信号与系统作业作业1第二章答案

第二章 作业答案

2–1 已知描述某LTI 连续系统的微分方程和系统的初始状态如下，试求此系统的零输入响应。

(１))()(2)(2)(3)(t e t e t y t y t y +'=+'+'' 2)0(=-y ，1)0(-='-y

解:

根据微分方程,可知特征方程为:

0)2)(1(0232=++?=++λλλλ

所以，其特征根为： 1,

221-=-=λλ

所以,零输入响应可设为:0)(221≥+=--t e C e C t y t

t

zi

又因为 ???=-=???

?-=--='=+=--31

12)0(2)0(2

1

2121C C C C y C C y 所以,03)(2≥-=--t e e t y t

t

zi

(2))(2)()(6)(5)(t e t e t y t y t y -'=+'+'' ?1)0()0(=='--y y 。 解:

根据微分方程，可知特征方程为：

0)3)(2(0652=++?=++λλλλ

所以，其特征根为： 3,

221-=-=λλ

所以,零输入响应可设为:0)(3221≥+=--t e C e

C t y t

t

zi

又因为 ???-==???

?=--='=+=--3

4

132)0(1)0(21

2121C C C C y C C y 所以,034)(32≥-=--t e

e t y t

t zi

2–２ 某L ＴI 连续系统的微分方程为)(3)()(2)(3)(t e t e t y t y t y +'=+'+'' 已知1)0(=-y ,2)0(='-y ,试求： （1） 系统的零输入响应)(t y zi ;

（2） 输入)()(t t e ε=时，系统的零状态响应)(t y zs 和全响应)(t y 。 解：

（1）根据微分方程,可知特征方程为：

0)2)(1(0232=++?=++λλλλ

所以，其特征根为: 1,

221-=-=λλ

所以，零输入响应可设为：0)(221≥+=--t e C e C t y t

t

zi

又因为 ???=-=???

?=--='=+=--43

22)0(1)0(2

12121C C C C y C C y

所以,034)(2≥-=--t e e

t y t

t

zi ?

（2) 可设零状态响应为:0)(221>++=--t p

e C e

C t y t x t

x zs

其中p 为特解，由激励信号和系统方程确定。

因为)()(t t e ε= 所以，p 为常数,根据系统方程可知，23=p 。 于是，零状态响应可设为为：02

3)(221>++=--t e C e C t y t x t x zs

将上式代入原方程中,比较方程两边的系数，可得到

?????-==

2

2121C C 所以,02322

1)(2>+-=

--t e e t y t t

zs

全响应为 )()()(t y t y t y zs zi +=

0)

23221

()34()(22>+-+-=----t e e e e t y t t t t zs

0)

232

5

2()(2>+-=--t e e t y t t zs

２–3 试求下列各ＬＴI 系统的冲激响应和阶跃响应。 （１）)(2)()(3)(4)(t e t e t y t y t y +'=+'+'' 解：

根据 在激励信号为)(t δ的条件下,求解系统的零状态响应可得

()

)(2

1)(3t e e t h t t

ε?+=

-- 因为，单位阶跃响应?-

?=t

d h t g 0)()(ττ

所以，()

?

-?+=--t

d e e t g 032

1)(τττ

0),1(6

1

)1(216

12

16030>-+-=

--=-----

-

t e e e e t t t t ττ

0,6

121326>--=

--t e e t

t

(２）)(2)(2)()(2)(3)("t e t e t e t y t y t y +'+''=+'+ 解:

可先求系统 )()(2)(3)("t e t y t y t y =+'+ 的冲激励响应)(0t h ，

则，原系统的冲激响应为)(2)(2)()(0'0"0

t h t h t h t h ++=。 因为)()(2)(3)("t e t y t y t y =+'+的特征根为:1,221-=-=λλ 所以,可设冲激响应为:)()()(2210t e C e C t h t t ε?+=-- 将)(0t h 代入系统方程,并确定待定系数后,可得:

)()()(20t e e t h t t ε?-=--?

因为，)(2)(2)()(0'

0"0

t h t h t h t h ++= 又因为，)()2()(2'0

t e e t h t t ε?-=--,)()4()()(2"0t e e t t h t t εδ?--=-- 所

以,[]

)()(2)()2(2)()4()()(222t e e t e e t e e t t h t t t t t t εεεδ?-?+?-?+?--=------

)()2()(2t e e t t t εδ?--=--

因为,单位阶跃响应?-

?=t

d h t g 0)()(ττ

所以,[]

?-

?--=--t

t t d t e e t t g 02)()(2)()(τεδ

()

)(212t e e t t ε?-+=--

2–4 各信号的波形如题2–4图所示，试计算下列卷积,并画出其波形。 (1）)()(21t f t f *

（2))()(31t f t f *

(3))()(24t f t f *?（４）)()(34t f t f *

题２–4 图

解:

根据 )()()(00t t f t t t f -=-*δ,可方便地得到此题的卷积结果。 （１)

(2）

(3）

(4）

2–5 已知某LTI 连续系统的冲激响应)(t h 和各激励信号)(t e 的波形如题2–5图所示，试求此系统对激励信号的零状态响应。

题2–５图

解:

因为，)()()(t h t e t y zs *=

所以,[][])2()()2()()(--*--=t t t t t y zs εεεε

)2()2()2()()()2()()(-*-+-*-*--*=t t t t t t t t εεεεεεεε )4()4()2()2(2)(--+---=t t t t t t εεε

2–６ 题2–6图所示系统是由几个子系统组合而成的,各子系统的冲激响应分别为

)()(1t t h ε=，)1()(2-=t t h δ，)1()(3-=t t h ε

试求总系统的冲激响应)(t h 并画出其波形。

题2–6图

解： 根据系统框图,可得： [])()()()()(1321t h t h t h t h t h **+=

[])()1()1()(t t t t εεδε*-*--= [])()2()(t t t εεε*--=

)2()2()(-?--=t t t t εε

此系统的单位冲激响应的波形为:

2–7 题2–7图所示系统是由几个子系统组合而成,各子系统的冲激响应分别为

)1()(1-=t t h δ,)3()1()(2---=t t t h εε

试求总系统的冲激响应)(t h 并画出其波形。

题2–7图

解:根据系统框图,可得:

[])()()()()()(2111t h t h t h t h t t h **++=δ

[][])3()1()1()1()1()(---*-*-+-+=t t t t t t εεδδδδ [][])3()1()2()1()(---*-+-+=t t t t t εεδδδ

[][][])5()3()4()2()3()1(---+---+---=t t t t t t εεεεεε

)5()4()2()1(-----+-=t t t t εεεε 此系统的单位冲激响应的波形为: