0 ) ≠ 0，曲线 = ()在点 0 , 0
(0 + ) − (0)
=
→0
→0
=
1
()3
−0
1
2
→0 ()3
O
x
= +∞，
即导数为无穷大（导数不存在）．
26
→0
= ()在
点0 处可导，并称这个极限值为函数 = ()在点0 处的导数，
记作
′ (0 )， ′ |=0 ，
课件：导数的概念及基本函数的导数
1.导数的某些实际背景(瞬时速度, 光滑曲线切线的斜率)
2.导数的概念
平均变化率,
即
y x
=
f(x0+x)-f(x0) . x
f(x0)=lxim0xy
=lxim0
f(x0+x)-f(x0) x
.
求函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数的步骤:
(1)求函数的增量: y=f(x0+x)-f(x0);
(3)(lnx)=
1 x
,
(logax)=
1 x
logae;
(4)(ex)=ex, (ax)=axlna.
5.函数的和、差、积、商的导数:
(uv)=uv; (uv)=uv+uv; (cu)=cu(c 为常数);
(
uv
)=
uv-uv v2
(v0).
6.复合函数的导数
设直线 l1 与曲线 y= x 相切于 P, 直线 l2 过 P 且 垂直 l1, 若 l2 交 x 轴于 Q 点, 又作 PK 垂直 x 轴于 K 点, 求 KQ 的长.
例3.求下列函数的导数: (1)y=(2x2+3)(3x-2); (2)y=x2sinx+2cosx;
(3)y=(
x+1)(
k=tan=f(x0). 相应的切线方程为 y-y0=f(x0)(x-x0).
(2)物理意义:
物体运动在时刻 t0 时的瞬时速度 v, 即: v=s(t0). 设 v=v(t) 是速度函数, 则 v(t0)表示物体在时刻 t=t0 时的加速度.
4.几种常见函数的导数
(1)c=0(c 为常数), (xn)=nxn-1(nQ); (2)(sinx)=cosx, (cosx)=-sinx;
(完整版)导数的概念、几何意义及其运算
导数的概念、几何意义及其运算常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式 ：+-∈==N n nx x C C n n ,)(;)(01''为常数；;sin )(cos ;cos )(sin ''x x x x -== a a a e e xx x x ln )(;)(''==；e x x x x a a log 1)(log ;1)(ln ''==法则1： )()()]()(['''x v x u x v x u ±=± 法则2： )()()()()]()(['''x v x u x v x u x v x u +=法则3： )0)(()()()()()(])()([2'''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u （一）基础知识回顾：1.导数的定义：函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率xx f x x f x y o x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0/x f 或0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/ 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f 。
称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即)(/x f ＝/y ＝xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim0 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数)(x f y =在0x 处的导数0/x x y =，就是导函数)(/x f 在0x 处的函数值，即0/x x y =＝)(0/x f 。
导数的概念
f ( x0 Dx) f ( x0 ) Dy f ( x0 ) lim lim Dx0 Dx Dx0 Dx
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也可以记作
dy dx
df ( x) 或 dx x x0 x x0
是函数f(x)在以x0
Dy f ( x0 Dx) f ( x0 ) Dx Dx
把y=x2 +1带入上式，得曲线在点P(1,2)处的切线的 2 斜率为
kPT
(1 Dx) 1 (1 1) 2 lim Dx 0 Dx
首页 上瞬时速度，一个是曲线 的切线的斜率，具体意义不同，但通过比较可 以看出它们的数学表达式结构是一样的，即 Dy lim 计算极限 D x 0 Dx
第三章
1.问题的提出 2.导数的定义 3.求导举例
导 数
3.1 导数的概念
4.导数的几何意义
5.小结
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3.1.1 导数的定义 1. 瞬时速度
3.1 导数的概念
平均速度的概念
这段时间内汽车的平均速度为 经过的路程 s 150 v 15(m / s) 54(km / h) 所用的时间 t 10 平均速度反映了汽车在前10秒内的快慢程度， 为了了解汽车的性能，还需要知道汽车在某一时 刻的速度——瞬时速度．
5
51
5x ;
4
(2)
(3)
2 21 3 y ( x ) 2x 2x ; 1 1 1 3 1 y x ( x 3 ) x 3 3 2 1 3 1 x 3 ; 2 3 3 x
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例5 求 y=sinx 的导数． Dx Dx ) sin 解 Dy sin( x Dx) sin x 2 cos( x 2 2
大一高等数学导数知识点
大一高等数学导数知识点一、导数的定义及性质1.定义：设函数f(x)在点x0的一些邻域内有定义，若极限lim（h→0）[f(x0+h)-f(x0)]/h存在，称该极限为函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。
2.函数在一点处的导数表示函数在该点的变化速率，若导数大，则说明函数变化快；若导数小，则说明函数变化慢。
3.导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数等于其曲线在该点的切线斜率。
4.导数的性质：（1）可加性：(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)（2）可乘性：(f·g)'(x)=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)（3）常值函数的导数为0：(C)'=0（4）乘方函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1)（5）指数函数的导数：(a^x)' = a^x·ln(a)（6）对数函数的导数：(ln(x))' = 1/x（7）三角函数的导数：（i）(sin(x))' = cos(x)（ii）(cos(x))' = -sin(x)（iii）(tan(x))' = sec^2(x)（iv）(cot(x))' = -csc^2(x)（8）反三角函数的导数：（i）(arcsin(x))' = 1/√(1-x^2)（ii）(arccos(x))' = -1/√(1-x^2)（iii）(arctan(x))' = 1/(1+x^2)二、导数的计算法则1.基本计算法则：（1）常数的导数为0（2）幂函数求导：(x^n)' = nx^(n-1)（3）指数函数求导：(a^x)' = a^x·ln(a)（4）对数函数求导：(ln(x))' = 1/x（5）三角函数和反三角函数的导数2.复合函数求导法则：设y=f(g(x))，则y'=f'(g(x))·g'(x)3.乘积法则：(f·g)'=f'·g+f·g'4.商积法则：(f/g)'=(f'·g-f·g')/g^25. 链式法则：若y=f(u)，u=g(x)，则dy/dx = dy/du·du/dx = f'(u)·g'(x)三、导数的应用1.切线方程：设函数f(x)在点x0处可导，其切线方程为y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)2.泰勒展开：对于具有n阶导数的函数f(x)，其泰勒展开式为：f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)^2/2!+…+f^n(x0)(x-x0)^n/n!+Rn(x)其中Rn(x)为拉格朗日余项，满足，Rn(x)，<=M，x-x0，^(n+1)，其中M为常数。
大一高数--导数的概念
y lim 1 x 0 x
左右极限相等,即函数在点x=0连续且可导
根据可导与连续的关系,可知函数在该点连续.
由例3可知，分段函数分段点处导数，用导数定 义“求增量、算比值、取极限”计算．
x0 x, 例. 求f ( x ) 在x 0处的导数 . 1 x ), x 0 ln(
f ( 0 x ) f ( 0 ) x 0 f (0) lim li m 1 x 0 x 0 x x
f ( 0 x ) f ( 0 ) ln( 1 x ) 0 f (0) lim lim x 0 x 0 x x 1 1 x l im l n ( 1 x ) lim ln( 1 x ) x 0 x x 0
s v(t 0 ) lim v lim t 0 t 0 t
二、 导数的定义 定义
dy df f ( x0 ), y x x , y( x0 ), | x x0 , | x x0 0 dx dx
导数的几种等价定义
f ( x0 ) dy
x x0
dx
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y lim lim x 0 x x 0 x
注意: 该定理的逆定理不成立.
即： 连续函数不一定可导
例 证明绝对值函数y=|x|在连结点x=0处连续但不可导
y | x | x lim lim lim 1 x 0 x x 0 x 0 x x
y x | x | lim lim 1 lim x 0 x x 0 x x 0 x
在x=0处左右导数不等，故函数y=|x|在点x=0处不可导.
导数的概念-课件-导数的概念
导数在现代数学中的地位和作用
基本概念
导数是现代数学的基本概念之一，是研究函数性质和解决实际问题的 重要工具。
数学分析
导数是数学分析的重要分支，是研究函数的可微性、可导性和连续性 的基础。
应用领域
导数的应用领域非常广泛，不仅限于数学和物理领域，还涉及到工程 学、经济学和计算机科学等多个领域。
数学建模
导数的应用发展
物理学
工程学
导数在物理学的各个分支中都有广泛的应 用，如力学、电磁学、热学等。
在机械工程、航空航天工程、土木工程等 领域，导数被用于优化设计、控制工程和 流体力学等方面。
经济学
计算机科学
导数在经济学中被用于研究经济系统的变 化率和最优决策问题。
在计算机图形学、数值分析和机器学习等 领域，导数被用于计算图像处理、数据拟 合和模型训练等方面。
高阶导数在研究函数的极值、拐 点、曲线的形状等方面有重要应 用。
微分学基本定理
微分学基本定理的内容
微分学基本定理是导数与微分之间的关系，即函数在某点的导数 等于该函数在该点的切线的斜率。
微分学基本定理的推导
通过极限的概念和性质，利用切线斜率的定义推导出微分学基本定 理。
微分学基本定理的应用
微分学基本定理是微分学的基础，在研究函数的增减性、极值、曲 线的形状等方面有重要应用。
复合函数求导法则
若$y = f(u)$和$u = g(x)$都可导， 则复合函数$y = f[g(x)]$的导数为 $(y)' = u' cdot (u)' = u' cdot v'$。
隐函数的导数
由显函数表示的隐函数求 导
若由显函数$F(x, y) = 0$表示的隐函数为$y = f(x)$，则通过求偏导数$frac{partial F}{partial x}$和$frac{partial F}{partial y}$ ，可以得到隐函数$y = f(x)$的导数。
导数的概念
O s(2)
s(2+t) s
__
从而平均速度v 的极限为：
v
lim
__
v
lim
s
2g
20m
/
s.
t 0
t0 t
s
即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s).
当时间间隔Δ t 逐渐变小时,平均速度就越接近
t0=2(s) 时的瞬时速度v=20(m/s).
2019/6/4
（3）求极限
lim x0
s t
t
lim x0
s(t
t) s(t) . t
• 1由导数的定义可得求导数的一般步骤：
（(12）)求求平函均数变的增化量率Δy=xy f(x0+Δt)-f(x0)
lim （3）求极限 2019/6/4
f ' (x0 )
x0
y x
作业：
2019/6/4
应用：
• 例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同
产品，需要对原由进行冷却和加热。如果第 x(h)
时，原由的温度（单位：0C）为 f(x)=x2-
7x+15(0≤x≤8).计算第2（h) 和第6（h）时，原由
温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。
关键是求出： f x 3
x
再求出lim x0
第三章 导数及其应用
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3.2 导数的概念
• 在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在 这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描 述运动状态。我们把物体在某一时刻的速 度称为瞬时速度.
又如何求 瞬时速度呢?
2019/6/4
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谢谢！Leabharlann 36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
大一高数导数的概念
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子